0. Bµi 2: Cho h×nh chãp SABCD .§Ønh ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng cã A(-4,5,0) ,®¬ngf chÐo BD cã ph¬ng tr×nh : a) T×m to¹ ®é c¸c ®Ønh cña h×nh chãp . b) LËp ph¬ng tr×nh nÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp. c) LËp ph¬ng tr×nh mÆt cÇu néi tݪp h×nh chãp. Bµi 3: Cho ba ®iÓm A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3). a) ViÕt ph¬ng tr×nh tæng qu¸t c¸c mÆt ph¼ng (0AB), (0BC), (0CA), (ABC). b) X¸c ®Þnh t©m I cña mÆt cÇu néi tiÕp tø diÖn 0ABC . c) T×m to¹ ®é ®iÓm J ®èi xøng víi I qua mÆt ph¼ng (ABC). Bµi 4: (HVKTMM-99):Cho bèn ®iÓm A(1;2;2), B(-1;2;-1), C(1;6;-1), D(-1;6;2). a) CMR tø diÖn ABCD cã c¸c cÆp c¹nh ®èi diÖn b»ng nhau. b) X¸c ®Þnh to¹ ®é träng t©m G cña tø diÖn . c) ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD. d) ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt cÇu néi tiÕp tø diÖn ABCD. Bµi to¸n 8: VÞ trÝ t¬ng ®èi cña ®iÓm vµ mÆt cÇu Bµi 1: Cho mÆt cÇu .xÐt vÞ trÝ tpng ®èi cña ®iÓm A ®èi víi mÆt cÇu (S) trong c¸c trêng hîp sau: a) ®iÓm A(1;3;2). b) ®iÓm A(3;1;-4). c) ®iÓm A(-3;5;1). Bµi 2: T×m to¹ ®é ®iÓm M thuéc mÆt cÇu .Sao cho kho¶ng c¸ch MA ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt ,nhá nhÊt,biÕt: a) ®iÓm A(1;-2;0). b) ®iÓm A(1;1;-2). Bµi to¸n 9: VÞ trÝ t¬ng ®èi cña ®êng th¼ng vµ mÆt cÇu Bµi 1: Cho mÆt cÇu .T×m to¹ ®é ®iÓm M thuéc (S) sao cho kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn (d) ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt,biÕt: a) b) Bµi to¸n 10: VÞ trÝ t¬ng ®èi cña mÆt ph¼ng vµ mÆt cÇu Bµi 1: (§HDL-97):Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®« trùc chuÈn 0xyz, cho mÆt cÇu (S) vµ mÆt ph¼ng (P) cã ph¬ng tr×nh : ,(P):x+z-1=0. a) TÝnh b¸n kÝnh vµ to¹ ®é t©m cña mÆt cÇu (S). b) TÝnh b¸n kÝnh vµ to¹ ®é t©m cña ®êng trßn giao cña (S) vµ (P). Bµi 2: (§HSPV-99): Cho ®iÓm I(1;2;-2) vµ mÆt ph¼ng 2x+2y+z+5=0 . a) LËp ph¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) t©m I sao cho giao cña (S) vµ (P) lµ ®êng trßn cã chu vi b»ng 8 . b) CMR mÆt cÇu (S) tiÕp xóc víi mÆt ph¼ng 2x-2=y+3=z. c) LËp ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng chøa ®êng th¼ng (d) vµ tiÕp xóc víi (S). Bµi 3: (§HBK-A-2000): Cho h×nh chãp SABCD víi S(3;2;-1), A(5;3;-1), B(2;3;-4), C(1;2;0). a) CMR SABC cã ®¸y ABC lµ tam gi¸c ®Òu vµ ba mÆt bªn lµ c¸c tam gi¸c vu«ng c©n. b) TÝnh to¹ ®é ®iÓm D ®èi xøng víi ®iÓm C qua ®êng th¼ng AB. M lµ ®iÓm bÊt k× thuéc mÆt cÇu t©m D, b¸n kÝnh .(®iÓm M kh«ng phô thuéc mÆt ph¼ng (ABC) ). XÐt tam gi¸c cã ®é dµi c¸c c¹nh b»ng ®é dµi c¸c ®o¹n tj¼mg MA, MB, MC. Hái tam gi¸c ®ã cã ®Æc ®iÓm g× ? Bµi 4: (§HPCCC-2000): Cho ®êng trßn (C) cã ph¬ng tr×nh : .LËp h¬ng tr×nh mÆt cÇu chøa (C) vµ tiÖp xóc víi mÆt ph¼ng: 2x+2y-z-6=0. Bµi 5: (C§HQ-96): Cho mÆt cÇu (S) vµ mÆt ph¼ng (P) cã ph¬ng tr×nh : ,(P):x+2y+2z+11=0. T×m ®iÓm M sao cho M thuéc (S) sao cho kho¶ng c¸ch tõ M tíi mÆt ph¼ng (P) nhá nhÊt . Bµi to¸n 11: VÞ trÝ t¬ng ®èi cña hai mÆt cÇu Bµi 1: Cho hai mÆt cÇu: , a) CMR hai mÆt cÇu (S1) vµ (S2) c¾t nhau. b) ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt cÇu qua giao ®iÓm cña (S1) vµ (S2) qua ®iÓm M(2,0,1). Bµi 2: Cho hai mÆt cÇu: , a) CMR hai mÆt cÇu (S1) vµ (S2) c¾t nhau. b) ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt cÇu qua giao ®iÓm cña (S1) vµ (S2) qua ®iÓm M(-2;1;-1).'>Ph¬ng ph¸p to¹ ®é trong kh«ng gian I. Täa ®é cña vect¬ vµ cña ®iÓm A. VÝ dô: VD1: ViÕt täa ®é cña c¸c vect¬ say ®©y: ; ; ; VD2: Cho ba vect¬ = ( 2;1 ; 0 ), = ( 1; -1; 2) , = (2 ; 2; -1 ). a) T×m täa ®é cña vect¬ : = 4 - 2 + 3 b) Chøng minh r»ng 3 vect¬ , , kh«ng ®ång ph¼ng . c) H•y biÓu diÓn vect¬ = (3 ; 7 ; -7 ) theo ba vect¬ , , . VD3: Cho 3 vect¬ = (1; m; 2), = (m+1; 2;1 ) , = (0 ; m-2 ; 2 ) .§Þnh m ®Ó 3 vect¬ ®ã ®ång ph¼ng . VD4: Cho: . T×m täa ®é cña vect¬: a) b) VD5: T×m täa ®é cña vect¬ , biÕt r»ng: a) vµ b) vµ c) vµ , VD6: Cho ba ®iÓm kh«ng th¼ng hµng: H•y t×m täa ®é träng t©m G cña tam gi¸c ABC. VD7: Cho bèn diÓm kh«ng ®ång ph¼ng : H•y t×m täa ®é träng t©m G cña tø diÖn ABCD. VD8: Cho ®iÓm M(1; 2; 3). T×m täa ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm M: a) Trªn c¸c mÆt ph¼ng täa ®é: Oxy, Oxz, Oyz. b) Trªn c¸c trôc täa ®é: Ox, Oy, Oz. VD9: Cho ®iÓm M(1 ; 2 ; 3). T×m täa ®é cña ®iÓm ®èi xøng víi ®iÓm M: a) Qua gèc täa ®é O b) Qua mÆt ph¼ng Oxy c) Qua Trôc Oy. VD10: Cho h×nh hép ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5). T×m täa ®é cña c¸c ®Ønh cßn l¹i. VD11: Cho A(2; -1; 7), B(4; 5; -2). §êng th¼ng AB c¾t mÆt ph¼ng Oyz t¹i ®iÓm M. a) §iÓm M chia ®o¹n th¼ng AB theo tØ sè nµo ? b) T×m täa ®é ®iÓm M. B. Bµi tËp Bµi 1. ViÕt díi d¹ng mçi vect¬ sau ®©y: , Bµi 2. Cho hai bé ba ®iÓm: A = (1; 3; 1), B = (0; 1; 2), C = (0; 0; 1) vµ A' = (1; 1; 1), B' = (-4; 3; 1), C' = (-9; 5; 1). Hái bé nµo cã ba ®iÓm th¼ng hµng. Bµi 3. Cho h×nh hép ABCD.A'B'C'D', A(x1; y¬1; z1), C(x3; y3; z3), B'(x'2;y'2;z'2), D'(x'4; y'4;z'4). T×m täa ®é cña c¸c ®Ønh cßn l¹i. II. BiÓu thøc täa ®é cña tÝch v« híng, tÝch cã híng cña hai vect¬ A. VÝ Dô: Bµi 1 . Cho ba vect¬ T×m: . Bµi 2. TÝnh gãc gi÷a hai vect¬ vµ : Bµi 3. a) Trªn trôc Oy t×m ®iÓm c¸ch ®Òu hai ®iÓm: A(3; 1; 0) vµ B(-2; 4; 1). b) Trªn mÆt ph¼ng Oxz t×m ®iÓm c¸ch ®Òu ba ®iÓm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) vµ C(3; 1; -1). Bµi 4. XÐt sù ®ång ph¼ng cña ba vect¬ trong mçi trêng hîp sau ®©y: Bµi 5. Cho ba ®iÓm A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1). a) Chøng minh r»ng A, B, C lµ ba ®Ønh cña mét tam gi¸c. b) TÝnh chu vi vµ diÖn tÝch ABC. c) T×m täa ®é ®Ønh D ®Ó tø gi¸c ABDC lµ h×nh b×nh hµnh. d) TÝnh ®é dµi ®êng cao cña ABC h¹ tõ ®Ønh A. e) TÝnh c¸c gãc cña ABC. Bµi 6. Cho bèn ®iÓm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1). a) Chøng minh r»ng A, B, C, D lµ bèn ®Ønh cña mét tø diÖn. b) T×m gãc t¹o bëi c¸c c¹nh ®èi diÖn cña tø diÖn ABCD. c) TÝnh thÓ tÝch tø diÖn ABCD vµ tÝnh ®é dµi ®êng cao cña tø diÖn h¹ tõ ®Ønh A. Bµi 7. Cho ABC biÕt A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3). H•y t×m ®é dµi ®êng ph©n gi¸c trong cña gãc B. Bµi 8. Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é Oxyz cho bèn ®iÓm A(1; 1; 0), B(0; 2;1), C(1; 0; 2), D(1;1 ;1). a) Chøng minh r»ng A, B, C, D t¹o thµnh tø diÖn. TÝnh thÓ tÝch cña khèi tø diÖn ABCD. b) TÝnh ®é dµi ®êng cao h¹ tõ ®Ønh C cña tø diÖn ®ã. c) TÝnh ®é dµi ®êng cao cña tam gi¸c ABD h¹ tõ ®Ønh B. d) TÝnh gãc ABC vµ gãc gi÷a hai ®êng th¼ng AB, CD. Bµi 9. Cho 3 ®iÓm A ( 3;-4;7 ),B( -5; 3; -2 ) ,C(1; 2; -3 ). a) X¸c ®Þnh ®iÓm D sao cho tø gi¸c ABCD lµ h×nh b×nh hµnh . b) T×m täa ®é giao ®iÓm cña hai ®êng chÐo. c) TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC, ®é dµi BC tõ ®ã ®êng cao tam gi¸c ABC vÏ tõ A. T×m täa ®é träng t©m cña tam gi¸c ABC . Bµi 10. Cho 4 ®iÓm A( 2; 0; 0) , B( 0; 4; 0 ) , C( 0; 0; 6 ), D ( 2; 4 ;6 ). a) Chøng minh 4 ®iÓm A, B , C , D kh«ng ®ång ph¼ng.TÝnh thÓ tÝch tø diÖn ABCD b) T×m täa ®é träng t©m cña tø diÖn ABCD . c) TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC , tõ ®ã suy ra chiÒu cao cña tø diÖn vÏ tõ D. d) T×m täa ®é ch©n ®êng cao cña tø diÖn vÏ tõ D . Bµi 11. Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é Oxyz cho ba ®iÓm A(3;4;-1) , B(2;0;3), C(-3;5;4) a) T×m ®é dµi c¸c c¹nh cña tm gi¸c ABC. b) TÝnh cosin c¸c gãc A,B,C . c) TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC Bµi tËp: Bµi 1. Cho tam gi¸c ABC, A(1;0;-2), B(2;1;-1), C(1;-2;2). a) T×m ®é dµi c¸c c¹nh cña tam gi¸c ABC b) T×m to¹ ®é trung ®iÓm I cña c¹nh BC c) T×m to¹ ®é träng t©m G cña tam gi¸c ABC d) TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC. e) TÝnh ®êng cao cña tam gi¸c h¹ tõ A. f) TÝnh c¸c gãc cña tam gi¸c ABC g) T×m ®iÓm M thuéc Ox sao cho MA = MB h) T×m giao (ABC) vµ Ox Bµi 2. Cho a) Chøng minh víi mäi m th× kh«ng ®ång ph¼ng. b) Ph©n tÝch theo Bµi 3. Cho ba vÐc t¬: Víi a, b, c kh«ng ®ång thêi b»ng kh«ng th× cã ®ång ph¼ng kh«ng Bµi 4. Cho ABC biÕt A(1; 2; -1), B(2; -1; 3), C(-4; 7; 5). H•y t×m ®é dµi ®êng ph©n gi¸c trong cña gãc B. Bµi 5. Cho ABC biÕt A(-11; 8; 4), B(-1; -7; -1), C(9; -2; 4). a) Chøng minh tam gi¸c ABC vu«ng b) TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC Bµi 6. Cho s¸u ®iÓm A(3; 5; -4), B(-1; 1; 2), C(-5; -5; -2), A’(5; 1; 5), B’(4; 3; 2), C’(-3; -2; 1). a) Chøng minh tam gi¸c ABC c©n, tam gi¸c A’B’C’ vu«ng b) Gäi G, G’, G’’ lµ träng t©m tam gi¸c ABC, A’B’C’vµ cña tø diÖn A’ABC. TÝnh Bµi 7. Chøng minh 4 ®iÓm A(3; 3; 3), B(1; 2; -1), C(4; 1; 1), D(6; 2; 5) lµ c¸c ®Ønh cña h×nh b×nh hµnh Bµi 8. Chøng minh 4 ®iÓm A(5; 2; -3), B(6; 1; 4), C(-3; -2; -1), D(-1; -4; 13) lµ c¸c ®Ønh cña h×nh thang. TÝnh diÖn tÝch Bµi 9. Cho hai ®iÓm A(-2; 0; 4), B(5; -2; -14). T×m ®iÓm E trong mÆt ph¼ng Oyx sao cho: , ®ång ph¼ng Bµi10. Cho hai vÐc t¬ . T×m vÐc t¬ tho¶ m•n ®iÒu kiÖn ®ång ph¼ng. Bµi 11. Cho A(-3; 2; 4), B(2; 5; -2), C(1; -2; 2), D(4; 2; 3) a) TÝnh cos( ) b) TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c BCD c) TÝnh ®é dµi ®êng cao h¹ tõ A cña tø diÖn ABCD d) TÝnh cosin gãc g÷a AD vµ mÆt ph¼ng (BCD) e) TÝnh cosin gãc g÷a hai mÆt ph¼ng (ABD) vµ (BCD) f) T×m to¹ ®é ®iÓm I c¸ch ®Òu A, B, C, D Iii. MÆt Ph¼ng Bµi to¸n 1. Ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng Bµi 1: LËp ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) ®i qua ®iÓm M vµ cã vtpt biÕt a, b, c, d, e, f, Bµi 2: LËp ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng trung trùc cña AB biÕt: a, A(2;1;1), B(2;-1;-1) b, A(1;-1;-4), B(2;0;5) c, c, Bµi 3: LËp ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ®i qua ®iÓm M vµ song song víi mÆt ph¼ng biÕt: a, b, c, d, Bµi 4 LËp ph¬ng tr×nh cña mÆt ph¼ng (P) ®i qua ®iÓm M(2;3;2) vµ cÆp VTCP lµ Bµi 5: LËp ph¬ng tr×nh cña mÆt ph¼ng (P) ®i qua M(1;1;1) vµ a) Song song víi c¸c trôc 0x vµ 0y. b) Song song víi c¸c trôc 0x,0z. c) Song song víi c¸c trôc 0y, 0z. Bµi 6: LËp ph¬ng tr×nh cña mÆt ph¼ng ®i qua 2 ®iÓm M(1;-1;1) vµ B(2;1;1) vµ : a) Cïng ph¬ng víi trôc 0x. b) Cïng ph¬ng víi trôc 0y. c) Cïng ph¬ng víi trôc 0z. Bµi 7: X¸c ®Þnh to¹ ®é cña vÐc t¬ vu«ng gãc víi hai vÐc t¬ . Bµi 8: T×m mét VTPT cña mÆt ph¼ng (P) ,biÕt (P) cã cÆp VTCP lµ Bµi 9: LËp ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) biÕt : a) (P) ®i qua ®iÓm A(-1;3;-2) vµ nhËn lµm VTPT. b) (P) ®i qua ®iÓm M(-1;3;-2) vµ song song víi (Q): x+2y+z+4=0. Bµi 10: LËp ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña c¸c mÆt ph¼ng ®i qua I(2;6;-3) vµ song song víi c¸c mÆt ph¼ng to¹ ®é. Bµi 11: (§HL-99) :Trong kh«ng gian 0xyz cho ®iÓm A(-1;2;3) vµ hai mÆt ph¼ng (P): x-2=0 , (Q) : y-z-1=0 .ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (R) ®i qua ®iÓm A vµ vu«ng gãc víi hai mÆt ph¼ng (P),(Q). Bµi 12: LËp ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) trong c¸c trêng hîp sau: a) §i qua hai ®iÓm A(0;-1;4) vµ cã cÆp VTCP lµ vµ b) §i qua hai ®iÓm B(4;-1;1) vµ C(3;1;-1) vµ cïng ph¬ng víi trôc víi 0x. Bµi 13: Cho tø diÖn ABCD cã A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6) . a) ViÕt ph¬ng tr×nh tæng qu¸t c¸c mÆt ph¼ng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD). b) ViÕt ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) ®i qua c¹nh AB vµ song song vãi c¹nh CD. Bµi 14: ViÕt ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña (P) a) §i qua ba ®iÓm A(1;0;0), B(0;2;0) , C(0;0;3) . b) §i qua A(1;2;3) ,B(2;2;3) vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (Q) : x+2y+3z+4=0 c) Chøa 0x vµ ®i qua A(4;-1;2) , d) Chøa 0y vµ ®i qua B(1;4;-3) Bµi 15: Cho hai ®iÓm A(3;2;3) B(3;4;1) trong kh«ng gian 0xyz a) ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) lµ trung trùc cña AB. b) ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (Q) qua A vu«ng gãc v¬i (P) vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng y0z c) ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (R) qua A vµ song song víi mÆt ph¼ng (P). Bµi to¸n 2. VÞ trÝ t¬ng ®èi cña hai mÆt ph¼ng Bµi 1: XÐt vÞ trÝ t¬ng ®èi ciña c¸c cÆp mÆt ph¼ng sau: a) (P1): y – z + 4 = 0, vµ b) (P1): 2x+4y-8z+9=0 c) (P1): x+y-z-4=0vµ Bµi to¸n 3: Chïm mÆt ph¼ng Bµi 1: LËp ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng qua M(2;1;3) vµ ®i qua ®êng th¼ng (d): a) b) Bµi 2:LËp ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ®i qua ®iÓm M(2;1;-1) vµ qua hai giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (P1) vµ (P2) cã ph¬ng tr×nh : (P1): x - y + z - 4 = 0 vµ (P2) 3x – y + z – 1 = 0 Bµi 3: LËp ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng chøa ®êng th¼ng vµ song song víi mÆt ph¼ng (Q) cã ph¬ng tr×nh: 11x - 2y - 15z – 6 = 0. Bµi 4: LËp ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng qua giao tuyÕn cña (P1): y + 2z – 4 = 0 vµ (P2) : x + y – z – 3 = 0 vµ song song víi mÆt ph¼ng (Q): . Bµi 5: LËp ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng chøa ®êng th¼ng vµ vu«ng gãc víi (Q) cã ph¬ng tr×nh: a) (§HNNI-95): (Q): . b) Bµi 6: LËp ph¬ng tr×nh cña mÆt ph¼ng qua hai giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (P1): vµ (P2): vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng : . Bµi 7: LËp ph¬ng tr×nh chøa mÆt ph¼ng ®êng th¼ng : vµ song song víi ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh : a) b) Bµi 8:LËp ph¬ng tr×nh chøa mÆt ph¼ng ®êng th¼ng : vµ vu«ng gãc ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh : a) b) Bµi 9: LËp ph¬ng tr×nh chøa mÆt ph¼ng ®êng th¼ng vµ víi mÆt ph¼ng (Q) mét gãc 60 ®é biÕt: vµ (Q):3x+4y-6=0 Bµi 10: LËp ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) chøa ®êng th¼ng vµ cã kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm A(1;-1; 0) tíi (P) b»ng 1. Bµi 11: Cho ®êng th¼ng (d) vµ hai mÆt ph¼ng vµ (P1): 5x+5y-3z-2=0 vµ (P2):2x-y+z-6=0. LËp ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) chøa ®êng th¼ng (d) sao cho: vµ lµ hai ®êng vu«ng gãc. Bµi 12: (§HKT-93): cho hai ®êng th¼ng (d1) vµ (d2) cã ph¬ng tr×nh : . a) ViÕt ph¬ng tr×nh c¸c mÆt ph¼ng , song song víi nhau vµ lÇn lît chøa b) TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a , c) LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (D) song song víi trôc Oz vµ c¾t c¶ 2 ®êng th¼ng , Bµi to¸n 4. Kho¶ng c¸ch tõ mét ®iÓm tíi mÆt ph¼ng Bµi 1:TÝnh kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm M(2;2;1) ®Õn mÆt ph¼ng (P) trong c¸c trêng hîp sau: a) b) Bµi 2:Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz , cho tø diÖn cã 4 ®Ønh A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6) a) LËp ph¬ng tr×nh tæng qu¸t mÆt ph¼ng (ABC) b) TÝnh chiÒu dµi ®êng th¼ng cao h¹ tõ ®Ønh D cña tø diÖn, tõ ®ã suy ra thÓ tÝch cña tø diÖn Bµi 3:Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz , cho tø diÖn cã 4 ®Ønh A(1;1;1) B(-2;0;2) C(0;1;-3) D(4;-1;0) a) (§H LuËt 1996) TÝnh chiÒu dµi ®êng th¼ng cao h¹ tõ ®Ønh D cña tø diÖn b) ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ph©n gi¸c cña 2 mÆt (ABC) vµ (BCD) c¾t ®o¹n AD IV. §êng th¼ng trong kh«ng gian Bµi to¸n 1. Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng Bµi 1:LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) trong c¸c trêng hîp sau : a) (d) ®i qua ®iÓm M(1;0;1) vµ nhËn lµm VTCP b) (d) ®i qua 2 ®iÓm A(1;0;-1) vµ B(2;-1;3) Bµi 2: Trong kh«ng gian Oxyz lËp ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña c¸c giao tuyÕn cña mÆt ph¼ng vµ c¸c mÆt ph¼ng to¹ ®é Bµi 3: ViÕt ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm M(2;3;-5) vµ song song víi ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh: Bµi 4: Cho ®êng th¼ng (D) vµ mÆt ph¼ng (P) cã ph¬ng tr×nh lµ : vµ (P): x+y+z+1=0 T×m ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña ®êng th¼ng (t) ®i qua A(1;1;1) song song víi mÆt ph¼ng (P) vµ vu«ng gãc víi ®êng th¼ng (D) Bµi 5: Cho mÆt ph¼ng (P) ®i qua 3 ®iÓm A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9). ViÕt ph¬ng tr×nh tham sè cña ®êng th¼ng (d) ®i qua träng t©m tam gi¸c ABC vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng chøa tam gi¸c ®ã Bµi to¸n 2. ChuyÓn d¹ng ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng Bµi 1:T×m vÐc t¬ chØ ph¬ng cña c¸c ®êng th¼ng sau a) b) Bµi 2: Cho ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh : . H•y viÕt ph¬ng tr×nh tham sè cña ®êng th¼ng ®ã Bµi 3: Cho ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh : . H•y viÕt ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña ®êng th¼ng ®ã Bµi4: Cho ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh : . H•y viÕt ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®êng th¼ng ®ã Bµi 5: LËp ph¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c vµ tæng qu¸t cña ®êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(2;1;3) vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (P) trong c¸c trêng hîp sau: a) b) . Bµi 6: LËp ph¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c vµ tæng qu¸t cña ®êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(1;2;3) vµ song song víi ®êng th¼ng ( ) cho bëi : a) . b) Bµi 7:LËp ph¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c vµ tæng qu¸t cña ®êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(1;2;3) vµ vu«ng gãc víi 2 ®êng th¼ng : , Bµi 8:Trong kh«ng gian Oxyz, lËp ph¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c vµ tæng qu¸t cña ®êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(3;2;1), song song víi mÆt ph¼ng (P) vµ vu«ng gãc víi ®êng th¼ng (). BiÕt mÆt ph¼ng vµ Bµi to¸n 3. VÞ trÝ t¬ng ®èi cña ®êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng Bµi1: XÐt vÞ trÝ t¬ng ®èi cña ®êng th¼ng (d) vµ mÆt ph¼ng (P) ,biÕt: a) (P): x-y+z+3=0 b) (P): y+4z+17=0 c) (P): y+4z+17=0 d) (P): x+y-2=0 Bµi 2: H•y tÝnh sin cña gãc t¹o bëi ®êng th¼ng (d) vµ mÆt ph¼ng (P) cho bëi : a) vµ .b) vµ c) vµ Bµi 3: (§HNN_TH-98): Cho mÆt ph¼ng (P) vµ ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh (P): 2x+y+z=0 vµ . a) T×m to¹ ®é giao ®iÓm A cña (d) vµ (P) . b) LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d1) qua A vu«ng gãc víi (d) vµ n»m trong mÆt ph¼ng (P) . Bµi 4: (§H Khèi A-2002): Trong kh«ng gian 0xyz ,cho mÆt ph¼ng (P) vµ ®êng th¼ng (dm) cã ph¬ng tr×nh : , x¸c ®Þnh m ®Ó (dm)//(P) Bµi to¸n 4. VÞ trÝ t¬ng ®èi cña hai ®êng th¼ng Bµi 1: sö dông tÝch hçn t¹p x¸c ®Þnh vÞ trÝ t¬ng ®èi cña hai ®êng th¼ng (d1) vµ (d2) cã ph¬ng tr×nh cho bëi: a) , b) , c) , Bµi 2: Trong kh«ng gian 0xyz ,cho hai ®êng th¼ng (d1),(d2) cã ph¬ng tr×nh cho bëi : , a) Chøng tá r»ng hai ®êng th¼ng (d1),(d2) song song víi nhau . b) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) song song ,c¸ch ®Òu (d1),(d2) vµ thuéc mÆt ph¼ng chøa (d1),(d2) . Bµi 3: Cho hai ®êng th¼ng (d1),(d2) cã ph¬ng tr×nh cho bëi: , a) Chøng tá r»ng hai ®êng th¼ng (d1),(d2) song song víi nhau . b) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) song song ,c¸ch ®Òu (d1),(d2) vµ thuéc mÆt ph¼ng chøa (d1),(d2). Bµi 4: Trong kh«ng gian 0xyz ,cho hai ®êng th¼ng (d1),(d2) cã ph¬ng tr×nh cho bëi : , a) Chøng tá r»ng hai ®êng th¼ng (d1),(d2) c¾t nhau . b) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng ph©n gi¸c cña (d1),(d2) Bµi5: Trong kh«ng gian 0xyz ,cho hai ®êng th¼ng (d1),(d2) cã ph¬ng tr×nh cho bëi : a) Chøng tá r»ng hai ®êng th¼ng (d1),(d2) c¾t nhau. b) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng ph©n gi¸c cña (d1),(d2) Bµi 6: Trong kh«ng gian 0xyz ,cho hai ®êng th¼ng (d1),(d2) cã ph¬ng tr×nh cho bëi : , a) Chøng tá r»ng hai ®êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau. b) ViÕt ph¬ng tr×nhmÆt ph¼ng(P) song song ,c¸ch ®Òu (d1),(d2) . Bµi 7: Trong kh«ng gian 0xyz ,cho hai ®êng th¼ng (d1),(d2) cã ph¬ng tr×nh cho bëi : , a) Chøng tá r»ng hai ®êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau. b) ViÕt ph¬ng tr×nhmÆt ph¼ng(P) song song, c¸ch ®Òu (d1),(d2) . Bµi8: Trong kh«ng gian 0xyz ,cho hai ®êng th¼ng (d1),(d2) cã ph¬ng tr×nh cho bëi : a) Chøng tá r»ng hai ®êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau. b) ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng(P) song song, c¸ch ®Òu (d1),(d2) . Bµi to¸n 5. Hai ®êng th¼ng ®ång ph¼ng vµ bµi tËp liªn quan Bµi 1: (§HBK-TPHCM-93): ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) chøa (d1),(d2) ,biÕt: Bµi 2: (§HSPII-2000): Cho ®iÓm A(1;-1;1) vµ hai ®êng th¼ng (d1),(d2) cã ph¬ng tr×nh cho bëi : CMR (d1),(d2) vµ ®iÓm A cïng thuéc mÆt ph¼ng. Bµi 3: Cho hai ®êng th¼ng (d1),(d2) cã ph¬ng tr×nh cho bëi : a) CMR hai ®êng th¼ng ®ã c¾t nhau. b) ViÕt ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) chøa (d1), (d2). c) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng ph©n gi¸c cña(d1), (d2) Bµi 4: Cho hai ®êng th¼ng (d1),(d2) cã ph¬ng tr×nh cho bëi : a) CMR hai ®êng th¼ng ®ã c¾t nhau.X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iÓm cña nã. b) ViÕt ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) chøa (d1),(d2). c) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng ph©n gi¸c cña(d1),(d2) Bµi5: cho hai ®êng th¼ng (d1),(d2) cã ph¬ng tr×nh cho bëi : , a) Chøng tá r»ng hai ®êng th¼ng (d1),(d2) song song víi nhau. b) ViÕt ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) chøa (d1),(d2). c) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) trong (P) song song c¸ch ®Òu (d1),(d2) . Bµi to¸n 6. Hai ®êng th¼ng chÐo nhau vµ bµi tËp liªn quan Bµi 1: (§HNN-96): cho hai ®êng th¼ng (d1),(d2) cã ph¬ng tr×nh cho bëi : a) Chøng tá r»ng hai ®êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau. b) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng vu«ng gãc chung cña (d1),(d2) . Bµi 2: (§HTCKT-96): Trong kh«ng gian 0xyz , cho hai ®êng th¼ng (d1),(d2) cã ph¬ng tr×nh cho bëi : , . T×m to¹ ®é ®iÓm A1 thuéc (d1) vµ to¹ ®é ®iÓm A2 thuéc (d2) ®Ó ®êng th¼ng A1A2 vu«ng gãc víi (d1) vµ vu«ng gãc víi (d2) . Bµi 3: (§H L 1996) Cho hai ®êng th¼ng (d1),(d2) cã ph¬ng tr×nh cho bëi : , a) Chøng tá r»ng hai ®êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau.ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P),(Q) song song víi nhau vµ lÇn lît chøa (d1),(d2) b) TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a (d1),(d2) . Bµi 4: (§HTS-96): Cho hai ®êng th¼ng (d1),(d2) cã ph¬ng tr×nh cho bëi : a) Chøng tá r»ng hai ®êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau. TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a (d1),(d2) b) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng vu«ng gãc chung cña (d1),(d2) . Bµi 5: : (PVBC 99) Cho hai ®êng th¼ng (d1),(d2) ,biÕt: ; a) Chøng tá r»ng hai ®êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau. b) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng vu«ng gãc chung cña (d1),(d2) . Bµi 6: (§HSPQui Nh¬n-D-96): cho hai ®êng th¼ng (d1),(d2) ,biÕt: a) Chøng tá r»ng hai ®êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau. b) TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a (d1),(d2) Bµi 7: : cho hai ®êng th¼ng (d1),(d2) ,biÕt: a) Chøng tá r»ng hai ®êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau. b) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng vu«ng gãc chung cña (d1),(d2) . Bµi 8: (§H HuÕ 1998) Cho hai ®êng th¼ng (d1),(d2) cã ph¬ng tr×nh cho bëi : , a) Chøng tá r»ng hai ®êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau. b) ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) chøa (d1) vµ song song víi (d2) . c) TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a (d1),(d2) . Bµi 9: (§HNN-97): Cho hai ®êng th¼ng (d1),(d2) cã ph¬ng tr×nh cho bëi : a) Chøng tá r»ng hai ®êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau. b) TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a (d1),(d2) . c) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) ®i qua M(1,1,1) vµ c¾t ®ång thêi (d1),(d2) . Bµi 10: (§HKT-98): Cho tø diÖn SABC víi c¸c ®Ønh S(-2;2;4), A(-2;2;0) ,B(-5;2;0) ,C(-2;1;1). TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai c¹nh ®èi SA vµ SB. V. §iÓm, ®êng th¼ng vµ MÆt Ph¼ng Bµi to¸n1: §êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm c¾t c¶ hai ®êng th¼ng cho tríc. Bµi 1: ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua A(1;2;3) vµ c¾t c¶ hai ®êng th¼ng a) b) Bµi 2: ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua gèc to¹ ®é vµ c¾t c¶ hai ®êng th¼ng: , Bµi 3: ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) song song víi ®êng th¼ng () vµ c¾t c¶ hai ®êng th¼ng: Bµi 4: (§HDL-97): ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua A(1;-1;0) vµ c¾t c¶ hai ®êng th¼ng: Bµi 5: (§HTS-99): ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua A(1;-1;0) vµ c¾t c¶ hai ®êng th¼ng: Bµi 6: ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) vu«ng gãc víi (P) :x+y+z-2=0 vµ c¾t c¶ hai ®êng th¼ng (d1) vµ (d2): Bµi 7: ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) ®i qua gèc to¹ ®é vµ c¾t c¶ 2 ®êng th¼ng (d1) vµ (d2): Bµi to¸n 2: §êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm vu«ng gãc víi c¶ hai ®êng th¼ng cho tríc. Bµi 1: ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua A(1;2;3) vµ c¾t c¶ hai ®êng th¼ng (d1) ,(d2): a) b) Bµi 2: (§HTCKT 1999) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) ®i qua A(1;1;-2) song song víi mÆt ph¼ng (P) vµ vu«ng gãc víi ®êng th¼ng (d): Bµi to¸n 3: §êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm vu«ng gãc víi mét ®êng vµ c¾t mét ®êng th¼ng kh¸c Bµi 1: (§HSP TPHCM-95): ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua A(0;1;1) vµ vu«ng gãc víi ®êng th¼ng (d1) vµ c¾t (d2) ,biÕt: Bµi 2: ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua A(1;1;1) vµ vu«ng gãc víi ®êng th¼ng (d1) vµ c¾t (d2) ,biÕt : Bµi 3: ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng c¾t c¶ ba ®êng th¼ng (d1) (d2) , (d3) vµ vu«ng gãc víi vect¬ , biÕt: Bµi 4: T×m tÊt c¶ c¸c ®êng th¼ng c¾t (d1), (d2) díi cïng mét gãc, biÕt: Bµi 5: (§HTL-97):ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua A(3;-2;-4) song song víi mÆt ph¼ng (P) :3x-2y-3z-7=0 vµ c¾t ®êng th¼ng (d) biÕt: Bµi to¸n 4: H×nh chiÕu vu«ng gãc cña®iÓm lªn mÆt ph¼ng Bµi 1: T×m to¹ ®é ®iÓm ®èi xøng cña A(-2;1;3) qua (P) cho bëi: 2x+y-z-3=0. Bµi 2: (§HKTCN-97): Cho ®iÓm A(1;2;3) vµ mÆt ph¼ng (P) cã ph¬ng tr×nh :2x-y+2z-3=0 a) LËp ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng qua A vµ song song víi (P). b) Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A lªn (P). X¸c ®Þnh to¹ ®é cña H Bµi3: (§HGTVTTPHCM-99): Cho ba ®iÓm A(1;1;2), B(-2;1;-1), C(2;-2;-1) .X¸c ®Þnh to¹ ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm O lªn mÆt ph¼ng (ABC). Bµi 4: (§HTCKT-2000): Cho ®iÓm A(2;3;5) vµ mÆt ph¼ng (P) cã ph¬ng tr×nh: 2x+3y+z-17=0 a) LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) qua A vµ vu«ng gãcvíi (P). b) CMR ®êng th¼ng (d) c¾t trôc 0z , t×m giao ®iÓm M cña chóng. c) X¸c ®Þnh to¹ ®é ®iÓm A1 ®èi xøng víi A qua (P). Bµi 5: Cho mÆt ph¼ng (P) vµ ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh: (P): 2x+5y+z+17=0 vµ a) X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iÓm A cña (d) vµ (P). b) LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d1) ®èi xøng víi (d) qua (P) Bµi 6: Cho mÆt ph¼ng (P) vµ ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh : vµ a) X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iÓm A cña (d) vµ (P). b) LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d1) ®èi xøng víi (d) qua (P) Bµi 7: (§HQG 1998) Cho c¸c ®iÓm A(a;0;0); B(0;b;0); C(0;0;c) (a,b,c d¬ng ). Dùng h×nh hép ch÷ nhËt nhËn O,A,B,C lµm 4 ®Ønh vµ gäi D lµ ®Ønh ®èi diÖn víi ®Ønh O cña h×nh hép ®ã a) TÝnh kho¶ng c¸ch tõ C ®Õn mÆt ph¼ng (ABD) b) TÝnh to¹ ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cña C xuèng mÆt ph¼ng (ABD). T×m ®iÒu kiÖn ®èi víi a,b,c ®Ó h×nh chiÕu ®ã n»m trong mÆt ph¼ng (xOy) Bµi to¸n 5: H×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®êng th¼ng lªn mÆt ph¼ng Bµi 1: (§HQG TPHCM 1998) Trong kh«ng gian víi hÖ trôc to¹ ®é trùc chuÈn 0xyz ,cho ®êng th¼ng (d) vµ mÆt ph¼ng (P) cã ph¬ng tr×nh: (P):x+y+z-3=0 vµ LËp ph¬ng tr×nh h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®êng th¼ng (d) lªn (Q). Bµi 2: LËp ph¬ng tr×nh h×nh chiÕu vu«ng gãc cña giao tuyÕn (d) cña hai mÆt ph¼ng 3x-y+z-2=0 vµ x+4y-5=0 lªn mÆt ph¼ng 2x-z+7=0. Bµi 3: (§HM§C-98) :Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é trùc chuÈn 0xyz cho ®êng th¼ng (d) vµ mÆt ph¼ng (P) cã ph¬ng tr×nh: vµ (P): x-y+3z+8=0. H•y viÕt ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c h×nh chiÕu vu«ng gãc cña (d) lªn (P) . Bµi 4: Trong kh«ng gian 0xyz cho ®êng th¼ng (d) vµ mÆt ph¼ng (Q) cã ph¬ng tr×nh : . LËp ph¬ng tr×nh h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®êng th¼ng (d) lªn (Q) . Bµi 5: Cho ®êng th¼ng (d) vµ mÆt ph¼ng (Q) cã ph¬ng tr×nh: (Q): x-y+z+10=0 H•y viÕt ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c h×nh chiÕu vu«ng gãc (d1) cña (d) lªn (P) . Bµi 6: (§H Cµn Th¬ 1998) Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é vu«ng gãc 0xyz cho ®êng th¼ng (d) vµ mÆt ph¼ng (P) cã ph¬ng tr×nh: vµ (P): x+y+z+1=0. H•y viÕt ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c h×nh chiÕu vu«ng gãc (d1) cña (d) lªn (P) . Bµi 7: (HVQY-95): Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é vu«ng gãc 0xyz cho ®êng th¼ng (d) vµ mÆt ph¼ng (P) cã ph¬ng tr×nh : vµ (P): x+y+z+1=0. a) H•y viÕt ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c h×nh chiÕu vu«ng gãc (d1) cña (d) lªn (Oxy) . b) CMR khi m thay ®æi ®êng th¼ng (d1) lu«n tiÕp xóc víi mét ®êng trßn cè ®Þnh trong mÆt ph¼ng 0xy. Bµi 8: (§HQG-98): Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é vu«ng gãc 0xyz cho mÆt ph¼ng (P) vµ hai ®êng th¼ng (d1) vµ (d2) cã ph¬ng tr×nh: (P):x+y-z+1=0, , a) H•y viÕt ph¬ng tr×nh h×nh chiÕu vu«ng gãc (1), (2) cña (d1), (d2) lªn (P). T×m to¹ ®é giao ®iÓm I cña (d1), (d2). b) ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng chøa (d1) vµ vu«ng gãc víi (P). Bµi to¸n 6: H×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm lªn ®êng th¼ng Bµi 1: cho ®iÓm A(1;2;3) vµ ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh : . X¸c ®Þnh to¹ ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A lªn (d) .Tõ ®ã t×m to¹ ®é ®iÓm A1 ®èi xøng víi A qua (d) . Bµi 2: cho ®iÓm A(1;2;-1) vµ ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh : .X¸c ®Þnh to¹ ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A lªn (d) .Tõ ®ã t×m to¹ ®é ®iÓm A1 ®èi xøng víi A qua (d) . Bµi 3: cho ®iÓm A(2;1;-3) vµ ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh : .X¸c ®Þnh to¹ ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A lªn (d) .Tõ ®ã t×m to¹ ®é ®iÓm A1 ®èi xøng víi A qua (d) . Bµi 4: (§HhuÕ /A,B ph©n ban 98): Trong kh«ng gian 0xyz cho ®iÓm A(2;-1;1) vµ ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh : a) ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) ®i qua A vµ vu«ng gãc (d) . b) X¸c ®Þnh to¹ ®é ®iÓm B ®èi xøng víi A qua (d) . Bµi 5: (§Ò 60-Va): LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng qua A(3;2;1) vµ vu«ng gãc víi ®êng th¼ng (d) vµ c¾t víi ®êng th¼ng ®ã . Bµi 6: (§HTM-2000): LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng qua A(2;-1;0) vµ vu«ng gãc víi ®êng th¼ng vµ c¾t víi ®êng th¼ng ®ã . Bµi7: (HV BCVT-2000): Cho 2 ®êng th¼ng () vµ (d) cã ph¬ng tr×nh : LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d1) ®èi xøng víi (d) qua () Bµi 8: (§HHH-1999): Trong kh«ng gian cho 2 ®êng th¼ng (d1),(d2) : a) (d1) , (d2) cã c¾t nhau hay kh«ng b) Gäi B,C lÇn lît lµ c¸c ®iÓm ®èi xøng cña A(1;0;0) qua (d1),(d2) . TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC Bµi 9: (§HTM-1999): Trong kh«ng gian cho ®êng th¼ng (d1) vµ mÆt ph¼ng (P) : a) T×m ®iÓm ®èi xøng cña ®iÓm A(3;-1;2) qua ®êng th¼ng (d) b) ViÕt ph¬ng tr×nh h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®êng th¼ng (d) trªn mÆt ph¼ng (P) Bµi10: Trong kh«ng gian 0xyz cho bèn ®êng th¼ng (d1), (d2), (d3), (d4) cã ph¬ng tr×nh : , , , CMR c¸c ®iÓm ®èi xøng A1, , A2, , A3, A4 cña A bÊt k× trong kh«ng gian qua (d1), (d2), (d3), (d4) lµ ®ång ph¼ng. LËp ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng chøa chóng . Bµi to¸n 7: §iÓm vµ mÆt ph¼ng Bµi 1: cho hai ®iÓm A(1;0;2) ;B(2;-1;3) vµ mÆt ph¼ng (P): x-2y+z-4=0.T×m ®iÓm M thuéc (P) sao cho AM+BM nhá nhÊt. Bµi 2: cho hai ®iÓm A(1;1;0) ;B(0;-1;1) vµ mÆt ph¼ng (P): x-2y+z-4=0.T×m ®iÓm M thuéc (P) sao cho AM+BM nhá nhÊt. Bµi 3: (§HhuÕ /A hÖ cha ph©n ban 97):Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é 0xyz cho mÆt ph¼ng (P): 2x-y+z+1=0 vµ hai ®iÓm A(3;1;0), B(-9;4;9) .T×m to¹ ®é ®iÓm M trªn mÆt ph¼ng (P) sao cho lµ lín nhÊt . Bµi 4: (§HQG-2000):Cho mÆt ph¼ng (P):x+y+z-1=0 vµ hai ®iÓm A(1;-3;0) ,B(5;-1;-2) a) Chøng tá r»ng ®êng th¼ng ®i qua A,B c¾t mÆt ph¼ng (P) t¹i mét ®iÓm I, t×m to¹ ®é ®iÓm ®ã . b) T×m to¹ ®é ®iÓm M trªn mÆt ph¼ng (P) sao cho ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. Bµi 5: (§HM§C-97): cho ba ®iÓm A(1;4;5) B(0;3;1) ,C(2;-1;0) vµ mÆt ph¼ng (P): 3x-3y-2z-15=0.Gäi G lµ träng t©m ABC .CMR ®iÒu kÞªn cÇn vµ ®ñ ®Ó M n»m trªn mÆt ph¼ng (P) cã tæng c¸c b×nh ph¬ng kho¶ng c¸ch ®Õn c¸c ®iÓm A,B,C nhá nhÊt lµ ®iÓm M ph¶i lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm G trªn mÆt ph¼ng (P) .X¸c ®Þnh to¹ ®é cña ®iÓm M ®ã. Bµi 6: Cho mÆt ph¼ng (P) 3x+3y+mz-6-m=0. a) CMR (P) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh M, T×m to¹ ®é cña M. b) Gi¶ sö (P) c¾t 0x,0y,0z theo thø tù t¹i A,B,C . c) TÝnh 0A,0B,0C ®Ó tø diÖn 0ABC ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt . d) TÝnh 0A,0B,0C ®Ó 0A+0B+0C lµ nhá nhÊt . Bµi to¸n 8: §iÓm vµ ®êng th¼ng Bµi 1: T×m trªn ®êng th¼ng (d) ®iÓm M(xM,yM,zM) sao cho nhá nhÊt ,biÕt: a) b) c) Bµi 2: Cho ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh : .T×m ®iÓm M thuéc (d) sao cho AM + BM nhá nhÊt khi : a) A(1;2;-1), B(8;1;-2) . b) A(1;2;-1),B(0;1;2). Bµi 3: (§HBK-98):Cho ®êng th¼ng (d) vµ mÆt ph¼ng (P)cã ph¬ng tr×nh : , a) T×m to¹ ®é c¸c ®iÓm thuéc ®êng th¼ng(d) sao cho kho¶ng c¸ch tõmçi ®iÓm ®ã ®Õn mÆt ph¼ng (P) b»ng 1. b) Gäi K lµ ®iÓm ®èi xøng cña ®iÓm I(2;-1;3) qua ®êng th¼ng (d) .X¸c ®Þnh to¹ ®é K. Bµi 4: (§HHång §øc -2000): Cho ®êng th¼ng (d) vµ mÆt ph¼ng (P) cã ph¬ng tr×nh : vµ (P): x+2y+z-1=0. a) T×m to¹ ®é c¸c ®iÓm thuéc ®êng th¼ng(d) sao cho kho¶ng c¸ch tõmçi ®iÓm ®ã ®Õn mÆt ph¼ng (P) b»ng . b) Gäi K lµ ®iÓm ®èi xøng cña ®iÓm I(2;0;-1) qua ®êng th¼ng (d) .X¸c ®Þnh to¹ ®é K. Bµi 5: (§H§µ n½ng -2000): Cho ®iÓm A(-4;4;0),B(2;0;4),C(1;2;-1),D(7;-2;3). a) CMR A,B,C,D ®ång ph¼ng . b) TÝnh kho¶ng c¸ch tõ C®Õn ®êng th¼ng (AB) Bµi to¸n 9: Gãc trong kh«ng gian Bµi 1: X¸c ®Þnh sè ®o gãc gi÷a 2 ®êng th¼ng (d1),(d2) cã ph¬ng tr×nh : a) b) , c) Bµi 2: (§HHH-2000): Cho ba ®êng th¼ng (d1),(d2), (d3) cã ph¬ng tr×nh : , a) X¸c ®Þnh cosin gãc gi÷a (d1),(d2). b) LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) song song víi (d3) ®ång thêi c¾t c¶ (d1),(d2). Bµi 3: X¸c ®Þnh sè ®o gãc gi÷a ®êng th¼ng (d) vµ mÆt ph¼ng (P) cã ph¬ng tr×nh cho bëi : vµ (P):x+y-7z-58=0. Bµi 4: (C§SP TP.HCM-99): Cho ®êng th¼ng (d) vµ mÆt ph¼ng (P) cã ph¬ng tr×nh : vµ (P):2x+y+z-1=0 a) X¸c ®Þnh sè ®o gãc gi÷a ®êng th¼ng (d) vµ mÆt ph¼ng (P) . b) T×m to¹ ®é giao ®iÓm A cña ®êng th¼ng (d) vµ mÆt ph¼ng (P). c) LËp ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®êng th¼ng (d1) ®i qua A vu«ng gãc víi (d) vµ n»m trong mÆt ph¼ng (P). Bµi 5: (§HAN-CS-98): Cho ®êng th¼ng (d) vµ mÆt ph¼ng (P) cã ph¬ng tr×nh : vµ (P): x+z+2=0 a) X¸c ®Þnh sè ®o gãc gi÷a ®êng th¼ng (d) vµ mÆt ph¼ng (P) . b) LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d1) lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña (d) lªn mÆt ph¼ng (P). Bµi to¸n 10: Tam gi¸c trong kh«ng gian Bµi 1: Cho ABC bݪt A(1;2;5), B(1;4;3), C(5;2;1) vµ mÆt ph¼ng (P):x-y-z-3=0. a) LËp ph¬ng tr×nh ®êng trung tuyÕn ,®êng cao vµ ®êng ph©n gi¸c trong kÎ tõ ®Ønh A. b) Gäi G lµ träng t©m ABC .CMR ®iÒu kÞªn cÇn vµ ®ñ ®Ó ®iÓm M n»m trªn mÆt ph¼ng (P) cã tæng c¸c b×nh ph¬ng kho¶ng c¸ch ®Õn c¸c ®iÓm A,B,C nhá nhÊt lµ ®iÓm M ph¶i lµ h×nh chØÕu vu«ng gãc cña ®iÓm G trªn mÆt ph¼ng (P) .X¸c ®Þnh to¹ ®é cña ®iÓm M ®ã. Bµi 2: Cho mÆt cÇu . a) Gäi A,B,C lÇn lît lµ giao ®iÓm (kh¸c gèc to¹ ®é ) cña mÆt cÇu (S) víi 0x,0y,0z .C¸c ®Ønh to¹ ®é cña A,B,C vµ lËp ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (ABC). b) LËp ph¬ng tr×nh c¸c ®êng trung tuyÕn , ®êng cao vµ ®êng ph©n gi¸c trong kÎ tõ ®Ønh A cña ABC. c) X¸c ®Þnh to¹ ®é t©m vµ tÝnh b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp ABC. Bµi 3 Cho c¸c ®iÓm A(3;1;0), B(2;2;4) ,C(-1;21). a) LËp ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (ABC). b) LËp ph¬ng tr×nh c¸c ®êng trung tuyÕn ,®êng cao vµ ®êng ph©n gi¸c trong kÎ tõ ®Ønh A cña ABC. c) X¸c ®Þnh to¹ ®é t©m vµ tÝnh b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp ABC. VI. MÆt cÇu Bµi to¸n 1. Ph¬ng tr×nh mÆt cÇu Bµi 1: Trong c¸c ph¬ng tr×nh sau ®©y ,ph¬ng tr×nh nµo lµ ph¬ng tr×nh cña mÆt cÇu ,khi ®ã chØ râ to¹ ®é t©m vµ b¸n kÝnh cña nã ,biÕt: a) b) c) d) e) Bµi 2: Cho hä mÆt cong (Sm) cã ph¬ng tr×nh: a) T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó (Sm) lµ mét hä mÆt cÇu . b) CMR t©m cña (Sm) lu«n n»m trªn mét ®êng th¼ng cè ®Þnh. Bµi 3: Cho hä mÆt cong (Sm) cã ph¬ng tr×nh: a) T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó (Sm) lµ mét hä mÆt cÇu . b) T×m quÜ tÝch t©m cña hä (Sm) khi m thay ®æi. c) T×m ®iÓm cè ®Þnh M mµ (Sm) lu«n ®i qua. Bµi 4: Cho hä mÆt cong (Sm) cã ph¬ng tr×nh: a) T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó (Sm) lµ mét hä mÆt cÇu . b) CMR t©m cña (Sm) lu«n ch¹y trªn mét ®êng trßn (C) cè ®Þnh trong mÆt ph¼ng 0xy khi m thay ®æi. c) Trong mÆt ph¼ng 0xy, (C) c¾t 0y t¹i A vµ B. §êng th¼ng y=m(-1 0. Bµi 2: Cho h×nh chãp SABCD .§Ønh ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng cã A(-4,5,0) ,®¬ngf chÐo BD cã ph¬ng tr×nh : a) T×m to¹ ®é c¸c ®Ønh cña h×nh chãp . b) LËp ph¬ng tr×nh nÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp. c) LËp ph¬ng tr×nh mÆt cÇu néi tݪp h×nh chãp. Bµi 3: Cho ba ®iÓm A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3). a) ViÕt ph¬ng tr×nh tæng qu¸t c¸c mÆt ph¼ng (0AB), (0BC), (0CA), (ABC). b) X¸c ®Þnh t©m I cña mÆt cÇu néi tiÕp tø diÖn 0ABC . c) T×m to¹ ®é ®iÓm J ®èi xøng víi I qua mÆt ph¼ng (ABC). Bµi 4: (HVKTMM-99):Cho bèn ®iÓm A(1;2;2), B(-1;2;-1), C(1;6;-1), D(-1;6;2). a) CMR tø diÖn ABCD cã c¸c cÆp c¹nh ®èi diÖn b»ng nhau. b) X¸c ®Þnh to¹ ®é träng t©m G cña tø diÖn . c) ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD. d) ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt cÇu néi tiÕp tø diÖn ABCD. Bµi to¸n 8: VÞ trÝ t¬ng ®èi cña ®iÓm vµ mÆt cÇu Bµi 1: Cho mÆt cÇu .xÐt vÞ trÝ tpng ®èi cña ®iÓm A ®èi víi mÆt cÇu (S) trong c¸c trêng hîp sau: a) ®iÓm A(1;3;2). b) ®iÓm A(3;1;-4). c) ®iÓm A(-3;5;1). Bµi 2: T×m to¹ ®é ®iÓm M thuéc mÆt cÇu .Sao cho kho¶ng c¸ch MA ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt ,nhá nhÊt,biÕt: a) ®iÓm A(1;-2;0). b) ®iÓm A(1;1;-2). Bµi to¸n 9: VÞ trÝ t¬ng ®èi cña ®êng th¼ng vµ mÆt cÇu Bµi 1: Cho mÆt cÇu .T×m to¹ ®é ®iÓm M thuéc (S) sao cho kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn (d) ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt,biÕt: a) b) Bµi to¸n 10: VÞ trÝ t¬ng ®èi cña mÆt ph¼ng vµ mÆt cÇu Bµi 1: (§HDL-97):Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®« trùc chuÈn 0xyz, cho mÆt cÇu (S) vµ mÆt ph¼ng (P) cã ph¬ng tr×nh : ,(P):x+z-1=0. a) TÝnh b¸n kÝnh vµ to¹ ®é t©m cña mÆt cÇu (S). b) TÝnh b¸n kÝnh vµ to¹ ®é t©m cña ®êng trßn giao cña (S) vµ (P). Bµi 2: (§HSPV-99): Cho ®iÓm I(1;2;-2) vµ mÆt ph¼ng 2x+2y+z+5=0 . a) LËp ph¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) t©m I sao cho giao cña (S) vµ (P) lµ ®êng trßn cã chu vi b»ng 8 . b) CMR mÆt cÇu (S) tiÕp xóc víi mÆt ph¼ng 2x-2=y+3=z. c) LËp ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng chøa ®êng th¼ng (d) vµ tiÕp xóc víi (S). Bµi 3: (§HBK-A-2000): Cho h×nh chãp SABCD víi S(3;2;-1), A(5;3;-1), B(2;3;-4), C(1;2;0). a) CMR SABC cã ®¸y ABC lµ tam gi¸c ®Òu vµ ba mÆt bªn lµ c¸c tam gi¸c vu«ng c©n. b) TÝnh to¹ ®é ®iÓm D ®èi xøng víi ®iÓm C qua ®êng th¼ng AB. M lµ ®iÓm bÊt k× thuéc mÆt cÇu t©m D, b¸n kÝnh .(®iÓm M kh«ng phô thuéc mÆt ph¼ng (ABC) ). XÐt tam gi¸c cã ®é dµi c¸c c¹nh b»ng ®é dµi c¸c ®o¹n tj¼mg MA, MB, MC. Hái tam gi¸c ®ã cã ®Æc ®iÓm g× ? Bµi 4: (§HPCCC-2000): Cho ®êng trßn (C) cã ph¬ng tr×nh : .LËp h¬ng tr×nh mÆt cÇu chøa (C) vµ tiÖp xóc víi mÆt ph¼ng: 2x+2y-z-6=0. Bµi 5: (C§HQ-96): Cho mÆt cÇu (S) vµ mÆt ph¼ng (P) cã ph¬ng tr×nh : ,(P):x+2y+2z+11=0. T×m ®iÓm M sao cho M thuéc (S) sao cho kho¶ng c¸ch tõ M tíi mÆt ph¼ng (P) nhá nhÊt . Bµi to¸n 11: VÞ trÝ t¬ng ®èi cña hai mÆt cÇu Bµi 1: Cho hai mÆt cÇu: , a) CMR hai mÆt cÇu (S1) vµ (S2) c¾t nhau. b) ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt cÇu qua giao ®iÓm cña (S1) vµ (S2) qua ®iÓm M(2,0,1). Bµi 2: Cho hai mÆt cÇu: , a) CMR hai mÆt cÇu (S1) vµ (S2) c¾t nhau. b) ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt cÇu qua giao ®iÓm cña (S1) vµ (S2) qua ®iÓm M(-2;1;-1).
ChuyấN HèNH HC KHễNG GIAN 2014 Phơng pháp toạ độ trong không gian I. Tọa độ của vectơ và của điểm A. Ví dụ: VD1: Viết tọa độ của các vectơ say đây: 2a i j = + ; 7 8b i k = ; 9c k = ; 3 4 5d i j k = + VD2: Cho ba vectơ a = ( 2;1 ; 0 ), b = ( 1; -1; 2) , c = (2 ; 2; -1 ). a) Tìm tọa độ của vectơ : u = 4 a - 2 b + 3 c b) Chứng minh rằng 3 vectơ a , b , c không đồng phẳng . c) Hãy biểu diển vectơ w = (3 ; 7 ; -7 ) theo ba vectơ a , b , c . VD3: Cho 3 vectơ a = (1; m; 2), b = (m+1; 2;1 ) , c = (0 ; m-2 ; 2 ) .Định m để 3 vectơ đó đồng phẳng . VD4: Cho: ( ) ( ) ( ) 2; 5;3 , 0;2; 1 , 1;7; 2a b c = = = . Tìm tọa độ của vectơ: a) 1 4 3 2 d a b c = + b) 4 2e a b c = VD5: Tìm tọa độ của vectơ x , biết rằng: a) 0a x + = và ( ) 1; 2;1a = b) 4a x a + = và ( ) 0; 2;1a = c) 2a x b + = và ( ) 5;4; 1a = , ( ) 2; 5;3 .b = VD6: Cho ba điểm không thẳng hàng: (1;3;7), ( 5; 2;0), (0; 1; 1).A B C Hãy tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. VD7: Cho bốn diểm không đồng phẳng : (2;5; 3), (1;0;0), (3; 0; 2), ( 3; 1;2).A B C D Hãy tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD. VD8: Cho điểm M(1; 2; 3). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M: a) Trên các mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz. b) Trên các trục tọa độ: Ox, Oy, Oz. VD9: Cho điểm M(1 ; 2 ; 3). Tìm tọa độ của điểm đối xứng với điểm M: a) Qua gốc tọa độ O b) Qua mặt phẳng Oxy c) Qua Trục Oy. VD10: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5). Tìm tọa độ của các đỉnh còn lại. VD11: Cho A(2; -1; 7), B(4; 5; -2). Đờng thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz tại điểm M. a) Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào ? b) Tìm tọa độ điểm M. B. Bài tập Bài 1. Viết dới dạng x i y j z k + + mỗi vectơ sau đây: 1 0; ; 2 , 2 a = ữ ( ) 4; 5;0 ,b = 4 1 ;0; 3 3 c = ữ , 1 1 ; ; , 3 5 d = ữ ( ) 0; 3;0 .u = Bài 2. Cho hai bộ ba điểm: A = (1; 3; 1), B = (0; 1; 2), C = (0; 0; 1) và A' = (1; 1; 1), B' = (-4; 3; 1), C' = (-9; 5; 1). Hỏi bộ nào có ba điểm thẳng hàng. Bài 3. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', A(x 1 ; y 1 ; z 1 ), C(x 3 ; y 3 ; z 3 ), B'(x' 2 ;y' 2 ;z' 2 ), D'(x' 4 ; y' 4 ;z' 4 ). Tìm tọa độ của các đỉnh còn lại. II. Biểu thức tọa độ của tích vô hớng, tích có hớng của hai vectơ A. Ví Dụ: Bài 1 . Cho ba vectơ ( ) ( ) 1; 1;1 , 4;0; 1 ,a b = = ( ) 3; 2; 1 .c = Tìm: 2 2 2 2 ) . ; ) . ; ) ;a a b c b a b c c a b b c c a + + ữ ữ 2 2 2 ) 3 2 . ; ) 4 . 5d a a b b c b e a c b c + + ữ . Bài 2. Tính góc giữa hai vectơ a và b : ( ) ( ) ) 4;3;1 , 1;2;3a a b = = ( ) ( ) ) 2;5; 4 , 6;0; 3 .b a b = = Bài 3. a) Trên trục Oy tìm điểm cách đều hai điểm: A(3; 1; 0) và B(-2; 4; 1). b) Trên mặt phẳng Oxz tìm điểm cách đều ba điểm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) và C(3; 1; -1). Bài 4. Xét sự đồng phẳng của ba vectơ , ,a b c trong mỗi trờng hợp sau đây: - 1 - ChuyấN HèNH HC KHễNG GIAN 2014 ( ) ( ) ( ) ) 1; 1;1 , 0;1;2 , 4;2;3a a b c = = = ( ) ( ) ( ) ) 4;3;4 , 2; 1;2 , 1;2;1b a b c = = = ( ) ( ) ( ) ) 4;2;5 , 3;1;3 , 2; 0;1c a b c = = = ( ) ( ) ( ) ) 3;1; 2 , 1;1;1 , 2;2;1 .d a b c = = = Bài 5. Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1). a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. b) Tính chu vi và diện tích ABC. c) Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABDC là hình bình hành. d) Tính độ dài đờng cao của ABC hạ từ đỉnh A. e) Tính các góc của ABC. Bài 6. Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1). a) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện. b) Tìm góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện ABCD. c) Tính thể tích tứ diện ABCD và tính độ dài đờng cao của tứ diện hạ từ đỉnh A. Bài 7. Cho ABC biết A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3). Hãy tìm độ dài đờng phân giác trong của góc B. Bài 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(1; 1; 0), B(0; 2;1), C(1; 0; 2), D(1;1 ;1). a) Chứng minh rằng A, B, C, D tạo thành tứ diện. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD. b) Tính độ dài đờng cao hạ từ đỉnh C của tứ diện đó. c) Tính độ dài đờng cao của tam giác ABD hạ từ đỉnh B. d) Tính góc ABC và góc giữa hai đờng thẳng AB, CD. Bài 9. Cho 3 điểm A ( 3;-4;7 ),B( -5; 3; -2 ) ,C(1; 2; -3 ). a) Xác định điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành . b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đờng chéo. c) Tính diện tích tam giác ABC, độ dài BC từ đó đờng cao tam giác ABC vẽ từ A. Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC . Bài 10. Cho 4 điểm A( 2; 0; 0) , B( 0; 4; 0 ) , C( 0; 0; 6 ), D ( 2; 4 ;6 ). a) Chứng minh 4 điểm A, B , C , D không đồng phẳng.Tính thể tích tứ diện ABCD b) Tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện ABCD . c) Tính diện tích tam giác ABC , từ đó suy ra chiều cao của tứ diện vẽ từ D. d) Tìm tọa độ chân đờng cao của tứ diện vẽ từ D . Bài 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(3;4;-1) , B(2;0;3), C(-3;5;4) a) Tìm độ dài các cạnh của tm giác ABC. b) Tính cosin các góc A,B,C . c) Tính diện tích tam giác ABC Bài tập: Bài 1. Cho tam giác ABC, A(1;0;-2), B(2;1;-1), C(1;-2;2). a) Tìm độ dài các cạnh của tam giác ABC b) Tìm toạ độ trung điểm I của cạnh BC c) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC d) Tính diện tích tam giác ABC. e) Tính đờng cao của tam giác hạ từ A. f) Tính các góc của tam giác ABC g) Tìm điểm M thuộc Ox sao cho MA = MB h) Tìm giao (ABC) và Ox Bài 2. Cho ( ) 2 2 2 2 2 3 1 ; ; , 1; ;1 , 4;4; 2 2 m m a m m b c m = = = ữ ữ a) Chứng minh với mọi m thì , ,a b c không đồng phẳng. b) Phân tích 3 1; 1; . 2 d = ữ theo , ,a b c Bài 3. Cho ba véc tơ: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ; ; , ; ; , ; ; 2 2 2 a b c b a c c a b p a a q b b r c c = = = ữ ữ ữ Với a, b, c không đồng thời bằng không thì , ,p q r có đồng phẳng không Bài 4 . Cho ABC biết A(1; 2; -1), B(2; -1; 3), C(-4; 7; 5). Hãy tìm độ dài đờng phân giác trong của góc B. Bài 5. Cho ABC biết A(-11; 8; 4), B(-1; -7; -1), C(9; -2; 4). a) Chứng minh tam giác ABC vuông b) Tính diện tích tam giác ABC Bài 6. Cho sáu điểm A(3; 5; -4), B(-1; 1; 2), C(-5; -5; -2), A(5; 1; 5), B(4; 3; 2), C(-3; -2; 1). a) Chứng minh tam giác ABC cân, tam giác ABC vuông b) Gọi G, G, G là trọng tâm tam giác ABC, ABCvà của tứ diện AABC. Tính ã tan G'GG'' Bài 7. Chứng minh 4 điểm A(3; 3; 3), B(1; 2; -1), C(4; 1; 1), D(6; 2; 5) là các đỉnh của hình bình hành - 2 - ChuyấN HèNH HC KHễNG GIAN 2014 Bài 8. Chứng minh 4 điểm A(5; 2; -3), B(6; 1; 4), C(-3; -2; -1), D(-1; -4; 13) là các đỉnh của hình thang. Tính diện tích Bài 9. Cho hai điểm A(-2; 0; 4), B(5; -2; -14). Tìm điểm E trong mặt phẳng Oyx sao cho: 1OE = , , ,OA OB OC uuur uuur uuur đồng phẳng Bài10. Cho hai véc tơ ( ) ( ) 1; 1;3 , 2; 2;1p q = = . Tìm véc tơ v r thoả mãn điều kiện ; ; , ,v p v q v p q r ur r r r uruur đồng phẳng. Bài 11. Cho A(-3; 2; 4), B(2; 5; -2), C(1; -2; 2), D(4; 2; 3) a) Tính cos( ,AB CD uuur uuur ) b) Tính diện tích tam giác BCD c) Tính độ dài đờng cao hạ từ A của tứ diện ABCD d) Tính cosin góc gữa AD và mặt phẳng (BCD) e) Tính cosin góc gữa hai mặt phẳng (ABD) và (BCD) f) Tìm toạ độ điểm I cách đều A, B, C, D Iii. Mặt Phẳng Bài toán 1 . Phơng trình mặt phẳng Bài 1: Lập phơng trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có vtpt n r biết a, ( ) ( ) M 3;1;1 , n 1;1;2= r b, ( ) ( ) M 2;7;0 , n 3;0;1 = r c, ( ) ( ) M 4; 1; 2 , n 0;1;3 = r d, ( ) ( ) M 2;1; 2 , n 1;0;0 = r e, ( ) ( ) M 3;4;5 , n 1; 3; 7= r f, ( ) ( ) M 10;1;9 , n 7;10;1= r Bài 2: Lập phơng trình mặt phẳng trung trực của AB biết: a, A(2;1;1), B(2;-1;-1) b, A(1;-1;-4), B(2;0;5) c, 1 1 A ; 1;0 , B 1; ;5 2 2 ữ ữ c, 2 1 1 A 1; ; , B 3; ;1 3 2 3 ữ ữ Bài 3: Lập phơng trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M và song song với mặt phẳng ( ) biết: a, ( ) ( ) ( ) M 2;1;5 , Oxy = b, ( ) ( ) M 1;1;0 , :x 2y z 10 0 + = c, ( ) ( ) M 1; 2;1 , : 2x y 3 0 + = d, ( ) ( ) M 3;6; 5 , : x z 1 0 + = Bài 4 Lập phơng trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2;3;2) và cặp VTCP là (2;1;2); (3; 2; 1)a b r r Bài 5 : Lập phơng trình của mặt phẳng (P) đi qua M(1;1;1) và a) Song song với các trục 0x và 0y. b) Song song với các trục 0x,0z. c) Song song với các trục 0y, 0z. Bài 6 : Lập phơng trình của mặt phẳng đi qua 2 điểm M(1;-1;1) và B(2;1;1) và : a) Cùng phơng với trục 0x. b) Cùng phơng với trục 0y. c) Cùng phơng với trục 0z. Bài 7 : Xác định toạ độ của véc tơ n vuông góc với hai véc tơ (6; 1;3); (3; 2;1)a b r r . Bài 8 : Tìm một VTPT của mặt phẳng (P) ,biết (P) có cặp VTCP là )4,2,3( );2,7,2( ba Bài 9 : Lập phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) biết : a) (P) đi qua điểm A(-1;3;-2) và nhận );4,3,2(n làm VTPT. b) (P) đi qua điểm M(-1;3;-2) và song song với (Q): x+2y+z+4=0. Bài 10 : Lập phơng trình tổng quát của các mặt phẳng đi qua I(2;6;-3) và song song với các mặt phẳng toạ độ. B ài 11 : (ĐHL-99) :Trong không gian 0xyz cho điểm A(-1;2;3) và hai mặt phẳng (P): x-2=0 , (Q) : y-z-1=0 .Viết phơng trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng (P),(Q). Bài 12 : Lập phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong các trờng hợp sau: a) Đi qua hai điểm A(0;-1;4) và có cặp VTCP là ( ) 3; 2;1a r và ( ) 3;0;1b r b) Đi qua hai điểm B(4;-1;1) và C(3;1;-1) và cùng phơng với trục với 0x. Bài 13: Cho tứ diện ABCD có A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6) . a) Viết phơng trình tổng quát các mặt phẳng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD). b) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua cạnh AB và song song vói cạnh CD. Bài 14: Viết phơng trình tổng quát của (P) a) Đi qua ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0) , C(0;0;3) . b) Đi qua A(1;2;3) ,B(2;2;3) và vuông góc với mặt phẳng (Q) : x+2y+3z+4=0 c) Chứa 0x và đi qua A(4;-1;2) , d) Chứa 0y và đi qua B(1;4;-3) Bài 15: Cho hai điểm A(3;2;3) B(3;4;1) trong không gian 0xyz - 3 - ChuyấN HèNH HC KHễNG GIAN 2014 a) Viết phơng trình mặt phẳng (P) là trung trực của AB. b) Viết phơng trình mặt phẳng (Q) qua A vuông góc vơi (P) và vuông góc với mặt phẳng y0z c) Viết phơng trình mặt phẳng (R) qua A và song song với mặt phẳng (P). Bài toán 2. Vị trí tơng đối của hai mặt phẳng Bài 1: Xét vị trí tơng đối ciủa các cặp mặt phẳng sau: a) (P 1 ): y z + 4 = 0, và ( ) 2 : 3 0P x y z + = b) (P 1 ): 2x+4y-8z+9=0 ( ) 2 : 2 4 1 0P x y z+ + = c) (P 1 ): x+y-z-4=0và ( ) 2 : 2 2 2 8 0P x y z+ = Bài toán 3: Chùm mặt phẳng Bài 1: Lập phơng trình mặt phẳng qua M(2;1;3) và đi qua đờng thẳng (d): a) ( ) =+ =+ 012 0532 : zyx zyx d b) ( ) += += = tz ty tx d 21 22: Bài 2:Lập phơng trình mặt phẳng đi qua điểm M(2;1;-1) và qua hai giao tuyến của hai mặt phẳng (P 1 ) và (P 2 ) có phơng trình : (P 1 ): x - y + z - 4 = 0 và (P 2 ) 3x y + z 1 = 0 Bài 3: Lập phơng trình mặt phẳng chứa đờng thẳng ( ) = =+ 02 0323 : zx zyx d và song song với mặt phẳng (Q) có phơng trình: 11x - 2y - 15z 6 = 0. Bài 4: Lập phơng trình mặt phẳng qua giao tuyến của (P 1 ): y + 2z 4 = 0 và (P 2 ) : x + y z 3 = 0 và song song với mặt phẳng (Q): - 2 0x y z+ + = . Bài 5: Lập phơng trình mặt phẳng chứa đờng thẳng ( ) = =+ 02 0323 : zx zyx d và vuông góc với (Q) có ph- ơng trình: a) (ĐHNNI-95): (Q): - 2 5 0x y z+ + = . b) ( ) : 3 1 0Q x y z+ + = Bài 6: Lập phơng trình của mặt phẳng qua hai giao tuyến của hai mặt phẳng (P 1 ): 3 - - 2 0 x y z+ = và (P 2 ): 4 -5 0 x y+ = và vuông góc với mặt phẳng : 2 - 7 0x z + = . Bài 7: Lập phơng trình chứa mặt phẳng đờng thẳng : ( ) = =+ 02 0323 : zx zyx d và song song với đờng thẳng (d) có phơng trình : a) ( ) =++ =+ 0323 0723 : zyx zyx d b) ( ) 5 5 4 3 2 2 : + = = zyx d Bài 8:Lập phơng trình chứa mặt phẳng đờng thẳng : ( ) =+ = 0323 02 : zyx yx d và vuông góc đờng thẳng (d) có phơng trình : a) ( ) =++ =+ 0323 0723 : zyx zyx d b) ( ) 5 5 4 3 2 2 : + = = zyx d Bài 9: Lập phơng trình chứa mặt phẳng đờng thẳng và với mặt phẳng (Q) một góc 60 độ biết: ( ) = =+ 02 0323 : zx zyx d và (Q):3x+4y-6=0 Bài 10: Lập phơng trình mặt phẳng (P) chứa đờng thẳng ( ) =+ = 015 023 : zy zx d và có khoảng cách từ điểm A(1;-1; 0) tới (P) bằng 1. Bài 11: Cho đờng thẳng (d) và hai mặt phẳng ( ) =+ = 01 02 : zy zx d và (P 1 ): 5x+5y-3z-2=0 và (P 2 ):2x-y+z- 6=0. Lập phơng trình mặt phẳng (P) chứa đờng thẳng (d) sao cho: ( ) ( ) 1 PP và ( ) ( ) 2 PP là hai đờng vuông góc. Bài 12: (ĐHKT-93): cho hai đờng thẳng (d 1 ) và (d 2 ) có phơng trình : ( ) , 014 0238 : 1 =+ =+ zy zx d ( ) =++ = 022 032 : 2 zy zx d . - 4 - ChuyấN HèNH HC KHễNG GIAN 2014 a) Viết phơng trình các mặt phẳng ( ) 1 P , ( ) 2 P song song với nhau và lần lợt chứa ( ) 1 d ( ) 2 d b) Tính khoảng cách giữa ( ) 1 d , ( ) 2 d c) Lập phơng trình đờng thẳng (D) song song với trục Oz và cắt cả 2 đờng thẳng ( ) 1 d , ( ) 2 d B ài toán 4. Khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng Bài 1:Tính khoảng cách từ điểm M(2;2;1) đến mặt phẳng (P) trong các trờng hợp sau: a) ( ) : 2 - 3 3 0P x y z+ + = b) ( ) : 2 3 1 0P x y z + = Bài 2:Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tứ diện có 4 đỉnh A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6) a) Lập phơng trình tổng quát mặt phẳng (ABC) b) Tính chiều dài đờng thẳng cao hạ từ đỉnh D của tứ diện, từ đó suy ra thể tích của tứ diện Bài 3:Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tứ diện có 4 đỉnh A(1;1;1) B(-2;0;2) C(0;1;-3) D(4;- 1;0) a) (ĐH Luật 1996) Tính chiều dài đờng thẳng cao hạ từ đỉnh D của tứ diện b) Viết phơng trình mặt phẳng phân giác của 2 mặt (ABC) và (BCD) cắt đoạn AD IV. Đờng thẳng trong không gian Bài toán 1 . Phơng trình đờng thẳng Bài 1:Lập phơng trình đờng thẳng (d) trong các trờng hợp sau : a) (d) đi qua điểm M(1;0;1) và nhận (3; 2;3)a r làm VTCP b) (d) đi qua 2 điểm A(1;0;-1) và B(2;-1;3) Bài 2: Trong không gian Oxyz lập phơng trình tổng quát của các giao tuyến của mặt phẳng ( ) : -3 2 -6 0 P x y z+ = và các mặt phẳng toạ độ Bài 3: Viết phơng trình chính tắc của đờng thẳng đi qua điểm M(2;3;-5) và song song với đờng thẳng (d) có phơng trình: 3 2 7 0 3 2 3 0 x y z x y z + = + + = Bài 4: Cho đờng thẳng (D) và mặt phẳng (P) có phơng trình là : ( ) =+++ =++ 0732 0143 : zyx zyx d và (P): x+y+z+1=0 Tìm phơng trình chính tắc của đờng thẳng (t) đi qua A(1;1;1) song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đờng thẳng (D) Bài 5: Cho mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9). Viết phơng trình tham số của đ- ờng thẳng (d) đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đó B ài toán 2. Chuyển dạng phơng trình đờng thẳng Bài 1:Tìm véc tơ chỉ phơng của các đờng thẳng sau a) 3 1 4 2 3 1 :)( + = + = zyx d b) ( ) =+ =++ 0642 0104 : zyx zyx d Bài 2: Cho đờng thẳng (d) có phơng trình : ( ) =+ =++ 0642 0104 : zyx zyx d . Hãy viết phơng trình tham số của đờng thẳng đó Bài 3: Cho đờng thẳng (d) có phơng trình : ( ) =+ =++ 0642 0104 : zyx zyx d . Hãy viết phơng trình chính tắc của đờng thẳng đó Bài4: Cho đờng thẳng (d) có phơng trình : ( ) R t, 21 22: += += = tz ty tx d . Hãy viết phơng trình tổng quát của đờng thẳng đó Bài 5: Lập phơng trình tham số, chính tắc và tổng quát của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(2;1;3) và vuông góc với mặt phẳng (P) trong các trờng hợp sau: a) ( ) : 2 3 - 4 0P x y z+ + = b) ( ) : 2 3 1 0P x y z+ + = . Bài 6: Lập phơng trình tham số, chính tắc và tổng quát của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(1;2;3) và song song với đờng thẳng ( ) cho bởi : - 5 - ChuyấN HèNH HC KHễNG GIAN 2014 a) ( ) 2 2 : 3 t 3 x t y t R z t = + = = + . b) ( ) 1 0 : 4 1 0 x y x z + = + + = Bài 7:Lập phơng trình tham số, chính tắc và tổng quát của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(1;2;3) và vuông góc với 2 đờng thẳng : ( ) =+ =+ 032 022 : 1 zx yx d , ( ) =+ =++ 0642 0104 : 2 zyx zyx d Bài 8:Trong không gian Oxyz, lập phơng trình tham số, chính tắc và tổng quát của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(3;2;1), song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đờng thẳng (). Biết mặt phẳng ( ) : - 2 0P x y z+ + = và =++ =+ 014 01 :)( zy yx B ài toán 3. Vị trí tơng đối của đờng thẳng và mặt phẳng Bài1: Xét vị trí tơng đối của đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) ,biết: a) ( ) R t, 2 3 1 : += = += tz ty tx d (P): x-y+z+3=0 b) ( ) R t, 1 9 412 : += += += tz ty tx d (P): y+4z+17=0 c) ( ) 05 010632 : =+++ =++ zyx zyx d (P): y+4z+17=0 d) ( ) 01 03 : = =++ y zyx d (P): x+y-2=0 Bài 2: Hãy tính sin của góc tạo bởi đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) cho bởi : a) ( ) )(t 1 39 412 : R tz ty tx d += += += và ( ) : 2 3 1 0P x y z + = .b) ( ) 05 010632 : =+++ =++ zyx zyx d và ( ) : 2 3 1 0P x z y + = c) ( ) R t, 22 2 21 : += += += tz ty tx d và ( ) : - 2 2 3 0.P x y z+ + = Bài 3: (ĐHNN_TH-98): Cho mặt phẳng (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình (P): 2x+y+z=0 và ( ) 3 2 12 1 : + == zyx d . a) Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và (P) . b) Lập phơng trình đờng thẳng (d 1 ) qua A vuông góc với (d) và nằm trong mặt phẳng (P) . Bài 4: (ĐH Khối A-2002): Trong không gian 0xyz ,cho mặt phẳng (P) và đờng thẳng (d m ) có phơng trình : ( ) : 2 - 2 0 P x y + = , ( ) 024)12( 01)1()12( : =++++ =+++ mzmmx mymxm d m xác định m để (d m )//(P) B ài toán 4. Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng Bài 1: sử dụng tích hỗn tạp xác định vị trí tơng đối của hai đờng thẳng (d 1 ) và (d 2 ) có phơng trình cho bởi: a) ( ) R tz ty tx d += += += t 46 32 23 : 1 , ( ) =+ =+ 015 0194 : 2 zx yx d b) ( ) R tz ty tx d += += += t 33 2 21 : 1 , ( ) 13 23 2 : 2 += += += uz uy ux d c) ( ) 01 012 : 1 =++ =++ zyx yx d , ( ) 012 033 : 2 =+ =++ yx zyx d Bài 2: Trong không gian 0xyz ,cho hai đờng thẳng (d 1 ),(d 2 ) có phơng trình cho bởi : ( ) 5 1 25 : 1 = = += tz ty tx d , ( ) ( ) R tz ty tx d = = += 1 1 1 1 2 tt, 1 3 23 : a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d 1 ),(d 2 ) song song với nhau . b) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song ,cách đều (d 1 ),(d 2 ) và thuộc mặt phẳng chứa (d 1 ),(d 2 ) . Bài 3: Cho hai đờng thẳng (d 1 ),(d 2 ) có phơng trình cho bởi: - 6 - ChuyấN HèNH HC KHễNG GIAN 2014 ( ) 4 9 1 5 3 7 : 1 = = + zyx d , ( ) 4 18 1 4 3 : 2 + = + = zyx d a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d 1 ),(d 2 ) song song với nhau . b) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song ,cách đều (d 1 ),(d 2 ) và thuộc mặt phẳng chứa (d 1 ),(d 2 ). Bài 4: Trong không gian 0xyz ,cho hai đờng thẳng (d 1 ),(d 2 ) có phơng trình cho bởi : ( ) R t 46 2 23 : 1 += += += tz ty tx d , ( ) 015 0194 : 2 =+ =+ zx yx d a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d 1 ),(d 2 ) cắt nhau . b) Viết phơng trình đờng phân giác của (d 1 ),(d 2 ) Bài5: Trong không gian 0xyz ,cho hai đờng thẳng (d 1 ),(d 2 ) có phơng trình cho bởi : ( ) 3 4 1 2 2 1 : 1 = + = zyx d ( ) ( ) t 32 1 : 2 R tz ty tx d += = += a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d 1 ),(d 2 ) cắt nhau. b) Viết phơng trình đờng phân giác của (d 1 ),(d 2 ) Bài 6: Trong không gian 0xyz ,cho hai đờng thẳng (d 1 ),(d 2 ) có phơng trình cho bởi : ( ) 1 1 : 1 = = = z ty tx d , ( ) ( ) R tz ty tx d = += = 1 1 1 1 2 tt, 1 2 : a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d 1 ),(d 2 ) chéo nhau. b) Viết phơng trìnhmặt phẳng(P) song song ,cách đều (d 1 ),(d 2 ) . Bài 7: Trong không gian 0xyz ,cho hai đờng thẳng (d 1 ),(d 2 ) có phơng trình cho bởi : ( ) =+ =++ 0104z-y 0238zx : d 1 , ( ) 022 032 : 2 =++ = zy zx d a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d 1 ),(d 2 ) chéo nhau. b) Viết phơng trìnhmặt phẳng(P) song song, cách đều (d 1 ),(d 2 ) . Bài8: Trong không gian 0xyz ,cho hai đờng thẳng (d 1 ),(d 2 ) có phơng trình cho bởi : ( ) 3 3 2 2 1 1 : 1 = = zyx d ( ) 0532 02 : 2 =+ =+ zyx zyx d a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d 1 ),(d 2 ) chéo nhau. b) Viết phơng trình mặt phẳng(P) song song, cách đều (d 1 ),(d 2 ) . B ài toán 5. Hai đờng thẳng đồng phẳng và bài tập liên quan Bài 1: (ĐHBK-TPHCM-93): Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa (d 1 ),(d 2 ) ,biết: ( ) 2 3 2 1 3 1 : 1 = = + zyx d ( ) 2 3 1 1 1 : 2 = = zyx d Bài 2: (ĐHSPII-2000): Cho điểm A(1;-1;1) và hai đờng thẳng (d 1 ),(d 2 ) có phơng trình cho bởi : ( ) =+ =+ 01y-2x 03z-y-3x : d 1 ( ) ( ) t 3 21: 2 R tz ty tx d = = = CMR (d 1 ),(d 2 ) và điểm A cùng thuộc mặt phẳng. Bài 3: Cho hai đờng thẳng (d 1 ),(d 2 ) có phơng trình cho bởi : ( ) =+ =++ 01y-x 01y2x : d 1 z ( ) 012 033 : 2 = =++ yx zyx d a) CMR hai đờng thẳng đó cắt nhau. b) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa (d 1 ), (d 2 ). c) Viết phơng trình đờng phân giác của(d 1 ), (d 2 ) Bài 4: Cho hai đờng thẳng (d 1 ),(d 2 ) có phơng trình cho bởi : ( ) 1 1 2 1 1 2 : 1 = = zyx d ( ) ( ) t 31 2 21 : 2 R tz ty tx d += += += - 7 - ChuyấN HèNH HC KHễNG GIAN 2014 a) CMR hai đờng thẳng đó cắt nhau.Xác định toạ độ giao điểm của nó. b) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa (d 1 ),(d 2 ). c) Viết phơng trình đờng phân giác của(d 1 ),(d 2 ) Bài5: cho hai đờng thẳng (d 1 ),(d 2 ) có phơng trình cho bởi : ( ) 3 2 4 1 1 3 : 1 = + = zyx d , ( ) 03 024 : 2 = = zx yx d a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d 1 ),(d 2 ) song song với nhau. b) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa (d 1 ),(d 2 ). c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) trong (P) song song cách đều (d 1 ),(d 2 ) . B ài toán 6. Hai đờng thẳng chéo nhau và bài tập liên quan Bài 1: (ĐHNN-96): cho hai đờng thẳng (d 1 ),(d 2 ) có phơng trình cho bởi : ( ) 34 24 37 : 1 += = += tz ty tx d ( ) ( ) R tz ty tx d = += += 1 1 1 1 2 tt, 12 29 1 : a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d 1 ),(d 2 ) chéo nhau. b) Viết phơng trình đờng thẳng vuông góc chung của (d 1 ),(d 2 ) . Bài 2: (ĐHTCKT-96): Trong không gian 0xyz , cho hai đờng thẳng (d 1 ),(d 2 ) có phơng trình cho bởi : 1 ( ) : - 1 -1d x y z = + = , 2 ( ) : - 1 -1d x y z+ = = . Tìm toạ độ điểm A 1 thuộc (d 1 ) và toạ độ điểm A 2 thuộc (d 2 ) để đờng thẳng A 1 A 2 vuông góc với (d 1 ) và vuông góc với (d 2 ) . Bài 3: (ĐH L 1996) Cho hai đờng thẳng (d 1 ),(d 2 ) có phơng trình cho bởi : ( ) 1 1 : 1 = = = z ty tx d , ( ) ( ) R tz ty tx d = += = 1 1 1 1 2 tt, 1 2 : a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d 1 ),(d 2 ) chéo nhau.Viết phơng trình mặt phẳng (P),(Q) song song với nhau và lần lợt chứa (d 1 ),(d 2 ) b) Tính khoảng cách giữa (d 1 ),(d 2 ) . Bài 4: (ĐHTS-96): Cho hai đờng thẳng (d 1 ),(d 2 ) có phơng trình cho bởi : ( ) ( ) Rt 12 23 31 : 1 = += += z ty tx d ( ) 01225 0823 : 2 =+ = zx yx d a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d 1 ),(d 2 ) chéo nhau. Tính khoảng cách giữa (d 1 ),(d 2 ) b) Viết phơng trình đờng thẳng vuông góc chung của (d 1 ),(d 2 ) . Bài 5: : (PVBC 99) Cho hai đờng thẳng (d 1 ),(d 2 ) ,biết: ( ) 1 2 3 1 2 1 : 1 = = + zyx d ; ( ) 25 2 2 2 : 2 = + = zyx d a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d 1 ),(d 2 ) chéo nhau. b) Viết phơng trình đờng thẳng vuông góc chung của (d 1 ),(d 2 ) . Bài 6: (ĐHSPQui Nhơn-D-96): cho hai đờng thẳng (d 1 ),(d 2 ) ,biết: ( ) =+ =+ 04y-x 0yx : d 1 z ( ) ( ) t 2 31 : 2 R tz ty tx d += = += a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d 1 ),(d 2 ) chéo nhau. b) Tính khoảng cách giữa (d 1 ),(d 2 ) Bài 7: : cho hai đờng thẳng (d 1 ),(d 2 ) ,biết: ( ) 1 9 2 3 1 7 : 1 = = zyx d ( ) 3 1 2 1 7 3 : 2 = = zyx d a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d 1 ),(d 2 ) chéo nhau. b) Viết phơng trình đờng thẳng vuông góc chung của (d 1 ),(d 2 ) . Bài 8: (ĐH Huế 1998) Cho hai đờng thẳng (d 1 ),(d 2 ) có phơng trình cho bởi : ( ) 1 1 22 : 1 1 1 = += += z ty tx d , ( ) ( ) R tz ty x d = += = 21 2 22 t,t 3 1 1 : a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d 1 ),(d 2 ) chéo nhau. - 8 - ChuyấN HèNH HC KHễNG GIAN 2014 b) Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa (d 1 ) và song song với (d 2 ) . c) Tính khoảng cách giữa (d 1 ),(d 2 ) . Bài 9: (ĐHNN-97): Cho hai đờng thẳng (d 1 ),(d 2 ) có phơng trình cho bởi : ( ) =++ =++ 01y-x 02zyx : d 1 z ( ) ( ) t 2 5 22 : 2 R tz ty tx d += = += a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d 1 ),(d 2 ) chéo nhau. b) Tính khoảng cách giữa (d 1 ), (d 2 ) . c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua M(1,1,1) và cắt đồng thời (d 1 ),(d 2 ) . Bài 10: (ĐHKT-98): Cho tứ diện SABC với các đỉnh S(-2;2;4), A(-2;2;0) ,B(-5;2;0) ,C(-2;1;1). Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối SA và SB. V. Điểm, đờng thẳng và Mặt Phẳng Bài toán 1 : Đờng thẳng đi qua một điểm cắt cả hai đờng thẳng cho trớc. Bài 1: Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A(1;2;3) và cắt cả hai đờng thẳng a) ( ) =+ =++ 0104z-y 0328zx : d 1 ( ) 022 032 : 2 =++ = zy zx d b) ( ) 3 3 2 2 1 1 : 1 = = zyx d ( ) 0532 02 : 2 =+ =+ zyx zyx d Bài 2: Viết phơng trình đờng thẳng đi qua gốc toạ độ và cắt cả hai đờng thẳng: ( ) R tz ty tx d += += += t 33 2 21 : 1 , ( ) 13 23 2 : 2 += += += uz uy ux d Bài 3: Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng () và cắt cả hai đờng thẳng: ( ) 01 02 : =++ =++ zyx zyx ( ) R tz ty tx d = = += t 2 1 2 : 1 ( ) 03 022 : 2 = =+ y zx d Bài 4: (ĐHDL-97): Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A(1;-1;0) và cắt cả hai đờng thẳng: ( ) 2 1 1 1 1 : 1 = + = zyx d ( ) 121 1 : 2 zyx d == + Bài 5: (ĐHTS-99): Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A(1;-1;0) và cắt cả hai đờng thẳng: ( ) =+ = 012-2z5x 08-2y-3x : d 1 ( ) ( ) t 2 23 31 : 2 R tz ty tx d = = += Bài 6: Viết phơng trình đờng thẳng (d) vuông góc với (P) :x+y+z-2=0 và cắt cả hai đờng thẳng (d 1 ) và (d 2 ): ( ) R tz ty tx d = = += t 2 1 2 : 1 ( ) 03 022 : 2 = =+ y zx d Bài 7: Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua gốc toạ độ và cắt cả 2 đờng thẳng (d 1 ) và (d 2 ): ( ) R tz ty tx d = += += t 33 2 12 : 1 ( ) 0313 23 2 : 2 =+= += += uz uy ux d Bài toán 2: Đờng thẳng đi qua một điểm vuông góc với cả hai đờng thẳng cho trớc. Bài 1: Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A(1;2;3) và cắt cả hai đờng thẳng (d 1 ) ,(d 2 ): a) ( ) =+ =++ 0104z-y 0328zx : d 1 ( ) 022 032 : 2 =++ = zy zx d b) ( ) 01225 0823 : 1 =+ = zx yx d ( ) ( ) t 2 23 31 : 2 R tz ty tx d = = += - 9 - ChuyấN HèNH HC KHễNG GIAN 2014 Bài 2: (ĐHTCKT 1999) Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua A(1;1;-2) song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đờng thẳng (d): 1 1 2 , ( ) : - - -1 0 2 1 3 x y z P x y z + = = = Bài toán 3: Đờng thẳng đi qua một điểm vuông góc với một đờng và cắt một đờng thẳng khác Bài 1: (ĐHSP TPHCM-95): Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A(0;1;1) và vuông góc với đờng thẳng (d 1 ) và cắt (d 2 ) ,biết: ( ) 11 2 3 1 : 1 zyx d = + = ( ) 01 02 : 2 =+ =++ x zyx d Bài 2: Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A(1;1;1) và vuông góc với đờng thẳng (d 1 ) và cắt (d 2 ) ,biết : ( ) =+ =++ 01-zy 03-zyx : d 1 ( ) 01 0922 : 2 =+ =+ zy zyx d Bài 3: Viết phơng trình đờng thẳng cắt cả ba đờng thẳng (d 1 ) (d 2 ) , (d 3 ) và vuông góc với vectơ ( ) 1;2;3u r , biết: ( ) =+ =+ 01z 01y-x : d 1 ( ) 0 01 : 2 = =+ z yx d ( ) 1 01 : 3 = = z yx d Bài 4: Tìm tất cả các đờng thẳng cắt (d 1 ), (d 2 ) dới cùng một góc, biết: ( ) = = az 0y-mx : d 1 ( ) 0 : 2 = =+ az ymx d Bài 5: (ĐHTL-97):Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A(3;-2;-4) song song với mặt phẳng (P) :3x-2y- 3z-7=0 và cắt đờng thẳng (d) biết: ( ) 2 1 2 4 3 2 : = + = zyx d Bài toán 4: Hình chiếu vuông góc củađiểm lên mặt phẳng Bài 1: Tìm toạ độ điểm đối xứng của A(-2;1;3) qua (P) cho bởi: 2x+y-z-3=0. Bài 2: (ĐHKTCN-97): Cho điểm A(1;2;3) và mặt phẳng (P) có phơng trình :2x-y+2z-3=0 a) Lập phơng trình mặt phẳng qua A và song song với (P). b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (P). Xác định toạ độ của H Bài3: (ĐHGTVTTPHCM-99): Cho ba điểm A(1;1;2), B(-2;1;-1), C(2;-2;-1) .Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm O lên mặt phẳng (ABC). Bài 4: (ĐHTCKT-2000): Cho điểm A(2;3;5) và mặt phẳng (P) có phơng trình: 2x+3y+z-17=0 a) Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua A và vuông gócvới (P). b) CMR đờng thẳng (d) cắt trục 0z , tìm giao điểm M của chúng. c) Xác định toạ độ điểm A 1 đối xứng với A qua (P). Bài 5: Cho mặt phẳng (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình: (P): 2x+5y+z+17=0 và ( ) 0736 02743 : =++ =+ zyx zyx d a) Xác định toạ độ giao điểm A của (d) và (P). b) Lập phơng trình đờng thẳng (d 1 ) đối xứng với (d) qua (P) Bài 6: Cho mặt phẳng (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình : ( ) : 2 4 0P x y z+ + + = và ( ) 0723 032 : = =+ zx yx d a) Xác định toạ độ giao điểm A của (d) và (P). b) Lập phơng trình đờng thẳng (d 1 ) đối xứng với (d) qua (P) Bài 7: (ĐHQG 1998) Cho các điểm A(a;0;0); B(0;b;0); C(0;0;c) (a,b,c dơng ). Dựng hình hộp chữ nhật nhận O,A,B,C làm 4 đỉnh và gọi D là đỉnh đối diện với đỉnh O của hình hộp đó a) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (ABD) b) Tính toạ độ hình chiếu vuông góc của C xuống mặt phẳng (ABD). Tìm điều kiện đối với a,b,c để hình chiếu đó nằm trong mặt phẳng (xOy) Bài toán 5: Hình chiếu vuông góc của đờng thẳng lên mặt phẳng Bài 1: (ĐHQG TPHCM 1998) Trong không gian với hệ trục toạ độ trực chuẩn 0xyz ,cho đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phơng trình: (P):x+y+z-3=0 và ( ) 032 03 : = =+ zy zx d Lập phơng trình hình chiếu vuông góc của đờng thẳng (d) lên (Q). Bài 2: Lập phơng trình hình chiếu vuông góc của giao tuyến (d) của hai mặt phẳng 3x-y+z-2=0 và x+4y-5=0 lên mặt phẳng 2x-z+7=0. - 10 - [...]...ChuyấN HèNH HC KHễNG GIAN 2014 Bài 3: (ĐHMĐC-98) :Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn 0xyz cho đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phơng trình: ( d ) : = x 4 y 4 z +1 và (P): x-y+3z+8=0 Hãy viết phơng trình chính tắc = 3 2 hình chiếu vuông góc của (d) lên (P) Bài 4: Trong không gian 0xyz cho đờng thẳng (d) và mặt phẳng (Q) có phơng trình : x =... viết phơng trình chính tắc = = 1 2 3 hình chiếu vuông góc (d1) của (d) lên (P) Bài 7: (HVQY-95): Trong không gian với hệ toạ độ vuông góc 0xyz cho đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phơng trình : ( d ) : x 1 y 2 z 1 và (P): x+y+z+1=0 = = 1 2 3 a) Hãy viết phơng trình chính tắc hình chiếu vuông góc (d1) của (d) lên (Oxy) b) CMR khi m thay đổi đờng thẳng (d1) luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định... 5 t + t 1 2 ( t 1 , t 2 R ) Lập phơng trình hình chiếu vuông góc của đ- ờng thẳng (d) lên (Q) 2x - y + z + 1 = 0 (Q): x-y+z+10=0 x + 2y - z - 3 = 0 Bài 5: Cho đờng thẳng (d) và mặt phẳng (Q) có phơng trình: ( d ) : Hãy viết phơng trình chính tắc hình chiếu vuông góc (d1) của (d) lên (P) Bài 6: (ĐH Càn Thơ 1998) Trong không gian với hệ toạ độ vuông góc 0xyz cho đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P)... Trong không gian với hệ toạ độ vuông góc 0xyz cho mặt phẳng (P) và hai đờng 2y - z + 1 = 0 3 y z + 12 = 0 , ( d2 ) : x + 2y = 0 x z + 2 = 0 thẳng (d1) và (d2) có phơng trình: (P):x+y-z+1=0, ( d1 ) : a) Hãy viết phơng trình hình chiếu vuông góc (1), (2) của (d1), (d2) lên (P) Tìm toạ độ giao điểm I của (d1), (d2) b) Viết phơng trình mặt phẳng ( P1 ) chứa (d1) và vuông góc với (P) Bài toán 6: Hình. .. (d1) đối xứng với (d) qua () Bài 8: (ĐHHH-1999): Trong không gian cho 2 đờng thẳng (d1),(d2) : x = t 2 x + y + 1 = 0 ( d1 ) : (d 2 ) : y = 1 + 2t t R x y + z 1 = 0 z = 4 + 5t a) (d1) , (d2) có cắt nhau hay không b) Gọi B,C lần lợt là các điểm đối xứng của A(1;0;0) qua (d1),(d2) Tính diện tích tam giác ABC Bài 9: (ĐHTM-1999): Trong không gian cho đờng thẳng (d1) và mặt phẳng (P) : 2x y 2z... qua đờng thẳng (d) b) Viết phơng trình hình chiếu vuông góc của đờng thẳng (d) trên mặt phẳng (P) Bài10: Trong không gian 0xyz cho bốn đờng thẳng (d1), (d2), (d3), (d4) có phơng trình : mx y = 0 mx y = 0 mx + y = 0 mx + y = 0 , ( d2 ) : , ( d3 ) : , ( d4 ) : z = h z = h z = h z = h ( d1 ) : CMR các điểm đối xứng A1, , A2, , A3, A4 của A bất kì trong không gian qua (d1), (d2), (d3), (d4) là đồng... ChuyấN HèNH HC KHễNG GIAN 2014 Bài 1: (ĐH Huế-96): Trong không gian với hệ toạ 0xyz ,cho bốn điểm A(1;0;1), B(2;1;2),C(1;1;1),D(4;5;-5) a) Viết phơng trình tham số của đờng thẳng đi qua D và vuông góc với mặt phẳng (ABC) b) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Bài 2: Cho bốn điểm O(0;0;0),A(6;3;0), B(-2;9;1), S(0;5;8) a) (ĐHKT-99): CMR SB vuông góc SA b) (ĐHKT-99): CMR hình chiếu của cạnh... Trong không gian 0xyz, cho hai đờng thẳng (d1),(d2) ,biết : x = 1 + 2t ( d1 ) : y = 2 + t z = 3 + 3t x = u + 2 ( d 2 ) : y = 3 + 2u z = 1 + 3u (t R) , a) CMR hai đờng thẳng đó chéo nhau b) Viết phơng trình đờng vuông góc chung của(d1) và (d2) c) Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2) d) Lập phơng trình mặt cầu tiếp xúc với (d1),(d2) và có tâm thuộc mặt phẳng (P) : xy+z-2=0 Bài 8: Trong không gian. .. Xác định toạ độ = = 1 2 1 hình chiếu vuông góc của A lên (d) Từ đó tìm toạ độ điểm A1 đối xứng với A qua (d) Bài 4: (ĐHhuế /A,B phân ban 98): Trong không gian 0xyz cho điểm A(2;-1;1) và đờng thẳng (d) có y + z 4 = 0 2 x y z + 2 = 0 phơng trình : ( d ) : a) Viết phơng trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc (d) b) Xác định toạ độ điểm B đối xứng với A qua (d) Bài 5: (Đề 60-Va): Lập phơng trình... (0AB) vuông góc với cạnh 0A Gọi K là giao điểm của hình chiếu đó với 0A Hãy xác định toạ dộ của K c) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD d) (ĐHKT-99): Gọi P,Q lần lợt là điểm giữa của các cạnh S0,AB Tìm toạ độ của điểm M trên SB sao cho PQ và KM cắt nhau Bài 3: Trong không gian với hệ toạ độ 0xyz ,cho bốn điểm A(4;4;4), B(3;3;1), C(1;5;5), D(1;1;1) a) (HVKTQS-98): Tìm hình chiếu vuông góc . b p a a q b b r c c = = = ữ ữ ữ Với a, b, c không đồng thời bằng không thì , ,p q r có đồng phẳng không Bài 4 . Cho ABC biết A(1; 2; -1), B(2; -1; 3), C(-4; 7; 5) điều kiện đối với a,b,c để hình chiếu đó nằm trong mặt phẳng (xOy) Bài toán 5: Hình chiếu vuông góc của đờng thẳng lên mặt phẳng Bài 1: (ĐHQG TPHCM 1998) Trong không gian với hệ trục toạ độ trực. (Q): x-y+z+10=0 Hãy viết phơng trình chính tắc hình chiếu vuông góc (d 1 ) của (d) lên (P) . Bài 6: (ĐH Càn Thơ 1998) Trong không gian với hệ toạ độ vuông góc 0xyz cho đờng thẳng (d) và mặt phẳng