Đang tải... (xem toàn văn)
CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾUPHẦN I: ĐỀ BÀI1. Chứng minh § là số vô tỉ.2. a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = x2 + y2.4. a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : §. b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng : § c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.5. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = a3 + b3.6. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : N = a + b “nội dung được trích dẫn từ 123doc.org - cộng đồng mua bán chia sẻ tài liệu hàng đầu Việt Nam”
CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU Một số tập toán nâng cao LỚP CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU PHẦN I: ĐỀ BÀI Chứng minh § số vô tỉ a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : S = x2 + y2 a) Cho a ≥ 0, b ≥ Chứng minh bất đẳng a+b ≥ ab thức Cauchy : § b) Cho a, b, c > bc ca ab + + ≥a+b+c Chứng minh : § a b c c) Cho a, b > 3a + 5b = 12 Tìm giá trị lớn tích P = ab Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M = a3 + b3 Cho a3 + b3 = Tìm giá trị lớn biểu thức : N = a + b Cho a, b, c số dương Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) Tìm liên hệ số a b biết : a + b > a − b § a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a b) Cho a, b, c > abc = Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 10 Chứng minh bất đẳng thức : a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 11 Tìm giá trị x cho : a) | 2x – | = | – x | b) x2 – 4x ≤ c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 12 Tìm số a, b, c, d biết : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d) 13 Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001 Với giá trị a b M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ 14 Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + CMR giá trị nhỏ P 15 Chứng minh khơng có giá trị x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau : x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 16 Tìm giá trị lớn biểu thức : § A= x − 4x + 17 So sánh số thực sau (không dùng máy tính) : a) § b) § 17 + +5 + 45 15 c) § d) § 23 22 19 − và 27 18 Hãy viết số hữu tỉ số vơ 3 tỉ lớn § nhỏ § 3x + 6x + + 5x + 10x + 21 = − 2x − x 19 Giải phương trình : § 20 Tìm giá trị lớn biểu thức A = x2y với điều kiện x, y > 2x + xy = 21 Cho § 1 1 S= + + + + + Hãy so 1998 1.1998 2.1997 k(1998 − k + 1) 1998 − sánh S § 1999 22 Chứng minh : Nếu số tự nhiên a không a phải số phương § số vơ tỉ 23 Cho số x y dấu Chứng minh : a) § x y + ≥2 b) § x y2 x y y x ÷ c) x y x + y − x + y ≥ ÷ + ÷− y2 + x2 ÷+ y + x ÷ ≥ § y x y x y x 24 Chứng minh số sau số vơ tỉ : 1+ a) § b) § với m, n số hữu tỉ, n ≠ 25 Có hai số vơ tỉ dương mà tổng số hữu tỉ không ? m+ n CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 26 Cho số x y khác Chứng minh : § 27 Cho x y2 z2 x y z + + ≥ + + số x, y, z dương Chứng minh : § y2 z2 x y z x 28 Chứng minh tổng số hữu tỉ với số vô tỉ số vô tỉ 29 Chứng minh bất đẳng thức : a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) c) (a1 + a2 + … + an)2 ≤ n(a12 + a22 + … + an2) 30 Cho a3 + b3 = Chứng minh a + b ≤ 31 Chứng minh : § [ x ] + [ y] ≤ [ x + y] 32 Tìm giá trị lớn A= biểu thức : § x − 6x + 17 33 Tìm giá trị nhỏ x y z A= + + : § với x, y, z > y z x 34 Tìm giá trị nhỏ : A = x2 + y2 biết x + y = 35 Tìm giá trị lớn : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ ; x + y + z = 36 Xét xem số a b số vơ tỉ khơng : a) ab § số vơ tỉ a b) a + b § số hữu tỉ (a + b ≠ 0) a b c) a + b, a2 b2 số hữu tỉ (a + b ≠ 0) b 37 Cho a, b, c > Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) 38 Cho a, b, c, d > Chứng a b c d + + + ≥2 minh : § b+c c+d d+a a+b 39 Chứng minh § [ x[ ]2x1 [+ ] x § § 40 Cho số nguyên dương a Xét số có dạng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; … ; a + 15n Chứng minh số đó, tồn hai số mà hai chữ số 96 41 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : G = 3x − − − + x + x + 1 5x A= x − B = C= D= E = x + + −2x x x + 4x − 1− x2 − x − 2x − x y x y2 + + ≥ 3 + ÷ y x y x §§ 42 a) Chứng minh : | A + B | ≤ | A | + | B | Dấu “ = ” xảy ? b) Tìm giá trị nhỏ M = x + 4x + + x − 6x + biểu thức sau : § 2 c) Giải phương 4x + 20x + 25 + x − 8x + 16 = x + 18x + 81 trình : § 43 Giải phương trình : § 1998 44 Tìm giá trị x để biểu thức 1999 sau có nghĩa : 1 A = x2 + x + B= C = − − 9x D= − 3x x − 5x + § x E= G= + x−2 H = x − 2x − + − x x −4 2x + + x § 45 Giải phương trình : § x − 3x = 46 Tìm giá trị nhỏ biểu x −3 thức : § A= x +x CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 47 Tìm giá trị lớn biểu thức : § B = − x + x 48 So sánh : a) § b) § +1 a − 213 +3 b= − = + n + − n + n+12 n c) § (n số nguyên dương) − 49 A = − − 6x + 9x + (3x − 1) Với giá trị x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ : § 50 Tính : § a) − b) 11 + c) 27 − 10 d) A = m + 8m + 16 + m − 8m + 16 e) B = n + n − + n − n − § (n ≥ 1) 51 Rút gọn biểu thức : § 41 M=2 (2x − y) + (y − 2)41 + (x + − z) = 52 Tìm số x, y, z thỏa mãn 45 + + 45 y + 41 đẳng thức : § 53 Tìm giá trị nhỏ P = 25x − 20x + + 25x − 30x + biểu thức : § 54 Giải phương trình sau : a) x − x − − x − = b) x − + = x c) x − x + x + x − = § d) x − x − 2x + = § § e) x + 4x + + x − = h) x − 2x + + x − 6x + = k) x + − x − + x + − x − = § 55 Cho hai số thực x y thỏa mãn điều kiện : xy = x > y CMR: § 56 Rút gọn biểu thức : a) 13 + 30 + + i) x + + − x = x − 25 l) 8x + + 3x − = 7x + + 2x − x + y2 ≥2 x−y 2+ = b) m + m − + + − m − m 2 c) + + + + + + − + + §57 Chứng minh § 58 Rút gọn biểu thức : a) C = 6+2 ( g) x − + x − = −5 ) + 3+ − 6−2 ( 6− 3+ d) 227 − 30 + 123 + 22 ) b) D = 9−6 − § 59 So sánh : a) + 20 1+ b) 17 + 12 +1 c) 28 − 16 − § A = x − x − 4x + 60 Cho biểu thức : § a) Tìm tập xác định biểu thức A b) Rút gọn biểu thức A 61 Rút gọn biểu thức sau : § a) 11 − 10 b) − 14 § + 11 + − + c) + + − + 10 1 1 1 + 2+ = + + a b c a b c 62 Cho a + b + c = ; a, b, c ≠ Chứng minh đẳng thức : § x − 16x + 60 < x − 63 Giải bất phương trình : § CHUN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU x2 − + ≤ x2 A = x2 + y2 , biết : §x2(x2 + 2y2 – a) A = 3) + (y2 – 2)2 = (1) 66 Tìm x để biểu thức có nghĩa: § 67 Cho biểu thức : § a) Tìm giá trị x để biểu thức A có nghĩa 16 − x b) B = + x − 8x + 2x + 1 x − 2x − A= 64 Tìm x cho : § 65 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn x + x − 2x x − x − 2x − x − x − 2x x + x − 2x b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị x để A < 68 Tìm 20 chữ số thập phân 0,9999 số : § (20 chữ số 9) 69 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn : A = | x - §| + | y – | với | x | + | y | = 70 Tìm giá trị nhỏ A = x4 + y4 + z4 biết xy + yz + zx = 71 Trong hai số : § (n số n + n + n+1 nguyên dương), số lớn ? 72 Cho biểu thức § Tính giá trị x y + ≥2 A theo hai cách y x 73 Tính : § ( + + 5)( + − 5)( − + 5)(− + + 5) + ; − ; 2 +3 74 Chứng minh số sau số vơ tỉ : § 75 Hãy so sánh hai số : § ; a = 3 − b=2 + − + § 76 So 4+ − 4− − sánh § số 77 Rút gọn biểu thức : § 2+ 3+ 6+ 8+4 Q= 78 P = 14 + 40 + 56 + 140 2+ 3+ Cho § Hãy biểu diễn P dạng tổng thức bậc hai 79 Tính giá trị biểu thức x2 x − y2 + y − x = + y2 biết : § 80 Tìm giá trị nhỏ lớn A = 1− x + 1+ x : § 81 Tìm giá trị lớn : § với M= a+ b a, b > a + b ≤ 82 CMR 2b + c − ad ; 2c + d − ab ; 2d + a − bc ; 2a + b − cd số § có hai số dương (a, b, c, d > 0) 83 Rút gọn biểu thức : § N = + + + 18 x + y + z = xy + yz + zx 84 Cho §, x, y, z > Chứng minh x = y = z ( ) 85 Cho a1, a2, …, an > a1a2…an = Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) ≥ 2n 86 Chứng minh : § (a, b ≥ a + b ≥ 2(a + b) ab 0) 87 Chứng minh đoạn a, b, c thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam giác đoạn thẳng có độ dài § lập thành tam giác 88 Rút gọn : a) § b) § ab − 2) − 8xa (x + b A == a + − B 89 Chứng minh với số thực a, b ≥2 b ta có : § Khi có đẳng thức ? x− a2 +1 x ( ) CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 90 Tính : § hai cách A = 3+ + 3− 91 So sánh : a) § +5 6,9 b) 13 − 12 − 2+ 2− P= + + 2+ − 2− 92 Tính : § x + + 2x − + x − − 2x − = 2 93 Giải phương trình : § 1.3.5 (2n − 1) 94 Chứng minh ta ln có : § ; (n ( Z+ Pn = < 2.4.6 2n 2n + 95 Chứng minh a, b > a2 b2 a+ b≤ + § b a 96 Rút gọn biểu thức : §A = x − 4(x − 1) + x + 4(x − 1) ữĐ x a b + b a x − 4(x − 1) a) : =a−b ab a− b 97 Chứng minh đẳng thức sau : § (a, b > ; a ≠ b) 14 − a + a a − a 15 − b) + = −2 c) 1 + ÷: ÷1 − ÷= − a 1− − a + a −1 1− § (a > 0) 98 Tính : § a) − − 29 − 20 ; b) + − 13 + 48 c) + 48 − 28 − 16 ÷ + 48 § 99 So sánh : § a) + 15 b) + 15 12 + § 16 c) 18 + 19 d) 25 100 Cho đẳng thức : § (a, b > a2 – b > 0) a + a2 − b a − a2 − b a± b = ± Áp dụng kết 2+ 2− 3− 2 + 22 a) + ; b) − để rút gọn : § + 2+ − 2− 17 − 12 17 + 12 §§ 10 + 30 − 2 − c) : 101 Xác định giá 10 − 2 −1 trị biểu thức sau : 1 §với § (a > ; b > 1) x A xy − x − y − a)= 2= a + a ÷ , y = b + b ÷§ với § 2am − P(x).P(- x) < x + − x − + x + + x − 103 Cho biểu thức § A= a) Rút gọn biểu thức A 4 b) Tìm số nguyên x để − +1 x2 x biểu thức A số nguyên 104 Tìm giá trị lớn (nếu có) giá trị nhỏ (nếu có) biểu thức sau: § a) − x b) x − x (x > 0) c) + − x d) x − − e) − − 3x g) 2x − 2x + h) − − x + 2x + i) 2x − x + § 105 Rút gọn biểu thức : §, A = x + 2x − − x − 2x − ba cách ? 106 Rút gọn biểu thức sau : § a) + 48 − 10 + CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU § 107 Chứng b) + 10 + + − 10 + b minh đẳng thức với b ≥ ; a ≥ § c) 94 − 42 − 94 + 42 ) ( a) § b) § 2 a a + b ± a + a = b a ± − a 2a− − b a− b − b a± b = ± 2 A = x + 2x − + x − 2x − 108 Rút gọn biểu thức : § x + y − = x + y − 109 Tìm x y cho : § 2 a + b + c2 + d ≥ ( a + c ) + ( b + d ) 110 Chứng minh bất đẳng thức : § 111 Cho a, b, c > Chứng minh : a b2 c2 a +b+c + + ≥ § b+c c+a a +b 112 Cho a, b, c > ; a + b + c = Chứng minh : a) a + + b + + c + < 3,5 b) a + b + b + c + c + a ≤ § ( a + c2 ) ( b2 + c2 ) + ( a + d ) ( b2 + d ) ≥ (a + b)(c + d) 113 CM : § với a, b, c, d > A = x + x 114 Tìm giá trị nhỏ : § 115 Tìm giá trị nhỏ (x + a)(x + b) A= : § x 116 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 117 Tìm giá trị lớn A = x + § 2−x 118 Giải phương trình : § x − − 5x − = 3x − 119 Giải phương trình : § x + x −1 + x − x −1 = 3x + 21x + 18 + x + 7x + = 120 Giải phương trình : § 3x + 6x + + 5x + 10x + 14 = − 2x − x 121 Giải phương trình : § 3− ; 2 + 122 Chứng minh số sau số vơ tỉ : § 123 Chứng minh § x−2 + 4−x ≤ 124 Chứng minh bất đẳng thức sau phương pháp hình học : § với a, b, c > a + b b + c ≥ b(a + c) 125 (a + b)(c + d) ≥ ac + bd Chứng minh § với a, b, c, d > 126 Chứng minh đoạn thẳng có a , b , c độ dài a, b, c lập thành tam giác đoạn thẳng có độ dài § lập thành tam giác 127 Chứng minh § với a, b ≥ (a + b) a + b + ≥ a b + b a 128 Chứng minh § với a, b, c > a b c + + > 129 Cho § x − y2 + y − x = b+c a+c a+b Chứng minh x2 + y2 = 130 Tìm giá trị nhỏ § A = x − x − + x + x − 131 Tìm GTNN, GTLN § A = 1− x + 1+ x 132 Tìm giá trị nhỏ § A = x + + x − 2x + 133 Tìm giá trị nhỏ § A = − x + 4x + 12 − − x + 2x + a) A = 2x + − x b) A = x 99 + 101 − x 134 Tìm GTNN, GTLN : § 135 Tìm GTNN A = x + y biết x, y > a b + = thỏa mãn § (a b số dương) x y 136 Tìm GTNN A = (x + y)(x + z) với ( ) CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU x, y, z > , xyz(x + y + z) = xy yz zx 137 Tìm GTNN § với x, y, z > , x + + + y + z = z x y 138 Tìm GTNN x2 y2 xy + yz + zxz= A= + + x+y y+z z+x 139 Tìm giá trị lớn A= a+ b : a) § với a, b > , a + b ≤ A= § biết x, y, z > , § B= ( a+ b ) +( a+ c ) +( ( a+ d ) ) +( b+ c ) +( b+ d ) +( c+ d ) b) § với a, b, c, d > a + b + c + d = 140 Tìm giá trị nhỏ A = 3x + 3y với x + y = b c 141 Tìm GTNN § với b + c ≥ a + A= + c + d a + b d ; b, c > ; a, d ≥ 142 Giải phương trình sau : 2 a) x − 5x − 3x + 12 = b) x − 4x = x − c) 4x + − 3x + = § d) x −h)− xx + 1−= x − +x − 7x− − −x −= 1 +2 e) x + −1 x = g) x + 2x + x + x1 − x = − = i) x − + − 2x §§§ k) − x − x = x − § § § l) 2x + 8x + + x − = 2x + m) x + = x − x − o) x − + x + + n) x + + x + 10 = x + + x + ( x − 1) ( x − 3x + ) = − 2x p) 2x + + x + + 2x + − x + = + x + § 143 Rút gọn biểu thức : § q) 2x − 9x + + 2x − = 2x + 21x − 11 § A = 2 − +3 ( 1+ 1 + + + >2 n ( 145 Trục thức mẫu : § )( 18 − 20 + 2 ) ) 144 Chứng minh rằng, (n ( Z+ , n + − ta ln có : § 1 a) b) 1+ + x + x +1 a) − − 29 − 20 b) + − 13 + 48 c) − − 29 − 12 146 Tính : § 147 Cho § Chứng minh a a = − + 10 − số tự nhiên 3− 2 + 2 148 Cho § b có phải số tự nhiên b= − không ? 17 − 12 17 + 12 149 Giải phương trình sau : § a) − x − x + − = b) − x = + x − 3 150 Tính giá M = 12 − 29 + 25 + 21 − 12 + 29 − 25 − 21 trị biểu ( − x ) − x + ( x − 3) x − = c) d) x + x − = thức : § 5− x + x −3 151 Rút 1 1 A= + + + + 1+ 2+ 3+ n − + n gọn : § 1 1 P= − + − + 2− 3− 4− 2n − 2n + 152 Cho biểu thức : § ( ( ) )( ) ( ) ( ) CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU a) Rút gọn P b) P có phải số hữu tỉ khơng ? 153 Tính : § 1 1 A= + + + + +1 + + 100 99 + 99 +100 + + + > n n 154 Chứng minh : § 155 Cho § Hãy tính giá trị biểu thức: A a = 17 − = (a5 + 2a4 – 17a3 – a2 + 18a – 17)2000 156 Chứng minh : § (a ≥ 3) a − a −1 < a − − a − 157 Chứng minh : § (x ≥ 0) x − x + > 158 Tìm giá trị lớn S = x −1 + y − 2 § , biết x + y = 159 Tính giá trị biểu thức + 2a − 2a a= : A= + sau với § + + 2a − − 2a 160 Chứng minh đẳng thức sau : § a) + 15 10 − − 15 = b) + = +1 c) − + 10 − = d) + 48 = + e) 17 − + = − 2 §161 Chứng minh bất đẳng thức sau : § 5+ 5− a) 27 + > 48 b) + − 10 < § +1 − 5 − + + 1,01 > c) + ÷ − ữ 10, Đ 2 3 + − > ++ 53+− 13+ +− 33− + d) ÷ § e) + 2 + −6 + 22 − >61,9 + g) 17 + 12 − > − − −1 + + 2− h) 3+ 5+ − + + < i) < 0,8 § 162 Chứng minh : § Từ n +1 − n < < n − n − suy ra: n 1 2004 < + + + + < 2005 1006009 § 163 Trục thức mẫu 2+ 3+ a) b) : § 2+ 3+ 6+ 8+4 2+ + 3+ 3− x= y= 3− 3+ 164 Cho § Tính A = 5x2 + 6xy + 5y2 165 Chứng minh bất đẳng thức 2002 2003 + > 2002 + 2003 sau : § 2003 2002 166 Tính x = + − 3xy − y5 x2 y = + A= giá trị biểu thức : § với § x+y+2 167 Giải phương 6x − = + x − x trình : § x − 1− x 3 + 5x ≥ 72 b) 10x − 14 ≥ c) + 2 + 2x ≥ 4 168 Giải bất pt : a) § 169 Rút gọn biểu thức sau : a −1 § a) A = − − 29 − 12 b) B = − a + a(a − 1) + a x + + x2 − x +a + + x − x 5x c) C = d) D = 2x − + x − 3x − x + (x + 2) − x § ( ( ( )( )( ) ) ) ( ( ) ) ( ) CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU E= 10 § 1 1 − + − − 1− 2− 3− 24 − 25 170 Tìm A = GTNN GTLN biểu thức § − − x2 171 Tìm giá trị nhỏ § với < x < + 1− x x 172 Tìm GTLN : § a) A = x − + y − x −1 B= + x y a = 1997 − 1996 ; b = 1998 − 1997 173 Cho § So sánh a với b, số lớn A= biết x + y = ; b) § ? a) A = 5+2 6−x 174 Tìm GTNN, GTLN b) B = − x + 2x + : § 175 Tìm giá A = x 1− x2 trị lớn § 176 Tìm giá trị lớn A = | x – y | biết x2 + 4y2 = 177 Tìm GTNN, GTLN A = x3 + y3 biết x, y ≥ ; x2 + y2 = A = x +x + y 178 Tìm GTNN, GTLN §biết § y= y x −1 179 Giải phương trình : § − x + x − 3x + + (x − 2) =3 2 x−2 x + 2x − = + 4x + 2x 180 Giải phương trình : § 181 CMR, (n ( Z+ , ta có : § 1 1 + + + + ; a ≠ 1) 186 Chứng minh : § (a > a +1 a −1 − + a ÷ a − = 4a ; a ≠ 1) ÷ a +1 a a −1 187 Rút gọn : § ( x + ) − 8x (0 < x < 2) x− b − ab a b a + b 188 Rút gọn : + − a+ ÷: x ữĐ a + b ab + b ab − a ab 5a 2 2 x+ x +a ≤ 189 Giải bất phương trình : § (a ≠ 0) x2 + a2 − a a + a a A = ( − a ) : + a ÷ − a ÷ + 190 Cho § − a + a a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A với a = ( ) c) Với giá trị a | A | = A a + b −1 a− b b b 191 Cho biểu thức : § B= + + ÷a) Rút gọn biểu a = + a + ab ab a − ab a + ab thức B b) Tính giá trị B § c) So sánh B với -1 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 25 Kết luận : ≤ x ≤ 120 Điều kiện : x2 + 7x + ≥ Đặt § = y x + 7x + ≥ ( x2 + 7x + = y2 Phương trình cho trở thành : 3y2 – + 2y = ( 3y2 + 2y – = ( (y – 1)(3y + 5) = ( y = - 5/3 (loại) ; y = Với y = ta có § = x + 7x + ( x2 + 7x + = ( ( (x + 1)(x + 6) = Các giá trị x = - 1, x = - thỏa mãn x2 + 7x + ≥ nghiệm (1) 3(x + 1)2 + + 5(x + 1)2 + ≥ + = 121 Vế trái : § Vế phải : – 2x – x2 = – (x + 1)2 ≤ Vậy hai vế 5, x = - Với giá trị hai bất đẳng thức trở thành đẳng thức Kết luận : x = - 122 a) Giả sử § = a (a : hữu tỉ) ( - 2§ = a2 − −2 a2 ( § Vế phải số hữu tỉ, vế trái số vô = tỉ Vơ lí Vậy § số vơ tỉ b) Giải tương tự câu a 123 Đặt § = a, § = b, ta có a2 + b = a2 + − b + x x Sẽ chứng minh a + b ≤ Cộng vế a ≤ ; b ≤ A bất đẳng thức : § 124 Đặt đoạn thẳng BH = a, HC = c đường thẳng b Kẻ HA ( BC với AH = b Dễ thấy AB.AC ≥ 2SABC = BC.AH c a 125 Bình phương hai vế rút gọn, ta bất đẳng thức tương B C đương : (ad – bc)2 ≥ Chú ý : Cũng chứng minh bất đẳng thức Bunhiacôpxki 126 Giả sử a ≥ b ≥ c > Theo đề : b + c > bc a Suy : b + c + 2§ > a ( 2 ( § b+ c > a ⇒ b+ c> a Vậy ba đoạn thẳng b, c, a có độ dài § lập thành tam giác 127 Ta có a, b ≥ Theo bất đẳng thức Cauchy : § (a + b)2 a + b a + b 1 1 + = a + b + ÷ ≥ ab a + b + ÷Cần chứng b + b 1a a 2 2 ab a + b + ÷ minh : § ≥ 2 § Xét hiệu hai vế : § - § = § = =§ ≥ 1 ab1 a + b ab abb a + + ÷ + − − ab aa − +÷ b + ab − b ÷ Xảy du ng thc : a = b = Đ ữ 2 2 a = b = 128 Theo bất đẳng thức Cauchy b + c b+c+a b+c ≤ + ÷: = : § a 2a a b 2b a 2a c 2c Do : § Tương tự : § ≥ ≥; ≥ a b c 2(a + b + c) a+c a+b+c a+b+c a+b+c b+c a+b + + ≥ =2 b+c c+a a+b a+b+c Cộng vế : § Xảy dấu đẳng thức : §, trái với giả a = b + c thiết a, b, c > b = c + a ⇒ a + b + c = Vậy dấu đẳng thức không xảy c = a + b 129 Cách : Dùng bất đẳng thức Bunhiacôpxki Ta có : § x − y + y − x ≤ ( x − y ) ( − y + − x ) Đặt x2 + y2 = m, ta : 12 ≤ m(2 - m) ( (m – 1)2 ≤ ( m = (đpcm) Cách : Từ giả thiết : § Bình phương x − y = − y − x hai vế : ( ) ( ) ( ( ) ) CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU x2(1 – y2) = – 2y§ + y2(1 – x2) ( x2 = – = (y - §)2 ( y = § ( x2 + y2 = 130 Áp dụng | A | + | B | ≥ | A + B | A 131 Xét A2 = + 2§ Do ≤ § ≤ ( ≤ + ( ≤ A2 ≤ A = § với x = ± , max A 26 2y§ + y2 − x2 − x2 =2 ( 1≤ x ≤ − x 2§ ≤ = với x = a2 + b2 + c2 + d ≥ (a + c)2 + (b + d)2 132 Áp dụng bất đẳng thức : § (bài 23) § § A = x + 12 + (1 − x)2 + 2 ≥ (x + − x)2 + (1 + 2)2 = 10 1− x A = 10 ⇔ =2 ⇔ x= 133 Tập xác định : § −x + 4x + 12 ≥ x (x + 2)(6 − x) ≥ ⇔ ⇔ − ≤ x ≤ (1) −x + 2x + ≥ (x + 1)(3 − x) ≥ Xét hiệu : (- x2 + 4x + 12)(- x2 + 2x + 3) = 2x + Do (1) nên 2x + > nên A > Xét : § Hiển nhiên A2 ≥ A = (x + 2)(6 − x) − (x + 1)(3 − x) dấu “ = ” khơng xảy (vì A > 0) Ta biến đổi A2 dạng khác : A2 = (x + 2)(6 – x) + (x + 1)(3 – x) - (x + 2)(6 − x)(x + 1)(3 − x) 2§ = = (x + 1)(6 – x) + (6 – x) + (x + 2)(3 (x + 2)(6 − x)(x + 1)(3 − x) – x) – (3 – x) - 2§ = (x + 1)(6 – x) + (x + 2)(3 – x) - 2§ (x + 2)(6 − x)(x + 1)(3 − x) +3 = § (x + 1)(6 − x) − (x + 2)(3 − x) + A2 ≥ Do A > nên A = § với x = 134 a) Điều kiện : x2 ≤ * Tìm giá trị lớn : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki : A2 = (2x + 1.§)2 ≤ (22 + 11)(x2 + – x2) = 25 − x ( A2 ≤ 25 § x ≥ x = − x2 Với x = A = A = 25 ⇔ ⇔ x = 4(5 − x ) ⇔ x = Vậy max A = với x x ≤ = x ≤ * Tìm giá trị nhỏ : Chú ý từ A2 ≤ 25, ta có – ≤ x ≤ 5, khơng xảy A2 = - Do tập xác định A, ta có x2 ≤ ( - § ≤ x ≤ § Do : 2x ≥ - 2§ § ≥ Suy :A = 2x + § ≥ - 2§ Min A = - 2§ − x với x = -§ b) Xét biểu thức phụ | A | áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki Cauchy : ( ) ( A =x ( ) ) 99 99 + 101 − x ≤ x (99 + 1)(99 + 101 − x ) = x 10 200 − x < < 10 x + 200 − x = 1000 § § Do : - 1000 < A < x ≤ 101 1000 99 99 A = 1000 ⇔ = ⇔ x = ±10 A = - 1000 với x = - 10 ; max A = 1000 với x = 101 − x 10 2 x = 200 − x a b ay bx +b + ÷( x + y ) = a + + x y x y CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 27 135 Cách : A = x + y = 1.(x + y) = § Theo bất đẳng thức Cauchy với số ay bx ay bx + ≥2 = ab dương : § x y x y Do § A ≥ a + b + ab = a + b § với § ay bx A = a + b x = y Cách : Dùng bất đẳng thức Bunhiacôpxki : § x = a + ab a b a b A = (x + y).1 = (x + y) + ÷ ≥ x + y ÷ = a + ab+ b = ⇔ Từ tìm x y x y giá trị nhỏ y = b + ab x y x, y > A 136 A = (x + y)(x + z) = x2 + xz + xy ≥ xyz(x + y + z) = + yz = x(x + y + z) + yz § A = chẳng hạn y = z = , x = § - 137 Theo bất đẳng thức Cauchy : § xy yz xy yz + ≥2 = 2y Tương tự : yz zx zx xy z x z x § Suy x + y ≥ 2z ; y + z ≥ 2x 2A ≥ 2(x + y + z) = A = với x = y = z = § 2 x y z2 x + y + z 138 Theo tập 24 : § Theo bất + +3 ≥ đẳng thức Cauchy : x+y y+z z+x § xy + yz + zx x+y y+z z+x x+y+z ≥ xy ; ≥ yz ; ≥ zx nên ≥ = A = § § 2 2 ⇔ x=y=z= 2 2 A = a + b ≤ a + b + a3− b = 2a + 2b ≤ 139 a) § § a= b 4 max A = ⇔ ⇔4a = b = b) Ta có : § a + b ≤ a + b a + b a − b = 2(a + b + 6ab) = + a + c ≤ 2(a + c + 6ac) ; a + d ≤ 2(a + d + 6ad) ( ) ( ( ( ( ) ( ) ( ) ( ( ( ( ) ( b+ c+ ) c) d) ) ) ) ) ≤ 2(b + c ( + 6bc) ; ( b+ ) d) ≤ 2(b + d + 6bd) ≤ 2(c + d + 6cd) Tương tự : §§ Suy : B ≤ 6(a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd) = 6(a + b + c + d)2 ≤ § a= b= c= d = ⇔ a 140 § A = 18 max B A 3x + y ≥ 3x.3y = 3x + y⇔ =3b = c = d = = = = 18 a + b + c + d = với x = y = 141 Khơng tính tổng quát, giả sử a + b ≥ c + d Từ giả thiết suy : § a+b+c+d b+c≥ § b c b+c c c 2 a + b + c + d c + d c + d A= + = − − − − ÷≥ ÷Đặt a + b = x ; c+d a+b c+d c+d a+b 2(c + d) c+d a +b c + d = y với x ≥ y > 0, ta có : § x+y y y x y x y x y 1 − § ; chẳng A ≥ 2y − y + x = 2y + 21 + x = 2y + x ÷− ≥ 2y x − = − A = − ⇔ d = , x = y , b + c ≥ a + d hạn a = + 1, b = − 1,c = 2,d = § (x − 3) + ( x − 3) = 142 a) § Đáp số : x = b) Bình phương hai vế, đưa : (x2 + 8)(x2 – 8x + 8) = Đáp số : x = + 2§ c) Đáp số : x = 20 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 28 d) § Vế phải lớn vế trái Vơ nghiệm x − = + x + e) Chuyển vế : § Bình phương hai x − x −1 = + x −1 vế Đáp số : x = g) Bình phương hai vế Đáp số : § ≤ x ≤ 1 h) Đặt § = y Đưa dạng § = Chú ý đến y − 2x2 y − + − bất đẳng thức : § Tìm ≤ y ≤ Đáp số : y − + − y ≥ y − + − y = ≤ x ≤ 11 i) Chuyển vế :§, bình phương hai vế x + − x = − x 16 Đáp : x = (chú ý loại x = §) 25 k) Đáp số : § 16 l) Điều kiện : x ≥ x = - Bình phương 25 hai vế rút gọn : § 2(x + 1) (x + 3)(x − 1) = x − Bình phương hai vế : 8(x + 1)2(x + 3)(x – 1) = (x + 1)2(x – 1)2 ( (x + 1)2(x – 1)(7x + 25) = § loại Nghiệm : x = ± 25 x = − m) Vế trái lớn x, vế phải khơng lớn x Phương trình vơ nghiệm n) Điều kiện : x ≥ - Bình phương hai vế, xuất điều kiện x ≤ - Nghiệm : x = - o) Do x ≥ nên vế trái lớn 2, vế phải nhỏ Suy hai vế 2, x = 1, thỏa mãn phương trình 2x + + x + = y ; 2x + − x 2+ = z p) Đặt § (1) Ta có : y − z2 = + x + ; y + z = + x + § Suy y – z = z = x + Từ § (2) Từ (1) (2) tính x Đáp số : x = (chú ý loại x = - 1) q) Đặt 2x2 – 9x + = a ≥ ; 2x – ≥ b a + b = a + 15b ;5 ≥ Phương trình : § Bình phương hai vế rút gọn ta : b = b = a Đáp số : § 144 Ta có : k +1 − k 2 = > = = k + − k § k k k +1 − k 1k + 1k + 1 k +1 + k 1+ + + + > 2( − 1) + 2( − 2) + 2( − 3) + + 2( n + − n ) n Vậy : § = =§ 2( n + − 1) (đpcm) 150 Đưa biểu thức dấu dạng bình phương M = -2 151 Trục thức mẫu hạng tử Kết n : A = § - 152 Ta có : § = −( a + a + 1) ⇒ P = −( + 2n + 1) P a − a +1 số hữu tỉ (chứng minh phản chứng) 1 153 Ta chứng minh : = − ⇒ A= § 10 (n + 1) n + n n + n n +1 1 1 1+ + + + + > n = n n n 154 § 155 Ta có a + = § Biến đổi đa thức 17 ngoặc thành tổng lũy thừa số a + A = [(a + 1)5 – 3(a + 1)4 – 15(a + 1)3 + 52(a + 1)2 – 14(a + 1)]2000 = (259§ - 225§ - 34§ - 1)2000 = 17 156 Biến đổi : § 1 a − a −1 = ; a −2 − a −3 = a + a −1 a −2 + a −3 ( ( )( ) ) ( ) CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 29 2 157 § 1 1 1 2 − Dấu “ = “ không x − x + = x − x + + x x + = x − ÷ + x − ÷ ≥ 4x = x = 2 2 xảy khơng 2 thể có đồng thời : § 168 Trước hết ta chứng minh : § (*) a + b ≤ 2(a + b ) (a + b ≥ 0) S = x − + y − ≤ 2(x − + y − 2) = Áp dụng (*) ta có : § x = x −1 = y − max S = ⇔ ⇔ x + y = y = § * Có thể tính S2 áp dụng bất đẳng thức Cauchy 180 Ta phải có ( A ( ≤ § Dễ thấy A > B = = 23 − x − Ta xét biểu thức : § Ta có : A § ≤ − x2 ≤ ⇒ − ≤ − − x2 ≤ ⇒ − ≤ − − x2 ≤ § Khi § ( B = max A = = =3 − x 3⇔ x = 2− ⇔ 2+ 2− max B = ⇔ − x = ⇔ x = ± ( § Khi A = § 181 Để áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta 2x − x B= + xét biểu thức : § Khi : 1− x x § 2x − x = (1) Giải (1) : 2x2 = (1 – 2x − x B≥2 = 2 B = 2 ⇔ 1 − x x 1− x x x)2 ( ( x§ ( = ( – 0 < x < (2) x ( Do < x < nên x§ = – x ( ⇔ x = § = −1 Như B = 2§ ( x = § - 2 +1 Bây ta xét hiệu : § 2x − x − 2x − + x = +1 = Do A = 2§ + A − B = −2 + x ÷− − x + x ÷ = − x + x x x = § - 182 a) Điều kiện : x ≥ , y ≥ Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm giảm tổng : § Ở ta muốn làm tăng tổng Ta a + b ≤ b 2(a + b ) a+ ≥ ab dùng bất đẳng thức : § § A = x − + y − ≤ 2(x − + y − 3) = x − = y − x = 1,5 max A = ⇔ ⇔ § x + y = y = 2,5 Cách khác : Xét A2 dùng bất đẳng thức Cauchy a + b b) Điều kiện : x ≥ , y ≥ Bất đẳng thức ab ≤ Cauchy cho phép làm trội tích : § Ta x − 2(yy − , − 2) x − = 1.(x − 1) , y − = xem biểu thức § tích : § x − 1.(x − 1) + x − 1 = ≤ = Theo bất đẳng thức Cauchy : § x x 2x y−2 2.(y − 2) + y − 2 = ≤ = = y y 2y 2 § § x − = x = 2 2+ max B = + = ⇔ ⇔ 4 y − = y = CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 30 183 § Ta thấy § 1 a = 1997 + 1996 < b 1998 + 1997 , = 1997 + 1996 1998 + 1997 Nên a < b 184 a) A = - 2§ với x = max A = § với x = ± § b) B = với x = ± § max B = § với x = x + (1 − x ) 185 Xét – ≤ x ≤ A ≤ 2 A = x (1 − x ) ≤ = Xét ≤ x ≤ § 2 x = − x 2 max A = ⇔ ⇔ x= 2 x > § 186 A = ( x – y ( ≥ 0, A lớn chi A2 lớn Theo bđt Bunhiacôpxki : § 1 2 A = (x − y) = 1.x − 2y ÷ ≤ 1 + ÷(x + 4y ) = 4 2y 4 =− x x = =− max A = ⇔ x ⇔ 2 = x + 4y = y y = − 10 10 § § 187 a) Tìm giá trị lớn : Từ giả thiết : § 0 ≤ x ≤ x ≤ x ⇔ ⇔ x + y3 ≤ x x y x += = y ≤ y max A = ⇔ 0 ≤ y ≤ ⇔ x = 0, y = V x = 1, y = y = y § b) Tìm giá trị nhỏ : (x + y)2 ≤ 2(x2 x+y ⇒ ≤ + y2) = ( x + y ≤ § Do : § Theo bất đẳng ( x + y3 ) ( x + y ) 3 x +y ≥ thức Bunhiacôpxki : 2 2 2 3 3 ≥ x x + y3 y (x + y )(x + y) = x + y x + y §= (x2 + y2) = § x=y 188 Đặt §, ta có a, b ≥ 0, a + b = A =x = a ⇔ y = b = 2 ; A = a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) = a2 – ab + b2 = (a + b)2 – 3ab = – 3ab Do ab ≥ nên A ≤ max A = ( a = b = ( x = x = 1, y = Ta có § (a + b) 1 1 ab ≤ = ⇒ ab ≤ ⇒ − 3ab ≥ A = ⇔ x = y = 189 Điều 4 4 4 kiện : – x ≥ , – x ≥ nên x ≤ Ta có : § x −1 − x + (x − 1)(x − 2) − x − =3 − x + (x − 1)(x − 2) − (x − 1)(x − 2) = ⇔ − x = ⇔ x = −8 x−2 ( § 190 Ta có : + 4x + 2x2 = 2(x2 + 2x + 1) x + 2x + + = 2(x + 1)2 + > với x Vậy phương trình xác định với giá trị x Đặt § = y ≥ 0, phương trình có dạng : y2 - y§ - 12 = ( (y - 3§)(y + 2§) = y = 2 ( § y = −2 (loai y ≥ Do § = 3§ ( x2 + 2x + = 18 x + 2x + ( (x – 3)(x + 5) = ( x = ; x = -5 191 Ta 1 1 1 = k = k − + − ÷= k ÷ ÷ (k + 1)k (k + 1) k k + k k +1 k k +1 k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 31 có : § = § Do : § 1 k > ; a ≠ 0) ab a + b 193 Đặt x – y = a , § + § = b (1) a, b ( x y Q a) Nếu b = x = y = 0, § , § ( Q x y b) Nếu b ≠ §Q (2) x−y a a = ⇒ x− y= ∈ Từ (1) (2) : § 1 a 1 a x = x + y ∈ b ; y = bb ÷ ∈ Q b+ ÷ Q − 2 b 2 b x + a2 + x x2 + a2 − x = a2 )( ( 199 Nhận xét : § Do : ( ) x + x2 + a2 ≤ 5a x2 + a2 ) ( (1) ⇔ x + x + a ≤ ( x2 + a2 + x )( x2 + a2 − x ) ) x2 + a2 § Do a ≠ nên : § Suy : § , (x x + a + x 2> ax 2++ x>= x + x ≥ + x Vì : (1) x ≤ ( § x + a ≤ x + a − x ⇔ 5x ≤ x + a ⇔ x > § x ≤ 2 207 c) Trước − 2a x ≤ a 25x ≤ 9x + 9a x2 ⇔ 1+ ⇔ Ta có § Suy A2 = x điều phải chứng minh 209 Ta có : a + b = - , ab = - § nên : = a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = + § 2 a4 + b4 = (a2 + b2)2 – 2a2b2 = § ; a3 + 17 −= − = b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = - - § 4 48 Do : a7 + b7 = 17 239 − − − ÷( −1) = − (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b) = § 64 64 210 a) § a = ( − 1) = − 2 = − § a = ( − 1)3 = 2 − + − = − = 50 − 49 b) Theo khai triển Newton : (1 - §)n = A - B§ ; (1 + §)n = A + B§ với A, B ( N Suy : A2 – 2B2 = (A + B§)(A - B§) = [(1 + §) (1 - §)]n = (- 1)n Nếu n chẵn A2 – 2b2 = (1) Nếu n lẻ A2 – 2B2 = - (2) Bây ta xét an Có hai trường hợp : A −2 2B2 * Nếu n chẵn : an = (§ - 1)n = (1 - §)n = A - B§ = § Điều kiện A2 – 2B2 = thỏa mãn (1) 2B2 − A * Nếu n lẻ : an = (§ - 1)n = - (1 - §)n = B§ - A = § Điều kiện 2B2 – A2 = thỏa mãn (2) CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 32 211 Thay a = § vào phương trình cho : 2§ + 2a + b§ + c = ( §(b + 2) = -(2a + c) Do a, b, c hữu tỉ nên phải có b + = 2a + c = Thay b = - , c = - 2a vào phương trình cho : x3 + ax2 – 2x – 2a = ( x(x2 – 2) + a(x2 – 2) = ( (x2 – 2)(x + a) = Các nghiệm phương trình cho là: ± § - a 1 212 Đặt § A= + + + A > n −3 n a) Chứng minh § : Làm giảm số hạng A : §§ 2 = > = k +1 − k k k+ k kA + k + + − + + + − n + n + = +> − Do § § = n +1 − = n +1 − 2 > n +1 − > n − b) Chứng minh § : A § > Như < a100 < 3, [ a100 ] = 214 a) Cách (tính trực tiếp) : a2 = (2 + §)2 = + 4§ =3 48 Ta có § nên < 4§ < ( 13 < a2 < 14 Vậy [ a2 ] = 13 Cách (tính gián tiếp) : Đặt x = (2 + §)2 x = + 4§ Xét biểu thức y = (2 - §)2 y = - 4§ Suy x + y = 14 Dễ thấy < - § < nên < (2- §)2 < 1, tức < y < Do 13 < x < 14 Vậy [ x ] = 13 tức [ a2 ] = 13 b) Đáp số : [ a3 ] = 51 215 Đặt x – y = a ; § (1) a b số x+ y =b hữu tỉ Xét hai trường hợp : a) Nếu b ≠ § số hữu tỉ (2) x − y a a = ⇒ x− y= Từ (1) (2) ta có : b x+ y b § số hữu tỉ ; § số hữu tỉ 1 a x = b − ÷b) Nếu b = x = y = 0, hiển y + x, y 2 b nhiên § số hữu tỉ 216 Ta có n 1 1 = = n − + − ÷= n ÷ ÷= § (n + 1) n n(n + 1) n + n n +1 n n +1 n § Từ ta n 1 = 1 + − − ÷ giải tốn ÷< ÷ n +1 n n +1 n +1 n 217 Chứng minh phản chứng Giả sử 25 số tự nhiên cho, khơng có hai số Khơng tính tổng quát, giả sử a1 < a2 < … < a25 Suy : a1 ≥ , a2 ≥ , … 1 1 1 a25 ≥ 25 Thế : § (1) + + + ≤ + + + a1 a2 a 25 25 Ta lại có : 1 1 2 + + + + = + + + +1 < 25 24 25 + 25 24 + 24 2+ § ( ( ( ) ( ) ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) ( ) CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU ( 33 () ) 2 = + = + = 24 + 24 − 23 + + − + = 25 − + + + 25 − 24 + 24 23 + 23 2+ §§ (2) Từ (1) (2) suy : §, trái với giả 1 + + + Từ hệ phương trình cho ta có : § 2y 2y x= ≤ = y Tương tự § Suy x = y = z Xảy y + y ; 2z y x ≤ z ≤ dấu “ = ” bất đẳng thức với x = y = z = Kết luận : Hai nghiệm (0 ; ; 0) , (1 ; ; 1) 221 a) Đặt A = (8 + 3§)7 Để chứng minh 17 tốn, cần tìm số B cho < B < § A + B số tự nhiên 107 Chọn B = (8 - 3§)7 Dễ thấy B > > 3§ Ta có + 3§ > 10 suy : § 1 < ⇒ − < Theo khai triển Newton ta lại 7 10 10 8+3 có : A = (8 + 3§)7 = a + b§ với a, b ( N B = (8 - 3§)7 = a - b§ Suy A + B = 2a số tự nhiên Do § A + B số tự nhiên nên A có bảy < B < chữ số liền sau dấu phẩy 10 Chú ý : 10- = 0,0000001 b) Giải tương tự câu a 222 Ta thấy với n số phương § số ,5 tự nhiên, n khác số phương § số n vơ tỉ, nên § khơng có dạng § Do ứng với số n ( N* có số nguyên an gần § Ta thấy rằng, với n 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … an 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, … Ta chứng minh an nhận giá trị : hai số 1, bốn số 2, sáu số 3… Nói cách khác ta chứng minh bất phương trình : § có hai nghiệm tự nhiên 1 1− < x < 1+ 2 § có bốn nghiệm tự − < x < + nhiên 2 § có sáu nghiệm tự nhiên 1 3− < x < 3+ Tổng qt : § có 2k nghiệm tự nhiên 1 k− < x < k+2 Thật vậy, bất đẳng thức tương đương < ( ) ( ) CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 34 với : k2 – k + § < x < k2 + k + § Rõ ràng bất phương trình có 2k nghiệm tự nhiên : k2 – k + ; k2 – k + ; … ; k2 + k Do : 1 1 1 ÷ 1 1÷ 1 1 ÷ + + + = + + + + + ÷+ + + + + ÷ = 2.44 = 88 a1 a2 a1980 1 ÷ 44 42 ÷ 44 44 44 { ÷ 2 4 44 ÷ soá soá 88 soá § 223 Giải tương tự 24 a) < an < Vậy [ an ] = b) ≤ an ≤ Vậy [ an ] = c) Ta thấy : 442 = 1936 < 1996 < 2025 = 452, cịn 462 = 2116 a1 = § = 44 < a1 < 45 1996 Hãy chứng tỏ với n ≥ 45 < an < 46 Như với n = [ an ] = 44, với n ≥ [ an ] = 45 224 Cần tìm số tự nhiên B cho B ≤ A < B + Làm giảm làm trội A để hai số tự nhiên liên tiếp 16n + 8n + Ta có : (4n + 1)2 < 16n2 + 8n + < (4n + 2)2 ( 4n + < § < 4n + 2 ( 4n2 + 4n + < 4n2 + § < 4n2 + 4n + 16n + 8n + < 4n2 + 8n + ( (2n + 1)2 < 4n2 + § < (2n + 2)2 16n + 8n + Lấy bậc hai : 2n + < A < 2n + Vậy [ A ] = 2n + 225 Để chứng minh toán, ta số y thỏa mãn hai điều kiện : < y < 0,1 (1) x + y số tự nhiên có tận (2) 200 Ta chọn y = § Ta có < § < 0,3 nên 33 − 22 − < y < 0,1 Điều kiện (1) chứng minh Bây ta chứng minh x + y số tự nhiên có tận Ta có : 200 200 100 100 § x+y = 3+ + 3− = 5+2 + 5−2 Xét biểu thức tổng quát Sn = an + bn với a = + 2§ , b = - 2§ Sn = (5 + 2§)n = (5 - 2§)n A b có tổng 10, tích nên chúng nghiệm phương trình X2 -10X + = 0, tức : a2 = 10a – (3) ; b2 = 10b – (4) Nhân (3) với an , nhân (4) với bn : an+2 = 10an+1 – an ; bn+2 = 10bn+1 – bn Suy (an+2 + bn+2) = 10(an+1 + bn+1) – (an + bn), tức Sn+2 = 10Sn+1 – Sn , hay Sn+2 §- Sn+1 ≡ (mod 10) Do Sn+4 § - Sn+2 § Sn (mod 10) (5) ≡ Ta có S0 = (5 + 2§)0 + (5 - 2§)0 = + = ; S1 = (5 + 2§) + (5 - 2§) = 10 Từ cơng thức (5) ta có S2 , S3 , … , Sn số tự nhiên, S0 , S4 , S8 , … , S100 có tận 2, tức tổng x + y số tự nhiên có tận Điều kiện (2) chứng minh Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh 250 125 226 Biến đổi § Phần nguyên 3+ = 5+2 có chữ số tận (Giải tương tự 36) 227 Ta có : A = + + + + + + + + 15 + 16 + + 24 § Theo cách chia nhóm trên, nhóm có số, nhóm có số, nhóm có số, nhóm có số Các số thuộc nhóm 1, số thuộc nhóm 2, số thuộc nhóm 3, số thuộc nhóm Vậy A = 1.3 + 2.5 + 3.7 + 4.9 = 70 ( ( ) ( ( ( ) ( ) ) ) ( ( ) ( ) ( ) ) ) ( ) CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 35 228 a) Xét ≤ x ≤ Viết A x x x + +3−x ÷ dạng : A = 4.§ §.(3 – x) Áp dụng bất 2 2 = đẳng thức Cauchy cho số khụng õm Đ, ữ ữ Đ, (3 – x) ta : §.§.(3 – x) ≤ § Do A ≤ (1) b) Xét x > 3, A ≤ x = 3−x max A = ⇔ ⇔ x = (2) So sánh (1) (2) ta đến kết luận § x ≥ 229 a) Lập phương hai vế, áp dụng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta : x + + − x + 3 (x + 1)(7 − x).2 = ⇔ (x + 1)(7 − x) = § ( x = - ; x = (thỏa) b) Điều kiện : x ≥ - (1) Đặt § x − = y ; x +1 = z Khi x – = y2 ; x + = z2 y + z = (2) nên z2 – y3 = Phương trình cho đưa hệ :§ z − y = (3) Rút z từ (2) : z = – y Thay vào (3) : y3 z ≥ (4) – y2 + 6y – = ( (y – 1)(y2 + 6) = ( y=1 Suy z = 2, thỏa mãn (4) Từ x = 3, thỏa mãn (1) Kết luận : x = 230 a) Có, chẳng hạn : § 1 + = b) Khơng Giả sử tồn a+ b= 42 2 số hữu tỉ dương a, b mà § Bình phương hai vế : § a + b + ab = ⇒ ab = − (a + b) Bình phương vế : 4ab = 2 + (a + b)2 – 2(a + b)§ ( 2(a + b) § = + (a + b)2 – 4ab Vế phải số hữu tỉ, vế trái số vơ tỉ (vì a + b ≠ 0), mâu thuẩn 3 231 a) Giả sử § số hữu tỉ § (phân số tối m m5 giản) Suy = § Hãy chứng minh m lẫn n chia hết cho 5, trái giả thiết § phân n3 số tối giản n m b) Giả sử § số hữu tỉ § (phân số tối giản) + Suy : n 3 m m 6m = + = + 3 = + ⇒ m = 6n + 6mn (1) ⇒ m M2 ⇒ m M2 n n n § Thay m = 2k (k ( Z) vào (1) : 8k3 = 6n3 + m 12kn2 ( 4k3 = 3n3 + 6kn2 Suy 3n3 chia hết cho ( n3 chia hết cho ( n chia hết cho n Như m n chia hết cho 2, trái với giả thiết § phân số tối giản 232 Cách : Đặt a = x3 , b = y3 , c = x3 +a + + z 3c y3 b + ≥ abc ≥ xyz hay z3 Bất đẳng thức cần chứng minh § 3 tương đương với §x3 + y3 + z3 – 3xyz ≥ Ta có đẳng thức : x3 + y3 + z3 – 3xyz = §(x + y + z)[(x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2] (bài tập sbt) Do a, b, c ≥ nên x, y, z ≥ 0, x3 + a+b+c ≥ abc y3 + z3 – 3xyz ≥ Như : § Xảy dấu đẳng thức a = b = c Cách : Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy cho bốn số khơng âm Ta có : § a+ b+ c+d 1a+ b c+d = + ab + cd ≥ ab cd = abcd ÷≥ d a + b + c +d = a + b + c 2 2 ÷ ≥ abcd ( ) ( ) CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 36 Trong bất đẳng thức §, đặt § ta : § a+b+c a+ b+c+ ÷ a+b+c c a + b + a + b + c a + b + c a + b + ca + 3b + c ≥ abc ≥ abc ⇒ ÷ ÷ ≥ abc ≥ abc ⇔ ÷ 3 3 3 ÷ Chia hai vế cho số dương § (trường hợp số a, b, c 0, tốn chứng minh) : § a + b + c Xảy đẳng thức : a = b = c = § ( a = b = c =1 b c a b c + d + d ≤ − bcd = ≥ + + ≥ 3 b +1 c a + 1) a + b + c + d + d + (b + 1)(c + 1)(da + 233 Từ giả thiết suy : § Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương : § Tương tự : § acd ≥ 3 b +1 (a + 1)(c + 1)(d + 1) Nhân từ bốn ≥ 81abcd ⇒ abcd ≤ bất đẳng 81 abd thức : § ≥ 3 x2 y2 z2 c +1 (a + 1)(b + 1)(d + 1) 234 Gọi § Áp A= + + dụng bất đẳng thức y z x abc Bunhiacôpxki : ≥ 3 d +1 (a + 1)(b + 1)(c + 1) x x y z y2 z2 3A = + + ÷(1 + + 1) ≥ + + ÷ z x y z x y § (1) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với x y z x y z + + ≥ 3 = ba số khơng âm : § (2) y z x y z x x y z x y z x y z Nhân vế (1) với 3A + + ÷ ≥ + + ÷ ⇒ A ≥ + + (2) : § y z x y z x y z x x = 3+ 3 ; y = 3− 3 235 Đặt § x3 + y3 = (1) Xét hiệu b3 – a3 , ta : b3 – a3 = 24 – (x + y)3 = 24 – (x3 + y3) – 3xy(x + y) Do (1), ta thay 24 4(x3 + b3), ta có : b3 – a3 = 4(x3 + y3) – (x3 + y3) – 3xy(x + y) = 3(x3 + y3) – 3xy(x + y) = = 3(x + y)(x2 – xy + y2 – xy) = 3(x + y)(x – y)2 > (vì x > y > 0) Vậy b3 > a3 , b > a 236 a) Bất đẳng thức với n = Với n ≥ 2, theo khai triển Newton, ta có : n § n(n − 1) n(n − 1)(n − 2) n(n − 1) 2.1 1 +1 n < § + ÷ = + n + n + + n 2!1 + 1n + 3! + ÷ n! n n + + Dễ dàng 1 2!1 3! n! + + + ≤ + + + = 2! 3! n! 1.2 2.3 (n − 1)n chứng minh : § 1 1 11 − + − + + − (1 + −)n < =1 >( ) Với n ≥ 3, ta chứng minh § : (2) ⇔ ( n +1 n +1 ) n(n +1) (2) Thật < ( n) n n(n +1) n 6 b) Với n = 2, ta chứng minh § (1) Thật vậy, (1) ( §( 32 > 22 n > n +1 n + n ⇔ (n + 1) < n n n +1 (n + 1)n 1 ⇔ < n ⇔ 1 + ÷ < n nn n § (3) n Theo câu a ta có § , mà ≤ n nên (3) 1 1+ ÷ < n CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU chứng minh Do (2) chứng minh ( 37 ) A = x + + x + x + ≥ 237 Cách : § A = với x = Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : § A ≥ (x + x + 1)(x − x + 1) = x + x + ≥ A = với x = 238 Với x < A ≥ (1) Với ≤ x ≤ 4, xét - A = x2(x – 2) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm : § x x + +x−2÷ - A ≤ 32 ( A ≥ A x x 2x − − = (x − 2) ≤ 2 ≤ 32 A = - 32 ÷ = ÷ 2 ÷ với x = 239 Điều kiện : x2 ≤ § x2 x2 max A = § với x 66 + +9−x ÷ x2 x2 A = x (9 − x ) = (9 − x ) ≤ ữ = 4.27 = Đ 2 ÷ 240 a) Tìm giá ÷ trị lớn : Cách : Với ≤ x < § A = x(x2 – 6) ≤ Với x ≥ § Ta có § ≤ x ≤ ( ≤ x2 ≤ ( ≤ x2 – ≤ Suy x(x2 – 6) ≤ max A = với x = Cách : A = x(x2 – 9) + 3x Ta có x ≥ 0, x2 – ≤ 0, 3x ≤ 9, nên A ≤ max A = với x = b) Tìm giá trị nhỏ : Cách : A = x3 – 6x = x3 + (2§)3 – 6x – (2§)3 == (x + 2§)(x2 - 2§x + 8) – 6x - 16§ = (x + 2§)(x2 - 2§x + 2) + (x + 2§).6 – 6x - 16§= (x + 2§)(x - §)2 - 4§ ≥ - 4§ A = - 4§ với x = § Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với số khơng âm : x3 + 2§ + 2§ ≥ 3.§ = 6x 3 x 2 2.2 x x Suy x3 – 6x ≥ - 4§ A = - 4§3-2x x2 với x x = § 3-2x 241 Gọi x cạnh hình vng nhỏ, V thể tích hình hộp x x x x Cần tìm giá trị lớn V = x(3 – 2x)2 Theo bất đẳng thức Cauchy với ba số dương : 4V = 4x(3 – 2x)(3 – 2x) ≤ § = 4x + − 2x + − 2x max V = ( 4x = – 2x ( x = Đ ữ Thể tích lớn hình hộp dm3 cạnh hình vng nhỏ § dm 242 a) Đáp số : 24 ; - 11 b) − x = a ; x −1= b Đặt § Đáp số : ; ; 10 c) Lập phương hai vế Đáp số : ; ± § 2x − d) Đặt § = y Giải hệ : x3 + = 2y , y3 + = 2x, (x – y)(x2 + xy + y2 + 2) = ( x = y Đáp số : ; § −1 ± e) Rút gọn vế trái : § Đáp x − x2 − số : x = g) Đặt § Ta có : a3 + b3 = 2, a3 – b3 − x =a − b3 − = b a3 ; x = 12 – 2x, vế phải phương a+b trình cho § Phương trình cho trở thành : § = § a − b a − b3 Do a3 + b3 = nên § ( (a – b)(a3 + b3) = = a + b a3 + b ( ) CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 38 (a + b)(a3 – b3) Do a + b ≠ nên : (a – b)(a2 – ab + b2 = (a – b)(a2 + ab + b2) Từ a = b ta x = Từ ab = ta x = ; x = x + = a ; x − = b h) Đặt § Ta có : a2 + b2 + ab = (1) ; a3 – b3 = (2) Từ (1) (2) : a – b = Thay b = a – vào (1) ta a = Đáp số : x = i) Cách : x = - nghiệm phương trình x + Với x + ≠ 0, chia hai vế cho § Đặt § Giải hệ a3 + b3 = 2, a + b = - x +1 x+3 =a ; = b Hệ vô nghiệm x+2 x+2 Cách : Đặt § = y3 − + y3 + x + = −y y Chuyển vế : § Lập phương hai vế ta : y3 – + y3 + + 3.§.(- y) = - y3 ( y3 = y § y − Với y = 0, có nghiệm x = - Với y ≠ 0, có y2 y − = § Lập phương : y6 = y6 – Vô n0 Cách : Ta thấy x = - nghiệm phương trình Với x < - 2, x > - 2, phương trình vơ nghiệm, xem bảng : 3 x Vế trái x +1 x+2 x+3 § § § x < -2 < -1 < < < x > -x > -1 > > > 4 k) Đặt + x = a , – x = b Ta có : a + b ab + a + b = (1), § = (2) + a 1m b n b a + b a + b Theo bất đẳng thức ++ + a + = ++ = = a + b ≤ mn + 3= a b + +a + b≤≤ + + = Cauchy §, ta có §§ 22 2 2 Phải xảy dấu đẳng thức, tức : a = b = Do x = a − x = m ≥ ; b − x = n ≥ l) Đặt § m4 + n4 = a + b – 2x Phương trình cho trở m + n4 thành : m + n = § Nâng lên lũy thừa bậc bốn hai vế thu gọn : 2mn(2m2 + 3mn + 2n2) = Suy m = n = 0, m, n > 2m2 + 3mn + 2n2 > Do x = a , x = b Ta phải có x ≤ a , x ≤ b để thức có nghĩa Giả sử a ≤ b nghiệm phương trình cho x = a 243 Điều kiện để biểu thức có nghĩa : a2 + b2 ≠ (a b không đồng thời 0) x + x y + y 4= xx 3+b2x 2y + y − 2x y Đặt §, ta có : § = a ; = y A= =2 22 x + xy +xy + y ) − (xy) xy x 2y+ y + xy ) ( x + y − xy ) x2 + ( + ( = = = x + y − xy 2 2 x + xy + y x + y + xy § Vậy : § (với a2 + b2 ≠ 0) A = a + b − ab 244 Do A tổng hai biểu thức dương nên ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy : A = x2 − x +1 + x2 + x +1 ≥ x − x + x + x + = (x − x + 1)(x + x + 1) §= x + x + ≥ = § Đẳng thức xảy : §.Ta có A ≥ x + x + = x − x + ⇔ x=0 2, đẳng thức xảy x = Vậy : A = ( x = x + x + = 245 Vì + § nghiệm phương trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = 0, nên ta có : 3(1 + §)3 + a(1 + §)2 + b(1 + §) + 12 = Sau thực phép biến đổi, ta biểu thức thu gọn :(4a + b + 42) + (2a + b + 18) § = Vì a, b( Z nên p = 4a + b + 42 ( Z q = 2a + b + 18( Z.Ta phải tìm số nguyên a, b cho p + q§= CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 39 Nếu q ≠ § = - §, vơ lí Do q = từ p + p q§ = ta suy p = Vậy + § nghiệm phương trình 3x3 + q3 ax2 + bx + 12 = : § Suy a = - 12 ; b = 4a + b + 42 = 246 Giả sử § số hữu tỉ § (§ phân số 2a + bp3 18 = p+ tối giản ) Suy : = § Hãy chứng minh q q3 p q chia hết cho 3, trái với giả thiết § phân số tối giản 247 a) Ta có : § 1+ = 1+ = 1+ 2 + = + 2 + − 2 = + 2 − 2 = 32 − 2 ( Do : § b) § 248 Áp dụng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta có : ) ( ) =1 + − = −1 a = 20 + 14 + 20 − 14 + 3 (20 + 14 2)(20 − 14 2).a ⇔ a = 40 + 3 20 − (14 2) a § ( a3 – 6a – 40 = ( (a – 4)(a2 + 4a + 10) = Vì a2 + 4a + 10 > nên ( a = 249 Giải tương tự 21 − 250 A = + § 251 Áp dụng : (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) 3 + Từ x = § Suy x3 = 12 + 3.3x ( x3 – 9x – 12 = 252 Sử dụng đẳng thức (A – B)3 = A3 – B3 – 3AB(A – B) Tính x3 Kết M = 253 a) x1 = - ; x2 = 25 b) Đặt §, ta : § ( u = v = - ( x u = u- =9v,3 v = x - x +6 = v = u + c) Đặt : § Kết x = ± x + 32 = y > 254 Đưa biểu A = x + + + x + − thức dạng : § Áp dụng | A | + | B | ≥ | A + B | A = ( -1 ≤ x ≤ 255 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy hai lần x = y x = y ⇒ P = x + 256 Đặt § 2 258 Ta P = ( x − a ) + ( x − b) có : § = | x – a | + | x – b | ≥ | x – a + b – x | = b – a (a < b) Dấu đẳng thức xảy (x – a)(x – b) ≥ ( a ≤ x ≤ b Vậy P = b – a ( a ≤ x ≤ b 259 Vì a + b > c ; b + c > a ; c + a > b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số dương (a + b − c) + (b + c − a) (b + c − a) + (c + a − b) (a + b − c)(b + c − a) ≤ = b (b + c − a)(c + a − b) ≤ =c 2 (c + a − b) + (a + b − c) (c + a − b)(a + b − c) ≤ =a § Các vế bất dẳng thức dương Nhân bất đẳng thức theo vế ta bất đẳng thức cần chứng minh Đẳng thức xảy : a + b – c = b + c – a = c + a – b ( a = b = c (tam giác đều) 260 § x − y = (x − y) = (x + y) − 4xy = + = 2 261 2A = (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 Ta có : c – a = - (a – c) = - [(a – b) + (b – c)] = (§ + + § - 1) = - 2§ Do : 2A = (§+ 1)2 + (§ - 1)2 + (-2§)2 = 14 Suy A = 2 262 Đưa pt dạng : § x − −1 + y − − + z − − = ( ) ( ) ( ) ... kiện : ab ≥ ; b ≠ Xét hai trường hợp : * Trường hợp : a ≥ ; b b.( a − b) a a− b a A= − = − = −1 b b b b b b + c bc > CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 22 > : § a a a a * Trường hợp : a... Giải phương trình : § x − 3x = 46 Tìm giá trị nhỏ biểu x −3 thức : § A= x +x CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 47 Tìm giá trị lớn biểu thức : § B = − x + x 48 So sánh : a) § b) § +1 a... 1)2 ≥ 0, nên : 2x – = CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 16 Vậy : x = ½ 12 Viết đẳng thức cho dạng : a2 + b2 + c2 + d2 – ab – ac – ad = (1) Nhân hai vế (1) với đưa dạng : a2 + (a – 2b)2