Hình học 12 - Hệ tọa độ trong không gian

Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox Oy Oz , , vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O.. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian..[r]

ÔN TẬP

BÀI TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A LÝ THUYẾT

1 Hệ trục tọa độ không gian

Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox Oy Oz, , vng góc với đôi chung điểm gốc O Gọi i j k, ,

  

vectơ đơn vị, tương ứng trục Ox Oy Oz, , Hệ ba trục gọi hệ trục tọa độ vng góc không gian

Chú ý:

2 2

1

i j k 

  

i j i k  k j 0    

2 Tọa độ vectơ

a) Định nghĩa: u x y z; ;  u xi y j zk 

    

b) Tính chất: Cho a( ; ; ),a a a1 b( ; ; ),b b b1 k

 



 a b (a1b a1; 2b a2; 3b3)

 

 ka (ka ka ka1; 2; 3)





1

2

3

a b

a b a b

a b

  

   

 



 

 (0;0;0), i (1;0;0), j (0;1;0),k (0;0;1) 

  

 a



phương b b ( 0)   

 a kb k (  )

 



1

3

1

2 2

1

3

, ( , , 0)

a kb

a

a a

a kb b b b

b b b

a kb

  

      

 



 a b a b  1 a b2 2a b3

 

 a b  a b a b1 1 2a b3 0

 

 a2 a12a22a32



 a  a12a22a22





1 2 3

2 2 2

1 3

cos( , )

a b a b a b a b

a b

a b a a a b b b

 

 

   

   

 

(với a b ,   

) 3 Tọa độ điểm

a) Định nghĩa:M x y z( ; ; ) OM x i y j z k  

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

(x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ) Chú ý:  MOxy  z0;MOyz  x0;MOxz  y0

 M Ox  y z 0;M Oy  x z 0;M Oz  x y 0. b) Tính chất: Cho A x( ;A y zA; A), B x( ;B y zB; B)

 AB(xB  x yA; B y zA; B zA)





2 2

( B A) ( B A) ( B A)

AB  x  x  y  y  z  z

 Toạ độ trung điểm Mcủa đoạn thẳng AB: ; ;

A B A B A B

x x y y z z

M    

 

 Toạ độ trọng tâm Gcủa tam giác ABC:

; ;

3 3

A B C A B C A B C

x x x y y y z z z

G       

 Toạ độ trọng tâmGcủa tứ diện ABCD:

; ;

4 4

A B C D A B C D A B C C

x x x x y y y y z z z z

G          

 

B.BÀI TẬP

Dạng 1: Tìm tọa độ điểm, véc tơ liên quan đến hệ trục tọa độ Oxyz

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véc tơ a a a a 1; ;2 3 ,b b b b1; ;2 3

 

Chọn khẳng định sai.

A k a ka ka ka1; 2; 3



B a b a1b a1; 2b a2; 3b3

 

C a b a b a b  1 2a b3

 

D

2 2 2 2

1

a  a a a



Câu 2: Trong không gian tọa độ Oxyz với i j k, ,

  

véctơ đơn vị trục Ox Oy Oz, , Biểu thức i j k j i k  

   

nhận giá trị sau đây?

A 2 B 3 C 0 D 1 Câu 3: Câu sau sai?

A

1

3 3;1;

2

a i j k  a   

 

    

B

1

5 ;0;

2

a i j a   

 

   

. C a2i 3j a2; 3;0 

   

D

2

3 3; ;1

5

a j k  i a   

 

    

Câu 4: Trong khơng gian Oxyz, tìm toạ độ véctơ u i 2j k

   

A u 1;2 1 



B u   1;2;1



C u 2;1; 1 



D u   1;1;2



Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véc tơ u   1;3; 2 



v 2;5; 1 



Tìm tọa độ véc tơ a2u 3v

A

 8;9; 

a   

B a    8; 9;1 



C a 8; 9;   



D a     8; 9; 



Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho OA2i 3j7k

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

Tìm tọa độ điểm A A A   2; 3;7 B A2; 3; 7   C A2;3;7 D A2; 3;7 

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 1; -2) B(2; 2; 1) Véc tơ AB có tọa độ

A (-1; -1; -3) B (3; 1; 1) C(1; 1; 3) D (3; 3; -1)

Câu 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho A1;2;0 ; B3; 1;1  C1;1;1 Tính tọa độ trọng tâm G tam giác ABC

A

5 2 ; ; 3 G  

 . B

5 2 ; ; 3 G  

 . C

5 2 ; ; 3 G   

 . D

5 2

; ;

3 3

G    

 .

Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A2;1;2 , B6; 3;    Tìm tọa độ trung điểm E đoạn thẳng AB

A

2; 1;0  E 

B E2;1;0  C E  2;1;0  D E4; 2;    Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có ba đỉnh A2;1; 3 , B4; 2;1 ,

3;0;5 C

A P 0 B P 3 C P 5 D P 4

Câu 11: Hai điểm M M ' phân biệt đối xứng qua mặt phẳng Oxy Phát biểu sau đúng?

A Hai điểm M M'có tung độ cao độ B Hai điểm M M'có hồnh độ cao độ C Hai điểm M M'có hồnh độ đối

D Hai điểm M M'có hồnh độ tung độ

Câu 12: Trong không gian Oxyz, cho điểm M1;2;3 Tìm tọa độ hình chiếu M lên trục Ox A

2;0;0 

B 1;0;0  C 3;0;0  D 0;2;3 

Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M1;2;3 Tìm tọa độ điểm N đối xứng với điểm M qua mặt phẳng

Oxy

A N    1; 2; 3 B N1; 2;0 C N   1; 2;3 D N1; 2; 3  Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M2; 1; 3   Tìm tọa độ điểm M  đối xứng với M qua trục Oy

A M     2; 1; 3 B M    2; 1;3 C M 2; 1;3  D M 2;1; 3  Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A1; 3;2 , B0;1; 1 , G2; 1;1  Tìm tọa độ điểm

C cho tam giác ABC nhận G trọng tâm.

A

2 1; 1;

3 C  

 . B C3; 3;2 . C C5; 1; 2  . D C1;1;0 .

Câu 16: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm I5;0;5 trung điểm đoạn MN, biết M1; 4;7  Tìm tọa độ điểm N

A N10; 4;3 B N2; 2;6  C N11; 4;3  D N11;4;3 Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M0;1; , N7;3; , P   5; 3; 2 Tìm tọa độ điểm Q thỏa mãn MN QP

                           

A Q12;5; 2 B Q  12;5; 2 C Q  12; 5; 2  D Q   2; 1; 2 Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình bình hành MNPQ có M2;0;0, N0; 3;0 ,

0;0; 4

P  Tìm tọa độ điểm Q.

A

 2; 3;  Q   

B Q2;3;   C Q   2; 3;4  D Q4;4;2  Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A2; 2;1 Tính độ dài đoạn thẳng OA

A OA  B OA 5 C OA 3 D OA 9

Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1; 3;1 , (3;0; 2)  B  Tính độ dài đoạn thẳng AB

A 26 B 22 C 26 D 22

Câu Chọn D

 2

2

2 2 2

1 3

a  a a a a a a

Câu Chọn C.

Vì ba véctơ i j k, ,   

đơi vng góc nên: i j 0; j k 0; i k0

     

Do biểu thức

i j k j i k       Câu Chọn B.

1

5 ;0;

2

a i j a  

 

   

.

Câu 4, Chọn A.

Ta có i 1;0;0



, j 0;1;0



, k 0;0;1



Nên u i 2j k 1;2; 1 

   

Câu Chọn D.

 

2u   2;6; ; 3v  6;15; 3   a8; 9;     a2u v

Câu Chọn D.

Do a xi y j zk    ax y z; ;  OA2; 3;7   A2; 3;7 

    

 

Câu Chọn C

(Lấy tọa độ điểm B trừ tọa độ điểm A)

Câu Chọn A.

Tọa độ trọng tâm

1 1 1

; ;

3 3

G       

  hay

5 2 ; ; 3 G  

 

Câu Chọn A.

Gọi E x y z , ,  trung điểm AB.Ta có:

   

 

2

2

1

1 2; 1;

2

2

0

2

A B

A B

A B

x x x

y y

y E

z z z

  



  

 

  



    

 

   

  

 

Câu 10 Chọn B

 ; ;  G a b c

trọng tâm tam giác ABC nên

2 3

1 3

1

a b c

  

 

 

  

 

 

   

 

 

Vậy P a b c 3.

Câu 11 Chọn D. Câu 12 Chọn B

Hình chiếu điểm A x y z 0; ;0 0 lên trục Ox A x( ;0;0)0 .

Vậy hình chiếu M1;2;3 lên trục ox M 1;0;0 Câu 13: Chọn D.

 

1

2 1;2;

3

x x x

y y y N

z z z

                  

Câu 14: Chọn B

Gọi  mặt phẳng qua M vng góc với Oy,

M hình chiếu M lên Oy, ta có:

 

1

:y 0;M 0; ;1

   

M  đối xứng với M qua trục Oy  M1 trung điểm MM  M   2; 1;3 

Câu 15: Chọn C

Ta có

3 3

A B C G

A B C G

A B C G

x x x x

y y y y

z z z z

                 

1 3.2

3

2 3.1

C C C x y z                  C C C x y z        

 C5; 1; 2 

Câu 16: Chọn D 5;0;5

I

trung điểm đoạn MN nên ta có

2 2                M N I M N I M N I x x x y y y z z z 2            

N I M

N I M

N I M

x x x

y y y

z z z

   

2

2.0 2.5               N N N x y z 11          N N N x y

z Suy N11; 4;3 . Câu 17: Chọn C

Ta có:

7 12

2

0 2

N M P Q Q Q

N M P Q Q Q

N M P Q Q Q

x x x x x x

MN QP y y y y y y

z z z z z z

                                                                

nên ta chọn C. Câu 18: Chọn B

Ta có:

 2; 3;0 , MN   



 Q; Q; Q

QP  x  y   z

Tứ giác MNPQ hình bình hành

MN QP   Q Q Q x y z            Q Q Q x y z        

 Vậy Q2;3;  

Câu 19: Chọn C OA  222212 3

Câu 20: Chọn D AB  (3 1) 2(0 ( 3))  2  ( 1)2  22 Dạng 2: Bài tốn tích vơ hướng, góc ứng dụng

Câu Trong không gian Oxyz, cho   1;3;2



u

,   3; 1;2 



v

u v 

A 10 B 2 C 3 D 4

A 1350 B 450 C 600 D 1200

Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,cho A  2;1; 1 , B2;0;1 , C1; 3;2  Giá trị tích vơ hướng               AB AC bằng

A 22 B 14 C 10 D 22

Câu Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba vectơ a3;0;1 , 1; 1; , 2;1; 1 b    c  

  

Tính T a b c  

  

A T 3. B T 6. C T 0. D T 9.

Câu Cho vectơ a1;m; , b  2;1;3

 

ab khi:

A m1. B m 1 . C m 2 . D m2.

Câu Tính góc hai vecto a = (–2; –1; 2) b = (0; 1; –1)

A 60° B 120° C 45°. D 135°. Lời giải

Câu Chọn D

 3 4   

u v .

Câu Chọn A Ta có:

0;1;0 , 1; 1; 0

BA BC 

uur uuur

· ¶ ,  0.1 1  0.0

0 1

cos ABC cos BA BC     

   

uuur

· 1350

ABC

 

Câu Chọn.D.

 

 

4; 1;

22

3; 4;3 AB

AB AC AC

  



 



 

 



  

Câu Chọn B

Câu Chọn B Câu Chọn D

BÀI 2: MẶT CẦU

Dạng 1: Xác định tâm bán kính mặt cầu – Điều kiện để ( )S mặt cầu Phương pháp giải:

● Xét phương trình        

2 2

:      

S x a y b z c R .

Khi mặt cầu có tâm I a b c ; ; , bán kính R

● Xét phương trình ( ) :S x2y2z2 2ax 2by 2cz d 0

Khi mặt cầu có

 

2 2

tâm ; ;

bán kính 

 

   

 

I a b c

R a b c d .

 S

phương trình mặt cầu  a2b2c2 d 0.

● Đặc biệt:  S : x2 y2z2 R2, suy  S có

 

tâm 0;0;0 bán kính 

   

O

R .

Ví dụ 1: (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu   S : x12y 22z12 9

A I1;2;1 R3 B I1; 2; 1   R3 C I1;2;1 R9 D I1; 2; 1   R9

Lời giải: Chọn A

Dựa vào phương trình mặt cầu        

2 2

: 1    1 9

S x y z , ta có tâm I( 1; 2;1) và

9

 

R

Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S có phương trình

2 2 2 4 6 2 0

      

x y z x y z Tính tọa độ tâm I bán kính R  S .

A Tâm I1;2; 3  bán kính R4. B Tâm I1; 2;3 và bán kính R4. C Tâm I1; 2;3 bán kính R4. D Tâm I1; 2;3 và bán kính R16.

Lời giải: Chọn A

Dựa vào phương trình mặt cầu ( ) :S x2y2z22x 4y6z 0 ,ta có:

 

2 2

tâm 1; 2;

bán kính ( 1) ( 3) ( 2) 16

  

 

        

 

I R BÀI TẬP:

Câu 1. Mặt cầu      

2 2

: 1  2  9

S x y z có tâm I là:

A

1; 2;0   I

B I1; 2;0  C I1; 2;0  D I1; 2;0   Câu 2. Mặt cầu  S x: 2y2z2 8x2y 1 có tâm Ilà:

A

8; 2;0   I

B I4;1;0  C I8;2;0  D I4; 1;0   Câu 3. Mặt cầu  S x: 2y2z2 4x 1 có tọa độ tâm I bán kính R là:

A

2;0;0 ,  

I R B I2;0;0 ,  R3

C

0; 2;0 ,  

I R D I2;0;0 ,  R

Câu 4. Đường kính mặt cầu    

2

2

:   1 4

S x y z

bằng:

A 4. B 2. C 8. D 16.

Câu 5. Tìm độ dài đường kính mặt cầu  S có phương trình x2y2z2 2y4z 2

A 2 3.B 2. C 1. D

Câu 6. Mặt cầu  S x: 2y2z2 4x 1 0 có tọa độ tâm bán kính R là: A

2;0;0 ,  

I R B I2;0;0 ,  R3

C I0; 2;0 ,  R D I2;0;0 ,  R Đáp án: 1A, 2D, 3A, 4A, 5A, 6A

Dạng 2: Phương trình mặt cầu bản Phương pháp giải

Bước 1: Dạng phương trình mặt cầu (S) có tâm I a b c ; ;  bán kínhR  2  2  2

( ) : S x a  y b  z c R Bước 2: Xác định tâm I a b c ; ; 

Bước 3: Xác định bán kính R (S). Bước 4: Thế vào phương trình (S)

A    

2 2

( ) : S x1  y z 16 B ( ) : S x12y 22z2 4 C.

 2  2 ( ) : S x1  y z 16

D    

2 2

( ) : S x  y z 4 Lời giải: Chọn A

Dạng phương trình mặt cầu

 2  2  2

( ) :S x a  y b  z c R Tâm A suy a = -1, b = 2, c = R =

Thế vào phương trình

 2  2

( ) :S x1  y z 16

Ví dụ 2: Trong khơng gian Oxyz cho A ( 2;1;0),B(2; 1; 2) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm B qua điểm A

A.

 2  2

( ) : S x  y1 (z 2)  24 B ( ) : S x 22y12(z 2)2 24

C.

 2  2

( ) : S x2  y1 z 24 D ( ) : S x 22y12(z 2)2 24 Lời giải: Chọn B

Dạng phương trình mặt cầu

 2  2  2

( ) : S x a  y b  z c R Tâm B(2;-1;2)

Bán kính RAB  24

uuur

, với AB(4; 2;2) uuur

Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz choA ( 2;1;0),B(2; 1; 2) Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB:

A ( ) : xS 2y2(z1)2 24 B ( ) : xS 2y2(z1)2  C

2 2

( ) : xS y (z 1) 6 D ( ) : xS 2y2(z1)2  24 Lời giải: Chọn C

Tâm I trung điểm AB,I(0;0;1)

Bán kính

24

2

AB

R   

với AB(4; 2;2) uuur

2 2

( ) : xS y (z1) 6

BÀI TẬP

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Mặt cầu tâm I(1;3; 2), bán kính R 4 có phương trình A (x1)2(y 3)2(x 2)2 4 B (x1) ( y 3) ( x 2) 16

C (x1)2(y 3)2(x 2)2 16 D (x1)2(y 3)2(x 2)2 8.)

Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I1; 2;3 , bán kính R 2 có phương trình là:

A

x12y 22z 32 2

B      

2 2

1

x  y  z 

C

x12 y22 z32 4

D      

2 2

1

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu  S có tâm I1; 2;0 , bán kính R 5 Phương trình mặt cầu  S là:

A      

2 2

: 25

S x  y z 

. B      

2 2

:

S x  y z  . C      

2 2

: 25

S x  y z 

. D      

2 2

:

S x  y z  .

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu  S có tâm I1; 2; 3  qua A1;0; 

A

x12y 22z32  53

B      

2 2

1 53

x  y  z 

C      

2 2

1 53

x  y  z 

D      

2 2

1 53

x  y  z 

Câu 5: Mặt cầu tâm I1; 2;3 có bán kính AB với A4; 3;7  B2;1;3 có phương trình

A      

2 2

1 36

x  y  z 

B      

2 2

1

x  y  z 

C      

2 2

1

x  y  z 

D      

2 2

1 36

x  y  z  Câu 6: Viết phương trình mặt cầu đường kính AB biết A2;3; 1 , B0; 1;1 

A    

2 2

1 24

x  y z  . B x 22 y 32z12 6.

C    

2 2

1

x  y z 

D      

2 2

1

x  y  z  Câu 7: Mặt cầu (S) có tâmI(1; 2; 3) qua A(1;0; 4) có phương trình:

A (x 1) 2(y 2) 2(z 3) 53 B (x 1) 2(y 2) 2(z 3) 53 C (x 1) 2(y 2) 2(z 3) 53 D (x 1) 2(y 2) 2(z 3) 53 Đáp án: 1B, 2D, 3C, 4B, 5A, 6C, 7D

BÀI 3: NGUYÊN HÀM

TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH SỬ DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN A.KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Định nghĩa nguyên hàm

2 Một số tính chất nguyên hàm 3 Một số nguyên hàm bản

Nguyên hàm hàm số bản Nguyên hàm mở rộng a x ax C.d   , a

2

d ,

1

x

x x C

 

 



  





1

1 ( )

( ) d

1

ax b

ax b x C

a

 







  





3 d

ln , x

x

x C

x   

 ax bdx 1a.lnax b C 





4 d

2 , x

x

x C

x   



5

2

d

, x

x

C x  x 



6

1

d

( 1)

x

C x   x 





d 1

( ) ( 1)( )

x

C ax b   a  ax b  

  

7 xd x

e x e C

 eax bdx 1.eax b C

a

 

 



8

d ln

x

x a

a x C

a

 

 d ln

x

x a

a x C

a

 

 



 

 



9 cos dx xsinx C

cos(ax b x)d sin(ax b) C a

   



10 sin dx x cosx C

sin(ax b x)d cos(ax b) C a

   



11

2

1

d tan

cos x x x C



1

d tan( )

cos (ax b ) xa ax b C



12

2

1

d cot

sin x x x C



1

d cot( )

sin (ax b ) x a ax b C



4 Công thức tính vi phân hàm số

Định nghĩa: Vi phân hàm số y f x  biểu thức f x  dx Ký hiệu dy hay d f x  vi phân f x 

 

d y f x .dx hay df x  f x .dx

Các vi phân bản:

1)    

1

1

d u u du





 

2) d sin  u  cos du u 3) d cos u sin du u 4) tan  cos2

du d

u u 

5) cot  sin2 du

d u

u

 

6) d  d

u u

e e u 7) d ln( )

du u



8) duv dudv 9) d u C  du với C số

Các phép biến đổi vi phân bản:

1)

1

1

u u du d 





 

  



  2) cos du ud sin u 3) sin du udcosu

4) cos2 (tan )

du

d u

u  5) ( )

sin

du

d cotu

u   6) e uu.d d  eu

7) (ln | |)

du

d u

u 

 Chú ý: Trên phép biến đổi quan trọng, giúp cho việc tính nguyên hàm trở nên ngắn gọn, tiết kiệm thời gian trình bày.

1 BÀI TẬP

Dạng Tìm nguyên hàm công thức nguyên hàm mở rộng (không có đk). Câu 1: Nguyên hàm hàm số  

3

f x x x

A

4

1

4x 2x C B x4 x2 C

  C x3 x C D 3x2 1 C

Câu 2: (02 – 101 – THPTQG 2017)Tìm nguyên hàm hàm số f x  cos 3x

Câu 3: (02 – 102 – THPTQG 2017) Tìm nguyên hàm hàm số  

5

f x x

Câu 4: (08 – 103 – THPTQG 2017) Tìm nguyên hàm hàm số f x  2sinx

Câu 5: Tính nguyên hàm  

2

3 d

J x  x x

Câu 6: Tìm nguyên hàm F x  hàm số    

4

2

0

x

f x x

x



 

là:

Câu 7: Tìm nguyên hàm F x  hàm số  

2

1 f x   x x

Câu 8: Tìm nguyên hàm F x  hàm số  

 

 

3

1

0

x

f x x

x



 

Câu 9: (09 – 104 THPTQG 2017) Tìm nguyên hàm hàm số   x

f x  Câu 10:Tìm nguyên hàm hàm số  

2 3

f x x x

x

  

Câu 11:Tìm họ nguyên hàm hàm số  

2

2

f x x  x

Câu 12:Tìm guyên hàm hàm số  

1

f x

x x

 

Câu 13: Tìm guyên hàm hàm số  

f x x

x

 

Câu 14:Tìm nguyên hàm hàm số  

3 3 2 1

f x x  x  x

Câu 15:Tính nguyên hàm

1 d

J x x

x

 

   

 



Câu 16:Tính sin(3x1)dx

Câu 17:Tính (cos 6x cos )x dx

Câu 18:Tìm nguyên hàm ( ) sin 2f x  x

Câu 19:Tìm nguyên hàm hàm số

 

 

2

cos

2

f x

x





Câu 20:Tìm nguyên hàm hàm số  

2x x

f x e  e

Câu 21:Tìm nguyên hàm  

3x

f x e 

 Câu 22:Tính 2 

x x

J   dx

Câu 23:Tìm nguyên hàm f x excosx

Câu 24:Tìm nguyên hàm hàm số

x x

e y 

Câu 25:Tìm nguyên hàm F x  hàm số

   

2

1

0

x

f x x

x

  

  

  .

Hướng dẫn giải. Câu : Ta có:  

 

sin sin

cos d cos3 d

3

ax b x

ax b x C x x C

a



     

  .

Câu : Ta có:

d d

ln ln

5

x x

ax b C x C

ax b a    x   

  .

Câu 5:  

3

2 3 1 d

3

x x

J x  x x   x C

Câu 6:

4

2

2

2 3

d d

3

x x

I x x x C

x x x

  

       

 

 

Câu 7:  

2

2

1 d

2

x x

x x x x C

     

 .

Câu 8:

 3

3 3

1 3 3

d d d 3ln

2

x x x x

x x x x x C

x x x x x x x

     

           

 

  

Câu 9: Ta có:

7

d d

ln ln

x x

x a x

a x C x C

a

    

  .

Câu 10:  

3

2 3 ln

3

x x

f x dx x x dx x C

x

 

        

 

 

Câu 11:    

2

d d

3

f x x x  x x x  x  x C

  .

Câu 12:  

1 1

d d ln

f x x x x C

x x x

 

      

 

 

Câu 13:  

2

3

d d

f x x x x x C

x x

 

      

 

 

Câu 14:    

3 3 2 1

4

f x dx x  x  x dx x x  x x

  .

Câu 15:

2

1

d ln

2

J x x x x C

x

 

      

 



Câu 16 :

1

sin(3 1) cos(3 1)

3

x dx x C

 .

Câu 17 :

1

(cos cos ) sin sin

6

x x dx x x C

 .

Câu 18:

1

sin sin (2 ) cos

2

xdx xd x  x C

  .

Câu 19: Ta có:    

 

2

1

tan

cos 2 cos

1

(2 1)

1

d x

x x x d x   C

 

Câu 20:  

2

2 x

x x e x

e  e dx  e C

 .

Câu 21: Áp dụng công thức

3 3

1

3

ax b ax b x x

e dx e C e dx e C

a

   

    

  .

Câu 22:  

2

2

ln ln

x x

x x dx C

   

 .

Câu 23:  cos  sin

x x

e  x dx e  x C

Câu 24:  

2

2 ln ln 2

2

x x

x x

x x

e

e e e

dx dx C C

e

 

 

   

      



 

 

Câu 25:

   

2 2

2

2 2

2

1 1

f x xd x dx x dx x dx x x dx

x x x



      

             

   

 

    

3

1

2

3

x x

x x C x C

x



       

Dạng Tìm nguyên hàm thoả mãn có điều kiện cho trước.

Câu 1: (13 – 103 – THPTQG 2017) Cho F x  nguyên hàm hàm số   x

f x e  x

thỏa

mãn  

3

2

F 

Tìm F x 

Hướng dẫn giải.  d  x 2 d x

f x x e  x x e x C

  .

 0 02  

2 2

x

F e  C  C  F x e x 

Câu 2: (27 – 101 – THPTQG 2017) Cho hàm số f x  thỏa mãn f x  3 5sinx f  0 10 Tìm

  f x

Hướng dẫn giải.

Ta có: f x  f x x d 3 5sin x xd 3x5cosx C  0 3.0 5cos 10

f   C  C

Câu :Tìm nguyên hàm F x  hàm số f x 4x3 3x22.thỏa mãn điều kiện F  1 3 Hướng dẫn giải.

Ta có:    

3

4 2

F x  x  x  dx x  x  x C

Lại có        

4

1 1 3

F         C  C

Vậy  

4 2 3

F x x  x  x

Câu 4: Tìm hàm số f x  biết f x  2x1 f  1 5

Hướng dẫn giải.

   

 

 

   

2

2

2 d

5

1 1

1

f x x x f x x x C

f x x x

f f

      

 

    

 

  

 

 





Câu : Cho  

2

3

f x  x  x

có nguyên hàm F x  thỏa F 1 0 Tìm F x  Hướng dẫn giải.

Ta có:    

2

3 3

F x  x  x dx x x  x C

Lại có  

3

1 1 3.1

F     C  C

Vậy  

3 3 1

F x x x  x

Câu : F x  nguyên hàm hàm số    

2

0

x

f x x

x



 

, biết F 1 1 Tìm F x 

 

2

2 3

d d 2ln

4

x

x x F x x C

x x x

  

       

 

 

 1   2ln

4

F   C  F x  x  

Câu 7: Biết F x  nguyên hàm hàm số  

2x

f x e

F 0 0 Giá trị Fln 3bằng Hướng dẫn giải.

 

2 d

2

x x

e x F x  e C



   

2.0

1 1

0 0 (ln 3)

2 2

x

F   e C  C  F x  e   F 