sự mở rộng tính compact của lũy thừa tychonoff của 2 trong zf

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH PHẠM THỊ TUYẾT SỰ MỞ RỘNG TÍNH COMPACT CỦA LŨY THỪA TYCHONOFF CỦA TRONG ZF LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh- 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH PHẠM THỊ TUYẾT SỰ MỞ RỘNG TÍNH COMPACT CỦA LŨY THỪA TYCHONOFF CỦA TRONG ZF Chuyên ngành: Hình học tôpô Mã số: 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Hà Thanh Thành phố Hồ Chí Minh- 2011 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Hà Thanh, người tận tình hướng dẫn động viên nhiều suốt thời gian thực luận văn, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến giáo sư Kyriakos Keremedis, Department of Mathematics,University of The Aegean,Karlovassi, Samos 83200, Greece giáo sư Jan Mycielski, Department of Mathematics, University of Colorado at Boulder, USA cung cấp tài liệu dẫn quý báu cho Tôi xin chân thành cảm ơn: Ban chủ nhiệm Khoa thầy tổ Hình học, khoa Toán trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh nhiệt tình giảng dạy giúp nâng cao trình độ chuyên môn phương pháp làm việc hiệu trình học cao học Ban lãnh đạo chuyên viên Phòng Sau đại học trường đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành luận văn Anh Trương Hồng Minh (Université Toulouse III Paul Sabatier, France), anh Lữ Hoàng Chinh (Université Toulouse III Paul Sabatier, France), bạn Hoàng Thị Thảo Phương (INRIA, France) hỗ trợ nhiều việc tìm kiếm tài liệu tham khảo Các bạn lớp Hình học Tôpô khóa 20 chia sẻ khó khăn Cuối cùng, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình bạn bè bên cạnh, quan tâm giúp đỡ mặt để hoàn thành tốt khóa học MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU iv MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích Đối tượng phạm vi nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn Cấu trúc luận văn Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian tôpô 1.2 Một số lớp không gian tôpô 1.3 Lí thuyết tập hợp 1.4 Các định lí 13 Chương TÍNH COMPACT ĐẾM ĐƯỢC VÀ COMPACT-n CỦA KHÔNG GIAN TYCHONOFF 2X 15 2.1 Các khái niệm mở đầu 15 2.2 Các kết 16 Chương TÍNH COMPACT-n CỦA KHÔNG GIAN TYCHONOFF 2 29 KẾT LUẬN 34 Kết nghiên cứu 34 Hướng nghiên cứu 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 35 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU TP( X ) : X compact TPC( X ) : X compact đếm AC(X) :  ( X ) \ {∅} có hàm chọn Dom(f) : miền xác định hàm f Ran(f) : miền giá trị hàm f p ⊂ f : p ánh xạ hạn chế f Với n ∈  , AC fin ( X ) : Mỗi họ tập hữu hạn khác rỗng X có hàm chọn AC( ≤ n, X ) : Mỗi họ gồm tập ≤ -phần tử khác rỗng X có hàm chọn CAC( ≤ n, X ) : AC( ≤ n, X ) hạn chế họ đếm AC dis (n, X ) : Mỗi họ rời tập n-phần tử khác rỗng X có hàm chọn CACdis (n, X ) : AC dis (n, X ) hạn chế họ đếm BPI : Mỗi đại số Boolean có ideal nguyên tố UF( ω ): Tồn siêu lọc tự ω CAC : AC hạn chế họ đếm tập khác rỗng CAC(  ) : CAC hạn chế họ đếm tập khác rỗng  MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong Toán học, khái niệm compact đóng vai trò quan trọng tôpô tổng quát Như ta biết, có hai cách để định nghĩa không gian compact Định nghĩa Một không gian tôpô X gọi không gian compact phủ mở X chứa phủ hữu hạn Định nghĩa X compact họ  gồm tập đóng X có tính chất giao hữu hạn, ∩ ≠ ∅ Từ định nghĩa thứ hai này, người ta tìm mối liên hệ tính compact dạng tiên đề chọn lý thuyết tập hợp Cụ thể hơn, nhà Toán học quan tâm đến tính compact không gian Tychonoff X (với = {0, 1}), không gian ánh xạ từ X vào ={0, 1}, thiết lập mối tương quan tính chất compact mệnh đề lý thuyết tập hợp ZF Trong nghiên cứu này, J Mycielski [21] chứng minh lý thuyết tập hợp ZF, BPI ⇔ “Với tập X, X không gian compact” mà không đòi hỏi dạng đặc biệt tiên đề chọn Trong báo khoa học mình, K Keremedis E Tachtsis xét đến hai mở rộng tính compact không gian Tychonoff X tính compact đếm compact-n Từ xét đến trường hợp đặc biệt với X =  Xét thấy tầm quan trọng báo, chọn đề tài luận văn “SỰ MỞ RỘNG TÍNH COMPACT CỦA LŨY THỪA TYCHONOFF CỦA TRONG ZF” Mục đích Nghiên cứu sức mạnh tính compact theo nghĩa lý thuyết tập hợp mở rộng tính compact không gian X 2 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Tính compact đếm compact-n ( n ∈  ) không gian X 2 ZF Ý nghĩa khoa học thực tiễn Luận văn tài liệu tham khảo để hiểu rõ mở rộng tính compact X ZF Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương phần kết luận Trong đó, chương hai chương ba phần luận văn Cụ thể sau: Phần mở đầu: Giới thiệu khái quát đề tài Chương 1: Kiến thức chuẩn bị bao gồm khái niệm, mệnh đề có liên quan đến nội dung đề tài Chương 2: Tính compact đếm tính compact-n ( n ∈  ) không gian X Chương 3: Tính compact-n ( n ∈  ) không gian 2 Phần kết luận: Đưa nhận xét vấn đề mở cần tiếp tục nghiên cứu sau đề tài Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, đưa sở lý thuyết nhằm phục vụ đề tài Các kiến thức chủ yếu chương kiến thức Ở đây, định lí, hệ kết phát biểu không chứng minh, trích dẫn từ tài liệu [9], [10], [14], [15] [21] 1.1 Không gian tôpô 1.1.1 Định nghĩa không gian tôpô Cho tập X Một họ τ tập X gọi tôpô X thỏa điều kiện sau: τ ) X, ∅ thuộc τ ; τ ) Hợp tùy ý tập thuộc τ thuộc τ ; τ ) Giao hữu hạn tập thuộc τ thuộc τ Tập X với tôpô X gọi không gian tôpô, kí hiệu (X, τ ) hay ngắn gọn X không cần rõ τ tôpô X Các phần tử không gian gọi điểm Cho (X, τ ) không gian tôpô Tập F ∈τ gọi tập mở X Tập A X gọi tập đóng X \ A tập mở 1.1.2 Lân cận Cho (X, τ ) không gian tôpô x ∈ X Tập V ⊂ X gọi lân cận x tồn tập mở G cho x ∈ V ⊂ G Nếu lân cận V x tập mở V gọi lân cận mở x 1.1.3 Cơ sở tiền sở Cho τ tôpô X Một họ σ τ gọi sở tôpô τ phần tử τ hợp họ phần tử σ Hay nói cách khác, σ sở τ ∀G ∈τ , ∀x ∈ G , ∃V ∈ σ : x ∈ V ⊂ G Một họ σ tập tập hợp X gọi tiền sở tôpô τ X họ giao số hữu hạn phần tử σ tạo thành sở τ Như họ σ τ tiền sở τ G ∈τ x ∈ G tồn W1 ,W2 , ,Wn ∈ σ cho x ∈ W1 ∩ W2 ∩ ∩ Wn ⊂ G Hiển nhiên, tôpô hoàn toàn xác định biết sở hay tiền sở 1.1.4 Cơ sở địa phương Một họ  x lân cận x gọi sở địa phương x lân cận V x tồn lân cận U ∈  x cho U ⊂ V 1.1.5 Điểm giới hạn Cho A tập không gian tôpô X x ∈ X Nếu lân cận V x ta có (V \ {x}) ∩ A ≠ ∅ x gọi điểm giới hạn hay điểm tụ tập A 1.1.6 Phần trong, bao đóng, trù mật Cho X không gian tôpô tập A ⊂ X • Ta gọi phần tập A hợp tất tập mở chứa A, kí hiệu A0 • Ta gọi bao đóng A giao tất tập đóng chứa A, kí hiệu A • Tập A gọi trù mật hay trù mật khắp nơi X A = X • Tập A trù mật không gian tôpô X x ∈ X lân cận V x, V ∩ A ≠ ∅ 1.1.7 Định nghĩa Ti − không gian Cho X không gian tôpô, • X gọi T0 − không gian hai điểm khác x, y ∈ X có lân cận x không chứa y lân cận y không chứa x • X gọi T1 − không gian hai điểm khác x, y ∈ X có lân cận x không chứa y lân cận y không chứa x • X gọi T2 − không gian hay không gian Hausdorff hai điểm khác x, y ∈ X tồn lân cận U x lân cận V y cho U ∩ V = ∅ • X gọi T3 − không gian hay không gian quy X T1 − không gian với x ∈ X tập đóng F X không chứa x, tồn tập mở U, V cho x ∈ U , F ⊂ V U ∩ V = ∅ • X gọi T − không gian hay không gian hoàn toàn quy hay không gian Tychonoff X T1 − không gian với x ∈ X tập đóng F X không chứa x, tồn hàm liên tục f : X → [0,1] cho= f ( x) 0,= f ( y ) với y∈F 1.1.8 Tích không gian Cho {( X α ,τ α )}α ∈I họ không gian tôpô Đặt X = ∏ α∈I X α π α : X → X α phép chiếu hay ánh xạ tọa độ thứ α Các không gian X α gọi không gian tọa độ Ta gọi tôpô tích X tôpô yếu để tất phép chiếu π α liên tục Như vậy, tôpô tích có tiền sở họ tất tập π α−1 (U α ) , U α ∈τ α , α ∈ I hay có sở họ tất tập dạng n π α (Uα ),Uα ∈τ α , α ,α −1 i =1 i i i i , , α n ∈ I Tôpô tích gọi tôpô Tychonoff Tập X với tôpô Tychonoff gọi tích họ không gian cho 1.2 Một số lớp không gian tôpô 1.2.1 Không gian compact 1.2.1.1 Định nghĩa không gian compact Gọi G tập không đếm 2∪ Ta chứng minh phản chứng, giả sử G điểm giới hạn nào, G tập đóng Ta xét họ tập mở 2∪ sau { ( = [p ] ∈ 2∪ : ( [p ] ∩ G = 1) ∨ [p ] ⊂ 2∪ \ G )} Ta có  phủ 2∪ , theo giả thiết  có phủ đếm  Dễ thấy G ≤  với  = 1} { [p] ∈  : [p] ∩ G = Suy tập G đếm (mâu thuẫn) Vậy ta chứng minh bổ đề xong Bây quay trở lại việc chứng minh định lí, với i ∈ ω , đặt Bi = { f ∈ : ( ∀ j ≤ i, f ∪ −1 ) ( (1) ∩ Aj = ∧ ∀ j > i, Aj ⊂ f −1 (0) )} Vì  họ đếm tập hữu hạn nên Bi định nghĩa hữu hạn với i ∈ ω = B ∪{Bi : i ∈ ω} Đặt Ta xét hai trường hợp sau Trường hợp 1: Nếu B = ℵ0 Ta đánh số lại phần tử B lấy phần tử nhỏ từ Bi tương ứng với cách đánh số B, ta dễ dàng xác định hàm chọn  Trường hợp 2: Nếu B ≠ ℵ0 Theo bổ đề, B có điểm giới hạn g Ta chứng minh g −1 (1) ∩ Ai = với i ∈ ω Giả sử ngược lại g −1 (1) ∩ Ai0 ≠ với i0 ∈ ω Lúc dẫn đến hai trường hợp sau: (2a) Nếu Ai0 ⊂ g −1 (0) { } Suy Og  ( x,0 ) : x ∈ Ai0  lân cận g giao với ∪{ B j : j < i0 } không hữu =   hạn phần tử Điều mâu thuẫn g điểm giới hạn B, lân cận g phải giao với B tập vô hạn ( 2∪ không gian Hausdorff) (2b) Nếu g −1 (1) ∩ Ai0 ≥ Lấy x, y ∈ Ai0 cho g= ( x) g= ( y) Xét lân cận Og = {( x,1) , ( y,1)} g Theo định nghĩa B ta có Og ∩ B = ∅ (mâu thuẫn g điểm giới hạn B) Từ hai trường hợp (2a) (2b) ta suy với i ∈ ω , g −1 (1) ∩ Ai =  Suy C = g −1 (1) tập chọn  Như qua định lí 2.5 câu hỏi tự nhiên đặt điều kiện “ X compact-n ” thực cần thiết cho mối quan hệ tương đương “ X compact” “ X compact đếm ” Ở định lí 2.8, trả lời cho câu hỏi trên, nghĩa là, tồn tập X cho X compact đếm không compact Vì vậy, kết TPC( X ) ⇒ BPI Trước hết, cần đến định nghĩa hội tụ lọc Định nghĩa 2.7 Cho (X, T) không gian tôpô  lọc X Ta nói  hội tụ điểm x ∈ X lân cận mở x thuộc vào  Định lí 2.8 Trong ZF, ta không chứng minh với tập X vô hạn với n ∈  , X compact đếm được” suy “ X compact-n” Nói riêng, ta không chứng minh ZF với tập vô hạn X, X compact đếm suy X compact Chứng minh Lấy X tập vô hạn Trước hết ta chứng minh bổ đề sau Bổ đề “ X Loeb đếm được” + UF (ω ) suy X compact đếm Chứng minh bổ đề Cố định họ lồng vào =  {Gi : i ∈ ω} tập đóng ∩ ≠ ∅ Giả sử ∩ = ∅ Gọi h hàm chọn  X Ta cần chứng minh Vì  = ℵ0 ∩ = ∅ suy A = ran(h) tập vô hạn đếm { Gọi  siêu lọc tự A Đặt  = Y ⊂ 2X : Y ∩ A ∈  } Ta kiểm tra  siêu lọc X + Lấy G1 , G2 ∈ G1 ∩ A ∈  G1 ∩ A ≠ ∅ ⇒ ⇒ G2 ∩ A ∈  G2 ∩ A ≠ ∅ ⇒ G1 ∩ G2 ≠ ∅ (1) + Lấy G ∈  , G ⊂ H Do G ∈ nên G ∩ A∈  ⇒ ( G ∩ A) ⊂ ( H ∩ A) Mà  siêu lọc tự A nên ( H ∩ A ) ∈  ⇒ H ∈ (2) Từ (1) (2) suy  lọc X siêu lọc X Nếu  siêu lọc với x ∈ X đặt { } x = A ⊂ : π x−1 ( A) ∈  với π x phép chiếu tắc 2 lên thứ x Rõ ràng, x siêu lọc nên hội tụ điểm ax ∈ (vì không gian T2 compact) ⇒  hội tụ (ax ) x∈X Do ZF siêu lọc X hội tụ ⇒  hội tụ g ∈ X Vì  siêu lọc tự nên với lân cận mở Og g Og ∩ A tập vô hạn ⇒ g ∈ ∩ ( mâu thuẫn) Suy X compact đếm Mặt khác, mô hình 47(n, M ) Pincus [6] thỏa mãn điều kiện UF(ω ) tiên đề chọn hạn chế họ đếm tập khác rỗng (xem [6]) Vì tiên đề chọn hạn chế họ đếm tập rỗng suy X Loeb đếm với tập X Suy bổ đề cho trường hợp 47(n, M ) Vì vậy, theo bổ đề ta có “Với tập X, X compact” mô hình Tuy nhiên, ta biết [6] mệnh đề BPI không mô hình Do vậy, tồn tập X mô hình cho X không compact hệ theo định lí 2.5 tồn n ∈  cho X không compact-n  Như vậy, trái ngược với định lí ZF “Tích Tychonoff họ đếm không gian compact không gian compact đếm tích họ đếm không gian compact không gian compact” (trong [5], định lí 6), định lí 2.8 kết không ZF ta xét tích Tychonoff họ không đếm không gian compact Ta có kết liên quan(trong [22]) i CAC + UF(ω ) suy “ Với tập X vô hạn, X compact đếm được” ii Trong mô hình hoán vị Fraenkel-Mostowski ZFA( tức ZF thừa nhận đơn tử), CAC suy “ với tập vô hạn X, X compact đếm được” Bây giờ, xét độ mạnh theo nghĩa lý thuyết tập hợp hai mệnh đề “ X Loeb” “ X \ {0} Loeb” = χ ∅ χ A hàm đặc trưng A Đặc biệt, chứng minh mệnh đề “ X Loeb” kéo theo AC fin ( X ) “ X \ {0} Loeb” tương đương với AC(X) Định lí 2.9 Cho X tập (i) “ X Loeb” ⇒ ( Xˆ Loeb) ⇔ AC fin ( X ) , Xˆ compact hóa điểm không gian rời rạc X (ii) “ X \ {0} Loeb” suy “ X Loeb” Tuy nhiên, tương đối quán ZF tồn tập A cho A Loeb A \ {0} không Loeb đếm (iii) “ X \ {0} Loeb” AC(X) Chứng minh a) Chứng minh (i) Ta có Xˆ đồng phôi với không gian đóng = Y {χ{ } : x ∈ X }∪{0} X x Vì X Loeb theo định lí 1.1, Y Loeb Suy Xˆ Loeb Khẳng định thứ (i) kết Morillon [20] b) Chứng minh (ii) {Gi : i ∈ I } tập đóng Lấy họ =  Suy  ' = 2X {G ∩ (2 \ {0}) : i ∈ I } họ tập đóng \ {0} X X i ⇒  ' có hàm chọn f ( X \ {0} Loeb) Suy  có hàm chọn f hay X Loeb(đpcm) Đối với khẳng định thứ hai (ii) xét mô hình 1 Cohen [6] Ta thấy mệnh đề BPI xảy 1 ; xem [6] Vì BPI suy “ X compact với X ” “Không gian compact T2 Loeb” (định lí 1.1) nên suy 1 , X Loeb với tập X ” Kế tiếp, ta chứng minh tồn tập A 1 họ  đếm gồm tập đóng khác rỗng A \ {0} mà  hàm chọn Gọi A tập tất số thực Cohen thêm vào ⇒ A tập vô hạn đếm mô hình ( xem [6]) Hơn nữa, A trù mật  (xem [6])  đồng phôi với (1,∞ ) nên ta biểu diễn A sau A= ∪{ An : n ∈ } , ⇒= Bn = ⇒ An = (n, n + 1) ∩ A {χ{ } : x ∈ A }∪{0} tập đóng x n A {Bn \ {0} : n ∈ } họ đếm tập đóng, khác rỗng A \ {0} Nếu g = {( n, χ ) : n ∈ } hàm chọn  thì=C {xn } { xn : n ∈ } tập vô hạn đếm A(điều không 1 ) Do  hàm chọn Suy A \ {0} không Loeb đếm c) Chứng minh (iii) Giả sử X \ {0} Loeb ⇒ = A {χ{ } : x ∈ X } tập đóng, rời rạc tương đối x X \ {0} ⇒ A Loeb suy A thứ tự tốt (vì A không gian Loeb rời rạc  ( A ) \ {0} có hàm chọn) Vì thứ tự A cảm sinh thứ tự X, dẫn đến AC(X) xảy Ngược lại, ta giả sử AC(X) ⇒ X thứ tự tốt (chứng minh đồng làm với chứng minh ZF, AC suy tập thứ tự tốt, định lí 5.1 [8] ) Đặt X = ℵ , với ℵ số thứ tự tốt ⇒ X Loeb(theo kết Morillon [20] ) Lấy họ=  { Ai : i ∈ I } gồm tập đóng X \ {0} Đặt = { A ∈  : A đóng X } = { A ∈  : điểm giới hạn A X mà không thuộc A} Rõ ràng  = 1∪2 Vì X Loeb nên 1 có hàm chọn h Gọi {On : n ∈ℵ} phép đánh số sở X X X = tập hợp tất tập hữu hạn ℵ [ℵ] , 2 compact-n, họ  tập ≤ n -phần tử  (  ) cho ∪ rời nhau, có tập chọn Đặc biệt, phát biểu “ Với số nguyên n > , 2 compact-n” không chứng minh ZF Chứng minh Ta chứng minh cách quy nạp theo n Với n = 2, giả sử 2 compact-2 đặt=   (  ) cho {Ti : i ∈ I } họ gồm tập 2-phần tử   rời Giả sử  tập chọn Xét họ tập đóng mở 2-cơ 2 sau: = {[p] ∈   } : (∃ a ∈ 2) ∧ (∃ i ∈ I , ∀X ∈ Ti , p −1 (a ) ∩ X= 1) Ta chứng minh  phủ 2 Lấy f ∈ 2 Nếu f ∉∪ với a ∈ i ∈ I tồn X ∈ Ti cho f −1 (a ) ∩ X = ∅ { Tập f −1 (0) xác định tập chọn cho  f −1 (0) ∩ (T ) : i ∈ I } i Điều mâu thuẫn với giả thiết  tập chọn Do tồn i ∈ I a ∈ cho f −1 (a ) giao với phần tử Ti Vì f ∈∪  phủ 2 Mặt khác, ta kiểm tra  phủ hữu hạn nào, mâu thuẫn với giả thiết 2 compact-2 Vì  có tập chọn Giả sử với m < n, 2 compact-m, họ  tập ≤ m -phần tử  (  ) cho   rời nhau, có tập chọn Chúng ta thiết lập kết điều kiện 2 compact-n, với n > Theo bổ đề 3.4, ta có với số nguyên dương m < n, 2 compact-m, theo giả thiết quy nạp ta suy với m < n, họ  tập ≤ m -phần tử  (  ) cho   rời nhau, có tập chọn Bây giờ, ta cố định họ=  {Ti : i ∈ I } gồm tập ≤ n -phần tử  (  ) cho   rời Theo giả thiết quy nạp  ( n ) hữu hạn nên ta giả sử mà không tính tổng quát Ti = n với i ∈ I Ta chứng minh phản chứng, giả sử  tập chọn Xét họ tập n-cơ đóng mở 2 sau = {[p] ∈  n  } : (∃ a ∈ 2) ∧ (∃ i ∈ I , ∀X ∈ Ti , p −1 (a ) ∩ X= 1) Ta tiếp tục chứng minh  phủ 2 Lấy f ∈ 2 Nếu f ∉∪ với a ∈ i ∈ I tồn X ∈ Ti cho f −1 (a ) ∩ X = ∅ Vì  tập chọn nên kết luận với i ∈ I với a ∈ tồn phần tử Ti mà ảnh qua f {a} Với i ∈ I , đặt = Si và=  {f −1 (0) ∩ X : X ∈ Ti } {Si : i ∈ I } Vì với i ∈ I , tập Ti có n phần tử, dẫn đến tồn số m < n cho Si ≤ m với i∈I Lấy m0 số nhỏ số m Vì m0 < n nên 2 compact- m0 , theo giả thiết quy nạp suy  có tập chọn  có tập chọn Điều mâu thuẫn với giả thiết   phủ 2 Mặt khác, không khó để kiểm tra  phủ hữu hạn nào, mâu thuẫn với giả thiết 2 compact-n Do đó,  tập chọn Phép quy nạp kết thúc chứng minh cho khẳng định thứ định lí Đối với khẳng định thứ hai định lí, ta dùng dẫn chứng mô hình Feferman; mô hình 2 [6] Trong 2 tồn họ  gồm tập 2-phần tử  (  ) mà hợp tập rời  hàm chọn mô hình này; xem [4] [6] Đặc biệt, họ có tính chất sau: =  {{[ X ] , [ω \ X ]} : X ∈  (ω )} , Trong X ∈  (ω ) , [ X = ] {Y ∈  (ω ) : X △Y < ℵ0 } △ kí hiệu cho phép toán lấy hiệu đối xứng tập hợp Do đó, phát biểu “ 2 compact-2” không xảy 2 , theo bổ đề 2.4 ta suy 2 không compact-n với số nguyên n >1 Như định lí chứng minh xong  Định lí 3.11 Trong ZF , điều kiện CAC không suy “ Với số nguyên n > 1, 2 compact-n” Chứng minh Trong mô hình 2 Feferman [6], tiên đề chọn AC với họ thứ tự tốt tập khác rỗng, tiên đề chọn CAC xảy ra(xem [3]), theo chứng minh 2 không compact-2 mô hình  Định lí 3.12 Các phát biểu sau tương đương ZF: (i) 2 compact (ii) 2 có tính chất phủ cực tiểu Chứng minh a) Chứng minh (i) ⇒ (ii) Điều hiển nhiên ZF, không gian compact có tính chất phủ cực tiểu b) Chứng minh (ii) ⇒ (i) Đầu tiên cần bổ đề sau Bổ đề “ 2 có tính chất cực tiểu” suy “ 2 compact đếm được” Chứng minh Cố định họ =  {Fn : n ∈ ω} gồm tập đóng lồng vào 2 với tính chất giao hữu hạn Ta giả sử ∩ = ∅ Thế =  {Gn : n ∈ ω} , với Gn = Fnc với n ∈ ω , phủ mở 2 Ta gọi  phủ cực tiểu  Vì  có tính chất giao hữu hạn, nên  vô hạn Lấy H ∈   =   \ {H } { } J ∩ I c : I ∈  ≠ ∅ Vì  phủ cực tiểu 2 , ta suy ∪ ≠ 2 do= Vì  = ℵ0  lồng vào nhau, nên phần tử f ∈ J phần tử ∩ (mâu thuẫn với giả thiết) Do bổ đề chứng minh xong Bây ta chứng minh 2 compact Lấy phủ mở  2 lấy  phủ cực tiểu  Ta khẳng định  hữu hạn Bằng cách dùng phản chứng, giả sử  vô hạn Vì  ≤  (do  ⊂  ⊂   = 2ℵ0 ), ta biểu diễn  ∪{n : n ∈ } , n  n+1 với n ∈  Hơn nữa,  phủ cực tiểu  nên suy với n ∈  , { }  = Gn ∩ V c : V ∈ n ≠ ∅ = {Gn : n ∈ } họ tập đóng 2 có tính chất giao hữu hạn Dựa vào bổ đề ta có 2 compact đếm Lấy f ∈ ∩ , rõ ràng f ∉∪ (mâu thuẫn) Vì thế,  hữu hạn 2 compact (đpcm) Như ta chứng minh (ii) ⇒ (i) kết thúc định lí  KẾT LUẬN Kết nghiên cứu Với thời gian nghiên cứu hạn chế thu số kết tương đối khiêm tốn Tuy nhiên hoàn thành mục tiêu đề ra: • Xác lập mối liên hệ ba mệnh đề BPI, TPC( X ) “ X compact-n” cụ thể ZF, BPI ⇔ TPC( X ) “ X compact-n” với tập X cho trước với n ∈  Hơn nữa, ta khẳng định TPC( X ) không suy “ X compact-n” TPC( X ) không suy TP( X ) với tập X vô hạn • Cải tiến kết có tài liệu [14] cụ thể ta chứng minh BPI ⇔ “Với tập X, X Lindelöf ” thay trước BPI ⇔ “Với tập X, X Lindelöf ” CAC fin ta có “ X Lindelöf ” tương đương với TP( X ) • Chứng minh tiên đề chọn CAC không suy “ 2 compact-n” CAC(  ) không suy “ 2 compact-n” • Thiết lập mối quan hệ tương đương hai mệnh đề “ 2 compact” “ 2 có tính chất phủ cực tiểu” Hướng nghiên cứu Qua luận văn này, ta có kết BPI ⇔ TPC( X ) “ X compact-n” với tập X với n ∈  Như vậy, câu hỏi đặt với tập X n ∈  thỏa điều kiện BPI ⇔ “ X compact-n” ? TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Tráng (2005), Tôpô đại cương, NXB Đại học Sư phạm TP.HCM [2] Hoàng Xuân Sính (1972), Đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục [3] Ryszard Engelking (1988), General Topology, Heldermann Verlag Berlin [4] S Feferman (1995), Some applications of the notions of forcing and generic sets, Fund Math 56, 325-345 [5] P Howard, K Keremedis, J E Rubin, and A Stanley (2000), Compactness in Countable Tychonoff Products and Choice, Math Logic Quart 46, 3-16 [6] P Howard and J E Rubin (1998), Consequences of the Axiom of Choice, Math Surveys and Monographs, 59, Amer Math.Soc., Providence, RI [7] T J Jech (1973), The Axiom of Choice, North-Holland Publ Co., Amsterdam [8] T J Jech (2003), Set Thoery, The Third Millennium Edition, Revised and Expanded, Springer [9] K Keremedis (2000), The compactness of 2 and some weak forms of the axiom of choice, Math Logic Quart 46 No 4, 569-571 [10] K Keremedis (2005), Tychonoff Products of Two – Element Sets and Some Weakenings of the Boolean Prime Ideal Theorem, Bull Polish Acad Sci Math 53, 349359 [11] K Keremedis and H Herrlich (1999), Power of 2, Notre Dame Journal of Formal Logic Vo.40, No [12] Kenneth Kunen, Jerry E Vaughan (1984), Handbook of Set- Theoretic Topology, Elsevier Science Publishers B.V [13] K Kuratowski (1968), Topology, Academic Press Inc Ltd [14] K Keremedis, E Flouzis, and E Tachtsis (2007), On the compactness and countable compactness of 2 in ZF, Bull Polish Acad Sci Math 55, 293-302 [15] K Keremedis and E Tachtsis (2001), On Loeb and weakly Loeb Hausdorff spaces, Scient Math Jap 83 No 2, 413-422 [16] K Keremedis and E Tachtsis (2005), Countable sums and products of metrizable spaces in ZF, Math Log Quart 51, No.1, 95-103 [17] K Keremedis (2010), Tychonoff products of compact spaces in ZF and closed ultrafilters, Math Log Quart 56, No.5, 475-487 [18] Azriel Levy (2002), Basic Set Theory, Springer – Verlag Berlin Heidelberg [19] David Marker (2000), Introduction to Model Theory, MSRI Publications,Vo 39 [20] M Morillon, Notions of Compactness for Special Subsets of  I and Some Weak Forms of the Axiom of Choice, communicated manuscript [21] J Mycielski (1964), Two remarks on Tychonoff’s Product Theorem, Bull Acad Polon Sci., Vol XII No8, 439-441 [22] E Tachtsis, On the Set-Theoretic Strength of Countable Compactness of 2 [23] J Truss (1984), Cancellation laws for surjective cardinals, Ann Pure Appl Logic 27, 165-207 [24] Ulrich Felgner, Models of ZF- Set Theory, Springer Heidelberg 1971 [...]... biểu “ Với mỗi tập X thì 2 X là compact ” và đây là một phần của chứng minh “ 2 là compact với ℵ là một bản số xếp thứ tự ” mà không đòi hỏi hình thức lựa chọn trong chứng minh do đó nó là một định lí trong lí thuyết tập hợp ZF Phần này chúng ta sẽ xét đến hai sự mở rộng của tính compact đối với tích Tychonoff của 2 X , đó là, tính compact đếm được và compact- n Trong định lí 2. 1 dưới đây, chúng ta sẽ... gian compact T 2 đều là không gian Loeb (iii) ([15]) Trong ZF, mỗi không gian con đóng của không gian Loeb là một không gian Loeb Định lí 1 .2 ([9]) Trong ZF, với bất kì bản số xếp thứ tự ℵ nào, tích Tychonoff 2 là compact Định lí 1.3 (i) ([14]) Phát biểu “ 2 là compact đếm được” thì không chứng minh được trong ZF (ii) ([10]) Phát biểu CAC(  ) không suy ra được “ 2 là compact trong ZF Chương 2 TÍNH... (1), a (2) , các phần tử của A sao cho (∀n ∈ ω )(a (n) S a (n + 1)) 1.3.5 .2 Một số mô hình trong ZF a Mô hình 1 (mô hình gốc của Cohen) : các dạng 14, 15, 31, 60, 118, 128 , 163, 165, 191 và 27 7 đúng nhưng các dạng 13, 17, 50, 65, 106, 131, 144, 25 3, 28 9, 29 9, 300, 337, 338, 339 sai b Mô hình  2 (mô hình của Feferman) : các dạng 40, 1 42, 165, 20 4 đúng nhưng các dạng 88, 1 52, 163, 20 3, 22 2, 27 4 sai... “ 2 là compact Trong [14], phát biểu “ 2 là compact đếm được” cũng không là định lí trong ZF Tuy nhiên một câu hỏi cũng được đặt ra trong tài liệu này là, liệu mệnh đề CAC(  ) có suy ra được “ 2 là compact đếm được” và liệu “ 2 là compact đếm được” có suy ra được “ 2 là compact Đi theo những vấn đề này và ta đã có “ 2 là compact ” thì tương đương với “ 2 là compact đếm được” + “ 2 là compact- n... 2 TÍNH COMPACT ĐẾM ĐƯỢC VÀ COMPACT- n CỦA KHÔNG GIAN TYCHONOFF 2 X 2. 1 Các khái niệm mở đầu Với X là tập bất kì, khác rỗng 2 X là tích Tychonoff của không gian rời rạc 2 = {0,1} { Kí hiệu [p ]= f ∈ 2 X : p ⊂ f } Fn(X ,2) là tập hợp các hàm riêng hữu hạn từ X vào 2 Khi đó = X {[p] : p ∈ Fn(X , 2) } là cơ sở đóng -mở chuẩn của tôpô trên 2 X Với mỗi n ∈  , đặt Xn = n} ở đây p = n là số phần tử của miền... tích của họ đếm được các không gian compact là không gian compact (trong [5], định lí 6), định lí 2. 8 ở trên đã chỉ ra kết quả này không còn đúng trong ZF nữa nếu ta xét tích Tychonoff của họ không đếm được các không gian compact Ta cũng có một kết quả liên quan (trong [22 ]) i CAC + UF(ω ) suy ra “ Với mỗi tập X vô hạn, 2 X là compact đếm được” ii Trong mỗi mô hình hoán vị Fraenkel-Mostowski của ZFA(...  ⇒ H ∈ (2) Từ (1) và (2) suy ra  là một lọc trên 2 X và nó là siêu lọc trên 2 X Nếu  là một siêu lọc thì với mỗi x ∈ X đặt { } x = A ⊂ 2 : π x−1 ( A) ∈  với π x là phép chiếu chính tắc của 2 lên bản sao thứ x của 2 Rõ ràng, x là một siêu lọc trên 2 nên nó hội tụ về một điểm duy nhất ax ∈ 2 (vì 2 là không gian T2 và compact) ⇒  hội tụ về (ax ) x∈X Do vậy trong ZF mỗi siêu lọc trên 2 X đều hội... mỗi tập X, 2 X là compact đúng trong mô hình này Tuy nhiên, ta cũng đã biết trong [6] thì mệnh đề BPI không đúng trong mô hình này Do vậy, tồn tại một tập X trong mô hình sao cho 2 X không là compact và hệ quả theo định lí 2. 5 là tồn tại n ∈  sao cho 2 X không là compact- n  Như vậy, trái ngược với một định lí trong ZF là “Tích Tychonoff của họ đếm được các không gian compact là không gian compact. .. đầu và các tính chất được xác định bởi cách xây dựng và mô hình ban đầu Ý tưởng chính của sự mở rộng là từ một mô hình bắc cầu M (mô hình nền) của lý thuyết tập hợp ta thêm vào một tập G (tập sinh) để tạo thành một mô hình bắc cầu M[G] lớn hơn của lý thuyết tập hợp (sự mở rộng sinh) Tập sinh được xấp xỉ bởi điều kiện mở rộng trong mô hình nền và sự lựa chọn chính xác của các điều kiện mở rộng sẽ xác... đóng của X đều có tính chất giao hữu hạn, ∩ ≠ ∅ Một phủ  của X được gọi là phủ cực tiểu của X nếu với mỗi U ∈  ,  \{U } không là phủ của X Ta nói X có tính chất phủ cực tiểu nếu với mỗi phủ mở  của X có chứa một phủ con cực tiểu  Nhận xét: Trong ZF, mỗi không gian compact đều có tính chất phủ cực tiểu 1 .2. 1 .2 Compact hóa một điểm của một tập Giả sử X là một tập hợp bất kì Kí hiệu Xˆ là compact ... tính compact không gian Tychonoff X tính compact đếm compact- n Từ xét đến trường hợp đặc biệt với X =  Xét thấy tầm quan trọng báo, chọn đề tài luận văn “SỰ MỞ RỘNG TÍNH COMPACT CỦA LŨY THỪA TYCHONOFF. .. THỪA TYCHONOFF CỦA TRONG ZF Mục đích Nghiên cứu sức mạnh tính compact theo nghĩa lý thuyết tập hợp mở rộng tính compact không gian X 2 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Tính compact đếm compact- n (... tập hợp (sự mở rộng sinh) Tập sinh xấp xỉ điều kiện mở rộng mô hình lựa chọn xác điều kiện mở rộng xác định mở rộng sinh 1.3.6.1 Điều kiện mở rộng Cho M mô hình bắc cầu ZFC, mô hình Trong M ta