10 Bộ đề thi bồi dưỡng HSG 9 và Luyện thi lên lớp 10 Chuyên

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán 10 Bộ đề thi bồi dưỡng HSG Luyện thi lên lớp 10 Chuyên Đề 1: Câu 1: Cho phương trình 2x  2(m  1) x  m2  4m   Định m để phương trình có nghiệm x1; x2 2.Tìm giá trị lớn A | x1 x2  2( x1  x2 ) | Câu 2: Tính tổng: S  a1  a2   a99 , đó: an  , n  1, ,99 (n  1) n  n n  Câu 3: Cho ba số thực a, b, c, d không nhỏ thỏa mãn a2  b2  c2  d  16 Tìm giá trị lớn biểu thức: P  a 1  b 1  c   d  Câu 4: Cho số tự nhiên a Chứng minh (a, 240)  a4  240 Câu 5: Cho tam giác ABC có trực tâm H, nội tiếp đường tròn (O) Gọi P điểm nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC nằm tam giác ABC PB cắt (O) điểm M khác B PC cắt (O) điểm N khác C BM cắt AC điểm E, CN cắt AB điểm F Đường tròn ngoại tiếp tam giác AME đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF cắt điểm Q khác A Chứng minh ba điểm M, N, Q thẳng hàng Giả sử AP phân giác góc MAN Chứng minh PQ qua trung điểm BC Câu 6: Chứng minh phủ kín hình vuông  bỏ hai ô góc đối diện (góc bên trái góc bên phải) 31 quân đô-mi-nô kích thước  (các quân đô-mi-nô xoay ngang, dọc tuỳ ý) Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Đề 2: Câu 1: Cho phương trình x2  ax  b  có hai nghiệm phân biệt Chứng minh phương trình x4  ax3  (b  2) x  ax   có nghiệm phân biệt Câu 2: Giải hệ phương trình:  2x  x   y (1)   y3  z (2)  y  y    4z  x(3)   z  z  z 1 Câu 3: Cho x, y, z thỏa mãn x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M  x3  y  16 z ( x  y  z )3 Câu 4: Chứng minh tồn số nguyên dương k cho 2013k 1 chia hết cho 105 Câu 5: Từ điểm A nằm đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến AB, AC (A, B tiếp điểm), vẽ cát tuyến AEF (EF không qua O) Gọi D điểm đối xứng B qua O DE, DF cắt AO M N Chứng minh rằng: CEF CMN OM  ON Câu 6: Một miếng giấy hình vuông kích thước 29 x 29 chia thành ô vuông kích thước x đường thẳng song song với cạnh miếng giấy Người ta cắt theo đường lưới 99 miếng hình vuông có kích thước x Chứng minh rằng, từ phần giấy lại ta cắt theo đường lưới miếng hình vuông x nữa? Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Đề 3: Câu 1: Cho phương trình x 1 x   x  a (x ẩn) 1.Tìm điều kiện x để phương trình có nghĩa Với giá trị a phương trình có nghiệm, đó, tìm x theo a Câu 2: Giải phương trình: x  24  12  x  Câu 3: Cho a, b, c thỏa mãn điều kiện  a  b phương trình ax2  bx  c  vô nghiệm Chứng minh : abc 3 ba Câu 4: Cho x, y, z số nguyên cho  x  y    y  z    z  x   xyz Chứng minh 2 x3  y3  z chia hết cho x  y  z  Câu 5: Cho tam giác ABC vuông cân A, D trung điểm AC, vẽ đường tròn (O) đường kính CD cắt BC E, BD cắt (O) F Chứng minh ABCF nội tiếp Chứng minh AFB  ACB tam giác DEC cân Kéo dài AF cắt đường tròn (O) H Tứ giác CEDH hình ? Câu 6: Mỗi giải bóng đá đá theo luật sau: -Mỗi đội thi đấu với tất đội khác -Hai đội đấu với lần -Trong trận đấu, đội thắng hai điểm, thua không điểm, hòa đội điểm Giải đấu kết thúc sau: Mỗi đội đạt số điểm khác đội đứng cuối thắng ba đội đứng đầu (thứ tự xếp theo điểm) Vậy số đội bóng giải 12 đội hay không? Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Đề 4: Câu 1: Cho phương trình: mx  2(m  1) x  4m  0(1) Giải biện luận (1) Xác định m để (1) có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn : Câu 2: Giải phương trình : x1 x2 17   x2 x1 x  2x   3 x x 1 Câu 3: Cho x, y, z số thực thỏa mãn ( x  1)2  ( y  2)2  ( z  3)2  2017 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  xy  y( z 1)  z( x  2) x2  x Câu 4: Tìm giá trị nguyên x để biểu thức: A  nhận giá trị nguyên x  x 1 Câu 5: Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O) ; M điểm cung nhỏ CD, BM cắt AC E Chứng minh ODM  BEC  180o Chứng minh MAB MEC từ suy MC.AB  MB.EC Chứng minh MA  MC  MB Câu 6: Mỗi đỉnh hình cạnh tô màu xanh đỏ Chứng minh với cách tô thế, tìm tam giác cân có đỉnh tô màu Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Đề 5: Câu 1: Cho phương trình : (m  1) x2  2(m  1) x  m  0(1) Tìm tất giá trị m để pt (1) có nghiệm kép, tính nghiệm kép Tìm tất giá trị m để pt (1) có hai nghiệm phân biệt số âm Câu 2: Giải phương trình: 3x 4x  4 x  x  x  2x  Câu 3: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x2  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A  x2  y  z  1    x y z x y z Câu 4: Giả sử p  abc số nguyên tố có ba chữ số Chứng minh phương trình ax2  bx  c  nghiệm hữu tỉ Câu 5: Cho hai đường tròn (O) (O‟) cắt A B Kẻ tiếp tuyến chung CD (C, D tiếp điểm, C thuộc (O) ; D thuộc (O‟)) Qua điểm B kẻ cát tuyến song song với CD cắt (O) E, cắt (O‟) F Gọi M, N theo thứ tự giao điểm AD CA với EF Gọi I giao điểm EC với FD Chứng minh : CD trung trực đoạn BI Tam giác MIN cân Giả sử A cố định (O ;R), AB AC hai dây cung thay đổi (O) thỏa mãn hệ thức AB AC  R Xác định vị trí điểm B, C (O) để diện tích tam giác ABC lớn Câu 6: Có điểm nằm hình vuông cạnh a  36,7 Chứng minh tồn điểm nằm hình vuông mà khoảng cách từ điểm đến điểm nói lớn 10 Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Đề 6: Câu 1: Tìm giá trị m để phương trình : x4  2mx  m   Có nghiệm Có ba nghiệm Câu 2: Giải phương trình: x3  3x  3x   x  y  Giải hệ phương trình :  3 x  y  Câu 3: Cho x, y, z số thực dương thỏa xyz  Tìm giá trị nhỏ biểu thức M  x  y  z xy  yz  zx Câu 4: Cho số nguyên a không nhỏ Hỏi có tồn hay không số tự nhiên A cho a2001  A  a 2002 A có 600 chữ số tận 0? Câu 5: Cho đường tròn (O) đường thẳng d cắt (O) hai điểm C, D Từ điểm M tùy ý D kẻ tiếp tuyến MA, MB (với A, B tiếp điểm) Gọi I trung điểm CD Chứng minh tứ giác MAIB nội tiếp Giả sử MO AB cắt H Chứng minh H thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác COD Chứng minh AB qua điểm cố định M di động d MD HA2  Chứng minh MC HC Câu 6: Trong phòng có 100 người, người quen 66 người khác Hỏi có phải trường hợp tồn người đôi quen hay không ? Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Đề 7: Câu 1: Cho phương trình: x2  (2m  3) x  m2  3m  Chứng minh phương trình có nghiệm phân biệt m thay đổi Định giá trị m để phương trình có nghiệm x1 , x2 thỏa:  x1  x2  Câu 2: Giải phương trình : 4x 5x   1 x  8x  x  10x  Câu 3: Cho a, b, c số dương thỏa mãn a4  b4  c4  Chứng minh : 1   1  ab  bc  ca Câu 4: Cho số nguyên a không chia hết cho Chứng minh rằng: (a  1)(a  15a  1) 35 Câu 5: Cho đường tròn (O ;R) đường kính AB cố định, đường kính CD di động khác AB Các tia BC, BD cắt tiếp tuyến đường tròn A E, F Chứng minh CDEF tứ giác nội tiếp Khi đường kính CD thay đổi, tìm giá trị nhỏ EF Đường tròn qua ba điểm O, D, F đường tròn qua ba điểm O, C, E cắt G (khác O) Chứng minh B, A, G thẳng hàng Câu 6: Tại đỉnh lục giác đều, theo chiều kim đồng hồ, người ta viết số chẵn liên tiếp Mỗi lần cho phép lấy cạnh tăng số hai đỉnh thuộc cạnh lên đơn vị Hỏi cách làm cho số đỉnh lục giác không ? Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Đề 8: Câu 1: Cho phương trình x2  2mx  6m   (x ẩn) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình Tìm m để x12  x22  13 Câu 2: Cho x y hai số âm Chứng minh : | xy  x y x y ||  xy || x |  | y | 2 Câu 3: Cho đa thức P( x)  ax3  bx  cx  d (a  0) Biết P(m)  P(n)(m  n) Chứng minh mn  4ac  b2 4a Câu 4: Tìm tất số tự nhiên thỏa mãn phương trình : 2018x  2017 y  2016z Câu 5: Cho tam giác ABC Gọi H chân đường cao kẻ từ A (H thuộc BC) Đường thẳng AB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ACH D (khác A) Đường thẳng AC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH E phân biệt với A Gọi I, J trung điểm AB, AC Chứng minh bốn điểm I, J, D, E nằm đường tròn Chứng minh HA tia phân giác góc EHD Tìm mối liên hệ AB, AC AH để DE tiếp xúc với hai đường tròn nói Câu 6: Chứng minh rằng, bảng hình vuông 10 x 10 lát miếng hình sau: Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Đề 9: Câu 1: Cho phương trình bậc hai : x2  x m2  2m  m2  3m   0(1) Định m để pt (1) có nghiệm Định m để tổng bình phương nghiệm tích nghiệm Định m để tổng bình phương hai nghiệm đạt GTNN Câu 2: Giải phương trình: x    x  x2  x  11 Câu 3: Giả sử a, b, c, d số thực dương thỏa mãn: abc  bcd  cda  bad  Tìm giá trị nhỏ P  4(a3  b3  c3 )  9d3 Câu 4: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 7( x  y)  3( x2  xy  y ) Câu 5: Cho nửa đường tròn đường kính BC Gọi A điểm thuộc nửa đường tròn cho AB  AC Dựng phía đối tia AB hình vuông ACDE AD cắt nửa đường tròn H, BH cắt DE K Chứng minh rằng: CK tiếp tuyến đường tròn đường kính BK Chứng minh AB  DK Câu 6: Một khỉ hài lòng ăn ba loại trái khác Hỏi làm cho nhiều khỉ hài lòng ta có 20 táo, 30 lê, 40 chuối 50 đào Các trái phải để nguyên, không chia nhỏ Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Đề 6: Câu 1: 1.Phương trình x4  2mx  m   0(1) Đặt t  x2  thì: (1)  t  2mt  m   0(2) (1) có nghiệm  (2) có nghiệm t  m   P    m  m    '0       m   P     m    S   m  2   m  1  2  m  1 Pt có nghiệm  (2) có: t1   t2  P  m      m  2 S  2m  Câu 2: x3  3x  3x    ( x  1)3   x  1 x  y  x   y  3 x  y  (3  y )  y   3 x   y x   y   2 3 27  27 y  y  y  y   y  3y    x  2; y  1   x  1; y  2 Câu 3: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 1 1 1  2 2   x y z xy yz zx 1 1  1        3    x y z  xy yz zx  hay ( xy  yz  zx)2  3( x  y  z) (vì xyz  ) Do xy  yz  zx  3( x  y  z) Suy M  2    x  y  z xy  yz  zx x  y  z 3( x  y  z )  1  1       x yz  3  Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | 28 Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Vậy MinM  1  x  y  z 1 Câu 4: Ta có: a2001  a2000  a 2000 (a  1)  22000  1024200  10600 Vậy a 2000 a 2001 có 10600 số nguyên dương liên tiếp suy số đó, tồn số A chia hết cho 10600 Câu 5: Vì I trung điểm CD nên OI  CD MA, MB tiếp tuyến  MAO  MBO  MIO  90o Do M, A, I, O, B nằm đường tròn đường kính MO Vậy tứ giác MAIB nội tiếp MAC  MDA  MAC MDA( g.g )  MA MC  MD MA  MA2  MC.MD OMA  OMB; MA  MB  MAB cân M có MO phân giác Vậy MO đường cao Áp dụng hệ thức cạnh góc cho tam giác vuông MAO, ta có: MA2  MN MO MO MD  MC MH MCH (c.g.c)  MCH  MOD Vậy MO.MH  MC.M D   MOD Vậy ODCH tứ giác nội tiếp, hay H thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác OCD Gọi K, J giao điểm AB với OI CD Ta có: OIM OHK ( g.g )  OI OM   OI OK  OM OH OH OK Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | 29 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Mà OM OH  OA2  R2 không đổi CD cố định OI  CD nên OI không đổi Mặc khác OI OK  R2 nên OK cố định, hay K cố định Vậy M di động đường thẳng d qua K cố định MD MA2  MC MC MA MO MO MO MC    Mà HA OA OD OD HC MC.MD  MA2  MA MC MA HA MA2 HA2     hay HA HC MC HC MC HC Vậy MD HA2   dpcm MC HC Câu 6: Ta xếp 100 người vào nhóm, nhóm A B nhóm 33 người, nhóm C có 34 người cho: Mỗi người nhóm quen người nhóm khác Theo nguyên tắc Dirichlet người có người chung nhóm, người không quen Vậy, không tồn yêu cầu toán Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | 30 Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Đề 7: Câu 1:  (2m  3)2  4(m2  3m)  4m2 12m   4m2  12m   Vậy phương trình có nghiệm phân biệt m thay đổi  Hai nghiệm phương trình là: x  m; x  m  Do x1  x2   m   m    m  Câu 2: Xét x  thay vào pt thấy không thỏa toán Vậy, với x  , pt trở thành   1 7 x 8 x  10  x x   1  y  y  10   y  y  y  11y  10  Đặt y  x  10  , pt suy ra: x y2 y  y  1 Giải pt ta thu nghiệm   y  10   53 x  Với y  1  x  10   1   x   53 x   Với y  10  x  10   10  x2    ptvn x Vậy pt nhận hai nghiệm x   53 Câu 3: Ta có: 2  ab (2  ab)(2  ab)  a 2b  1  1  1  ab  ab (4  ab)(2  ab)  2ab  a 2b2  a4  b4  c4  a4  b4  (a2  b2 )2  2a 2b2  2a 2b2  2ab  a2b2   (ab  1)2  Do  a2b2  Tương tự ta có Vì  a 2b a 2b a  b  1      ab 9 9 18 b4  c c4  a4   ;    bc 18  ca 18 1 1  15 a  b4  c4       ab  bc  ca  9 Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807     dpcm  Trang | 31 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Câu 4: Đặt A  (a4 1)(a4  15a  1) Áp dụng định lý Fermat ta có: a  1(mod5) a6  1(mod7) a không chia hết cho nên a  Mặc khác, A  a8  15a 15a 1  a2  15 15a 1(mod7)  A  14a  14  0(mod7) Vậy A 35  dpcm Câu 5: DAB  AFB  EFD  DCB DAB  DCB Ta có  Vậy tứ giác CDFE nội tiếp B thuộc đường tròn đường kính Vậy: DBC  90o Xét tam giác EBF, ta có: EBF  90o , BA  EF  AE.AF  AB2  EF  AE  AF  AE.AF  2AB  4R Đẳng thức xảy hai đường kính AB CD vuông góc với Tứ giác ODFG nội tiếp  GFD  GOD  180o GEC  GOC  180o mà GOC  GOD  180o  GFD  GEC  180o Vậy tứ giác BEGF nội tiếp Ta suy đẳng thức sau: Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | 32 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán FGB  FEB  FEB  CDB ODB  FGO   FGB  FGO  G, O, B thẳng hàng, hay G, A, B thẳng hàng Câu 6: Gọi lục giác cho ABCDEF, xếp theo thứ tự kim đồng hồ số ghi đỉnh a, a  2, a  4, a  6, a  8, a  10 Gọi S (n) tổng số ghi đỉnh A, C, E Gọi T (n) tổng số ghi đỉnh B, D, F Ta có: S (n  1)  S(n)  T (n  1)  T (n)  1, n  , vì: S (0)  a  (a  4)  (a  8)  3a  12 T (0)  (a  2)  (a  6)  (a  10)  3a  18  S (n)  T (n), n  Vậy làm cho đỉnh có số Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | 33 Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Đề 8: Câu 1: Để phương trình có hai nghiệm âm: '  m2  6m   (m  3)2 hai nghiệm là: x1  3; x2  2m  Để hai nghiệm âm: m  3 ; m  3 2 Ta có: x12  x22  13   (2m  3)2  13  (2m  3)2   m   m   1 thỏa ycbt 5 Câu 2: Ta có: x  y  2xy  x y  x  y  ( x  y)  xy   xy    xy  0  4    x y  x y   Nên   xy  dấu  xy       x y x y ||  xy | Ta có: | xy  2 x y x y x y x y |  xy |  |  xy ||  xy   xy || x  y || x |  | y | dpcm (vì x, y 2 2 dấu) Câu 3: Do P(m)  P(n) nên am3  bm2  cm  d  an3  bn2  cn  d  a ( m3  n )  b( m  n )  c ( m  n)   (m  n)[a(m  n)  b(m  n)  amn  c]   a(m  n)  b(m  n)  amn  c  b c  mn  (m  n)  (m  n)  a a mn  Mà 4ac  b b c c  b   ( m  n)  ( m  n)      4a a a a  2a  2 b    m n   2a    mn  4ac  b2  dpcm 4a Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | 34 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Câu 4: Nếu z  vế phải số lẻ, vế trái buộc phải có x  , thay vào thấy vô lý Nếu z  2018x  2017 y  Vì vế phải chia dư nên vế trái chia dư  x  (vì x  vế trái chia hết cho 4) Vậy nghiệm hệ x  y  1; z  Câu 5: Ta có: EIA  EAI  DAF  ADF  Tứ giác EDIJ nội tiếp, hay điểm D, E, I, J nằm đường tròn 2 EHA  EIA  AFD  AHD Vậy HA đường phân giác góc DHE DE tiếp tuyến chung hai đường tròn ta có: DEA=EDA  2EHA  2AHD  AIF  AFI Vậy tam giác ABC cân A DE tiếp xúc với hai đường tròn đường kính AB AC Câu 6: Ta tô màu theo dạng bàn cờ Mỗi miếng dùng để lát thuộc hai loại: 1-Loại gồm ô trắng ô đen 2-Loại gồm ô đen ô trắng Giả sử phủ x miếng loại y miếng loại ( x; y  ) Ta có:  x  y  25 25 x y (không thỏa)  3x  y  y  x  50 Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | 35 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Đề 9: Câu 1: Để pt (1) có nghiệm '   ( m2  2m )2  m2  3m    m2   m  2 Theo câu a, với m  phương trình có hai nghiệm Gọi x1 , x2 nghiệm pt  x12  x22  x1 x2  S  3P   4m2  8m  3m2  9m    m  3(l )  m2  m     m  Vậy m  thỏa ycbt 3.Theo đề, tổng bình phương nghiệm S  2P  4m2  8m  2m2  6m   2(m2  m  2)  2(m  )2  2 Vì m  nên m    2(m  )2   2 2 Dấu “=” xảy m  Vậy GTNN biểu thức đề yêu cầu m  Câu 2: x    x  x2  x  11(*) Điều kiện để phương trình có nghiệm:  x  Vế trái: Theo bất đẳng thức B.C.S, ta có:  x   x  (12  12 ) x    x  2  Trong vế phải: x2  x  11  ( x  3)2   2  ( x  3)  Vậy, (*) xảy   x3   x2  4 x Vậy pt nhận nghiệm x  Câu 3: Trước hết, ta dễ dàng chứng minh với số thực dương x, y, z ta có: x3  y3  z  3xyz Vai trò a, b, c toán nhau, ta giả sử a  b  c  kd P đạt GTNN Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | 36 Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai  3 3abc  k (a  b  c )  k  3 d  a  b  3dab  k3 k3 k2  3 d  b  c  3bdc  k3 k3 k2  3 d  c  a  3dca  k3 k3 k2    3d3     (a3  b3  c3 )  (abc  bcd  cda  dab) k  k k    9d3     (a3  b3  c3 )  k  k k Vậy ta tìm k thỏa mãn       4k  3k   k  k 1 1 Đặt k   a   , ta có k   a     a     x6  12x    x   35 2 2 a a 2 a Vì (6  35)(6  35)   k  (  35   35 ) Với k xác định trên, ta suy giá trị nhỏ P tức MinP  k2 36 (  35   35 ) Câu 4: Xem phương trình cho phương trình bậc hai với biến x: 3x  (3 y  7) x  y  y  Để phương trình có nghiệm nguyên phải số phương y  5 x  Từ suy  y   x  Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | 37 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Câu 5: Ta có H, D nhìn CK góc vuông nên CDKH tứ giác nội tiếp  HKC  HDC  45o HBC  HAC  45o nên HBC vuông cân H  BCK vuông cân C  CK  BC Vậy CK tiếp tuyến đường tròn đường kính BC Xét hai tam giác vuông ABC DKC, ta có:  AC  CD  ABC  DKC  ABC  DKC  AB  DK  dpcm Câu 6: Tổng số trái 20  30  40  50  140 Nếu chia cho ta 46 dư Nhưng thực tế ta làm cho 46 khỉ hài lòng được, mà làm tối đa 45 khỉ hài lòng Cách chứng minh sau: Ta để sang bên 50 đào Còn lại 90 táo, lê, chuối Muốn khỉ hài lòng, ta phải cho ăn 90 Suy ra, số khỉ hài lòng không vượt 90 : = 45 Ta cách để đạt số 45 này, sau: Nhóm có con, ăn táo, lê, đào Nhóm có 15 con, ăn táo, chuối, đào Nhóm có 25 con, ăn lê, chuối, đào Tổng cộng ta dùng  15  20 táo,  25  30 lê, 15  25  40 chuối,  15  25  45 đào làm cho  15  25 khỉ hài lòng Ta thừa đào Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | 38 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Đề 10: Câu 1: (m  1) x  y  2(m  1) 4x  (m  1) y   m  (m  1)2 x  (m  1) y  2(m  1) (1)  4x  (m  1) y   m(2) (1)-(2): [(m1)2  4]x  2m2  4m    m  (m2  2m  3) x  2m2  5m  1   (m  1)(m  3) x  2(m  3)  m   2  Biện luận: m  1; m   x  3m  1 m y m 1 m 1 m  1  hệ vô nghiệm m   y  2x  Hệ có nghiệm x, y  2m    x  m   ; m  1, m   y  1 m   m 1 2m  2(m  1)  1 Xét x    2 m 1 m 1 m 1 m    m  2 m   y  1 (nhận) m  2  y  3  (nhận) Vậy m  0; m  2 hệ có nghiệm nguyên Câu 2: 1.Điều kiện: x  Phương trình cho trở thành: x   x   x 1  x 1  x   x   1 x  x  Vì x  không nghiệm pt nên pt cho tương đương: 1     x     x    12  0(*) x   x  Đặt ẩn t  x  | t | (Cauchy) x Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | 39 Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai t   x  Tìm   21 t 5 x   Vậy pt cho có nghiệm thỏa toán x  1, x   21 Câu 3: Do a2  b  c  nên ta có : ab  2c ab  2c ab  2c ab  2c     ab  c a  b  c  ab  c a  b  ab (ab  2c )(a  b  ab) Áp dụng bất đẳng thức CauChy với hai số x, y không âm: (ab  2c )(a  b2  ab)   xy  x y 2c  a  b2  2ab 2(a  b2  c )   a  b2  c 2 ab  2c ab  2c ab  2c    ab  2c (1) 2 2 2  ab  c (ab  2c )(a  b  ab) a  b  c tương tự: bc  2a ca  2b2  bc  2a ;  ca  2b 2  bc  a  ca  b Cộng theo vế lại ta có: GTNN xảy a  b  c  3 Câu 4: Giả sử A   28n2   t   28n2   t  t   k  u , k   7v Đặt t  2k  1(k  )  7n2  k (k  1)   2  k  7u , k   v Với k  u , k   7v2 : u   7v2  u  6(mod7)(vô lý ) Với k  7u , k   v2 : A  4(k 1)  v2  dpcm Câu 5: Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | 40 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Gọi K trung điểm AB, dễ chứng minh K thuộc đường kính DE Vẽ đường thằng vuông góc với CD M, cắt CA I Ta có: CMI CKD( g.g ) CM CI   CM CD  CK CI CK CD CMA CBD( g.g )  CM CA   CM CD  CA.CB CB CD CA.CB Suy CK CI  CA.CB  CI  CK  không đổi nên I cố định M nhìn cạnh CI góc vuông nên M thuộc đường tròn đường kính CI cố định Tương tự chứng minh N nhìn cạnh CI góc vuông Vậy (O) thay đổi M N di động đường tròn đường kính CI  CA.CB CK Câu 6: Gọi đường tròn cho (O1 ),(O2 ),(O3 ),(O4 ),(O5 ) giả sử chúng không qua điểm Theo giả thiết bốn đường tròn (O1 ),(O2 ),(O3 ),(O5 ) qua điểm A; bốn đường tròn (O1 ),(O3 ),(O4 ),(O5 ) qua điểm B; bốn đường tròn (O1 ),(O2 ),(O4 ),(O5 ) qua điểm C Khi đó, (O1 ) (O5 ) có chung điểm A, B, C Vì đường tròn cho điểm chung nên A, B, C đôi khác Tức (O1 )  (O5 )  điều vô lí Vậy điều ta giả sử sai  dpcm Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | 41 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM 2017 TRÊN HỌC247 - Chương trình luyện thi xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, em yêu thích toán muốn thi vào lớp 10 trường chuyên - Nội dung xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 trường chuyên nước năm qua - Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm thầy tiếng có nhiều năm kinh nghiệm việc ôn luyện học sinh giỏi - Hệ thống giảng biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luyện thi khoa học, hợp lý mang lại kết tốt - Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên - Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn - Mỗi lớp từ đến 10 em để hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học mức cao - Đặc biệt, em hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên HỌC247  https://www.facebook.com/ OnThiLop10ChuyenToan Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | 42 ...Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán 10 Bộ đề thi bồi dưỡng HSG Luyện thi lên lớp 10 Chuyên Đề 1: Câu 1: Cho phương trình... Hotline: 098 1821 807 Trang | 10 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Trang | 11 Bồi dưỡng HSG lớp Luyện. .. hình vuông 10 x 10 lát miếng hình sau: Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Đề 9: Câu 1: