Về mở rộng iđêan trong nửa nhóm sắp thứ tự

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ VĂN XUYÊN VỀ MỞ RỘNG IĐÊAN TRONG NỬA NHĨM SẮP THỨ TỰ LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học PGS.TS LÊ QUỐC HÁN Nghệ An – 12.2011 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC ……………………………………………………………………1 LỜI NÓI ĐẦU .…………………………………………………………….2 Chƣơng Các khái niệm tính chất dàn nửa dàn……… 1.1 Nửa dàn dàn …………………………………………………… …4 1.2 Cấu xạ iđêan ……………………………… …………………… 12 1.3 Các quan hệ tương đẳng ………………………………………………15 Chƣơng Sự mở rộng iđêan nửa nhóm thứ tự ………… ….20 2.1 Sự mở rộng iđêan nửa nhóm thứ tự……………………… …20 2.2 Các iđêan n – nguyên tố …………………………………………… …25 KẾT LUẬN………………………………………………………………….31 TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………….32 LỜI NÓI ĐẦU Năm 1990, N.Kehayopulu đưa khái niệm iđêan nguyên tố yếu nửa nhóm thứ tự tìm số đặc trưng chúng Giả sử (S,  ) nửa nhóm thứ tự Khi S gọi  - nửa dàn quan hệ  S  – nửa dàn (nghĩa với cặp phần tử a,b  S có cận lớn a  b  S, thỏa mãn điều kiện: với a,b,c  S có c(a  b) = ca  cb (a  b)c = ac  bc) Năm 1995, K.P Schum mở rộng khái niệm iđêan nguyên tố thành khái niệm iđêan n - nguyên tố cho  - nửa dàn sau: Một iđêan I S gọi n - nguyên tố (n  2, n số tự nhiên) xi S, i = 1,2,…, n cho x1x2x3… xn-2xn-1xn  I, n – 1phần tử tập hợp {x2x3… xn-2xn-1xn , x1x3… xn-2xn-1xn , x1x2x4… xn-2xn-1xn , x1x2x3… xn-2xn , x1x2x3… xn-2xn-1} thuộc I , chứng minh iđêan nguyên tố nửa dàn biểu diễn dạng giao iđêan (n - 1) - nguyên tố Ông chứng minh  - nửa dàn S nguyên tố iđêan S giao iđêan nguyên tố chứa nó, điều kiện tương đương với điều kiện: iđêan S iđêan – nguyên tố Nội dung luận văn dựa báo On the ideal extentions in ordered semigroups hai tác giả Xie Xiang – Yun Wu Ming – Fen, đăng tạp chí Semigroup Forum số 54 năm 1996 (xem [7]) để tìm hiểu mở rộng iđêan nguyên tố iđêan n - nguyên tố nửa nhóm thứ tự giao hoán Luận văn gồm hai chương: Chương Các khái niệm tính chất dàn nửa dàn Trong chương chúng tơi trình bày nửa dàn dàn, cấu xạ iđêan nửa dàn, quan hệ nửa dàn Chương Về mở rộng iđêan nửa nhóm thứ tự Trong chương chúng tơi trình bày mở rộng iđêan nửa nhóm thứ tự iđêan n – nguyên tố Luận văn hoàn thành Trường Đại học Vinh, hướng dẫn PGS TS Lê Quốc Hán Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS TS Lê Quốc Hán định hướng nghiên cứu, thường xuyên quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi, với lời động viên khích lệ tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy giáo, giáo tổ Đại số - Khoa Tốn - Trường Đại học Vinh động viên, giúp đỡ tác giả trình viết chỉnh sửa luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, cô giáo bạn đọc để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng 02 năm 2012 Tác giả Chƣơng CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN VỀ DÀN VÀ NỬA DÀN 1.1 Nửa dàn dàn 1.1.1 Định nghĩa (i) Giả sử X tập hợp tùy ý khác rỗng Khi quan hệ hai ≤ X gọi quan hệ thứ tự phận với x,y z  X, điều kiện sau thỏa mãn: P1.x ≤ x (phản xạ) P2 Nếu x ≤ y y ≤ x x = y (phản xứng) P3 Nếu x ≤ y y ≤ z x ≤ z (bắc cầu) (ii) Tập hợp X với quan hệ thứ tự phận ≤ gọi tập thứ tự phận (partly ordered set) hay « poset » (iii) Giả sử (X, ≤) poset x, y  X Nếu x ≤ y x  y ta viết x < y nói x nhỏ y x thực chứa y Quan hệ x ≤ y viết y  x đọc « y chứa x » Tương tự, x < y viết y > x… 1.1.2 Định nghĩa Giả sử (P, ≤) poset X tập P Khi phần tử a  P gọi cận (upper bound) X a chứa x  X Cận nhỏ (least upper bound) X cận X chứa cận khác X, ký hiệu l u b X hay sup X Theo P2, sup X tồn Các khái niệm cận (lower bound) X – ký hiệu g b X hay infX – định nghĩa đối ngẫu Lại theo P2, infX tồn 1.1.3 Định nghĩa Giả sử L poset Khi L gọi dàn (lattice) thỏa mãn điều kiện: với cặp phần tử a,b thuộc L, cận nhỏ chúng (ký hiệu a  b) cận lớn chúng (ký hiệu a  b) tồn thuộc L Dàn L gọi dàn đầy đủ (complete) tập X có cận nhỏ cận lớn thuộc L 1.1.4 Định nghĩa (i) Quan hệ ≤ tập hợp S gọi tựa – thứ tự (quasi- ordering) thỏa mãn tiên đề P1 P3 không thỏa mãn P2 (ii) Cặp (S, ≤) lúc gọi tập tựa thứ tự (quasi ordered set) Các tập hợp tựa – thứ tự xây dựng từ đồ thị định hướng Đó tập hợp điểm liên thơng nối đoạn thẳng định hướng Hình 1a mô tả đồ thị định hướng b (b, d, e) c a d (a) e (c) (b) (a) Hình Cho trước đồ thị định hướng với đỉnh x, y,…khi x < y định nghĩa x = y tồn quỹ đạo từ x đến y hướng mũi tên Như hình 1a có b  e quỹ đạo b → d, d → e Các quan hệ rõ ràng bắc cầu Mặt khác, hình 1a có b  e e  b nên luật phản xứng không Bây chứng tỏ poset xây dựng từ tựa thứ tự cho 1.1.5 Bổ đề Trong tập tựa – thứ tự Q = (S,  ), định nghĩa x ~ y x  y y  x Thế thì: (i) ~ quan hệ tương đương S (ii) Nếu E F hai lớp tương đương ~, x  y không tồn x  E, y  F x  E, y  F (iii) Tập thương S/~ poset E  F định nghĩa x  y x  E, y  F Chứng minh (i) Vì x  x tất x  S, nên ~ phản xạ Hơn x ~ y y ~ z kéo theo x  y y  z nên x  z theo P3 Tương tự, z  x nên x ~ z ~ bắt cầu Quan hệ ~ đối xứng theo định nghĩa (ii) Nếu x  y x  E, y  F đó, x  x1  y  y1 tất x1  E, y1  F, dó x1  y1 tính bắc cầu (iii) Rõ ràng E ~ F (vì x ~ x) tất E Hơn nữa, E  F F  G kéo theo x  y  z tất x  E, y  F, z  G, từ x  z theo P3   S/ ~ bắc cầu Cuối cùng, E  F F  E kéo theo tất x  E, y  F có x  y, y  x, từ x ~ y E = F □ Trong đồ thị định hướng hình 1a, lớp tương đương tập a, b, d , e, c poset tương ứng có biểu đồ phác họa hình 1b Vì có Bổ đề 1.1.5 nên tựa – thứ tự thường gọi tiền thứ tự (pre-order) Bổ đề 1.1.5 có nhiều ứng dụng, chẳng hạn thể ví dụ sau 1.1.6 Ví dụ Giả sử S nửa nhóm với đơn vị Ta định nghĩa quan hệ \ S sau: a \ b ac = b c  S Thế \ tựa - thứ tự S; phần tử S “tương đương” theo ý nghĩa Bổ đề 1.1.5 chúng “liên kết” theo nghĩa lý thuyết số Bây ta xét sâu tiên đề dàn 1.1.7 Mệnh đề Trong poset tùy ý, toán tử hợp giao thỏa mãn tính chất sau L1 x  x = x, x  x = x (lũy đẳng) L2 x  y = y  x, (giao hoán) x  y =y  x L3 x  (y  z) = (x  y)  z, x  (y  z) = (x  y)  z L4 x  (kết hợp) (x  y) = x  (x  y) = x (hấp thụ) Ngoài ra, x  y tương đương với điều kiện x  y = x x  y = y (phi mâu thuẫn) Chứng minh Luật lũy đẳng giao hoán rõ ràng Luật kết hợp L3 rõ ràng x  (y  z) (x  y)  z hai g.l (x, y, z) tất biểu thức thông báo tồn Sự tương đương x  y, z  y x  y =x kiểm tra trực tiếp suy L4 □ 1.1.8 Mệnh đề Nếu poset P có O O  x = O O  x = x x  P Đối ngẫu, P có cận phổ dụng I, x  I = x x  I = I x  P Chứng minh Suy trực tiếp từ định nghĩa □ 1.1.9 Mệnh đề Trong dàn tùy ý, toán tử hợp giao bảo toàn thứ tự nghĩa Nếu y  z, x  y  x  z x  y  x  z Chứng minh Theo L1 – L4 luật phi mâu thuẫn có x  y = (x  x)  (y  z) = (x  y)  (x  z), dó x  y  x  z theo luật phi mâu thuẫn Bất đẳng thức thứ hai suy từ nguyên lý đối ngẫu □ 1.1.10 Mệnh đề Trong dàn tùy ý có: x  (y  z)  (x  y)  (x  z) x  (y  z)  (x  y)  (x  z) Chứng minh Rõ ràng, x  y  x x  y  y  y  z; từ z  y  x  (y  z) Ta lại có x  z  x, x  z  z  y  z, từ x  z  x  (y  z) Nghĩa là, x  (y  z) cận x  y x  z Từ đó, x  (y  z)  (x  y)  (x  z) Bất đẳng thức thứ hai suy từ nguyên lý đối ngẫu □ 1.1.11 Mệnh đề Các phần tử dàn tùy ý thỏa mãn bất đẳng thức modular: z  x kéo theo x  (y  z)  (x  y)  z Chứng minh x  x  y x  z Từ x  (x  y)  z Ta lại có y  z  y  x  y y  z  z Do y  z  (x  y)  z, từ x  (y  z)  (x  y)  z.□ Từ Mệnh đề 1.1.5 – 1.1.10 dễ thấy lý thuyết dàn có màu sắc đại số mạnh Bây ta chứng minh xét chúng ngành đại số: đồng thức L1 – L4 đặc trưng đầy đủ dàn Muốn ta cần đưa vào khái niệm : 1.1.12 Định nghĩa Một hệ với phép toán hai ngơi đơn, lũy đẳng, giao hốn kết hợp gọi nửa dàn (semilattice) 10 Mệnh đề 1.1.6 có hệ trực tiếp sau hệ đối ngẫu hợp Hệ Giả sử P poset hai phần tử tùy ý có giao Thế P nửa dàn với phép tốn  Các nửa dàn gọi nửa dàn với giao (meet – semilattice) Đảo lại ta có 1.1.13 Mệnh đề Dưới quan hệ xác định (*) x  y xoy = x nửa dàn tùy ý với phép tốn hai ngơi o poset mà xoy = g.l.b x, y Chứng minh Luật lũy đẳng xox = x kéo theo luật phản xạ x  x Luật giao hoán xoy = you làm x  y (nghĩa xoy = x) y  x (nghĩa yox = y) kéo theo x = xoy = yox = y, luật phản xứng P2 Luật kết hợp làm x  y y  z kéo theo x = xoy = xo (yoz) = (xoy) oz = xoz, từ x  z, chứng minh luật bắc cầu P Lại có (xoy) ox = xo (xoy) = (xox) oy = xoy nên xoy  x Tương tự xoy  y Cuối cùng, z  x z  y, zo (xoy) = (zox) oy = zoy = z, từ z  xoy, chứng tỏ xoy = g.l.b x, y □ 1.1.14 Định lý Một hệ L với hai phép tốn hai ngơi   thỏa L1 – L4 dàn ngược lại Chứng minh Trước hết, theo Mệnh đề 1.1.13., L tùy ý thỏa L1 – L4 poset x  y = g.l.b x, y, x  y nghĩa x  y = x Tiếp L4, x  y = x kéo theo x  y = (x  y)  y = y (theo đối ngẫu) đảo lại Do x  y tương đương với x  y Bằng đối ngẫu, suy x  y = l.u.b x, y, từ L dàn Khẳng định ngược lại chứng minh phép chứng minh Mệnh đề 1.1.6 □ 19 1.3.6 Định nghĩa Dàn L gọi dàn bù đoạn ( sectionally comlemented) có đoạn [0,a] bù Rõ ràng dàn bù tương bù đoạn 1.3.7 Định lý Giả sử  quan hệ tương đẳng dàn L bù đoạn Thế x  tạo thành iđêan a  J(  ) (x  y)  a = x  y a  J(  ) Đảo lại, iđêan chuẩn J L xác định tương đẳng cách Chứng minh Trong dàn tùy ý, x  a = y  a a  kéo theo x = x  = x  a = y  a = y(  ) Đảo lại, giả sử x  y(  ) dàn bù đoạn giả sử a phần tử x  y [0,x  y] cho x  y  a = (x  y)  a = x  y Thế a  x  y, từ a = (x  y)  a = x  y  a = 0(  ), x  y  x  a  (x  y)  a = x  y Điều làm cho x  a = x  y, tương tự y  a = x  y = x  a, phép chứng minh kết thúc □ 1.3.8 Hệ Trong dàn bù tương độ dài hữu hạn, mội quan hệ tương đẳng  tương ứng phần tử a cho x  y (  ) x  a = y  a Phần tử a phần tử nhỏ iđêan (chính) J Định lý 1.3.7 1.3.9 Định nghĩa (i) Một iđêan dàn L gọi nguyên tố (prime) phần bù iđêan đối ngẫu Điều rõ ràng tương đương với điều kiện a  b kéo theo a  P b  P Từ dàn phân phối, iđêan J(c) nguyên tố c bất khả quy – giao (ii) Một iđêan thực A gọi tối đại (maximal) L không chứa iđêan thực lớn A thực (nghĩa là, nguyên tố đối ngẫu dàn L) 20 Từ Định lý 1.2.6 Định lý 1.3.3 trực tiếp suy 1.3.10.Hệ Iđêan nguyên tố dàn L cho hạt nhân toàn cấu dàn  : L→ Khơng lý thuyết vành, iđêan tối đại nói chung không nguyên tố ngược lại Tuy nhiên ta có 1.3.11 Định lý (Stone) Một iđêan vành Boole không tầm thường A nguyên tố tối đại 21 Chƣơng SỰ MỞ RỘNG IĐÊAN TRONG NỬA NHÓM SẮP THỨ TỰ 2.1 Sự mở rộng iđêan nửa nhóm thứ tự 2.1.1 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm a) Một quan hệ thứ tự  S gọi tương thích với phép nhân S thoả mãn điều kiện a  b (a, b  S) kéo theo ac  bc ca  cb với c  S b) Nửa nhóm gọi nửa nhóm thứ tự S xác định thứ tự tương thích 2.1.2 Định nghĩa Giả sử (S, ,  ) nửa nhóm thứ tự a) S gọi nửa nhóm  – nửa dàn quan hệ  S  – nửa dàn (nghĩa với cặp phần tử a, b  S có cận nhỏ a  b  S) thỏa mãn điều kiện : với a, b, c  S có c (a  b) = ca  cb (a  b)c = ac  bc b) S gọi nửa nhóm  - nửa dàn quan hệ  S  - nửa dàn (nghĩa với cặp phần tử a, b  S có cận lớn a  b thuộc S) thỏa điều kiện: với a, b, c,  S có c(a  b) = ca  cb (a  b)c = ac  bc 2.1.3 Ví dụ a) Giả sử S = (N, +) nửa nhóm cộng số tự nhiên với quan hệ thứ tự  thơng thường Khi (S,  ) nửa nhóm thứ tự, nửa nhóm  - nửa dàn đồng thời nửa nhóm  - nửa dàn b) Nửa nhóm P = (Z, ) số nguyên với quan hệ thứ tự  thơng thường khơng phải nửa nhóm thứ thứ tự khơng tương thích với phép nhân:  5(-1)  3(-1) 22 2.1.4 Định nghĩa a) Một tập khác rỗng I nửa nhóm S gọi iđêan S thỏa mãn hai điều kiện: I S  I, SI  I ; a , b  S, b  a a  I kéo theo b  I Trong suốt chương 2, S ln ký hiệu nửa nhóm thứ tự giao hoán 2.1.5 Định nghĩa ký hiệu Giả sử S nửa nhóm thứ tự giao hoán a) Một iđêan I S gọi iđêan nguyên tố a, b  S, ab  I kéo theo a  I b  I Điều kiện tương đương với điều kiện A, B  S, AB  I kéo theo A  I B  I b) Một iđêan I S gọi iđêan nửa nguyên tố A2  I  A  I c) Đối với a  S, ký hiệu I(a) iđêan S sinh a Ta có I(a) = (a  aS] = (a  Sa] d) Giả sử H  S Ký hiệu [H] = t  S h  H : t  h 2.1.6 Định nghĩa Giả sử I iđêan S, x  S Thế tập hợp x, I : = a  S / xa  I  gọi mở rộng I x 2.1.7 Mệnh đề Giả sử I iđêan S, x  S Thế 1) x, I iđêan S ; x2 , I ; 2) I  x, I  3) Nếu x  I x, I = S Chứng minh 1) Giả sử a  x, I , b  S Vì xa  I nên x(ab) = (xa)b  IS  I, với b  S Do ab  x, I 23 Giả sử a  x, I , b  S b  a Vì xa  I S  xb  xa nên xb  I, nghĩa b  x, I 2) Nếu a  I, xa  SI  I, nghĩa a  x, I Nếu a  x, I , x2a = x(xa)  SI  I, nghĩa a  x2, I 3) Giả sử x  I, a  S Vì xa  IS  I nên a  x, I □ 2.1.8 Mệnh đề Giả sử I iđêan S Thế I iđêan nguyên tố nếu: x  I, có x, I = I Chứng minh () Giả sử x  I, a  x, I Vì xa  I I nguyên tố nên a  I () Giả sử x, y  S, xy  I, x  I Vì xy  I nên y  x, I Vì x  I nên x, I = I Do y  I □ 2.1.9 Mệnh đề Giả sử I iđêan S, P ,   A họ iđêan S; I   P  A Thế thì, x  S, x, I iđêan nửa nguyên tố S Chứng minh: Giả sử x  S Khi x, I  x,  P   A Thật vậy, a  x,  P  A   A  a   x, P  A   A x, P  xa   P   A xa  P ,   A  a  x, P , 24 Giả sử   A x  P , x, P = S theo Mệnh đề 2.1.7 Nếu x  P , x, P = P (theo Mệnh đề 2.1.8) Giả sử B: =   A / x  P  Thế x, I =  P  A Vì P nguyên tố,   A nên x, I nửa nguyên tố □ 2.1.10 Mệnh đề Giả sử S có đơn vị e, giả sử a, b  S Thế I(a)  I(b) nếu, iđêan J S, có a, J  b, J Chứng minh () Giả sử J iđêan S, z  b, J Khi a  I(b) = (Sb], nghĩa a  xb với x  S Thế ax  ( xb) z  (bz) x  JS  J , az  J , z  a, J (  ) a  I(b) Thật vậy: I(b) iđêan S, theo giả thiết, ta có a, I (b)  b, I (b) Vì b  I(b) nên theo Mệnh đề 2.1.7 có b, I (b) = S Thế a, I (b) = S, nghĩa e  a, I (b) , a = ae  I(b) Vì I(b) iđêan S chứa a nên I(a)  I(b) □ Đối với iđêan I S, định nghĩa quan hệ hai  I S bởi:  I = ( x, y) / x, I  y, I  2.1.11 Mệnh đề Giả sử I iđêan nửa nguyên tố S Thế  I tương đẳng nửa dàn S thỏa mãn tính chất x  y  (x, xy)   I Chứng minh  I tương đẳng S Giả sử (x, y)   I , c  S Thế (xc, yc)   I Thật vậy: a  xc, I  (xc)a  I  x(ca)  I  ca  x, I  ca  y, I  y(ca)  I  (yc)a  I  a  yc, I Giả sử x  S Thế (x2, x)   I Thật vậy, theo Mệnh đề 2.1.7, có x, I  x2 , I 25 Mặt khác: a  x , I  x2 a  I  ( xa)2  ( x2a)a  IS  I  xa  I ( I nửa đơn)  a  x, I Giả sử x, y  S Vì xy  S,  I phản xạ nên (xy, xy)   I Vì S giao hốn, nên (xy, yx)   I Giả sử x  y Thế (x, xy)   I Thật vậy: x  x, I  xz  I  ( xz) y  IS  I  ( xy) z  I  z  xy, I x  xy, I  ( xy) z  I  ( xz)2  xz  xyz  ( xyz) z  IS  I  xz (vì I nửa đơn)  z  x, I □ Đối với nửa nhóm thứ tự S quan hệ N  I – I iđêan nguyên tố S - định nghĩa sau: N := ( x, y) N ( x)  N ( y) ( N ( x) lọc S sinh x(x  S) ; xem thêm ví dụ 1.2.5)  I:= ( x; y) x, y  I x, y  I  2.1.12 Mệnh đề Nếu I iđêan nguyên tố,  I =  I N   I Chứng minh Giả sử ( x; y)   I Thế x, y  I x, y  I Thật vậy: Giả sử x  I , y  I Thế theo Mệnh đề 2.1.7, có x, I = S theo Mệnh đề 2.1.8 có y, I = I Vì ( x, y)   I nên x, I = y, I Thế S = I y  S : mâu thuẫn Tương tự, từ x  I , y  I ta nhận mâu thuẫn Giả sử ( x, y)  I Khi x, I = y, I Thực vậy, giả sử x  I Vì ( x, y)  I nên y  I Vì x, y  I nên theo Mệnh đề 2.1.7 có x, I = y, I = S Giả sử 26 x  I ( x, y )   I nên y  I Vì x, y  I nên theo Mệnh đề 2.1.8 có x, I = I = y, I Theo Mệnh đề [2] có N =  I với I  J(S) J(S) tập hợp tất iđêan nguyên tố S Hơn I  J(S), có  I =  I Do N=  I   I  I với I J (S) □ Chú ý : Nếu I iđêan nguyên tố S ab  S, a  b, I iđêan nửa nguyên tố S nên theo Mệnh đề 2.1.11 , có (a, ab)   I Chúng ta nhận kết sau đây: I iđêan nguyên tố S, N   I (xem Mệnh đề 2.1.12) Nếu a,b   I , a  b (a, ab)  N ([8], Mệnh đề 1), (a, ab)   I 2.2 Các iđêan n – nguyên tố 2.2.1 Định nghĩa Một iđêan I S gọi n – nguyên tố (n  2, n số tự nhiên) xi  S, i = 1, 2, 3, n cho x1x2x3…… xn-2xn-1xn  I, n – phần tử tập hợp {x2x3… xn-2xn-1xn, x1x3….xn-2xn-1xn, x1x2x4… xn-2xn-1xn, …., x1x2x3….xn-2xn, x1x2x3….xn-2xn-1} thuộc I (iđêan – nguyên tố iđêan nguyên tố) 2.2.2 Mệnh đề Mỗi iđêan (n-1) - nguyên tố iđêan n – nguyên tố (với n  3) Chứng minh Giả sử I iđêan (n-1) – nguyên tố, giả sử x1x2 x3x4…… xn-3xn-2xn-1xn  I, xi  S, i = 1, 2, 3,………….n Vì (x1x2)x3x4………xn-3xn-2xn-1xn  I nên theo giả thiết, n-2 phần tử tập hợp M = {x3x4…xn-1xn, (x1x2) x4… xn-3xn-2xn-1xn, (x1x2)x3x5… xn-3xn-2xn-1xn, (x1x2)x3x4… xn-3xn-1xn, (x1x2)x3x4… xn-3xn-2xn, (x1x2)x3x4… xn-3xn-2xn-1} thuộc I Tập M có n-1 phần tử Bây xét trường hợp sau: 27 A) Giả sử x3x4…xn-3xn-2xn-1xn  I Thế tất phần tử tập hợp sau thuộc I: {(x1x2) x4… xn-3xn-2xn-1xn, (x1x2)x3x5… xn-3xn-2xn-1xn…(x1x2)x3x4….xn-3xn-2xn-1xn, (x1x2)x3x4… xn-3xn-2xn, (x1x2)x3x4 xn-3xn-2xn-1} Hơn nữa, x1x2x3x4… xn-3xn-2 xn-1  I, nên n - phần tử tập hợp K = {x2x3x4… xn-3xn-2 xn-1, x1 x3 x4 xn-3xn-2xn-1, x1x2x4… xn-3xn-2xn-1, x1x2x3x5… xn-3xn-2xn-1, x1x2x3x4… xn-3xn1, x1x2x3x4 xn-3xn-2} thuộc I Tập K có n - phần tử Như x2x3x4… xn- 3xn-2 xn-1  I x1 x3 x4 xn-3xn-2xn-1  I Nếu x2x3x4… xn-3xn-2 xn-1  I x2x3x4… xn-2xn-1xn  I Nếu x1x3x4 … xn-3xn-2 xn-1  I x1x3x4… xn-2xn-1xn  I B) Giả sử x3x4… xn-3xn-2xn-1xn  I Thế có n-3 phần tử tập hợp T = {(x1x2) x4… xn-3xn-2xn-1xn, (x1x2)x3x5… xn-3xn-2xn-1xn, …., (x1x2)x3x4… xn-3xn-1xn, x1x2x3x4 … xn-3xn-2xn, x1x2x3x4… xn-3xn-2xn-1} thuộc I T có n - phần tử, nữa, x3x4… xn-2 xn-1  I kéo theo x2x3x4… xn-3xn-2 xn-1  I x1x3x4… xn-3xn-2xn-1xn  I □ Các iđêan n – nguyên tố iđêan (n – 1) – nguyên tố Chúng ta chứng tỏ điều ví dụ sau 2.2.3 Ví dụ Giả sử S nửa nhóm thứ tự bảng nhân thứ tự sau: a b c d a b b d d b b b d d c d d c d d d d d d 28  : = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (d, b), (d, c)} Tập hợp {d} iđêan S Khi {d} – nguyên tố Hơn {d} iđêan – ngun tố bc = d b  d c  d Để kiểm tra tập hợp với phép nhân thứ tự xác định tập hợp thứ tự, tham khảo thêm [6] 2.2.4 Mệnh đề Giả sử I iđêan S Thế I n – nguyên tố mở rộng I (n - 1) – nguyên tố (với n  3) Chứng minh (  ) Giả sử I iđêan n – nguyên tố, x  S Giả sử x1x2x3x4 xn-3xn-2xn-1  x, I Vì xx1x2x3… xn-3xn-2xn-1  I nên theo giả thiết, n – phần tử tập hợp I = { x1x2x3x4….xn-3xn-2xn-1, xx2x3 … xn-3xn2xn-1, xx1x3x4… xn-3xn-2xn-1, xx2x4… xn-3xn-2xn-1, xx1x2x3x5… xn-3xn-2xn-1,…, x- x1x2x3x4 xn-3xn-1, x x1x2x3x4… xn-3xn-2} thuộc I Tập hợp I có n phần tử Do đó, có n-2 phần tử thuộc tập hợp { x2x3x4 … xn-3xn-2xn-1, x1x3x4… xn3xn-2xn-1, x1x2x4… xn-3xn-2xn-1, x2x3x5… xn-3xn-2xn-1, …, x1x2x3x4…xn-2xn-1, x1x2x3x4… xn-3xn-2} thuộc x, I (  ) Chúng ta chứng minh với n = 5, trường hợp tổng quát lập luận hoàn toàn tương tự Giả sử, x, I iđêan – nguyên tố với x  I, giả sử x1x2x3x4x5  I Thế có phần tử tập hợp sau thuộc I: { x2x3x4x5, x1x3x4x5, x1x2x4x5, x1x2x3x5, x1x2x3x4} Thực tế x1x2x3x4  nên có phần tử thuộc tập hợp { x2x3x4, x1x3x4, x1x2x4, x1x2x3} thuộc I Chúng ta xét trường hợp: a) x1x3x4, x1x2x4, x1x2x3  b) x2x3x4, x1x2x4, x1x2x3  c) x2x3x4, x1x3x4, x1x2x3  29 d) x2x3x4, x1x3x4, x1x2x4  A) Giả sử x1x3x4, x1x2x4, x1x2x3  Thế x1x3x4x5, x1x2x4x5, x1x2x3x5  I Vì x1x2x3x4x5  I nên x1x3x4x5  Thế có phần tử tập hợp {x3x4x5, x1x4x5, x1x3x4, x1x3x5} thuộc a) Giả sử x1x4x5, x1x3x5, x1x3x4  Thế x1x2x3x4  I b) Giả sử x3x4x5, x1x3x5, x1x3x4  Thế x2x3x4x5, x1x2x3x4  I c) Giả sử x3x4x5, x1x4x5, x1x3x4  Thế x2x3x4x5, x1x2x3x4  I d) Giả sử x3x4x5, x1x4x5, x1x3x5  Thế x2x3x4x5  I B) Giả sử x2x3x4, x1x2x4, x1x2x3  Thế x2x3x4x5, x1x2x4x5, x1x2x3x5  I Vì x1x2x3x4x5  I nên x2x3x4x5  Có phần tử thuộc tập hợp { x3x4x5, x2x4x5, x2x3x5, x2x3x4} thuộc a) Giả sử x2x4x5, x2x3x5, x2x3x4  Thế x1x2x3x4  I b) Giả sử x3x4x5, x2x3x5, x2x3x4  Thế x1x3x4x5, x1x2x3x4  I c) Giả sử x3x4x5, x2x4x5, x2x3x4  Thế x1x2x4x5, x1x2x3x4  I d) Giả sử x3x4x5, x2x4x5, x2x3x5  Thế x1x2x4x5  I C) Giả sử x2x3x4, x1x3x4, x1x2x3  Thế x2x3x4x5, x1x3x4x5, x1x2x3x5  I Mặt khác, từ x2x3x4x5  nên x1x2x3x5, x1x2x3x4  I x1x2x3x4  I x1x2x4x5  I (xem trường hợp trên) D) Giả sử x2x3x4, x1x3x4, x1x2x4  Thế x2x3x4x5, x1x3x4x5, x1x2x4x5  I Mặt khác từ x2x3x4x5  có x1x2x3x5, x1x2x3x4 x1x2x3x5  I (xem B)  I x1x2x3x4  I 30 2.2.5 Mệnh đề Nếu S có phần tử đơn vị e, khái niệm iđêan n – nguyên tố iđêan (n - 1) – nguyên tố S trùng Chứng minh Giả sử I iđêan n – nguyên tố S Theo Mệnh đề 2.2.4, iđêan e, I (n - 1) – nguyên tố Nếu a  e, I , a = ea  I, nên I = e, I Theo Mệnh đề 2.2.2, phép chứng minh hoàn thành □ 2.2.6 Mệnh đề Nếu I iđêan nửa nguyên tố S I   x, I xS Chứng minh Vì I  x, I nên I   x, I (theo Mệnh đề 2.1.9) Giả sử a xS   x, I Thế a  a, I nên a  I Vì I iđêan nửa nguyên tố nên a  I xS □ 2.2.7 Mệnh đề Giả sử I iđêan n – nguyên tố, nửa nguyên tố S, n  Giả sử: P = { T T iđêan (n - 1) – nguyên tố S, T  I } Thế I = T T P Chứng minh Vì I iđêan nửa nguyên tố, nên theo Mệnh đề 2.2.6 có I=  x, I xS Vì I iđêan n – nguyên tố, nên x, I iđêan (n - 1) – nguyên tố,  x  S (xem Mệnh đề 2.2.4) Do I =  x, I   T với x  S, T  P Mặt khác, I  T,  T  P nên I   T với T  P □ Trong Mệnh đề 2.2.7, I phải nửa nguyên tố Chúng ta chứng tỏ điều ví dụ sau 2.2.8 Ví dụ Giả sử S = {a, b, c, d} nửa nhóm giao hốn thứ tự bảng nhân thứ tự sau: 31 a b c d a a a a a b a a a a c a a a a d a a a d  : = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (a, c), (a, d)} Thế {a} iđêan S iđêan nửa đơn (b2 = a, b  a) Chúng ta chứng tỏ {a} iđêan – nguyên tố Các iđêan đơn S chứa tập hợp {a, b, c} S Hơn {a, b, c}  S = { a, b, c}  {a} 2.2.9 Hệ Nếu nửa nhóm thứ tự giao hoán S băng (nghĩa a2 = a,  a  S) hay nói cách khác S nửa dàn, iđêan n – nguyên tố S, n  biểu diễn giao tất iđêan nửa nguyên tố S chứa 32 KẾT LUẬN Luận văn thực vấn đề sau : Hệ thống lại khái niệm dàn nửa dàn, cấu xạ iđêan phạm trù dàn, tương đẳng nửa dàn tính chất chúng Trình bày khái niệm mở rộng iđêan nửa nhóm thứ tự tính chất (Mệnh đề 2.1.7, Mệnh đề 2.1.8, Mệnh đề 2.1.9) Trình bày cách xây dựng tương đẳng  I  I liên kết với iđêan nguyên tố I tính chất chúng (Mệnh đề 2.1.11, Mệnh đề 2.1.12) Trình bày khái niệm iđêan n – nguyên tố tìm hiểu mối liên hệ iđêan n – nguyên tố iđêan (n – 1) nguyên tố nửa nhóm thứ tự giao hoán (Mệnh đề 2.2.2, Mệnh đề 2.2.4, Mệnh đề 2.2.5) 33 III TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] A.H.Cliphớt G.B.Prestơn (1970), Lý thuyết nửa nhóm (tập 1), Bản dịch Trần Văn Hạo Hoàng Kỳ, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [2] Lê Quốc Hán (2007), Lý thuyết ngôn ngữ nhóm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Lê Quốc Hán (2008), Giáo trình lý thuyết nhóm lý thuyết nửa nhóm, Đại học Vinh Tiếng Anh [4] G.B.Burkhoff (1973), Lattice Theory, American Mat.Society [5] N.Kehayopulu (1990), On weakly prime ideals of ordered semigroups, Math.Japonica 35, No.6, 1051-1056 [6] N.Kehayopulu (1992), On prime, weakly prime ideals in ordered semigroups, Semigroup Forum 44, 341 – 346 [7] X Xiang – Yun and W Ming – Fen (1996), On the ideal extentions on ordered semigroups, Semigroup Forum, 54 , 63 – 71 ... nguyên tố tối đại 21 Chƣơng SỰ MỞ RỘNG IĐÊAN TRONG NỬA NHÓM SẮP THỨ TỰ 2.1 Sự mở rộng iđêan nửa nhóm thứ tự 2.1.1 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm a) Một quan hệ thứ tự  S gọi tương thích với phép... trình bày nửa dàn dàn, cấu xạ iđêan nửa dàn, quan hệ nửa dàn Chương Về mở rộng iđêan nửa nhóm thứ tự Trong chương chúng tơi trình bày mở rộng iđêan nửa nhóm thứ tự iđêan n – nguyên tố Luận văn hoàn... +) nửa nhóm cộng số tự nhiên với quan hệ thứ tự  thơng thường Khi (S,  ) nửa nhóm thứ tự, nửa nhóm  - nửa dàn đồng thời nửa nhóm  - nửa dàn b) Nửa nhóm P = (Z, ) số nguyên với quan hệ thứ tự