CHUYEN DE HINH HOC KHONG GIAN

Viết Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng phương trình đường thẳng d nằm trong P sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng ... Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm[r]

Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN A LÝ THUYẾT I TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VECTƠ    i A Hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi vuông góc với với ba vectơ đơn vị , j , k    i  j  k 1          a a ; a ; a  a a1i  a2 j  a3 k   OM  xi  y j  zk B ; M(x;y;z)   u ( x ; y ; z ), v ( x '; y '; z ') z C Tọa độ vectơ: cho   u v  x x '; y  y '; z z '  u v  x x '; y y '; z z '   k 0;0;1 ku (kx; ky; kz )     u.v xx ' yy ' zz '   u  v  xx ' yy ' zz ' 0  2 u  x  y z O z x x y  ;   yz ' y ' z; zx ' z ' x; xy ' x ' y   x y ' z ' z ' x ' x ' y '       u , v [ u cùng phương , v] 0    y z  j  0;1;0  u  v   ;  i  1; 0;0    u.v cos u , v      u.v D Tọa độ điểm: cho A(xA;yA;zA), B(xB;yB;zB)  AB  ( xB  x A )  ( yB  y A )  ( z B  z A ) AB ( xB  x A ; yB  y A ; z B  z A ) 3.G là trọng tâm tam giác ABC ta có: x A  xB  xC y A  yB  yC z A  zB  zC 3 xG= ;yG= ; zG= x  kxB y  ky B z  kz B xM  A ; yM  A ; zM  A ; 1 k 1 k 1 k M chia AB theo tỉ số k: x  xB y  yB z  zB xM  A ; yM  A ; zM  A 2 Đặc biệt: M là trung điểm AB:      AB  AC ABC là tam giácAB  AC 0 đó S=       AB  AC , AD S BCD h AB  AC ABCD là tứ diện AD 0, VABCD= , VABCD= (h là đường cao tứ diện hạ từ đỉnh A)   I Mặt phẳng II PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG & MẶT  Mặt phẳng  xác định bởi: M(x0;y0;z0), n ( A; B; C )  Phương trình tổng quát mặt phẳng : Ax+By+Cz+D=0, tìm D từ Ax0+By0+Cz0+D=0 hay A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0Ax+By+Cz+D=0  số mặt phẳng thường gặp: a/ Mặt phẳng (Oxy): z=0; mặt phẳng (Oxz): y=0; mặt   phẳng (Oyz): x=0  n( ABC ) [ AB, AC ] b/ Mặt phẳng qua ba điểm   A,B,C: có       n n n u u  u n  d c/    d/  và ngược lại e/  d  f/ d  ud y II Đường thẳng Đường congIV III Góc- Kh/C  u Đường thẳng  xác định bởi: M(x0;y0;z0),  =(a;b;c) i.Phương trình tham số:  x x0  at   y  y0  bt  z z  ct  ; x  x0 y  y0 z  z0   b c ii.Phương trình chính tắc: a  A1 x  B1 y  C1 z  D1 0   A2 x  B2 y  C2 z  D2 0 đó iii.Đường thẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng:     n1 ( A1 ; B1 ; C1 ) , n2 ( A2 ; B2 ; C2 ) là hai VTPT và VTCP u [n1 n2 ] †Chú ý:  x 0  y 0  x 0    z 0 z 0 y 0   a/ Đường thẳng Ox: ; Oy:   ; Oz:      u  u u n 2 b/ (AB): u AB  AB ; c/ 12  ; d/ 1 2  Góc hai đườngthẳng  *cos(,’)=cos= u.u '   u u' ; Góc haimp  *cos(,’)=cos= n.n '   n n' Góc đường thẳng  và mp ; *sin(,)=sin= n.u   n.u KHOẢNG CÁCH  u  , Cho M (xM;yM;zM), :Ax+By+Cz+D=0,:M (x ;y ;z ), 0 0  u ’ M’0(x0';y0';z0'), '  AxM  ByM  CZ M  D A2  B  C  [ MM , u ]  u * Khoảng cách từ M đến đường thẳng : d(M,)=    [u, u '].M M '0  [u , u '] * Khoảng cách hai đường thẳng: d(,’)= * Khoảng cách từ M đến mặt phẳng : d(M,)= III PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Mặt cầu (S)I(a;b;c),bán kính R Dạng 1: (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 (S) Dạng 2: x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 đó R= a  b  c  d d(I, )>R:   (S)= d(I, )=R:   (S)=M (M gọi là tiếp điểm) *Điều kiện mặt phẳng  tiếp xúc mặt cầu (S): d(I, )=R (mặt phẳng  là tiếp diện mặt cầu (S) M  để  đó n = IM ) Nếu d(I, )<R thì  cắt mc(S) theo đường tròn (C) có phương trình là giao  và (S) Để tìm tâm H và bán kính r (C) ta làm sau: 2 R2 - d ( I , ) a Tìm r = b Tìm H: +Viết phương trình đường thẳng  qua I, vuông góc với  +H=   (toạ độ điểm H là nghiệm hệ phương trình  với ) B BÀI TẬP (Khối D_2009) Chuẩn Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;1;0), B(1;2;2), C(1;1;0) và mặt phẳng (P):x+y+z20=0 Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P) Nâng cao x2 y z :   1  vặt phẳng (P):x+2y3z+4=0 Viết Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng phương trình đường thẳng d nằm (P) cho d cắt và vuông góc với đường thẳng   x   t  d  y 1  2t  z 1  t  5  D  ; ;  1  , Nâng cao ĐS: Chuẩn  2 (Khối D_2008) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3) a Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D b Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ĐS: a x2+y2+z23x3y3z=0, b H(2;2;2) (Khối D_2007) x y2 z   1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;4;2), B(1;2;4) và đường thẳng a Viết phương trình đường thẳng d qua trọng tâm G tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB) b Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng  cho MA2+MB2 nhỏ : x y z   1 , b M(1;0;4) ĐS: a (Khối D_2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng x y2 z x  y  z 1 d1 :   d1 :   1 , 1 a Tìm tọa độ điểm A’ đối xưmgs với điểm A qua đường thẳng d1 b Viết phương trình đường thẳng  qua A, vuông góc với d1 và cắt d2 d: ĐS: : a A’(1;4;1), b (Khối D_2005) x y z   3 5  x 12  3t  d2 :  y  t  z 10  2t  x  y  z 1   1 và Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng a Chứng minh d1 và d2 song song với Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d1 và d2 b Mặt phẳng tọa độ Oxz cắt hai đường thẳng d1, d2 các điểm A, B Tính diện tích tam giác OAB (O là gốc tọa độ) d1 : ĐS: a 15x+11y17z10=0, b SOAB 5 (Khối D_2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và mặt phẳng (P):x+y+z2=0 Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P) 2 x  1  y   z  1 1 ĐS:  (Khối D_2003) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gian cho đường thẳng dk là giao tuyến hai mặt phẳng (): x+3kyz+2=0, (): kxy+z+1=0 Tìm k để đường thẳng dk Vuông góc với mặt phẳng (P):xy2z+5=0 ĐS: k=1 (Khối D_2002) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gian cho mặt phẳng (P): 2xy+2=0 và đường thẳng dm là giao tuyến hai mặt phẳng (): (2m+1)x+(1m)y+m1=0, (): mx+(2m+1)z+4m+2=0 Tìm m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P) m  ĐS: (Khối B_2009) Chuẩn Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diệm ABCD có các đỉnh A(1;2;1), B(2;1;3), C(2;1;1) và D(0;3;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cho khoảng cách từ C đến (P) khoảng cách từ D đến (P) Nâng cao Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x2y+2z5=0 và hai điểm A(3;0;1), B(1;1;3) Trong các đường thẳng qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ : x 3 y z    26 11  ĐS: Chuẩn (P): 2x+3z5=0, Nâng cao 10 (Khối B_2008) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1;2), B(2;2;1), C(2;0;1) a Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C b Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng 2x+2y+z3=0 cho MA=MB=MC ĐS: a x+2y4z+6=0, b M(2;3;7) 11 (Khối B_2007) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2+y2+z22x+4y+2z3=0 và mặt phẳng (P): 2xy+2z14=0 a Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo đường tròn có bán kính b Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) cho khoảng cách từ M dến mặt phẳng (P) lớn ĐS: a y2z=0, b M(1;1;3) 12 (Khối B_2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2) và hai đường thẳng  x 1  t  x y  z  d :  y   2t d1 :    z 2  t  1 , a Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d1, d2 b Tìm tọa độ điểm M thuộc d1, N thuộc d2 cho A, M, N thẳng hàng ĐS: a (P): x+3y+5z13=0, b M(0;1;1), N(0;1;1) 13 (Khối B_2005) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với A(0;3;0), B(4;0;0), C(0;3;0), B(4;0;4) a Tìm tọa độ các đỉnh A1, C1 Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCB1C1) b Gọi M là trung điểm A1B1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A, M và song song với BC1 Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A1C1 điểm N Tính độ dài đoạn MN 17 ĐS: 14 (Khối B_2004) MN  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(4;2;4) và đường thẳng đường thẳng  qua điểm A, cắt và vuông góc với đường thẳng d  x   2t  d :  y 1  t  z   4t  Viết phương trình x4 y2 z   1 ĐS: 15 (Khối B_2003) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(2;0;0), B(0;0;8) và điểm C cho khoảng cách từ trung điểm I BC đến đường thẳng OA  AC  0; 6;  Tính ĐS: Khoảng cách 16 (Khối A_2009) Chuẩn Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x2yz4=0 và mặt cầu (S): x2+y2+z22x4y6z11=0 Chứng minh (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn Xác định tọa độ tâm và bán kính đường tròn đó Nâng cao x 1 y z  1 :   1 , Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x2y+2z1=0 và hai đường thẳng x  y  z 1 2 :    Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng 1 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P)  18 53  M2  ; ;   35 35 35  ĐS: Chuẩn H(3;0;2), r=4 Nâng cao M1(0;1;3), 17 (Khối A_2008) d: x y z   2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng a Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc điểm A lên đường thẳng d b Viết phương trình mặt phẳng () chứa d cho khoảng cáh từ A đến () lớn ĐS: a H(3;1;4), (): x4y+z3=0 18 (Khối A_2007) d1 : x y z2   1 và  x   2t  d :  y 1  t  z 3  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng a Chứng minh d1 và d2 chéo b Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x+y4z=0 và cắt hai đường thẳng d1, d2 x  y z 1   4 ĐS: 19 (Khối A_2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;01) Gọi M, N là trung điểm AB và CD a Tính khoảng cách đường thẳng A’C và MN cos   b Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy góc  biết d: d  A ' C , MN   ĐS: a 20 (Khối A_2005) 2 , (Q1): 2xy+z1=0, (Q2): x2yz+1=0 x  y 3 z    và mặt phẳng (P): 2x+y2z+9=0 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d:  a Tìm tọa độ điểm I thuộc d cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) b Tìm tọa độ giao điểm A đường thẳng d và mặt phẳng (P) Viết phương trình tham số đường thẳng  nằm mặt phẳng (P), biết  qua A và vuông góc với d ĐS: a I1(3;5;7), I2(3;7;1) 21 (Khối A_2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD gốc tọa độ S 0; 0; 2 O Biết A(2;0;0), B(0;1;0), Gọi M là trung điểm cạnh SC a Tính góc và khoảng cách hai đường thẳng SA, BM b Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD điểm N Tính thể tích khối chóp S.ABMN   d  SA, BM   , b VS AMN  ĐS: a 22 (Khối A_2002) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng:  x 1  t   :  y 2  t  z 1  2t  x y2 z   và a Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng 1 và song song với đường thẳng 2 b Cho điểm M(2;1;4) Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng 2 cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ 1 : ĐS: a 2xz=0, b H(2;3;4) 23 (CĐ_Khối A_2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các mặt phẳng (P1): x+2y+3z+4=0 và (P2): 3x+2yz+10 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A(1;1;1), vuông góc với hai mặt phẳng (P1) và (P2) ĐS: (P): 4x5y+2z10 24 (CĐ_Khối A_2008) x y z   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;1;3) và đường thẳng d có phương trình  a Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với đường thẳng d b Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d cho tam giác MOA cân đỉnh O ĐS: a xy+2z6=0  5 7 M  1;  1; 3 , M   ; ;    3 3 b