Định lý krein rutman và các mở rộng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Thái Nguyên Khang ĐỊNH LÍ KREIN - RUTMAN VÀ CÁC MỞ RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Thái Nguyên Khang ĐỊNH LÍ KREIN - RUTMAN VÀ CÁC MỞ RỘNG Chuyên ngành : Tốn Giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS LÊ XUÂN TRƯỜNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 MỤC LỤC MỞ ĐẦU T 30T Chương ĐỊNH LÍ KREIN - RUTMAN CHO ÁNH XẠ DƯƠNG MẠNH T T 1.1 Không gian Banach với thứ tự sinh nón T T 1.1.1 Nón thứ tự sinh nón .3 30T T 1.1.2 Nón chuẩn 30T 30T 1.1.3 Nón qui 30T 30T 1.1.4 Nón sinh 30T 30T 1.1.5 Nón liên hợp 30T 30T 1.2 Ánh xạ tuyến tính dương tồn vectơ riêng dương T T 1.2.1 Giá trị riêng vectơ riêng 30T T 1.2.2 Phổ ánh xạ tuyến tính 30T T 1.2.3 Ánh xạ tuyến tính dương 10 30T T 1.3 Định lí Krein – Rutman 13 T T Chương ĐỊNH LÍ KREIN –RUTMAN CHO ÁNH XẠ u – DƯƠNG 18 T R R T 2.1 Ánh xạ u – dương 18 T R R 30T 2.2 Định lí Krien–Rutman cho ánh xạ u – dương 19 T R R T Chương ĐỊNH LÍ KREIN-RUTMAN CHO ÁNH XẠ THUẦN NHẤT DƯƠNG 26 T T 3.1 Ánh xạ dương Bán kính phổ mở rộng .26 T T 3.2 Mở rộng khái niệm dương mạnh .31 T T 3.3 Ánh xạ e - dương 35 T 30T KẾT LUẬN 38 T 30T TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 T 30T BẢNG KÝ HIỆU ∗ : Tập hợp số tự nhiên khác  : Tập hợp số thực 1+ : Tập hợp số thực không âm  : Tập hợp số phức C[a ,b] : Không gian hàm liên tục [ a, b ] với chuẩn x = sup f (t) a ≤t ≤b X* : Tập phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian X L(X, X) : Không gian hàm tuyến tính liên tục L1 (Ω) : Khơng gian hàm khả tích Ω Lp (Ω= ) {f : Ω → ; f đo p : Chuẩn không gian Banach X B(a, ρ) : Hình cầu mở tâm a bán kính ρ B(a, ρ) : Hình cầu đóng tâm a bán kính ρ ∂ C : Tập tất điểm biên C i ∏µ j =µ µ1 µ µi } f ∈ L1 (Ω) , với ≤ p < ∞ MỞ ĐẦU Lý thuyết phương trình khơng gian có thứ tự đời từ năm 1940 cơng trình mở đầu M.Krein A.Rutman, phát triển hoàn thiện ngày Nó tìm ứng dụng rộng rãi có giá trị nhiều lĩnh vực khoa học xã hội Lý thuyết phương trình vi phân, Vật lý, Y - sinh học, Kinh tế học Định lý Krein - Rutman giá trị riêng, vectơ riêng ánh xạ tuyến tính dương mạnh định lý tìm sớm mặt lý thuyết mặt ứng dụng lý thuyết Định lí mở rộng kết riêng quan trọng sau đây: - Định lí Perron, tìm năm 1907, khẳng định “ Nếu A ma trận vng có số hạng dương : 1) Bán kính phổ r(A) A số dương 2) r(A) giá trị riêng đơn A 3) Nếu λ ≠ r(A) giá trị riêng A λ < r(A) 4) Vectơ riêng v A ứng với giá trị riêng r(A) có toạ độ dương 5) v vectơ riêng dương A ( xác tới thừa số ) - Định lí Jentseh, chứng minh năm 1912, mở rộng kết cho tốn tử tích phân ϕ  ∫a K(t,s) ϕ(s)ds với hạch K(t,s) b Vì quan trọng mà định lý Krein - Rutman nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu tìm ứng dụng gần Do việc tìm hiểu định lý mở rộng đề tài có ý nghĩa cho học viên cao học chuyên ngành Toán giải tích Mục tiêu luận văn giới thiệu định lí Krien – Rutman ban đầu với phép chứng minh dựa vào phương pháp hệ động lực vài mở rộng định lí này, có kết tìm gần Luận văn có chương : Chương1 Trình bày định lý Krein – Rutman phương pháp hệ động học Chương2 Trình bày mở rộng định lý Krein – Rutman cho ánh xạ u – dương R R Chương3 Trình bày mở rộng định lý Krein – Rutman cho ánh xạ dương Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình TS Lê Xuân Trường, Khoa Tốn Thống Kê - Đại học Kinh tế TP.HCM Tơi xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Tôi biết ơn sâu sắc PGS.TS Nguyễn Bích Huy, Khoa Tốn-Tin, trường Đại học Sư Phạm TP.HCM, giúp đỡ tận tình bảo vô quý báu Thầy cho nghiên cứu khoa học Tơi kính gởi đến Ban Giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Tốn - Tin, Bộ mơn Tốn Giải tích Phịng Sau Đại Học trường Đại học Sư phạm TP.HCM giúp đỡ nhiều trình học tập thực luận văn, lời cám ơn chân thành trân trọng Tơi kính gởi đến Ban Giám Hiệu, Ban chấp hành cơng đồn trường, tổ Tốn - Tin trường THPT Nguyễn Huệ - Lagi - Bình Thuận, nơi tơi cơng tác, tạo điều kiện thuận lợi vật chất tinh thần để tơi hồn thành tốt nhiệm vụ học viên, lời cảm ơn sâu sắc trân trọng Tôi thành thật cảm ơn Anh chị đồng nghiệp người thân giúp đỡ tơi mặt Cảm ơn gia đình nguồn động viên to lớn cho suốt trình học tập thực luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2012 Thái Nguyên Khang Chương ĐỊNH LÍ KREIN - RUTMAN CHO ÁNH XẠ DƯƠNG MẠNH 1.1 Không gian Banach với thứ tự sinh nón 1.1.1 Nón thứ tự sinh nón Định nghĩa 1.1.1 Cho X không gian Banach trường số thực  a) Tập K ⊂ X gọi nón thỏa điều kiện sau: H : K tập đóng, K ≠ ∅ , R R H : K + K ⊂ K , λ K ⊂ K , ∀λ ≥ 0, R R H : K  (− K) = {θ} R R b) Nếu K nón thứ tự X sinh K định bởi: x ≤ y ⇔ y − x ∈K Mỗi x ∈K \ {θ} gọi dương Ví dụ i) K= [0, + ∞ ) nón  = ii) K {(x1 , x ): x1 ≥ 0, x ≥ 0} nón 2 Mệnh đề 1.1.1 Giả sử “ ≤ ” thứ tự sinh nón Khi đó: a) Nếu x ≤ y x + z ≤ y + z , λ x ≤ λy, với z∈ X , với λ ≥ b) Nếu x n ≤ y n với n ∈* và= lim x n x= , lim y n y x ≤ y n →∞ n →∞ c) Nếu {x n } dãy tăng, hội tụ x x n ≤ x, với n∈* R R Chứng minh a) Ta có: ● ( y + z ) − ( x + z ) = y − x ∈ K , với z ∈ X nên x + z ≤ y + z ● λy − λx = λ (y − x)∈K , với λ ≥ neân λx ≤ λy b) Từ x n ≤ y n , với n ∈* suy y n − x n ∈ K Do (y n − x n ) → (y − x) ∈ K ( tính chất đóng K ).Vậy x ≤ y c) Giả sử { x n } tăng Khi x n ≤ x n+m (m, n ∈ * ), cho m → ∞ , ta được: x n ≤ x, R R R R R R R R với n ∈ * 1.1.2 Nón chuẩn Định nghĩa 1.1.2 Nón K gọi nón chuẩn tồn N > cho θ≤ x ≤ y  x  ≤ N  y  {f ∈ C[ Ví dụ: Nón K= } : f ≥ θ nón chuẩn C [0,1] 0,1] R R Chứng minh Lấy f, g ∈ K thỏa điều kiện θ ≤ f  g ≤ hay với t ∈ [0 ,1], ta có ≤ f(t) ≤ g(t) suy Sup f (t) ≤ Sup g(t) hay  f  ≤  g  t∈[ 0,1] t∈[ 0,1] Vậy K nón chuẩn với số N = Mệnh đề 1.1.2 Cho K nón chuẩn X Khi đó: a) Nếu u ≤ v đoạn 〈 u , v〉 := {x ∈ X : u ≤ x ≤ v} bị chặn theo chuẩn b) Nếu x n ≤ yn ≤ z n , với n ∈* lim x n = R R R R R R n →∞ a, lim z n = n →∞ a lim y n = a n →∞ c) Nếu {x n } đơn điệu có dãy hội tụ a lim x n = a R R n →∞ Chứng minh a) Với x ∈ 〈 u, v〉 ta có θ≤ x − u ≤ v − u K nón chuẩn nên  x − u  ≤ N  u − v  suy  x  ≤  u  + N  u − v  Vậy 〈 u, v〉 bị chặn theo chuẩn b) Ta có: θ≤ y n − x n ≤ z n − x n , với n ∈* K nón chuẩn nên  y n − x n  ≤ N  z n − x n  , với n ∈* Mà lim  z n − x n  = nên n →∞ lim  y n − x n  = Do lim y n =lim[(y n − x n ) + x n ] =0 + a Vậy lim y n = a n →∞ n →∞ n →∞ n →∞ c) Giả sử {x n } tăng lim x n = a Vì x n   ≤ x n (n ∈ * cố định, k đủ lớn) nên k →∞ k k x n ≤ a , với n ∈* Cho ε > 0, chọn k để  x n − a  < R R k0 ε ta có N ∀n ≥ n k ⇒ a − x n ≤ a − x n ⇒  a − x n  ≤ N  a − x n  < ε K0 k0 Vậy lim x n = a n →∞ 1.1.3 Nón qui Định nghĩa 1.1.3 Nón K gọi nón qui dãy tăng bị chặn hội tụ Ví dụ 1) Trong C[a= ,K ,b ] {x: x(t) ≥ 0, ∀t ∈ [a, b]} không qui  t −a  Vì ta có dãy x n (t) =   giảm bị chặn không hội tụ  b−a  n 2) Trong Lp (Ω), (1 ≤ p < ∞) nón K = {x ∈ Lp (Ω):x(t) ≥ 0, h.k.n} qui Chứng minh Xét dãy {x n } ⊂ Lp thoả x n ≤ x n +1 ≤ u ∈ Lp Coi x n (t) ≤ x n +1 (t) ≤ u(t), với t ∈ Ω Đặt x (t) lim x n (t), t ∈ Ω = n →∞ Ta có: x ∈ Lp ( x n (t) đo nên x đo được, ∫ x 0p (t)dµ ≤ ∫ u p (t)dµ < ∞ ) Ω Ω 1/p   x n −= x  ∫ (x (t) − x n (t)) p dµ  Ω  → ( (x (t) − x n (t)) đơn điệu hội tụ h.k.n ) Mệnh đề 1.1.3 Nếu K nón qui K nón chuẩn Chứng minh Giả sử trái lại K khơng nón chuẩn, ta có: Với n∈* , tồn x n , y n : θ≤ x n ≤ y n ,  x n  > n  y n  xn yn θ≤ u n ≤ v n ,=  u n  1,  v n  < , = n  xn   xn  Đặt u n = Vì ∞ ∞ n =1 n =1 ∑   < ∞ nên tồn v : = ∑ Xét dãy S n : = u + u + + u n , ta có : R R R R R R R R ∞ ∑v • Sn ≤ v1 + v2 + + ≤ R R R R R R R R n =1 • Sn − Sn= −1 n = v ⇒ (S n ) n bị chặn R R R R u n ≥ θ (do u n ∈ K ) ⇒ (S n ) n tăng R R R R R R Vậy (S n ) n tăng, bị chặn mà K nón qui nên (S n ) n hội tụ Do R R R R R R R R lim u n = mâu thuẫn với  u n  = ( n∈* ) n →∞ 1.1.4 Nón sinh Định nghĩa 1.1.4 Nón K gọi nón sinh X= K − K hay với x ∈ X , tồn u , v ∈ K cho x= u − v Ví dụ a) Nón hàm khơng âm C(K), LP nón sinh P P b) Nếu nón K có điểm u ta có tồn r > cho : R R − r  x u ≤ x ≤ r x u , với x ∈ X K nón sinh Chứng minh Ta có u ∈intK nên tồn    ρ > : u + B(θ, ρ) ⊂ K Do R u0 ± R 1 ρ ρ x ∈B(u , ρ) ⊂ K ⇒ u ± x ∈K , ∀x ≠ θ ⇒ −  x  u ≤ x ≤  x  u ρ ρ x x Đặt r = , ta − r  x  u ≤ x ≤ r  x  u x = ( x + r  x  x ) − r  x  x ∈K − K ρ Vậy K nón sinh Mệnh đề 1.1.4 Nếu K nón sinh tồn M > cho với x ∈ X , tồn u, v∈K : x= u − v,  u  ≤ M  x ,  v  ≤ M  x  25 a1x + b1= y A p (a x + b y) Ta tìm a12 + b = (α + β2 ) p (a + b ) (do (2.2)) 0  a1 b1  a12 + b12 Từ (2.6) ta có :  p ≤ a 02 + b 02 ⇒ (α + β2 ) p ≤ (λ 0p − c) , p ∈T ⇒ p (λ − c)  λ0 − c λ0 − c  (nếu (a , b ) ≠ (0,0) ) ⇒ (α + β2 ) p ≤ λ 2p ⇒ α + β2 ≤ λ hay λ1 ≤ λ Ta kiểm tra (a , b ) ≠ (0,0) hay T chứa điểm (a, b) ≠ (0,0) Ta có :  x= x / − x / / ; x / , x / / ∈ K, x / / ≠ θ ( (2.3) )  * p // ∃c > 0, ∃p ∈  : A (x ) ≤ cx ⇒ A p (x) ≥ − A p (x ,, ) ≥ −cx ⇒ A p (x) + x ∈ K c Phân tích : p A (x)= ax + by (a, b) ∈ T , (a, b) ≠ (0,0) c 26 Chương ĐỊNH LÍ KREIN-RUTMAN CHO ÁNH XẠ THUẦN NHẤT DƯƠNG 3.1 Ánh xạ dương Bán kính phổ mở rộng Cho X khơng gian Banach thực với thứ tự sinh nón P a) Một ánh xạ T : X → X gọi dương bậc T= (tx) t T(x), ∀t > 0, ∀x ∈ X b) Một ánh xạ T : X → X tăng ( tăng ngặt) x ≤ y Tx ≤ Ty ( x < y Tx < Ty ) c) Đặt P = P \ {θ} , cặp ( λ, x ) ∈ R 1+ × P gọi cặp riêng dương T (x) = λx Định nghĩa 3.1.1 Cho T ánh xạ tăng , dương bậc 1, compact liên tục với x ∈ P , ta định nghĩa : P* (x)= {x * * ∈ P* : 〈 x* , x 〉 > 0} với P= {x * ∈ X* : 〈 x* , x 〉 ≥ 0, ∀x ∈ P} 〈 x* ,Tx 〉 〈 x* ,Tx 〉 , (x) sup µ = * x*∈P ( x ) 〈 x* , x 〉 x*∈P ( x ) 〈 x , x 〉 µ* (x) = inf * r* (T) = sup µ* (x) , x∈P * * = inf µ* (x) r * (T) x∈P Tính chất 3.1.2 1) Với x ∈ P , P* (x) trù mật P ∗ 2) Nếu int P ≠ φ với x ∈ int P, P* (x) = P ∗ 3) Nếu tồn c > tồn x ∈ P thoả mãn cx ≥ Tx (cx ≤ Tx) r * (T) ≤ µ* (x) ≤ c (tương ứng r* (T) ≥ µ* (x) ≥ c ) 27 4) Một cặp (λ, x) cặp riêng dương (λ, x) ∈ R 1+ × P µ* (x) = λ = µ* (x) (tương ứng r* (T) ≥ µ* (x) ≥ c Và r * (T) ≤ λ ≤ r* (T) λ ≥ giá trị riêng T với véctơ riêng dương Chứng minh ∗ 1) Thật vậy, ta có : P = {x * ∈ X* : 〈 x * , x 〉 ≥ 0, ∀x ∈ P} \ {θX * } nên x* ∈ P ∗ \ P* (x) 〈 x * , x 〉 =0 Theo định lí mở rộng hàm số dương ta có tồn x *0 ∈ P * với x *0 = thoả 〈 x* , x〉 > Khi x * + εx *0 ∈ P* (x), với ε > Vì x * + εx*0 → x * ε → nên x * ∈ P* (x) Do P ∗ ⊂ P* (x) hay P* (x) trù mật P ∗ 2) Thật vậy, tacó : P* (x) ⊂ P ∗ (do định nghĩa P* (x) , P ∗ ) Ta chứng minh P ∗ ⊂ P* (x) Thật , int P ≠ φ nên với x ∈ int P , ta có : 〈 x * , x 〉 > , với x * ∈ P ∗ (do mệnh đề 1.1.5 (c) ) nên x ∈ P* (x) Vậy với x ∈ int P, P* (x) = P ∗ 3) Thật vậy, ta có với x * ∈ P ∗ (x) , 〈 x* ,Tx 〉 〈 x * ,cx 〉 ≤ * =c Tx ≤ cx ⇒ 〈 x ,Tx 〉 ≤ 〈 x ,cx 〉 ⇒ 〈 x* , x〉 〈 x , x〉 * = µ* (x) sup x*∈P* ( x ) * 〈 x* ,Tx 〉 ≤ c ⇒ r * (T) =inf µ* (x) ≤ c * x∈P 〈 x , x〉 Chứng minh tương tự ta r* (T) ≥ µ* (x) ≥ c 4) a) ⇒) Thật vậy,ta có : với (λ, x) ∈ R 1+ × P : Tx = λx , ta có 〈 x* ,Tx 〉 〈 x* , λx 〉 = = λ với x * ∈ P* (x) nên µ* (x) = λ = µ* (x) * * 〈 x , x〉 〈 x , x〉 ⇐) Thật vậy, ta có: µ* (x) = λ = µ* (x) , với (λ, x) ∈ R 1+ × P 28 ⇒ 〈 x* ,Tx 〉 〈 x* ,Tx 〉 〈 x* ,Tx 〉 ≤ λ ≤ ⇒ λ = ⇒ Tx = λx 〈 x* , x〉 〈 x* , x〉 〈 x* , x〉 ⇒ (λ, x) cặp riêng dương b) Ta có µ* (x) = λ = µ* (x) ⇒ sup µ* (x) ≥ λ ≥ inf µ* (x) ⇒ r* (T) ≥ λ ≥ r * (T) x∈P x∈P Ví dụ 3.1.3 Nếu T ∈ L(X, X) dương compact với r(T) > r* (T) ≥ r(T) ≥ r * (T) Chứnh minh Đặt λ =r (T) □ Ta chứng minh r * (T) ≤ λ Thật vậy, với ε > nhỏ, λ + ε ∈ ρ(T) ( ρ(T) tập giá trị qui của T) Vì [ (λ + ε) I − T ] −1 x= [ (λ Tn dương , ∀u ∈ P nên =∑ n +1 n ≥ (λ + ε ) −1 + ε) I − T ] u ∈ P suy (λ + ε)x = Tx + u ≥ Tx Áp dụng tính chất 3) ta : r * (T) ≤ λ + ε ; ε > nhỏ tuỳ ý nên ta có r * (T) ≤ λ □ Ta chứng minh λ ≤ r* (T)  Tx ≥ cx Chỉ cần chứng minh : với c < λ , tồn x c ∈ P: c c (3.1) Giả sử (3.1) khơng Khi x ≠ t λ 0−1 Tx, với (x, t) ∈ S+ × [ 0,1] , S+ = P  ∂B1 (θ) Vì T compact nên tồn δ > thoả inf ( x ,t )∈S+ ×[ 0,1] x − t λ 0−1 Tx ≥ δ λ 20 λ0  δ) , Chọn u ∈ P với u < δ Khi với ε ∈ (0, 4M = M max { Tx : x ≤ 1} , với (x, t) ∈ S+ × [ 0,1] , ta có : x − t(λ − ε) −1 (Tx − u) > (3.2) 29 Theo tính chất bất biến đồng luân bậc Leray – Schauder ta có: i P ( (I − (λ − ε) −1 (T − u), P ∩ B1 (θ)=) i P (I, P ∩ B1 (θ))= , i P số Leray Schauder nón P Khi tồn x ε ∈ P ∩ B1 (θ) thoả mãn (λ − ε ) = x ε Tx ε − u Vì vậy, Tx ε ≥ (λ − ε) x ε Điều mâu thuẫn Do (3.1) Áp dụng lần tính chất 3) ta λ ≤ r* (T) Vậy r* (T) ≥ r(T) ≥ r * (T) Định lí 3.1.4 Giả sử T : P → P ánh xạ tăng, dương bậc 1, compact, liên tục có giả thiết sau : dim X < ∞ r * (T) > r* (T) > Khi tồn cặp riêng dương (λ o , x ) thoả λ ≥ trường hợp 1, λ ≥ r * (T) trường hợp 2, λ =r (T) trường hợp * Chứng minh Ta lấy u ∈ P ε > tuỳ ý , xác định ánh xạ f ε : P × R 1+ → P định f ε (x, µ) = µ (Tx + εu) Vì f ε (x,0) = θ nên theo định lí Leray – Schauder tập nghiệm phương trình x = f ε (x, µ) = µ (Tx + εu) có thành phần liên thông không bị + chặn C = ε {(x , µ) ∈ P × R ε + µ) x ε )} qua (θ,0) : f ε (x, = Từ phương trình, ta có x ε (µ) = µ T(x ε (µ) + εu) ≥ µε Tu , (3.4) điều kiện T tăng dương bậc Theo định lí mở rộng phiếm hàm dương (Hanh – Banach) , có tồn x* ∈ P * với x* = , c = 〈 x* ,Tu 〉 > Khi ta có : x ε (µ) ≥ 〈 x* , x ε (µ)〉 ≥ 〈 x* , µεTu 〉 ≥ µεc (3.5) 30 Hơn nữa, T compact nên tồn M > cho Tx ≤ M x (3.6) Cố định ε > bất kỳ, thành phần Cε+ khơng bị chặn nên µ x ε (µ) khơng bị chặn Do tồn µ ε cho x ε = , x= x ε (µ ε ) Từ (3.4) ε : ta có : = x ε = µ ε T(x ε (µ ε ) + εu) ≤ µ ε M x ε + εu ≤ µ ε M(1 + ε u ) , −1 ta suy µ ε ≥  M(1 + ε u )  tức µ ε bị chặn số lớn □ Trường hợp 1: dim X < ∞ Khi tồn dãy ε n → cho x n → x với x = x n = x ε n Đặt µ n =µ ε λ n = Khi tùy theo µ n bị chặn khơng bị chặn, ta có µn n dãy con, µ n → µ ≥ M −1 µ n → ∞ Những điều có nghĩa λ n → λ o với λ ≥ Tx = λ x □ Trường hợp 2: r * (T) > Từ phương trình (3.4), có : x ε = x ε (µ ε ) = µ ε T(x ε (µ ε ) + εu) ≥ µ ε Tx ε Áp dụng tính chất 3), ta r * (T) ≤ λ ε : = (µ ε ) −1 Do giả thiết r * (T) > nên µ ε bị chặn Vì T compact ta có dãy {x n } {µ n } , xn = xε , n µ n =µ ε n cho với Tx n → y , µ n → µ   y ∈ X, µ ∈  M −1 , * r (T)   x n = µ n T(x n + ε n u) → µ y o đặt x = µ y o , ta có Từ phương trình Tx = λ x x n → x Do x = λ =µ −1 ∈  r * (T), M  □ Trường hợp 3: r (T) > * Như thấy ví dụ 3.1.3b) giả thiết r (T) > đưa đến với ε ∈ (0, r (T) ), * * tồn y ε ∈ P cho (r* (T) − ε)y ε ≤ Ty ε Do ta thấy x ≥ µ n (r* (T) − ε) n εu, với n = 1, 2, , với (x, µ) ∈ Cε+ µ ≤ (r* (T) − ε) −1 31 Bằng cách lập luận tương tự sử dụng đoạn trước cho phần cịn lại , chứng minh tồn (x o , µ ) với x = 1, x ∈ P λ ≥ r (T) * thoả mãn Tx = λ x Vì λ giá trị riêng dương với vectơ riêng dương, áp dụng tính chất 4) ta λ ≤ r (T) Vậy λ =r (T) * * 3.2 Mở rộng khái niệm dương mạnh Định nghĩa 3.2.1  v ∉ P ta định nghĩa : δ (v) Với u ∈ P, u = sup {t ∈ R + : u + tv ∈ P} Mệnh đề 3.2.2 1) ∀t ∈ [ 0, δu (v)] ⇒ u + tv ∈ P 2) ∀t > δu (v) ⇒ u + tv ∉ P Chứng minh 1)Thật vậy,: Với t ≥ đủ nhỏ, giả sử trái lại u + tv ∉ P ⇒ u + tv ∈ X \ P Khi t → ta u ∈ X \ P Điều mâu thuẫn 2) Thật vậy, Với t > , giả sử trái lại u + tv ∈ P suy u + v ∈ P , cho t → +∞ ta t v ∈ P Điều mâu thuẫn Bổ đề 3.2.3 Giả sử int P ≠ φ u ∈ int P Khi với v ∉ P δ u (v) > Chứng minh Ta có u ∈ int P nên tồn r > : B(u, r) ⊂ P Mặt khác u+ v r ∈ {t ∈ R 1+ / u + tv ∈ P} r∈P ⇒ v v ⇒ δ u (v) ≥ r > (do r > v > ) v 32 Bổ đề 3.2.4 Giả sử int P ≠ φ T : P → P ánh xạ tăng, dương bậc Nếu tồn Tx ≤ λx µ ≤ λ (λ, x) ∈ R 1+ \ {0} ì int P v (à, y) ∈ R 1+ × P cho  Ty ≥ µy Chứng minh : Ta áp dụng Bổ đề 3.2.3 cho cặp (x,- y), đạt : x − ty ∈ P, ∀t ∈ [ 0, δ x (− y)] x − ty ∉ P, ∀t > δ x (− y) Ta có : λx ≥ Tx ≥ δ x (− y)Ty ≥ δ x (− y)µy µ ⇒ λx − µδ x (− y)y ∈ P ⇒ x − δ x (− y)y ∈ P λ ⇒0≤ µ µ δ x (− y) ≤ δ x (− y) ⇒ ≤ ⇒ µ ≤ λ λ λ Định nghĩa 3.2.5 or* (T) = sup µ* (x) ; x∈int P or (T) = inf µ* (x) * x∈int P Mệnh đề 3.2.6 Nếu (λ, x) ∈ R 1+ × int P cặp riêng dương or (T) ≤ λ ≤ or (T) * * Chứng minh Thật , ta có Tx = λx, với x ∈ int P , < x * ,Tx > < x * , λx > µ (x) = sup = sup = λ = µ (x) * * x*∈P ( x ) < x , x > x*∈P ( x ) < x , x > * * * * Do inf µ (x) ≤ λ ≤ sup µ (x) hay or (T) ≤ λ ≤ or (T) * * x∈int P x∈int P * * 33 Định lí 3.2.7 Giả sử int P ≠ φ Nếu T : P → P ánh xạ tăng, dương bậc , compact, liên tục r (T) ≤ or (T) * * Chứng minh Theo định nghĩa r (T) , ta có với ε > , tồn y ε ∈ P cho * µ* (y ε ) ≤ r (T) < µ* (y ε ) + ε x * ∈ P* (y ε ) ⇒ r (T) − ε < µ* (y ε ) ≤ * * 〈 x * ,Ty ε 〉 , với 〈 x* , yε 〉 x * ∈ P* (y ε ) Do 〈 x * ,Ty ε − (r* (T) − ε)y ε 〉 ≥ ,với x * ∈ P* (y ε ) Theo tính chất 1), bất đẳng thức với x* ∈ P* Do định lí mở rộng phiếm hàm dương (Hahn- Banach), ta Ty ε ≥ (r* (T) − ε)y ε Mặt khác , lý tương tự , ta có x ε ∈ int P cho (or (T) + ε)x ε ≥ Tx ε * Bây giờ, ta áp dụng Bổ đề 3.2.4 , ta r* (T) − ε ≤ or * (T) + ε Vì ε > tuỳ ý nên cho ε → ta r* (T) ≤ or * (T) Định nghĩa 3.2.8 Giả sử int P ≠ φ T gọi bán dương mạnh tồn x * ∈ P* cho 〈 x * ,Tx 〉 > =〈 x * , x 〉 , với x ∈ P \ int P Bổ đề 3.2.9 Cho T = (t i j ) n×n ma trận khơng âm Khi xét tốn tử tuyến tính khơng âm , T bán dương mạnh ma trận bất khả quy Chứng minh Thật vậy, x (x1 , x , x n ) ∈ P \ int P tồn tập = thật I {1, 2, n} cho x i = 0, ∀i ∈ I, x j > 0, ∀j ∉ I Đặt X I = {x ∈  n |x i = 0, ∀i ∈ I, x j ≠ 0, ∀j ∉ I} Nếu T khả qui tức tồn không gian bất biến thực X ⊂  n , X  P bất biến theo T Ta chọn x ∈ P \ int P ,với X I = X , với 34 = x * (y1 , y , , y n ) ∈ P* cho 〈 x * , x 〉 =0 , ta có y j = 0, với j ∉ I , điều có nghĩa 〈 x * ,Tx 〉 = Khi T khơng phải bán dương mạnh Ngược lại, T bán dương mạnh, tức tồn x ∈ P \ int P , cho với x * ∈ P* , 〈 x * , x 〉 =0 〈 x * ,Tx 〉 = Khi ∑t j∉I ij Tx ∈ X I , I tập định nghĩa theo x , tức x j = , với i ∈ I Điều đưa đến t i j = , với (i, j) ∈ I × I / , I / phần bù I Vậy T khả qui Định lí 3.2.10 Giả sử T ánh xạ bán dương mạnh , dương bậc 1, tăng ngặt, compact, liên tục, cho r * (T) > r (T) > Khi = λ r * (T) = r (T) giá * * trị riêng dương với vectơ riêng dương Hơn nữa, giá trị riêng λ có bội hình học vectơ riêng x ∈ int P Ngoài λ lớn số tất giá trị riêng thực T Chứng minh : Ta chứng minh µ* (x) = +∞ , với x ∈ P \ int P Thật vậy, theo định nghĩa ánh xạ bán dương mạnh ta có : tồn x * ∈ P* cho 〈 x * ,Tx 〉 > = 〈 x * , x 〉 , với x ∈ P \ int P với y* ∈ P* (x) , ta đặt : x *n =x * + 〈 x *n ,Tx 〉 ≥ 〈 x * ,Tx 〉 〈 x *n , x 〉= Do µ* (x) ≥ * y ∈ P* (x) Khi tacó : n * 〈 y , x〉 → n 〈 x *n ,Tx 〉 〈 x * ,Tx 〉 ≥ * → ∞ , n → ∞ 〈 x *n , x 〉 〈 x n , x〉 Theo định lí 3.2.7 ta r * (T) =inf µ* (x) = inf µ* (x) =or * (T) ≥ r (T) x∈P x∈int P * 35 Theo định lí 3.1.4 ta có tồn cặp riêng dương (λ , x ) theo tính chất 4) ta λ r * (T) = r (T) : = * Hơn nữa, từ định nghĩa bán dương mạnh cặp riêng dương, vectơ riêng tương ứng x ∈ int P Bây chứng minh bội hình học λ Giả sử tồn x1 ∈ X thoả mãn Tx1 = λ x1 x1 ≠ x Trước tiên ta giả sử x1 ∉ P theo Bổ đề 3.2.3 số δ x (x1 ) > Vì x + δ x (x1 )x1 ∈ P , T tăng ngặt 0 1- dương, x ≠ −δ x (x1 )x1 , Tx > T(−δ x (x1 )x1 ) Do 0 x > −δ x (x1 )x1 Điều mâu thuẫn với định nghĩa δ x (x1 ) 0 Tiếp theo, giả sử x1 ∈ P , cách thức , lần chứng tỏ x1 = t x Vậy bội hình học λ Cuối cho (λ, x) cặp riêng , ta muốn chứng tỏ λ ≤ λ Vì x ∈ int P nên ta có x ± δ x (± x)x ∈ P tức x ≥  δ x (± x)x Vì T tăng dương 0 bậc Ta có : λ x = Tx ≥  δ x (± x)Tx =  δ x (± x)λx hay x ± δ x (± x) 0 λ x ∈ P Do λ ≤ λ λ0 3.3 Ánh xạ e- dương Định nghĩa 3.3.1 Cho e ∈ P , ánh xạ T :P → P e – dương với x ∈ P có tồn c ( x ) , d ( x ) > cho c(x) e ≤ Tx ≤ d(x) e Ví dụ : Ánh xạ dương mạnh e – dương, với e ∈ int P Bổ đề 3.3.2 Nếu T e – dương với x, y ∈ P , δTx (−Ty) > Chứng minh: Do T e – dương với x, y ∈ P ta có : 36 c ( x ) , d ( x ) > , cho c(x).e ≤ Tx ≤ d(x).e c ( y ) , d ( y ) > , cho c(y).e ≤ Ty ≤ d(y).e Do ( c(x) − td(y) ) e ≤ Tx − tTy Bổ đề 3.3.3 Cho T : P → P ánh xạ tăng , dương bậc 1, e – dương Nếu (λ, x),(à, y) R 1+ ì P tho Tx ≤ λx Ty ≥ µy µ ≤ λ Chứng minh Ta theo phương pháp chứng minh Bổ đề 3.2.4 Vì lúc δTx (−Ty) > , ta có µ ≤ Tx − δTx (−Ty)Ty ≤ λx − δTx (−Ty)µy tức x − δTx (−Ty) y ∈ P λ µ Vì T tăng dương bậc nên Tx ≥ δTx (−Ty) Ty Vậy theo định nghĩa λ δTx (−Ty) ta µ ≤ λ Định lí 3.3.4 Giả sử T : P → P ánh xạ e – dương, tăng , dương bậc 1, compact, liên tục, cho r * (T) > r (T) > Khi tồn giá trị riêng * = λ r (T) = r (T) , với vectơ riêng dương x ∈ P Nếu ra, T tăng ngặt * * x vectơ riêng dương xác tới thừa số Chứng minh : Ta theo phương pháp chứng minh Định lí 3.2.10 Với ε > ta tìm x ε , y ε ∈ P cho Tx ε ≤ ( r * (T) + ε ) x ε Ty ε ≥ ( r (T) − ε ) y ε * Theo Bổ đề 3.3.3 ta r (T) ≤ r (T) * * Áp dụng Định lí 3.1.4 ta có cặp riêng dương (λ , x ) ∈ 1+ × P theo tính chất 4), ta có r (T) ≤ λ ≤ r (T) ≤ r (T) nên r (T) = r (T) = λ * * * * * 37 Tiếp theo ta chứng minh tính vectơ riêng dương Tx = λ x theo Bổ đề 3.3.2 ta có δ x (− y) =δTx (−Ty) > Giả sử x, y ∈ P thoả mãn  Ty = λ y x − δ x (− y)y ∈ P Nếu x ≠ δ x (− y)y , T tăng ngặt dương bậc ta có Tx ≠ δ x (− y)Ty Điều mâu thuẫn với định nghĩa δ x (− y) Hệ 3.3.5 Giả sử T ánh xạ tăng, dương bậc , compact liên tục, cho r * (T) > r (T) > Nếu T bán dương mạnh e – dương * e ∈ P ta có r * (T) = r (T) * Chứng minh - Nếu T bán dương mạnh áp dụng Định lí 3.2.10 ta : r * (T) = r (T) = λ * - Nếu T e – dương áp dụng Định lí 3.3.4 ta : r * (T) = r (T) = λ * 38 KẾT LUẬN Trong luận văn, chúng tơi giới thiệu định lí Krein–Rutman cho ánh xạ dương mạnh, sau mở rộng cho ánh xạ u – dương, ánh xạ dương Đối với lớp R R ánh xạ nhất, đơn điệu, bán dương mạnh e – dương cách định nghĩa bán kính phổ mở rộng, chúng tơi giới thiệu mở rộng định lí Krein–Rutman Các kết trình bày luận văn chúng tơi phát triển theo hướng sau : Áp dụng cho phương trình vi phân chứa tốn tử p – Laplace Chứng minh kết tương tự cho ánh xạ đa trị Trong luận văn chắn khơng tránh khỏi thiếu sót, kính mong q thầy cơ, bạn bảo đóng góp ý kiến để luận văn đạt chất lượng cao Xin chân thành cảm ơn ! 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Bích Huy (2000), Phép tính tích phân , NXB Đại học quốc gia, TP Hồ Chí Minh [2] Nguyễn Bích Huy ( 2010), Giáo trình mơn giải tích phi tuyến 2, Trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh [3] K.C.Chang (2009), A nonlinear Krein–Rutman theorem, J Syst Sci & Complexity, 22, pp542 -554 [4] K.Deimling (1985), Nonlinear Functional Analysis, Springer – Verlag, Berlin [5] M.A.Krasnoselskii (1964), Positive solution of operator equations, Groningen, Noordhoff [6] M.Krien, M.A Rutman (1962), Linear operators leaving invariant a cone in Banach space Transl AMS, 10, pp 199-325 ... hệ động lực vài mở rộng định lí này, có kết tìm gần 2 Luận văn có chương : Chương1 Trình bày định lý Krein – Rutman phương pháp hệ động học Chương2 Trình bày mở rộng định lý Krein – Rutman cho... Định lý Krein - Rutman giá trị riêng, vectơ riêng ánh xạ tuyến tính dương mạnh định lý tìm sớm mặt lý thuyết mặt ứng dụng lý thuyết Định lí mở rộng kết riêng quan trọng sau đây: - Định lí... sau mở rộng cho ánh xạ u – dương, ánh xạ dương Đối với lớp R R ánh xạ nhất, đơn điệu, bán dương mạnh e – dương cách định nghĩa bán kính phổ mở rộng, chúng tơi giới thiệu mở rộng định lí Krein? ??Rutman