10 Bài Toán bồi dưỡng HSG 9 và Luyện thi lên lớp 10 Chuyên (Chuyên đề: Hình học)

b) Gọi J là trung điểm cạnh BC. Chứng minh ba điểm A, K, J thẳng hàng. A là điểm chuyển động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn. AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC cắ[r]

Câu 1: Cho tam giác nhọn ABC (ABAC) nội tiếp đường tròn (O;R) M điểm di động cung nhỏ BC Vẽ MH BC H, MI AB I, MK AC K

a) Chứng minh I, H, K thẳng hàng

b) Xác định vị trí điểm M để tổng BC AC AB

MH MK MI nhỏ

Câu 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) ABACR M điểm di động cung nhỏ AC D giao điểm AM BC

a) Chứng minh AM.AD không đổi

b) Chứng minh tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD nằm đường cố định

c) Xác định vị trí điểm M để 2AMAD nhỏ

Câu 3: Cho đường trịn (O;R), đường kính AB cố định, CD đường kính thay đổi khơng trùng với AB Tiếp tuyến (O) B cắt AC, AD E, F

a) Tính BE.BF theo R

b) Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp

c) Chứng minh tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE di động đường cố định

Câu 4: Cho tam giác ABC có  A 60o Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB D, E, F ID cắt EF K Đường thẳng qua K song song với BC cắt AB, AC M, N

a) Chứng minh tứ giác IMAN nội tiếp

b) Gọi J trung điểm cạnh BC Chứng minh ba điểm A, K, J thẳng hàng

c) Gọi r bán kính đường trịn (I), S là diện tích tứ giác IEAF Tính S theo r Chứng minh

4

IMN S

S 

Câu 5: Cho BC dây cung cố định đường tròn (O;R) (BC2R) A điểm chuyển động cung lớn BC cho tam giác ABC nhọn AD, BE, CF đường cao tam giác ABC cắt H I trung điểm BC

10 Bài Toán bồi dưỡng HSG Luyện thi lên lớp 10 Chuyên

a) Chứng minh bốn điểm E, F, D, I thuộc đường tròn AB 4R

ABC

BC AC

S 

b) Xác định vị trí điểm A cho chu vi tam giác DEF lớn c) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh

3 HG R d) AO cắt BC T Chứng minh DB TB AB

DCTC  AC

Câu 6: Cho điểm A nằm ngồi đường trịn (O;R) Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O)(B, C tiếp điểm) Vẽ cát tuyến ADE (D, E thuộc (O), D nằm A E Tia AD nằm hai tia AO AB) AO cắt BC H, cắt (O) I, L (I nằm A L) a) Chứng minh P, H, O, E thuộc đường tròn

b) Vẽ dây DK song song với BC Chứng minh K, H, E thẳng hàng

c) Từ D vẽ đường thẳng song song với BE, cắt AB F cắt BC G Chứng minh D trung điểm FG

d) Chứng minh đường thẳng BC, DL, EI đồng quy

Câu 7: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O) có tia AB, DC cắt E; tia AD, BC cắt F Gọi M giao điểm (khác C) hai đường tròn (BCE); (CDF) Chứng minh rằng:

a) E, M, F thẳng hàng

b) A, D, E, M thuộc đường tròn

c)

A A D=EF

E EBF F d) OM EF

Câu 8: Cho BC dây cung cố định đường tròn (O;R), A di động cung nhỏ BC a) Xác định vị trí A để diện tích tam giác ABC lớn

b) Xác định vị trí A để chu vi tam giác ABC lớn c) Xác định vị trí A để 2

AB AC nhỏ

d) Giả sử BAC ACB90o Chứng minh AB2BC2 4R2

Câu 9: Cho BC dây cung cố định đường tròn (O;R) (BC2R) A điểm di động cung lớn BC I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Tia AI cắt đường tròn (O) M, cắt BC D

a) Chứng minh MD.MA không đổi

b) Xác định vị trí A để bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC lớn

Câu 1:

a) Xét tứ giác BIHM ta có: 90o

BIM BHM

   

Hai góc nhìn cung BM hai góc nên BIHM tứ giác nội tiếp Tương tự tứ giác HCKM, ta có:

180o

MKC MHC

   

Hai góc đối có tổng số đo 180o

nên tứ giác HCKM nội tiếp

Mặc khác tứ giác ABMC tứ giác nội tiếp nên ABM  MCK (tính chất góc ngoài)

IMB KMC

    (cùng phụ với góc nhau) lại có: IMB IHB

KMC KHC

  



  

 (hai góc nội tiếp tứ giác nội tiếp chắn cung) Vậy: IHB CHK

mà chúng vị trí đối đỉnh nên: I, H, K thẳng hàng

b) Gọi D điểm thuộc cạnh BC cho CMD BMA Ta có hệ thức: AC AB BD DC BC

MK MI  MH MH  MH

BC AC AB BC

MH MK MI  MH

Mà BC cố định, để biểu thức đạt giá trị nhỏ MH phải đạt giá trị lớn  H nằm cung nhỏ BC

Câu 2:

a) Theo giả thiết ta có AB ACR

Xét AOC có OA OC R AC, R  AOC vuông cân O Tương tự suy AOB vuông cân O

90o 90o 180o

BOA AOC BOC

        

 B, O, C thẳng hàng, ABC vuông cân A Xét AMB& ABD ta có:

D

D(g.g)

D D(=sd )

AB chung

AMB AB

AB AM AB

 



  



2

D 2R

D

AM AB

AM A AB

AB A

    

b) Ta có AMB45o (góc nội tiếp chắn cung AB) 90o

BMC

  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))

D 180o 180o 45o 90o 45o

CM AMB BMC

        

Mặc khác CMD góc nội tiếp chắn cung CD đường tròn (I)

d D D 90o

s C CI

   

lại có CID cân I

Vậy CID vuông cân I D=45o

ABC IC

Điểm A, B, C cố định, tâm I di động đường thẳng song song với AB

c) Ta có

2AMAD2 2A DM A 2 4R 4R

Vậy M nằm A D 2AMAD đạt giá trị nhỏ Câu 3:

a) Ta có: CAB90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) Áp dụng hệ thức lượng vào AEF vuông A đường cao AB:

2

4R

BE BF AB 

b) Xét tam giác ABF vng B có đường cao BD

DFB DBA

   (cùng phụ với DBA)

Mặc khác DBA DCA (hai góc nội tiếp chắn cung AD) Vậy DFB DCA  DFB DCE180o

 Tứ giác CEFD nội tiếp

c) Gọi G trung điểm dây EF IEF cân IIGEF

Vậy I nằm đường thẳng d vng góc với AB cố định hay song song với EF (1) Gọi H giao điểm CD AG

Ta có: AG đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác AEF vuông H

E A

GE GF GA GA GE

      

Dễ dàng chứng minh AFB ACH mà AFB AEF 90o

90o

HAC HCA

    

Hay AH CD

Tứ giác AOIG có cặp cạnh đối song song  AOIG hình bình hành (2)

AO IG R

  

Từ (1) (2) ta suy Tâm I (CDE) di động đường thẳng song song EF cách EF khoảng bán kính

Câu 4:

a) Dễ dàng chứng minh hai tứ giác MKIF IKEN tứ giác nội tiếp Vì vậy, FMI  FKI (góc nội tiếp chắn cung FI)

lại có FKIlà góc tứ giác IKEN nội tiếp nên FKI  INA Vậy: FMI  INA  IMAN tứ giác nội tiếp

b) Ta có IEIF=r IEFcân I

Vậy ta dễ dàng chứng minh IFK IMK KNI KEN nên IMN cân I, mặc khác MKIK

Chứng minh AMN ABC MN( / /BC)

Tia AK qua trung điểm BC hay A, K, J thẳng hàng c)Xét IFA vuông F có IAF=30o, mà IF=r

AF=IF.tanAIF=IF.tan60=r



Vậy

E AIF

1

2d 3( d )

2

A IF

S  t  AF IF r r r dv t Và diện tích

2

AEIF AEF r IEFdt dt  Xét IMF vng F, ta có IM IF Vậy ta có

4

IMN S

dt  dpcm

Câu 5:

a)Ta có: D EFC= HFD; D EOC

EB EB 

     

E EFD

cung C

    Tứ giác EFDI nội tiếp Vẽ đường kính AK

D

D

A AB AB AC

DAB CAK A

AC AK AK

   

1

D

2 4R

ABC

AB AC AB AC BC

S BC A BC

AK

b) Ta chứng minh AF

1

.E EF

2

OE

OAEFS  OA F R

1

.( EF+DF)=

2

ABC

S  R DE chu vi tam giác DEF

Vậy chu vi tam giác DEF lớn A điểm cung lớn BC

c) Sử dụng đường thẳng Euler tam giác ABC nội tiếp (O) có AK đường kính : 90 o

KCA KBA

    (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Xét tứ giác BHCK ta có :

BH // CK ( vng góc với AC ) CH // BK ( vng góc với AB ) Do tứ giác BHCK hình bình hành ===> H , I , K thẳng hàng IH = IK Ta lại có:

2 AH

OI  ( đường trung bình KAH )

2 GA

GI  (tính chất trọng tâm ABC)

HAG GIO

   (so le AH // OI ) Do GAH GIO c g c( )

HGA IGO

   (góc tương ứng hai tam giác đồng dạng ) Chúng vị trí đối đỉnh nên H, G, O thẳng hàng

Và từ hai tam giác đồng dạng 2

HG GO OH

  

Mà OHR nên

HG Rdpcm

d) Áp dụng định lý Ptoleme, ta suy hệ thức sau :

DB AB KC

DC  AC KB ; TB AB KB TC  AC KC Nên : DB TB AB KC KB

DC TC AC KB KC

 

    

 

Theo Cauchy KC KB KC KB KB KC  KB KC  Vậy : DB TB 2.AB dpcm

a) ABO vng B có BH AO nên

(1) AB AH AO D E ( )

AB A B g g nên

D E(2)

AB  A A

Từ (1) (2) AD EA  AH AO nên tứ giác DHOE nội tiếp hay điểm D, H, O, E thuộc đường tròn

b) Dễ dàng chứng minh DKCB hình thang cân mà AH đường trung trực BC nên AH trục đối xứng hình thang cân DKCB

Khi đó: AHK AHD

Mặc khác: AHD A OE (Vì tứ giác DHOE nội tiếp) =O ED (vì tam giác ODE cân O)

= OHE (góc nội tiếp chắn cung OE) Do đó: AHK OHE

Mà OHE EHA180o nên AHK EHA180o Từ suy ba điểm H, K, E thẳng hàng

c) Gọi M giao điểm DE BC

Tam giác HDE có HM, HA phân giác tam giác HDE

D D

E

M A

ME A

  (vì DH DE )

Mặc khác

D / /

E D / /

DF A DF BE

BE A

DG M

DG BE

BE ME

  

 

  



Vậy I điểm cung nhỏ DK nên EI tia phân giác DEH

Xét H ED có HB, EI, DL đường phân giác tam giác nên chúng đồng quy

Câu 7:

a) Từ tứ giác ABCD, BCME, DEMF nội tiếp nên: D 180o

EMC CBA C F CMF

      

180o

EMC CMF

     nên E, M, F thẳng hàng b) Tứ giác EMCB nội tiếp nên FM F EFC FB Tứ giác ABCD nội tiếp nên F FD AFC FB

Do FM F EFD A(1)F suy tứ giác ADME nội tiếp nên điểm A, D, M, E thuộc đường tròn

c) Chứng minh tương tự câu b ta có EB E AEM.EF(2)

Cộng theo vế (1) (2) ta suy

A D A E E=EF

F F EB E EM FFM F d) Ta có: AOC 2 A CD  A CD  A CD  EBC EMA

Do đó: AOC AMC EBC EMA+AMC180o nên tứ giác AMCO nội tiếp Tứ giác AMCO nội tiếp có OAOC nên MO tia phân giác AMC

Mặc khác: AME A ED  DMF Nên OME90o Hay OM EFdpcm

a) Vẽ AH BC H( BC)

Vì BC cố định nên diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn AH lớn  H nằm cung BC

b) Chứng minh tương tự câu a, ta suy H nằm cung BC c) Vẽ trung tuyến AM ABC Ta có

2 2

2 2( )

2

AB AC BC

AM   

Do BC cố định nên 2

AB AC nhỏ

AM nhỏ Lúc A nằm cung nhỏ BC

d) Vẽ đường kính BD đường trịn (O)

Vì BAC B CD 180o BAC ACB90onên 90

ACB BDC

   

mà

90

DBC BDC

    nên ACB DBC suy CDAB Do đó: 2 2 2

D D 4R

AB BC C BC B 

a)Xét ABM& BDM có:

(

D )

AMB chung

MB BAM ABM BDM g g

 



  



2

D

MA MB

MA MD MB

MB M

   

A di động I tâm đường tròn nội tiếp ABC nên M cố định điểm cung BC Vậy MB cố định

b) Dựng IS AB S (S thuộc AB) Vậy IS bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC

IS sin sin

2 BAC

AI BAI AI 

  

Mặc khác, AI AMMI AMMB2RMB

Vậy để bán kính nội tiếp đường tròn nội tiếp tam giác ABC lớn AM đường kính, tức A điểm cung lớn BC

c) Vẽ O T1 AB T (T thuộc AB) Vậy: 1 tan tan

4 BAC r O T AT TAI  AT  Tương tự: ( D D) tan

4 BAC r  ACA C  Do đó, ( 2AD ) tan

2 BAC r  r ABAC BC 

1

Câu 10:

Tứ giác ADNE nội tiếp Gọi I giao điểm AK BC Dễ chứng minh 2

IB IC IK IA  I trung điểm BC

2 IB IK

IA

   điểm K cố định

Gọi H hình chiếu K BC, ta có KMKH Do đó, KB KC KM KB KC KH

Website HOC247 cung cấp mơi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh

nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học

trường chuyên danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao HSG

- Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần

Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt

thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia

Khoá Học Nâng Cao HSG