270 bài TOÁN bồi DƯỠNG HS GIỎI và NĂNG KHIẾU TOÁN THCS lớp 9

270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS PHẦN I: ĐỀ BÀI Chứng minh số vô tỉ a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad + bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 (a2 + b2)(c2 + d2) Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : S = x2 + y2 a) Cho a 0, b Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : b) Cho a, b, c > Chứng minh : a+b ≥ ab bc ca ab + + ≥a+b+c a b c c) Cho a, b > 3a + 5b = 12 Tìm giá trị lớn tích P = ab Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M = a3 + b3 Cho a3 + b3 = Tìm giá trị lớn biểu thức : N = a + b Cho a, b, c số dương Chứng minh : a3 + b3 + abc ab(a + b + c) Tìm liên hệ số a b biết : a + b > a − b a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 4a b) Cho a, b, c > abc = Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) 10 Chứng minh bất đẳng thức : a) (a + b)2 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2) 11 Tìm giá trị x cho : a) | 2x | = | x |b) x2 4x c) 2x(2x 1) 2x 12 Tìm số a, b, c, d biết : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d) 13 Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 3a 3b + 2001 Với giá trị a b M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ 14 Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 3(x + y) + CMR giá trị nhỏ P 15 Chứng minh khơng có giá trị x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau : x2 + 4y2 + z2 2a + 8y 6z + 15 = 16 Tìm giá trị lớn biểu thức : A = x − 4x + Trang: 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TỐN THCS 17 So sánh số thực sau (khơng dùng máy tính) : a) c) + 15 23 − 19 b) d) 27 17 + + và 18 Hãy viết số hữu tỉ số vô tỉ lớn 19 Giải phương trình : 45 nhng nhỏ 3x + 6x + + 5x + 10x + 21 = − 2x − x 20 Tìm giá trị lớn biểu thức A = x2y với điều kiện x, y > 2x + xy = 21 Cho S = 1 1 + + + + + 1.1998 2.1997 k(1998 − k + 1) 1998 − Hãy so sánh S 1998 1999 22 Chứng minh : Nếu số tự nhiên a số phương a số vơ tỉ 23 Cho số x y dấu Chứng minh : a) x y + ≥2 y x  x y2   x y  b)  + ÷−  + ÷ ≥ x  y x y  x y4   x y   x y  c)  + ÷−  + ÷+  + ÷ ≥ x  y x  y x y 24 Chứng minh số sau số vô tỉ : a) 1+ b) m + với m, n số hữu tỉ, n n 25 Có hai số vơ tỉ dương mà tổng số hữu tỉ không ? x y x y2 26 Cho số x y khác Chứng minh : + + ≥  + ÷ y x y x Trang: 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS x y2 z x y z 27 Cho số x, y, z dương Chứng minh : + + ≥ + + y z x y z x 28 Chứng minh tổng số hữu tỉ với số vô tỉ số vô tỉ 29 Chứng minh bất đẳng thức : a) (a + b)2 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2) c) (a1 + a2 + + an)2 n(a12 + a22 + + an2) 30 Cho a3 + b3 = Chứng minh a + b 31 Chứng minh : [ x ] + [ y ] ≤ [ x + y ] 32 Tìm giá trị lớn biểu thức : A = 33 Tìm giá trị nhỏ : A = x − 6x + 17 x y z + + với x, y, z > y z x 34 Tìm giá trị nhỏ : A = x2 + y2 biết x + y = 35 Tìm giá trị lớn : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ; x + y + z = 36 Xét xem số a b số vơ tỉ không : a) ab a số vô tỉ b b) a + b a số hữu tỉ (a + b 0) b c) a + b, a2 b2 số hữu tỉ (a + b 0) 37 Cho a, b, c > Chứng minh : a3 + b3 + abc ab(a + b + c) 38 Cho a, b, c, d > Chứng minh : a b c d + + + ≥2 b+c c+d d+a a +b 39 Chứng minh [ 2x ] [ x ] [ x ] + 40 Cho số nguyên dương a Xét số có dạng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; ; a + 15n Chứng minh số đó, tồn hai số mà hai chữ số 96 41 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : Trang: 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS 1 A= x − B = C= D= E = x + + −2x x x + 4x − − x2 − x − 2x − G = 3x − − 5x − + x + x + 42 a) Chứng minh : | A + B | | A | + | B | Dấu = ” xảy ? b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau : M = x + 4x + + x − 6x + c) Giải phương trình : 4x + 20x + 25 + x − 8x + 16 = x + 18x + 81 43 Giải phương trình : 2x − 8x − x − 4x − = 12 44 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : A = x2 + x + E= 2x + + x B= 1 − 3x C = − − 9x x + x−2 x −4 G= D= x − 5x + H = x − 2x − + − x 2 x − 3x =0 45 Giải phương trình : x −3 46 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = x + x 47 Tìm giá trị lớn biểu thức : B = − x + x 48 So sánh : a) a = + b= c) n + − n + +1 ; n+1 − n b) − 13 + −1 (n số nguyên dương) 49 Với giá trị x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ : A = − − 6x + 9x + (3x − 1) 50 Tính : a) 4−2 b) 11 + c) d) A = m + 8m + 16 + m − 8m + 16 e) B = n + n − + n − n − (n > 1) 51 Rút gọn biểu thức : M = 27 − 10 41 45 + 41 + 45 − 41 Trang: 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TỐN THCS 52 Tìm số x, y, z thỏa mãn đẳng thức : (2x − y) + (y − 2) + (x + y + z) = 53 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P = 25x − 20x + + 25x − 30x + 54 Giải phương trình sau : a) x − x − − x − = b) x − + = x d) x − x − 2x + = c) x − x + x + x − = e) x + 4x + + x − = h) x − 2x + + x − 6x + = g) x − + x − = −5 i) x + + − x = x − 25 k) x + − x − + x + − x − = l) 8x + + 3x − = 7x + + 2x − 55 Cho hai số thực x y thỏa mãn điều kiện : xy = x > y CMR: x + y2 ≥2 x−y 56 Rút gọn biểu thức : a) 13 + 30 + + b) m + m − + m − m − c) + + + + + + − + + 57 Chứng minh 2+ = d) 227 − 30 + 123 + 22 + 2 58 Rút gọn biểu thức : a) C = 6+2 ( ) + 3+ − 6−2 ( 6− 3+ ) b) D = 9−6 − 59 So sánh : a) + 20 1+ b) 17 + 12 60 Cho biểu thức : A = x − x − 4x + a) Tìm tập xác định biểu thức A b) Rút gọn biểu thức A Trang: +1 c) 28 − 16 − 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS 61 Rút gọn biểu thức sau : a) 11 − 10 c) b) − 14 + 11 + − + + + − + 10 62 Cho a + b + c = ; a, b, c Chứng minh đẳng thức : 1 1 1 + 2+ = + + a b c a b c 63 Giải bất phương trình : 64 Tìm x cho : x − 16x + 60 < x − x2 − + ≤ x2 65 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x2 + y2 , biết : x2(x2 + 2y2 3) + (y2 2)2 = (1) 66 Tìm x để biểu thức có nghĩa: a) A = x − 2x − 67 Cho biểu thức : A = b) B = 16 − x + x − 8x + 2x + x + x − 2x x − x − 2x − x − x − 2x x + x − 2x a) Tìm giá trị x để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị x để A < 68 Tìm 20 chữ số thập phân số : 0,9999 (20 chữ số 9) 69 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn : A = | x - | + | y | với | x | + |y|=5 70 Tìm giá trị nhỏ A = x4 + y4 + z4 biết xy + yz + zx = 71 Trong hai số : n + n + n+1 (n số nguyên dương), số lớn ? 72 Cho biểu thức A = + + − Tính giá trị A theo hai cách 73 Tính : ( + + 5)( + − 5)( − + 5)( − + + 5) 74 Chứng minh số sau số vô tỉ : 3+ ; Trang: − ; 2 +3 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS +1 75 Hãy so sánh hai số : a = 3 − b=2 − ; + 76 So sánh + − − − số 2+ 3+ 6+ 8+4 2+ 3+ 77 Rút gọn biểu thức : Q = 78 Cho P = 14 + 40 + 56 + 140 Hãy biểu diễn P dạng tổng thức bậc hai 79 Tính giá trị biểu thức x2 + y2 biết : x − y + y − x = 80 Tìm giá trị nhỏ lớn : A = − x + + x 81 Tìm giá trị lớn : M = ( a+ b ) với a, b > a + b 82 CMR số 2b + c − ad ; 2c + d − ab ; 2d + a − bc ; 2a + b − cd có hai số d- ương (a, b, c, d > 0) 83 Rút gọn biểu thức : N = + + + 18 84 Cho x + y + z = xy + yz + zx , x, y, z > Chứng minh x = y = z 85 Cho a1, a2, …, an > a1a2aan = Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) 2n 86 Chứng minh : ( a+ b ) ≥ 2(a + b) ab (a, b 0) 87 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam giác đoạn thẳng có độ dài a , b , c lập thành tam giác 88 Rút gọn : a) A = ab − b a − b b (x + 2) − 8x B= b) x− x 89 Chứng minh với số thực a, ta có : đẳng thức ? Trang: a2 + a2 +1 ≥ Khi có 270 BÀI TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TỐN THCS 90 Tính : A = + + − hai cách 91 So sánh : a) 92 Tính : P = +5 6,9 2+ + 2+ 93 Giải phương trình : + b) 2− − 2− 7− x + + 2x − + x − − 2x − = 2 94 Chứng minh ta ln có : Pn = 1.3.5 (2n − 1) < 2.4.6 2n 2n + A= ; ∀n ∈ Z+ a2 b2 a+ b≤ + b a 95 Chứng minh a, b > 96 Rút gọn biểu thức : 13 − 12 x − 4(x − 1) + x + 4(x − 1)   1 − ÷  x −1 x − 4(x − 1) 97 Chứng minh đẳng thức sau : a) a b +b a : =a−b ab a− b (a, b > ; a b)  14 − 15 −  b)  + = −2 ÷: 1− 1−  −   a + a  a − a  c) 1 + ÷1 − ÷= − a a +  a −1   (a > 0) 98 Tính : a) − − 29 − 20  c)   99 So sánh : a) c) + 48 − + 15 18 + 19 ; b) + − 13 + 48  28 − 16 ÷  + 48 b) + 15 12 + d) 16 25 100 Cho đẳng thức : a± b = a + a2 − b a − a − b (a, b > a2 b > 0) ± 2 Trang: 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS Áp dụng kết để rút gọn : a) c) 2+ + 2+ + 2− − 2− 3−2 ; b) 17 − 12 − 3+ 2 17 + 12 2 10 + 30 − 2 − : 10 − 2 −1 101 Xác định giá trị biểu thức sau : a) A = b) B = xy − x − y − 1 1 1  xy + x − y − a + bx + a − bx a + bx − a − bx 1    với x =  a + ÷ , y =  b + ÷ a b (a > ; b > 1) 2am x= , m < với b ( + m2 ) 102 Cho biểu thức P(x) = 2x − x − 3x − 4x + a) Tìm tất giá trị x để P(x) xác định Rút gọn P(x) b) Chứng minh x > P(x).P(- x) < 103 Cho biểu thức A= x+2−4 x −2 + x+2+4 x −2 4 − +1 x2 x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm số nguyên x để biểu thức A số nguyên 104 Tìm giá trị lớn (nếu có) giá trị nhỏ (nếu có) biểu thức sau: a) − x e) − − 3x b) x − x (x > 0) g) 2x − 2x + c) + − x d) x − − h) − − x + 2x + i) 2x − x + 105 Rút gọn biểu thức : A = x + 2x − − x − 2x − , ba cách ? 106 Rút gọn biểu thức sau : a) b) + 10 + + − 10 + 5 + 48 − 10 + c) 107 Chứng minh đẳng thức với b ; a Trang: 94 − 42 − 94 + 42 b 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS a) ( a + b ± a − b = a ± a2 − b ) b) a + a2 − b a − a2 − b a± b = ± 2 108 Rút gọn biểu thức : A = x + 2x − + x − 2x − 109 Tìm x y cho : x+y−2 = x + y − a + b2 + c2 + d ≥ 110 Chứng minh bất đẳng thức : ( a + c) + ( b + d) a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ 111 Cho a, b, c > Chứng minh : b+c c+a a +b 112 Cho a, b, c > ; a + b + c = Chứng minh : a) a + + b + + c + < 3,5 113 CM : (a + c2 ) ( b2 + c2 ) + a+b + b+c + c+a ≤ b) (a + d ) ( b + d ) ≥ (a + b)(c + d) với a, b, c, d > 114 Tìm giá trị nhỏ : A = x + x 115 Tìm giá trị nhỏ : A = (x + a)(x + b) x 116 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 = 2−x 117 Tìm giá trị lớn A = x + 118 Giải phương trình : x − − 5x − = 3x − 119 Giải phương trình : x + x −1 + x − x −1 = 120 Giải phương trình : 3x + 21x + 18 + x + 7x + = 121 Giải phương trình : 3x + 6x + + 5x + 10x + 14 = − 2x − x 122 Chứng minh số sau số vô tỉ : − 123 Chứng minh ; 2+ x−2 + 4−x ≤ 124 Chứng minh bất đẳng thức sau phương pháp hình học : a + b b + c ≥ b(a + c) với a, b, c > Trang: 10 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS b) Nếu b = x = y = 0, hiển nhiên x , y số hữu tỉ 216 Ta có n   1   1 = = n − + − ÷= n  ÷ ÷= (n + 1) n n(n + 1) n +  n n +1   n n +1  n  n  1    = 1 + − − ÷ ÷<  ÷ Từ ta giải đợc toán n +1  n n +1  n +1   n  217 Chứng minh phản chứng Giả sử 25 số tự nhiên cho, khơng có hai số Khơng tính tổng qt, giả sử a1 < a2 < < a25 Suy : a1 , a2 , … a25 25 Thế : 1 1 1 + + + ≤ + + + a1 a2 a 25 25 (1) Ta lại có : 1 1 2 + + + + = + + + +1 < 25 24 25 + 25 24 + 24 2+ < 2 + + + +1 = 24 + 24 23 + 23 2+ =2 ( ( ) 25 − + = ) 25 − 24 + 24 − 23 + + − + = (2) 1 + + + < , trái với giả thiết Vậy tồn a1 a2 a 25 Từ (1) (2) suy : hai số 25 số a1 , a2 , , a25 218 Điều kiện : x Đặt 2+ x = a ≥ ; − x = b ≥ Ta có : ab = − x , a + b = Phương trình : ⇒ a2 - a2b + b2 + ab2 = ⇒ ⇒ a2 b2 + = 2 +a −b (2 - b + a - ab) (a2 + b2 + ab) ab(a b) = 2(a b) (2 + ab) = (a b)(2 + ab) ⇒ a b= (chú ý : a2 + b2 = 4) (do ab + 0) Bình phơng : a2 + b2 2ab = ⇒ 2ab = ⇒ ab = ⇒ ợc x = Trang: 58 − x = Tìm đ- 270 BÀI TỐN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS 219 Điều kiện : < x , a Bình phương hai vế thu gọn : 1− x2 = a −1 a +1 a a +1 Với a 1, bình phương hai vế, cuối đợc : x = Điều kiện x thỏa mãn (theo bất đẳng thức Cauchy) Kết luận : Nghiệm x = a Với a a +1 220 Nếu x = y = 0, z = Tương tự y z Nếu xyz 0, hiển nhiên x, y, z > Từ hệ phương trình cho ta có : Tơng tự x= 2y 2y ≤ = y 1+ y y y ≤ z ; z ≤ x Suy x = y = z Xảy dấu = bất đẳng thức với x = y = z = Kết luận : Hai nghiệm (0 ; ; 0) , (1 ; ; 1) 221 a) Đặt A = (8 + )7 Để chứng minh toán, cần tìm số B cho < B < A + B số tự nhiên 107 Chọn B = (8 - )7 Dễ thấy B > > Ta có + > 10 suy : (8+3 7) < ( ⇒ 8−3 107 ) < 107 Theo khai triển Newton ta lại có : A = (8 + )7 = a + b với a, b ∈ N B = (8 - )7 = a - b Suy A + B = 2a số tự nhiên Do < B < A + B số tự nhiên nên A có bảy chữ số liền sau dấu 107 phẩy Chú ý : 10- = 0,0000001 b) Giải tơng tự nh câu a Trang: 59 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS 222 Ta thấy với n số phương n số tự nhiên, n khác số phơng n số vơ tỉ, nên n khơng có dạng ,5 Do ứng với số n ∈ N* có số nguyên an gần n Ta thấy rằng, với n 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, an 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, Ta chứng minh an lần lợt nhận giá trị : hai số 1, bốn số 2, sáu số Nói cách khác ta chứng minh bất phương trình : 1− 1 < x < 1+ có hai nghiệm tự nhiên 2 2− 1 < x < 2+ có bốn nghiệm tự nhiên 2 3− 1 < x < 3+ có sáu nghiệm tự nhiên 2 Tổng quát : k − < x < k + có 2k nghiệm tự nhiên Thật vậy, bất đẳng thức tơng đơng với : k2 k + 1 < x < k2 + k + Rõ ràng bất phơng trình 4 có 2k nghiệm tự nhiên : k2 k + ; k2 k + ; ; k2 + k Do :        1 1 1 ÷ 1 1÷  1 1 ÷ + + + = + +  + + + ÷+ +  + + + ÷ = 2.44 = 88 a1 a2 a1980  1 ÷  44 42 ÷ 2 444 4 4 ÷ 44 44 1 { ÷ số 88 số  số      223 Giải tơng tự 24 a) < an < Vậy [ an ] = b) an Vậy [ an ] = c) Ta thấy : 442 = 1936 < 1996 < 2025 = 452, 462 = 2116 a1 = 1996 = 44 < a1 < 45 Hãy chứng tỏ với n 45 < an < 46 Nh với n = [ an ] = 44, với n [ an ] = 45 224 Cần tìm số tự nhiên B cho B A < B + Làm giảm làm trội A để đợc hai số tự nhiên liên tiếp Trang: 60 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TỐN THCS Ta có : (4n + 1)2 < 16n2 + 8n + < (4n + 2)2 ⇒ 4n + < 16n + 8n + < 4n + ⇒ 4n2 + 4n + < 4n2 + 16n + 8n + < 4n2 + 4n + < 4n2 + 8n + ⇒ (2n + 1)2 < 4n2 + 16n + 8n + < (2n + 2)2 Lấy bậc hai : 2n + < A < 2n + Vậy [ A ] = 2n + 225 Để chứng minh toán, ta số y thỏa mãn hai điều kiện : < y < 0,1 (1) x + y số tự nhiên có tận Ta chọn y = ( 3− ) 200 (2) − < 0,3 nên < y < 0,1 Ta có < Điều kiện (1) đợc chứng minh Bây ta chứng minh x + y số tự nhiên có tận Ta có : x+y = ( 3+ ) 200 + ( 3− ) 200 ( = 5+2 ) 100 ( + 5−2 ) 100 Xét biểu thức tổng quát Sn = an + bn với a = + , b = - Sn = (5 + )n = (5 - )n A b có tổng 10, tích nên chúng nghiệm phương trình X2 -10X + = 0, tức : a2 = 10a (3) ; b2 = 10b Nhân (3) với an , nhân (4) với bn : an+2 = 10an+1 an ; bn+2 = 10bn+1 bn (4) Suy (an+2 + bn+2) = 10(an+1 + bn+1) (an + bn), tức Sn+2 = 10Sn+1 Sn , hay Sn+2 ≡ - Sn+1 (mod 10) Do Sn+4 ≡ - Sn+2 ≡ Sn (mod 10) (5) Ta có S0 = (5 + )0 + (5 - )0 = + = ; S1 = (5 + ) + (5 - ) = 10 Từ công thức (5) ta có S2 , S3 , , Sn số tự nhiên, S0 , S4 , S8 , , S100 có tận 2, tức tổng x + y số tự nhiên có tận Điều kiện (2) chứng minh Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh 226 Biến đổi ( 3+ ) 250 ( = 5+2 ) 125 Phần nguyên có chữ số tận Trang: 61 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS (Giải tương tự 36) 227 Ta có : ( ) ( ) ( ) ( A =   + +   +   + +   +   + +  15  +  16  + +  24                  Theo cách chia nhóm nh trên, nhóm có số, nhóm có số, nhóm có số, nhóm có số Các số thuộc nhóm 1, số thuộc nhóm 2, số thuộc nhóm 3, số thuộc nhóm Vậy A = 1.3 + 2.5 + 3.7 + 4.9 = 70 228 a) Xét x x Viết A dới dạng : A = đẳng thức Cauchy cho số không âm x (3 x) Áp dụng bất x x x x , , (3 x) ta đợc : (3 x) 2 2 x x   + +3−x ÷  ÷ =  ÷   Do A (1) b) Xét x > 3, A (2) So sánh (1) (2) ta đến kết luận : x  = 3−x max A = ⇔  ⇔ x = x ≥  229 a) Lập phơng hai vế, áp dụng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta đợc : x + + − x + 3 (x + 1)(7 − x).2 = ⇔ (x + 1)(7 − x) = ⇔ x = - ; x = (thỏa) b) Điều kiện : x - (1) Đặt x − = y ; x + = z Khi x = y2 ; x + = z2 nên z2 y3 = Phương trình cho đa hệ :  y + z = (2)  z − y = (3) z ≥ (4)  Trang: 62 ) 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS Rút z từ (2) : z = y Thay vào (3) : y3 y2 + 6y = ⇔ (y 1)(y2 + 6) = ⇔ y=1 Suy z = 2, thỏa mãn (4) Từ x = 3, thỏa mãn (1) Kết luận : x = 230 a) Có, chẳng hạn : 1 + = 2 b) Không Giả sử tồn số hữu tỉ dơng a, b mà a + b = Bình ph- ơng hai vế : a + b + ab = ⇒ ab = − (a + b) Bình phơng vế : 4ab = + (a + b)2 2(a + b) ⇒ 2(a + b) = + (a + b)2 4ab Vế phải số hữu tỉ, vế trái số vơ tỉ (vì a + b 0), mâu thuẩn 231 a) Giả sử m m3 (phân số tối giản) Suy = Hãy số hữu tỉ n n chứng minh m lẫn n chia hết cho 5, trái giả thiết m phân số n tối giản b) Giả sử m3 = n3 ( 3 + số hữu tỉ 2+34 ) = + 3 m (phân số tối giản) Suy : n m 6m = 6+ ⇒ m = 6n + 6mn (1) ⇒ m M2 ⇒ m M2 n n Thay m = 2k (k ∈ Z) vào (1) : 8k3 = 6n3 + 12kn2 ⇒ 4k3 = 3n3 + 6kn2 Suy 3n3 chia hết cho ⇒ n3 chia hết cho ⇒ n chia hết cho Nh m n chia hết cho 2, trái với giả thiết m phân số tối giản n 232 Cách : Đặt a = x3 , b = y3 , c = z3 Bất đẳng thức cần chứng minh a+b+c x + y3 + z ≥ abc tơng đơng với ≥ xyz hay x3 + y3 + z3 3xyz 3 Ta có đẳng thức : Trang: 63 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS x3 + y3 + z3 3xyz = (x + y + z)[(x y)2 + (y z)2 + (z x)2] (bài tập sbt) Do a, b, c nên x, y, z 0, x3 + y3 + z3 3xyz Nh : a+b+c ≥ abc Xảy dấu đẳng thức a = b = c Cách : Trớc hết ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy cho bốn số khơng âm Ta có : a+ b+c+d 1a+b c+d  =  + ÷≥ 2 2  ( ) ab + cd ≥ ab cd = abcd a+b+c a+ b+c+d  Trong bất đẳng thức  ta đợc : ÷ ≥ abcd , đặt d =   a+b+c   a+ b+c+ ÷ a+b+c a+b+c a+ b+c ⇒   ÷ ≥ abc ÷ ≥ abc 3    ÷   Chia hai vế cho số dương a+b+c (trường hợp số a, b, c 3 a+b+c a+b+c ≥ abc 0, tốn chứng minh) :  ÷ ≥ abc ⇔ 3   Xảy đẳng thức : a = b = c = 233 Từ giả thiết suy : a+b+c ⇔ a=b=c=1 b c d a + + ≤ 1− = Áp dụng bất b +1 c +1 d +1 a +1 a +1 đẳng thức Cauchy cho số dương : b c d bcd ≥ + + ≥ 3 Tơng tự : a +1 b +1 c +1 d +1 (b + 1)(c + 1)(d + 1) Trang: 64 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS acd ≥ 3 b +1 (a + 1)(c + 1)(d + 1) abd ≥ 3 c +1 (a + 1)(b + 1)(d + 1) abc ≥ 3 d +1 (a + 1)(b + 1)(c + 1) Nhân từ bốn bất đẳng thức : ≥ 81abcd ⇒ abcd ≤ 234 Gọi A = 81 x2 y2 z2 + + Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki : y2 z2 x2  x2 y2 z2  x y z 3A =  + + ÷(1 + + 1) ≥  + + ÷ z x  y z x y (1) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với ba số không âm : x y z x y z + + ≥ 3 = y z x y z x (2) Nhân vế (1) với (2) : x y z x y z x y z 3A  + + ÷ ≥  + + ÷ ⇒ A ≥ + + y z x y z x y z x 235 Đặt x = 3 + 3 ; y = 3 − 3 x3 + y3 = (1) Xét hiệu b3 a3 , ta đợc : b3 a3 = 24 (x + y)3 = 24 (x3 + y3) 3xy(x + y) Do (1), ta thay 24 4(x3 + b3), ta có : b3 a3 = 4(x3 + y3) (x3 + y3) 3xy(x + y) = 3(x3 + y3) 3xy(x + y) = = 3(x + y)(x2 xy + y2 xy) = 3(x + y)(x y)2 > (vì x > y > 0) Vậy b3 > a3 , b > a 236 a) Bất đẳng thức với n = Với n 2, theo khai triển Newton, ta có : n n(n − 1) n(n − 1)(n − 2) n(n − 1) 2.1  1 2+ + + n  + ÷ = + n + n 2! n 3! n n! n  n 1 1 + + + ÷ n!   2! 3! < 1+1+  Trang: 65 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS 1 1 1 + + + = Dễ dàng chứng minh : + + + ≤ 2! 3! n! 1.2 2.3 (n − 1)n 2 = − + − + + 1 − = 1− < n −1 n n n Do (1 + )n < b) Với n = 2, ta chứng minh ( ) ( ) 3 > Với n (2) ⇔ ( 3> (1) Thật vậy, (1) ⇔ ⇔ 32 > 22 3, ta chứng minh n +1 n +1 ) n(n +1) < ( n) n n n > n +1 n + n(n +1) (2) Thật : n ⇔ (n + 1) < n n n +1 (n + 1)n  1 ⇔ < n ⇔ 1 + ÷ < n n n  n (3) n  1 Theo câu a ta có  + ÷ < , mà  n n nên (3) đợc chứng minh Do (2) đợc chứng minh ) ( 2 237 Cách : A = x + + x + x + ≥ A = với x = Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : A ≥ (x + x + 1)(x − x + 1) = x + x + ≥ A = với x = 238 Với x < A (1) Với x 4, xét - A = x2(x 2) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm : x x   + +x−2÷ A x x  2x −  − = (x − 2) ≤  ÷ =  ÷ ≤ 2    ÷   - A 32 ⇒ A - 32 A = - 32 với x = 239 Điều kiện : x2 Trang: 66 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS  x2 x2   + +9−x ÷ x2 x2 A = x (9 − x ) = (9 − x ) ≤  ÷ = 4.27 2  ÷  ÷   max A = với x = 240 a) Tìm giá trị lớn : Cách : Với Với x A = x(x2 6) x < Ta có x ⇒ x2 ⇒ x2 Suy x(x2 6) max A = với x = Cách : A = x(x2 9) + 3x Ta có x 0, x2 0, 3x 9, nên A max A = với x = b) Tìm giá trị nhỏ : Cách : A = x3 6x = x3 + (2 )3 6x (2 )3 = = (x + 2 )(x2 - 2 x + 8) 6x - 16 = (x + 2 )(x2 - 2 x + 2) + (x + 2 ).6 6x - 16 = (x + 2 )(x - )2 - A = - với x = -4 2 Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với số không âm : x3 + 2 + 2 Suy x3 6x 3 x3 2.2 = 6x - A = - với x = 241 Gọi x cạnh hình vng nhỏ, V thể tích hình hộp x x Cần tìm giá trị lớn V = x(3 2x)2 x 3-2x 3-2x Theo bất đẳng thức Cauchy với ba số dơng : x x x 4V = 4x(3 2x)(3 2x) x  4x + − 2x + − 2x   ÷ =   max V = ⇔ 4x = 2x ⇔ x = Thể tích lớn hình hộp dm3 cạnh hình vng nhỏ Trang: 67 dm x 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS 242 a) Đáp số : 24 ; - 11 b) Đặt − x = a ; x − = b Đáp số : ; ; 10 c) Lập phơng hai vế Đáp số : ; d) Đặt 2x − = y Giải hệ : x3 + = 2y , y3 + = 2x, đợc (x y)(x2 + xy + y2 + 2) = ⇔ x = y Đáp số : ; e) Rút gọn vế trái đợc : g) Đặt ( −1 ± ) x − x2 − Đáp số : x = − x = a ; x − = b Ta có : a3 + b3 = 2, a3 b3 = 12 2x, vế phải phương trình cho a3 − b Phương trình cho trở thành : a−b a3 − b = a+ b Do a3 + b3 = nên a − b a3 − b3 = ⇒ (a b)(a3 + b3) = (a + b)(a3 b3) a+b a +b Do a + b nên : (a b)(a2 ab + b2 = (a b)(a2 + ab + b2) Từ a = b ta đợc x = Từ ab = ta đợc x = ; x = h) Đặt x + = a ; x − = b Ta có : a2 + b2 + ab = (1) ; a3 b3 = (2) Từ (1) (2) : a b = Thay b = a vào (1) ta đợc a = Đáp số : x = i) Cách : x = - nghiệm phương trình Với x + 0, chia hai vế cho x+2 Đặt x +1 =a ; x+2 x+3 = b Giải hệ a3 + b3 = 2, a + b = - Hệ vô x+2 nghiệm Cách : Đặt x + = y Chuyển vế : y3 − + y3 + = − y Lập phương hai vế ta : y3 + y3 + + 3 y − (- y) = - y3 ⇔ y3 = y Trang: 68 y6 − 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS Với y = 0, có nghiệm x = - Với y 0, có y2 = y − Lập phơng : y6 = y6 Vô nghiệm Cách : Ta thấy x = - nghiệm phương trình Với x < - 2, x > - 2, phơng trình vơ nghiệm, xem bảng : x x < -2 < -1 < < Vế trái < x > -x > -1 > > > x +1 x+2 k) Đặt + x = a , x = b Ta có : a + b = (1), Theo bất đẳng thức Cauchy 3= mn ≤ x+3 ab + a + b = (2) m+n , ta có : a + b 1+ a 1+ b + + = 2 a b + a + b ≤ = a + b +1 ≤ 1+ a 1+ b a+ b + +1 = +2 = 2 Phải xảy dấu đẳng thức, tức : a = b = Do x = l) Đặt a − x = m ≥ ; b − x = n ≥ m4 + n4 = a + b 2x Phương trình cho trở thành : m + n = m + n Nâng lên lũy thừa bậc bốn hai vế thu gọn : 2mn(2m2 + 3mn + 2n2) = Suy m = n = 0, m, n > 2m2 + 3mn + 2n2 > Do x = a , x = b Ta phải có x Giả sử a a,x b để thức có nghĩa b nghiệm phương trình cho x = a 243 Điều kiện để biểu thức có nghĩa : a2 + b2 (a b không đồng thời 0) Đặt a = x ; b = y , ta có : A = (x = + y ) − (xy) 2 x + xy + y 2 (x = x + x y + y x + 2x y + y − 2x y = = x + xy + y x + xy + y 2 + y + xy ) ( x + y − xy ) x + y + xy 2 = x + y − xy Vậy : A = a + b − ab (với a2 + b2 0) Trang: 69 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS 244 Do A tổng hai biểu thức dương nên ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy : A = x2 − x + + x2 + x +1 ≥ x − x + x + x + = (x − x + 1)(x + x + 1) x + x + = x − x +  ⇔ x = = x + x + ≥ Đẳng thức xảy :  x + x + =  4 Ta có A 2, đẳng thức xảy x = Vậy : A = ⇔ x = 245 Vì + nghiệm phương trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = 0, nên 246 Ta có :3(1 + )3 + a(1 + )2 + b(1 + ) + 12 = Sau thực phép biến đổi, ta đợc biểu thức thu gọn : (4a + b + 42) + (2a + b + 18) = Vì a, b ∈ Z nên p = 4a + b + 42 ∈ Z q = 2a + b + 18 ∈ Z Ta phải tìm số nguyên a, b cho p + q = Nếu q = - p , vơ lí Do q = từ p + q = ta suy p = q Vậy + nghiệm phương trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = : 4a + b + 42 = Suy a = - 12 ; b =  2a + b + 18 = 246 Giả sử p p p3 ( phân số tối giản ) Suy : = Hãy số hữu tỉ q q q p phân số tối q chứng minh p q chia hết cho 3, trái với giả thiết giản ( 247 a) Ta có : + = + Do : b) ) = 1+ 2 + = + 2 ( + − 2 = + 2 − 2 = 32 − 2 + − = −1 Trang: 70 ) = 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS 248 Áp dụng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta có : a = 20 + 14 + 20 − 14 + 3 (20 + 14 2)(20 − 14 2).a ⇔ a = 40 + 3 20 − (14 2) a ⇔ a3 6a 40 = ⇔ (a 4)(a2 + 4a + 10) = Vì a2 + 4a + 10 > ⇒ a = 249 Giải tơng tự 21 250 A = + − 251 Áp dụng : (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) Từ x = 3 + Suy x3 = 12 + 3.3x ⇔ x3 9x 12 = 252 Sử dụng đẳng thức (A B)3 = A3 B3 3AB(A B) Tính x3 Kết M=0 253 a) x1 = - ; x2 = 25 u = v3 +  b) Đặt u = x - , v = x - , ta :  ⇔ u = v = - ⇒ x = v = u +  c) Đặt : x + 32 = y > Kết x = 254 Đa biểu thức dạng : A = | = | A + B | A = ⇔ -1 x3 + + + x x + − Áp dụng | A | + | B 255 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy hai lần 256 Đặt x = y x = y ( x − a) 258 Ta có : P = + ⇒ P = 23 x + 2 ( x − b) = | x a | + | x b | | x a + b x | = b a (a < b) Dấu đẳng thức xảy (x a)(x b) ⇔ a x b Vậy P = b a ⇔ a x b 259 Vì a + b > c ; b + c > a ; c + a > b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số dương (a + b − c) + (b + c − a) =b (b + c − a) + (c + a − b) (b + c − a)(c + a − b) ≤ =c (c + a − b) + (a + b − c) (c + a − b)(a + b − c) ≤ =a (a + b − c)(b + c − a) ≤ Trang: 71 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS Các vế bất dẳng thức dương Nhân bất đẳng thức theo vế ta đợc bất đẳng thức cần chứng minh Đẳng thức xảy a + b c = b + c a = c + a b ⇔ a = b = c (tam giác đều) 260 x − y = (x − y) = (x + y) − 4xy = + = 2 261 2A = (a b)2 + (b c)2 + (c a)2 Ta có : c a = - (a c) = - [(a b) + (b c)] = - ( + + - 1) = - 2 Do : 2A = ( + 1)2 + ( - 1)2 + (-2 )2 = 14 Suy A = 262 Đa pt dạng : ( ) ( ) ( 2 x − −1 + y−3 −2 + ) z −5 −3 = 263 Nếu x y = 264 Đặt : x − = y ≥ M = x − ( )( ) x −1 + − x −1 265 Gọi kích thước hình chữ nhật x, y Với x, y ta có : x2 + y2 2xy Nhng x2 + y2 = (8 )2 = 128, nên xy 64 Do : max xy = 64 ⇔ x = y = 266 Với a, b ta ln có : a2 + b2 ≥ 2ab Nhưng a2 + b2 = c2 (định lí Pytago) nên : c2 ≥ 2ab ⇔ 2c2 ≥ a2 +b2 + 2ab ⇔ 2c2 ≥ (a + b)2 ⇔ c a+b ⇔ c a+b Dấu đẳng thức xảy a = b 267 Biến đổi ta : ( a 'b − ab ' ) +( a 'c − ac ' ) +( 268 x - ; x -Hết - Trang: 72 b 'c − bc ' ) =0 ... 1. 199 9 2. 199 8 3. 199 7 199 9.1 1 ,99 9 183 Cho số x, y x + y số hữu tỉ Chứng minh số x; y số hữu tỉ 184 Cho a = 3+ − ; b = + 2 + − CMR : a, b số 3− hữu tỉ Trang: 15 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ... (a 1)2 + (b 1)2 + 2. 199 8 2. 199 8 ⇒ M 199 8 a + b − =  Dấu = xảy có đồng thời : a − = Vậy M = 199 8⇔a = b= b − =  Trang: 25 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS 14 Giải tương... đẳng thức Cauchy viết lại dạng : Trang: 26 > ab a + b 270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS 199 8 Áp dụng ta có S > 199 9 22 Chứng minh x y x y x + y − 2xy (x − y) + ≥2 + −2=