Về mở rộng xyclic và mở rộng căn

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH THÂN LÊ HỒNG NHUNG VỀ MỞ RỘNG XYCLIC VÀ MỞ RỘNG CĂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH THÂN LÊ HỒNG NHUNG VỀ MỞ RỘNG XYCLIC VÀ MỞ RỘNG CĂN CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học PGS.TS NGUYỄN THÀNH QUANG NGHỆ AN - 2012 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU CHƢƠNG CÁC KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CƠ SỞ CỦA LÝ THUYẾT MỞ RỘNG TRƢỜNG VÀ LÝ THUYẾT GALOIS 1.1 Trƣờng nguyên tố 1.2 Mở rộng trƣờng ……………………………………………… 1.3 Mở rộng Galois CHƢƠNG MỞ RỘNG XYCLIC VÀ MỞ RỘNG CĂN ………………… 14 2.1 Mở rộng yclic 14 2.2 Mở rộng c n 16 2.3 T nh giải ƣ c c a nh m Galois c a mở rộng c n 18 2.4 ng d ng c a mở rộng c n v mở rộng yclic 20 2.5 Ph p d ng h nh ằng thƣớc k v compa 30 CHƢƠNG SỬ DỤNG PHẦN MỀM MAPLE ĐỂ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẰNG CĂN TH C 3.1 S d ng maple 33 3.2 S d ng maple 35 3.3 S d ng maple 35 KẾT LUẬN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 MỞ ĐẦU Évariste Galois (1811 – 1832) thiên tài tốn học người Pháp Các cơng trình tốn học ông để lại đề tài quan trọng cho việc tìm nghiệm phương trình đa thức bậc cao 4, thông qua việc sử dụng cơng cụ lý thuyết nhóm trừu tượng mà ngày gọi Lý thuyết Galois Lý thuyết Galois nhánh quan trọng đại số trừu tượng, lý thuyết đẹp bật toán học Nguồn gốc Lý thuyết Galois vấn đề giải phương trình đại số thức, mà thực chất mở rộng trường cách ghép thêm liên tiếp thức Mở rộng xyclic mở rộng nội dung quan trọng Lý thuyết Galois Sử dụng công cụ mở rộng lý thuyết nhóm mà E Galois tiêu chuẩn giải thức phương trình đại số đa thức cho câu trả lời việc không dựng thước kẻ compa lớp tốn hình học cổ điển Với lý nêu trên, luận văn chúng tơi tập trung trình bày hai nội dung sau đây: Mơ tả cấu trúc mở rộng xyclic Tính giải nhóm Galois mở rộng Từ đó, luận văn tìm hiểu sâu ứng dụng mở rộng tốn tìm tiêu chuẩn giải thức phương trình đại số Luận văn gồm chương: Chương Giới thiệu khái niệm kết sở lý thuyết mở rộng trường Lý thuyết Galois Chương Trình bày khái niệm kết mở rộng xyclic; giới thiệu mở rộng tính giải nhóm Galois mở rộng căn; số ứng dụng mở rộng xyclic mở rộng Chương Thực hành giải số phương trình đại số thức tính tốn nhóm Galois số đa thức phần mềm Maple Luận văn hoàn thành hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Thành Quang Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn, người dành cho tác giả hướng dẫn tận tình, chu đáo nghiêm túc trình học tập, nghiên cứu thực luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô giáo thuộc chuyên ngành Đại số Lý thuyết số, khoa Tốn học, phịng Đào tạo Sau Đại học – Trường Đại học Vinh – tận tình giảng dạy hướng dẫn khoa học Tác giả xin gửi lời cảm ơn Trường Đại học Sài Gòn quan tâm giúp đỡ tổ chức cho hoàn thành nhiệm vụ học tập nghiên cứu theo chương trình đào tạo sau đại học liên kết hai trường: Đại học Vinh - Đại học Sài Gòn Mặc dù cố gắng, luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận bảo thầy, cô giáo đồng nghiệp Tác giả CHƢƠNG CÁC KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CƠ SỞ CỦA LÝ THUYẾT MỞ RỘNG TRƢỜNG VÀ LÝ THUYẾT GALOIS 1.1.Trƣờng nguyên tố 1.1.1 Đặc số c a trƣờng Cho K trường với đơn vị Nếu n1  0, với số tự nhiên n  ta nói trường K có đặc số Trong trường hợp ngược lại, ta gọi số nguyên dương p bé cho p1  đặc số trường K Đặc số trường K ký hiệu char(K) Ta có: char( ) = 0, char( ) = 0; char( ) = 0; char( Nhận p ) = p, với số nguyên tố p t Nếu trường K có đặc số p  p số nguyên tố 1.1.2 Trƣờng nguyên tố Một trường K gọi trường ngun tố hay trường đơn K khơng có trường thực V d Trường số hữu tỉ trường p số nguyên modp trường nguyên tố Nhận xét Mỗi trường chứa trường nguyên tố Thật vậy, ta gọi P giao tất trường trường K Khi đó, P trường bé K P trường nguyên tố trường K 1.1.3 Định lý kiểu trƣờng nguyên tố Cho K trường P trường nguyên tố K 1) Nếu K có đặc số P đẳng cấu với trường số hữu tỉ 2) Nếu K có đặc số ngun tố p P đẳng cấu với trường p số nguyên modp Chứng minh Lập ánh xạ f :  K từ vành số nguyên tới K, xác định f(m) = m1, với phần tử đơn vị trường K Ta có f đồng cấu vành 1) Trong trường hợp trường K có đặc số 0, ta có: m  Ker(f)  f(m) =  m1 =  m = Vậy Ker(f) = {0}, hay f đơn cấu vành, ta thu đẳng cấu vành:  Im(f) = {m1; m  } Đẳng cấu vành cảm sinh đẳng cấu trường thương vành số nguyên trường P  với trường thương Im(f) Do đó, ta có đẳng cấu , trường thương , cịn trường thương Im(f) trường nguyên tố P K 2) Trong trường hợp trường K có đặc số nguyên tố p, ta có m  Ker(f)  f(m) =  m1 =  m  pZ Vậy, Ker(f) = p Từ định lý đồng cấu vành, có = p  Im(f) Do p /Ker(f)  Im(f), hay /p trường nên Im(f) trường Mặt khác, Im(f) trường bé K nên Im(f) = P ta có đẳng cấu P  p ▄ 1.1.4 Mệnh ề Trong trường K với đặc số nguyên tố p, ta có: (a  b) p  a p  b p , a, b  K Chứng minh Theo công thức nhị thức Newton, ta có p  p1  (a  b) p   C kp a pk bk  a p    C kp a pk bk   b p  k 1  k 0   Vì p số nguyên tố, C kp  0(mod p), k  1, 2, , p  Từ suy C kp x  0, x  K , k  1, 2, , p  Do đó, cơng thức nhị thức trở thành: (a  b) p  a p  b p ▄ 1.1.5 Mệnh ề Nếu K trường có đặc số nguyên tố p ánh xạ f : a tự đơn cấu trường K Chứng minh Theo Mệnh đề 1.1.4, với a, b  K , ta có f (a  b)  (a  b) p  a p  b p  f (a)  f (b), f (ab)  (ab) p  a p b p  f (a) f (b) a p p Ngồi ra, f(1) = =  0, nên f trường K Vì vậy, ánh xạ f : a khác tự đồng cấu không a p tự đơn cấu trường K ▄ 1.1.6 Hệ Nếu K trường có đặc số nguyên tố p ánh xạ g : a n a p tự đơn cấu trường K, với số nguyên n  Chứng minh Vì trường K có đặc số p, theo Mệnh đề 1.1.5 ta suy ánh xạ f : a a p tự đơn cấu trường K Vì vậy, ánh xạ tích n lần f g fn  f f f :a n a p tự đơn cấu K 1.1.7 Mệnh ề Mọi tự đồng cấu khác không trường p số nguyên modp tự đẳng cấu đồng Chứng minh Giả sử f : p  p tự đồng cấu trường p Khi đó, ta có f( ) = f( ) f( ), hay f( ) = f( ) = Nếu f( ) = f( k ) = , với lớp thặng dư k thuộc trường p , hay f tự đồng cấu khơng Vì vậy, f( ) = đó: f( k ) = kf( ) = k = k , (k = 0, 1, , p - 1) Do đó, f tự đẳng cấu đồng trường p ▄ 1.1.8 Hệ (Định lý Fermat bé) Với số nguyên a với số nguyên tố p, ta có đồng dư thức sau đây: a p  a(mod p) Chứng minh Vì trường p có đặc số nguyên tố p ánh xạ f : a tự đơn cấu trường p cấu đồng trường p p Do đó, theo Mệnh đề 1.1.7 ta suy f tự đẳng p này, suy a p  a(mod p) ▄ a Vì vậy, ta có a  a hay a p  a Từ đẳng thức 1.2 Mở rộng trƣờng 1.2.1 Định nghĩa Giả sử K trường E Khi đó, ta nói E trường mở rộng mở rộng trường K Mở rộng E trường K ký hiệu E/K Giả sử E mở rộng trường K, ta xem E không gian vectơ K Nếu E không gian vectơ hữu hạn chiều trường K, ta nói E mở rộng bậc hữu hạn trường K Số chiều n không gian vectơ E K gọi bậc mở rộng E K Ta ký hiệu [E : K] bậc mở rộng E K Như vậy, ta có [E : K] = dim  E = n Mỗi sở không gian vectơ E K gọi sở mở rộng E K 1.2.2 Phần t ại số Phần t siêu việt Cho K trường E mở rộng K Phần tử u  E gọi phần tử đại số K tồn đa thức khác không f ( x)  K[x] cho f(u) = Phần tử u  E không đại số K, gọi phần tử siêu việt K Nói khác đi, phần tử u  E phần tử siêu việt trường K với hệ thức đa thức có dạng: a a u   anu n  0,(ai  K ) kéo theo  0, i  0,1, , n Cho u  E phần tử đại số K Ta chọn tất đa thức khác thuộc K[x] nhận u làm nghiệm đa thức đơn hệ (hệ số cao 1) có bậc nhỏ nhất, ký hiệu q( x) Với phần tử đại số u  E , đa thức xác định Ta gọi q( x) u đa thức cực tiểu phần tử đại số u  E Ta gọi bậc đa thức cực tiểu q( x) u bậc phần tử u K, ký hiệu [u : K] Như vậy, ta có: [u : K] = deg q( x) 1.2.3 Mở rộng ại số v mở rộng siêu việt Ta gọi mở rộng E trường K mở rộng đại số K phần tử u  E phần tử đại số K Ta gọi mở rộng E trường K mở rộng siêu việt K mở rông E mở rộng đại số K 10 1.2.4 Trƣờng nghiệm c a a thức Giả sử K trường, f ( x) đa thức bậc n  K Khi đó, trường N gọi trường nghiệm hay trường phân rã f ( x) K N trường mở rộng nhỏ (cực tiểu) K chứa tất n nghiệm đa thức f ( x) 1.2.5 Định l ([4]) Với đa thức f  x   K[x] có bậc n  1, tồn sai khác đẳng cấu) trường nghiệm f  x  K 1.2.6 Mở rộng chuẩn tắc Một mở rộng đại số E trường K gọi mở rộng chuẩn tắc K với đa thức bất khả quy f ( x) vành đa thức K[x], f ( x) có nghiệm E f ( x) phân tích thành tích nhân tử tuyến tính (hay f ( x) phân rã được) vành đa thức E[x] 1.2.7 Định lý Một mở rộng bậc hữu hạn E trường K mở rộng chuẩn tắc K E trường nghiệm đa thức K 1.2.8 Định nghĩa Cho P trường nguyên tố Mỗi nghiệm phương trình xn   trường mở rộng K P gọi bậc n đơn vị Trường nghiệm đa thức x n  trường nguyên tố P gọi trường chia đường tròn, ký hiệu Rn Phần tử sinh nhóm bậc n đơn vị gọi nguyên thuỷ đơn vị Số nguyên thuỷ bậc n giá trị hàm Euler  (n) 1.2.9 Định nghĩa Đa thức Fn ( x)  ( x   1) ( x   ( n)) ,  , ,   ( n) tất nguyên thuỷ bậc n đơn vị, gọi đa thức chia đường tròn bậc n 1.2.10 Định lý Nhóm nhân bậc n đơn vị nhóm xyclic cấp n 27 số nhóm S3 nên thương S3 / A3 A3 / {e} nhóm xyclic có cấp tương ứng 2, Với n  S có dãy giải S4  A4  B4  C  {e} A4 nhóm thay phiên, cịn B4  {e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)} C nhóm có cấp B4 Do nhóm A4 có số nhóm S nên thương dãy nhóm xyclic có cấp tương ứng 2,3,2,2 Với n  ta giả sử S n nhóm giải với dãy giải G  H  H1   H s  {e} Ta chứng minh quy nạp theo s H s chứa 3- vịng xích Trước hết ta có nhận xét  ,  H s 1     1 1  H s Thật vậy, gọi H s' 1 nhóm H s 1 sinh tất giao hoán tử dạng  1 1 , với  ,  H s 1 Do thương H s 1 / H s nhóm abel nên H s' 1  H s có nhận xét Do n  nên với – vịng xích (ijk ) tìm hai số tự nhiên  r  m  n khác với i, j, k Sau đặt   (ijk ),  (mki) , ta  1 1  (ijr )(ikm)(rji)(mki)  (ijk ) Theo giả thiết quy nạp – vịng xích   (rji),  (mki) thuộc vào H s 1 , theo nhận xét (ijk )  H s Bây hiển nhiên H s chứa – vịng xích H s  {e} Điều mâu thuẫn chứng tỏ S n khơng nhóm giải ▄ Hai định lý vừa chứng minh cho ta hệ quan trọng, câu trả lời cho tốn tính giải phương trình đại số 2.4.8 Định lý A en Với số tự nhiên n  tồn phương trình đại số thực bậc n khơng giải thức Chứng minh Theo Định lý 2.4.6 tồn phương trình đại số thực f ( x)  có nhóm Galois nhóm đối xứng S n Nhóm khơng giải (Định lý 28 2.4.7) Bởi phương trình f ( x)  không giải thức (Định lý 2.4.3) ▄ V d (về đa thức không giải thức) Đa thức f ( x)  x5  10 x  không giải thức Chứng minh Gọi N trường nghiệm f ( x)  x5 10 x  Galois G( N / ) Dễ thấy f ( x) bất khả quy G nhóm theo tiêu chuẩn Eisenstein Bằng cách xét dấu đạo hàm f ' ( x) ta kết luận f ( x) có ba nghiệm thực phân biệt hai nghiệm phức liên hợp a, b Phép lấy số phức liên hợp cảm sinh - tự đẳng cấu  N, hoán đổi hai nghiệm a, b giữ cố định ba nghiệm thực lại Như  ứng với phép chuyển trí nhóm đối xứng S5 Mặt khác ta có G  N :   N : (a) (a) :    N : (a).5 Cấp G chia hết ta chứng minh G tồn phần tử cấp Suy nhóm G đồng với nhóm S5 chứa – vịng xích phép chuyển trí Điều dẫn đến G S5 , f ( x) không giải thức ▄ 2.4.9 Áp d ng v o việc ph p giải phƣơng tr nh ậc 2, 3, Ta áp dụng lý thuyết tổng quát phép giải phương trình đại số thức vào trường hợp quen thuộc Trước hết ta nhắc lại vài điểm cần lưu ý Trong nhóm đối xứng S n nhóm thay phiên An gồm phép chẵn nhóm chuẩn tắc với số Nếu x1 , x2 , , xn nghiệm phương trình tổng quát bậc n biểu thức    ( xi  x j )2 gọi biệt thức phương trình Phần tử i j biến phép thuộc nhóm thay phiên An  bất 29 Giải phƣơng tr nh tổng quát ậc hai x2  bx  c  Nhóm Galois phương trình trường K  A(b, c) nhóm đối xứng S Nó có dãy hợp thành S2  {e} Theo lý thuyết tổng quát trường nghiệm E mở rộng đơn K sinh  , E  K ( ) ,  giải thức Lagrăng,   (1, x1)  x1   ( x1)  x1  x2   với – nguyên thủy bậc đơn vị x1 , x2 nghiệm phương trình xét Mặt khác, x1  x2  b Bởi ta có x1 , x2  b   , với   ( x  x )2  ( x  x )2  x x  b2  4c 2 2 Như vậy, ta nhận cơng thức tính nghiệm quen thuộc Giải phƣơng tr nh tổng quát ậc a y3  a1 y  a2 y  a3  Đặt x  y  a1 ta đưa phương trình cho dạng x3  px  q  (2) Nhóm Galois phương trình (2) trường K  A( p, q) nhóm đối xứng S3 Trong nhóm có dãy giải S3  A3  E Trường nghiệm E (2) dãy trường tương ứng K  L  E Trường L mở rộng Galois K với nhóm Galois nhóm xyclic cấp 2( nhóm đẳng cấu với nhóm thương S3 / A3 ) Theo lý thuyết tổng quát L  K ( ) , với   L Ta lấy  theo giải thức Lagrăng, nhiên nhận xét ban đầu ta chọn    với   ( x  x )2 ( x  x )2 ( x  x )2  4 p3  27q2 2 3 30 Trường E mở rộng Galois L với nhóm Galois xyclic cấp ( đẳng cấu với nhóm A3 ) Do E  L( )  chọn theo giải thức Lagrăng (ta thấy E  L( x1 ) ) Gọi  nguyên thuỷ bậc đơn vị   1  3 Ta xét giải thức Lagrăng (Lagrange) E: 1  ( , x1)  x1   x2   x3 2  ( , x1)  x1   x2   x3 (1, x )  x  x  x  1 Từ suy x  (   ) x  (    ) x  (    ) 3 Qua tính tốn ta có 27 q 27 23   q  13   3  3  Ta thu công thức Cardano quen biết 3 q q q  p q  p 3 x               2 2 3 2 3 V d Tìm nghiệm thức f  x3  x  1  x Ta có   23 Do nghiệm f   69    69 18 18 Hai nghiệm lại hai số phức liên hợp 31 V d Cho đa thức f  x  x  x  Thay x  u  , ta có đa thức theo u g  u  3u  Biệt thức   81 Một nghiệm biểu diễn thức g   3    3 2 2 2.4.10 Bổ ề (kết nhóm đối xứng) Nếu nhóm nhóm đối xứng S p với p ngun tố chứa vịng xích độ dài p phép chuyển trí trùng với S p Chứng minh Gọi G nhóm S p sinh   (a1 a p ) vịng xích có độ dài p r  (ij ) phép chuyển trí Bằng cách đánh số lại cần thiết, ta giả thiết r  (12) Viết lại  dạng   (1a2 a p ) Lấy luỹ thừa thích hợp  , ta có kết (12b3 bp ) , vịng xích độ dài p p nguyên tố Giữ nguyên 2, đánh số lại phần tử tập {3, 4, suy nhóm G chứa   (12) vịng xích (12 , p} , p) Do đó, ta có G  S p ▄ 2.4.11 Mệnh ề Cho đa thức f  [ x] bất khả quy có bậc p nguyên tố Nếu f có hai nghiệm khơng thực nhóm Galois f nhóm đối xứng S p Chứng minh Gọi E f trường nghiệm f G = G ( E f : ) xem nhóm S p Gọi   E nghiệm f Do f  ( )  E f [ ( ) : ]  p , ta có p ước [ E f : ]  (G :1) Suy G chứa phần tử cấp p , xem (B2) Trong S p có vịng xích độ dài p có cấp p Như G chứa vịng xích độ dài p Mặt khác E f trường tự đẳng cấu Aut( / ), xét phép liên hợp a  bi Trong nhóm a  bi Vì f có hai nghiệm không thực r1 , r2 , chúng số phức liên hợp Khi phép liên hợp hoán vị hai 32 nghiệm r1 , r2 cố định nghiệm cịn lại f Do hạn chế phép liên hợp E f xác định phép chuyển trí G Theo (2.4.10), ta có G  S p ▄ 2.4.12 Hệ Đa thức f  x5  x2   [ x] không giải thức Chứng minh Đa thức f bất khả quy Ta có tiêu chuẩn Eisen-stein cho p  f (1)  3; f (0)  2; f (1)  1; f (2)  18 Do f có ba nghiệm thực nằm (-1,0),(0,1) (1,2) Mặt khác, f '  5x4  8x  x(5x3  8) , có hai nghiệm thực x  x  Do f có ba nghiệm thực Theo (2.4.8), đa thức f có nhóm Galois đẳng cấu với S5 nhóm khơng giải Do f không giải thức ▄ 2.5 Ph p d ng h nh ằng thƣớc k v compa Mọi tốn dựng hình đưa tìm nghiệm phương trình đại số Ta xem xét với điều kiện dựng nghiệm phương trình đại số thước kẻ compa thơng qua tính giải thức bậc hai 2.5.1 Định lý Một biểu thức đại số cho dựng thước compa kết việc giải phương trình đa thức có bậc  Chứng minh Giả sử biểu thức cho dựng thước compa Ta chứng minh , kết việc giải phương trình bậc khơng lớn Thật vậy, mặt phẳng ta lấy hệ toạ độ vng góc Mỗi phép dựng thước kẻ compa đưa đến việc dựng đường thẳng, đường trịn tìm giao điểm chúng Mà phương trình đường thẳng bậc nhất, cịn phương trình đường trịn bậc hai, ta suy điều cần giải thích 2.5.2 Định lý tiêu chuẩn giải ƣ c ằng c n thức ậc hai Cho đa thức f ( x) bất khả quy đường K với đặc số Gọi N trường nghiệm f ( x) K Nếu nghiệm f ( x) biểu thị thức bậc hai tất 33 nghiệm biểu thị thức bậc hai tất nghiệm biểu thị thức bậc hai bậc N K 2m Đảo lại, bậc N K 2m , đa thức f ( x) giải thức bậc hai Chứng minh Giả sử nghiệm đa thức f ( x) biểu thị qua bậc hai: p  a , a  K ; p  a , a  K ( p ), 1 2 , p  a ,a  K( p , p , k k k , p ) k 1 Ta tìm bậc trường phân rã N K Ta ghép vào K bậc hai a1 , ghép thêm bậc hai a2 tất phần tử liên hợp với a1 , a2 , Kết ta thu chuỗi trường : KR   Rs  N trường Ri mở rộng Galois bậc hai trường đứng trước Mở rộng cuối Rn  N chứa tất nghiệm f ( x) mở rộng Galois Rn1 mà K Gọi G nhóm Galois N K Khi đó, ứng với chuỗi trường K  R1   Rs  N G  G1   Gs  E chuỗi nhóm nhóm ước chuẩn nhóm đứng trước nó, số nhóm nhóm đứng trước Từ suy ra, cấp nhóm Gs 1 2, cấp nhóm Gs 1 22 … Cuối cùng, cấp nhóm G s Vì trường phân rã N f ( x) trường trung gian : K  N  S , nên bậc N K phải ước s , tức phải có dạng 2m Đảo lại, giả sử [ N : K ]  2m , ta chứng minh đa thức f ( x) giải thức bậc hai Gọi G nhóm Galois N K Vì theo giả 34 thiết [ N : K ]  nên cấp G Vì nhóm cấp p m , p nguyên tố, m m m  , giải được, nên G nhóm giải Chuỗi hợp thành nó: G  G1   Gm  E có tất số  Gi : Gi 1  Tương ứng với chuỗi theo định lý bản, ta có chuỗi trường: K  K1   Km  N , với tất bậc  Ki 1 : Ki  Vì vậy, K i sinh từ Ki 1 cách ghép thêm thức bậc hai Do đa thức f ( x) giải thức bậc hai Có thể áp dụng tiêu chuẩn vào việc giải số tốn hình học cổ điển 35 CHƢƠNG SỬ DỤNG PHẦN MỀM MAPLE ĐỂ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẰNG CĂN TH C Maple hệ thống tính tốn biểu thức đại số minh họa tốn học mạnh mẽ cơng ti Warterloo Maple Inc (http://www.maplesoft.com), đời năm 1991 đến phát triển đến phiên 10 Maple có cách cài đặt đơn giản, chạy tất hệ điều hành, có cấu trúc linh hoạt để sử dụng tối ưu cấu hình máy đặc biệt có chương trình trợ giúp Help) dễ sử dụng Từ phiên trở đi, Maple cung cấp ngày nhiều công dụng trực quan, gói lệnh tự học gắn liền với tốn phổ thơng đại học Ưu điểm làm cho nhiều nước giới lựa chọn sử dụng Maple phần mềm khác dạy học Tốn Việc sử dụng Maple cơng nghệ thơng tin dạy học Tốn xu hướng ngày phổ biến giới tỏ phương tiện hỗ trợ đắc lực nhằm làm cho việc dạy học toán trở nên thực tiễn hơn, đáp ứng nhu cầu phát triển giáo dục đại Phần cung cấp số nội dung sơ lược Maple để khai thác sử dụng việc học tập giảng dạy mơn học Lí thuyết trường Lý thuyết Galois 3.1 S d ng Maple Trong Maple 6, ta tính biệt thức đa thức tuỳ ý với lệnh: [ > discrim (f,x); Ví dụ, biệt thức f  x4  ax3  bx2cx  d tính trực tiếp lệnh: [ > discrim (x^4+a*x^3+b*x^2+c*x+d,x)}; 6a 2c d  b a 2c  144a 2bd  4a 2b3d  144bdc 18abc3  192acd  16b d  128b d  80b acd 18a3bcd  27a d  256d  4a 3c3  4b3c3  27c Trường nghiệm giải thức h( X ) chứa trường nghiệm f Do nhóm Galois h nhóm thương G Ta có trường hợp sau: - Nếu h bất khả quy D f khơng phương F Khi G khơng chứa A4 nhóm Galois h đẳng cấu với S3 Do cấp G chia hết cho Suy G  S4 36 - Nếu h bất khả quy D f phương F Khi G  A4 nhóm Galois h đẳng cấu với A3 Suy G có cấp chia hết cho Suy G  A4 - Nếu h khả quy phân rã thành ba nhân tử tuyến tính F[ X ] Khi 1 ,  thuộc F Do phần tử G phải cố định chúng Suy G  V Vì g bất khả quy nên G  V - Nếu h phân tích thành đa thức bậc đa thức bậc F[ X ] Khi có phần tử { , , } thuộc F Ta giả thiết 1  F Như phần tử G cố định 1 khơng có cố định   Suy G  D8 G  V Như G  D8 hay G  C4 Chú ý F ( D f ) trường cố định G  A4 Ta có D8  A4  V C4  A4  {1,(13)(24)} Chú ý G  A4 nhóm Galois g F ( D f ) Do g bất khả quy F ( D f ) G  A4 có cấp khơng nhỏ 4, G  D8 Ngược lại, g khả quy F ( D f ) G  C4 V d Cho đa thức f  x4  5x2  5x  Rõ ràng f bất khả quy thức f h  x3 10 x2  45x  25 bất khả quy Giải Hơn biệt thức f -281375 không phương Do nhóm Galois f S V d Cho đa thức f  x4  5x2    x Kiểm tra f bất khả quy Giải thức f h( x)  x3  10 x  41x  x  x  10 x  41 khả quy Mặt khác, biệt thức f – 107584 = - 3282 khơng phương Có thể tích trực tiếp nghiệm f thấy f không khả quy (i) Do nhóm Galois f đẳng cấu với D8 3.2 S d ng Maple 37 Trong Maple 7, ta tính trực tiếp nhóm Galois đa thức bất khả quy có bậc khơng q Xét cú pháp ví dụ sau đây: > restart; > f : =x^4-5*x^2-4; f : x  5x  > galois (f) ; “4T3”,{“D(4)”}, “-”,8, {“(13)”, “(1234)”} Kết tính tốn Maple cho thấy nhóm Galois x4  5x2  đẳng cấu với nhóm D8 , có phần tử sinh phép (1 3) (1 4) nhóm nhóm S ( Maple kí hiệu Dn cho nhóm đối xứng n – giác ) 3.3 S d ng Maple Maple cho nghiệm thức đa thức bậc tuỳ ý lệnh [ > solve (f); với f đa thức bậc Xét với đa thức tổng quát bậc 4: Cho g  t  s1t  s2t  s3t  s4 Nhóm Galois S g có dãy nhóm chuẩn tắc V A4 S4 với V  1, 12  34  , 13 24  , 14  23 Đặt    y  t  t  t  t  ; y  t  t  t  t  y  t t t t ; 1 Vì đa thức đối xứng sơ cấp y1 , y2 , y3 thuộc F (s1 , s2 , s3 , s4 ) nên y1 , y2 , y3 nghiệm đa thức bậc F (s , s , s , s ) , gọi giải thức bậc g 38 Khi giải y1 , y2 , y3 ,cùng với t  t  t  t  s , suy cặp t1  t2 , t3  t4  ; t1  t3, t2  t4 ; t1  t4 , t2  t3  nghiệm đa thức bậc có hệ tử F (s , s , s , s , y , y , y ) Từ giải t , t , t , t 4 Trong thực hành, ta đặt u  t  s1 ta có đa thức bậc theo u : f  u  pu  qu  r Từ tính được: y  y  y  p; y y  y y  y y  p2  4r; 3 y y y  q Suy giải thức f (u) X  pX   p  4r  X  q Các nghiệm f cho bởi:        u1   y1   y2   y3  u   y   y   y  2  u    y   y   y   u    y   y   y  với thức chọn cho  y  y  y  q   39 KẾT LUẬN Luận văn nhằm giới thiệu số kết với việc trình bày chứng minh chi tiết cấu trúc mở rộng xyclic mở rộng với ứng dụng chúng Nội dung luận văn gồm: 1- Giới thiệu khái niệm kết sở lý thuyết mở rộng trường lý thuyết Galois 2- Trình bày khái niệm kết mở rộng xyclic 3- Giới thiệu số kết mở rộng tính giải nhóm Galois mở rộng 4- Chỉ ứng dụng công cụ mở rộng căn, đặc biệt mở rộng bậc hai toán tìm tiêu chuẩn giải thức phương trình đại số 5- Thực hành giải phương trình đại số phần mềm Maple 40 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển (2003), Số học thuật toán, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] S Lang (1974), Đại số, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [3] Nguyễn Thành Quang (2011), Lý thuyết trường ứng dụng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Nguyễn Tiến Quang (2007), Cơ sở lý thuyết trường lý thuyết Galois, Nhà xuất Đại học Sư phạm, Hà Nội [5] Ngô Việt Trung (2006), Lý thuyết Galois, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [6] Nguyễn Chánh Tú (2006), Mở rộng trường Lý thuyết Galois, Nhà xuất Giáo dục, Đà Nẵng TIẾNG ANH [7] H.M Edwards (1984), Galois Theory, Springer, New York [8] J S Milne (2011), Fields and Galois Theory, Sabre Peak, Moraine Creek, New Zealand [9] I Stewart (1989), Galois Theory, Chapman & Hall.` ... MỞ RỘNG XYCLIC VÀ MỞ RỘNG CĂN ………………… 14 2.1 Mở rộng yclic 14 2.2 Mở rộng c n 16 2.3 T nh giải ƣ c c a nh m Galois c a mở rộng c n 18 2.4 ng d ng c a mở rộng c n v mở rộng. .. kết sở lý thuyết mở rộng trường Lý thuyết Galois Chương Trình bày khái niệm kết mở rộng xyclic; giới thiệu mở rộng tính giải nhóm Galois mở rộng căn; số ứng dụng mở rộng xyclic mở rộng 5 Chương... q( x) 1.2.3 Mở rộng ại số v mở rộng siêu việt Ta gọi mở rộng E trường K mở rộng đại số K phần tử u  E phần tử đại số K Ta gọi mở rộng E trường K mở rộng siêu việt K mở rông E mở rộng đại số