Sự mở rộng tính compact của lũy thừa tychonoff của 2 trong ZF

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH PHẠM THỊ TUYẾT SỰ MỞ RỘNG TÍNH COMPACT CỦA LŨY THỪA TYCHONOFF CỦA TRONG ZF LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh- 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH PHẠM THỊ TUYẾT SỰ MỞ RỘNG TÍNH COMPACT CỦA LŨY THỪA TYCHONOFF CỦA TRONG ZF Chun ngành: Hình học tơpơ Mã số: 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Hà Thanh Thành phố Hồ Chí Minh- 2011 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Hà Thanh, người tận tình hướng dẫn động viên nhiều suốt thời gian thực luận văn, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến giáo sư Kyriakos Keremedis, Department of Mathematics,University of The Aegean,Karlovassi, Samos 83200, Greece giáo sư Jan Mycielski, Department of Mathematics, University of Colorado at Boulder, USA cung cấp tài liệu dẫn quý báu cho Tôi xin chân thành cảm ơn: Ban chủ nhiệm Khoa thầy tổ Hình học, khoa Tốn trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh nhiệt tình giảng dạy giúp tơi nâng cao trình độ chun mơn phương pháp làm việc hiệu trình học cao học Ban lãnh đạo chuyên viên Phòng Sau đại học trường đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành luận văn Anh Trương Hồng Minh (Université Toulouse III Paul Sabatier, France), anh Lữ Hoàng Chinh (Université Toulouse III Paul Sabatier, France), bạn Hoàng Thị Thảo Phương (INRIA, France) hỗ trợ tơi nhiều việc tìm kiếm tài liệu tham khảo Các bạn lớp Hình học Tơpơ khóa 20 ln tơi chia sẻ khó khăn Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến gia đình bạn bè bên cạnh, quan tâm giúp đỡ mặt để hồn thành tốt khóa học MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU iv MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích Đối tượng phạm vi nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn Cấu trúc luận văn Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian tôpô 1.2 Một số lớp không gian tôpô 1.3 Lí thuyết tập hợp 1.4 Các định lí 13 Chương TÍNH COMPACT ĐẾM ĐƯỢC VÀ COMPACT-n CỦA KHƠNG GIAN TYCHONOFF 2X 15 2.1 Các khái niệm mở đầu 15 2.2 Các kết 16 Chương TÍNH COMPACT-n CỦA KHÔNG GIAN TYCHONOFF 29 KẾT LUẬN 34 Kết nghiên cứu 34 Hướng nghiên cứu 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 35 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU X compact TP( X ) : TPC( X ) : X compact đếm ( X ) \  có hàm chọn AC(X) : Dom(f) : miền xác định hàm f Ran(f) : miền giá trị hàm f p  f : p ánh xạ hạn chế f Với n  , AC fin( X ) : Mỗi họ tập hữu hạn khác rỗng X có hàm chọn AC(  n, X ) : Mỗi họ gồm tập  -phần tử khác rỗng X có hàm chọn CAC(  n, X ) : AC(  n, X ) hạn chế họ đếm ACdis (n, X ) : Mỗi họ rời tập n-phần tử khác rỗng X có hàm chọn CACdis (n, X ) : ACdis (n, X ) hạn chế họ đếm BPI : Mỗi đại số Boolean có ideal nguyên tố UF(  ): Tồn siêu lọc tự  CAC : AC hạn chế họ đếm tập khác rỗng CAC( ) : CAC hạn chế họ đếm tập khác rỗng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong Tốn học, khái niệm compact đóng vai trị quan trọng tơpơ tổng qt Như ta biết, có hai cách để định nghĩa khơng gian compact Định nghĩa Một không gian tôpô X gọi không gian compact phủ mở X chứa phủ hữu hạn Định nghĩa X compact họ gồm tập đóng X có tính chất giao hữu hạn, ∩   Từ định nghĩa thứ hai này, người ta tìm mối liên hệ tính compact dạng tiên đề chọn lý thuyết tập hợp Cụ thể hơn, nhà Tốn học quan tâm đến tính compact khơng gian Tychonoff X (với = {0, 1}), không gian ánh xạ từ X vào ={0, 1}, thiết lập mối tương quan tính chất compact mệnh đề lý thuyết tập hợp ZF Trong nghiên cứu này, J Mycielski [21] chứng minh lý thuyết tập hợp ZF, BPI  “Với tập X, X khơng gian compact” mà khơng địi hỏi dạng đặc biệt tiên đề chọn Trong báo khoa học mình, K Keremedis E Tachtsis xét đến hai mở rộng tính compact khơng gian Tychonoff X tính compact đếm compact-n Từ xét đến trường hợp đặc biệt với X  Xét thấy tầm quan trọng báo, chúng tơi chọn đề tài luận văn “SỰ MỞ RỘNG TÍNH COMPACT CỦA LŨY THỪA TYCHONOFF CỦA TRONG ZF” Mục đích Nghiên cứu sức mạnh tính compact theo nghĩa lý thuyết tập hợp mở rộng tính compact không gian X Đối tượng phạm vi nghiên cứu Tính compact đếm compact-n ( n  ) không gian X ZF Ý nghĩa khoa học thực tiễn Luận văn tài liệu tham khảo để hiểu rõ mở rộng tính compact X ZF Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương phần kết luận Trong đó, chương hai chương ba phần luận văn Cụ thể sau: Phần mở đầu: Giới thiệu khái quát đề tài Chương 1: Kiến thức chuẩn bị bao gồm khái niệm, mệnh đề có liên quan đến nội dung đề tài Chương 2: Tính compact đếm tính compact-n ( n  Chương 3: Tính compact-n ( n  ) không gian X ) không gian Phần kết luận: Đưa nhận xét vấn đề mở cần tiếp tục nghiên cứu sau đề tài Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, đưa sở lý thuyết nhằm phục vụ đề tài Các kiến thức chủ yếu chương kiến thức Ở đây, định lí, hệ kết phát biểu không chứng minh, trích dẫn từ tài liệu [9], [10], [14], [15] [21] 1.1 Không gian tôpô 1.1.1 Định nghĩa không gian tôpô Cho tập X Một họ  tập X gọi tôpô X thỏa điều kiện sau: 1 ) X,  thuộc  ;  ) Hợp tùy ý tập thuộc  thuộc  ;  ) Giao hữu hạn tập thuộc  thuộc  Tập X với tôpô X gọi khơng gian tơpơ, kí hiệu (X,  ) hay ngắn gọn X không cần rõ  tôpô X Các phần tử không gian gọi điểm Cho (X,  ) không gian tôpô Tập F  gọi tập mở X Tập A X gọi tập đóng X \ A tập mở 1.1.2 Lân cận Cho (X,  ) không gian tôpô x  X Tập V  X gọi lân cận x tồn tập mở G cho x V  G Nếu lân cận V x tập mở V gọi lân cận mở x 1.1.3 Cơ sở tiền sở Cho  tôpô X Một họ   gọi sở tôpô  phần tử  hợp họ phần tử  Hay nói cách khác,  sở  G  , x  G, V  : x V  G Một họ  tập tập hợp X gọi tiền sở tôpô  X họ giao số hữu hạn phần tử  tạo thành sở  Như họ   tiền sở  G  x  G tồn W1 ,W2 , ,Wn   cho x W1 ∩W2 ∩ ∩Wn  G Hiển nhiên, tơpơ hồn tồn xác định biết sở hay tiền sở 1.1.4 Cơ sở địa phương Một họ x lân cận x gọi sở địa phương x lân cận V x tồn lân cận U  x cho U  V 1.1.5 Điểm giới hạn Cho A tập không gian tôpô X x  X Nếu lân cận V x ta có V \ {x} ∩ A   x gọi điểm giới hạn hay điểm tụ tập A 1.1.6 Phần trong, bao đóng, trù mật Cho X không gian tôpô tập A  X  Ta gọi phần tập A hợp tất tập mở chứa A, kí hiệu A  Ta gọi bao đóng A giao tất tập đóng chứa A, kí hiệu A  Tập A gọi trù mật hay trù mật khắp nơi X A  X  Tập A trù mật không gian tôpô X x  X lân cận V x, V ∩ A   1.1.7 Định nghĩa Ti  không gian Cho X khơng gian tơpơ,  X gọi T0  không gian hai điểm khác x, y  X có lân cận x không chứa y lân cận y không chứa x  X gọi T1  không gian hai điểm khác x, y  X có lân cận x không chứa y lân cận y không chứa x  X gọi T2  không gian hay không gian Hausdorff hai điểm khác x, y  X tồn lân cận U x lân cận V y cho U ∩V    X gọi T3  không gian hay không gian quy X T1  khơng gian với x  X tập đóng F X không chứa x, tồn tập mở U, V cho x  U , F  V U ∩V    X gọi T  không gian hay không gian hồn tồn quy hay khơng gian Tychonoff X T1  không gian với x  X tập đóng F X không chứa x, tồn hàm liên tục f : X  [0,1] cho f ( x)  0, f ( y)  với yF 1.1.8 Tích khơng gian Cho  X ,  I họ không gian tôpô Đặt X  I X    : X  X  phép chiếu hay ánh xạ tọa độ thứ  Các không gian X  gọi khơng gian tọa độ Ta gọi tơpơ tích X tôpô yếu để tất phép chiếu   liên tục Như vậy, tơpơ tích có tiền sở họ tất tập  1 (U  ) , U   ,   I hay có sở n họ tất tập dạng i 1  i1 (Ui ),Ui  i , 1 , , , n  I Tơpơ tích cịn gọi tơpơ Tychonoff Tập X với tơpơ Tychonoff gọi tích họ không gian cho 1.2 Một số lớp không gian tôpô 1.2.1 Không gian compact 1.2.1.1 Định nghĩa không gian compact Gọi G tập không đếm 2∪ Ta chứng minh phản chứng, giả sử G khơng có điểm giới hạn nào, G tập đóng Ta xét họ tập mở 2∪   [p]  Ta có 2∪ sau  :  [p] ∩ G  1  [p] ⊂ 2∪ \ G phủ 2∪ , theo giả thiết Dễ thấy G  với   [p]   có phủ đếm : [p] ∩ G  1 Suy tập G đếm (mâu thuẫn) Vậy ta chứng minh bổ đề xong Bây quay trở lại việc chứng minh định lí, với i   , đặt     Bi  f  2∪ :  j  i, f 1 (1) ∩ Aj  ∧  j  i, Aj  f 1 (0) Vì  họ đếm tập hữu hạn nên Bi định nghĩa hữu hạn với i   Đặt B ∪ Bi : i   Ta xét hai trường hợp sau Trường hợp 1: Nếu B  0 Ta đánh số lại phần tử B lấy phần tử nhỏ từ Bi tương ứng với cách đánh số B, ta dễ dàng xác định hàm chọn Trường hợp 2: Nếu B  0 Theo bổ đề, B có điểm giới hạn g Ta chứng minh g 1 (1) ∩ Ai  với i   Giả sử ngược lại g 1 (1) ∩ Ai0  với i0   Lúc dẫn đến hai trường hợp sau: (2a) Nếu Ai0  g 1 (0)     Suy Og    x,0  : x  Ai0  lân cận g giao với ∪ B j : j  i0 không hữu hạn phần tử Điều mâu thuẫn g điểm giới hạn B, lân cận g phải giao với B tập vô hạn ( 2∪ không gian Hausdorff) (2b) Nếu g 1 (1) ∩ Ai0  Lấy x, y  Ai0 cho g ( x)  g ( y)  Xét lân cận Og   x,1 ,  y,1 g Theo định nghĩa B ta có Og ∩ B   (mâu thuẫn g điểm giới hạn B) Từ hai trường hợp (2a) (2b) ta suy với i   , g 1 (1) ∩ Ai  Suy C  g 1 (1) tập chọn Như qua định lí 2.5 câu hỏi tự nhiên đặt điều kiện “ X compact-n ” thực cần thiết cho mối quan hệ tương đương “ X compact” “ X compact đếm ” Ở định lí 2.8, trả lời cho câu hỏi trên, nghĩa là, tồn tập X cho X compact đếm khơng compact Vì vậy, khơng có kết TPC( X )  BPI Trước hết, cần đến định nghĩa hội tụ lọc Định nghĩa 2.7 Cho (X, T) không gian tôpô điểm x  X lân cận mở x thuộc vào lọc X Ta nói hội tụ Định lí 2.8 Trong ZF, ta không chứng minh với tập X vô hạn với n  , X compact đếm được” suy “ X compact-n” Nói riêng, ta khơng chứng minh ZF với tập vô hạn X, X compact đếm suy X compact Chứng minh Lấy X tập vô hạn Trước hết ta chứng minh bổ đề sau Bổ đề “ X Loeb đếm được” + UF    suy X compact đếm Chứng minh bổ đề Cố định họ lồng vào  Gi : i   tập đóng X Ta cần chứng minh ∩  Giả sử ∩   Gọi h hàm chọn  0 ∩   suy A  ran(h) tập vô hạn đếm Vì Gọi siêu lọc tự A Đặt Ta kiểm tra   Y  2X : Y ∩ A   siêu lọc X + Lấy G1 , G2  G ∩ A   G2 ∩ A  G ∩ A    G2 ∩ A    G1 ∩G2   (1) + Lấy G  , G  H Do G  nên G ∩ A   G ∩ A   H ∩ A siêu lọc tự A nên  H ∩ A   Mà H (2) Từ (1) (2) suy siêu lọc với x  X đặt Nếu x lọc X siêu lọc X   A  :  x1 ( A)  Rõ ràng, x  với  x phép chiếu tắc lên thứ x siêu lọc nên hội tụ điểm ax  (vì khơng gian T2 compact)  hội tụ (ax ) xX Do ZF siêu lọc X hội tụ  Vì hội tụ g  X siêu lọc tự nên với lân cận mở O g g Og ∩ A tập vô hạn  g ∩ ( mâu thuẫn) Suy X compact đếm Mặt khác, mơ hình 47(n, M ) Pincus [6] thỏa mãn điều kiện UF() tiên đề chọn hạn chế họ đếm tập khác rỗng (xem [6]) Vì tiên đề chọn hạn chế họ đếm tập rỗng suy X Loeb đếm với tập X Suy bổ đề cho trường hợp 47(n, M ) Vì vậy, theo bổ đề ta có “Với tập X, X compact” mơ hình Tuy nhiên, ta biết [6] mệnh đề BPI khơng mơ hình Do vậy, tồn tập X mơ hình cho X khơng compact hệ theo định lí 2.5 tồn n  cho X không compact-n Như vậy, trái ngược với định lí ZF “Tích Tychonoff họ đếm khơng gian compact không gian compact đếm tích họ đếm khơng gian compact khơng gian compact” (trong [5], định lí 6), định lí 2.8 kết không cịn ZF ta xét tích Tychonoff họ không đếm không gian compact Ta có kết liên quan(trong [22]) i CAC + UF() suy “ Với tập X vô hạn, X compact đếm được” ii Trong mơ hình hốn vị Fraenkel-Mostowski ZFA( tức ZF thừa nhận đơn tử), CAC suy “ với tập vô hạn X, X compact đếm được” Bây giờ, xét độ mạnh theo nghĩa lý thuyết tập hợp hai mệnh đề “ X Loeb” “ X \ 0 Loeb”    A hàm đặc trưng A Đặc biệt, chứng minh mệnh đề “ X Loeb” kéo theo AC fin( X ) “ X \ {0} Loeb” tương đương với AC(X) Định lí 2.9 Cho X tập (i) “ X Loeb”  ( Xˆ Loeb)  AC fin( X ) , Xˆ compact hóa điểm không gian rời rạc X (ii) “ X \ 0 Loeb” suy “ X Loeb” Tuy nhiên, tương đối quán ZF tồn tập A cho A Loeb A \ 0 không Loeb đếm (iii) “ X \ 0 Loeb” AC(X) Chứng minh a) Chứng minh (i)   Ta có Xˆ đồng phơi với khơng gian đóng Y  x : x  X ∪ 0 X Vì X Loeb theo định lí 1.1, Y Loeb Suy Xˆ Loeb Khẳng định thứ (i) kết Morillon [20] b) Chứng minh (ii)  Gi : i  I  tập đóng X Lấy họ Suy    '  Gi ∩ (2 X \ 0) : i  I họ tập đóng X \ 0 ' có hàm chọn f ( X \ 0 Loeb) Suy có hàm chọn f hay X Loeb(đpcm) Đối với khẳng định thứ hai (ii) xét mơ hình Ta thấy mệnh đề BPI xảy Cohen [6] ; xem [6] Vì BPI suy “ X compact với X ” “Khơng gian compact T2 Loeb” (định lí 1.1) nên suy , X Loeb với tập X ” Kế tiếp, ta chứng minh tồn tập A đóng khác rỗng A \ 0 mà họ đếm gồm tập khơng có hàm chọn Gọi A tập tất số thực Cohen thêm vào  A khơng có tập vơ hạn đếm mơ hình ( xem [6]) Hơn nữa, A trù mật (xem [6]) đồng phơi với 1,   nên ta biểu diễn A sau A ∪  An : n  ,  An  (n, n  1) ∩ A   Bn  x : x  An ∪ 0 tập đóng A   Bn \ 0 : n   họ đếm tập đóng, khác rỗng A \ 0 Nếu g   n,   : n   hàm chọn đếm A(điều không Do C  xn : n  xn   tập vô hạn ) khơng có hàm chọn Suy A \ 0 không Loeb đếm c) Chứng minh (iii) Giả sử X \ 0 Loeb    A  x : x  X tập đóng, rời rạc tương đối X \ 0  A Loeb suy A thứ tự tốt (vì A khơng gian Loeb rời rạc  A \ 0 có hàm chọn) Vì thứ tự A cảm sinh thứ tự X, dẫn đến AC(X) xảy Ngược lại, ta giả sử AC(X)  X thứ tự tốt (chứng minh đồng làm với chứng minh ZF, AC suy tập thứ tự tốt, định lí 5.1 [8] ) Đặt X   , với  số thứ tự tốt  X Loeb(theo kết Morillon [20] )   Ai : i  I  gồm tập đóng X \ 0 Lấy họ Đặt  {A   {A  : điểm giới hạn A X mà không thuộc A}  Rõ ràng : A đóng X } ∪ Vì X Loeb nên có hàm chọn h Gọi On : n  phép đánh số sở X tập hợp tất tập hữu hạn    Với A  , đặt nA  n  : On ∩ A   ,0  Onc  X    X  có lực lượng với  ZF  Dễ thấy tập   OnA ∩ A : A   họ tập đóng X (vì với A tất điểm giới hạn OnA ∩ A X rỗng ) Vì vậy, có hàm chọn g Thế f  g∪ h hàm chọn Như định lí chứng minh xong , tập Chương TÍNH COMPACT-n CỦA KHÔNG GIAN TYCHONOFF Tương tự với phát biểu “Với tập X, X compact”, J Truss [23] quan tâm tới mệnh đề “ compact” [6] tác giả xem xét việc liệu có định lí ZF hay không Trong [9], người ta đưa câu trả lời phủ định cho câu hỏi Hơn nữa, [10] người ta chứng minh tiên đề chọn yếu CAC( ) không thỏa mãn để chứng minh phát biểu “ compact” Trong [14], phát biểu “ compact đếm được” không định lí ZF Tuy nhiên câu hỏi đặt tài liệu là, liệu mệnh đề CAC( ) có suy “ compact đếm được” liệu “ compact đếm được” có suy “ compact” Đi theo vấn đề ta có “ compact ” tương đương với “ compact đếm được” + “ compact-n với n >1”, thiết lập ZF điều kiện CAC, CAC( ), khơng suy “ n  1, compact-n” Cuối định lí 3.12 ta chứng minh ZF, “ compact” tương đương với phát biểu “ có tính chất phủ cực tiểu” Đầu tiên, cần kết sau Định lí 3.10 Với số nguyên n  , compact-n, họ  n -phần tử   cho ∪ tập rời nhau, có tập chọn Đặc biệt, phát biểu “ Với số nguyên n  , compact-n” khơng chứng minh ZF Chứng minh Ta chứng minh cách quy nạp theo n Với n = 2, giả sử Giả sử   cho compact-2 đặt  Ti : i  I  họ gồm tập 2-phần tử rời khơng có tập chọn Xét họ tập đóng mở 2-cơ sau:   [p]   : ( a  2)  ( i  I , X  Ti , p 1 (a) ∩ X  1) Ta chứng minh phủ Lấy f  với a  i  I tồn X  Ti cho f 1 (a) ∩ X   Nếu f ∪ Tập f 1 (0) xác định tập chọn cho Điều mâu thuẫn với giả thiết  f 1 (0) ∩  Ti  : i  I  tập chọn Do tồn i  I a  cho f 1 (a) giao với phần tử Ti Vì f ∪ phủ Mặt khác, ta kiểm tra khơng có phủ hữu hạn nào, mâu thuẫn với giả thiết compact-2 Vì có tập chọn Giả sử với m < n, compact-m, họ   cho tập  m -phần tử rời nhau, có tập chọn Chúng ta thiết lập kết điều kiện compact-n, với n > Theo bổ đề 3.4, ta có với số nguyên dương m < n, compact-m, theo giả thiết quy nạp ta suy với m < n, họ   tập  m -phần tử cho rời nhau, có tập chọn Bây giờ, ta cố định họ  Ti : i  I  gồm tập  n -phần tử   cho rời Theo giả thiết quy nạp n hữu hạn nên ta giả sử mà khơng tính tổng qt Ti  n với i  I Ta chứng minh phản chứng, giả sử khơng có tập chọn Xét họ tập n-cơ đóng mở sau   [p]  n  : ( a  2)  ( i  I , X  Ti , p 1 (a) ∩ X  1) Ta tiếp tục chứng minh phủ Lấy f  Nếu f ∪ với a  i  I tồn X  Ti cho f 1 (a) ∩ X   khơng có tập chọn nên kết luận với i  I với Vì a  tồn phần tử Ti mà ảnh qua f a Với i  I , đặt  Si  f 1 (0) ∩ X : X  Ti   Si : i  I  Vì với i  I , tập Ti có n phần tử, dẫn đến tồn số m < n cho Si  m với iI Lấy m0 số nhỏ số m Vì m0 < n nên compact- m0 , theo giả thiết quy nạp suy có tập chọn Điều mâu thuẫn với giả thiết có tập chọn và phủ Mặt khác, khơng khó để kiểm tra thiết compact-n Do đó, khơng có phủ hữu hạn nào, mâu thuẫn với giả khơng có tập chọn Phép quy nạp kết thúc chứng minh cho khẳng định thứ định lí Đối với khẳng định thứ hai định lí, ta dùng dẫn chứng mơ hình Feferman; mơ hình [6] Trong tồn họ tập rời gồm tập 2-phần tử   mà hợp khơng có hàm chọn mơ hình này; xem [4] [6] Đặc biệt, họ có tính chất sau:   X , \ X  : X   () , Trong X  () ,  X   Y  ( ) : X △Y  0  △ kí hiệu cho phép tốn lấy hiệu đối xứng tập hợp Do đó, phát biểu “ compact-2” khơng xảy , theo bổ đề 2.4 ta suy không compact-n với số nguyên n >1 Như định lí chứng minh xong Định lí 3.11 Trong ZF , điều kiện CAC không suy “ Với số nguyên n > 1, compact-n” Chứng minh Trong mơ hình Feferman [6], tiên đề chọn AC với họ thứ tự tốt tập khác rỗng, tiên đề chọn CAC xảy ra(xem [3]), theo chứng minh khơng compact-2 mơ hình Định lí 3.12 Các phát biểu sau tương đương ZF: (i) compact (ii) có tính chất phủ cực tiểu Chứng minh a) Chứng minh (i)  (ii) Điều hiển nhiên ZF, khơng gian compact có tính chất phủ cực tiểu b) Chứng minh (ii)  (i) Đầu tiên cần bổ đề sau Bổ đề “ có tính chất cực tiểu” suy “ compact đếm được” Chứng minh  Fn : n   gồm tập đóng lồng vào với tính chất Cố định họ giao hữu hạn  Ta giả sử ∩ Thế  Gn : n   , với Gn  Fnc với n   , phủ mở Ta gọi phủ cực tiểu Vì có tính chất giao hữu hạn, nên Lấy H   vơ hạn \ H  Vì phủ cực tiểu , ta suy ∪ Vì  0   J  ∩ I c : I   lồng vào nhau, nên phần tử f  J phần tử ∩ (mâu thuẫn với giả thiết) Do bổ đề chứng minh xong Bây ta chứng minh compact Lấy phủ mở lấy phủ cực tiểu Ta khẳng định hữu hạn Bằng cách dùng phản chứng, giả sử Vì   (do với n  Hơn nữa,   vô hạn  20 ), ta biểu diễn ∪  : n , n n1 phủ cực tiểu Gn  ∩ V c : V  n  nên suy với n   Gn : n   Dựa vào bổ đề ta có compact đếm Lấy f ∩ , rõ ràng f ∪ , họ tập đóng giao hữu hạn Vì thế, n (mâu thuẫn) hữu hạn compact (đpcm) Như ta chứng minh (ii)  (i) kết thúc định lí có tính chất KẾT LUẬN Kết nghiên cứu Với thời gian nghiên cứu hạn chế thu số kết tương đối khiêm tốn Tuy nhiên chúng tơi hồn thành mục tiêu đề ra:  Xác lập mối liên hệ ba mệnh đề BPI, TPC( X ) “ X compact-n” cụ thể ZF, BPI  TPC( X ) “ X compact-n” với tập X cho trước với n  Hơn nữa, ta khẳng định TPC( X ) không suy “ X compact-n” TPC( X ) không suy TP( X ) với tập X vô hạn  Cải tiến kết có tài liệu [14] cụ thể ta chứng minh BPI  “Với tập X, X Lindelưf ” thay trước BPI  “Với tập X, X Lindelưf ” CAC fin ta có “ X Lindelöf ” tương đương với TP( X )  Chứng minh tiên đề chọn CAC không suy “ compact-n” CAC( ) khơng suy “ compact-n”  Thiết lập mối quan hệ tương đương hai mệnh đề “ compact” “ có tính chất phủ cực tiểu” Hướng nghiên cứu Qua luận văn này, ta có kết BPI  TPC( X ) “ X compact-n” với tập X với n  Như vậy, câu hỏi đặt với tập X n  BPI  “ X compact-n” ? thỏa điều kiện TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Tráng (2005), Tôpô đại cương, NXB Đại học Sư phạm TP.HCM [2] Hồng Xn Sính (1972), Đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục [3] Ryszard Engelking (1988), General Topology, Heldermann Verlag Berlin [4] S Feferman (1995), Some applications of the notions of forcing and generic sets, Fund Math 56, 325-345 [5] P Howard, K Keremedis, J E Rubin, and A Stanley (2000), Compactness in Countable Tychonoff Products and Choice, Math Logic Quart 46, 3-16 [6] P Howard and J E Rubin (1998), Consequences of the Axiom of Choice, Math Surveys and Monographs, 59, Amer Math.Soc., Providence, RI [7] T J Jech (1973), The Axiom of Choice, North-Holland Publ Co., Amsterdam [8] T J Jech (2003), Set Thoery, The Third Millennium Edition, Revised and Expanded, Springer [9] K Keremedis (2000), The compactness of and some weak forms of the axiom of choice, Math Logic Quart 46 No 4, 569-571 [10] K Keremedis (2005), Tychonoff Products of Two – Element Sets and Some Weakenings of the Boolean Prime Ideal Theorem, Bull Polish Acad Sci Math 53, 349359 [11] K Keremedis and H Herrlich (1999), Power of 2, Notre Dame Journal of Formal Logic Vo.40, No [12] Kenneth Kunen, Jerry E Vaughan (1984), Handbook of Set- Theoretic Topology, Elsevier Science Publishers B.V [13] K Kuratowski (1968), Topology, Academic Press Inc Ltd [14] K Keremedis, E Flouzis, and E Tachtsis (2007), On the compactness and countable compactness of in ZF, Bull Polish Acad Sci Math 55, 293-302 [15] K Keremedis and E Tachtsis (2001), On Loeb and weakly Loeb Hausdorff spaces, Scient Math Jap 83 No 2, 413-422 [16] K Keremedis and E Tachtsis (2005), Countable sums and products of metrizable spaces in ZF, Math Log Quart 51, No.1, 95-103 [17] K Keremedis (2010), Tychonoff products of compact spaces in ZF and closed ultrafilters, Math Log Quart 56, No.5, 475-487 [18] Azriel Levy (2002), Basic Set Theory, Springer – Verlag Berlin Heidelberg [19] David Marker (2000), Introduction to Model Theory, MSRI Publications,Vo 39 [20] M Morillon, Notions of Compactness for Special Subsets of I and Some Weak Forms of the Axiom of Choice, communicated manuscript [21] J Mycielski (1964), Two remarks on Tychonoff’s Product Theorem, Bull Acad Polon Sci., Vol XII No8, 439-441 [22] E Tachtsis, On the Set-Theoretic Strength of Countable Compactness of [23] J Truss (1984), Cancellation laws for surjective cardinals, Ann Pure Appl Logic 27, 165-207 [24] Ulrich Felgner, Models of ZF- Set Theory, Springer Heidelberg 1971 ... CỦA LŨY THỪA TYCHONOFF CỦA TRONG ZF? ?? Mục đích Nghiên cứu sức mạnh tính compact theo nghĩa lý thuyết tập hợp mở rộng tính compact khơng gian X Đối tượng phạm vi nghiên cứu Tính compact đếm compact- n... tập hợp (sự mở rộng sinh) Tập sinh xấp xỉ điều kiện mở rộng mô hình lựa chọn xác điều kiện mở rộng xác định mở rộng sinh 1.3.6.1 Điều kiện mở rộng Cho M mơ hình bắc cầu ZFC, mơ hình Trong M ta... DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH PHẠM THỊ TUYẾT SỰ MỞ RỘNG TÍNH COMPACT CỦA LŨY THỪA TYCHONOFF CỦA TRONG ZF Chun ngành: Hình học tơpơ Mã số: 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN