Nghiên cứu về Mô hình Tăng trưởng Kinh tế Solow và các Biến thể

Phương pháp thứ hai Lyapunov

Phương pháp này khảo sát tính ổn định thông qua một hàm bổ trợ gọi là hàm Lyapunov. Các kết quả nhận được chỉ là các điều kiện đủ để hệ ổn định. Nếu hệ(1.6)có hàm Lyapunov thì nó ổn định, có hàm Lyapunov với đạo hàm theo t dọc theo nghiệm là âm thì nó ổn định tiệm cận, có hàm Lyapunov chặt thì nó ổn định tiệm cận đều.

Việc tìm hàm Lyapunov chưa có phương pháp tổng quát và hàm Lyapunov không duy nhất cho mỗi hệ.

Phương trình sai phân

Trên cơ sở quan sát sự phát triển của nền kinh tế vĩ mô của một số quốc gia, đặc biệt là của Hoa kỳ trong khoảng 10 năm sau Chiến tranh thế giới 2, năm 1956 ông đã giới thiệu mô hình kinh tế dưới dạng toán học. Mô hình này nhanh chóng được nhiều người quan tâm và người ta thấy là nó giải thích rất tốt bản chất của sự tăng trưởng kinh tế của các quốc gia trong những điều kiện nhất định. Các biến cơ bản trong mô hình Solow là lượng lao động, lượng vốn, lượng sản phẩm của nền sản xuất, tỷ lệ vốn trên lao động, tỷ lệ đầu ra trên lao động và gián tiếp là lượng đầu tư, tiết kiệm,.

Một số khác tìm kiếm các lợi thế bằng các tương quan giữa các biến hay các tham số, chẳng hạn như tỷ lệ giữa chỉ số tích lũy và sụt giảm vốn, tiêu dùng và tiết kiệm sao cho tối ưu. Các nhà xã hội học, môi trường học thì đưa thêm yếu tố ô nhiễm vào mô hình và hình thành một khuynh hướng riêng gọi là "mô hình Solow xanh". Các nhà toán học thường tìm cách tổng quát hóa mô hình bằng cách giảm nhẹ các điều kiện cơ bản của mô hình, đưa thêm vào các tác động từ bên ngoài hoặc chỉnh sửa các yếu tố cấu thành của mô hình.

Mô hình Solow cổ điển

Từ quan hệ này, từ hàm sản xuất và các ký hiệu trên đây, Robert Solow đi đến mô hình được mô tả bởi hệ phương trình (xem [7]). Nói cách khác, ở trạng thái cân bằng tỷ số vốn trên lao động và tỷ lệ đầu ra trên lao động phụ thuộc dương vào chỉ số tích lũy, phụ thuộc âm vào chỉ số sụt giảm vốn, phụ thuộc âm vào tốc độ tăng trưởng dân số. Từ quan hệ này người ta đi đến nhận định: Các quốc gia giàu có tỷ lệ tích lũy cao hơn, có tỷ lệ tăng trưởng dân số thấp hơn các quốc gia nghèo.

Ta thấy, các giả thiết của mô hình còn quá chặt, cần cải tiến để sát với tình hình thực tế, trong mô hình này yếu tố tiến bộ công nghệ chưa được tính đến. Các cải tiến thường được thực hiện bằng cách lỏng hóa hoặc bỏ bớt một số điều kiện nào đó trong các giả thiết đã nêu hoặc thay thế các luật tăng trưởng dân số cổ điển bằng các luật tăng trưởng tiên tiến, sát thực tế hơn. Do khó khăn khi làm việc với lưới thời gian rời rạc, nhất là việc giải tường một số phương trình sai phân, các tác giả buộc phải đặt ra một số giả thiết chung chung, không gắn với các mô hình cụ thể.

Mô hình Solow với hàm tăng trưởng Gompertz’s

Mô hình Solow với hàm tăng trưởng dân số Richards, có tính đến tiến bộ

Như đã phân tích ở trên, để sự tiến bộ công nghệ là thực sự và không có một yếu tố kinh tế nào dần ra vô cùng ta giả thiết. Hơn nữa, ở trạng thái cân bằng sự gia tăng của tỷ lệ vốn trên lao động cũng như tỷ lệ đầu ra trên lao động đúng bằng lượng gia tăng của tiến bộ công nghệ. Ta thường lưu ý rằng điểm uốn là nơi đường cong thay đổi từ lồi sang lừm hay ngược lại.

Trong lĩnh vực dân số, điểm uốn của đường cong tăng trưởng lại có ý nghĩa thực tiễn rất lớn. Trong các trường hợp ta đang xét, điểm uốn chính là nơi hàm số thay đổi từ tăng trưởng tựa mũ sang tựa hằng. Đó là mốc quan trọng, đánh dấu nơi bắt đầu thoát ly khỏi xu hướng dần về vô cùng của hàm dân số.

Như đã nói, với L0 đủ nhỏ thì tung độ điểm uốn hàm tăng trưởng dân số Gompertz’s luôn là 1. Như vậy, khác với trường hợp hàm tăng trưởng dân số Bertalanfy hoặc Gom- pertz’s, ở đây tung độ của điểm uốn đồ thị hàm tăng trưởng dân số phụ thuộc vào giá trị ban đầu L0 và vào độ lớn tham số δ. Từ (2.20.b)−(2.20.e) ta thấy độ tăng trưởng của các đại lượng tỷ số vốn trên lao động, tỷ số đầu ra trên lao động và bản thân lượng vốn, lượng sản phẩm đầu ra đều tăng lên so với trường hợp trước (chưa tính đến tiến bộ công nghệ) một lượng đúng bằng G(t) (lượng tiến bộ công nghệ).

Song khi cho t→+∞ thì theo chúng tôi, giả thiết này sẽ kéo theo một vài điều không thực tế, chẳng hạn. Điều này cũng là rất tự nhiên vì dù có tiến bộ nhiều đến đâu thì năng lực làm việc trung bình của mỗi lao động cũng chỉ là một lượng giới nội. Tương tự như L∞, A=G∞ là một hằng số dương đủ lớn, biểu thị cận trên của mức độ tiến bộ công nghệ G(t).

Trong trường hợp này, so sánh với mô hình cổ điển ta thấy ở trạng thái cân bằng mặc dù có các bất đẳng thức sau.

Mô hình Solow với thời gian rời rạc