2 Nghiên cứu mô hình tăng trưởng Solow theo hướng định tính
2.4 Mô hình Solow với thời gian rời rạc
Trong mục này ta nghiên cứu định tính mô hình Solow với biến thời gian rời rạc Z :={0;±1;±2;...} hoặc đơn giản hơn Z+:={0; 1; 2;...}. Việc giải tường các phương trình vi phân (các lớp thông dụng) nói chung đơn giản hơn nhiều so với các phương trình sai phân có dạng tương tự. Việc nghiên cứu tính chất nghiệm của phương trình sai phân nói chung cũng khó khăn hơn, ít công cụ hơn so với các phương trình vi phân cùng dạng.
Vì vậy, việc chuyển tải kết quả của các mô hình liên tục thời gian sang rời rạc không phải bao giờ cũng thuận lợi. Trong mục này ta chỉ ra dù có khó khăn nhưng trong nhiều trường hợp, việc chuyển tải như vậy vẫn có thể thực hiện được như theo những thủ pháp khác.
Ta vẫn theo sơ đồ cũ là thay thế luật tăng trưởng dân số cổ điển bằng luật tăng trưởng phù hợp hơn để được những tính chất ưu việt hơn.
Hàm sản xuất: Như thông lệ, hàm sản xuất
Yt =F(Kt;Lt) (2.25)
trong đó Kt, Lt (hay chỉ viết đơn giản là K, L) là lượng vốn, lượng lao động tại thời điểm t∈Z+, cần thỏa mãn các điều kiện sau:
• F(λK, λL) =λF(K, L),∀λ, K, L∈R+ (đk CRS hay thuần nhất cấp 1) • F(K,0) =F(0, L) = 0,∀K, L∈R+ • ∂K∂F >0,∂F∂L >0,∂K∂2F2 <0,∂∂L2F2 <0. • lim K→0 ∂F ∂K = limL→0 ∂F ∂L = +∞; lim K→+∞ ∂F ∂K =L→lim+∞ ∂F ∂L = 0. (đk Inada)
Hàm sản xuất Cobb-Douglas thỏa mãn bốn yêu cầu trên
Y =γKαL1−α.
Điều đó cho thấy bốn điều kiện này là không quá chặt.
Ký hiệu tỷ số vốn trên lao động tại thời điểm t∈Z+ là kt = Kt
Lt và hàm f(kt) =F(Kt
Lt
Chương 2. Nghiên cứu mô hình tăng trưởng Solow theo hướng định tính 39
ta có thể thấy hàm này có tính chất: (i) f(0) = 0.
(ii) f0(k)>0,∀k∈Z+.
(iii) f”(k)<0,∀k ∈Z+.
2.4.1 Mô hình Solow rời rạc với luật tăng trưởng
dân số Malthus
Phương trình tăng trưởng vốn:
Kt+1−Kt=sF(Kt, Lt)−δKt, (2.26) trong đó s là chỉ số tích lũy, δ là chỉ số sụt giảm vốn (δ ∈[0; 1]).
Luật tăng trưởng dân số Malthus sai phân được cho bởi phương trình sau:
Lt+1−Lt =nLt, (2.27)
trong đó n là một hằng số không âm. Từ (2.26) và (2.27), ta có: Kt+1 Lt − Kt Lt =sF(Kt;Lt)−δKt Lt ⇔(1 +n)Kt+1 Lt+1 − Kt Lt =sF( Kt Lt,1)−δKt Lt ⇔(1 +n)kt+1−kt =sf(kt)−δkt ⇔kt+1= s 1 +nf(kt) + 1−δ 1 +nkt. Ta nhận được mô hình ⇔kt+1= s 1 +nf(kt) + 1−δ 1 +nkt. (2.28) Lt+1= (1 +n)Lt (2.29)
Chương 2. Nghiên cứu mô hình tăng trưởng Solow theo hướng định tính 40
Điểm cân bằng:
Ta ký hiệu điểm cân bằng của phương trình (2.28) là ˆkn, khi đó kˆn thỏa mãn:
sf(ˆkn) = (δ+n)ˆkn
Ký hiệu ˆk là nghiệm cân bằng của phương trình khi n= 0:
⇔kt+1 =sf(kt) + (1−δ)kt, (2.30) nghĩa là ˆk thỏa mãn:
sf(ˆk) = δˆk
Nhận xét. Trong một khoảng thời gian ngắn, mô hình trên đây mô tả rất tốt động lực tăng trưởng của nền kinh tế. Tuy nhiên, khi thời gian kéo dài ra vô cùng, mô hình trên bộc lộ nhiều nhược điểm, chẳng hạn:
Lt= (1 +n)tL0 →+∞ khi t→+∞. Kt=ktLt →+∞ khi t→+∞.
Tính không bị chặn trên đây là không phù hợp với sức chứa hữu hạn của môi trường. Về định tính, phương trình sai phân
Lt+1−Lt=nLt
dễ thấy là không ổn định vì có giá trị riêng là λ = 1 +n >1.
Những hạn chế kiểu như vậy cho thấy sự tất yếu cần thiết phải cải tiến mô hình.
2.4.2 Mô hình Solow rời rạc với luật tăng trưởng
dân số Richards.
Các kết quả nhận được từ việc thay thế luật tăng trưởng dưới đây là những nghiên cứu độc lập của chúng tôi: Thay vì luật tăng trưởng Malthus ở mô hình trước, chúng tôi sử dụng luật tăng trưởng dân số tuân theo phương trình sau
Lt+1−Lt =rLt[1−( Lt L∞)
Chương 2. Nghiên cứu mô hình tăng trưởng Solow theo hướng định tính 41
Ta có thể thấy luật tăng trưởng này được rời rạc hóa từ luật tăng trưởng Richards quen biết. Ta ký hiệu tốc độ tăng trưởng của dân số tại thời điểm t ∈Z+ là nt. Xét phương trình tăng trưởng:
kt+1= s 1 +nt
f(kt) + 1−δ 1 +nt
kt (2.32)
Định lý 2.4. Nghiệm bất kỳ của phương trình (2.32) là ổn định tiệm cận toàn cục trên R+\ {0}. Với mọi điều kiện ban đầu k0 ∈ R+\ {0} nghiệm tương ứng của (2.32) đều hút về trạng thái cân bằng của phương trình:
kt+1=sf(kt) + (1−δ)kt. (2.33) Hơn nữa, ở trạng thái cân bằng, mô hình mới này có tỷ số vốn trên lao động thực sự ở tầm phát triển cao hơn so với mô hình cổ điển.
Để đơn giản khi trình bày việc chứng minh định lý, ta đưa ra một số bổ đề mang tính kỹ thuật sau:
Bổ đề 2.1. Với luật tăng trưởng Richards: (i) Nếu L0=L∞ thì L0=Lt =L∞,∀t∈Z+.
(ii) Nếu L0 > L∞ thì Lt đơn điệu giảm đến L∞.
(iii) Nếu L0 < L∞ thì Lt đơn điệu tăng đến L∞.
Chứng minh. (i) Từ L0 =L∞, ta có: L1−L0 =rL0[1−(L0 L∞) δ] = 0. Vậy L1=L0. Tiếp tục ta có: L2=L1, L3=L2, ...., Lt+1 =Lt,∀t∈Z+. (ii) Ta cần chỉ ra: L0 > L∞=⇒Lt> Lt+1> L∞,∀t ∈Z+. L0 > L∞=⇒ L0 L∞ >1. Do đó L1−L0=rL0[1−(L0 L∞) δ]<0
Chương 2. Nghiên cứu mô hình tăng trưởng Solow theo hướng định tính 42 hay L1 < L0 Ta cần chỉ ra tiếp L1 > L∞. L1 =L0+rL0−rL0(L0 L∞) δ > L∞+rL0−rL0(L0 L∞) δ > L∞+rL0−rL0(L0 L0 )δ =L∞.
Giả sử bất đẳng thức Lt > Lt+1 > L∞ đã đúng ở bước h, việc chứng minh rằng nó đúng ở bước h+ 1 là hoàn toàn tương tự như trên.
Theo trên, khi L0> L∞ hàmLt đơn điệu giảm và bị chặn dưới khi t→+∞. Vậy nó có giới hạn trong quá trình này. Ta gọi giới hạn đó là L.¯ Ta sẽ chỉ ra
¯ L=L∞. Quả vậy, Lt+1−Lt =rLt[1−( Lt L∞) δ ].
Do limt→+∞Lt = limt→+∞Lt+1= ¯L nên
lim t→+∞[1−( Lt L∞) δ ] = 0 lim t→+∞Lt =L∞=⇒L¯ =L∞.
Trường hợp L0 < L∞ được chứng minh tương tự. (iii) Ý này được chứng minh tương tự (ii).
Bổ đề 2.2. Luật tăng trưởng Richards có tốc độ tăng trưởng dần tới 0 khi
t →+∞.
Chứng minh.
nt= Lt+1−Lt Lt
→0
khi t →+∞ vì trong quá trình đó Lt+1 vàLt cùng dần tới L∞ (Bổ đề 2.1). Bổ đề 2.3. Khi tốc độ tăng trưởng dân số là một hằng số dương n thì với mọi điều kiện ban đầu k0 >0 nghiệm kt, xuất phát từ đây của phương trình
kt+1= s
1 +nf(kt) + 1−δ 1 +nkt
có tính chất kt →kˆn, trong đó kˆn là điểm cân bằng của phương trình trên. Chứng minh.
Chương 2. Nghiên cứu mô hình tăng trưởng Solow theo hướng định tính 43
Trên hệ tọa độ (Ok, Oy)ta vẽ các đường cong (a) và hai đường thẳng (b), (c) có phương trình như sau:
(a) y=f(k) (b) y= δ+n s k (c) y= δ sk k y 0 (a) (b) (c) M M0 ˆ kn k¯
Hoành độ giao điểm M của (a) với (b) chính là kˆn. Hoành độ giao điểm M0 của (a) với (c) là k¯. Dễ thấy nếu n > 0 thì ¯k > ˆkn và đường cong (a) là lõm trên
[0;∞). a) Khi k = ˆkn, ta có: k1 = s 1 +nf(k0) + 1−δ 1 +nk0 = s 1 +nf(ˆkn) + 1−δ 1 +n ˆ kn = 0 + ˆkn. Tiếp tục quá trình ta có k2 = ˆkn, ..., kt = ˆkn,∀t∈Z+.
b) Khi k < kˆn ta có cung đường cong (a) nằm phía trên đoạn tương ứng của đường thẳng (b), tức là f(k)> δ+n s k ⇐⇒ s 1 +nf(k)− δ+n 1 +nk >0.
Chương 2. Nghiên cứu mô hình tăng trưởng Solow theo hướng định tính 44
Như vậy, với kt<kˆn ta có
s 1 +nf(kt)− δ+n 1 +nkt >0 ⇐⇒ s 1 +nf(kt) + 1−δ 1 +nkt > kt ⇐⇒kt+1> kt. Cá biệt, t= 0, ta có: k0 < k1< k2 < ... < kt< kt+1< ... <kˆn.
Như vậy, khi t → ∞ dãy kt đơn điệu tăng và bị chặn trên bởi ˆkn nên dãy này có giới hạn. Ta gọi giới hạn này là ¯k. Ta sẽ chỉ rak¯= ˆkn. Quả vậy,
kt+1 = s
1 +nf(kt)− δ+n
1 +nkt+kt (2.32.a)
Chuyển qua giới hạn, ta có:
¯ k = s 1 +nf(¯k)− δ+n 1 +n ¯ k+ ¯k ⇐⇒ sf(¯k) 1 +n − δ+n 1 +n ¯ k = 0.
Vậy, k¯ cũng là điểm cân bằng dương của (2.32.a). Từ tính chất duy nhất của điểm cân bằng (hai đường cong (a) và (c) cắt nhau tại 1 điểm khác O(0;0), ta có
¯ k = ˆkn.
Trường hợp k > ˆkn được chứng minh tương tự.
Bổ đề 2.4. Hai luật tăng trưởng Malthus A và B với tốc độ tăng trưởng hằng khác nhau: nA < nB thì với cùng một điều kiện ban đầu như nhau kA0 =kB0 =k0
sẽ có ktA ≥ktB∀t∈Z+ (và do đó ˆknA ≥ˆkBn). Chứng minh.
Khi t = 0 bất đẳng thức thỏa mãn do giả thiết cùng điều kiện ban đầu. Giả sử bất đẳng thức đã đúng ở bước t. Ta kiểm tra cho bước t+ 1.
ktA+1 = s 1 +nAf(k A t ) + 1−δ 1 +nAk A t
Chương 2. Nghiên cứu mô hình tăng trưởng Solow theo hướng định tính 45 ≥ s 1 +nAf(k B t ) + 1−δ 1 +nAk B t ≥ s 1 +nBf(k B t ) + 1−δ 1 +nBk B t =ktB+1. (Do f0(k)>0 và δ∈[0; 1]).
Tiếp tục, theo Bổ đề 2.3, ta có kAt →kˆnA;ktB →ˆknB (không phụ thuộc vào độ lớn của giá trị ban đầu dương).
Vì ktA ≥ktB, ∀t∈Z+ nên ta có ˆkAn ≥kˆnB.
Bổ đề 2.5. Với dãy hằng số dương n→0+ ta có
lim
n→0+
ˆ kn = ˆk
Chứng minh.
Theo Bổ đề 2.4, nếu n1 < n2 thì với cùng một giá trị ban đầu k01 = k20 ta có
k1t ≥k2t,∀t∈Z+ và hơn nữa:
ˆ
kn1 ≤kˆn2 ≤ˆk.
Vậy dãy ˆkn đơn điệu tăng và bị chặn trên trong quá trình n → 0+. Do đó dãy này có giới hạn và ta gọi nó là ¯k. Theo bất đẳng thức trên, chuyển qua giới hạn, ta có k¯≤ˆk. Ta sẽ chỉ rak¯= ˆk.
Do ˆkn là điểm cân bằng dương của (2.32.a) nên
sf(ˆkn) = (δ+n)ˆkn.
Chuyển qua giới hạn, ta được:
sf(¯k) =δ¯k.
Vậy, ¯k cũng là điểm cân bằng của (2.30), do đó ¯k= ˆk.
Như vậy, ta đã chứng minh được
lim
n→0+
ˆ kn = ˆk.
Kết quả này có thể minh họa bằng hình 1: Khi n →0+ hệ số góc δ+ncủa đường thẳng (b) dần tớiδ nghĩa là đường thẳng (b) dần về vị trí giới hạn là đường thẳng (c). Do đó, giao diểm M của (a) và (b) dần về giao điểmM0 của (a) và (c) và do
Chương 2. Nghiên cứu mô hình tăng trưởng Solow theo hướng định tính 46
đó hoành độ của M là ˆkn dần tới hoành độ của M0 là k.ˆ
Chứng minh Định lý 2.4.
Giả sử >0 được cho trước, bé tùy ý.
Do ˆkn →ˆk khi tn →0+ nên tồn tại n >¯ 0, đủ nhỏ sao cho
n <n¯ =⇒ |kˆn−kˆ|< /2 (2.32.c)
Do nt →0 khi t→+∞ nên tồn tại T1 >0, sao cho
t > T1=⇒nt <n¯
Lấy t0> T1 là một thời điểm cố định, khi đó nt0 <n¯. Để dễ phân biệt, ta dùng knt
t ; knt0
t ;kt0 tương ứng ký hiệu nghiệm (không quan tâm đến giá trị ban đầu) của các phương trình sau:
kt+1= s 1 +ntf(kt) + 1−δ 1 +ntkt (A) kt+1= s 1 +nt0f(kt) + 1−δ 1 +nt0kt (B) kt+1 =sf(kt) + (1−δ)kt (C)
Nhắc lại, điểm cân bằng của các phương trình này tương ứng là kˆnt; ˆknt
0; ˆk.
• Đầu tiên ta chỉ ra rằng nghiệm knt
t với giá trị ban đầu dương tùy ý k0 >0
đều hút về ˆk khi t→+∞. Theo Bổ đề 2.3 ta có knt0
t →kˆnt0 khi t→+∞ . Vậy, tồn tại T2 >0 sao cho:
t≥T2 =⇒ |knt0
t −kˆnt
0|< /3. (2.32.d)
Như vậy, với t≥max{T1;T2}, ta có: |knt0
t −kˆ| ≤ |knt0
t −ˆknt
0|+|kˆnt
0 −kˆ| ≤2/3. (2.32.e)
Theo Bổ đề 2.3 (với n= 0) ta có k0t →kˆ khi t→ ∞. Vậy, tồn tại T3>0, sao cho
Chương 2. Nghiên cứu mô hình tăng trưởng Solow theo hướng định tính 47
Với mỗi t > T4 := max{T1;T2;T3} ta có0< nt < nt0 . Theo Bổ đề 2.4, ta có
knt0 t ≤knt t ≤k0t (2.32.g) Kết hợp (2.32.d), (2.32.e), (2.32.f), ta có khit ≥T4: ˆ k− < knt0 t < knt t < k0t <kˆ+ Do đó: |knt t −kˆ|<
Vì >0 bé tùy ý, giá trị ban đầuk0>0cũng tùy ý, nên ta kết luận nghiệm của (A) hút toàn cục trên (0;∞)về ˆk.
• Tiếp theo, ta sẽ chỉ ra rằng với mọi giá trị ban đầu k0 >0 nghiệm của (A) xuất phát từ đó là ổn định tiệm cận.
Với tùy ý > 0 ở trên do mọi nghiệm kt với giá trị ban đầu dương của phương trình (A) đều hút về ˆk nên hai nghiệm k1t và kt2 với điều kiện ban đầu k01 > 0;k02 > 0 tùy ý cũng hút vào nhau, nghĩa là tồn tại số nguyên
T ≥T4 sao cho
t≥T =⇒ |kt1−kt2|< . (2.32.h)
Việc còn lại là tìm đánh giá sai khác các giá trị ban đầu để bất đẳng thức này cũng đúng với t = 0; 1; 2;...;T. Đặt
gt(k) := s
1 +ntf(k) + 1−δ 1 +ntk
Do f(k) khả vi nên gt(k) là một hàm liên tục theo k trên R+. Vì vậy: -) Với >0 cho trước tồn tại δT−1 sao cho
|k−kT−1|< δT−1=⇒ |gT−1(k)−gT−1(kT−1)|<
-) Với δT−1 >0 tồn tại δT−2>0 sao cho
|k−kT−2|< δT−2 =⇒ |gT−2(k)−gT−2(kT−2)|< δT−1
-) Với δT−2 >0 tồn tại δT−3>0 sao cho
Chương 2. Nghiên cứu mô hình tăng trưởng Solow theo hướng định tính 48
... ... ...
Tiếp tục như vậy, cuối cùng : -) Với δ1 >0 tồn tạiδ0 sao cho
|k−k0|< δ0 =⇒ |g0(k)−g0(k0)|< δ1.
Như vậy, cá biệt lấyk=k01;k0 =k20 với |k01−k02|< δ0, lần ngược lại quá trình trên ta sẽ có
|gi(ki1)−gi(ki2)|< δi ≤,∀i= 0; 1; 2;...;T.
Vậy đánh giá trên là đúng với mọi t ∈Z+. Nghiệm kt của (A) là ổn định và hút vậy là ổn định tiệm cận.
Cuối cùng, nghiệm của mô hình cổ điển hút về điểm cân bằng ˆkn0 còn nghiệm của mô hình cải tiến hút về điểm cân bằng ˆk. Ta đã chỉ ra ở hình 1 rằngkˆn0 <kˆ. Đây là ý cuối, cần chứng minh.
Nhận xét.
Khi sai phân hóa một mô hình tăng trưởng liên tục nào đó ta thường gặp phải khó khăn khi tìm công thức tường biểu diễn tập quỹ đạo.
Vì vậy, nhiều vấn đề là đơn giản với quá trình liên tục lại là phức tạp với trường hợp sai phân. Chẳng hạn lấy hàm sản xuất dạng Cobb-Douglas, mô hình Solow với luật tăng trưởng Richards sẽ có dạng tương tự phương trình Bernoulli trong trường hợp liên tục. Việc giải tường phương trình như vậy là không đơn giản, tuy nhiên ta vẫn có thể khảo sát được tính chất nghiệm theo cách làm đã nêu ở trên.
Việc chỉ ra ˆk >ˆkn0 nói lên sự ưu việt của mô hình cải tiến. Điều này mang một giá trị thực tiễn rất lớn: Sự phát triển tự nhiên của dân số làm thấp đi thu nhập trên đầu người.
Điều đó cho thấy sự cần thiết của chiến lược phát triển dân số bền vững và hợp lý của mỗi nền kinh tế.
Kết luận
Luận văn đã thực hiện được những công việc sau:
1. Tóm tắt một cách cô động các kiến thức cơ bản về phương trình vi phân, sai