Tính tuần hoàn và ổn định của nghiệm phương trình tiến hóa

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC CAO THỊ THU TRANG TÍNH TUẦN HỒN VÀ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC CAO THỊ THU TRANG TÍNH TUẦN HỒN VÀ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA Chuyên ngành: Toán Ứng dụng Mã số: 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TSKH NGUYỄN THIỆU HUY THÁI NGUYÊN - 2018 i MỤC LỤC Danh sách kí hiệu ii Lời nói đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh, tính ổn định nhị phân mũ 1.1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh 1.1.2 Nửa nhóm giải tích 1.1.3 Tính ổn định nhị phân mũ 1.2 Không gian Banach định lý Banach-Alaoglu 12 1.3 Bất đẳng thức Gronwall 13 Chương Sự tồn nghiệm tuần hoàn phương trình tiến hóa tuyến tính 16 2.1 Nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa tuyến tính 16 2.2 Sự tồn nghiệm tuần hoàn nửa nhóm có nhị phân mũ 22 Chương Sự tồn ổn định có điều kiện nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 26 3.1 Nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 26 3.2 Nghiệm tuần hoàn trường hợp nửa nhóm có nhị phân mũ 28 3.3 Ổn định có điều kiện 30 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 38 ii DANH SÁCH KÍ HIỆU N : tập số tự nhiên R : tập số thực R+ : tập số thực không âm L p (R) := u : R → R u p |u(x)| p dx)1/p < +∞ , ≤ p < ∞ =( R X,Y : không gian Banach L (X) : khơng gian tốn tử tuyến tính bị chặn Cb (R+ , X) := v : R+ → X | v liên tục sup v(t) < ∞ , t∈R+ với chuẩn v Cb (R+ ,X) := sup v(t) t∈R+ Lời nói đầu Lí chọn đề tài Các phương trình vi phân thường phương trình vi phân đạo hàm riêng mơ hình tốn học mơ tả tượng tự nhiên kỹ thuật Trong thực tế vận động tự nhiên, xã hội kỹ thuật phụ thuộc vào thời gian (nhiễu, ngoại lực, ) làm cho phương trình trở nên phức tạp Cùng với phát triển toán học, không gian hàm trừu tượng đưa Bằng cách chọn tốn tử thích hợp khơng gian hàm thích hợp mơ hình viết dạng phương trình vi phân trừu tượng với tốn tử tác động không gian Banach Khi nghiên cứu lớp phương trình vi phân khơng gian Banach, quan tâm đến điều kiện tồn nghiệm, dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình Và hướng nghiên cứu quan trọng liên quan đến dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình tiến hóa tìm điều kiện cho tồn nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa trường hợp phần phi tuyến tác động từ hàm T-tuần hồn thành hàm T-tuần hồn Có nhiều phương pháp tiếp cận vấn đề như: phương pháp điểm bất động Tikhonov’s (xem [18]), phương pháp hàm Lyapunov (xem [19]) Phương pháp chứng minh tồn nghiệm tuần hồn phương trình thơng qua tính bị chặn nghiệm tính compact ánh xạ Poincare Tuy nhiên, phương trình vi phân đạo hàm riêng có miền xác định khơng bị chặn phương trình vi phân thường có nghiệm khơng bị chặn, phép nhúng compact không hợp lệ tồn nghiệm bị chặn không dễ dàng có phải lựa chọn cẩn thận điều kiện ban đầu để đảm bảo tính bị chặn nghiệm tương ứng với điều kiện ban đầu Vì vậy, luận văn chúng tơi trình bày hướng tiếp cận khác tồn nghiệm tuần hồn cho phương trình tiến hóa trừu tượng nhằm mục đích vượt qua khó khăn Lịch sử nghiên cứu Đã có nhiều nhà khoa học nước quan tâm đến tồn nghiệm, nghiệm tuần hoàn mối liên hệ nghiệm bị chặn nghiệm tuần hoàn phương trình vi phân Từ năm 1950, Massera (xem [10]) nghiên cứu mối quan hệ nghiệm tuần hồn nghiệm bị chặn phương trình vi phân thường Đến năm 2006, Zubelevich sử dụng phương pháp Ergodic mở rộng (xem [16]) để nghiên cứu tính tuần hoàn nghiệm bị chặn Cũng sử dụng phương pháp Ergodic mở rộng, Nguyễn Thiệu Huy (xem [7]) đưa điều kiện tồn nghiệm tuần hoàn phương trình Navier-Stokes Từ đó, Nguyễn Thiệu Huy với nhóm nghiên cứu có số kết nghiên cứu nghiệm tuần hồn lớp phương trình tiến hóa nửa tuyến tính trường hợp phần tuyến tính sinh họ tiến hóa có nhị phân mũ, phần phi tuyến thỏa mãn điều kiện Lipchitz không không đủ nhỏ Luận văn trình bày trường hợp riêng báo [8] Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu * Mục đích nghiên cứu: Trình bày kết tồn nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa tuyến tính khơng phương trình tiến hóa nửa tuyến tính Trình bày tính ổn định có điều kiện nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa nửa tuyến tính * Đối tượng phạm vi nghiên cứu luận văn: Các phương trình tiến hóa tuyến tính khơng phương trình tiến hóa nửa tuyến tính Nghiệm bị chặn tính chất nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa tuyến tính nửa tuyến tính Phương pháp nghiên cứu Trong luận văn, sử dụng phương pháp sau: Phương pháp lý thuyết nửa nhóm, nhị phân mũ để biểu diễn nghiệm đủ tốt phương trình vi phân Phương pháp trung bình Ergodic, Định lý Banach-Alaoglu cho khơng gian Banach khả ly, nguyên lý điểm bất động Cấu trúc kết luận văn Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, luận văn bao gồm ba chương • Chương 1: Chúng tơi trình bày khái niệm nửa nhóm liên tục mạnh, tính nhị phân mũ nửa nhóm số tính chất khái niệm Đồng thời, nêu lại khái niệm số không gian định lý quan trọng sử dụng chứng minh kết luận văn • Chương 2: Chúng tơi trình bày kết tồn nghiệm tuần hoàn phương trình tiến hóa tuyến tính khơng có dạng    du = Au(t) + f (t) với t > dt  u(0) = u0 ∈ X, (1) tốn tử tuyến tính A sinh nửa nhóm (eAt )t≥0 khơng gian Banach X; tốn tử f lấy giá trị khơng gian Banach hàm tuần hồn với chu kì T thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương • Chương 3: Trình bày kết tồn nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có dạng    du = Au(t) + g(t, u) với t > dt  u(0) = u0 ∈ X, (2) toán tử phi tuyến g(t, u) hàm tuần hồn với chu kì T thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương Trong trường hợp A sinh nửa nhóm (eAt )t≥0 có nhị phân mũ, xây dựng công thức nghiệm bị chặn LyapunovPerron Từ nghiên cứu tính tồn ổn định có điều kiện nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa nửa tuyến tính (2) Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm tính chất nửa nhóm liên tục mạnh, tính nhị phân mũ nửa nhóm, không gian Banach số kiến thức sở phục vụ chứng minh kết chương sau 1.1 1.1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh, tính ổn định nhị phân mũ Nửa nhóm liên tục mạnh Định nghĩa 1.1.1 Cho không gian Banach X, họ (T (t))t≥0 ⊂ L (X) gọi nửa nhóm liên tục mạnh (i) T (t + s) = T (t)T (s), ∀t, s ≥ 0; (ii) T (0) = I toán tử đồng nhất; (iii) lim T (t)x = T (0)x, ∀x ∈ X t→0+ Định nghĩa 1.1.2 Toán tử A : D(A) ⊆ X → X xác định (T (h)x − x) h→0+ h Ax := lim miền xác định D(A) = x ∈ X : lim 1h (T (h)x − x) tồn h→0+ gọi tốn tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 không gian Banach X Định lý 1.1.3 Đối với tốn tử sinh A nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 ta có (i) A : D(A) ⊂ X → X tốn tử tuyến tính; (ii) Nếu x ∈ D(A) T (t)x ∈ D(A) d dt T (t)x = T (t)Ax = AT (t)x, ∀t ≥ 0; t (iii) ∀t ≥ 0, x ∈ X ta có T (s)xds ∈ D(A); (iv) ∀t ≥ ta có t T (t)x − x = A T (s)xds x ∈ X t T (s)Axds x ∈ D(A) = Định nghĩa 1.1.4 Cho (A, D(A)) tốn tử đóng khơng gian Banach X Tập giá trị quy (tập giải) A ρ(A) = {λ ∈ C | (λ I − A) song ánh } Khi R(λ , A) := (λ I − A)−1 , λ ∈ ρ(A) giải thức A, σ (A) := C \ ρ(A) gọi tập phổ A Định lý 1.1.5 Cho (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh không gian Banach X, lấy số ω ∈ R, M ≥ cho T (t) ≤ Meωt , ∀t ≥ Khi với tốn tử sinh (A, D(A)) nửa nhóm (T (t))t≥0 ta có tính chất sau ∞ (i) Nếu λ ∈ C cho R(λ )x := e−λ s T (t)xds tồn tại, ∀x ∈ X λ ∈ ρ(A) R(λ , A) = R(λ ); (ii) Nếu Reλ > ω λ ∈ ρ(A) R(λ , A) = R(λ ); (iii) R(λ , A) ≤ M Reλ −ω , ∀Reλ > ω +∞ Chú ý rằng, công thức R(λ , A)x = e−λ s T (s)xds gọi biểu diễn tích phân giải thức Tích phân tích phân Riemann suy rộng +∞ t −λ s e e−λ s T (s)xds T (s)xds = lim t→+∞ 1.1.2 Nửa nhóm giải tích Các kiến thức nửa nhóm giải tích trình bày chi tiết tài liệu [9] Định nghĩa 1.1.6 Toán tử A gọi toán tử quạt (sectorial operator) π ω ∈ R, θ ∈ ( , π), M > cho điều kiện sau thỏa mãn ρ(A) ⊃ Sθ ,ω = {λ ∈ C, λ = ω, |arg(λ − ω)| < θ }; R(λ , A) ≤ M |λ −ω| ; với λ ∈ Sθ ,ω Nếu thêm điều kiện ρ(A) = 0/ A đóng Do D(A) với chuẩn đồ thị x D(A) := x + Ax khơng gian Banach Với tốn tử quạt A, xác định tốn tử tuyến tính bị chặn etA theo tích phân Dunford eAt := 2πi etλ R(λ , A)dλ ,t > 0, (1.1) ω+γr,η r > 0, η ∈ ( π2 , θ ) γr,η đường cong {λ ∈ CR− : | arg λ | = η, |λ | ≥ r} ∪ {λ ∈ CR− : | arg λ | ≤ η, |λ | = r} hướng ngược chiều kim đồng hồ Ngoài e0A x = x, với x ∈ X (1.2) Do hàm λ → etλ R(λ , A) chỉnh hình Sθ ,ω nên etA độc lập với việc chọn r η Định nghĩa 1.1.7 Với A : D(A) ⊂ X → X toán tử quạt Họ {etA : t ≥ 0} xác định (1.1)-(1.2) gọi nửa nhóm giải tích sinh tốn tử A X Định lý 1.1.8 Với tốn tử quạt A ta có khẳng định sau etA ∈ D(Ak ) với t > 0, x ∈ X, k ∈ N Nếu x ∈ D(Ak ), Ak etA x = etA Ak x, với t ≥ 0; etA esA = e(t+s)A với t, s ≥ 0; 25 trình (2.3) (tức nghiệm đủ tốt tuần hồn chu kì T phương trình (2.1)) thỏa mãn uˆ Cb (R+ ,X) 2N(H + 1) + T KeαT f ν Cb (R+ ,X) (2.19) Tính nghiệm tuần hồn với chu kì T phương trình (2.3) chứng minh sau Giả sử uˆ vˆ hai nghiệm tuần hồn với chu kì T (bị chặn R+ ), đó, từ (2.17) có u(t) ˆ − v(t) ˆ = eAt (u0 − v0 ) ≤ Ne−νt u0 − v0 → t → ∞ với u0 , v0 ∈ X0 kết hợp với tính tuần hồn suy u(t) ˆ = v(t) ˆ với t ≥ Kết luận Chương Trong chương này, chúng tơi trình bày trường hợp riêng báo [8] đăng tạp chí JMAA theo cách hiểu sử dụng phương pháp tôpô *-yếu Định lý Banach-Alaoglu, nguyên lý điểm bất động để chứng minh tồn nghiệm tuần hoàn phương trình tiến hóa tuyến tính khơng thông qua tồn nghiệm bị chặn nửa trục thời gian tồn nghiệm bị chặn trường hợp nửa nhóm có nhị phân mũ 26 Chương SỰ TỒN TẠI DUY NHẤT VÀ ỔN ĐỊNH CĨ ĐIỀU KIỆN CỦA NGHIỆM TUẦN HỒN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA NỬA TUYẾN TÍNH Trong chương này, áp dụng kết Chương để chứng minh tồn ổn định có điều kiện nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 3.1 Nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa nửa tuyến tính Cho Y không gian Banach khả ly với X = Y , xét phương trình tiến hóa nửa tuyến tính    du = Au(t) + g(t, u) với t > 0, dt  u(0) = u0 ∈ X, (3.1) tốn tử A thỏa mãn giả thiết Định lý 2.1.1, toán tử g : R+ × Cb (R+ , X) → Cb (R+ , X) thỏa mãn (1) g(t, 0) Cb (R+ ,X) ≤ γ, γ số không âm với t ∈ R+ ; (2) g ánh xạ biến hàm tuần hồn với chu kì T thành hàm tuần hồn với chu kì T ; (3.2) (3) tồn số dương ρ L cho g(t, v1 ) − g(t, v2 ) Cb (R+ ,X) ≤ L v1 − v2 Cb (R+ ,X) với v1 , v2 ∈ Cb (R+ , X),t ∈ R+ v1 Cb (R+ ,X) , v2 Cb (R+ ,X) ≤ ρ 27 Hơn nữa, nghiệm đủ tốt phương trình (3.1) hàm u liên tục thỏa mãn phương trình tích phân sau t At eA(t−τ) g(τ, u)dτ u(t) = e u0 + với t ≥ (3.3) Tiếp theo, trình bày kết cho tồn nghiệm đủ tốt tuần hồn cho phương trình (3.1) Định lý 3.1.1 Với giả thiết Định lý 2.1.1, g thỏa mãn điều kiện (3.2) Khi đó, L γ đủ nhỏ phương trình (3.1) có nghiệm đủ tốt uˆ tuần hoàn với chu kì T hình cầu nhỏ thuộc Cb (R+ , X) Chứng minh Xét tập đóng BρT ⊂ Cb (R+ , X) xác định sau BρT := {v ∈ Cb (R+ , X) : v tuần hoàn với chu kì T v Cb (R+ ,X) ρ} Xét phương trình t eA(t−τ) g(τ, v)d At u(t) = e u(0) + τ với t ≥ (3.4) Với v ∈ BρT cố định, xác định phép biển đổi Φ cho công thức Φ(v) := u, u ∈ Cb (R+ , X) nghiệm đủ tốt tuần hoàn với chu kì T phương trình (3.4) (sự tồn u suy từ Định lý 2.1.1 với g(v) thay f ) Chúng ta chứng minh L γ đủ nhỏ phép biến đổi Φ tác động từ BρT vào BρT ánh xạ co Để làm điều này, lấy v ∈ BρT bất kì, từ tính chất (1) (3) hàm g (3.2) ta có g(t, v) Cb (R+ ,X) ≤ g(t, v) − g(t, 0) ≤L v Cb (R+ ,X) + g(t, 0) Cb (R+ ,X) Cb (R+ ,X) + γ ≤ Lρ + γ với t ≥ Áp dụng Định lý 2.1.1 với vế phải g(t, v) thay f ta có, với v ∈ BρT tồn nghiệm đủ tốt u tuần hồn chu kì T phương trình (3.4) thỏa mãn u Cb (R+ ,X) ≤(M + T )KeαT g(t, v) Cb (R+ ,X) ≤(M + T )KeαT (Lρ + γ) 28 Do đó, L γ đủ nhỏ ánh xạ Φ tác động từ BρT vào BρT Từ cơng thức (3.4) có biểu diễn Φ sau t At eA(t−τ) g(τ, v)dτ với Φ(v) = u Φ(t, v) = e u(0) + (3.5) Với v1 , v2 ∈ BρT u1 = Φ(v1 ), u2 = Φ(v2 ) với biểu diễn (3.5) có u = Φ(v1 ) − Φ(v2 ) nghiệm đủ tốt tuần hồn với chu kì T phương trình t u(t) = eAt u(0) + eA(t−τ) (g(τ, v1 ) − g(τ, v2 ))dτ với t ≥ 0 Vậy từ Định lý 2.1.1 tính chất (3) g (3.2) ta có Φ(t, v1 ) − Φ(t, v2 ) Cb (R+ ,X) (M + T )KeαT g(t, v1 ) − g(t, v2 ) L(M + T )KeαT v1 − v2 Cb (R+ ,X) Cb (R+ ,X) , L, γ đủ nhỏ Φ : BρT → BρT ánh xạ co Vậy với giá trị L γ đủ nhỏ tồn điểm bất động uˆ BρT Do cách xác định phép biến đổi Φ nên hàm uˆ nghiệm đủ tốt phương trình (3.1) tuần hồn với chu kì T 3.2 Nghiệm tuần hồn trường hợp nửa nhóm có nhị phân mũ Trong phần này, chúng tơi xét phương trình (3.3) trường hợp nửa nhóm có nhị phân mũ Ở đây, tồn nghiệm bị chặn phương trình (2.3) (tức là, nghiệm đủ tốt bị chặn phương trình (2.1)) suy từ Định lý 2.1.1 cách chọn điều kiện ban đầu thích hợp Do đó, từ tồn nghiệm tuần hoàn phương trình (2.3) dễ dàng suy tồn nghiệm tuần hồn phương trình (3.3) Trước tiên, đưa công thức biểu diễn nghiệm bị chặn phương trình (3.3) Bổ đề 3.2.1 Cho nửa nhóm có nhị phân mũ với phép chiếu nhị phân tương ứng (P số nhị phân N, ν > Giả sử ánh xạ g : R+ ×Cb (R+ , X) → Cb (R+ , X) 29 thỏa mãn điều kiện (3.2) Khi đó, u ∈ Cb (R+ , X) nghiệm phương trình (3.3) cho sup u(t) ≤ ρ t≥0 với ρ > cố định với t ≥ hàm u(t) biểu diễn dạng ∞ G (t, τ)g(τ, u)dτ At u(t) = e v0 + với v0 ∈ X0 , (3.6) G hàm Green ζ0 ∈ X0 := P(0)X ∞ Chứng minh Đặt y(t) := G (t, τ)g(τ, u)dτ với t ≥ Vì g thỏa mãn điều kiện (3.2) kết hợp với (1.11) ta có ∞ e−ν|t−τ| ( g(τ, u) − g(τ, 0) + g(τ, 0) )dτ y(t) ≤ (1 + H)N ∞ e−ν|t−τ| dτ ≤ (1 + H)N(Lρ + γ) ≤ 2(1 + H)N(Lρ + γ) ν với t ≥ Với t ≥ ta chứng minh y(t) có biểu diễn sau t eA(t−τ) g(τ, u)dτ y(t) = eAt y(0) + Thật vậy, với t ≥ ta có t ∞ eAt e−Aτ (I − P)g(τ, u)dτ − eAt y(0) = − t ∞ t eA(t−τ) (I − P)g(τ, u)dτ − =− t t eA(t−τ) f (τ)dτ + =− ∞ eA(t−τ) Pg(τ, u)dτ eA(t−τ) (I − P)g(τ, u)dτ t eA(t−τ) (I − P)g(τ, u)dτ t − eAt e−Aτ (I − P)g(τ, u)dτ (3.7) 30 Do đó, t At eA(t−τ) g(τ, u)dτ với t ≥ y(t) = e y(0) + Vì u(t) nghiệm phương trình (3.3) ta có u(t) − y(t) = eAt (u(0) − y(0)) với t ≥ Đặt v0 = u(0) − y(0) Do tính bị chặn u(·) y(·) R+ suy v0 ∈ X0 Vậy từ u(t) = eAt v0 + y(t) với t ≥ ta có đẳng thức (3.6) Nhận xét 3.2.2 Phương trình (3.6) gọi phương trình Lyapunov-Perron Tính tốn trực tiếp tương tự ý 2.2.2, ta chứng minh khẳng định ngược lại Bổ đề 3.2.1 Tức là, nghiệm phương trình (3.6) thỏa mãn phương trình (3.3) với t ≥ Tiếp theo, chứng minh tồn nghiệm bị chặn phương trình (3.3) từ ta phương trình (3.3) có nghiệm tuần hồn thơng qua định lý sau Định lý 3.2.3 Cho Y không gian Banach khả ly với X = Y , xét phương trình (3.3) Giả sử Giả thiết thỏa mãn; nửa nhóm (eAt )t≥0 có nhị phân mũ với phép chiếu nhị phân P N, ν số nhị phân; g thỏa mãn điều kiện (3.2) với số ρ, L, γ Khi đó, với số L, γ đủ nhỏ phương trình (3.3) có nghiệm tuần hồn chu kì T hình cầu nhỏ thuộc Cb (R+ , X) Chứng minh Áp dụng Định lý 2.2.3, với hàm f tuần hồn với chu kì T , phương trình tiến hóa tuyến tính (2.3) có nghiệm tuần hồn uˆ với chu kì T thỏa mãn bất đẳng thức (2.19) Vậy kết luận Định lý 3.2.3 suy từ Định lý 3.1.1 3.3 Ổn định có điều kiện Trong phần này, chúng tơi trình bày tính ổn định có điều kiện nghiệm tuần hồn phương trình (3.3) 31 Kí hiệu Ba (x) hình cầu X có tâm x bán kính a, Ba (v) hình cầu Cb (R+ , X) có tâm v bán kính a, tức Ba (x) := {y ∈ X : x ∈ X x − y ≤ a}; Ba (v) := {u ∈ Cb (R+ , X) : v ∈ Cb (R+ , X) u − v Cb (R+ ,X) ≤ a} Giả sử tồn số dương L1 cho g(t, v1 ) − g(t, v2 ) Cb (R+ ,X) ≤ L1 v1 −v2 Cb (R+ ,X) với v1 , v2 ∈ B2ρ (0) t ≥ (3.8) Định lý 3.3.1 Với giả thiết Định lý 2.2.3 điều kiện (3.8); xét uˆ nghiệm tuần hoàn chu kì T phương trình (3.3) đạt Định lý 2.2.3; Bρ (0) hình cầu chứa u ˆ Khi đó, L1 đủ nhỏ tương ứng với v0 ∈ ˆ ∩ PX có nghiệm u(t) phương trình (3.3) R+ B ρ (Pu(0)) 2N thỏa mãn điều kiện Pu(0) = v0 u ∈ Bρ (u) ˆ Hơn với u(t) u(t) ˆ ta có ước lượng u(t) − u(t) ˆ ≤ Ce−µt Pu(0) − Pu(0) ˆ với t ≥ 0, (3.9) số dương C µ khơng phụ thuộc vào u u ˆ Chứng minh Với v0 ∈ B ρ (Pu(0)) ˆ ∩ PX, xét phép biến đổi F sau 2N ∞ G (t, τ)g(τ, w)dτ At (Fw)(t) = e v0 + với t ≥ 0 Ta chứng minh phép biết đổi F tác động từ Bρ (u) ˆ vào Bρ (u) ˆ ánh xạ co Trước tiên, ta chứng minh phép biến đổi F tác động từ Bρ (u) ˆ vào Bρ (u) ˆ Thật vậy, với w(·) ∈ Bρ (u) ˆ ta có w Cb (R+ ,X) ≤ w − uˆ uˆ Cb (R+ ,X) ≤ 2ρ ≤ L1 w − uˆ Cb (R+ ,X) ≤ L1 ρ Cb (R+ ,X) + g(t, w) − g(t, u) ˆ Cb (R+ ,X) Do đó, đặt ∞ G (t, τ)g(τ, w)dτ At y(t) := (Fw)(t) = e v0 + với t ≥ 32 ta có y(t) − u(t) ˆ ≤ Ne−νt v0 − Pu(0) ˆ ∞ e−ν|t−τ| dτ g(w) − g(u) ˆ + (1 + H)N Cb (R+ ,X) ≤ N v0 − Pu(0) ˆ + 2(1 + H)NL1 ρ ν với t ≥ Do đó, Fw − uˆ Cb (R+ ,X) Theo giả thiết v0 − Pu(0) ˆ ≤ ≤ N v0 − Pu(0) ˆ + ρ 2N , 2(1 + H)NL1 ρ ν L1 đủ nhỏ phép biến đổi F tác động từ hình cầu Bρ (u) ˆ vào hình cầu Bρ (u) ˆ Tiếp theo, chứng minh F ánh xạ co Với x, z ∈ Bρ (u) ˆ ta có x 2ρ, z Cb (R+ ,X) Cb (R+ ,X) ≤ ≤ 2ρ Khi đó, với t ≥ ta có ước lượng sau ∞ G (t, τ) g(τ, x) − g(τ, z)) dτ (Fx)(t) − (Fz)(t) ≤ ∞ e−ν|t−τ| dτ g(x) − g(z) ≤ (1 + H)N Cb (R+ ,X) Do đó, Fx − Fz Với L1 đủ bé cho Cb (R+ ,X) 2(1+H)NL1 ν ≤ 2(1 + H)NL1 x−z ν Cb (R+ ,X) < F : Bρ (u) ˆ → Bρ (u) ˆ ánh xạ co Vậy tồn u ∈ Bρ (u) ˆ cho Fu = u Từ cách xác định F có u nghiệm Bρ (u) ˆ phương trình (3.6) với t ≥ Từ Bổ đề 2.2.1 Chú ý 2.2.2 có u nghiệm Bρ (u) ˆ phương trình (3.3) Cuối cùng, chứng minh ước lượng (3.9) Thật vậy, với uˆ u hai nghiệm bị chặn R+ , từ công thức (3.6) ta có u(t) − u(t) ˆ =eAt (Pu(0) − Pu(0)) ˆ ∞ G (t, τ)(g(τ, u) − g(τ, u))dτ ˆ + 33 Do đó, u(t) − u(t) ˆ ≤ Ne−νt Pu(0) − Pu(0) ˆ ∞ e−ν|t−τ| g(τ, u) − g(τ, u) ˆ dτ + (1 + H)N ≤ Ne−νt Pu(0) − Pu(0) ˆ ∞ e−ν|t−τ| u(τ) − u(τ) ˆ dτ + (1 + H)NL1 Áp dụng bất đẳng thức dạng Gronwall Hệ 1.3.5 đặt β := (1 + H)NL1 < ν có u(t) − u(t) ˆ ≤Ce−µt Pu(0) − Pu(0) ˆ với µ := ν − 2νβ , C := 2Nν ν+ ν − 2νβ Vậy định lý chứng minh Nhận xét 3.3.2 Khẳng định định lý tính ổn định có điều kiện nghiệm tuần hoàn u, ˆ tức với nghiệm u cho Pu(0) ∈ B ρ (Pu(0)) ˆ ∩ PX 2N u thuộc hình cầu có bán kính nhỏ Bρ (u) ˆ u(t) − u(t) ˆ → theo cấp mũ t → ∞ (xem bất đẳng thức (3.9)) Với nửa nhóm ổn định mũ (xem Định nghĩa 1.1.9) có hệ sau suy trực tiếp từ Định lý 3.3.1 Hệ 3.3.3 Giả sử uˆ nghiệm tuần hoàn phương trình (3.3) đạt Định lý 3.2.3 Nửa nhóm (eAt )t≥0 ổn định mũ Khi đó, nghiệm tuần hồn uˆ phương trình (3.3) ổn định mũ tức nghiệm u ∈ Cb (R+ , X) phương trình (3.3) cho u(0) − u(0) ˆ đủ nhỏ u(t) − u(t) ˆ ≤ Ce−µt u(0) − u(0) ˆ với t ≥ số dương C µ khơng phụ thuộc vào u u ˆ (3.10) 34 Chứng minh Áp dụng Định lý 3.3.1 cho trường hợp P = Id ta có điều phải chứng minh Ví dụ 3.3.4 Xét phương trình         w (t, x) = [wxx (t, x) + ηw(t, x)] + w(t, x)    t  k−1 π w2 (t, x)dx + h(t, x), với < x < π, t ≥ 0,        w(t, 0) = w(t, π) = 0, với t ≥ (3.11) Trong đó, η ∈ R η = n2 với n ∈ N; số mũ k ∈ N, k > 1; hàm h : [0, π] × R+ → R liên tục [0, π] × R+ tuần hồn với chu kì T theo biến t Đặt X := L2 [0, π], với A : X ⊃ D(A) → X xác định Ay = y + ηy, với miền xác định D(A) = {y ∈ X : y y liên tục tuyệt đối, y ∈ X, y(0) = y(π) = 0} Trong ([9]) A toán tử sinh nửa nhóm giải tích (eAt )t≥0 Do σ (A) = {−n2 + η : n = 1, 2, 3, } áp dụng Định lý Ánh xạ phổ cho nửa nhóm ta có +η) σ (T(t)) = etσ (A) = et(−n : n = 1, 2, 3, (3.12) σ (T(t)) ∩ Γ = 0/ với t > 0, Γ := {λ ∈ C : |λ | = 1} Từ tính hyperbolic nửa nhóm (eAt )t≥0 ta suy tính nhị phân mũ (eAt )t≥0 với phép chiếu P số N, ν := β γ0 Hàm g : R+ ×Cb (R+ , X) → Cb (R+ , X) xác định g(t, u) := u(t) h(t, ·) Từ phương trình (3.11) viết sau du = Au(t) + g(t, u) với u(t) := w(t, ·), dt g(t, 0) Cb (R+ ,X) ≤ γ với  π |h(t, x)|2 dx γ := sup  t∈[0,π] 1 k−1 u(t)+ 35 Do h(t, x) hàm tuần hoàn theo t với chu kì T nên g ánh xạ từ hàm tuần hồn với chu kì T đến hàm tuần hồn với chu kì T Hơn nữa, với v1 , v2 ∈ Cb (R+ , X) ta có g(t, v1 ) − g(t, v2 ) = v1 (t) k−1 − v1 (t) k−2 = k−1 v1 (t) v1 (t) − v1 (t) k−1 k−1 v1 (t) − v2 (t) v2 (t) + v1 (t) k−1 v2 (t) v2 (t) + · · · + v1 (t) v2 (t) v2 (t) v2 (t) k−2 v2 (t) − v2 (t) k−1 v2 (t) k−1 ≤ v1 (t) − v2 (t) ∑ v1 (t) j v2 (t) k−1− j j=0 Vậy với v1 , v2 ∈ Br (0) ta có g(t, v1 ) − g(t, v2 ) Cb (R+ ,X) ≤ krk−1 v1 − v2 Cb (R+ ,X) Do đó, g thỏa mãn giả thiết Định lý 2.2.3 Định lý 3.3.1 với ρ = r, L = kρ k−1 L1 = k(2ρ)k−1 Từ Định lý 2.2.3 Định lý 3.3.1, ρ (tức L L1 ) γ đủ nhỏ phương trình (3.11) có nghiệm đủ tốt uˆ ∈ Bρ (0) tuần hồn với chu kì T uˆ ổn định có điều kiện theo Chú ý 3.3.2 Kết luận Chương Trong chương này, xét trường hợp riêng [8] Cụ thể mở rộng kết chương cho phương trình tiến hóa nửa tuyến tính, sử dụng Định lý Banach-Alaoglu, nguyên lý điểm bất động tồn nghiệm tuần hồn thơng qua tồn nghiệm bị chặn, tồn nghiệm bị chặn trường hợp nửa nhóm có nhị phân mũ chứng minh tính ổn định có điều kiện cho phương trình tiến hóa nửa tuyến tính Chúng tơi lập luận nguyên lý chứng minh [8] áp dụng trường hợp riêng 36 KẾT LUẬN Những kết đạt Luận văn “Tính tuần hồn ổn định nghiệm phương trình tiến hóa” trình bày trường hợp riêng báo [8] cho trường hợp phần tuyến tính không phụ thuộc thời gian Cụ thể, trình bày nguyên lý kết [8] có áp dụng để đưa đến kết sau trường hợp riêng [8] Trình bày điều kiện tồn nghiệm tuần hồn cho phương trình tiến hóa tuyến tính khơng phương trình tiến hóa nửa tuyến tính Chỉ tồn nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa tuyến tính nửa tuyến tính điều kiện nửa nhóm có nhị phân mũ Chứng minh tính ổn định có điều kiện nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa nửa tuyến tính Đề xuất số hướng nghiên cứu Sau kết đạt luận văn, số vấn đề sau tiếp tục nghiên cứu • Nghiên cứu tồn nghiệm tuần hồn tính ổn định phương trình tiến hóa với phần phi tuyến thỏa mãn điều kiện Lipchitz khơng • Nghiên cứu tồn nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa chứa trễ • Nghiên cứu tồn tại, ổn định nghiệm tuần hoàn, hầu tuần hoàn cho phương trình trung tính 37 • Nghiên cứu đa tạp ổn định khơng ổn định, đa tạp qn tính xung quanh nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Xuân Liêm (2016), Giải tích hàm, NXB Giáo dục Việt Nam [2] Vũ Ngọc Phát (2001), Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [3] H Brezis (2010) Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations Universitext, Springer, New York [4] T Burton (1985), Stability and Periodic Solutions of Ordinary and Functional Differential Equations, Academic Press, Orlando, Florida [5] J.L Daleckii, M.G Krein (1974) Stability of solutions of differential equations in Banach spaces Translations of Mathematical Monographs, Volume 43, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island [6] Nguyen Thieu Huy (2006), “Exponential dichotomy of evolution equations and admissibility of function spaces on a half-line”, Journal of Functional Analysis, 235, pp 330-354 [7] Nguyen Thieu Huy (2014), “Periodic motions of Stokes and Navier-Stokes flows around a rotating obstacle”, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 213, pp 689-703 [8] Nguyen Thieu Huy and Ngo Quy Dang (2016), “Existence, uniqueness and conditional stability of periodic solutions to evolution equations”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 433, pp 1190-1203 39 [9] K.J Engel, R Nagel (2000) One-parameter semigroups for linear evolution equations, Graduate Texts in Mathematics 194, Springer-Verlag, BerlinHeidelberg [10] J Massera (1950), “The existence of periodic solutions of systems of differential equations”, Duke Mathematical Journal, 17, pp 457-475 [11] J.L Massera, J.J Schăaffer (1966), Linear differential equations and function spaces Academic Press, New York [12] N.V Minh, N.T Huy (2001) “Characterizations of dichotomies of evolution equations on the half-line”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 261, pp 28-44 [13] N.V Minh, F Răabiger, R Schnaubelt (1998), “Exponential stability, exponential expansiveness and exponential dichotomy of evolution equations on the half line”, Integr Eq and Oper Theory, 32, pp 332-353 [14] R Nagel, G Nickel (2002), “Well-posedness for non-autonomous abstract Cauchy problems”, Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications, 50, pp 279-293 [15] B.M Levitan, V.V Zhikov (1978) Almost periodic functions and differential equations Moscow Univ Publ House [16] O Zubelevich (2006), “A note on theorem of Massera”, Regular and Chaotic Dynamics, 11, pp 475-481 [17] A Pazy (1983) Semigroup of linear operators and application to partial differential equations, Springer-Verlag, Berlin [18] J Prăuss (1986), “Periodic solutions of the thermostat problem Differential equations in Banach spaces”, Springer, Berlin, 1223, pp 216-226 [19] T Yoshizawa (1975) Stability theory and the existence of periodic solutions and almost periodic solutions, Applied Mathematical Sciences, 14 SpringerVerlag, New York-Heidelberg ... cứu: Trình bày kết tồn nghiệm tuần hoàn phương trình tiến hóa tuyến tính khơng phương trình tiến hóa nửa tuyến tính Trình bày tính ổn định có điều kiện nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa nửa... [8] Trình bày điều kiện tồn nghiệm tuần hồn cho phương trình tiến hóa tuyến tính khơng phương trình tiến hóa nửa tuyến tính Chỉ tồn nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa tuyến tính nửa tuyến tính. .. NGHIỆM TUẦN HOÀN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA TUYẾN TÍNH Trong chương này, chúng tơi trình bày tồn nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa tuyến tính otonom 2.1 Nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa