Nửa vành sắp thứ tự

-1- Bộ giáo dục đào tạo tr-ờng đại học vinh Trần Sỹ hạnh Nửa vành thứ tự luận văn thạc sĩ toán học Nghệ An - 2012 Formatted: Font: VnTime -2- Bộ giáo dục đào tạo tr-ờng đại học vinh Trần Sỹ hạnh Nửa vành thứ tự luận văn thạc sĩ toán học Chuyên ngành: Đại sè - lý thuyÕt sè M· sè: 60460104 Ng-êi h-íng dẫn khoa học PGS.TS Lê Quốc Hán Formatted: Font: VnTime Formatted: Centered Formatted: Portuguese (Brazil) Formatted: Portuguese (Brazil) NghÖ An - 2012 Formatted: Font: VnTime Formatted: Portuguese (Brazil) -3- MỤC LỤC Trang MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Quan hệ thứ tự tập 1.2 Nửa vành Nửa vành đơn Nửa vành luỹ đẳng cộng tính CHƢƠNG NỬA VÀNH SẮP THỨ TỰ Formatted: French (France) 14 2.1 Nửa vành thứ tự 14 2.2 Nửa vành thứ tự sai phân 21 KẾT LUẬN 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO 32 Formatted: French (France) -4- MỞ ĐẦU Lý thuyết vành đời từ kỷ 19 đạt đƣợc nhiều thành tựu rực rỡ vào cuối kỷ Bƣớc sang kỷ 20, dựa thành tựu lý thuyết môđun, đặc trƣng nhiều lớp vành đƣợc phát khảo sát cấu trúc mơđun chúng Bên cạnh đó, cấu trúc đại số có thứ tự ( nhƣ nhóm thứ tự, trƣờng thứ tự ) đƣợc quan tâm nghiên cứu Vào năm kỷ 20, nhu cầu nội toán học, lý thuyết nửa vành đời sớm thu hút đƣợc quan tâm giới toán học Đặc biệt, vào năm đầu kỷ 21, phát triển mạnh mẽ công nghệ thông tin, lý thuyết nửa vành tỏ có nhiều ƣu việc áp dụng vào khoa học tính tốn Luận văn dựa sách “The theory of semirings with applications in mathematics and theoretical computer science” Jonathan S.Golan (1992) để trình bày kiến thức nửa vành thứ tự II Cấu trúc luận văn Ngoài lời mở đầu, mục lục, tài liệu tham khảo, luận văn đƣợc chia thành chƣơng Chƣơng Kiến thức chuẩn bị Trong chƣơng này, chúng tơi trình bày quan hệ thứ tự tập, khái niệm sở nửa vành, nửa vành đơn, nửa vành luỹ đẳng cộng tính tính chất chúng để làm sở cho việc trình bày chƣơng sau Chƣơng Nửa vành thứ tự Đây nội dung luận văn Trƣớc hết, chúng tơi trình bày khái niệm số ví dụ nửa vành thứ tự Sau trình bày số tính chất nửa vành thứ tự Tiếp theo, chúng tơi trình bày lớp nửa vành thứ tự đặc biệt lớp nửa vành thứ tự sai phân Phần cuối luận văn trình bày khái niệm phần tử nguyên tố vành thứ tự tính chất chúng Formatted: French (France) -5- Luận văn đƣợc hoàn thành trƣờng Đại học Vinh dƣới hƣớng dẫn PGS.TS Lê Quốc Hán Nhân dịp tác giả xin đƣợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Quốc Hán, ngƣời định hƣớng nghiên cứu, thƣờng xuyên quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi, với lời động viên khích lệ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả biết ơn Ban chủ nhiệm khoa Tốn, Phịng đào tạo sau Đại học nhƣ thầy giáo, cô giáo Bộ môn Đại số tạo điều kiện giúp đỡ hƣớng dẫn tác giả q trình học tập hồn thành luận văn Mặc dù cố gắng, song luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận đƣợc đóng góp quý báu thầy, cô giáo bạn đọc để luận văn đƣợc hồn thiện Chúng tơi xin chân thành cảm ơn Nghệ An, tháng năm 2012 Tác giả -6- CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Quan hệ thứ tự tập 1.1.1 Định nghĩa (i) Giả sử X tập hợp tuỳ ý khác rỗng Khi tập  tích đề XxX đƣợc gọi quan hệ hai X Nếu (a,b)   ta viết a  b nói “a nằm quan hệ  với b” (ii) Nếu   quan hệ hai ngơi X hợp thành . chúng đƣợc định nghĩa nhƣ sau: (a,b)  . tồn x  X cho  a, x     x, b    Ký hiệu B X tập hợp quan hệ hai ngơi X Khi phép tốn o BX có tính chất kết hợp Thật vậy, , T thuộc BX khẳng định (a,b) ( . ).T (a,b) .(.T) tƣơng đƣơng với khẳng định: tồn phần tử x,y X cho (a,x), (x,y) (y,b) T Do (BX, o) nửa nhóm đƣợc gọi nửa nhóm quan hệ hai ngơi X Nửa nhóm có đơn vị quan hệ idX cho (a,b) iX a = b Quan hệ idX đƣợc gọi quan hệ đƣờng chéo hay quan hệ đồng X Ngoài X cịn có quan hệ phổ dụng cho (a,b)  X với a,b X Ta xem “quan hệ rỗng”  phần tử không BX Trên BX ta cịn xác định phép tốn ngược nhƣ sau: Giả sử Bx -1 BX cho (a,b) -1 (b,a)  Dễ thấy ( . )-1 =  -1  -1 ( -1)-1 =  với ,  BX 1.1.2 Chú ý Hệ thức    có nghĩa  tập  Điều tƣơng đƣơng với khẳng định: ab kéo theo a b Vì BX gồm tất tập XxX nên ta thực BX phép toán Bun (Boole): hợp, giao phần bù -7- 1.1.3 Định nghĩa Quan hệ  đƣợc gọi phản xạ idX  , đối xứng   -1 (và  = -1), bắc cầu .   Quan hệ  đƣợc gọi phản đối xứng    -1  id X 1.1.4 Định nghĩa Quan hệ hai  X đƣợc gọi quan hệ thứ tự phận  có tính chất phản xạ, phản đối xứng bắc cầu Khi  thƣờng đƣợc ký hiệu  Nếu quan hệ thứ tự phận  X thoả mãn điều kiện: với a,bX a b b a,  đƣợc gọi quan hệ thứ tự toàn phần Nếu a b a≠ b ta viết a < b hay a  b Quan hệ ngƣợc với quan hệ  (hay ) 1.1.5 Ví dụ (1) Giả sử ¢  ={1,2,3, } tập hợp tất số nguyên dƣơng Trên ¢  xác định quan hệ  cho a b a - b  Khi  quan hệ thứ tự tồn phần ¢  Nếu ¢  xét quan hệ ab a ƣớc b  quan hệ thứ tự phận nhƣng quan hệ thứ tự toàn phần (2) Giả sử S nửa nhóm E(S) = {eS/e =e} tập hợp tất luỹ đẳng S Trên E(S) xác định quan hệ  cho e  f ef=fe=e Khi  quan hệ thứ tự phận E(S) đƣợc gọi quan hệ thứ tự phận tự nhiên E(S) 1.1.6 Định nghĩa Giả sử  thứ tự phận X Y  X (i) Phần tử bX đƣợc gọi cận Y y  b với y Y Cận b Y đƣợc gọi cận bé (hay hợp) Y b  c với c cận Y Nếu Y có cận bé cận phải Cận cận lớn (hay giao) Y đƣợc định nghĩa cách đối ngẫu -8- (ii) Tập thứ tự (X, ) đƣợc gọi nửa dàn (hay nửa dàn dưới) tập gồm hai phần tử {a,b} X có hợp (hay giao) X đƣợc ký hiệu a  b (tƣơng ứng a^b) Nếu (X, ) nửa dàn (hay nửa dàn dƣới) tập hữu hạn X có hợp (tƣơng ứng giao) nằm X (iii) Tập thứ tự (X, ) đƣợc gọi dàn vừa nửa dàn trên, vừa nửa dàn dƣới Dàn X đƣợc gọi dàn đầy đủ tập tuỳ ý X có hợp giao 1.1.7 Ví dụ (i) Giả sử S nửa nhóm X tập hợp tất nửa nhóm S bổ sung thêm tập rỗng Thế X đƣợc thứ tự phận theo quan hệ bao hàm lý thuyết tập (A  B  A  B, A,BX) Vì giao họ tuỳ ý nửa nhóm S rỗng nửa nhóm nên (X, ) dàn đầy đủ Giao tập Y X trùng với giao theo lý thuyết tập phần tử thuộc Y, hợp Y nửa nhóm S sinh hợp theo lý thuyết tập phần tử thuộc Y Dàn X đƣợc gọi dàn nửa nhóm nửa nhóm S đƣợc ký hiệu Sub(S) (ii) Tƣơng tự, ta có dàn tƣơng đẳng nửa nhóm S đƣợc ký hiệu Cong(S) dàn iđêan S đƣợc ký hiệu I(S) 1.1.8 Định nghĩa Nửa nhóm S đƣợc gọi băng phần tử S phần tử luỹ đẳng Nhƣ vậy, S mơt băng S = E(S) ta xác định đƣợc quan hệ thứ tự phận tự nhiên a b ab = ba = a Khi a^ b = ba S giao hoán S nửa dàn dƣới Đảo lại, S nửa dàn dƣới ta xác định S phép tốn hai ngơi o cho a.b = a^ b Khi S băng giao hốn Vì vậy, ngƣời ta thƣờng đồng nửa dàn (dƣới) với băng giao hoán -9- 1.2 Nửa vành Nửa vành đơn Nửa vành luỹ đẳng cộng tính Trong tiết này, chúng tơi tìm hiểu nửa vành với dãy điều kiện đƣợc ấn định lên chúng Trƣớc hết trình bày nửa vành luỹ đẳng-cộng tính với điều kiện mạnh Xin nhắc lại số khái niệm ký hiệu dùng tiết 1.2.1 Định nghĩa Một tập hợp R khác rỗng đƣợc gọi nửa vành xác định hai phép tốn cộng nhân cho điều kiện sau đƣợc thoả mãn: (i) (R,+) vị nhóm giao hốn với phần tử đơn vị 0; (ii) (R,.) nửa nhóm; (iii) Phép nhân phân phối phép cộng; (iv) 0.r = = r.0, r  R Nửa vành R đƣợc gọi nửa vành với đơn vị (R,.) vị nhóm Đơn vị vị nhóm nhân đƣợc ký hiệu Để nửa vành không tầm thƣờng, cần giả thiết thêm 1≠  Giả sử R nửa vành aR Với số nguyên dƣơng n, tổng n coppy a đƣợc ký hiệu na tích n coppy a đƣợc ký hiệu a n Ta quy ƣớc a0 = với aR, R vành với đơn vị  Phần tử aR đƣợc gọi luỹ linh tồn số nguyên n cho an = Số nguyên dƣơng n nhỏ thoả mãn an = đƣợc gọi số luỹ linh a  |n| Nếu a,bR m,n số nguyên khơng âm phần tử a b |m| đƣợc định nghĩa theo quy nạp nhƣ sau: |0| |m| 1) a b = bm tất m  0; |n| |0| 2) a b = an tất n  ; 3) a |n+1| |m+1| b |n| |m+1| =(a b Một cách trực giác, a m lần b xuất 1.2.2 Mệnh đề |n| b )a + ( a |m| |n+1| |m| b )b tổng tất tích n lần a - 10 - Nếu a,b phần tử nửa vành R m,n số ngun khơng âm (i)  a  b  = n  a b i n i  :0  i  n   (ii) a n b m    a i b m1  ba ni :  i  n  Chứng minh Các kết đƣợc suy lập luận quy nạp trực tiếp. Giả sử A B tập khác rỗng nửa vành R ta định nghĩa tập A B nhƣ sau: A + B = { a+b:aA,bB}  AB = a1b1  a2b2   a nbn : n  N *, a i  A,bi  B  1.2.3 Định nghĩa a) Vành R đƣợc gọi luỹ đẳng-cộng tính r + r = r, rR Vành R đƣợc gọi luỹ đẳng nhân tính r2 = r, rR b) Một phần tử aR đƣợc gọi phần tử vô hạn a + r = a, rR Phần tử vô hạn R có (Thật vậy, a a’ phần tử vô hạn R a = a + a’ = a’ + a = a’) Giả sử R vành với đơn vị Khi khơng phải phần tử vơ hạn R +1 =  c) Nửa vành R đơn phần tử phần tử vơ hạn Khi 1+1=1 nên r + r = r Do nửa vành đơn luỹ đẳng - cộng tính Khẳng định ngƣợc lại nói chung khơng Ví dụ S = ¡ {}; (S, min,+) nửa vành giao hốn luỹ đẳng cộng tính nhƣng khơng phải nửa vành đơn 1.2.4 Mệnh đề Nếu a,b,c,d phần tử nửa vành luỹ đẳng cộng tính R thoả mãn a + c = b b + d = a d = b Chứng minh Theo tính chất luỹ đẳng cộng tính có a = a + a = a + b + d = a + a + c + d = a + c + d = b + d + c + d = b + d + c = a + c = b 1.2.5 Mệnh đề  - 20 - Nếu a phần tử nửa vành thứ tự phận R cho a  b với bR a  I +(R) Chứng minh Theo giả thiết có a  nên a  a + a  a + = a nên a + a = a từ a  I +(R)  2.1.7 Mệnh đề Nửa vành thứ tự phận dương bất khả đối Chứng minh Giả sử R nửa vành thứ tự dƣơng Nếu a, bR b nên a + b  a + = a + = a  b Nếu a + b = kéo theo  a  a = Tƣơng tự b =  2.1.8 Định nghĩa Một phần tử a nửa vành thứ tự phận R đƣợc gọi bắc cầu (transitive) a2  a Rõ ràng phần tử bắc cầu, phần tử a R thoả mãn 0 a Nếu R nửa vành giao hốn tập hợp tất phần tử bắc cầu R đóng dƣới phép lấy tích Các phần tử bắc cầu nửa vành Mn(R), R nửa vành cộng tính, đƣợc nghiên cứu Hashimoto năm 1985 2.1.9 Định nghĩa Giả sử R nửa vành với đơn vị Ký hiệu U ( R)  r  R \ r  R : rr   rr G( R)  r  R \1  r U ( R) Nửa vành R đƣợc gọi nửa vành Gelfand R = G(R) 2.1.10 Mệnh đề Nếu R nửa vành Gelfand thứ tự phận dương a, b  R tồn ước đơn vị u, v   R  cho ab au ab vb Chứng minh Vì R nửa vành Gelfand nên a, b  R u = + b + a ƣớc đơn vị R Hơn nữa, R dƣơng nên a  a + b  b + Từ định nghĩa vành thứ tự phận ta suy kết cần chứng minh  - 21 - Chú ý R vành nửa đơn ab  a ba  a tất a, b  R, theo Mệnh đề 1.2.5 2.1.11 Mệnh đề Nếu a1, a2, , an phần tử nửa vành đơn dương  h  k  n số cho ahak = a1a2 an=0 Chứng minh Giả sử b = a1a2 ah c = ah+1 ak Thế theo theo Mệnh đề 1.2.5, có  b  an  c  ak Điều kéo theo  bc  ah ak  bc = Từ a1a2 an = bc.ak+1 an =  2.1.12 Mệnh đề Nếu R nửa vành luỹ đẳng cộng tính R thứ tự phận quan hệ a  b a + b = b Dưới quan hệ này, R nửa vành dương thực tế R nửa dàn hợp với a v b = a + b Hơn nữa, a, b   R  a  b a  b -1 -1 Chứng minh Vì R vành luỹ đẳng cộng tính nên từ định nghĩa quan hệ  xác định a + b = b trực tiếp suy (R,  ) nửa vành thứ tự phận Rõ ràng a  a  R nên R dƣơng Hơn nữa, R luỹ đẳng cộng tính nên ta có a  a + b, b  a + b tất a, b  R Bây giả sử c  R thoả mãn a, b  c Thế a + c = c b + c = c nên (a + b) + c = a + (b + c) = a + c = c a + b  c Nhƣ a + b = av b Cuối cùng, a, b  U(R) a  b  a + b = b  a-1 = a-1bb-1 = a-1(a + b)b-1 = a-1+b-1 b-1 a-1  Chú ý từ trở đi, R nửa vành luỹ đẳng cộng tính quan hệ thứ tự  R đƣợc hiểu a  b  a + b = b Nói riêng, R vành nửa đơn quan hệ thứ tự R đƣợc hiểu theo nghĩa 2.1.13 Mệnh đề Giả sử R nửa vành đơn Thế (i) a  bc  d R kéo theo ad Hơn nữa, R dương - 22 - (ii) ab cd R kéo theo ac  cabd (iii) a, cb kéo theo a  cb Nói riêng, R nửa vành dương a  R , I  r  R \ ra iđêan R Chứng minh Trƣớc hết ta nhắc lại ab tồn r  R cho ar   r  b  (i) Từ giả thiết suy tồn e  b cho be  eb  o e  c  Vì a  b nên a  b  b Theo Mệnh đề 1.2.5 ta có b  ab  b a  b  ab  b Nhƣ ac  ac  bc  bae  be  Lập luận tƣơng tự chứng tỏ ea  Vì c  d nên c  d  d Từ e  d  e  c  d   d  Do ad (ii) Theo giả thiết tồn r , s  R cho ar    cs  sc r  b   s  d Đặt e  bs  r Thế e  ac  ca   bsac  bsca  rac  rca  theo đề Mệnh 2.1.12 Tƣơng tự  ac  ca  e  Hơn nữa, e  bd  b  d  s   r  b  r  Do ac  cabd (iii) Vì a, cb nên tồn r , s  R cho ar    cs  sc r  b   s  b Đặt d  rs Vì R dƣơng nên  d  a  c   rsa  rsc   sc  , từ dó d  a  c   Tƣơng tự,  a  c  d  Hơn d  b  d  1b  d   r  1b  rs  rb  b  r s  b   b  r 1 b  r  b  nữa, Do a  cb Cuối cùng, r  I r  R rr  ra đó, theo (1), rr a Tƣơng tự rra Nhƣ rr , rr  I Nếu r  ra theo (iii) Nhƣ vậy, r  r  I  2.2 Nửa vành thứ tự sai phân 2.2.1 Định nghĩa Một nửa vành thứ tự phận R đƣợc gọi sai phân (duy nhất) a  b R tồn phần tử (tƣơng ứng, phần tử nhất) c  R cho a + c = b - 23 - Các nửa vành thứ tự sai phân rõ ràng dƣơng bất khả đối Các nửa vành thứ tự sai phân giản ƣớc đƣợc chắn nửa vành thứ tự sai phân Chú ý nửa vành thứ tự sai phân thứ tự tồn phần Y nửa vành (nghĩa R  W  R  : a  R b  R, r  R : a  r  b, b  r  a ) Một nửa vành R đƣợc gọi cực trị (extrewal) a  b  a, b tất a, b  R Các nửa vành Boole vành X n  ,0,1, , n (với giả thiết   i,     i   i  X n phép toán i  h  max i, h , i.h  max i  h, n ) nửa vành cực trị Các nửa vành cực trị Y-nửa vành thứ tự sai phân luỹ đẳng cộng tính Các nửa vành cực trị đơn đƣợc gọi nửa vành Dijkstra Các nửa vành B,  , max,. , ¥  , min,  ¡   , max,min  nửa vành Dijkstra Định thức ma trận nửa vành cực trị đƣợc nghiên cứa Goandran Minoux vào năm 1978 Nói riêng, họ chứng tỏ R nửa vành chia đƣợc cực trị A  M n  R  thoả mãn điều kiện A  A   cột (và dịng) A phụ thuộc tuyến tính 2.2.2 Các ví dụ (1) Nửa vành ¥ nửa vành thứ tự sai phân thứ tự thông thƣờng (2) Nếu R nửa vành iđêan(R) nửa vành thứ tự sai phân đơn phần tử vô hạn R (3) Giả sử R nửa vành luỹ đẳng cộng tính  quan hệ R cho a  b  a  b  b Thế (R, ) nửa vành thứ tự sai phân Thật vậy, a  b  b a  b theo thứ tự sai phân Đảo lại, giả thiết a  b theo thứ tự sai phân, tồn c  R cho a  c  b b  a  c  a  c  c  b  c Suy a  b  a  b  c  b  b  b (4) Nếu R nửa vành thứ tự sai phân A tập khác rỗng nửa vành thứ tự phận RA (xem Ví dụ 2.1.3(7)) thứ tự sai phân Thật vậy, f , g  R A thoả mãn f  g f  a   g  a  với a  A - 24 - a  A tồn phần tử h  a   R cho f  a   h  a   g  a  Do f  f  g R Tƣơng tự, nửa vành thứ A tự phận M n , R  A  R  A  nửa vành thứ tự sai phân, R  A  R  A  tƣơng ứng vành đa thức hình thức chuỗi luỹ thừa hình thức A R 2.2.3 Định nghĩa Một tập A vành thứ tự phận R gọi tập lồi (convex) a,b A a  r b kéo theo r A Ta nhắc lại  : R  S cấu xạ nửa vành ta định nghĩa mker      1 1s   U  R   a U  R  \   a   1 Rõ ràng 1R  mker     mker    2.2.4 Mệnh đề Mỗi nửa vành bất khả đối R thứ tự vi phân Hơn nữa,  : R  S cấu xạ nửa vành mker    lồi với thứ tự tương ứng Chứng minh Nếu a b phần tử nửa vành chia đƣợc R ta viết a b tồn c R cho a + c = b Khi a a tất a  R a b  c kéo theo a  c Ta cần chứng minh a b b a; (R, ) nửa vành thứ tự phận vi phân Thật vậy, trƣớc hết ta chứng minh khẳng định thứ Mệnh đề 2.2.4 Giả sử k  mker    đồng cấu nửa vành  : R  S a, b, r  K cho a  r  b Giả thiết r  a, b Thế tồn phần tử khác khơng u v thuộc R cho a  u  r r  v  b Vì R bất khả đối nên u  v  Vì R đƣợc chia nên tồn w   u  v   R 1 Thế wu  wv  a, b  K nên awv  bwu  K Nhƣng awv  bwu  awv   a  u  v  wu  aw  u  v    a  v  wu  a  u  r nên r  K - 25 - Bây giả sử a  b b  a R Nếu a, b a  b Từ giả thiết a  Thế  a 1b  Vì 1  mker  i  , i : R  R tự cấu xạ R, a 1b  nhƣ a  b  Nhƣ hệ Mệnh đề 2.2.4, ta cú th c trng cỏc cu x t Ô vào nửa vành khác 2.2.5 Mệnh đề Nếu  : Ô R l mt cu x na vành (i) Im     B ; (ii)  đơn cấu Chứng minh Nu mker Ô \  đẳng cấu chuyển thành 0x v mi phn t khỏc khụng ca Ô thnh 1R nên Im     B Ngƣợc lại, giả thiết mker  c cha thc s Ô \ 0 Thế (ii) đƣợc thiết lập chứng tỏ đƣợc mker     1 Giả thiết điều không xảy giả sử a  ker    cho a  Thế a 1  ker    , khơng tổng quát, giả thiết  a  Tƣơng tự, giả sử  b Ô \ mker Th b1  mker    giả thiết  b  Do tồn số tự nhiên k cho a k  b  Vì a k  mker    nên dẫn tới mâu thuẫn với tính lồi m ker    , điều chứng minh (ii)  2.2.6 Hệ Nếu tồn ti mt cu x t Ô n na vnh R phải Chứng minh Giả thiết rng tn ti cỏc cu x : Ô  R Nếu Im     0,1 R luỹ đẳng cộng tính   1    2   1   1   Từ khơng có nửa vành đẳng cấu với ¤  theo Mệnh đề 2.2.5, khơng tn ti mt cu x no khỏc t Ô đến R Do ta giả thiết  l n ỏnh Nu : Ô R cấu xạ nửa vành  đơn ánh Đối với - 26 - n  ¥ ,   n   n 1  n.1R  n 1    n  v ú i vi mi p q Ô ta có     p q     p q  Nhƣ     q  p q    p     p     q  p q     2.2.7 Chú ý Nếu R nửa vành chia đƣợc bất khả đối, tồn cấu x na vnh t Ô n R, ú l ánh xạ  xác định  : p q   p1R  q1R  Đối với 1 nửa vành R nhƣ vậy, giả sử L  R   r  R \ a, b Ô : a  r    b  2.2.8 Mệnh đề Nếu R nửa vành chia bất khả đối, L  R   mker   cấu xạ  : R  S Chứng minh Giả sử r , r  L  R  tồn cỏc phn t a, a, b, b Ô tho mãn   a   r    b    a  r    b Nhƣ hệ trực tiếp định nghĩa thứ tự phận, ta có   aa  rr    bb ,   b   r 1    a  1 1   a   u 1  a  u  u 1ru  u 1  b  u    b  với  u  R tuỳ ý Nhƣ L  R  tập chia đƣợc chuẩn tắc R Hơn nữa, u v phần tử thuộc R thoả mãn u + v = a  a, a , b  max b, b   a    a u    a v  ru  rv    b u    b v    b ru  rv  L  R  Từ suy điều phải chứng minh  2.2.9 Mệnh đề Nếu R nửa vành thứ tự phận luỹ đẳng cộng tính thoả mãn  S  r  R \  r  1 nửa vành R Chứng minh Rõ ràng 0,1  S Nếu s, s  S  s  s     0s  ss  s1  , nhƣ s  s  S ss  S nên S nửa vành R  2.2.10 Chú ý - 27 - Nếu R S nửa vành thứ tự sai phân  : R  S cấu xạ nửa vành  bảo tồn thứ tự Thật vậy, a  b R tồn c  R cho a  c  b nên   a     c     b Do   a     b  2.2.11 Mệnh đề Nếu R nửa vành tuỳ ý tồn nửa vành thứ tự sai phân S cấu xạ toàn ánh nửa vành r : S  R Chứng minh Giả sử A  ar r  R tập hợp tƣơng ứng song ánh với R  : A  R song ánh Thế  * mở rộng đƣợc thành ánh xạ  * : A*  R đƣợc cho  *  B    *  w     a1    an  từ khác rỗng w  a1 an A* Giả sử S  ¥ A Thế tồn cấu xạ nửa vành  : S  R , mà rõ ràng tồn ánh, đƣợc xác định  : f   f  w   *  w  Hơn nữa, nửa vành ¥ thứ tự sai phân n vành ¥ A thứ tự sai phân theo Ví dụ 2.2.4  2.2.12 Mệnh đề Các điều kiện sau nửa vành R tương đương: (i) R vành thứ tự sai phân; (ii) Nếu a, b, c  R thoả mãn a  a  b  c a  a  b Chứng minh Giả thiết R đƣợc thứ tự sai phân b, c  R Nếu a  a  b  c a  a  b  a , a  a  b Đảo lại, giả thiết (ii) định nghĩa quan hệ  R cách đặt r  r  r  R : r  r  r Thế rõ a  a a  b, b  c kéo theo a  c với a, b, c  R Giả sử a  b, b  c , c, d  R : a  c  b, b  d  a Khi a  c  d  a a  c  a theo (ii) Suy b  a  c  a nên  thứ tự phận R mà làm cho R trở thành nửa vành thứ tự phận Nhƣ R thứ tự sai phân. 2.2.13 Hệ Nếu R nửa vành thứ tự sai phân Z(R) iđêan mạnh R - 28 - Chứng minh Ta nhắc lại Z  R   r  R \ a  R : r  a  a Một iđêan A R đƣợc gọi iđêan mạnh a  b  A kéo theo a  A b  A Giả sử b  c  Z  R  Thế a  R : a  b  c  a Theo Mệnh đề 2.2.12, ta có a  b  a b  Z  R  Tƣơng tự, c  Z  R   2.2.14 Mệnh đề Một iđêan I nửa vành thứ tự sai phân R iđêan mạnh a  b b  I kéo theo a  I Chứng minh Giả thiết I iđêan mạnh Nếu a  b b  I tồn phần tử c  R cho a  c  I Theo giả thiết, a  I Đảo lại, giả thiết điều kiện cho đƣợc thoả mãn Nếu a b phần tử thuộc R thoả mãn a  b  I a  a  b  I a  I Tƣơng tự b  I I iđêan mạnh  2.2.15 Hệ Nếu R nửa vành thứ tự sai phân A tập R  : A   x  A \ Ax  0 iđêan mạnh R Chứng minh Nếu c  b   : A a  A  ca  ba  ca  Nhƣ c   : A theo Mệnh đề 2.2.14,  : A iđêan mạnh R  2.2.16 Mệnh đề Nếu R nửa vành Gelfand thứ tự sai phân d  c U  R  R d U  R  Chứng minh Vì R đƣợc thứ tự sai phân nên từ c  d suy tồn r  R : d  c  r Thế d  R  2.2.17 Định nghĩa (i) Một phần tử a vành thứ tự sai phân R đƣợc gọi nguyên tố (prime) a U  R  bc  a kéo theo b  a c  a - 29 - (ii) Phần tử a  R đƣợc gọi nửa nguyên tố (semiprime) a U  R  b2  a kéo theo b  a Rõ ràng R nửa vành luỹ đẳng nhân tính phần tử không thuộc U  R  phần tử nửa nguyên tố 2.2.18 Ví dụ (i) Nếu R nửa vành tập phần tử nguyên tố nửa vành iđêan(R) iđêan nguyên tố R tập phần tử nửa nguyên tố iđêan(R) iđêan nửa nguyên tố R (Chú ý: Giả sử I iđêan nửa vành R Khi I đƣợc gọi iđêan nguyên tố thoả mãn điều kiện: Với H,K ideal R HK  I H  I K  I Một iđean I R đƣợc gọi nửa nguyên tố H  I , H R kéo theo H  I ) (ii) (Solian & Viswanathan, 1968): Nếu A tập hợp có hai phần tử I A iđêan nguyên tố tồn phần tử a  A cho f  a   f  b   với tất b  A \ a (iii) Nếu R nửa vành tập mở khơng gian tơpơ X phần tử ngun tố R thành phần tập bất khả quy đóng Nếu khơng gian X thoả mãn điều kiện: “Mỗi tập bất khả quy đóng bao đóng điểm” phần tử nguyên tố R thành phần bao đóng điểm thuộc X 2.2.19 Định nghĩa Giả sử R nửa vành thứ tự toàn phần Phần tử a  R đƣợc gọi phần tử maximal nonunit (không khả nghịch cực đại) thoả mãn hai điều kiện: a  R \ U  R  r  R \ r  a   tập khác rỗng U  R  Chú ý R nửa vành đơn phần tử khơng khả nghịch cực đại R đối nguyên tử R Vì ideal(R) nửa vành Gelfand thứ tự sai phân dƣơng, nên ta có 2.2.20 Mệnh đề Nếu R nửa vành Gelfand thứ tự sai phân dương phần tử khơng khả nghịch cực đại R nguyên tố - 30 - Chứng minh Giả sử a phần tử không khả nghịch cực đại R, b c phần tử thuộc R thoả mãn b  a, c  a b  a, c  với bc  a Thế a, b  a  b a  a  b , chứng tỏ a  b U  R  Tƣơng tự, a  c U  R  d   a  b  a  c  U Nhƣng d   a  b  a  ac  bc   a  b  a  ac  a   a  b  a  a  c  1   a  b  1 a  c  1 a  b  c  khả nghịch R R nửa vành Gelfand Do đó, R dƣơng nên  a  b  1 d  c  d   a theo 1 1 Mệnh đề 2.2.16 ta có a U  R  Điều mâu thuẫn dẫn đến a phần tử nguyên tố  Từ Mệnh đề 2.2.20 trực tiếp suy 2.2.21 Hệ Đối nguyên tử nửa vành thứ tự sai phân đơn phần tử nguyên tố Chú ý phần tử x   R,   gọi đối nguyên tử (cotom) thoả mãn hai điều kiện: x  từ x  y  kéo theo y  2.2.22 Mệnh đề Giả sử R nửa vành thứ tự sai phân đơn A tập khác rỗng R thoả mãn điều kiện: a, a  A tồn phần tử a  A cho a  aa Giả sử B  r  R \ a  r , a  A Thế phần tử tối đại luỹ đẳng cộng tính B phần tử nguyên tố Chứng minh Giả sử b phần tử tối đại luỹ đẳng cộng tính B r  R thoả mãn r , r   b Thế r  b  b, r  b  b Theo cách chọn b, điều có nghĩa r  b  B, r  b  B tồn a, a, a  A cho a  r  b, a  r  b, a  aa , từ a   r  b  r  b   rr  br  rb  b2 Suy br  rb  b2  b  b  b  b a  rr  b Nếu rr  b a  b  b  b ; - 31 - mâu thuẫn với b  B Nhƣ rr  B điều chứng minh b phần tử nguyên tố 2.2.23 Mệnh đề Giả sử R nửa vành luỹ đẳng cộng tính thứ tự sai phân đơn a phần tử không khả nghịch R Thế a phần tử nguyên tố tồn đặc trưng  a R thoả mãn Ker  a   r  R \ r  a Hơn nữa, a b hai phần tử nguyên tố phân biệt R  a  b phân biệt Chứng minh Giả thiết a phần tử nguyên tố  a : R  B hàm đƣợc định nghĩa  a  r   r  a Thế  a    R thứ tự sai phân  a 1   a Hơn nữa, r , r  R  a  r  r   r  r  a  r  a r  a   a  r     a  r  a  r    a  r   a  r  r Tƣơng tự, tính chất ngun tố, có  a  rr   rr  a  r  a hay r  a   a  r   a  r  nên  a  rr   a  r   a  r  Đảo lại, giả thiết tồn toàn cấu xạ  a : R  B Ker   a   r  R \ r  a Nếu r, r  R thoả mãn rr  a thoả mãn  a  r   a  r   a  rr  nên  a  r    a  r  Từ r  a r  a , điều chứng minh a nguyên tố Cuối cùng, a b phần tử khác R thoả mãn  a   b ,  b  a   a  b Tƣơng tự có b  a a  b  - 32 - KẾT LUẬN Qua luận văn trình bày vấn đề sau đây: Hệ thống khái niệm nửa vành, nửa vành đơn, nửa vành luỹ đẳng cộng tính nửa vành giản ƣớc đƣợc - 33 - Trình bày khái niệm ví dụ nửa vành thứ tự Chứng minh tính chất nửa vành thứ tự (Mệnh đề 2.1.7, Mệnh đề 2.1.11, Mệnh đề 2.1.13) Trình bày khái niệm ví dụ nửa vành thứ tự sai phân Chứng minh số tính chất nửa vành thứ tự sai phân (Mệnh đề 2.2.12, Mệnh đề 2.2.14) Trình bày khái niệm phần tử nguyên tố vành thứ tự chứng minh số tính chất đặc trƣng chúng (Mệnh đề 2.2.20, Mệnh đề 2.2.22, Mệnh đề 2.2.23) TÀI LIỆU THAM KHẢO - 34 - Tiếng Việt [1] Lê Quốc Hán (2009), Bài giảng Đại số đại, Đại học Vinh [2] S.Lang (1974), Đại số (tập 1,2,3), dịch Trần Văn Hạo Hoàng Kỳ, Nxb Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [3] Nguyễn Tiến Quang, Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết môđun lý thuyết vành, Nxb Giáo dục Tiếng Anh [4] Jonathan S Golan (1992), The theory of semirings with applications in mathematics and theoretical computer science, Longman scientific Technical, with John & Sons Ins New York [5] Cao Zhigiang (1984), Comparison between two kinds of semilattice semigroups, Acta Math Scientica 4, 311 - 317 [6] Ernest G Manes, Michad A Arbib (1985), The inverse semigroup of sum ordered semiring, Semigroup Forum 31,129 - 152 [7] Olga Sokratova (2002), On semimodules over commutative, additively idempotent semirings, Semigroup Forum 64, - 11 [8] Takayuki Tamura (1981), Note on semirings whose multiplicative semigroups are groups, in Namakura (ed): Proceeding of the 5th Symyposium on semigroups, Josai University, Sakado ... KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Quan hệ thứ tự tập 1.2 Nửa vành Nửa vành đơn Nửa vành luỹ đẳng cộng tính CHƢƠNG NỬA VÀNH SẮP THỨ TỰ Formatted: French (France) 14 2.1 Nửa vành thứ tự 14 2.2 Nửa vành thứ tự. .. sub(A)A nửa vành, định nghĩa thứ tự R cách đặt f  g f(a)  g(a) tất a  A Thứ tự làm cho R trở thành nửa vành thứ tự phận dƣơng (5) Một nửa vành nửa vành thứ tự phận nửa vành thứ tự phận với thứ tự. .. ý (R,  , ^) nửa vành thứ tự phận (2) Nửa vành ¥ với thứ tự thơng thƣờng nửa vành thứ tự toàn phần - 17 - Tƣơng tự, nửa vành ( ¡ {}, min, +) nửa vành thứ tự toàn phần với thứ tự thơng thƣờng