Về mở rộng phân bậc của nhóm phạm trù bện (tóm tắt + toàn văn)

n Bộ giáo dục và đào tạo TRờng đại học vinh CH TH KIM PHNG V M RNG PHN BC CA NHểM PHM TR BN Chuyờn ngnh: i s v Lý thuyt s Mó s: 62. 46. 01. 04 TóM TắT Luận án tiến sĩ toán học NGH AN - 2014 Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh Người hướng dẫn khoa học: 1. PGS. TS. Nguyễn Tiến Quang 2. PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án sẽ được bảo vệ tại Hội đồng đánh giá luận án cấp Trường họp tại Trường Đại học Vinh vào hồi giờ ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án tại: 1. Thư viện Nguyễn Thúc Hào - Trường Đại học Vinh 2. Thư viện quốc gia Việt Nam 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết phạm trù với tích tenxơ bắt đầu được nghiên cứu bởi J. Bénabou (1963) và S. MacLane (1963). Các tác giả trên đã xét các phạm trù trên đó có trang bị một phép toán ⊗ cùng với ràng buộc kết hợp a và ràng buộc đơn vị l, r thỏa mãn một số biểu đồ giao hoán. S. MacLane (1963) gọi phạm trù này là phạm trù monoidal và đưa ra điều kiện đủ cho tính khớp của các đẳng cấu tự nhiên a, l, r. S. MacLane cũng chỉ ra điều kiện đủ cho tính khớp của các đẳng cấu tự nhiên trong một phạm trù monoidal đối xứng, tức là một phạm trù monoidal có thêm đẳng cấu giao hoán c tương thích với các ràng buộc kết hợp và đơn vị. Sau đó, lý thuyết phạm trù monoidal đã được nhiều nhà toán học quan tâm và phát triển theo nhiều hướng khác nhau. Phạm trù monoidal có thể được “mịn hóa” để trở thành phạm trù với cấu trúc nhóm bằng việc bổ sung vật khả nghịch (xem M. L. Laplaza (1983) và N. S. Rivano (1972)). Nếu phạm trù nền là một groupoid (nghĩa là mọi mũi tên đều đẳng cấu) thì ta được phạm trù monoidal giống nhóm (xem A. Fr¨ohlich và C. T. C. Wall (1974)), hay Gr-phạm trù (xem H. X. Sính (1975)). Trong luận án này chúng tôi gọi phạm trù như thế là nhóm phạm trù theo cách gọi phổ biến gần đây (xem P. Carrasco và A. R. Garzón (2004), A. M. Cegarra và các đồng tác giả (2002)). Trong trường hợp nhóm phạm trù có thêm đẳng cấu giao hoán thì nó trở thành phạm trù Picard (xem H. X. Sính (1975)), hay nhóm phạm trù đối xứng (xem M. Bullejos và các đồng tác giả (1993)). Phạm trù monoidal bện xuất hiện trong công trình của A. Joyal và R. Street (1993) và là sự mở rộng của khái niệm phạm trù monoidal đối xứng. Các tác giả đã “mịn hoá” phạm trù monoidal bện để trở thành nhóm phạm trù bện khi bổ sung điều kiện mọi vật đều khả nghịch và mọi mũi tên là đẳng cấu. Họ cũng đã phân lớp các nhóm phạm trù bện bởi phạm trù các hàm quadratic dựa trên kết quả của S. Eilenberg và S. MacLane (1953) về biểu diễn hàm quadratic bởi nhóm đối đồng điều aben H 3 ab (G, A). Một trường hợp riêng của nhóm phạm 2 trù bện là phạm trù Picard đã được phân lớp trước đó bởi H. X. Sính (1975). Một hướng tổng quát của nhóm phạm trù đã được giới thiệu bởi A. Fr¨ohlich và C. T. C. Wall (1974) với tên gọi là nhóm phạm trù phân bậc. Sau đó, A. M. Cegarra và E. Khmaladze (2007) đã nghiên cứu nhóm phạm trù phân bậc bện và phạm trù Picard phân bậc. Các cấu trúc này lần lượt là các trường hợp tổng quát của nhóm phạm trù bện và phạm trù Picard. Họ đã thu được những kết quả về phân lớp nhờ các lý thuyết đối đồng điều Γ-môđun do họ xây dựng. Theo một hướng khác, một số tác giả đã quan tâm đến lớp nhóm phạm trù đặc biệt, trong đó các ràng buộc là các đồng nhất và các vật đều khả nghịch chặt chẽ, nghĩa là X ⊗ Y = I = Y ⊗ X. Lớp phạm trù này được gọi là G-groupoid theo R. Brown và C. B. Spencer (1976), Gr-phạm trù chặt chẽ theo H. X. Sính (1978), nhóm phạm trù chặt chẽ theo A. Joyal và R. Street (1993), 2-nhóm chặt chẽ theo J. C. Baez và A. D. Lauda (2004) hay 2-nhóm theo B. Noohi (2007). R. Brown và C. B. Spencer (1976) đã chỉ ra rằng mỗi môđun chéo được xác định bởi một G-groupoid và ngược lại. Từ đó các tác giả đã chứng minh rằng phạm trù các môđun chéo tương đương với phạm trù các G-groupoid (tương đương Brown-Spencer). Như trên, mỗi G-groupoid còn được gọi là nhóm phạm trù chặt chẽ, tuy nhiên phạm trù các G-groupoid chỉ là phạm trù con của phạm trù các nhóm phạm trù chặt chẽ. N. T. Quang và cộng sự (2014) đã chỉ ra mối liên hệ của phạm trù thứ hai này với phạm trù các môđun chéo, mà tương đương Brown- Spencer chỉ là trường hợp riêng. Kết quả này cho phép ứng dụng các kết quả về lý thuyết cản trở đối với các hàm tử và lý thuyết đối đồng điều vào việc nghiên cứu các môđun chéo. Hơn thế, cách làm này mở ra một hướng liên kết một số lớp môđun chéo nào đó với một đại số phạm trù thích hợp, như chúng tôi sẽ trình bày trong Chương 3 và Chương 4. Ý tưởng của R. Brown và C. B. Spencer cũng đã được A. Joyal và R. Street (1993) phát triển cho môđun chéo bện và nhóm phạm trù chặt chẽ bện. Tuy nhiên, A. Joyal và R. Street mới chỉ dừng lại ở việc xác định lẫn nhau giữa các cấu trúc nói trên, nghĩa là chỉ giữa các vật. Vấn đề đặt ra là có hay không một 3 tương đương Brown-Spencer cho các đối tượng này. Chúng tôi cho rằng đây là một vấn đề cần được giải quyết. Ngoài môđun chéo bện còn có một số kiểu môđun chéo khác cũng đã nhận được sự quan tâm của nhiều tác giả, chẳng hạn như: môđun chéo aben (xem P. Carrasco và các đồng tác giả (2002)), Γ-môđun chéo và Γ-môđun chéo bện (xem B. Noohi (2011)). Theo cách làm của N. T. Quang và các cộng sự (2014), chúng tôi mong muốn kết nối được những môđun chéo này với những đại số phạm trù thích hợp nào đó, và hy vọng sẽ nhận được những tương đương Brown-Spencer cho những đối tượng này. Theo một hướng khác, môđun chéo có liên quan chặt chẽ đến bài toán mở rộng nhóm. Bài toán mở rộng nhóm kiểu môđun chéo đã được giới thiệu bởi P. Dedecker (1964) và được giải quyết bởi R. Brown và O. Mucuk (1994). Điều đó gợi ý cho chúng tôi một hướng nghiên cứu là tìm hiểu bài toán mở rộng kiểu môđun chéo nào đó trong số các kiểu môđun chéo đã được đề cập. Vì những lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của mình là: “Về mở rộng phân bậc của nhóm phạm trù bện”. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận án là nghiên cứu về cấu trúc của các đại số phạm trù như: phạm trù Picard phân bậc, nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ, nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ bện, nhóm phạm trù chặt chẽ bện. Từ đó, chúng tôi phân lớp đối với Γ-môđun chéo bện, môđun chéo bện, môđun chéo aben và trình bày lý thuyết Schreier cho mở rộng Γ-môđun, mở rộng aben kiểu môđun chéo aben, mở rộng Γ-môđun kiểu Γ-môđun chéo aben và mở rộng tâm của các nhóm đẳng biến. 3. Đối tượng nghiên cứu Nhóm phạm trù bện, nhóm phạm trù phân bậc bện, một số kiểu môđun chéo và bài toán mở rộng nhóm kiểu môđun chéo. 4. Phạm vi nghiên cứu Luận án tập trung nghiên cứu về tính chặt chẽ và tính đối xứng trong nhóm 4 phạm trù bện và nhóm phạm trù phân bậc bện để phân lớp các kiểu môđun chéo và giải các bài toán mở rộng kiểu môđun chéo nào đó. 5. Phương pháp nghiên cứu Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong quá trình thực hiện đề tài. Về mặt kỹ thuật, chúng tôi sử dụng các phương pháp sau đây: - Dùng lý thuyết hệ nhân tử để nghiên cứu cấu trúc đại số phạm trù; - Dùng lý thuyết cản trở của hàm tử để giải bài toán mở rộng; - Dùng đại số phạm trù để phân lớp kiểu môđun chéo tương ứng. 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Các kết quả của luận án đã được đăng hoặc nhận đăng trên các tạp chí quốc tế. Vì vậy, chúng có thể được xem là có ý nghĩa khoa học theo một mức độ nào đó và đóng góp về tư liệu cho những ai quan tâm đến những vấn đề có liên quan. 7. Tổng quan và cấu trúc luận án 7.1. Tổng quan về luận án A. M. Cegarra và E. Khmaladze (2007) đã xây dựng đối đồng điều đối xứng của các Γ-môđun H n Γ,s (M, N). Từ đó, họ đã ứng dụng lần lượt các nhóm đối đồng điều thứ 2 và 3 để phân lớp các mở rộng Γ-môđun và phân lớp các phạm trù Picard phân bậc. Nội dung đầu tiên của luận án là nghiên cứu phạm trù Picard Γ-phân bậc bằng phương pháp hệ nhân tử như N. T. Quang (2010) đã làm cho các nhóm phạm trù Γ-phân bậc. Chúng tôi chứng minh rằng mỗi phạm trù Picard phân bậc P tương đương với một rộng tích chéo của một hệ nhân tử lấy hệ tử trong phạm trù Picard thu gọn kiểu (π 0 P, π 1 P), đồng thời chỉ ra mỗi hệ nhân tử nói trên cảm sinh các cấu trúc Γ-môđun trên các nhóm aben π 0 P, π 1 P và cảm sinh một 3-đối chu trình chuẩn tắc h ∈ Z 3 Γ,s (π 0 P, π 1 P). Như một ứng dụng của lý thuyết phạm trù Picard phân bậc, chúng tôi trình bày sự phân lớp các mở rộng Γ-môđun nhờ vào các hàm tử monoidal phân bậc đối xứng. Những 5 kết quả này cho phép thu lại được định lý phân lớp các phạm trù Picard phân bậc và phân lớp đối đồng điều các mở rộng Γ-môđun của A. M. Cegarra và E. Khmaladze (2007). Khái niệm môđun chéo đã được giới thiệu bởi J. H. C. Whitehead (1949). A. Joyal và R. Street (1993) đã nghiên cứu một khái niệm mịn hơn khái niệm môđun chéo. Khái niệm này được gọi là môđun chéo bện. Năm 2004, từ khái niệm môđun chéo, P. Carrasco và các đồng tác giả trong (2002) đã xét trường hợp các nhóm có tính chất giao hoán và đưa ra khái niệm môđun chéo aben. Họ chứng minh rằng phạm trù các môđun chéo aben tương đương với phạm trù các môđun phải trên vành các ma trận. Năm 2011, B. Noohi đã bổ sung một Γ-tác động từ nhóm Γ lên các nhóm và đồng cấu nhóm trong khái niệm môđun chéo, môđun chéo bện và đưa ra khái niệm Γ-môđun chéo, Γ-môđun chéo bện khi so sánh các phương pháp khác nhau để tính đối đồng điều lấy hệ tử trong một môđun chéo. Tuy nhiên, trong bài báo đó, tác giả chưa đề cập đến sự phân lớp các kiểu môđun chéo này. Năm 2013, N. T. Quang và P. T. Cúc đã xây dựng nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ để phân lớp các Γ-môđun chéo và giải bài toán mở rộng nhóm đẳng biến kiểu Γ-môđun chéo. Mở rộng này là dạng tổng quát của mở rộng nhóm đẳng biến của A. M. Cegarra và các đồng tác giả (2002) và mở rộng nhóm kiểu môđun chéo của R. Brown và O. Mucuk (1994). Nội dung thứ hai của luận án là xây dựng mũi tên trong phạm trù các môđun chéo bện bao gồm một đồng cấu (f 1 , f 0 ) : M → M  của các môđun chéo bện và một phần tử thuộc nhóm các 2-đối chu trình aben Z 2 ab (π 0 M, π 1 M  ). Từ đó, chúng tôi chứng minh rằng phạm trù các môđun chéo bện tương đương với phạm trù các nhóm phạm trù chặt chẽ bện. Mũi tên trong phạm trù các nhóm phạm trù chặt chẽ bện là các hàm tử monoidal đối xứng (F,  F ) : P → P  bảo toàn phép toán tenxơ và  F x,y =  F y,x với x, y ∈ Ob(P). Nếu môđun chéo bện là môđun chéo aben thì nhóm phạm trù chặt chẽ bện là phạm trù Picard chặt chẽ. Khi đó, chúng tôi thiết lập một tương đương phạm trù cho phạm trù các môđun chéo aben và phạm trù các phạm trù Picard chặt chẽ, đồng thời giải bài toán mở rộng aben kiểu môđun chéo aben. 6 Nội dung thứ ba của luận án là giới thiệu khái niệm nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ bện để biểu diễn Γ-môđun chéo bện. Từ đó, chúng tôi nghiên cứu mối liên hệ giữa các đồng cấu Γ-môđun chéo bện và hàm tử monoidal phân bậc đối xứng của các nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ bện liên kết với các Γ-môđun chéo bện tương ứng. Điều này làm cơ sở cho phép chứng minh một tương đương phạm trù giữa phạm trù các Γ-môđun chéo bện với phạm trù các nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ bện. Đồng thời, chúng tôi cũng giải bài toán mở rộng Γ-môđun kiểu Γ-môđun chéo aben. Phần cuối của luận án sẽ ứng dụng nhóm phạm trù phân bậc để chỉ ra rằng nếu h là bất biến thứ ba của nhóm phạm trù Γ-phân bậc chặt chẽ Hol Γ G và p : Π → Out G là một hạt nhân đẳng biến thì p ∗ (h) là một cản trở của p, và phân lớp các mở rộng nhóm đẳng biến A → E → Π với A ⊂ ZE bởi các tự hàm tử monoidal Γ-phân bậc của nhóm phạm trù Γ-phân bậc  Γ (Π, A, 0). Đồng thời chúng tôi xây dựng một nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ là hợp thành của một nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ với một Γ-đồng cấu. Kết quả này mở rộng cấu trúc pull-back của S. MacLane (1963) trong phép dựng mở rộng nhóm Eγ của mở rộng E và đồng cấu nhóm γ. 7.2. Cấu trúc của luận án Ngoài các phần Mở đầu, Kết luận chung, Danh mục công trình liên quan trực tiếp đến luận án, Tài liệu tham khảo, phần nội dung chính của luận án được trình bày trong năm chương. Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ sở để sử dụng cho những chương tiếp theo. Chương 2 nghiên cứu các phạm trù Picard phân bậc bằng phương pháp hệ nhân tử. Chương 3 nghiên cứu nhóm phạm trù chặt chẽ bện để phân lớp các môđun chéo bện, môđun chéo aben và mở rộng aben kiểu môđun chéo aben. Chương 4 xây dựng nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ bện để phân lớp các Γ-môđun chéo bện và các mở rộng Γ-môđun kiểu Γ-môđun chéo aben. Chương 5 nghiên cứu về nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ gắn với bài toán mở rộng nhóm đẳng biến. 7 CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả về phạm trù monoidal, nhóm phạm trù bện, phạm trù Picard, nhóm phạm trù phân bậc, đối đồng điều của các Γ-môđun, nhóm phạm trù phân bậc bện và phạm trù Picard phân bậc. Những nội dung này làm cơ sở cho các chương tiếp theo. Mục 1.1 nhắc lại khái niệm phạm trù monoidal, hàm tử monoidal, đồng luân và nhóm phạm trù. Mục 1.2 nhắc lại khái niệm nhóm phạm trù bện, phạm trù Picard, hàm tử monoidal đối xứng, nhóm phạm trù bện thu gọn và trình bày hai kết quả về cản trở của hàm tử kiểu (ϕ, f) để trở thành một hàm tử monoidal đối xứng. Mục 1.3 nhắc lại khái niệm phạm trù monoidal phân bậc, nhóm phạm trù phân bậc và nhóm phạm trù phân bậc kiểu (Π, A, h). Mục 1.4 nhắc lại một cách ngắn gọn về các nhóm đối đồng điều aben (đối xứng) chiều thấp của các Γ-môđun. Mục 1.5 nhắc lại khái niệm phạm trù monoidal phân bậc bện (đối xứng), nhóm phạm trù phân bậc bện (đối xứng), hàm tử monoidal phân bậc đối xứng và nhóm phạm trù phân bậc bện kiểu (M, N, h). Phần cuối của mục sẽ trình bày hai kết quả về cản trở của hàm tử phân bậc kiểu (ϕ, f) để trở thành hàm tử monoidal phân bậc đối xứng. 8 CHƯƠNG 2 HỆ NHÂN TỬ TRONG CÁC PHẠM TRÙ PICARD PHÂN BẬC Trong chương này, chúng tôi mô tả hệ nhân tử đối xứng trong phạm trù Picard phân bậc để giải thích nhóm đối đồng điều đối xứng thứ 3 của các Γ-môđun và phân lớp các mở rộng Γ-môđun nhờ các hàm tử monoidal phân bậc đối xứng. Các kết quả chính của chương được viết dựa theo bài báo [1]. 2.1. Hệ nhân tử lấy hệ tử trong phạm trù Picard Ký hiệu Pic là phạm trù của các phạm trù Picard và các hàm tử monoidal đối xứng giữa chúng. Ký hiệu Z 3 s là phạm trù con đầy của phạm trù Pic có vật là một phạm trù Picard P =  (M, N, h), trong đó M, N là các nhóm aben và h = (ξ, η) ∈ Z 3 s (M, N) với ξ : M 3 → N, η : M 2 → N, còn mũi tên  (M, N, h) →  (M  , N  , h  ) là một hàm tử monoidal đối xứng (F,  F ), trong đó F là cặp đồng cấu nhóm ϕ : M → M  và f : N → N  ,  F liên kết với hàm g : M 2 → N  sao cho f ∗ (h) = ϕ ∗ (h  ) + ∂g ∈ Z 3 s (M, N  ). 2.1.1 Định nghĩa. Một hệ nhân tử đối xứng F trên Γ với các hệ tử trong phạm trù Picard P (hay một giả hàm tử F : Γ → Pic) bao gồm một họ các tự tương đương monoidal đối xứng F σ : P → P với σ ∈ Γ và các đẳng cấu giữa các hàm tử monoidal đối xứng θ σ,τ : F σ F τ → F στ với σ, τ ∈ Γ, thỏa mãn các điều kiện: (i) F 1 = id P ; (ii) θ 1,σ = id F σ = θ σ,1 , σ ∈ Γ; [...]... phạm trù chặt chẽ bện; Xây dựng tương đương phạm trù cho phạm trù các môđun chéo aben và phạm trù các phạm trù Picard chặt chẽ; - Đưa ra định nghĩa nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ bện và xây dựng tương đương phạm trù giữa phạm trù các nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ bện với phạm trù các Γ-môđun chéo bện; - Phát biểu và giải bài toán mở rộng aben kiểu môđun chéo aben và bài toán mở rộng Γ-môđun kiểu... nghĩa Nhóm phạm trù phân bậc G được gọi là một nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ nếu (i) Ker G là một nhóm phạm trù chặt chẽ; (ii) G cảm sinh một hệ nhân tử chính qui (F, θ) trên Γ với các hệ tử trong nhóm phạm trù Ker G Sau đây chúng tôi sẽ trình bày ba ví dụ về nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ 5.1.2 Ví dụ Với Γ -nhóm Π, ta có thể xây dựng nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ DisΓ Π giống như phạm trù Picard... bậc chặt chẽ HolΓ G với cản trở của hạt nhân đẳng biến (Π, G, p) Chúng tôi cũng phân lớp các mở rộng nhóm đẳng biến là mở rộng tâm và xây dựng một nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ từ một nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ và một Γ-đồng cấu đẳng biến Các kết quả chính của chương được viết dựa theo bài báo [3] 5.1 Nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ Khái niệm nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ sau đây đã được giới... các phạm trù Picard phân bậc thông qua khái niệm giả hàm tử (hệ nhân tử) để giải thích nhóm đối đồng điều đối xứng thứ 2 và thứ 3 của các Γ-môđun Từ đó, thu lại được kết quả về sự phân lớp các phạm trù Picard phân bậc của A M Cegarra và E Khmaladze, và thu được kết quả mới về phân lớp các mở rộng Γ-môđun; - Xây dựng tương đương phạm trù giữa phạm trù các môđun chéo bện với phạm trù các nhóm phạm trù. .. toán phân lớp tương đương các phạm trù Picard Γ -phân bậc sẽ được thực hiện trên các phạm trù Picard phân bậc dạng này 10 2.2.8 Định nghĩa Giả sử M và N là những Γ-môđun Một phạm trù Picard Γ -phân bậc P được gọi là một phạm trù Picard Γ -phân bậc tiền đính kiểu (M, N ) nếu tồn tại cặp đẳng cấu của các Γ-môđun (p, q) : (M, N ) → (π0 P, π1 P) Dễ thấy rằng mỗi hàm tử Γ -phân bậc giữa hai phạm trù Picard Γ -phân. .. xứng chính qui và θσ,τ = id 4.1.5 Định nghĩa Nhóm phạm trù phân bậc bện P được gọi là một nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ bện nếu (i) Ker P là một nhóm phạm trù chặt chẽ bện; (ii) P cảm sinh một hệ nhân tử đối xứng chính qui (F, θ) trên Γ với các hệ tử trong Ker P Chúng tôi đã chỉ ra rằng mỗi Γ-môđun chéo bện M xác định một nhóm phạm trù Γ -phân bậc chặt chẽ bện PM và ngược lại Bây giờ chúng tôi sẽ trình... tồn tại mở rộng aben của B bởi Q kiểu B → D cảm sinh ψ Hơn nữa, khi ψ ∗ h triệt tiêu thì tập các lớp tương đương của các 2 mở rộng này là song ánh với Hs (Q, Ker d) 17 CHƯƠNG 4 Γ-MÔĐUN CHÉO BỆN VÀ NHÓM PHẠM TRÙ PHÂN BẬC CHẶT CHẼ BỆN Phần đầu của chương sẽ giới thiệu khái niệm nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ bện để biểu diễn khái niệm Γ-môđun chéo bện của B Noohi (2011) Từ đó, chúng tôi phân lớp các... phạm trù chặt chẽ bện Chúng tôi cũng thiết lập tương đương phạm trù giữa phạm trù các môđun chéo aben với phạm trù các phạm trù Picard chặt chẽ và giải bài toán mở rộng aben kiểu môđun chéo aben Các kết quả chính của chương được viết dựa theo hai bài báo [2] và [4] 3.1 Môđun chéo bện và nhóm phạm trù chặt chẽ bện Sự xác định lẫn nhau giữa môđun chéo bện và nhóm phạm trù chặt chẽ bện đã được trình bày... Trong mục này, chúng tôi phân lớp các mở rộng nhóm Γ-đẳng biến A E Π với A ⊂ ZE qua các tự hàm tử của nhóm phạm trù Γ -phân bậc Γ (Π, A, 0) Để trình bày kết quả này, ta ký hiệu Extc (Π, A) là tập các lớp Γ tương đương của các mở rộng nhóm Γ-đẳng biến của A bởi Π là mở rộng tâm 5.3.1 Định lý (Lý thuyết Schreier cho các mở rộng tâm của các nhóm đẳng biến) Giả sử Π là Γ -nhóm và A là Π-môđun Γ-đẳng biến Khi... lớp các mở rộng Γ-môđun của N bởi M nhờ vào các hàm tử monoidal phân bậc đối xứng giữa hai phạm trù Picard phân bậc DisΓ M và RedΓ N 2.3.1 Định nghĩa Một mở rộng Γ-môđun của N bởi M là một dãy khớp ngắn của các Γ-môđun và các đồng cấu Γ-môđun p i E : 0 → N → B → M → 0 − − (2.3.1) Ký hiệu ExtZΓ (M, N ) là tập tất cả các lớp tương đương của các mở rộng Γ-môđun của N bởi M Phạm trù Picard Γ -phân bậc rời . niệm và kết quả về phạm trù monoidal, nhóm phạm trù bện, phạm trù Picard, nhóm phạm trù phân bậc, đối đồng điều của các Γ-môđun, nhóm phạm trù phân bậc bện và phạm trù Picard phân bậc. Những nội. phạm trù bện . 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận án là nghiên cứu về cấu trúc của các đại số phạm trù như: phạm trù Picard phân bậc, nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ, nhóm phạm trù phân bậc. hàm tử monoidal Γ -phân bậc của nhóm phạm trù Γ -phân bậc  Γ (Π, A, 0). Đồng thời chúng tôi xây dựng một nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ là hợp thành của một nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ với