Về bài toán chia đường tròn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHAN THỊ NGA VỀ BÀI TOÁN CHIA ĐƯỜNG TRÒN CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS. Lê Thị Hoài Thu NGHỆ AN – 2012 1 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU . 2 CHƯƠNG 1. TRƯỜNG CHIA ĐƯỜNG TRÒN . 4 1.1. Trường nghiệm của đa thức . 4 1.2. Trường chia đường tròn . 8 CHƯƠNG 2. BÀI TOÁN CHIA ĐƯỜNG TRÒN .15 2.1. Định lý cơ bản của Lý thuyết Galois .15 2.2. Tiêu chuẩn giải được bằng căn thức 21 2.3. Phép dựng hình bằng thước kẻ và compa .23 2.4. Bài toán chia đường tròn 28 KẾT LUẬN .38 TÀI LIỆU THAM KHẢO .39 MỞ ĐẦU Đại số trừu tượng, một lĩnh vực được hình thành từ môn đại số quen thuộc để giải phương trình, đã được phát triển trong thế kỷ XIX. Trong lĩnh vực này, một lý thuyết đẹp nổi bật là Lý thuyết Galois. Lý thuyết Galois tạo ra một bước tiến quan trọng trong phương pháp được sử dụng một thế kỷ rưỡi sau đó để chinh phục phương trình Fermat. Nguồn gốc của Lý thuyết Galois là vấn đề giải các phương trình đại số bằng căn thức. Vấn đề này thực chất là mở rộng trường bằng cách ghép thêm liên tiếp những căn thức. Thành tựu của E. Galois (1811 – 1832) là đã chuyển vấn đề này thành một nội dung của lý thuyết nhóm. Tư tưởng cơ bản của E. Galois là cho tương ứng mỗi phương trình đại số với một nhóm hữu hạn, sau này được gọi là nhóm Galois của phương trình đó. Tính chất giải được của nhóm Galois này xác định tính giải 2 được bằng căn thức của phương trình đại số tương ứng. Chẳng hạn, nhóm Galois của phương trình 5 1 0x − = là nhóm xyclic cấp 4 (4 = 2 2 ) là nhóm giải được và do đó phương trình này giải được bằng căn thức. Trong khi đó, nhóm Galois của phương trình 5 1 0x x− − = là nhóm đối xứng S 5 . Vì nhóm này không giải được cho nên phương trình 5 1 0x x− − = không giải được bằng căn thức. Có thể nói, bằng công trình xuất sắc kể trên, E. Galois chính là người khởi đầu cho cả lý thuyết nhóm lẫn lý thuyết đa thức. Các nhà toán học thế giới ngày nay coi ông là người sáng lập đại số cao cấp hiện đại và là một trong những người xây dựng nền tảng của toán học hiện đại nói chung [8]. Hơn nữa, mọi bài toán dựng hình đều có thể đưa về việc tìm các nghiệm của một phương trình đại số nào đó. Do đó, về phương diện hình học, lý thuyết trường và Lý thuyết Galois có liên quan chặt chẽ đến các bài toán dựng hình bằng thước kẻ và compa, đặc biệt là “Về bài toán chia đường tròn”. Số Fermat mang tên nhà toán học Pháp Pierre de Fermat (người đầu tiên đưa ra khái niệm này), đó là các nguyên dương có dạng 2 2 1 n n F = + với n là số nguyên không âm. Khi nghiên cứu các số có dạng 2 2n + 1, Fermat đã tính ra được với n = 0, 1, 2, 3, 4 thì số có dạng trên là số nguyên tố, từ đó ông đưa ra dự đoán các số có dạng như trên đều là số nguyên tố. Tuy nhiên đến năm 1732, Euler đã phủ định dự đoán trên bằng cách chứng minh F 5 là hợp số. Gauss đã có đột phá toán học đầu tiên khi ông chứng minh rằng mọi đa giác đều với số cạnh bằng số nguyên tố Fermat (và do đó, mọi đa giác đều với số cạnh bằng tích của các số nguyên tố Fermat khác nhau và lũy thừa của 2) đều có thể dựng được bằng compa và thước kẻ. Đây là một khám phá quan trọng trong bài toán dựng hình, một bài toán đã thu hút sự quan tâm nhiều nhà toán học từ thời Hy Lạp cổ đại tới nay. Năm 1796 có lẽ là năm chứng kiến nhiều phát kiến của Gauss nhất, chủ yếu cho ngành lý thuyết số. Vào 30 tháng 3 năm đó, ông tìm thấy cách dựng 3 hình thất thập giác đã tìm được cách vẽ đa giác đều có 17 cạnh bằng thước thẳng và compa, bằng cách xem các đỉnh của đa giác trên vòng tròn như là nghiệm của phương trình phức. Năm năm sau, ông đã khai triển được lý thuyết gọi là “Chu kỳ Gauss” (Gaussian periods) viết trong sách Disquisitiones Arithmeticae (Khảo cứu Số học). Lý thuyết này giúp ông tìm được điều kiện đủ để một đa giác đều có thể vẽ được bằng thước thẳng và compa. Gauss cũng cho là điều kiện đó cũng là điều kiện cần nhưng không chứng minh. Đến năm 1837, Pierre Wantzel chứng minh được điều kiện của Gauss cũng là điều kiện đủ. Do đó, kết quả tìm được bởi Gauss và chứng minh đầy đủ bởi Wantzel. Kết quả của Gauss – Wantzel sống mãi như là một trong những minh chứng cho ứng dụng của toán học vào thực tiễn cuộc sống. Có thể nói rằng, lời giải của bài toán chia đường tròn thành n phần bằng nhau là một sự kết hợp nhuần nhuyễn và sáng tạo các kết quả của nhiều ngành toán học: Đại số - Hình học – Số học. Với những lý do trình bày ở trên, luận văn này tập trung tìm hiểu các ứng dụng của Lý thuyết Galois trong việc giải bài toán chia đường tròn, một bài toán có ý nghĩa sâu sắc trong kỹ thuật và công nghệ. Bố cục của luận văn gồm 2 chương: Chương 1. Giới thiệu các kết quả cơ sở về trường nghiệm của đa thức và trường chia đường tròn. Chương 2. Giới thiệu Định lý cơ bản của Lý thuyết Galois; trình bày chứng minh Định lý Gauss – Wantzel về điều kiện cần và đủ để một đường tròn chia được thành n phần bằng nhau bằng thước kẻ và compa; phép dựng ngũ giác đều, đa giác đều 15 cạnh, đa giác đều 17 cạnh bằng thước kẻ và compa. Tác giả xin trân trọng cảm ơn TS. Lê Thị Hoài Thu đã tận tình hướng dẫn và chỉ bảo, giúp đỡ để tác giả hoàn thành bản luận văn này. 4 Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo thuộc Bộ môn Đại số, Khoa Toán học, Phòng Đào tạo Sau đại học của Trường Đại học Vinh đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong học tập và nghiên cứu, theo chương trình đào tạo thạc sĩ thuộc chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số. Xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã quan tâm giúp đỡ cho tôi trong suốt thời gian học tập vừa qua. Tuy đã cố gắng trong quá trình học tập, nghiên cứu và viết luận văn, song chắc chắn vẫn còn có nhiều thiếu sót, tác giả rất mong được sự góp ý, chỉ bảo của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp. Tác giả 5 CHƯƠNG 1 TRƯỜNG CHIA ĐƯỜNG TRÒN 1.1. Trường nghiệm của đa thức 1.1.1. Đặc số của trường. Cho K là một trường với đơn vị 1. Nếu 1 0,n ≠ với mọi số tự nhiên 0n ≠ thì ta nói trường K có đặc số 0 . Trong trường hợp ngược lại, ta gọi số nguyên dương p bé nhất sao cho 1 0p = là đặc số của trường K. Đặc số của trường K được ký hiệu bởi char(K). Ví dụ. char( ¤ ) = 0, char( ¡ ) = 0; char( £ ) = 0; char ( p ¢ ) = p. Nhận xét. Nếu trường K có đặc số 0p ≠ thì p là số nguyên tố. 1.1.2. Trường nguyên tố. Một trường K được gọi là trường nguyên tố hay trường đơn nếu K không có một trường con thực sự nào cả. Ví dụ. Trường số hữu tỉ ¤ và trường p ¢ các lớp thặng dư modp là các trường nguyên tố. Nhận xét. Mỗi trường đều chứa một trường con nguyên tố duy nhất. Thật vậy, ta gọi P là giao của tất cả các trường con của trường K. Khi đó, P là trường con bé nhất của K và do đó P là trường con nguyên tố duy nhất của trường K. 1.1.3. Định lý về các kiểu trường nguyên tố. (xem [4]) Cho K là một trường và P là trường con nguyên tố của K. 1) Nếu K có đặc số 0 thì P đẳng cấu với trường ¤ các số hữu tỉ. 2) Nếu K có đặc số nguyên tố p thì P đẳng cấu với trường p ¢ các số nguyên modp. 1.1.4. Trường mở rộng. Nếu K là một trường con của trường E, thì ta gọi E là một trường mở rộng của K (hay đơn giản hơn E là một mở rộng của K). Mở rộng E của trường K được ký hiệu là E /K. Giả sử E là một mở rộng của trường K, khi đó ta có thể xem E là một không gian vectơ trên K. Nếu E là không gian vectơ hữu hạn chiều trên trường K, thì ta nói E là mở rộng bậc hữu hạn của trường K. Số chiều n của không gian 6 vectơ E trên K được gọi là bậc của mở rộng E trên K. Ta ký hiệu [E : K ] là bậc của mở rộng E trên K. Như vậy, ta có [E : K ] = dim K E = n. Mỗi hệ sinh hoặc cơ sở của không gian vectơ E trên K được gọi là một hệ sinh hoặc cơ sở của mở rộng E trên K. 1.1.5. Mở rộng đại số và mở rộng siêu việt. Cho K là một trường và E là một trường mở rộng của K. Phần tử u ∈ E được gọi là phần tử đại số trên K nếu tồn tại đa thức khác không f(x) ∈ K[x] sao cho f(u) = 0. Phần tử u ∈ E không đại số trên K, được gọi là phần tử siêu việt trên K. Cho u ∈ E là phần tử đại số trên K. Ta chọn trong tất cả các đa thức khác 0 thuộc K[x] nhận u làm nghiệm một đa thức đơn hệ (hệ số cao nhất bằng 1) có bậc nhỏ nhất, ký hiệu bởi q(x). Với mỗi phần tử đại số u ∈ E, đa thức q(x) như vậy được xác định duy nhất. Ta gọi q(x) là đa thức cực tiểu của phần tử đại số u ∈ E trên K. Ta cũng gọi bậc của đa thức cực tiểu q(x) của u là bậc của u trên K, và ký hiệu bởi [u : K]. Như vậy, ta có: [u : K] = deg q(x). Cho E là mở rộng của trường K. Ta gọi E là mở rộng đại số trên K nếu mọi phần tử u ∈ E đều là phần tử đại số trên K. Trong trường hợp ngược lại, ta gọi E là mở rộng siêu việt trên K. 1.1.6. Trường nghiệm của đa thức. Giả sử K là một trường, ( )f x là một đa thức bậc 1n ≥ trên K. Khi đó, một trường N được gọi là trường nghiệm hay trường phân rã của ( )f x trên K nếu và chỉ nếu N là trường mở rộng nhỏ nhất (cực tiểu) của K và chứa tất cả n nghiệm của đa thức ( )f x . Nhằm chứng minh rằng mọi đa thức trên một trường K đều có trường nghiệm, trước hết ta chứng minh định lí sau: 1.1.7. Định lí. Với mọi đa thức ( )f x bất khả quy trên một trường K, tồn tại một trường mở rộng N của K trong đó ( )f x có ít nhất một nghiệm. Chứng minh. Xét vành thương N = K[x]/I của vành K[x] trên iđêan I sinh bởi ( )f x . Vì K[x] là một vành giao hoán nên N cũng là một vành giao hoán có đơn vị là 1 1 I= + . Rõ ràng ta có 1 0≠ , ta sẽ chứng minh rằng N là một trường. Thật 7 vậy, giả sử ( ) g x = ( ) g x + I là một phần tử khác không của N. Vì ( ) g x ≠ 0 nên ( ) g x ∉ I tức ( ) g x không chia hết cho ( )f x . Do ( )f x bất khả quy trên K, nên ( )f x và ( )g x nguyên tố cùng nhau trên K. Vì vậy, tồn tại các đa thức ( ) ( ) ,r x s x ∈ K[x] sao cho ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) . . 1f x r x g x s x+ = . Chuyển sang các lớp chúng ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) . . 1f x r x g x s x+ = . Do ( ) 0f x = , nên ( ) ( ) . 1g x s x = . Điều này chứng tỏ rằng ( ) g x khả nghịch trong vành N, hay N là trường. Thiết lập ánh xạ ϕ : K → N, a a I a+ =a . Rõ ràng, ϕ là một đơn cấu trường. Vậy tập hợp các phần tử a của N, với a∈ K lập thành một trường con đẳng cấu với K. Nếu ta đồng nhất K với ( )K ϕ , bằng cách đồng nhất a a≡ , thì ta có thể xem K như là một trường con của trường N. Ngoài ra, nếu ( ) 0 1 n n f x a a x a x= + + +L thì ta có ( ) ( ) 0 1 0 1 0 0 n n n n f x a a x a x a a x a x f x= = = + + + == + + + =L L . Vậy phần tử x x I N= + ∈ là một nghiệm của đa thức f(x). ■ Ví dụ. Giả sử K = Q và ( ) 2 2f x x= − . Khi đó, vành thương Q[x] /<x 2 - 2> đẳng cấu với trường số Q ( 2) . Thật vậy, các phần tử của Q[x]/<x 2 - 2> có dạng ( ) 2 2f x x+ − , trong đó ( ) f x = ( ) ( ) ( ) 2 2x q x r x− + , ( ) ( ) 2 deg deg 2 2r x x< − = hoặc ( ) 0r x = . Vì vậy ( ) r x có dạng a bx+ và do đó ( ) 2 2f x x+ − = a bx+ + ( ) ( ) 2 2x q x− + 2 2x − = a bx+ + 2 2x − . Khi đó, ánh xạ : ϕ Q ( 2) →Q[x]/<x 2 -2>, xác định bởi 2 ( 2) 2a b a bx x ϕ + = + + − là một đẳng cấu từ trường số Q ( 2) lên trường Q[x]/< x 2 - 2>. 1.1.8. Định lí. Với mỗi đa thức ( ) f x ∈ K[x] có bậc 1n ≥ , tồn tại duy nhất (sai khác đẳng cấu) một trường nghiệm của ( ) f x trên K. 8 Chứng minh. Ta chứng minh quy nạp theo n rằng có một trường mở rộng N của K sao cho trên đó ( ) f x có đủ n nghiệm. Rõ ràng điều này đúng với n = 1. Giả sử ( ) f x có bậc 1n > và ( ) q x là một ước bất khả quy của ( ) f x . Theo Định lí 1.1.7, có một mở rộng K 1 của K sao cho ( ) q x và do đó ( ) f x có một nghiệm trong K 1 . Khi đó, nếu α là một nghiệm của ( ) f x trong K 1 , theo Định lý Bezout ta có ( ) ( ) ( )f x x g x α = − với ( ) g x ∈ K 1 [x] có bậc là 1n − . Theo giả thiết quy nạp, có trường mở rộng P của K 1 sao cho ( ) g x có đủ 1n − nghiệm trong P và do đó ( ) f x có đủ n nghiệm trong P. Để có trường nghiệm N của đa thức ( ) f x trên K, ta chỉ việc lấy trường con N nhỏ nhất của P chứa K và chứa n nghiệm của ( ) f x . Để ý rằng, trường N đó chính là giao của tất cả các trường con của P chứa K và chứa n nghiệm của đa thức ( ) f x . ▄ 1.1.9. Mở rộng chuẩn tắc. Một mở rộng đại số E của trường K được gọi là mở rộng chuẩn tắc trên K khi và chỉ khi với mọi đa thức bất khả quy f(x) trong vành đa thức K[x], nếu f(x) có một nghiệm trong E thì f(x) phân tích được thành tích các nhân tử tuyến tính (hay nói ngắn gọn là f(x) phân rã được) trong vành đa thức E[x]. 1.1.10. Mở rộng tách được. Cho E là một trường tuỳ ý và đa thức ( )f x ∈ K[x], với bậc 1n ≥ . Ta nói đa thức ( )f x là đa thức tách được (separable polynomial) trên K nếu và chỉ nếu f(x) có n nghiệm phân biệt trong trường nghiệm N của nó trên K. Trong trường hợp ngược lại, đa thức ( )f x được gọi là không tách được trên K. Một phần tử u ∈ E đại số trên K gọi là phần tử tách được trên K nếu đa thức cực tiểu của u trên K là đa thức tách được trên K. Một mở rộng E của trường K được gọi là mở rộng tách được (separable extension) trên K nếu mỗi phần tử u thuộc E là phần tử tách được trên K. 9 1.2. Trường chia đường tròn Giả sử P là một trường nguyên tố với đặc số p và n là một số tự nhiên khác không sao cho n không chia hết cho p . Trong trường hợp trường P có đặc số 0, thì ta giả thiết rằng n là một số tự nhiên khác 0 nào đó. 1.2.1. Căn bậc n của đơn vị. Ta gọi căn bậc n của đơn vị là mọi nghiệm của đa thức: ( ) 1 n f x x= − trong một trường mở rộng nào đó của trường P. Hiển nhiên, các căn bậc n của đơn vị lập thành một nhóm Aben đối với phép nhân và cấp của một phần tử α bất kỳ của nhóm này là một ước số của n vì ta luôn có 1. n α = 1.2.2. Trường chia đường tròn bậc n. Trường nghiệm R n của đa thức ( ) 1 n f x x= − trên trường P được gọi là trường chia đường tròn bậc n trên trường P. Ví dụ. Giả sử trường nguyên tố P là trường số hữu tỉ ¤ . Khi đó, trường chia đường tròn R n trên ¤ là một trường con của trường số phức £ , và các căn bậc n của đơn vị là 2 2 cos sin , 0,1, ., 1. k k k i k n n n π π ε = + = − Các căn bậc n của đơn vị có biểu diễn hình học là n đỉnh của một đa giác đều n cạnh nội tiếp trong đường tròn đơn vị. Biết giá trị 2 cos n π , ta có thể dựng được một đa giác đều n cạnh nội tiếp trong đường tròn đơn vị, tức là chia được đường tròn đó thành n phần bằng nhau. 1.2.3. Định lý. Nhóm nhân căn bậc n của đơn vị là nhóm xyclic cấp n . Chứng minh. Vì n không chia hết đặc số của trường, nên đạo hàm 1 '( ) n f x nx − = chỉ triệt tiêu khi x lấy giá trị 0, do đó nó không có nghiệm chung với ( )f x . Vì vậy, trong trường chia đường tròn R n các nghiệm của đa thức ( )f x đều khác nhau, hay trong R n có đúng n căn bậc n của đơn vị. 10