Nghiên cứu mô hình Slow

Nghiên cứu mô hình Slow.

Mục lục1 Tổng quan về lý thuyết ổn định 41.1 Phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.1 Công thức Cauchy về nghiệm của hệ phương trình tuyến tính 51.1.2 Khái niệm ổn định hệ phương trình vi phân . . . . . . . . 51.2 Phương pháp nghiên cứu tính ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.1 Phương pháp thứ nhất Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2 Phương pháp thứ hai Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Phương trình sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Nghiên cứu mô hình tăng trưởng Solow theo hướng định tính 132.1 Mô hình Solow cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Mô hình Solow với hàm tăng trưởng Gompertz’s . . . . . . . . . 182.2.1 Mô hình Solow với luật dân số Gompertz’s, chưa tính đếntiến bộ công nghệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.2 Mô hình Solow với luật dân số Gompertz’s, có tính đến tiếnbộ công nghệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3 Mô hình Solow với hàm tăng trưởng dân số Richards, có tính đếntiến bộ công nghệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4 Mô hình Solow với thời gian rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.4.1 Mô hình Solow rời rạc với luật tăng trưởng dân số Malthus 392.4.2 Mô hình Solow rời rạc với luật tăng trưởng dân số Richards. 40Kết luận 49i Bảng ký hiệuK := K(t) Lượng vốn của quốc gia được xem xét tại thời điểm tL := L(t) Lượng lao động tại thời điểm tI := I(t) Lượng đầu tư tại thời điểm tG := G(t) Đại lượng đặc trưng cho sự tiến bộ về năng lực sản xuất của mỗi laođộngY := Y (t) Sản lượng của quá trình sản xuất tại thời điểm tδ : Chỉ số sụt giảm vốnn : Tốc độ tăng trưởng dân sốg : Tốc độ của tiến bộ công nghệk : Tỷ số vốn trên lao độngs : Chỉ số tích lũyt : Biến thời giany : Tỷ số đầu ra trên lao động.1 Mở đầuLý thuyết ổn định nghiệm các phương trình vi phân được đặt nền móng bởi A.Lyapunov, một nhà toán học người Nga vào cuối thế kỷ 19. Lý thuyết này pháttriển mạnh kể từ đó và ngày càng được ứng dụng nhiều để phân tích các quátrình thực tiễn.Lý thuyết ổn định quan tâm đến dáng điệu một bộ phận hoặc toàn bộ tậpnghiệm trên nửa trục thời gian [0; +∞) và nhất là khi thời gian dần về vô cùng.Lyapunov cũng giới thiệu hai phương pháp chính để nghiên cứu tính ổn định.Phương pháp thứ nhất dựa vào tập phổ của ma trận hay của toán tử tuyến tính.Phương pháp thứ hai dựa vào một loại hàm bổ trợ, thường được gọi là hàmLyapunov. Bản luận văn sử dụng các kiến thức cơ bản của lý thuyết ổn định đểphân tích định tính và giải thích động lực của một mô hình tăng trưởng kinh tếrất nổi tiếng là mô hình Solow.Mô hình này nghiên cứu quy luật tăng trưởng của một số yếu tố chính của mỗinền kinh tế như tỷ số vốn trên lao động, tỷ số đầu ra của nền sản xuất trên laođộng và bản thân lực lượng lao động.Luận văn được chia làm hai chương:Chương 1: Trình bày kiến thức tổng quan, cơ bản nhất về phương trình vi phânvà lý thuyết ổn định.Chương 2: Trình bày kết quả nghiên cứu độc lập của chúng tôi về định tính môhình Solow.Bằng cách thay thế luật tăng trưởng dân số dạng mũ trong mô hình cổ điểnbằng các luật tăng trưởng "tân thời" hơn, chúng tôi nhận được kết quả về tínhổn định, ổn định tiệm cận, hút toàn cục, . của mô hình Solow tương ứng. Chúngtôi cũng dành đôi lời để so sánh những điểm giống nhau và khác nhau giữa mô2 Mở đầu 3hình nguyên thủy với mô hình được "cải tiến".Do kiến thức chưa sâu, kinh nghiệm nghiên cứu còn ít nên bản luận vănkhông tránh khỏi nhiều thiếu sót. Kính mong các thầy và các đồng nghiệp chỉbảo và lượng thứ.Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Sinh Bảy. Nhândịp này em xin cảm ơn thầy đã dành nhiều công sức, thời gian để hướng dẫn,kiểm tra và giúp đỡ em trong việc nắm bắt các kiến thức chuyên ngành và trongviệc định hình hoàn thiện bản luận văn. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắcđến lãnh đạo và các thầy cô trong Khoa Toán-Cơ-Tin học, phòng Sau Đại Học,trường ĐHKHTN, ĐHQGHN về kiến thức và những điều tốt đẹp mang lại choem trong thời gian học tập tại trường. Xin chân thành cảm ơn các thầy cô, cácbạn trong Xemina của tổ Giải tích, ĐHKHTN. Cảm ơn các bạn trong tập thể lớpCao học giải tích, cảm ơn gia đình, người thân về những lời động viên, những cửchỉ khích lệ, những sự giúp đỡ chân thành.Hà Nội tháng 11 năm 2010Trần Thị Phương Thảo Chương 1Tổng quan về lý thuyếtổn định1.1 Phương trình vi phânXét phương trình vi phân˙x = f(t, x) (1.1)trong đó f : R+× D −→ X : (t; x) −→ f(t; x)R+= [0; +∞); D ⊆ X là một miền đơn liên của không gian Banach X.Trong luận văn ta chỉ xét với X = Rn.Với một điểm cho trước (t0; x0) ∈ G := R+× D, ký hiệu x(t; t0; x0) dùng để chỉnghiệm của phương trình (1.1), thỏa mãn điều kiện ban đầu (t0; x0) theo nghĩax(t0; t0; x0) = x0.Trong trường hợp X = Rnphương trình (1.1) thường được viết một cách chi tiếtnhư sau:dx1dt= f1(t, x1, x2, ., xn),dx2dt= f2(t, x1, x2, ., xn),. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,dxndt= fn(t, x1, x2, ., xn).4 Chương 1. Tổng quan về lý thuyết ổn định 5Nếu lấy chuẩn trong Rnlà x := maxi|xi| thì miền mở D có thể thấy là phầntrong của "hình hộp" n-chiều, chẳng hạn:D = {x1− x01< b;x2− x02< b, .,xn− x0n< b }, (b > 0).Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm:Định lý 1.1. Giả sử với hệ (1.1):(i) Hàm f liên tục theo (t, x) trên miền G = R+× D, D mở trong X.(ii) Hàm f lipschitz theo biến x, (x ∈ D).Khi đó, với mỗi điểm ban đầu cho trước (t0; x0) ∈ G đều tồn tại duy nhất mộtnghiệm của phương trình (1.1), thỏa mãn điều kiện ban đầu đã cho. Trong trườnghợp đó, có thể kéo dài nghiệm theo trục t đến vô cùng.1.1.1 Công thức Cauchy về nghiệm của hệ phươngtrình tuyến tínhHệ phương trình có dạng sau được gọi là một hệ phương trình dạng tuyến tính˙x = A(t)x + f (t) (1.2)Nếu A(t) là giới nội trên R+thì nghiệm của hệ (1.2) qua (t0; x0), được cho bởi:x(t) = U(t, t0)x0+tt0U(t, s)f(s)ds,trong đó U(t, s) là ma trận cỡ n × n, gọi là ma trận cơ bản của hệ, thỏa mãn:ddtU(t, s) = A(t)U(t, s), ∀t ≥ s,U(t; t) = I, ∀t ≥ 0.1.1.2 Khái niệm ổn định hệ phương trình vi phânTa luôn giả thiết hàm f trong phương trình (1.1):˙x = f(t, x) Chương 1. Tổng quan về lý thuyết ổn định 6là đủ tốt để điều kiện tồn tại, duy nhất và kéo dài nghiệm được thỏa mãn.Định nghĩa 1.1. Giả sử x = x∗(t) là một nghiệm của hệ (1.1).• Nói nghiệm này ổn định nếu: ∀t0≥ 0, ∀ > 0, ∃δ = δ(, t0) sao cho mọi nghiệmx(t) của hệ (1.1), xuất phát từ (t0; x(t0)) thỏa mãn:x(t0) − x∗(t0) < δ thìcũng thỏa mãn x(t) − x∗(t) < , ∀t ≥ t0.• Nếu x = x∗(t) ổn định và có thêm tính hút, nghĩa là tồn tại δ1> 0, sao cho:x(t0) − x∗(t0) < δ1⇒ x(t) − x∗(t) → 0 khi t → ∞thì nghiệm nói trên (và bản thân hệ) được gọi là ổn định tiệm cận.• Nếu δ, δ1có thể chọn không phụ thuộc vào t0thì các nghĩa ổn định trên đượcgọi là ổn định đều.• Nếu tồn tại N > 0, δ > 0 sao cho:x(t) ≤ Ne−δ(t−t0), ∀t ≥ t0.thì ta nói hệ là ổn định mũ.Trong trường hợp nghiệm x = x∗(t) có tính hút tại t = t0thì tập Ωt0:= {x0∈ D :x∗(t) − x(t, t0, x0) → 0 khi t → +∞} được gọi là miền hút của nghiệm này tạithời điểm t0. Khi miền hút không phụ thuộc vào t0, nếu Ω = Rnthì nói nghiệmtrên là hút toàn cục, Ω = D thì nói nghiệm trên là hút toàn cục trên tập D.Để bài toán được đơn giản, ta thường cho thêm giả thiếtf(t, 0) = 0, ∀t ≥ 0.Khi đó nghiệm x = x∗(t) thường lấy là nghiệm tầm thường x = x∗(t) = 0, ∀t ≥ 0.Trong trường hợp x∗(t) không tầm thường thì dùng phép đổi biến z(t) = x(t) −x∗(t) đưa hệ (1.1) về hệ của biến z : ˙z = g(t; z) với tính chất: g(t; 0) = 0.1.2 Phương pháp nghiên cứu tính ổn địnhTa có thể khảo sát tính ổn định bằng phương pháp thứ nhất Lyapunov, phươngpháp thứ hai của Lyapunov, các bất đẳng thức chuyên dụng hoặc khảo sát trựctiếp theo định nghĩa. Chương 1. Tổng quan về lý thuyết ổn định 71.2.1 Phương pháp thứ nhất LyapunovPhương pháp này nghiên cứu tính ổn định của các hệ đơn giản trước sau đó pháttriển kết quả cho các hệ phức tạp hơn. Việc khảo sát tính ổn định được thực hiệnthông qua việc tìm tập phổ của toán tử tuyến tính.Hệ tuyến tính thuần nhất dừngHệ tuyến tính thuần nhất dừng là hệ có dạng˙x = Ax (1.3)A : DA⊂ X −→ X; t ≥ 0, x ∈ X.Tập giải của A:ρ(A) := {λ ∈ C : (λI − A)−1tồn tại và liên tục},trong đó, I là ánh xạ đồng nhất trong X. Phổ của A là tậpσ(A) := C \ ρ(A)Nếu A là ma trận cỡ n × n thìσ(A) = {λ ∈ C : det(A − λI) = 0}.Dễ thấy hệ (1.3) có nghiệm tầm thường x ≡ 0, ∀t ∈ R+.Định lý 1.2. Nếu mọi phần tử của tập phổ σ(A) đều có phần thực âm thì hệ(1.3) là ổn định tiệm cận (hay trạng thái cân bằng tầm thường x ≡ 0 là ổn địnhtiệm cận).Nếu mọi phần tử của phổ σ(A) đều có phần thực không dương và các phần tử cóphần thực bằng 0 là nghiệm đơn thì hệ (1.3) là ổn định.Nếu σ(A) có phần tử với phần thực dương thì hệ không ổn định.Tiêu chuẩn HurwitzKhi A là ma trận hằng cỡ n × n, việc tìm tập phổ σ(A) là khó. Người ta hay sửdụng Định lý Hurwitz, được nhắc lại dưới đây để khảo sát tính ổn định.Giả sử phương trình đặc trưng det(A − λI) = 0 của hệ (1.3) là:f(λ) = a0+ a1λ + a2λ2+ . + an−1λn−1+ anλn. Chương 1. Tổng quan về lý thuyết ổn định 8Ta nói nó có dạng chuẩn khi a0> 0 và an= 0, (n ≥ 1). Khi đó, ta nói đây là mộtđa thức Hurwitz nếu phần thực của mọi giá trị riêng của nó đều âm. Ma trận sauđây được gọi là ma trận Hurwitz:H =a1a00 0 0 . . . 0a3a2a1a00 . . . 0a5a4a3a2a1. . . 0 .a2n−1a2n−2a2n−3a2n−4a2n−5. . . anỞ đây: as= 0 khi s < 0 hoặc s > n.Định lý 1.3. Điều kiện cần và đủ để đa thức f(λ) là đa thức Hurwitz là tất cảcác định thức con chính của ma trận Hurwitz của nó đều dương, tức là∆1= a1> 0.∆2=a1a0a3a2> 0 . . . . . . . . . . . . . . .∆n= an∆n−1> 0.Hệ quả.Nếu phương trình đặc trưng của hệ (1.3) là một đa thức Hurwitz thì hệlà ổn định tiệm cận.Hệ tuyến tính thuần nhất không dừngHệ tuyến tính thuần nhất không dừng:˙x = A(t)x (1.4)Với hệ này ta không còn khái niệm phương trình đặc trưng. Do đó ta xây dựngphổ theo cách khác.Định nghĩa 1.2. Giả sử x = x(t) là một nghiệm của hệ (1.4), ta gọi giới hạnχ[x] = lim supt→+∞1tln x(t)là số mũ Lyapunov (hay số mũ đặc trưng) của nghiệm này. Tập hợp các số mũLyapunov khác ±∞ của tất cả các nghiệm của hệ (1.4) được gọi là tập phổ Chương 1. Tổng quan về lý thuyết ổn định 9Lyapunov của hệ.Định lý 1.4. Nếu A(t) là một ma trận hàm liên tục và bị chặn trên R+A(t) ≤ C, ∀t ≥ 0 (0 < C < ∞)thì mọi nghiệm tầm thường của hệ (1.4) đều có số mũ đặc trưng hữu hạn. Trongtrường hợp này hệ (1.4) có đúng n số mũ đặc trưng (không nhất thiết khác nhau).Định lý 1.5. Hệ (1.4) là ổn định tiệm cận nếu số mũ đặc trưng cực đại âmλmax= max{λi} < 0.trong đó λilà phần tử của tập phổ của A(t).Hệ tuyến tínhHệ tuyến tính có dạng˙x = A(t)x + f (t)Nếu f (t) là một hàm liên tục, giới nội trên R+thì tính ổn định của hệ này đượcsuy trực tiếp từ tính ổn định của hệ (1.4).Hệ tựa tuyến tínhXét hệ tựa tuyến tính sau với f(t; 0) = 0.˙x = A(t)x + f (t, x) (1.5)Giả sử A(t) là ma trận ổn định tiệm cận và tồn tại lân cận đủ nhỏ của điểm gốctọa độ, sao cho với mọi x thuộc lân cận đó, ta có:f(t, x) ≤ α(t) x(t)trong đó α(t) là một hàm dương nào đó trên R+và α(t) → 0 khi t → +∞ thì hệ(1.5) ổn định.Có thể thay điều kiện α(t) → 0 khi t → +∞ bởi điều kiện+∞0α(t)d(t) ≤ c < +∞.Hệ phi tuyếnXét hệ dạng phi tuyến˙x = f(t, x) (1.6) [...]... khả năng chịu đựng L∞ của môi trường Để tránh điều hạn chế trên đây nhiều mô hình tăng trưởng dân số khác đã được Chương 2 Nghiên cứu mô hình tăng trưởng Solow theo hướng định tính 19 giới thiệu Vận dụng các luật tăng trưởng này, mô hình tăng trưởng Solow tương ứng sẽ có những tính chất phù hợp hơn trong việc mô tả thực tiễn của các quá trình tăng trưởng kinh tế Các nghiên cứu về tăng trưởng dân số... trình sai phân, các tác giả buộc phải đặt ra một số giả thiết chung chung, không gắn với các mô hình cụ thể Trong [7] Brock và Taylor cải tiến mô hình Solow theo hướng đưa thêm vào yếu tố ô nhiễm môi trường Hướng nghiên cứu này đang được nhiều tác giả quan tâm 2.2 Mô hình Solow với hàm tăng trưởng Gompertz’s Ở mô hình Solow cổ điển, sự tăng trưởng dân số được giả thiết tuân theo dạng mũ của Malthus Như... ưu Các nhà xã hội học, môi trường học thì đưa thêm yếu tố ô nhiễm vào mô hình và hình thành một khuynh hướng riêng gọi là "mô hình Solow xanh" Các nhà toán học thường tìm cách tổng quát hóa mô hình bằng cách giảm nhẹ các điều kiện cơ bản của mô hình, đưa thêm vào các tác động từ bên ngoài hoặc chỉnh sửa các yếu tố cấu thành của mô hình Trong luận văn này chúng ta trình bày một vài chỉnh sửa luật tăng... Đã có nhiều mô hình như thế trong các lĩnh vực khác nhau về Kỹ thuật, Kinh tế, Xã hội, Môi trường, Y tế, Mô hình Solow là một trong số các mô hình như vậy Robert Solow là một nhà toán học, kinh tế học người Mỹ Trên cơ sở quan sát sự phát triển của nền kinh tế vĩ mô của một số quốc gia, đặc biệt là của Hoa kỳ trong khoảng 10 năm sau Chiến tranh thế giới 2, năm 1956 ông đã giới thiệu mô hình kinh tế... trực tiếp hay gián tiếp đến phần nghiên cứu ở chương sau Chương 2 Nghiên cứu mô hình tăng trưởng Solow theo hướng định tính Các mô hình trong thực tiễn được viết dưới dạng các phương trình vi phân hoặc sai phân ngày càng thu hút được nhiều sự chú ý Khác với các bảng thống kê số liệu đơn thuần, các phương trình vi phân hay sai phân là những hệ động lực Chúng thường mô tả các quá trình thực tiễn một... thiết của mô hình còn quá chặt, cần cải tiến để sát với tình hình thực tế, trong mô hình này yếu tố tiến bộ công nghệ chưa được tính đến Điều này cũng cần được thay đổi • Mô hình Solow cổ điển giả thiết rằng tốc độ tăng trưởng dân số là một hằng số dương n > 0 Khi đó hàm tăng trưởng lao động là L(t) = L0 ent Đây là các đường cong có dạng hàm mũ Trong các quá trình với thời gian hữu hạn, mô hình này... = k∗ (2.16.h) = y∗ (2.16.i) Ở đây ta lấy γ = 1 và n > 0 là hằng số Định lý được chứng minh Nhận xét So với mô hình Solow cổ điển, mô hình Solow với hàm tăng trưởng Gompertz’s đã có những đặc điểm mới: • Hàm tăng trưởng L(t) có dạng hàm mũ khi t bé và L(t) → L∞ khi t → +∞ Chương 2 Nghiên cứu mô hình tăng trưởng Solow theo hướng định tính 28 • Tốc độ tăng trưởng: n(t) < 0, ∀t ≥ 0 và n(t) → 0 khi t →... 1, ∀t ≥ 0 (2.19) Định lý 2.2 Mô hình Solow với hàm tăng trưởng Gompertz’s có tính đến tiến bộ công nghệ có tính hút toàn cục: (k(t), y(t)) tiến dần về trạng thái cân bằng (k, y) Hai thành phần của trạng thái cân bằng này tăng so với (k ∗ , y ∗ ) ở mô hình cổ điển một lượng đúng bằng lượng tiến bộ công nghệ Chứng minh Đặt ˙ G(t) (2.20) g(t) = G(t) Chương 2 Nghiên cứu mô hình tăng trưởng Solow theo hướng... quốc gia) là có giới hạn Tóm lại, mỗi mô hình là tốt trong một ngữ cảnh nào đó mà không là hoàn hảo trong một ngữ cảnh khác Luật tăng trưởng dân số Malthus là dễ chấp nhận trong bối cảnh tăng tự nhiên và trong một khoảng thời gian ngắn Nó không còn phù hợp trong môi trường có cạnh tranh, có điều tiết và đặc biệt là trong cả quá trình dài Chương 2 Nghiên cứu mô hình tăng trưởng Solow theo hướng định... sản xuất, tỷ lệ vốn trên lao động, tỷ lệ đầu ra trên lao động và gián tiếp là lượng đầu tư, tiết kiệm, Các tham số quan trọng 13 Chương 2 Nghiên cứu mô hình tăng trưởng Solow theo hướng định tính 14 là chỉ số tích lũy, chỉ số sụt giảm vốn, Mô hình ban đầu được mô tả kèm theo nhiều giả thiết nhằm lý tưởng hóa các đại lượng kinh tế và giảm bớt các mối quan hệ khó xử lý Các điều kiện đó là: • Thời gian . 112 Nghiên cứu mô hình tăng trưởng Solow theo hướng định tính 132.1 Mô hình Solow cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Mô hình. định tính và giải thích động lực của một mô hình tăng trưởng kinh tếrất nổi tiếng là mô hình Solow .Mô hình này nghiên cứu quy luật tăng trưởng của một số yếu