10 Bài Toán bồi dưỡng học sinh giỏi 9 và Luyện thi lên lớp 10 Chuyên (Chuyên đề: Đại số)

Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai 10 Bài Toán bồi dưỡng HSG Luyện thi lên lớp 10 Chuyên Chuyên đề: Đại số Câu 1: Tìm đa thức với hệ số nguyên nhận x   nghiệm Câu 2: Cho 2a  3b  Chứng minh 3a  2b2   x  y  xy  m  Câu 3: Cho hệ phương trình:  2  x y  xy  m 30 với m tham số a) Giải hệ với m  2 b) Tìm tất giá trị m để hệ có nghiệm ( x, y) với x y âm Câu 4: Cho a, b,c  thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: abc  64(a 1)(b 1)(c  1) Câu 5: (Khối PT chuyên ĐHSPHN) Giải phương trình: x3  x3 3x  2 ( x  1)3 x  Câu 6: Chứng minh rằng: x     nghiệm phương trình: x3  3x  18  Tìm dạng gọn x  2x  x2   y   y3 Câu 7: Giải hệ phương trình:   z  y  y 1  4z x   z  z4  z2 1 Câu 8: Cho a  3b  Chứng minh 3a  b2  21 Câu 9: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  z  Chứng minh rằng: xy  z  2x  y  xy 1 Câu 10: Cho (a 1)2  (b  2)2  Chứng minh a  2b  10 Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai PHẦN HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1:Ta có: x    x    ( x  2)3   x3  x2  6x  2   x3  6x   2(3x  2) Bình phương hai vế trên, ta được: ( x3  6x  2)2  2(3x  2)2  x6  4x  x3  12x  24x   nên x nghiệm đa thức với hệ số nguyên sau: P( x)  x6  6x  x3  12x  24x   Câu 2:   Theo bất đẳng thức Bunyakovsky: 25  (2a 3 b)   a  b     (3a 2 b2)   3 2 30  3a  b2  2a  3b  Dấu “=” xảy  3a  a  ;b  7   b Câu 3: Vì phương trình hệ cho đối xứng với hai ẩn x y, nên ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ: S  x  y ta có hệ thức sau:   P  xy S  P  m    SP  m Áp dụng định lý Vi ét đảo, ta suy S, P hai nghiệm phương trình: X  (m  1) X  m  Từ ta có:  S  m; P  1(1)  S  1; P  m(2)  a) Với m  2 x, y nghiệm phương trình sau:  x  y  1  X  2X      x  2; y  1  X  X    x  1; y  x  y  S   xy  P  b) Để phương trình có nghiệm (x,y) với x  0; y  thì:  Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Do đó, trường hợp (2) không thỏa mãn Trường hợp (1) cho ta thỏa mãn đề khi: S  m    m  2 P    m  S  4P  Câu 4: Theo điều kiện ta viết lại sau: (a 1)  (b  1)  (c  1)  Đặt a 1  x; b 1  y; c 1  z( x, y, z  0) Bài toán trở thành cho x, y, z  thỏa x  y  z  , chứng minh ( x  1)( y  1)(z 1)  64xyz x   x  x  y  z , mà x  y  xy ; x  z  xz  x  x  y  z  2( xy  xz)  2.2 xy xz  4 x yz tương tự y   4 xy z , z   4 xyz  ( x  1)( y  1)( z  1)  4.4.4 x y z  64xyz  dpcm Câu 5: Điều kiện: x  Với điều kiện trên, ta có: x3  x3 3x  2 ( x  1)3 x   x3 ( x 1)3  x3  3x ( x 1)2  2( x 1)3   ( x2  x)3  3( x2  x)2  x3  ( x  1)3  ( x  1)3  ( x2  x)3  3( x2  x)2  3( x2  x)   ( x  1)3  ( x2  x  1)3  ( x  1)3  x2  x   x  x2  2x    ptvn (vì  ) Câu 6: ab  x  a  b Đặt a   , b   , ta có:  Do đó: x3  (a  b)3  a3  b3  3ab(a  b)   5x hay x3  3x  18  Mặc khác, x3  3x 18  ( x  3)( x2  3x  6)  x2  3x   0(  0)  x  Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Câu 7: Hệ phương trình cho:  2x  x   y (1)   y3  z (2)   y  y 1  4z  x(3)   z  z4  z2 1 Từ hệ phương trình trên, ta suy x, y, z  - Nếu ba số x, y, z hai số lại 0, x  y  z  nghiệm hệ phương trình - Nếu xyz   x  0, y  0, z  Theo bất đẳng thức Cauchy: x2   2x Từ (1) suy y  z Tương tự, từ (2) (3) ta chứng minh được: z  y; x  z  x  y  z  z  x  y  z  Thử lại ta thấy hệ có nghiệm x  y  z  x  y  z  Câu 8: Theo bất đẳng thức Bunyakovsky:  49  ( a  3b)   a  b.( 3)  2  1    9  3  2 (3a  b ) 3a  b  21 a  3b  9  Dấu “=” xảy  b  a  ;b  4 3a  3 Câu 9: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: xy  z  2x  y  xy   xy  z  2x  y   xy Mà 2( x2  y )  x  y nên xy  z  2x  y  xy  z  x  y Ta phải chứng minh: xy  z  x  y   xy  xy  z   z   xy  xy  z  xy  z  xy  z  z  z xy  xy  z  z  2z xy   z  xy  x  y  xy (bất đẳng thức đúng)  dpcm Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Câu 10: Theo giả thiết: (a 1)2  (b  2)2   a2  b2  2a  4b Theo bất đẳng thức Bunyakovsky: (a2  b2 )2  (2a  4b)  20( a2  b2) 0  a2  b2  20 Vì 2a  4b  a2  b2   a  2b  10 a  b  2a  4b  a  a b Dấu “=” xảy    b  2 a  b  10   Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM 2017 TRÊN HỌC247 - Chương trình luyện thi xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, em yêu thích toán muốn thi vào lớp 10 trường chuyên - Nội dung xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 trường chuyên nước năm qua - Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm thầy tiếng có nhiều năm kinh nghiệm việc ôn luyện học sinh giỏi - Hệ thống giảng biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luyện thi khoa học, hợp lý mang lại kết tốt - Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên - Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn - Mỗi lớp từ đến 10 em để hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học mức cao - Đặc biệt, em hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên HỌC247  https://www.facebook.com/ OnThiLop10ChuyenToan Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | ... thi vào lớp 10 Chuyên Toán CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM 2017 TRÊN HỌC247 - Chương trình luyện thi xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, em yêu thích toán muốn thi vào lớp 10 trường... Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Câu 10: Theo giả thi t: (a 1)2  (b  2)2   a2 ... với x  0; y  thì:  Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Do đó, trường hợp (2) không