TUYỂN CHọN BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN

270 toán bồi dỡng hs giỏi khiếu toán PHầN I: Đề BàI Chứng minh sè v« tØ a) Chøng minh : (ac + bd)2 + (ad bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 (a2 + b2)(c2 + d2) Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thøc : S = x2 + y2 a) Cho a 0, b Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : b) Cho a, b, c > Chøng minh r»ng : a+b ≥ ab bc ca ab + + ≥a+b+c a b c c) Cho a, b > 3a + 5b = 12 Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa tÝch P = ab Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc : M = a3 + b3 Cho a3 + b3 = Tìm giá trị lớn nhÊt cđa biĨu thøc : N = a + b Cho a, b, c số dơng Chứng minh : a3 + b3 + abc ab(a + b + c) Tìm liên hệ số a vµ b biÕt r»ng : a + b > a b a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 4a b) Cho a, b, c > vµ abc = Chøng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) 10 Chøng minh c¸c bÊt ®¼ng thøc : a) (a + b)2 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2) 11 Tìm giá trị x cho : a) | 2x | = | x |b) x2 4x c) 2x(2x 1) 2x 12 Tìm số a, b, c, d biết : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d) 13 Cho biÓu thøc M = a2 + ab + b2 3a 3b + 2001 Víi gi¸ trị a b M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ 14 Cho biÓu thøc P = x2 + xy + y2 3(x + y) + CMR giá trị nhỏ nhÊt cđa P b»ng 15 Chøng minh r»ng kh«ng có giá trị x, y, z thỏa mÃn ®¼ng thøc sau : x2 + 4y2 + z2 2a + 8y 6z + 15 = 16 Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc : A = x − 4x + 17 So s¸nh c¸c số thực sau (không dùng máy tính) : a) + 15 b) 17 + + 45 c) 23 − 19 27 d) 18 H·y viÕt mét số hữu tỉ số vô tỉ lớn nhng nhỏ 19 Giải phơng trình : 3x + 6x + + 5x + 10x + 21 = − 2x − x 20 Tìm giá trị lớn biểu thức A = x2y với điều kiện x, y > vµ 2x + xy = 1 1 + + + + + 1.1998 2.1997 k(1998 − k + 1) 1998 − 1998 H·y so sánh S 1999 21 Cho S = 22 Chøng minh r»ng : NÕu sè tù nhiªn a số phơng số vô tỉ 23 Cho số x y dÊu Chøng minh r»ng : x y + ≥2 y x  x y2   x y  b)  + ÷−  + ÷ ≥ x  y x y a) a 270 bµi toán bồi dỡng hs giỏi khiếu toán x y4   x y2   x y  c)  + ÷−  + ÷+  + ÷ ≥ x  y x  y x y 24 Chøng minh số sau số vô tỉ : a) + b) m + víi m, n số hữu tỉ, n n 25 Có hai số vô tỉ dơng mà tổng số hữu tỉ không ? 26 Cho số x y khác Chứng minh : x y x y2 + + ≥  + ÷ y x y x x y2 z2 x y z 27 Cho c¸c sè x, y, z d¬ng Chøng minh r»ng : + + ≥ + + y z x y z x 28 Chøng minh r»ng tỉng cđa mét sè h÷u tỉ với số vô tỉ số vô tỉ 29 Chứng minh bất đẳng thức : a) (a + b)2 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2) c) (a1 + a2 + + an)2 n(a12 + a22 + + an2) 30 Cho a3 + b3 = Chøng minh r»ng a + b 31 Chøng minh r»ng : [ x ] + [ y ] ≤ [ x + y ] 32 Tìm giá trị lớn biểu thức : A = 33 Tìm giá trị nhỏ nhÊt cña : A = x − 6x + 17 x y z + + víi x, y, z > y z x 34 Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa : A = x2 + y2 biết x + y = 35 Tìm giá trị lín nhÊt cđa : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) víi x, y, z ; x + y + z = 36 XÐt xem c¸c số a b số vô tỉ không : a số vô tỉ b a b) a + b số hữu tỉ (a + b 0) b a) ab vµ c) a + b, a2 b2 số hữu tỉ (a + b 0) 37 Cho a, b, c > Chøng minh : a3 + b3 + abc ab(a + b + c) a b c d + + + ≥2 b+c c+d d+a a +b 39 Chøng minh r»ng [ 2x ] b»ng [ x ] hc [ x ] + 38 Cho a, b, c, d > Chứng minh : 40 Cho số nguyên dơng a Xét số có dạng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; ; a + 15n Chứng minh số đó, tồn hai số mà hai chữ số 96 41 Tìm giá trị x để c¸c biĨu thøc sau cã nghÜa : A= x − B= x + 4x − C= G = 3x − − 5x − + x + x + 1 x − 2x − D= 1 − x2 − E= x+ + −2x x 42 a) Chøng minh r»ng : | A + B | | A | + | B | DÊu = ” x¶y ? b) Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc sau : M = x + 4x + + x − 6x + c) Giải phơng trình : 4x + 20x + 25 + x − 8x + 16 = x + 18x + 81 270 toán bồi dỡng hs giỏi khiếu toán 43 Giải phơng trình : 2x − 8x − x − 4x = 12 44 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : A = x2 + x + E= 1 − 3x B= G= 2x + + x 45 Giải phơng trình : C = − 9x x + x−2 x −4 D= x − 5x + H = x − 2x − + − x 2 x − 3x =0 x −3 46 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = x + x 47 Tìm giá trị lớn nhÊt cđa biĨu thøc : B = − x + x 48 So s¸nh : a) a = + b= − 13 + +1 b) −1 c) n + − n + n+1 − n (n số nguyên dơng) 49 Với giá trị x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ : A = − − 6x + 9x + (3x − 1) 50 TÝnh : a) 4−2 b) 11 + c) d) A = m + 8m + 16 + m − 8m + 16 e) B = n + n − + n − n − (n 1) 51 Rót gän biĨu thøc : M = 27 − 10 41 45 + 41 + 45 41 52 Tìm số x, y, z thỏa mÃn đẳng thức : (2x y) + (y − 2) + (x + y + z) = 53 Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc : P = 25x − 20x + + 25x − 30x + 54 Giải phơng trình sau : a) x − x − − x − = d) x − x − 2x + = b) x − + = x e) x + 4x + + x − = h) x − 2x + + x − 6x + = c) x − x + x + x − = g) x − + x − = −5 i) x + + − x = x − 25 k) x + − x − + x + − x − = l) 8x + + 3x − = 7x + + 2x − 55 Cho hai sè thực x y thỏa mÃn điều kiện : xy = vµ x > y CMR: x + y2 ≥2 x−y 56 Rót gän c¸c biĨu thøc : a) 13 + 30 + + b) m + m − + m − m − c) + + + + + + − + + 57 Chøng minh r»ng 2+ = + 2 d) 227 − 30 + 123 + 22 270 toán bồi dỡng hs giỏi khiếu toán 58 Rút gọn biểu thức : a) C = 6+2 ( ) + 3+ − 6−2 6− 3+ ) + 20 1+ b) 17 + 12 +1 60 Cho biÓu thøc : A = x − x 4x + a) Tìm tập xác định cđa biĨu thøc A b) Rót gän biĨu thøc A 61 Rót gän c¸c biĨu thøc sau : a) 11 − 10 c) b) D = 59 So s¸nh : a) ( c) 9−6 − 28 − 16 − − 14 b) + 11 + − + + + − + 10 62 Cho a + b + c = ; a, b, c Chứng minh đẳng thức : 1 1 1 + 2+ = + + a b c a b c 63 Giải bất phơng trình : x − 16x + 60 < x − 64 T×m x cho : x − + x 65 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x2 + y2 , biÕt r»ng : x2(x2 + 2y2 3) + (y2 2)2 = (1) 66 T×m x ®Ó biÓu thøc cã nghÜa: a) A = x − 2x − 16 − x b) B = + x − 8x + 2x + 2 67 Cho biÓu thøc : A = x + x − 2x − x − x − 2x 2 x − x − 2x x + x 2x a) Tìm giá trị x ®Ĩ biĨu thøc A cã nghÜa b) Rót gän biểu thức A c) Tìm giá trị x để A < 68 Tìm 20 chữ số thập phân số : 0,9999 (20 chữ số 9) 69 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhÊt cña : A = | x - | + | y | víi | x | + |y|=5 70 Tìm giá trị nhỏ A = x4 + y4 + z4 biÕt r»ng xy + yz + zx = 71 Trong hai sè : n + n + n+1 (n lµ sè nguyên dơng), số lớn ? 72 Cho biểu thøc A = + + − Tính giá trị A theo hai c¸ch 73 TÝnh : ( + + 5)( + − 5)( − + 5)( − + + 5) 74 Chøng minh c¸c số sau số vô tỉ : + ; − ; 2 + 75 H·y so s¸nh hai sè : a = 3 − b=2 − ; 76 So s¸nh + − − − vµ sè 77 Rót gän biĨu thøc : Q = 2+ 3+ + 8+4 2+ 3+ + v +1 270 toán bồi dỡng hs giỏi khiếu toán 78 Cho P = 14 + 40 + 56 + 140 HÃy biểu diễn P dới dạng tổng thức bậc hai 79 Tính giá trị biểu thức x2 + y2 biÕt r»ng : x − y + y − x = 80 Tìm giá trị nhỏ lớn : A = − x + + x 81 Tìm giá trị lớn : M = 82 CMR c¸c sè ( a+ b ) víi a, b > vµ a + b 2b + c − ad ; 2c + d − ab ; 2d + a − bc ; 2a + b − cd cã Ýt nhÊt hai sè d- ¬ng (a, b, c, d > 0) 83 Rót gän biĨu thøc : N = + + + 18 84 Cho x + y + z = xy + yz + zx , ®ã x, y, z > Chøng minh x = y = z 85 Cho a1, a2, …, an > vµ a1a2aan = Chøng minh: (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) 2n 86 Chøng minh : ( a+ b ) (a, b 0) ≥ 2(a + b) ab 87 Chøng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập đợc thành tam giác đoạn thẳng có độ dài a , b , c lập đợc thành tam giác (x + 2) − 8x 88 Rót gän : a) A = ab − b − a b) B = x− b b x a +2 ≥ Khi nµo cã 89 Chøng minh r»ng víi mäi sè thực a, ta có : a2 +1 đẳng thøc ? 90 TÝnh : A = + + − b»ng hai c¸ch +5 6,9 b) 2+ 2− + 92 TÝnh : P = + 2+ − 2− 91 So s¸nh : a) 13 12 v 93 Giải phơng trình : x + + 2x − + x − − 2x − = 2 1.3.5 (2n − 1) < 94 Chøng minh r»ng ta lu«n cã : Pn = ; ∀n ∈ Z+ 2.4.6 2n 2n + 95 Chøng minh r»ng nÕu a, b > th× 96 Rót gän biĨu thøc : A= a2 b2 + b a x − 4(x − 1) + x + 4(x − 1)   1 − ÷  x −1 x 4(x 1) 97 Chứng minh đẳng thức sau : a) ; a b) a+ b≤ a b +b a : =a−b ab a− b (a, b > 270 toán bồi dỡng hs giỏi khiếu toán 14 15  b)  + = −2 ÷: 1− 1−  −   a + a  a − a  c) 1 + ÷1 − ÷= − a a +  a −1   (a > 0) 98 TÝnh : a)  c)   ; b) + − 13 + 48 − − 29 − 20  28 − 16 ÷ + 48  99 So s¸nh : a) + 15 b) + 15 12 + 16 c) 18 + 19 d) 25 + 48 − 100 Cho đẳng thức : a b = áp dụng kết để rút gọn : a) c) 2+ + 2+ + a + a2 − b a − a − b (a, b > vµ a2 b > 0) ± 2 2− − 2− 3− 2 ; b) 17 − 12 − 3+ 2 17 + 12 2 10 + 30 − 2 − : 10 − 2 −1 101 X¸c định giá trị biểu thức sau : a) A = b) B = xy − x − y − xy + x − y − 2 a + bx + a − bx a + bx − a − bx 1 1 víi x =  a +  , y =  b +   ÷  ÷ 2 víi x = a 2 b (a > ; b > 1) 2am , m < b ( + m2 ) 102 Cho biÓu thøc P(x) = 2x − x − 3x − 4x + a) Tìm tất giá trị x để P(x) xác định Rút gọn P(x) b) Chøng minh r»ng nÕu x > th× P(x).P(- x) < 103 Cho biÓu thøc A = x+2−4 x −2 + x+2+4 x −2 4 − +1 x2 x a) Rót gän biĨu thøc A b) T×m số nguyên x để biểu thức A số nguyên 104 Tìm giá trị lớn (nếu có) giá trị nhỏ (nếu có) biểu thøc sau: a) − x e) − − 3x b) x − x (x > 0) g) 2x − 2x + c) + − x d) x − − h) − − x + 2x + i) 2x − x + 105 Rót gän biÓu thøc : A = x + 2x − − x − 2x − , b»ng ba c¸ch ? 106 Rót gän c¸c biĨu thøc sau : a) b) + 10 + + − 10 + 5 + 48 − 10 + c) 94 − 42 94 + 42 270 toán bồi dỡng hs giỏi khiếu toán 107 Chứng minh đẳng thức với b ; a a) ( a + b ± a − b = a ± a2 − b a± b = ) b b) a + a2 − b a − a2 − b ± 2 108 Rót gän biĨu thøc : A = x + 2x − + x 2x 109 Tìm x y cho : x + y − = x + y 110 Chứng minh bất đẳng thức : a + b2 + c2 + d ≥ ( a + c) 2 + ( b + d) a2 b2 c2 a+b+c 111 Cho a, b, c > Chøng minh : + + ≥ b+c c+a a +b 112 Cho a, b, c > ; a + b + c = Chøng minh : a) a + + b + + c + < 3,5 b) a +b + b+c + c+a ≤ 113 CM : ( a + c ) ( b + c ) + ( a + d ) ( b + d ) ≥ (a + b)(c + d) víi a, b, c, d > 114 Tìm giá trị nhỏ : A = x + x 115 Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa : A = (x + a)(x + b) x 116 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 117 Tìm giá trị lớn nhÊt cña A = x + − x 118 Giải phơng trình : x 5x = 3x 119 Giải phơng trình : x + x − + x − x = 120 Giải phơng trình : 3x + 21x + 18 + x + 7x + = 121 Giải phơng tr×nh : 3x + 6x + + 5x + 10x + 14 = − 2x − x 122 Chứng minh số sau số v« tØ : − ; 2+ 123 Chøng minh x − + − x 124 Chứng minh bất đẳng thức sau phơng pháp hình học : a + b b + c ≥ b(a + c) víi a, b, c > 125 Chøng minh (a + b)(c + d) ≥ ac + bd víi a, b, c, d > 126 Chøng minh r»ng đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập đợc thành tam giác đoạn thẳng có độ dài a , b , c lập đợc thành tam giác 127 Chứng minh (a + b) + a + b ≥ a b + b a víi a, b 128 Chøng minh a b c + + > víi a, b, c > b+c a +c a+b 129 Cho x − y + y − x = Chøng minh r»ng x2 + y2 = 130 Tìm giá trị nhỏ A = x − x − + x + x − 131 T×m GTNN, GTLN cđa A = − x + + x 132 Tìm giá trị nhỏ A = x + + x − 2x + 270 toán bồi dỡng hs giỏi khiếu toán 133 Tìm giá trị nhỏ A = x + 4x + 12 − − x + 2x + 134 T×m GTNN, GTLN cđa : ( a) A = 2x + − x b) A = x 99 + 101 − x ) a b + = (a vµ b x y 135 Tìm GTNN A = x + y biÕt x, y > tháa m·n h»ng số dơng) 136 Tìm GTNN A = (x + y)(x + z) víi x, y, z > , xyz(x + y + z) = xy yz zx + + víi x, y, z > , x + y + z = z x y x2 y2 z2 138 T×m GTNN cđa A = biÕt x, y, z > , + + x+y y+z z+x 137 T×m GTNN cđa A = xy + yz + zx = 139 Tìm giá trị lớn cña : a) A = b) B= ( a+ b ) ( + a+ c ) ( + a+ d ( a+ b ) ( + ) b+ c víi a, b > , a + b ) ( + b+ d víi a, b, c, d > vµ a + b + c + d = 140 Tìm giá trị nhá nhÊt cđa A = 3x + 3y víi x + y = 141 T×m GTNN cđa A = b c + c+d a+b ) ( + c+ d ) víi b + c a + d ; b, c > ; a, d 142 Giải phơng trình sau : a) x 5x − 3x + 12 = d) x − − x + = b) x − 4x = x − e) x − x − − x − = h) x + − x − + x + − x − = g) x + 2x − + x − 2x − = i) x + x + − x = k) − x − x = x − l) 2x + 8x + + x − = 2x + m) x + = x − x − o) x − + x + + c) 4x + − 3x + = n) x + + x + 10 = x + + x + ( x − 1) ( x − 3x + ) = − 2x p) 2x + + x + + 2x + − x + = + x + q) 2x − 9x + + 2x − = 2x + 21x − 11 ( 143 Rót gän biĨu thøc : A = 2 − + )( ) 18 − 20 + 2 144 Chøng minh r»ng, ∀n ∈ Z+ , ta lu«n cã : 1+ 1 + + + >2 n ( ) n +1 145 Trục thức mẫu : a) 146 TÝnh : a) − − 29 − 20 ( 1+ + b) + − 13 + 48 147 Cho a = − + )( ) b) c) x + x +1 − − 29 − 12 10 − Chứng minh a số tự nhiên 270 toán bồi dỡng hs giỏi khiếu to¸n 148 Cho b = 3− 2 17 − 12 − 3+ 2 17 + 12 b có phải số tự nhiên không ? 149 Giải phơng trình sau : a) ( ) c) ( − x) −1 x − x + − = b) − x + ( x − 3) x − 5−x + x −3 =2 ( ) −1 x = ( ) +1 x − 3 d) x + x = 150 Tính giá trị cđa biĨu thøc : M = 12 − 29 + 25 + 21 − 12 + 29 − 25 − 21 1 1 + + + + 1+ 2+ 3+ n −1 + n 1 1 − + − + 152 Cho biÓu thøc : P = 2− 3− 4− 2n − 2n + 151 Rót gän : A = a) Rót gọn P b) P có phải số hữu tỉ kh«ng ? 1 1 + + + + +1 + + 100 99 + 99 100 1 + + + > n 154 Chøng minh : + n 155 Cho a = 17 − H·y tÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc: A = (a5 + 2a4 17a3 a2 + 153 TÝnh : A = 18a 17)2000 156 Chøng minh : a − a − < a − − a − (a 3) 157 Chøng minh : x − x + > (x 0) 158 Tìm giá trị lớn S = x − + y − , biết x + y = 159 Tính giá trị cđa biĨu thøc sau víi a = 160 Chøng minh đẳng thức sau : ( ) ( 10 ) − 15 = ( + ) ( 10 − ) = d) + 2a − 2a : A= + + + 2a − − 2a a) + 15 c) − b) + = + 48 = 161 Chứng minh bất đẳng thức sau : 2 ( ( +1 ) ) + e) 17 − + = − 5+ 5− + − 10 < 5− 5+   +1 −  c)  + + ÷ 0, − 1,01 > ÷ −  + + + −   + −1 2− 3 3  d) + + + 3− >  ÷− 2+ 6 2− 2+  27 + > 48 a) 2+2 e) h) ( 3+ b) −1 + 5+ −2 ) − ( − > 1,9 ) 3+ 5+ − + + 2− < 0,8 270 toán bồi dỡng hs giỏi khiếu to¸n < n − n − Tõ ®ã suy ra: n 1 2004 < + + + + < 2005 1006009 2+ 3+ 163 Trục thức ë mÉu : a) b) + 3+ 6+ 8+4 2+ + 3+ 3− 164 Cho x = TÝnh A = 5x2 + 6xy + 5y2 y= 3− 3+ 2002 2003 + > 2002 + 2003 165 Chøng minh bất đẳng thức sau : 2003 2002 x 3xy + y 166 Tính giá trị biĨu thøc : A = víi x+y+2 162 Chøng minh r»ng : n + − n < x = + y = − 167 Giải phơng trình : 6x = + x − x2 x − x 168 Giải bất pt : a) 3 + 5x ≥ 72 10x − 14 ≥ c) + 2 + 2x ≥ b) 169 Rót gän c¸c biĨu thøc sau : a) A = − − 29 − 12 c) C = b) B = − a + a(a − 1) + a x + + x2 − a −1 a x + 5x + + x − x d) D = 2x − + x − 3x − x + (x + 2) − x 1 1 E= − + − − 1− 2− 3− 24 25 170 Tìm GTNN GTLN biểu thøc A = − − x2 171 Tìm giá trị nhỏ A = víi < x < + 1− x x 172 T×m GTLN cđa : a) A = x − + y − biÕt x + y = ; b) B= y−2 x −1 + x y 173 Cho a = 1997 − 1996 ; b = 1998 − 1997 So s¸nh a víi b, sè lớn ? 174 Tìm GTNN, GTLN : a) A = 175 Tìm giá trị lớn 176 Tìm giá trị lớn 177 Tìm GTNN, GTLN cđa 178 T×m GTNN, GTLN cđa 5+2 6− x A = x 1− x2 b) B = − x + 2x + A = | x y | biÕt x2 + 4y2 = A = x3 + y3 biÕt x, y ; x2 + y2 = A = x x + y y biÕt x + y = 270 toán bồi dỡng hs giỏi khiếu toán 156 Biến đổi : a a = a + a −1 ; a −2 − a −3 = a −2 + a −3 2 157 x − x + = x − x + + x − x + =  x −  +  x −  ≥  ÷  ÷ 4  2  2 1 DÊu = không xảy có đồng thời : x = x = 2 168 Tríc hÕt ta chøng minh : a + b ≤ 2(a + b ) (*) (a + b 0) ¸p dơng (*) ta cã : S = x − + y − ≤ 2(x − + y − 2) = x −1 = y − max S = ⇔  ⇔ x + y = * Cã thÓ tÝnh S2 råi áp dụng bất đẳng thức Cauchy 180 Ta phải có | A | Ta cã :  x =   y =   DƠ thÊy A > Ta xÐt biĨu thøc : B = = − − x2 A ≤ − x2 ≤ ⇒ − ≤ − − x2 ≤ ⇒ − ≤ − − x2 ≤ = 2+ ⇔ B = − ⇔ = − x ⇔ x = Khi ®ã max A = 2− ⇔ max B = ⇔ − x = ⇔ x = ± Khi ®ã A = 2x − x 181 Để áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta xÐt biÓu thøc : B = Khi + 1− x x ®ã :  2x − x = (1) 2x − x  B≥2 = 2 B = 2 ⇔ 1 − x x 1− x x 0 < x < (2)  Gi¶i (1) : 2x2 = (1 x)2 ⇔ | x | = | x | Do < x < nªn x = x ⇔ ⇔ x= = − +1 Nh vËy B = 2 ⇔ x = B©y giê ta xÐt hiƯu : - 1   2x − x  − 2x − + x  A−B= + ÷−  + + = +1 = ÷= x  1− x x 1− x x  1− x Do ®ã A = 2 + vµ chØ x = - 182 a) Điều kiện : x , y Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm giảm tổng : a+b ab ta muốn làm tăng tổng Ta dùng bất đẳng thức : a + b ≤ 2(a + b ) A = x − + y − ≤ 2(x − + y 3) = 270 toán bồi dỡng hs giỏi khiếu toán x = y − x = 1,5 max A = ⇔  ⇔  x + y =  y = 2,5 C¸ch kh¸c : XÐt A2 dùng bất đẳng thức Cauchy b) Điều kiện : x , y Bất đẳng thức Cauchy cho phÐp lµm tréi mét tÝch : ab ≤ a+b Ta xem c¸c biĨu thøc x − , y tích : x = 1.(x − 1) , y − = 2(y − 2) Theo bất đẳng thức Cauchy : x = 1.(x − 1) ≤ + x − = x x 2x y−2 2.(y − 2) + y − 2 = ≤ = = y y 2y 2 x − = x = 2 2+ max B = + = ⇔  ⇔  4 y − = y = 1 ,b= Ta thÊy 1997 + 1996 1998 + 1997 1997 + 1996 < 1998 + 1997 183 a = Nªn a < b 184 a) A = - víi x = max A = b) B = víi x = max B = víi x = víi x = 2 185 XÐt x th× A XÐt x th× A = x (1 − x ) ≤ x + (1 − x ) = max A = x = − x ⇔  ⇔ x= 2 x > 2 186 A = | x y | 0, ®ã A lín nhÊt chi A2 lớn Theo bđt Bunhiacôpxki :    1 A = (x − y) = 1.x − 2y ÷ ≤ 1 + ÷(x + 4y ) =    4 2   5  2y x = − x =  =−   5 max A = ⇔ x ⇔  hc  2  x + 4y = y = y = −    10 10   187 a) Tìm giá trị lớn : Từ giả thiết : x ≤ x 0 ≤ x ≤  ⇔  ⇔ x + y3 ≤ x + y =  y ≤ y 0 ≤ y ≤  x = x  max A = ⇔  ⇔ x = 0, y = V x = 1, y = y = y 270 toán bồi dỡng hs giỏi khiếu toán b) Tìm giá trị nhỏ : (x + y)2 2(x2 + y2) = ⇒ x + y Do ®ã : x +y 3 (x ≥ + y3 ) ( x + y )  (x + y3 )(x + y) = Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki : ( ) ( ) ( ) ( ) ( x3 x+y ≤ 2 + y3    x + + y2) = A = y ≥   ) x x + y y = (x2 x=y= 2 188 Đặt x = a ; y = b , ta cã a, b 0, a + b = A = a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2) = a2 ab + b2 = (a + b)2 3ab = 3ab Do ab nªn A max A = ⇔ a = hc b = ⇔ x = hc x = 1, y = Ta cã ab ≤ (a + b) = ⇒ ab ≤ ⇒ − 3ab ≥ A = ⇔ x = y = 4 189 §iỊu kiƯn : x , x nªn x Ta cã : 4 x −1 =3 x−2 − x + (x − 1)(x − 2) − (x − 1)(x − 2) = ⇔ − x = ⇔ x = −8 − x + (x − 1)(x − 2) − x − ⇔ 190 Ta cã : + 4x + 2x2 = 2(x2 + 2x + 1) + = 2(x + 1)2 + > với x Vậy phơng trình xác định với giá trị x Đặt x + 2x + = y 0, phơng trình cã d¹ng : y = y2 - y - 12 = ⇔ (y - )(y + 2 ) = ⇔   y = −2 (loai y ≥  Do ®ã x + 2x + = ⇔ x2 + 2x + = 18 ⇔ (x 3)(x + 5) = ⇔ x = ; x = -5 191 Ta cã : 1   1   1 = k = k − + − ÷= k  ÷ ÷ (k + 1)k (k + 1) k k +  k k +1   k k +1  k  k  1  1   − < 2 − = + ữ ữ Do : ữ k +1  k k +1  (k + 1) k k +1   k  VËy : 1 1       + + + + < 1 − − − ÷+  ÷ ÷+ +  (n + 1) n 2 3 n +1    n    = 1 − ÷ < (®pcm) n +1   > 192 Dùng bất đẳng thức Cauchy (a, b > ; a 0) ab a + b 193 Đặt x y = a , x + y = b (1) th× a, b ∈ Q a) NÕu b = x = y = 0, x , y Q 270 toán bồi dỡng hs giỏi khiếu toán xy a a = x − y = ∈Q b x+ y b b) NÕu b a x = b + ữ ∈ Q ; 2 b Tõ (1) vµ (2) : 199 NhËn xÐt : ) ( x + x2 + a ≤ Do a nªn : ( x2 + a2 + x )( 1 a y = b − ÷ ∈ Q 2 b ) x + a − x = a Do ®ã : ( 5a ) (1) ⇔ x + x + a ≤ x2 + a2 (2) ( x2 + a2 + x x + a + x > x + x = x + x ≥ Suy : )( x2 + a2 − x x2 + a2 x + a + x > , ∀x V× vËy : (1) ⇔ x ≤  x + a ≤ x + a − x ⇔ 5x ≤ x + a ⇔   x >  25x ≤ 9x + 9a  x ≤ ⇔ ⇔ x≤ a 0 < x ≤ a 4  − 2a 207 c) Trớc hết tính x theo a đợc x = Sau ®ã tÝnh + x ®ỵc a(1 − a) a(1 − a) ) ( Đáp số : B = d) Ta cã a + = a + ab + bc + ca = (a + b)(a + c) T¬ng tù : b2 + = (b + a)(b + c) ; c2 + = (c + a)(c + b) Đáp số : M = 2 2x + Suy điều phải chứng minh x nªn : a2 + b2 = (a + b)2 2ab = + = 2 17 ; a3 + b3 = (a + b)3 3ab(a + b) = - = =− 4 17 239 a3b3(a + b) = − −  −  ( −1) = −  ÷  64  64 208 Gäi vế trái A > Ta có A = a4 + b4 = (a2 + b2)2 2a2b2 = − 209 Ta cã : a + b = - , ab = - Do ®ã : a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) 210 a) a = ( − 1) = − 2 = − a = ( − 1)3 = 2 − + − = − = 50 − 49 b) Theo khai triÓn Newton : (1 - )n = A - B ; (1 + )n = A + B víi A, B ∈ N Suy : A2 2B2 = (A + B )(A - B ) = [(1 + )(1 - )]n = (- 1)n Nếu n chẵn A2 2b2 = (1) Nếu n lẻ A2 2B2 = - (2) B©y giê ta xÐt an Có hai trờng hợp : * Nếu n chẵn : an = ( - 1)n = (1 - )n = A - B = A 2B2 Điều kiện ) 270 toán bồi dỡng hs giỏi khiếu toán A2 2B2 = đợc thỏa mÃn (1) * Nếu n lẻ th× : an = ( - 1)n = - (1 - )n = B - A = 2B2 − A §iỊu kiƯn 2B2 A2 = đợc thỏa mÃn (2) 211 Thay a = vào phơng trình đà cho : 2 + 2a + b + c = ⇔ (b + 2) = -(2a + c) Do a, b, c hữu tỉ nên phải có b + = ®ã 2a + c = Thay b = - , c = - 2a vào phơng trình đà cho : x3 + ax2 2x 2a = ⇔ x(x2 2) + a(x2 2) = ⇔ (x2 2)(x + a) = Các nghiệm phơng trình ®· cho lµ: vµ - a 1 + + + n a) Chøng minh A > n : Làm giảm số hạng A : 2 = > = k +1 − k k k+ k k +1 + k Do ®ã A >  − + + − + + + − n + n +  = 212 Đặt A = ( =2 ( ( ) ) ( ) ) ( ) n +1 − = n +1 − 2 > n +1 − > n − b) Chøng minh A < n − : Làm trội số hạng A : ( ) 2 = < = k − k −1 k k+ k k + k −1 Do ®ã : A <  n − n − + + − + −  = n −   ( ) ( ) ( ) 213 KÝ hiÖu a = + + + + có n dấu Ta có : n a1 = < ; a = + a < + = ; a = + a < + = a 100 = + a 99 < + = HiĨn nhiªn a100 > > Nh vËy < a100 < 3, ®ã [ a100 ] = 214 a) C¸ch (tÝnh trùc tiÕp) : a2 = (2 + )2 = + Ta cã = 48 nªn < < ⇒ 13 < a2 < 14 VËy [ a2 ] = 13 Cách (tính gián tiếp) : Đặt x = (2 + )2 th× x = + XÐt biÓu thøc y = (2 - )2 th× y = - Suy x + y = 14 DÔ thÊy < - < nªn < (2- )2 < 1, tøc lµ < y < Do ®ã 13 < x < 14 VËy [ x ] = 13 tøc lµ [ a2 ] = 13 ] = 51 b) Đáp số : [ a 215 Đặt x y = a ; x + y = b (1) a b số hữu tØ XÐt hai trêng hỵp : a) NÕu b th× cã : x−y a = ⇒ x+ y b x− y= 1 a x =  b + ÷ số hữu tỉ ; b b) Nếu b = x = y = 0, hiển nhiên a số hữu tỉ (2) Từ (1) (2) ta b 1 a y =  b − ÷ số hữu tỉ b x , y số hữu tỉ 270 toán bồi dỡng hs giỏi khiếu toán 216 Ta có n   1   1 = = n − + − ÷= n  ÷ ÷= (n + 1) n n(n + 1) n +  n n +1   n n +1   n  n  1    = 1 + − − ÷ ÷< ữ Từ ta giải đợc toán n +1  n n +1  n +1   n  217 Chøng minh b»ng ph¶n chøng Gi¶ sử 25 số tự nhiên đà cho, hai số Không tính tổng quát, gi¶ sư a1 < a2 < < a25 Suy : a1 , a2 , … a25 25 ThÕ th× : 1 1 1 + + + ≤ + + + a1 a2 a 25 25 (1) Ta l¹i cã : 1 1 2 + + + + = + + + +1 < 25 24 25 + 25 24 + 24 2+ 2 2 < + + + + = 25 − 24 + 24 − 23 + + − + = 24 + 24 23 + 23 2+ ( =2 ( ) ) 25 − + = (2) 1 + + + < , trái với giả thiết Vậy tồn a1 a2 a 25 Từ (1) (2) suy : hai sè b»ng 25 sè a1 , a2 , , a25 218 §iỊu kiƯn : x Đặt + x = a ; − x = b ≥ a2 b2 Ta cã : ab = − x , a + b = Phơng trình : + = 2 +a −b ⇒ a2 - a2b + b2 + ab2 = (2 - b + a - ab) ⇒ (a2 + b2 + ab) ab(a b) = 2(a b) ⇒ (2 + ab) = (a b)(2 + ab) (chó ý : a2 + b2 = 4) ⇒ a b = (do ab + 0) Bình phơng : a2 + b2 2ab = ⇒ 2ab = ⇒ ab = ⇒ − x = Tìm đợc 2 x=3 219 Điều kiện : < x , a Bình phơng hai vÕ råi thu gän : − x = a a +1 Với a 1, bình phơng hai vế, cuối đợc : x = a a +1 §iỊu kiƯn x tháa m·n (theo bất đẳng thức Cauchy) Kết luận : Nghiệm x = a Víi a a +1 220 NÕu x = th× y = 0, z = Tơng tự y z Nếu xyz 0, hiĨn nhiªn x, y, z > Tõ hƯ phơng trình đà cho ta có : x= 2y 2y ≤ = y 1+ y y T¬ng tù y ≤ z ; z ≤ x Suy x = y = z Xảy dấu = bất đẳng thức với x = y = z = KÕt luËn : Hai nghiÖm (0 ; ; 0) , (1 ; ; 1) 270 toán bồi dỡng hs giỏi khiếu toán 221 a) Đặt A = (8 + )7 Để chứng minh toán, cần tìm số B A + B số tự nhiên 107 Chän B = (8 - )7 DÔ thÊy B > v× > Ta cã + > 10 suy : 1 < ⇒ 8−3 < 7 10 10 8+3 cho < B < ( ( ) ) Theo khai triÓn Newton ta l¹i cã : A = (8 + )7 = a + b víi a, b ∈ N B = (8 - )7 = a - b Suy A + B = 2a số tự nhiên Do < B < A + B số tự nhiên nên A có bảy chữ số liền sau dấu 107 phÈy Chó ý : 10- = 0,0000001 b) Gi¶i tơng tự nh câu a 222 Ta thấy với n số phơng n số tự nhiên, n khác số phơng n số vô tỉ, nên n dạng ,5 Do ứng với số n N* có số nguyên an gần n Ta thấy r»ng, víi n b»ng 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, th× an b»ng 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, Ta chứng minh an lần lợt nhận giá trị : hai số 1, bốn số 2, s¸u sè Nãi c¸ch kh¸c ta sÏ chøng minh bất phơng trình : 1 có hai nghiệm tự nhiªn < x < 1+ 2 1 cã nghiƯm tù nhiªn 2− < x < 2+ 2 1 có sáu nghiệm tự nhiên < x < 3+ 2 1 Tỉng qu¸t : k − < x < k + cã 2k nghiÖm tự nhiên Thật vậy, bất đẳng 2 1 thức tơng đơng với : k2 k + < x < k2 + k + Rõ ràng bất phơng trình 4 có 2k nghiệm tự nhiên lµ : k2 k + ; k2 k + ; ; k2 + k Do ®ã :       1 1 1÷  1 1 1 ÷ 1 1÷ + + + =  + ÷+  + + + ÷+ +  + + + ÷ = 2.44 = 88 a1 a2 a1980  1 ÷  44 42 ÷ 2 44 44 44 { 1 4 4 ÷ số  soá 88 soá      223 Giải tơng tự 24 a) < an < VËy [ an ] = b) an VËy [ an ] = c) Ta thÊy : 442 = 1936 < 1996 < 2025 = 452, cßn 462 = 2116 a1 = 1996 = 44 < a1 < 45 H·y chøng tá víi n th× 45 < an < 46 Nh vËy víi n = th× [ an ] = 44, víi n [ an ] = 45 224 Cần tìm số tù nhiªn B cho B A < B + Làm giảm làm trội A để đợc hai sè tù nhiªn liªn tiÕp Ta cã : (4n + 1)2 < 16n2 + 8n + < (4n + 2)2 ⇒ 4n + < 16n + 8n + < 4n + 270 toán bồi dỡng hs giỏi khiếu toán 4n2 + 4n + < 4n2 + 16n + 8n + < 4n2 + 4n + < 4n2 + 8n + ⇒ (2n + 1)2 < 4n2 + 16n + 8n + < (2n + 2)2 Lấy bậc hai : 2n + < A < 2n + VËy [ A ] = 2n + 225 Để chứng minh toán, ta chØ sè y tháa m·n hai ®iỊu kiƯn : < y < 0,1 (1) x + y lµ mét sè tù nhiªn cã tËn cïng b»ng (2) 200 Ta chän y = − Ta cã < − < 0,3 nªn < y < 0,1 Điều kiện (1) đợc chứng minh Bây ta chứng minh x + y sè tù nhiªn cã tËn cïng b»ng Ta cã : 200 200 100 100 x+y = 3+ + 3− = 5+2 + 5−2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) XÐt biĨu thøc tỉng qu¸t Sn = an + bn víi a = + , b = - Sn = (5 + )n = (5 - )n A vµ b có tổng 10, tích nên chúng nghiệm phơng trình X2 -10X + = 0, tøc lµ : a2 = 10a (3) ; b2 = 10b (4) Nh©n (3) víi an , nh©n (4) víi bn : an+2 = 10an+1 an ; bn+2 = 10bn+1 bn Suy (an+2 + bn+2) = 10(an+1 + bn+1) (an + bn), tøc lµ Sn+2 = 10Sn+1 Sn , hay Sn+2 ≡ - Sn+1 (mod 10) Do ®ã Sn+4 ≡ - Sn+2 ≡ Sn (mod 10) (5) + (5 - = + = ; S = (5 + Ta cã S0 = (5 + ) 6) ) + (5 - ) = 10 Tõ c«ng thøc (5) ta cã S2 , S3 , , Sn số tự nhiên, S0 , S4 , S8 , , S100 cã tËn cïng b»ng 2, tøc tổng x + y số tự nhiên có tận Điều kiện (2) đợc chứng minh Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh 250 125 226 BiÕn ®ỉi 3+ = + Phần nguyên có chữ số tận (Giải tơng tự 36) 227 Ta cã : ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( A =   + +   +   + +   +   + +  15  +  16  + +  24                Theo cách chia nhóm nh trên, nhóm cã sè, nhãm cã sè, nhãm cã sè, nhãm cã sè C¸c sè thuéc nhãm b»ng 1, c¸c sè thuéc nhãm b»ng 2, c¸c sè thuéc nhãm b»ng 3, c¸c sè thuéc nhãm b»ng VËy A = 1.3 + 2.5 + 3.7 + 4.9 = 70 x (3 x) áp dụng bất x x x x đẳng thức Cauchy cho số không âm , , (3 x) ta đợc : (3 x) 2 2 x x   + +3− x ÷  ÷ =  ÷   228 a) XÐt x x ViÕt A dới dạng : A = Do A (1) b) XÐt x > 3, ®ã A (2) So sánh (1) (2) ta ®Õn kÕt luËn : x  = 3−x max A = ⇔  ⇔ x = x 229 a) Lập phơng hai vế, áp dụng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta đợc : ) 270 toán bồi dỡng hs giỏi khiếu toán x + + − x + 3 (x + 1)(7 − x).2 = ⇔ (x + 1)(7 − x) = ⇔ x = - ; x = (tháa) b) §iỊu kiƯn : x - (1) Đặt x = y ; x + = z Khi ®ã x = y2 ; x + = z2 nªn z2 y3 = Phơng trình đà cho đợc đa hÖ :  y + z = (2)  z − y = (3) z ≥ (4)  Rót z tõ (2) : z = y Thay vµo (3) : y3 y2 + 6y = ⇔ (y 1)(y2 + 6) = ⇔ y=1 Suy z = 2, tháa m·n (4) Tõ ®ã x = 3, tháa m·n (1) KÕt luận : x = 230 a) Có, chẳng hạn : 1 + = 2 b) Kh«ng Giả sử tồn số hữu tỉ dơng a, b mà ơng hai vế : a + b = B×nh ph- a + b + ab = ⇒ ab = − (a + b) Bình phơng vế : 4ab = + (a + b)2 2(a + b) ⇒ 2(a + b) = + (a + b)2 4ab Vế phải số hữu tỉ, vế trái số vô tỉ (vì a + b 0), mâu thuẩn m (phân số tối giản) Suy = m3 H·y n n m chøng minh r»ng c¶ m lẫn n chia hết cho 5, trái giả thiết phân số tối n 231 a) Giả sử gi¶n b) Gi¶ sư m3 = n3 ( 3 số hữu tỉ m (phân số tối gi¶n) Suy : n m 6m = + 3 = + ⇒ m = 6n + 6mn (1) ⇒ m M ⇒ m M 2 n n + số hữu tỉ 2+34 ) Thay m = 2k (k ∈ Z) vµo (1) : 8k3 = 6n3 + 12kn2 ⇒ 4k3 = 3n3 + 6kn2 Suy 3n3 chia hÕt cho ⇒ n3 chia hÕt cho ⇒ n chia hÕt cho Nh vËy m n chia hết cho 2, trái với giả thiết m phân số tối giản n 232 Cách : Đặt a = x3 , b = y3 , c = z3 Bất đẳng thức cần chứng minh a+b+c x3 + y3 + z3 ≥ abc tơng đơng với xyz hay x3 + y3 + z3 3xyz 3 Ta có đẳng thức : x3 + y3 + z3 3xyz = (x + y + z)[(x y)2 + (y z)2 + (z x)2] (bµi tËp sbt) Do a, b, c nên x, y, z 0, x3 + y3 + z3 3xyz Nh vËy : a+b+c ≥ abc Xảy dấu đẳng thức a = b = c C¸ch : Tríc hết ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy cho bốn số không âm Ta có : 270 toán bồi dỡng hs giỏi khiếu toán a+ b+ c+d 1a+ b c+d  =  + ab + cd ≥ ab cd = abcd ÷≥ 2 2  a+b+c a+ b+c+d  Trong bất đẳng thức ta đợc : ữ abcd , đặt d = ( ) a+b+c   a+ b+c+ ÷ a+ b+c a+ b+c a+ b+c ⇒   ÷ ≥ abc ÷ ≥ abc 3    ÷   a+b+c Chia hai vÕ cho số dơng (trờng hợp số a, b, c 0, 3 toán đợc chứng minh) :  a + b + c  ≥ abc ⇔ a + b + c ≥ abc ữ 3 a+b+c Xảy đẳng thøc : a = b = c = ⇔ a=b=c=1 b c d a 233 Tõ gi¶ thiÕt suy : ¸p dơng bÊt + + ≤ 1− = b +1 c +1 d +1 a +1 a +1 đẳng thức Cauchy cho số dơng : b c d bcd T¬ng tù : ≥ + + ≥ 3 a +1 b +1 c +1 d +1 (b + 1)(c + 1)(d + 1) acd ≥ 3 b +1 (a + 1)(c + 1)(d + 1) abd ≥ 3 c +1 (a + 1)(b + 1)(d + 1) abc ≥ 3 d +1 (a + 1)(b + 1)(c + 1) Nhân từ bốn bất đẳng thức : ≥ 81abcd ⇒ abcd ≤ 234 Gäi A = 81 x2 y2 z2 + + ¸p dơng bất đẳng thức Bunhiacôpxki : y2 z2 x2 x2 y z2  x y z 3A =  + + ÷(1 + + 1) ≥  + + ÷ z x  y z x y (1) áp dụng bất đẳng thức Cauchy với ba số không âm : x y z x y z + + ≥ 3 = y z x y z x (2) Nh©n tõng vÕ (1) víi (2) : x y z x y z x y z 3A  + + ÷ ≥  + + ÷ ⇒ A ≥ + + y z x y z x y z x 235 Đặt x = 3 + 3 ; y = 3 − 3 th× x3 + y3 = (1) XÐt hiÖu b3 a3 , ta ®ỵc : b3 a3 = 24 (x + y)3 = 24 (x3 + y3) 3xy(x + y) Do (1), ta thay 24 bëi 4(x3 + b3), ta cã : b3 a3 = 4(x3 + y3) (x3 + y3) 3xy(x + y) = 3(x3 + y3) 3xy(x + y) = = 3(x + y)(x2 xy + y2 xy) = 3(x + y)(x y)2 > (v× x > y > 0) 270 toán bồi dỡng hs giỏi khiếu toán Vậy b3 > a3 , b > a 236 a) Bất đẳng thức với n = Víi n 2, theo khai triĨn Newton, ta cã : n n(n − 1) n(n − 1)(n − 2) n(n − 1) 2.1  1 2+ + + n  + ÷ = + n + n 2! n 3! n n! n  n 1 < + +  + + +   ÷ n!   2! 3! 1 1 1 + + + = DƠ dµng chøng minh : + + + ≤ 2! 3! n! 1.2 2.3 (n − 1)n 1 1 1 = − + − + + − = 1− < 2 n −1 n n Do ®ã (1 + )n < n b) Víi n = 2, ta chøng minh > (1) ThËt vËy, (1) ⇔ ( 3) > ( ) Víi n (2) ⇔ ⇔ 32 > 22 3, ta chøng minh ( n +1 n +1 ) n(n +1) < ( n) n n (2) ThËt vËy : n > n +1 n + n(n +1) n ⇔ (n + 1) < n n (3) n +1 (n + 1)n  1 ⇔ < n ⇔ 1 + ÷ < n n n  n n Theo c©u a ta cã  +  < , mà ữ n Do (2) đợc chứng minh ( n nên (3) đợc chứng minh ) 237 C¸ch : A = x + + x + x + ≥ A = víi x = Cách : áp dụng bất đẳng thức Cauchy : A ≥ (x + x + 1)(x − x + 1) = x + x + ≥ A = víi x = 238 Víi x < th× A (1) Víi x 4, xÐt - A = x2(x 2) áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm : x x   + +x−2÷ A x x  2x −  − = (x − 2) ≤  ÷ =  ÷ ≤ 2    ÷   - A 32 ⇒ A - 32 A = - 32 víi x = 239 §iỊu kiƯn : x2  x2 x2   + +9−x ÷ x2 x2 A = x (9 − x ) = (9 − x ) ≤  ÷ = 4.27 2  ÷  ÷   max A = víi x = 240 a) Tìm giá trị lớn : Cách : Víi x < th× A = x(x2 6) Víi x Ta cã x ⇒ x2 ⇒ Suy x(x2 6) max A = víi x = x2 270 toán bồi dỡng hs giỏi khiếu toán Cách : A = x(x2 9) + 3x Ta cã x 0, x2 0, 3x 9, nªn A max A = víi x = b) Tìm giá trị nhỏ : C¸ch : A = x3 6x = x3 + (2 )3 6x (2 )3 = = (x + 2 )(x2 - 2 x + 8) 6x - 16 = (x + 2 )(x2 - 2 x + 2) + (x + 2 ).6 6x - 16 = (x + 2 )(x - )2 - - A = - víi x = Cách : áp dụng bất đẳng thức Cauchy với số không âm : x3 + 2 + 2 3 x3 2.2 = 6x Suy x3 6x - A = - víi x = 241 Gọi x cạnh hình vuông nhỏ, V thể tích hình hộp Cần tìm giá trị lớn V = x(3 2x)2 Theo bất đẳng thức Cauchy với ba số dơng : x x 4V = 4x(3 2x)(3 2x) max V = 4x = 2x x = b) Đặt c) Lập phơng hai vế Đáp số : ; x x x ThĨ tÝch lín nhÊt hình hộp dm3 cạnh hình vuông nhỏ 242 a) Đáp số : 24 ; - 11 ; ; 10 dm 2 − x = a ; x − = b Đáp số : d) Đặt 2x − = y Gi¶i hƯ : x3 + = 2y , y3 + = 2x, đợc (x y)(x2 + xy + y2 + 2) = ⇔ x = y Đáp số : ; ) ( −1 ± x − x Đáp số : x = 3 g) Đặt x = a ; x − = b Ta cã : a3 + b3 = 2, a3 b3 = 12 2x, vế e) Rút gọn vế trái đợc : 3 ab phải phơng trình đà cho a b Phơng trình đà cho trở thành : = 3 a −b a+b 3 Do a3 + b3 = nªn a − b = a3 − b3 ⇒ (a b)(a3 + b3) = (a + b)(a3 b3) a+b a +b x 3-2x  4x + − 2x + − 2x  =  ÷   x 3-2x Do a + b nªn : (a b)(a2 ab + b2 = (a b)(a2 + ab + b2) Từ a = b ta đợc x = Từ ab = ta đợc x = ; x = h) Đặt x + = a ; x − = b Ta cã : a2 + b2 + ab = (1) ; a3 b3 = (2) Tõ (1) vµ (2) : a b = Thay b = a vµo (1) ta đợc a = Đáp số : x = i) C¸ch : x = - nghiệm phơng trình Với x + 0, chia hai vế cho x+2 x 270 toán bồi dỡng hs giỏi khiếu toán Đặt x +1 =a ; x+2 x+3 = b Gi¶i hÖ a3 + b3 = 2, a + b = - Hệ vô x+2 nghiệm Cách : §Ỉt x + = y Chun vÕ : y3 − + y3 + = y Lập phơng hai vế ta đợc : y3 + y3 + + 3 y − (- y) = - y3 ⇔ y3 = y y − Víi y = 0, cã nghiƯm x = - Víi y 0, cã y2 = y − LËp phơng : y6 = y6 Vô n0 Cách : Ta thấy x = - nghiệm phơng tr×nh Víi x < - 2, x > - 2, phơng trình vô nghiệm, xem bảng dới : x x < -2 x > -x x +1 < -1 > -1 x+2 < > k) Đặt + x = a , x = b Ta cã : a + b = (1), x+3 < > VÕ tr¸i < > ab + a + b = (2) m+n , ta cã : a + b 1+ a 1+ b a b + a + b ≤ + + = 2 1+ a 1+ b a+b = a + b +1 ≤ + +1 = +2 =3 2 Theo bất đẳng thức Cauchy 3= mn Phải xảy dấu đẳng thức, tức : a = b = Do x = l) Đặt a − x = m ≥ ; b − x = n ≥ th× m4 + n4 = a + b 2x Phơng trình đà cho trở thµnh : m + n = m + n Nâng lên lũy thừa bậc bốn hai vÕ råi thu gän : 2mn(2m2 + 3mn + 2n2) = Suy m = hc n = 0, m, n > 2m2 + 3mn + 2n2 > Do ®ã x = a , x = b Ta ph¶i cã x a , x b để thức có nghĩa Giả sử a b nghiệm phơng trình đà cho x = a 243 Điều kiện để biểu thức có nghĩa : a2 + b2 (a b không đồng thời 0) Đặt a = x ; b = y , ta cã : A = (x = + y ) − (xy) 2 x + xy + y 2 (x = x + x y + y x + 2x y + y − 2x y = = x + xy + y x + xy + y 2 + y + xy ) ( x + y − xy ) x + y + xy 2 = x + y − xy VËy : A = a + b − ab (víi a2 + b2 0) 244 Do A lµ tỉng cđa hai biĨu thức dơng nên ta áp dụng bất đẳng thøc Cauchy : A = x2 − x + + x2 + x + ≥ = x − x + x + x + = (x − x + 1)(x + x + 1) x + x + = x − x +  = x + x + Đẳng thøc x¶y :  ⇔ x = x + x + =  4 Ta có A 2, đẳng thức xảy x = VËy : A = ⇔ x = 245 V× + nghiệm phơng trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = 0, nên ta có : 270 toán bồi dỡng hs giỏi khiếu toán 3(1 + )3 + a(1 + )2 + b(1 + ) + 12 = Sau thùc phép biến đổi, ta đợc biểu thức thu gän : (4a + b + 42) + (2a + b + 18) = V× a, b ∈ Z nªn p = 4a + b + 42 ∈ Z vµ q = 2a + b + 18 ∈ Z Ta phải tìm số nguyên a, b cho p + q = NÕu q = - p , vô lí Do q = vµ tõ p + q = ta suy p = q VËy + nghiệm phơng trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = vµ chØ : 4a + b + 42 = Suy a = - 12 ; b =  2a + b + 18 = p p p3 246 Giả sử 3 số hữu tỉ ( phân số tối giản ) Suy : = H·y q q q p chøng minh p q chia hết cho 3, trái với giả thiết phân số tối q giản ( 247 a) Ta cã : + = + Do ®ã : ) = 1+ 2 + = + 2 ( + − 2 = + 2 − 2 = 32 − 2 ) = b) + − = −1 248 áp dụng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta cã : a = 20 + 14 + 20 − 14 + 3 (20 + 14 2)(20 − 14 2).a ⇔ a = 40 + 3 20 − (14 2) a ⇔ a3 6a 40 = ⇔ (a 4)(a2 + 4a + 10) = V× a2 + 4a + 10 > nên a = 249 Giải tơng tự 21 250 A = + − 251 ¸p dơng : (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) Tõ x = 3 + Suy x3 = 12 + 3.3x ⇔ x3 9x 12 = 252 Sư dơng đẳng thức (A B)3 = A3 B3 3AB(A B) TÝnh x3 KÕt qu¶ M=0 253 a) x1 = - ; x2 = 25 u = v3 + b) Đặt u = x - , v = x - , ta đợc : u = v = - ⇒ x = v = u + c) Đặt : x + 32 = y > Kết x = 254 Đa biểu thức vỊ d¹ng : A = x + + + x + − ¸p dông | A | + | B | | A+ B | A = ⇔ -1 x 255 áp dụng bất đẳng thức Cauchy hai lần 256 §Ỉt x = y x = y ⇒ P = x + 258 Ta cã : P = (a < b) ( x − a) + ( x − b) = | x a | + | x b | | x a + b x | = b a 270 toán bồi dỡng hs giỏi khiếu toán Dấu đẳng thức xảy (x a)(x b) ⇔ a x b VËy P = b a ⇔ a x b 259 V× a + b > c ; b + c > a ; c + a > b áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số dơng (a + b c) + (b + c − a) =b (b + c − a) + (c + a − b) (b + c − a)(c + a − b) ≤ =c (c + a − b) + (a + b − c) (c + a − b)(a + b − c) ≤ =a (a + b − c)(b + c a) Các vế bất dẳng thức dơng Nhân bất đẳng thức theo vế ta đợc bất đẳng thức cần chứng minh Đẳng thức xảy : a + b c = b + c a = c + a b ⇔ a = b = c (tam giác đều) 260 x y = (x y) = (x + y) − 4xy = + = 2 261 2A = (a b)2 + (b c)2 + (c a)2 Ta cã : c a = - (a c) = - [(a b) + (b c)] = - ( + + - 1) = - 2 Do ®ã : 2A = ( + 1)2 + ( - 1)2 + (-2 )2 = 14 Suy A = 262 Đa pt dạng : ( ) ( ) ( 2 x − −1 + y−3 −2 + ) z −5 −3 = 263 NÕu x th× y = 264 Đặt : x = y M = x − x − + − x − 265 Gäi c¸c kích thớc hình chữ nhật x, y Với mäi x, y ta cã : x2 + y2 2xy Nhng x2 + y2 = (8 )2 = 128, nên xy 64 Do : max xy = 64 ⇔ x = y = 266 Víi mäi a, b ta lu«n cã : a2 + b2 2ab Nhng a2 + b2 = c2 (định lí Pytago) nên : ( )( ) a+b c2 2ab ⇔ 2c2 a2 +b2 + 2ab ⇔ 2c2 (a + b)2 ⇔ c a + b c Dấu đẳng thức xảy a = b 267 Biến đổi ta đợc : ( 268 x - ; x a 'b − ab ' ) +( a 'c − ac' ) +( -HÕt - b 'c − bc ' ) =0 ... : Hai nghiÖm (0 ; ; 0) , (1 ; ; 1) 270 toán bồi dỡng hs giỏi khiếu toán 221 a) Đặt A = (8 + )7 Để chứng minh toán, cần tìm số B A + B số tự nhiên 107 Chọn B = (8 - )7 DƠ thÊy B > v× > Ta cã... 270 toán bồi dỡng hs giỏi khiếu toán 216 Ta cã n   1   1 = = n − + − ÷= n  ÷ ÷= (n + 1) n n(n + 1) n +  n n +1   n n +1   n  n  1    = 1 + ữ ữ< ữ Từ ta giải đợc toán. .. §iỊu kiện ) 270 toán bồi dỡng hs giỏi khiếu toán A2 2B2 = đợc thỏa mÃn (1) * Nếu n lẻ : an = ( - 1)n = - (1 - )n = B - A = 2B2 − A Điều kiện 2B2 A2 = đợc thỏa mÃn (2) 211 Thay a = vào phơng trình