Về bài toán tham số hóa đường cong đại số

Nội dung chính của cuốn sách này là nhằm tìm ra một phép tham số hóa hữu tỉ của một đường cong đại số cho trước và nếu phép tham số hóa tồn tại thì sẽ đi tìmphép tham số hóa tốt nhất đồn

VỀ BÀI TOÁN THAM SỐ HOÁ

ĐƯỜNG CONG ĐẠI SỐ

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số

Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội – 2012

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

HÀ ĐĂNG TOÀN

VỀ BÀI TOÁN THAM SỐ HOÁ

ĐƯỜNG CONG ĐẠI SỐ

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số

Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Phó Đức Tài

Hà Nội – 2012

Lời nói đầu

Bài toán tham số hóa siêu mặt đại số, đặc biệt đối với đường cong đại số và mặtđại số là một chủ đề thú vị của Hình học đại số Hơn nữa, vấn đề này có nhiều ứngdụng thiết thực trong lĩnh vực thiết kế đồ họa máy tính Vì vậy, nó đã và đang trởthành đối tượng nghiên cứu của nhiều nhà toán học và tin học

Năm 2008, J R Sendra và các cộng sự đã cho ra đời một cuốn sách có tựa đề

"Rational Algebraic Curvers" Đây là một trong số rất ít sách đề cập về bài toán tham

số hóa Nội dung chính của cuốn sách này là nhằm tìm ra một phép tham số hóa hữu

tỉ của một đường cong đại số cho trước và nếu phép tham số hóa tồn tại thì sẽ đi tìmphép tham số hóa tốt nhất đồng thời phân loại các phép tham số hóa

Như vậy, một câu hỏi tự nhiên là, nếu đường cong cho bởi một phép tham số thìngoài những lợi ích mà phép tham số hóa mang lại như đã nói thì việc nghiên cứu cáctính chất hình học của nó có hạn chế nào so với một đường cong cho dưới dạng một

đa thức? Cụ thể là việc tìm bậc của đường cong, tìm số bội của một điểm bất kì và

từ đó xác định các điểm kì dị, đếm số điểm kì dị, có gì khó khăn? Một trong cáccâu trả lời đã được S Pérez-Díaz, một trong ba tác giả của cuốn sách nói trên, đưa ratrong một bài báo ([4]) của mình vào năm 2007

Bản luận văn của chúng tôi không có kết quả mới Công việc của người viết là trìnhbày lại những nội dung chính nêu ở trên đồng thời tính toán thêm nhiều ví dụ tươngđối phức tạp Luận văn được trình bày thành 3 chương:

Chương 0 Kiến thức chuẩn bị Trình bày những khái niệm, kết quả mang tínhchất nền tảng của Hình học đại số như khái niệm đa tạp đại số, ánh xạ hữu tỉ, song hữu

tỉ, vấn đề giải kì dị, hệ thống tuyến tính các đường cong, ước, giống Trong chươngnày chúng tôi chỉ nêu chứng minh một số kết quả quan trọng đó là định lí Riemann,định lí về công thức tính giống của đường cong chỉ có các kì dị thường

Chương 1 Các thuật toán tham số hóa hữu tỉ Cùng với chương 2, đây là

một trong hai chương chính của luận văn Trong chương này, chúng tôi trình bày cácthuật toán tham số hóa hữu tỉ với công cụ chính là hệ thống tuyến tính các đườngcong liên hợp Phần lớn các ví dụ trích trong [3] nhưng do chúng tôi tự tính toán và

có các kết quả (tham số hóa) khác với [3]

Chương 2 Hình học của các đường cong tham số hóa hữu tỉ Trong chươngcuối này chúng tôi trình bày các kết quả nhằm khẳng định rằng một đường cong chodưới dạng tham số hóa hữu tỉ sẽ giúp chúng ta có được những thuận lợi trong các tínhtoán cũng như việc khảo sát các tính chất hình học Tuy chưa đầy đủ nhưng phần lớncác tính chất hình học như số bội, bậc toàn cục, tập kì dị đã được trình bày mộtcách rõ ràng Chương 1 và chương 2 chúng tôi đều sử dụng các tài liệu tham khảochính là [2], [3], [4], [5], [6]

Qua đây tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến người thầy, ngườihướng dẫn khoa học của mình, TS Phó Đức Tài Thầy đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn

và giúp đỡ tác giả từ những ngày đầu làm quen với Hình học đại số, đến quá trình viết

và bảo vệ luận văn này

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin, trường Đạihọc Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, đặc biệt là các thầy cô trong Bộmôn Đại số - Hình học - Tô pô đã tạo điều kiện cho tác giả được học tập và nghiêncứu trong một môi trường khoa học Xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đãđộng viên và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Hà Nội, mùa hè năm 2012

Học viên

Hà Đăng Toàn

Bảng ký hiệu

coeff(F (X), n) hệ số của Xn trong đa thức F (X)

(F1, F2, , Fr) iđêan sinh bởi các đa thức F1, F2, , Fr

k[X1, , Xn] vành đa thức n biến X1, X2, , Xn biến trên trường k

k(X1, , Xn) trường hàm hữu tỉ n biến X1, X2, , X2 trên trường k

lc(f (s, t), t) hệ số dẫn đầu của đa thức f(s, t) theo biến t

mP(F ), multP(F ) số bội của điểm P trên đường cong định nghĩa bởi đa thức F

Rest(F, G) kết thức của F và G theo t

Mục lục

0.1 Đường cong đại số và trường hàm hữu tỉ 1

0.2 Ánh xạ hữu tỉ và song hữu tỉ 9

0.3 Số giao và hệ tuyến tính của các đường cong 13

0.4 Giải kì dị đường cong đại số 16

0.5 Không gian ước và giống Định lí Riemann 21

1 Các thuật toán tham số hóa hữu tỉ 26 1.1 Đường cong hữu tỉ và các phép tham số hóa 26

1.2 Tham số hóa bằng các đường thẳng 30

1.3 Tham số hóa bằng các đường cong liên hợp 34

2 Hình học của các đường cong tham số hóa hữu tỉ 48 2.1 Chỉ số vết và tính thực sự của một phép tham số hóa hữu tỉ 48

2.2 Phép tham số hóa chuẩn 52

2.3 Hình học của các đường cong hữu tỉ cho dưới dạng tham số hóa 53

Chương 0

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi trình bày khái quát một số kiến thức cần thiết vềđường cong đại số Các kiến thức này là cơ sở để chúng tôi trình bày các nội dungchính của luận văn Tuy nhiên, chúng tôi chỉ nêu chứng minh đối với những kết quảquan trọng Chương này được trình bày chủ yếu theo [1] và [5]

Ở đây cũng như trong toàn bộ luận văn, ta xét k là một trường đóng đại số, có đặc

số 0 Còn khái niệm đường cong được hiểu là đường cong không có thành phần bội, cụthể hơn là, đa thức định nghĩa của nó không chứa thừa số bội

0.1 Đường cong đại số và trường hàm hữu tỉ

0.1.1 Không gian afin và không gian xạ ảnh

Ta hiểu không gian afin n chiều trên trường k, kí hiệu An(k), là tích Đề-các k× ×k(n lần) Mỗi phần tử của An(k) được gọi là các điểm Đặc biệt, khi n = 1 thì A1(k)được gọi là đường thẳng afin, khi n = 2 thì A2(k) được gọi là mặt phẳng afin Để chođơn giản, khi trường k đã biết, ta kí hiệu không gian afin n chiều trên k là An

Không gian xạ ảnh n chiều trên k, kí hiệu Pn(k) hay đơn giản là Pn, được địnhnghĩa là tập tất cả các đường thẳng đi qua điểm (0, , 0) trong An+1(k) Ta thấy rằng,mỗi điểm x = (x1, x2, , xn+1) 6= (0, 0, , 0) xác định duy nhất một đường thẳng nhưvậy và hai điểm x, y xác định cùng một đường thẳng khi và chỉ khi tồn tại một số λsao cho x = λy, khi đó ta nói x, y là tương đương Như thế, Pn có thể hiểu là tập tất

cả các lớp tương đương của các điểm của An+1\(0, 0, , 0) Các phần tử của Pn cũng

được gọi là các điểm Ta viết [x1 : x2 : : xn+1] để chỉ một phần tử (điểm) P của Pn,khi đó (x1, x2, , xn+1) được gọi là tọa độ thuần nhất của P.

Bây giờ ta kí hiệu Ui = {[x1 : x2 : : xn+1] ∈ Pn|xi 6= 0} Khi đó mỗi P ∈ Ui cóthể viết duy nhất dưới dạng

Ui, do đó Pn được phủ bởi n + 1 tập hợp mà mỗitập hợp có thể xem như một không gian afin n chiều

Để cho thuận tiện, trong Pn, ta thường gọi điểm [0 : 0 : : 0 : 1] là điểm gốc, còncác điểm có tọa độ thứ n + 1 bằng không là các điểm tại vô cùng và tập hợp

H∞= Pn\Un+1 = {[x1 : x2 : : xn+1]|xn+1 = 0}

là siêu phẳng tại vô cùng Vậy Pn = Un+1∪ H∞

Tương tự như không gian afin, ta gọi P1 là không gian xạ ảnh một chiều hay đườngthẳng xạ ảnh, P2 là không gian xạ ảnh hai chiều hay mặt phẳng xạ ảnh

0.1.2 Tập đại số Đa tạp afin, đa tạp xạ ảnh

Giả sử F ∈ k[X1, , Xn], một điểm P = (a1, , an) trong Anđược gọi là một khôngđiểm của F nếu F (P ) = F (a1, , an) = 0 Nếu F không là hằng số thì tập tất cả cáckhông điểm của F được gọi là một siêu mặt định nghĩa bởi F và kí hiệu là V (F ).Tổng quát hơn, nếu S là một tập các đa thức trong k[X1, , Xn], ta kí hiệu

V (S) = {P ∈ An|F (P ) = 0, ∀F ∈ S},tức là V (S) = ∩F ∈SV (F )

Một tập X ⊂ An được gọi là một tập đại số afin nếu X = V (S) với S nào đó.Đặc biệt, trong A2 ta có định nghĩa:

Định nghĩa 0.1 Một đường cong đại số afin phẳng trên k là một tập đại số

C = V (F ) = {(a, b) ∈ A2(k)|F (a, b) = 0},trong đó F (X, Y ) ∈ k[X, Y ] là một đa thức khác hằng

Khi đó F được gọi là đa thức định nghĩa của C (và tất nhiên, một đa thức G = c.F ,với c 6= 0 nào đó thuộc k, cũng định nghĩa cùng một đường cong)

Trong định nghĩa này, nếu ta viết F dưới dạng

F (X, Y ) = Fr(X, Y ) + Fr+1(X, Y ) + + Fm(X, Y ),trong đó, Fi(X, Y ) là một đa thức thuần nhất bậc i, và Fm(X, Y ) 6= 0 Khi đó các đathức Fi được gọi là các thành phần thuần nhất của F và m được gọi là bậc của C kýhiệu là deg(C) Các đường cong bậc một được gọi là đường thẳng, bậc hai gọi là cônic,bậc ba là cubic,

Nếu F = Qn

j=1

Fj, trong đó Fj là các nhân tử bất khả quy của F, thì ta nói rằngđường cong afin định nghĩa bởi đa thức Fj là một thành phần của C Hơn nữa, đườngcong C được gọi là bất khả quy khi đa thức định nghĩa của nó là bất khả quy

Bây giờ ta nói về khái niệm tập đại số trong không gian xạ ảnh Một cách tương

tự, một điểm P ∈ Pn được gọi là không điểm của một đa thức thuần nhất F ∈k[X1, , Xn+1] nếu F (x1, , xn+1) = 0 với mọi cách chọn tọa độ thuần nhất (x1, , xn+1)của P Khi đó ta viết F (P ) = 0 và nếu S là một tập các đa thức thuần nhất trongk[X1, , Xn+1] ta cũng kí hiệu

Ta gọi F là một đa thức định nghĩa của C

Khái niệm bậc, thành phần và tính bất khả quy (như trong định nghĩa 0.1 chođường cong afin) có thể sử dụng cho đường cong xạ ảnh một cách tương tự

Nếu đường cong afin định nghĩa bởi đa thức F (X, Y ) thì ta có thể nhận được đườngcong xạ ảnh C∗ tương ứng bằng cách thuần nhất hóa F (X, Y ) thành F∗(X, Y, Z) Nghĩa

là, nếu:

F (X, Y ) = Fr(X, Y ) + Fr+1(X, Y ) + + Fm(X, Y ),thì:

F∗(X, Y, Z) = Fr(X, Y )Zm −r+ Fr+1(X, Y )Zm −r−1+ + Fm(X, Y ),

Nếu C là đường cong xạ ảnh định nghĩa bởi F (X, Y, Z), ta kí hiệu C∗,Z là đườngcong afin xác định bởi F∗,Z(X, Y ) = F (X, Y, 1) Tương tự, ta có các đường cong C∗,X

và C∗,Y

Nếu không có nhầm lẫn nào thì sau đây ta sẽ dùng kí hiệu C∗ thay cho C∗,Z Nếu

P = [a : b : 1] ∈ P2 thì ta gọi điểm tương ứng của nó trong không gian afin là P∗, tức

là P∗ = (a, b)

Để cho đơn giản, đôi khi ta cũng đồng nhất đường cong với đa thức định nghĩa của

nó Hơn nữa, xuyên suốt luận văn chúng ta chỉ quan tâm đến các đường cong đại số

Vì vậy, khi không nói gì thêm thì “đường cong” được hiểu là “đường cong đại số”, tức

là, là một siêu mặt trong A2 hoặc P2

Một cách để phân loại các tập đại số nói chung là dựa vào tính khả quy hay bấtkhả quy của chúng Một tập đại số được gọi là khả quy nếu nó là hợp của hai haynhiều tập đại số nhỏ hơn Trong trường hợp ngược lại thì ta có một tập đại số bất khảquy Nếu một tập đại số afin (xạ ảnh) là bất khả quy thì ta gọi đó là một đa tạp đại

số afin (xạ ảnh)

0.1.3 Nón tiếp xúc tại điểm kì dị của đường cong phẳng

Trước hết, ta cần có khái niệm về điểm kì dị của đường cong afin phẳng

Định nghĩa 0.4 Cho C là một đường cong afin trên k định nghĩa bởi F (X, Y ) ∈k[X, Y ] và P = (a, b) ∈ C Ta nói rằng P có bội là r trên C nếu và chỉ nếu các đạo hàmriêng (theo X, Y ) của F cho tới bậc r − 1 triệt tiêu tại P nhưng ít nhất một đạo hàmriêng bậc r không triệt tiêu tại P Ta ký hiệu bội của P trên C là multP(C)

Khi đó, nếu multP(C) = 0 thì P /∈ C, nếu multP(C) = 1 ta nói P là một điểm đơn trên

C, còn nếu multP(C) = r > 1 thì ta gọi P là một điểm kỳ dị (hay kỳ dị) bội r trên C

hay điểm bội r Ta nói rằng một đường cong là không kì dị (hay trơn) nếu nó không

có điểm kì dị

Dễ thấy là, với mọi điểm P ∈ C ta có: 1 ≤ multP(C) ≤ deg(C)

Tập tất cả các kì dị của đường cong C định nghĩa bởi đa thức F là tập đại số afinV

Mệnh đề 0.5 ([5], chương 2, Định lý 2.3) Cho đường cong C định nghĩa bởi F , P ∈ C

và T là một ánh xạ tuyến tính khả nghịch trên A2(k) (nghĩa là phép đổi biến tuyếntính) sao cho T ( ˜P ) = P Xét đường cong ˜C định nghĩa bởi ˜F = F ◦ T Khi đó bội của

Vậy, khái niệm bội là bất biến dưới phép biến đổi tọa độ tuyến tính

Mệnh đề 0.6 ([5], chương 2, Định lý 2.4) Cho C là đường cong afin phẳng định nghĩabởi F (X, Y ) Bội của C tại gốc tọa độ là bậc nhỏ nhất của các thành phần thuần nhất

Tr(X, Y ) =

rX

i=0

Ci r

∂rF

∂Xi∂Yr −i(P )(X − a)i(Y − b)r −i.Định nghĩa 0.7 Tập các không điểm của thành phần đầu tiên không triệt tiêu trongkhai triển Taylor của F tại P được gọi là nón tiếp xúc của C tại P

Ví dụ 0.8 Xét đường cong Y2− X3 = 0 Khi đó nón tiếp xúc của đường cong đã chotại O(0, 0) (điểm bội 2) là đường thẳng Y = 0

Còn với đường cong Y2 = X2(X + 1) cũng có O(0, 0) là điểm bội 2 nhưng nón tiếpxúc tại O bao gồm hai đường thẳng Y = X và Y = −X

Bằng một phép biến đổi tọa độ tuyến tính chuyển P thành gốc tọa độ, đa thức Trđược biến đổi thành đa thức thuần nhất hai biến bậc r Dễ thấy rằng, số nhân tử củamột đa thức là bất biến đối với một phép biến đổi tọa độ tuyến tính nên các nhân

tử bất khả quy của Tr là tuyến tính và chúng là phương trình của các tiếp tuyến củađường cong tại P Ta có kết quả sau:

Mệnh đề 0.9 ([5], chương 2, Định lý 2.5) Cho C là một đường cong afin với đa thứcđịnh nghĩa F (X, Y ) và P là điểm trên C có bội r Khi đó các đa thức định nghĩa củacác tiếp tuyến với C tại P là các nhân tử bất khả quy của đa thức Tr(X, Y ) Và bội của

Chúng ta sẽ phân loại các điểm kì dị dựa vào các tiếp tuyến của đường cong và sốbội tương ứng của các tiếp tuyến Cách phân loại này giúp chúng ta thấy rõ hơn vềbản chất của các điểm kì dị

Định nghĩa 0.10 Một kì dị P bội r trên một đường cong afin C được gọi là thôngthường nếu r tiếp tuyến với C tại P là phân biệt, và không thông thường nếu ngược lại.Mệnh đề 0.11 ([5], chương 2, Định lý 2.7) Cho đường cong C định nghĩa bởi F ,

P ∈ C, T là một ánh xạ tuyến tính khả nghịch trên A2(k) (nghĩa là một phép đổi biếntuyến tính) sao cho T ( ˜P ) = P Cho ˜C định nghĩa bởi ˜F = F ◦ T Khi đó T xác địnhmột tương ứng 1 − 1, bảo toàn bội giữa các tiếp tuyến với C tại P và các tiếp tuyến tới

Hệ quả 0.12 Tính thông thường hay không thông thường của một điểm kì dị là bất

Bổ đề 0.13 ([5], chương 2, Bổ đề 2.9) Cho C là một đường cong afin định nghĩa bởimột đa thức F = Qm

Mệnh đề 0.16 ([5], chương 2, Định lý 2.14) Điểm P ∈ P2(k) là một kỳ dị củađường cong xạ ảnh C (định nghĩa bởi đa thức thuần nhất F (X, Y, Z)) nếu và chỉ nếu

0.1.4 Vành tọa độ và trường hàm hữu tỉ của một đường cong

Giả sử V là đa tạp đại số khác rỗng trong An(k) Ký hiệu I(V ) là tập các đa thứctriệt tiêu trên V Ta thấy rằng đây là một iđêan nguyên tố của k[X1, X2, , Xn] Do

đó vành thương

Γ(V ) = k[X1, X2, , Xn]/I(V )

là một miền nguyên và được gọi là vành tọa độ của V

Với một tập V ⊂ An,ta kí hiệu F(V, k) là tập hợp tất cả các hàm từ V tới k F(V, k)

là một vành với các phép toán định nghĩa như sau: Nếu f, g ∈ F(V, k), (f + g)(x) =

f (x) + g(x) và (f.g)(x) = f (x).g(x) với mọi x ∈ V Ta xem k như một vành con của

F (V, k) nếu đồng nhất k với vành con chứa tất cả các hàm hằng của F (V, k)

Trở lại trường hợp V ⊆ An là một đa tạp, một hàm f ∈ F(V, k) được gọi là mộthàm đa thức trên V , nếu và chỉ nếu tồn tại một đa thức F ∈ k[X1, X2, , Xn] với

f (a1, , an) = F (a1, , an) với mọi (a1, , an) ∈ V Khi đó ta cũng nói rằng đa thức

F xác định hàm f Như vậy, hai đa thức F và G cùng xác định hàm đa thức f nếu vàchỉ nếu (F − G)(P ) = 0 với mọi P ∈ V (nghĩa là F − G ∈ I(V ))

Ta cũng dễ dàng chứng minh được rằng, tập các hàm đa thức làm thành một vànhcon của F(V, k), hơn nữa, vành con này chứa k

Trở lại với vành tọa độ trên đa tạp V Như đã nói ở trên, Γ(V ) là một miền nguyênnên tồn tại trường thương và trường này được gọi là trường các hàm hữu tỉ trên V, kíhiệu là k(V ) Mỗi phần tử của k(V ) là một hàm hữu tỉ trên V

Nếu f là một hàm hữu tỉ trên V và P ∈ V, ta nói rằng f xác định tại P nếu tồntại a, b ∈ Γ(V ) sao cho f = a

b và b(P ) 6= 0 Còn nếu tại P mà f không xác định thì tanói P là một điểm cực của f

Có thể chứng minh được rằng tập hợp các hàm hữu tỉ xác định tại một điểm P ∈ V

làm thành một vành con của k(V ), vành này được gọi là vành địa phương của V tại P

và kí hiệu là OP(V ) Hơn nữa, do mỗi phần tử của Γ(V ) xác định với mọi P ∈ V nênΓ(V ) ⊂ OP(V ) và ta có bao hàm thức

Chứng minh của các kết quả này có thể xem trong [1]

Trước khi kết thúc mục này chúng tôi trình bày khái niệm về bậc của một hàm hữutỉ

Nhắc lại rằng, một vành Noether địa phương R sẽ được gọi là một vành giá trị rờirạc nếu iđêan cực đại của nó là một iđêan chính Nói cách khác, tồn tại phần tử bấtkhả quy t ∈ R sao cho với mọi phần tử z 6= 0 thuộc R ta luôn biểu diễn được mộtcách duy nhất dưới dạng utn,trong đó u là một phần tử khả nghịch trong R, n là một

số nguyên không âm Phần tử t như thế được gọi là một tham số đơn trị của R; số nđược gọi là bậc của z và kí hiệu là ord(z)

Trở lại với khái niệm vành địa phương, giả sử C là một đường cong phẳng, bất khảquy, định nghĩa bởi đa thức F , P ∈ C, ta có định lí sau:

Mệnh đề 0.20 ([1], chương 3, Định lí 1.) P là một điểm đơn trên C khi và chỉ khi

OP(C) là một vành giá trị rời rạc Trong trường hợp đó, nếu L = aX + bY + C làđường thẳng qua P nhưng không tiếp xúc C tại P thì ảnh l của L là trong OP(C) một

Như vậy, nếu P là một điểm đơn trên C thì sẽ tồn tại một hàm bậc trên k(C) kíhiệu là ordF

P Giả sử G ∈ k[X, Y ], g là ảnh của G trong Γ(C) ta sẽ viết ordF

P(G) thaycho ordF

P(g)

0.1.5 Ánh xạ đa thức và phép biến đổi tọa độ

Định nghĩa 0.21 Giả sử V ⊂ An, W ⊂ Am là các đa tạp Một ánh xạ ϕ : V → Wđược gọi một là ánh xạ đa thức nếu tồn tại các đa thức T1, T2, , Tm ∈ k[X1, X2, , Xn]sao cho

ϕ(a1, a2, , an) = (T1(a1, a2, , an), T2(a1, a2, , an), , Tm(a1, a2, , am)),với mọi (a1, a2, , an) ∈ V

Có thể thấy rằng, mỗi ánh xạ ϕ : V → W cảm sinh một đồng cấu ˜ϕ : F (W, k) →

F (V, k) xác định bởi ˜ϕ(f ) = f ◦ ϕ Nếu ϕ là một ánh xạ đa thức thì ˜ϕ(Γ(W )) ⊂ Γ(V )

do đó, ˜ϕ có thể hạn chế trên Γ(W ) thành một đồng cấu Ta vẫn kí hiệu đồng cấu này

là ˜ϕ

Mệnh đề 0.22 ([1], chương 2, Mệnh đề 1.) Giả sử V ⊂ An, W ⊂ Am là các đa tạp.Khi đó, có một tương ứng tự nhiên 1 − 1 giữa các ánh xạ đa thức ϕ : V → W và cácđồng cấu ˜ϕ : Γ(W ) → Γ(V ) Mọi ánh xạ ϕ như thế đều là hạn chế của một ánh xạ đa

Một ánh xạ đa thức xác định bởi bộ m đa thức (T1, , Tm) từ An tới Am thườngđược kí hiệu là T = (T1, , Tm) Nếu m = n và các Ti, i = 1, , m đều có bậc 1 thì Tđược gọi là một phép biến đổi tọa độ trên An Có thể thấy rằng mỗi phép biến đổi tọa

độ là hợp thành của một ánh xạ tuyến tính trên An và một phép tịnh tiến

0.2 Ánh xạ hữu tỉ và song hữu tỉ

Một công cụ rất quan trọng để nghiên cứu các đa tạp đại số nói chung và đườngcong đại số nói riêng là các ánh xạ hữu tỉ và song hữu tỉ Chúng ta sẽ nói về các kháiniệm này sau khi xây dựng khái niệm nền tảng - tôpô Zariski

0.2.1 Tôpô Zariski và khái niệm đa tạp tổng quát và số chiều

của đa tạp

Một không gian tôpô là một tập X cùng với một tôpô trên X Một tập C trong X

là tập đóng nếu X\C là mở Nếu Y ⊂ X thì tập mở bất kì của X chứa Y được gọi làmột lân cận của Y Thực tế, một tập bất kì mà chứa tập mở chứa Y cũng được gọi làlân cận của Y Tuy nhiên trong luận văn này chúng ta chỉ quan tâm đến các lân cận

Nếu Y là một tập con của không gian tôpô X thì khái niệm về tôpô cảm sinh trên

Y được định nghĩa như sau: một tập W ⊂ Y là mở trong Y nếu tồn tại một tập mở

U của X sao cho W = Y ∩ U

Với một tập con Y bất kỳ của không gian tôpô X, bao đóng của Y là giao của tất

cả các tập đóng chứa Y, kí hiệu là Y Tập Y được gọi là trù mật trong X nếu bao đóngcủa Y chính là X

Cho X và X′ là các không gian tôpô Ánh xạ f : X′ → X được gọi là liên tục nếunghịch ảnh của tập mở là tập mở Nếu ta thêm vào điều kiện f là song ánh và f−1cũng liên tục thì f được gọi là một đồng phôi

Tôpô Zariski là tôpô được định nghĩa trên X là không gian afin An, không gian xạảnh Pn hoặc không gian hỗn tạp Pn1 × Pn2 × × Pn r × Am : Một tập con U của Xđược gọi là tập mở nếu X\U là một tập đại số

Với định nghĩa như thế, ta có thể chứng minh được rằng mọi tập con của X đềuđược trang bị tôpô cảm sinh Đặc biệt, khi V là một đa tạp thì một tập là tập đóngcủa V khi và chỉ khi nó là tập đại số Hơn nữa, mọi tập mở của V đều trù mật trongV

Với tôpô Zariski, chúng ta cũng có khái niệm đa tạp và các khái niệm liên quanmột cách tổng quát hơn: Cho một tập đại số bất khả quy không rỗng V của khônggian afin, không gian xạ ảnh hay không gian hỗn tạp (như đã nói ở trên) Một tập mởbất kì của V được gọi là một đa tạp Đa tạp này được trang bị tôpô cảm sinh từ V ;tôpô này được gọi là tôpô Zariski trên X

Nếu U là một tập con mở của X thì U cũng mở trong V nên cũng là đa tạp và tagọi U là đa tạp con mở của X Ta cũng chứng minh được rằng một tập con đóng Ybất khả quy của X là mở trong Y Vậy Y cũng là đa tạp và được gọi là đa tạp conđóng của X

Ta định nghĩa k(X) = k(V ), OP(X) = OP(V ) Kí hiệuΓ(U, OX) là tập tất cả cáchàm hữu tỉ xác định tại mỗi P ∈ X, ta cũng có Γ(U, OX) = T

P ∈X

OP(X)

Trước khi kết thúc mục này ta sẽ nói về khái niệm chiều của đa tạp

Giả sử K là một mở rộng hữu hạn sinh đại số của k Bậc mở rộng siêu việt của Ktrên k được định nghĩa là số nguyên nhỏ nhất n sao cho tồn tại x1, x2, , xn ∈ K, saocho K là đại số trên k(x1, , xn) Khi đó ta nói K là một trường hàm đại số trên k.Nếu X là một đa tạp, k(X) là một mở rộng hữu hạn sinh đại số của k Ta địnhnghĩa số chiều của X, dim X là bậc mở rộng siêu việt của k(X) trên k Một cách tự

nhiên, nếu dim X = 1 thì X được gọi là đường cong, dim X = 2 thì X được gọi là mặt,

0.2.2 Ánh xạ hữu tỉ, ánh xạ song hữu tỉ và sự tương đương

song hữu tỉ giữa các đường cong.

Để xây dựng khái niệm ánh xạ hữu tỉ trước hết chúng ta cần có định nghĩa về cấu

xạ giữa hai đa tạp

Giả sử ϕ : X → Y là một ánh xạ giữa hai tập hợp X, Y ⊂ An Phép hợp thành với

ϕ tạo nên một đồng cấu vành ˜ϕ : F (Y, k) → F (X, k) tức là ˜ϕ(f ) = f ◦ ϕ

Định nghĩa 0.23 Cho X và Y là các đa tạp Một cấu xạ từ X tới Y là một ánh xạ

ϕ : X → Y sao cho

1 ϕ liên tục;

2 Với mọi tập mở U của Y, nếu f ∈ Γ(U, OY) thì ˜ϕ(f ) = f ◦ ϕ ∈ Γ(ϕ−1(U), OX).Một đẳng cấu của X với Y là một cấu xạ 1 − 1 từ X lên Y sao cho ϕ−1 là cấu xạ.Mệnh đề sau đây giúp chúng ta có một cách tiếp cận khái niệm cấu xạ một cáchtường minh hơn

Mệnh đề 0.24 ([1], chương 6, Mệnh đề 2) Giả sử X, Y là các đa tạp afin.Khi đó, cómột tương ứng tự nhiên 1 − 1 giữa các cấu xạ ϕ : X → Y và các đồng cấu ˜ϕ : Γ(Y ) →Γ(X) Nếu X ⊂ An, Y ⊂ Am thì một cấu xạ chính là một ánh xạ đa thức từ X tới Y.Trước khi nói về ánh xạ hữu tỉ ta cần có kết quả sau đây:

Mệnh đề 0.25 ([1], chương 6, Hệ quả của Mệnh đề 7) Giả sử f, g : X → Y là cáccấu xạ Khi đó, tập {x ∈ X|f(x) = g(x)} là một tập đóng trong X Hơn nữa, nếu f và

Tiếp theo, chúng ta vẫn giả sử X và Y là các đa tạp, U1, U2 là các đa tạp con mởcủa X Các cấu xạ fi : Ui → Y, i = 1, 2 được gọi là tương đương nếu hạn chế của cáccấu xạ này trên U1∩ U2 là như nhau Theo định lí trên thì khi đó mỗi fi được xác địnhbằng hạn chế của nó trên U1 ∩ U2 Với quan hệ tương đương như vậy ta có các địnhnghĩa:

Định nghĩa 0.26 1 Một lớp tương đương f các cấu xạ từ X tới Y được gọi làmột ánh xạ hữu tỉ từ X tới Y Ánh xạ hữu tỉ f được gọi là trội nếu f(U) trùmật trong X, với mọi U là đa tạp con mở của X

2 Một ánh xạ hữu tỉ F : X → Y được gọi là ánh xạ song hữu tỉ nếu tồn tại các tập

mở U ⊂ X, V ⊂ Y và đẳng cấu f : U → Y là một đại diện của lớp tương đương

F Khi đó, ta cũng nói các đa tạp X và Y là tương đương song hữu tỉ

Ví dụ 0.27 Xét ánh xạ f : A1 → A1 xác định bởi f(t) = t3 Rõ ràng f là một ánh

xạ hữu tỉ Tuy nhiên, dễ thấy rằng ánh xạ ngược của f không là hữu tỉ Như vậy, fkhông phải là một ánh xạ song hữu tỉ

Ta có các kết quả quan trọng sau đây:

Mệnh đề 0.28 ([1], chương 6, Mệnh đề 12) Hai đa tạp là tương đương song hữu tỉ

Hệ quả 0.29 Mọi đường cong đều tương đương song hữu tỉ với một đường cong phẳng

X, là các cấu xạ hữu tỉ và chúng là ánh xạ ngược của nhau (chỉ trừtại điểm O(0, 0)) Nói cách khác P là một cấu xạ song hữu tỉ Do đó, đường cong C làmột đường cong hữu tỉ

0.2.3 Bậc của ánh xạ hữu tỉ trội

Bậc của ánh xạ hữu tỉ trội là một khái niệm quan trọng trong việc khảo sát cáctính chất hình học của một đường cong mà ta sẽ sử dụng ở trong chương cuối của luậnvăn

Định nghĩa 0.32 Cho ánh xạ hữu tỉ trội ϕ : W1 → W2 với dim W1 = dim W2 Tađịnh nghĩa bậc của ϕ là bậc của mở rộng hữu hạn đại số k(W1) trên ˜ϕ(k(W2)), tức là:

deg(ϕ) = [k(W1) : ˜ϕ(k(W2))]

Ta có thể sử dụng khái niệm này để đặc trưng cho tính song hữu tỉ của một ánh

xạ trội như sau:

Bổ đề 0.33 ([5], chương 2, Bổ đề 2.41) Một ánh xạ hữu tỉ trội ϕ : W1 → W2 với

Các kết quả sau đây cần thiết cho việc tính toán bậc của các ánh xạ hữu tỉ trội

Bổ đề 0.34 ([5], chương 2, Bổ đề 2.42) Giả sử ϕ1 : W1 → W2, ϕ2 : W2 → W3 là cácánh xạ hữu tỉ trội giữa các đa tạp có cùng số chiều Khi đó

deg(ϕ2◦ ϕ1) = deg(ϕ1) deg(ϕ2)

Mệnh đề 0.35 ([5], chương 2, Định lí 2.43) Giả sử ϕ : W1 → W2 là ánh xạ hữu tỉtrội giữa các đa tạp cùng chiều Khi đó, tồn tại tập con mở U khác rỗng của W2 sao

0.3 Số giao và hệ tuyến tính của các đường cong

Khi nghiên cứu về các đường cong đại số thì số giao và hệ tuyến tính của các đườngcong là những khái niệm mang tính nền tảng Nếu như số giao là công cụ không thểthiếu đối với các bài toán tương giao của các đường cong thì hệ tuyến tính của cácđường cong nói chung, hệ tuyến tính các đường cong liên hợp nói riêng lại đóng vai tròquyết định trong việc giải bài toán tham số hóa hữu tỉ

0.3.1 Số giao của các đường cong Định lí Bézout

Trước hết, ta xem xét khái niệm số giao của hai đường cong trong mặt phẳng afin

A2

Cho F và G là hai đường cong trong mặt phẳng A2 Số giao của F và G tại mộtđiểm bất kì P ∈ A2 được kí hiệu là IP(F, G) và được xác định thông qua 7 tính chấtsau

5 IP(F, G) ≥ mP(F ).mP(G) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi F và G không cótiếp tuyến chung tại P

IP(F, G) = dimk(OP(A2)/(F, G))

Tiếp theo ta xét trong không gian xạ ảnh P2.Cho F và G là hai đường cong xạ ảnh,

số giao của F và G tại một điểm P ∈ P2được xác định như sau: IP(F, G) = IP∗(F∗, G∗)

Số giao trong P2 cũng thỏa mãn 7 tính chất của số giao trong A2, chỉ có thay đổi

ở tính chất thứ 7, và tính chất này được phát biểu lại như sau:

IP(F, G) = IP(F, G + AF ) với mọi A mà deg(A) = deg(G) − deg(F )

Ta kết thúc mục này bằng một kết quả cổ điển

Định lý 0.37 (Định lý Bezout) Cho F và G là các đường cong xạ ảnh bậc m, ntương ứng Giả sử F và G không có nhân tử chung Khi đó P

P ∈P 2

IP(F, G) = mn 

0.3.2 Chu trình giao Định lí Max Noether

Một chu trình không trên mặt phẳng xạ ảnh P2 là một tổng hình thức PP∈P2nPPtrong đó nP là các số nguyên và chỉ có hữu hạn các nP khác 0

Bậc của chu trình không PnP P được định nghĩa bằng P nP.Một chu trình khôngđược gọi là dương nếu nP ≥ 0 với mọi P Ta nói rằng P nPP lớn hơn P mPP nếu

nP ≥ mP với mọi P, khi đó ta viết P nPP ≥P mPP

Tiếp theo ta giả sử F, G là các đường cong xạ ảnh với bậc tương ứng m và n không

có thành phần chung Ta định nghĩa chu trình giao F  G là

P ∈P 2

I(P, F ∩ G)P

Định lí Bézout cho thấy F  G là một chu trình dương, bậc mn.

Từ các tính chất của số giao ta cũng có thể chứng minh được một số tính chấtđơn giản của chu trình giao Chẳng hạn: F  G = G  F ; F  (GH) = F  G + F  H và

F  (G + AF ) = F  G với A là một dạng thuần nhất và deg(A) = deg(G) − deg(F ).Điều kiện Noether: Giả sử P ∈ P2, F, G là các đường cong không có thành phầnchung cắt nhau tại P, H là một đường cong khác Ta nói rằng điều kiện Noether đượcthỏa mãn tại P (đối với F, G và H), nếu H∗ ∈ (F∗, G∗) ⊂ OP(P2), tức là, tồn tại

a, b ∈ OPP2 sao cho H∗ = aF∗ + bG∗

Định lý 0.38 (Định lí cơ bản Max Noether) Cho các đường cong xạ ảnh phẳng

F, G, H, trong đó F và G không có thành phần chung Khi đó, tồn tại đẳng thức

H = AF + BG (A, B là các dạng thuần nhất và deg(A) = deg(H) − deg(F ), deg(B) =deg(H) − deg(G)) nếu và chỉ nếu điều kiện Noether thỏa mãn tại mọi P ∈ F ∩ G 

0.3.3 Hệ tuyến tính các đường cong.

Hệ tuyến tính của các đường cong là công cụ rất quan trong đối với bài toán tham

số hóa hữu tỉ Để xây dựng khái niệm này chúng ta xuất phát từ ý tưởng như sau:Chúng ta coi mỗi đường cong bậc d trong mặt phẳng xạ ảnh P2 như là một điểm củakhông gian xạ ảnh Pd(d+3)

2 Điều này hoàn toàn thực hiện được vì chúng ta biết rằngmột đường cong bậc d sẽ xác định nếu ta biết đầy đủ các hệ số a1, a2, , aN+1 (với

N = d(d+3)2 ) của các đơn thức bậc d theo một thứ tự cố định Chẳng hạn, một đườngcong bậc 2 tổng quát a1X2 + a2Y2 + a3Z2 + a4XY + a5Y Z + a6XZ tương ứng vớiđiểm [a1 : a2 : : a6] ∈ P5 Vì thế, một đường cong bậc d có thể xem như điểm[a1 : a2 : : aN +1] ∈ Pd(d+3)2 (đương nhiên (a1, a2, , aN+1) và λ(a1, a2, , aN+1), với

λ 6= 0 xác định cùng một đường cong) Như vậy ta có thể nói rằng tập hợp các đườngcong bậc d là không gian xạ ảnh có chiều là d(d+3)

2 Bây giờ, nếu ta đặt các điều kiện cho tập hợp các đường cong bậc d thì tập cácđường cong bậc d thỏa mãn các điều kiện đó sẽ là một tập con của Pd(d+3)

2 Nếu tậpcon này là một đa tạp con tuyến tính (đa tạp con sinh bởi các đa thức thuần nhất bậc1) của Pd(d+3)

2 thì ta gọi là một hệ tuyến tính của các đường cong phẳng bậc d

Ta có các kết quả sau:

Bổ đề 0.39 ([1], chương 5, Bổ đề trong mục 5.2)

(1) Giả sử P ∈ P2 Khi đó, tập hợp các đường cong phẳng xạ ảnh bậc d đi qua P làmột siêu mặt của Pd(d+3)2

(2) Nếu T : P2 → P2 là một phép biến đổi tọa độ thì ánh xạ F 7→ FT từ tập các đườngcong bậc d vào chính nó là một phép biến đổi tọa độ của Pd(d+3)2 Giả sử P1, P2, , Pnlà các điểm trong P2, r1, r2, , rnlà các số nguyên không âm Đặt

V (d, r1P1, r2P2, , rnPn) là tập hợp các đường cong bậc d mà mP i(F ) ≥ ri, (1 ≤ i ≤ n).Mệnh đề 0.40 ([1], chương 5, Định lí 1)

1 V (d, r1P1, r2P2, , rnPn) là đa tạp con tuyến tính của Pd(d+3)2 với số chiều khôngnhỏ hơn d(d+3)2 −Pr i (r i +1)

2 Nếu d ≥ P ri thì dim V (d, r1P1, r2P2, , rnPn) = d(d+3)2 −Pr i (r i +1)

0.4 Giải kì dị đường cong đại số

Khi nghiên cứu một đường cong đại số, ngoài các điểm đơn và các kì dị thôngthường với các tính chất hình học đã rõ ràng thì chúng ta còn gặp các kì dị khôngthông thường (đã định nghĩa ở đầu chương) Ta cần phải xem xét các kì dị loại nàymột cách đặc biệt

Trong phần này chúng tôi trình bày một công cụ để giải quyết vấn đề nêu trên (giải

kì dị) đó là các phép nổ Mục đích của phương pháp này là xây dựng một ánh xạ songhữu tỉ biến đường cong thành một mô hình mới, vẫn là một đa tạp nhưng với các kì

dị đơn giản hơn, còn kì dị đang xét được thay thế bởi một đường thẳng Ở đây chúngtôi chỉ đưa ra các kết quả, chứng minh của các kết quả này có thể xem trong [1]

0.4.1 Phép nổ một điểm trong không gian afin

Giả sử P (0, 0) ∈ A2, với (X, Y ) là hệ tọa độ của A2 Gọi U = A2\V (X) Xétcấu xạ f : U → A1 = k xác định bởi f (x, y) = y/x Khi đó, ta gọi đồ thị của f là

G = {(x, y, z) ∈ A3|y = xz, x 6= 0}

Giả sử B = {(x, y, z) ∈ A3|y = xz}, π : B → A2 xác định bởi π(x, y, z) = (x, y).Khi đó, π(B) = U ∪ {P } Ta có L = π−1(P ) = {(0, 0, z)|z ∈ k} là một đa tạp con đóngcủa B, còn π hạn chế thành đẳng cấu từ π−1(U) lên U

Bây giờ ta xét ϕ : A2 → B xác định bởi ϕ(x, z) = (x, xz, z) Dễ thấy rằng ϕ là mộtđẳng cấu Giả sử ψ = π ◦ ϕ : A2 → A2; ψ(x, z) = (x, xz) Gọi E = ψ−1(P ) = ϕ−1(L) =

V (X) Khi đó ψ : A2\E → U là một đẳng cấu nên ψ là một cấu xạ song hữu tỉ củamặt phẳng vào chính nó

Như vậy, phép nổ một điểm trong không gian afin chính là cấu xạ song hữu tỉ ψ mà

chúng ta vừa xây dựng Áp dụng cho đường cong C 6= V (X) : Nếu ta kí hiệu C0 = C ∩U,

là một đa tạp con mở của C Gọi C′

0 = ψ−1(C0) và nếu C′ là bao đóng của C′

0 trong A2.Gọi f : C′ → C là hạn chế của ψ lên C′ Khi đó, f là cấu xạ song hữu tỉ giữa C′ và C

đó Y −αiXlà các tiếp tuyến với C tại P Với F như trên, f−1(P ) = {P1, P2, , Ps},trong đó Pi = (0, αi) và

mP(C′) ≤ I(Pi, C′∩ E) = ri.Nếu P là một điểm bội thông thường trên C thì mỗi Pi là một điểm đơn trên C′

và ordC ′

P i(x) = 1

3 Tồn tại một lân cận afin W của P trên C sao cho W′ = f−1(W ) là một đa tạpcon afin mở trên C′, f (W′) = W Hơn nữa, Γ(W′) là mô-đun hữu hạn sinh trênΓ(W ) và xr −1Γ(W′) ⊂ Γ(W )

0.4.2 Phép nổ các điểm trong không gian xạ ảnh

Tổng quát hơn, trong không gian xạ ảnh ta có thể thực hiện phép nổ cho nhiềuđiểm

Giả sử P1, P2, , Pt ∈ P2 Chúng ta sẽ nổ tất cả các điểm này và thay chúng bằngcác đường thẳng xạ ảnh Để cho đơn giản (sử dụng phép biến đổi tọa độ nếu cần) tagiả sử Pi = [ai1 : ai2 : 1]

Giả sử U = P2\{P1, P2, , Pt}.Định nghĩa các ánh xạ fi : U → P1 bởi công thức:

fi([x1 : x2 : x3]) = [x1− ai1x3 : x2− ai2x3]

Gọi f = (f1, , ft) : U → P1× × P1 (t lần) và gọi G là đồ thị của f

Tiếp theo, ta kí hiệu

B = V ({Yi1(X2− ai2X3) − Yi2(X1− ai1X3)|i = 1, , t}) ⊂ P2× P1× × P1,trong đó X1, X2, X3 là các tọa độ thuần nhất trong P2, còn Yi1, Yi2 là tọa độ thuầnnhất trong P1 thứ i

Cách xây dựng các ánh xạ ϕ và ψ tương tự như trong trường hợp afin

0.4.3 Phép biến đổi bậc hai

Trong mục này chúng ta xét một loại ánh xạ song hữu tỉ tổng quát hơn các phép

nổ trình bày ở trên Đó là các phép biến đổi bậc hai của mặt phẳng xạ ảnh lên chính

nó, còn gọi là ánh xạ Cremona

Trong P2 ta gọi các điểm P = [0 : 0 : 1], P′ = [0 : 1 : 0], P′′ = [1 : 0 : 0] là các điểm

cơ sở; L = V (Z), L′ = V (Y ), L′′ = V (X) là các đường thẳng cá biệt Chú ý rằng P làgiao điểm của L′ và L′′, còn L đi qua P′ và P′′ Kí hiệu U = P2\V (XY Z)

Định nghĩa 0.41 Phép biến đổi Q : P2\{P, P′, P′′} → P2 định nghĩa bởi Q([x : y :z]) = [yz : xz : xy], được gọi là phép biến đổi bậc hai chuẩn hay phép biến đổi Cremonachuẩn Với mỗi phép biến đổi tọa độ T ta gọi Q ◦ T là một phép biến đổi bậc hai

Có thể thấy rằng phép biến đổi Cremona định nghĩa một tương ứng 1 − 1 giữa cácđiểm của U lên chính nó Vì rõ ràng, Q là ánh xạ ngược của chính nó do Q(Q([x : y :z])) = [xzxy : yzxy : yzxz] = [x : y : z] Nói cách khác phép biến đổi bậc hai là mộtánh xạ song hữu tỉ từ P2 vào P2

Trước khi nghiên cứu tác động của phép biến đổi bậc hai chuẩn lên một đường cong

xạ ảnh bất khả quy ta cần thêm một vài khái niệm:

Thứ nhất, nếu một đường cong xạ ảnh C định nghĩa bởi đa thức thuần nhất

F (X, Y, Z) thì đa thức G(X, Y, Z) = F (Y Z, ZX, XY ) được gọi là dạng biến đổi đại

số của F ; nếu G(X, Y, Z) = H(X, Y, Z) ˜F (X, Y, Z), trong đó H(X, Y, Z) là đơn thứctheo X, Y, Z, và ˜F không chia hết cho bất kỳ X, Y, Z, thì ta nói ˜F là dạng biến đổi bậchai của F ; ta cũng gọi đường cong ˜C định nghĩa bởi ˜F là dạng biến đổi bậc hai của C.Thứ hai, ta nói một đường cong C có vị trí tốt nếu không đường thẳng cá biệt nàotiếp xúc với C tại các điểm cơ sở; đường cong C bậc n với multP(C) = r có vị trí hoànhảo nếu C có vị trí tốt và L giao hoành với C tại n điểm phân biệt mà không có điểmnào là cơ sở, L′, L′′ mỗi đường giao hoành với C tại đúng n − r điểm phân biệt màkhông có điểm nào là cơ sở

Bây giờ ta nghiên cứu sự tác động của một phép biến đổi bậc hai chuẩn lên cácđiểm kì dị của một đường cong

Cho C là một đường cong xạ ảnh bậc n định nghĩa bởi đa thức F và các điểm cơ sở

P, P′, P′′ có bội tương ứng là r1, r2, r3 trên C Giả sử ˜F là dạng biến đổi bậc hai của F

và ˜C là đường cong định nghĩa bởi ˜F Các kết quả sau đây đã được chứng minh trong[1]

(1) Zr1 là lũy thừa cao nhất của Z mà là ước của FQ

(a) Có một sự tương ứng bảo toàn bội, bảo toàn tính chất giữa các điểm bội của

˜trong U với các điểm bội của C trong U

(b) P, P′, P′′ là các điểm bội thông thường có số bội lần lượt là n, n − r1, n − r1.(c) Trên ˜C ∩ L′ hoặc ˜C ∩ L′′ không có điểm nào không phải điểm cơ sở Giả sửtrên ˜C ∩ L có các điểm P1, , Ps là các điểm không phải cơ sở thì mP i( ˜C) ≤I(Pi, ˜C ∩ L) và Ps

i=1I(Pi, ˜C ∩ L) = r1.(7) Với một đường cong xạ ảnh C như giả thiết có các điểm kì dị có bội bằng rP =

và ta có thể chứng minh được rằng đây là một số không âm

Nếu C có vị trí hoàn hảo thì g∗( ˜C) = g∗(C) −

sP1=1

r i (r i −1)

2 , với ri = mP i( ˜C) và

P1, , Ps là các điểm khác cơ sở của ˜C ∩ L

Chúng ta thấy rằng các đường cong ở vị trí hoàn hảo sẽ giúp chúng ta thuận lợi hơntrong việc tìm hiểu các điểm kì dị Hơn nữa, mệnh đề sau cho chúng ta thấy rằng, luôn

có thể đưa một đường cong về vị trí hoàn hảo nhờ một phép biến đổi tuyến tính tọa

độ trong P2

Bổ đề 0.42 ([1], chương 7, Bổ đề 1) Cho C là một đường cong xạ ảnh phẳng bất khảquy, P là một điểm trên C Khi đó, có một phép biến đổi tọa độ T sao cho FT có vị

Còn tính hữu hạn của quá trình giải kì dị được khẳng định trong mệnh đề:

Mệnh đề 0.43 ([1], chương 7, Định lí 2) Bằng một dãy hữu hạn các phép biến đổibậc hai, một đường cong xạ ảnh bất khả quy biến đổi thành một đường cong chỉ có các

Liên quan đến các phép biến đổi bậc hai, ta giới thiệu khái niệm về các điểmlân cận Giả sử C là đường cong bất khả quy bậc d định nghĩa bởi F (X, Y, Z) và

Q = (Q1, Q2, Qn) là dãy các phép biến đổi bậc hai biến C thành đường cong màchỉ chứa các kì dị thông thường Ta quy ước rằng Qi là hợp thành của một phép biếnđổi bậc hai với một phép biến đổi tọa độ mà chuyển một trong các kì dị về thành mộtđiểm cơ sở Giả sử rằng Q sinh ra dãy các đường cong bất khả quy

P thì P′ nằm trên Ci+1, ta định nghĩa bội và tính chất của nó như bội và tính chấtcủa P′ nằm trên Ci+1 Tương tự, nếu {P 1′, P 2′, P s} là lân cận đầu tiên của P ứngvới Q, ta có lân cận thứ hai của P ứng với Q là hợp của các lân cận thứ nhất của

Pk, k = 1, s Các điểm trong lân cận thứ hai của P ứng với Q được gọi là các điểmlân cận tại lân cận thứ hai của nó Bội và tính chất của các điểm tại lân cận thứ haiđược định nghĩa một cách tương tự như với các điểm thuộc lân cận thứ nhất Nhưngcần chú ý rằng có thể không phải tất cả các điểm lân cận đều nằm trên cùng mộtđường cong Ta có thể mở rộng khái niệm này với các bậc cao hơn Nói chung, ta sẽgọi bất kỳ điểm nào trong các lân cận của P là một điểm lân cận của P Các điểm lâncận của P có bội lớn hơn 1 thì được gọi là các điểm kì dị lân cận của P

Ta có định nghĩa:

Định nghĩa 0.44 Cho C là một đường cong phẳng xạ ảnh bất khả quy, P ∈ Sing(C).Nếu P là kì dị thông thường thì cây lân cận tại P bao gồm nút đơn P Còn nếu P là kì

dị không thông thường thì cây lân cận tại P có P là gốc và cây lân cận của các điểm

kì dị lân cận của P tại lân cận thứ nhất như các cây con

Đồ thị lân cận của P , ký hiệu là Ngr(C), là tập các cây lân cận của tất cả các điểm

kì dị của C

Từ đó, nếu cây lân cận bao gồm kì dị thông thường P thì nhánh liên kết của câychấm dứt tại P Vậy lân cận đồ thị của bất kỳ đường cong nào cũng hữu hạn

Trước khi kết thúc mục này ta có một khái niệm quan trọng đối với bài toán tham

0.4.4 Mô hình không kì dị của đường cong đại số

Chúng ta thấy rằng, với một đường cong xạ ảnh cho trước thì số điểm kì dị là hữuhạn và với một dãy hữu hạn các phép biến đổi bậc hai ta có thể tìm được một đườngcong mới tương đương song hữu tỉ với đường cong đã cho mà chỉ có các kì dị thôngthường Đến đây, nếu ta tiếp tục dùng phép nổ các điểm trong mặt phẳng xạ ảnh thì

sẽ thu được đường cong trơn Các phép nổ cũng là một ánh xạ song hữu tỉ, do đó môhình nhận được là tương đương song hữu tỉ với đường cong ban đầu

Mệnh đề 0.46 ([1], chương 7, Định lí 3) Cho C là một đường cong xạ ảnh Khi đó

có một đường cong xạ ảnh không kì dị X và cấu xạ song hữu tỉ f từ X lên C Nếu

f′ : X′ → C cũng là một mô hình như vậy thì tồn tại duy nhất đẳng cấu g : X → X′

0.5 Không gian ước và giống Định lí Riemann

Trong phần này, chúng ta nói về một bất biến tôpô quan trọng của đường cong đại

số đó là giống,

Ở đây, ta giả sử C là đường cong xạ ảnh bất khả quy, f : X → C là cấu xạ song

hữu tỉ từ mô hình không kì dị X lên C như đã nói trong phần trước Và nếu một điểm

Q ∈ X , f (Q) = P ∈ C thì với mỗi đường cong phẳng G, ta có G∗ ∈ OP(P2) Giả sử g

là ảnh của G∗ trong OP(C) Ta định nghĩa ordQ(g) là ordQ(G)

0.5.1 Giới thiệu về ước và không gian L(D)

Một ước trên X là một tổng hình thức D = PP∈X nPP , nP ∈ Z và chỉ có hữu hạn

nP khác không Như thế, các ước trên X làm thành một nhóm abel tự do trên tập X Bậc của một ước D, kí hiệu bởi deg(D), được tính bằng P nP Dễ thấy rằngdeg(D + D′) = deg(D) + deg(D′) Ta nói rằng, D = P

P ∈XnPP là một ước thực sựhay dương nếu nP ≥ 0 với mọi P, còn ta viếtP

P ∈XnPP ≥P

P ∈XmPP nếu nP ≥ mPvới mọi P

Nếu G là một đường cong phẳng và C không là thành phần của G ta định nghĩaước của G, div(G) = PP∈XordP(G)P

Với z ∈ k(C) định nghĩa ước của z, div(z) = PP∈XordP(z)P Đây là định nghĩa tốt

do z chỉ có hữu hạn cực và không điểm Ta kí hiệu (z)0 =P

ord P (x)>0ordP(z)P là ướccủa các không điểm và (z)∞ = P

ord P (x)<0ordP(z)P là ước của các điểm cực Khi đó,div(z) = (z)0−(z)∞và dễ thấy rằng div(zz′) = div(z)+div(z′) và div(z−1) = − div(z).Hơn nữa, deg(div(z)) = 0

Trong trường hợp D, D′ là các ước mà D = D′ + div(z) với z ∈ k(C) nào đó thì D và

D′ được gọi là tương đương tuyến tính và kí hiệu là D ≡ D′

Mệnh đề 0.48 ([1], chương 8, Mệnh đề 2)

1 Quan hệ ≡ là một quan hệ tương đương

2 D ≡ 0 khi và chỉ khi D = div(z), z ∈ k(C)

3 Nếu D ≡ D′ thì deg(D) = deg(D′)

4 Nếu D ≡ D′ và D1 ≡ D′

1 thì D + D1 ≡ D′+ D′

1

5 Giả sử C là một đường cong phẳng Điều kiện cần và đủ để D ≡ D′ là tồn tại hai

Giả sử C là một đường cong phẳng chỉ có các kì dị thông thường Với mỗi Q ∈ X ,giả sử rQ = mf(Q)(C) Xét ước dương E =P

Q ∈X(rQ− 1)Q Dễ thấy rằng, bậc của E

là P mP(C)(mP(C − 1)) Hơn nữa, ta còn có kết quả sau:

Định lý 0.49 (Định lí phần dư) Giả sử D và D′ là các ước dương trên X với

D ≡ D′.Giả sử G là một đường cong liên hợp bậc m của C sao cho div(G) = D+E +A,với ước dương A nào đó Khi đó tồn tại một đường cong liên hợp G′ bậc m của C sao

0.5.2 Định lí Riemann và giống của đường cong

Như trong mục trên ta đã thấy rằng nếu D lớn thì L(D) cũng lớn Cụ thể hơn, ta

có định lí:

Định lý 0.52 (Định lí Riemann) Tồn tại một số nguyên g sao cho l(D) ≥ deg(D)+

1 − g với mọi ước D Số nguyên nhỏ nhất như vậy được gọi là giống của đường cong Choặc X

Chứng minh Với mỗi ước D ta đặt s(D) = deg(D) + 1 − l(D) Ta cần tìm g sao chos(D) ≤ g với mọi D.

Dễ thấy rằng s(0) = 0 nên nếu g tồn tại thì g ≥ 0

Cuối cùng, ta chỉ cần chỉ ra rằng, với mọi ước D sẽ tồn tại ước D′ ≡ D và một

số nguyên r ≥ 0 sao cho D′ ≤ rZ Thật vậy: Giả sử Z = P nPP , D = P mPP Tacần tìm D′ = D − div(f ), nên phải có mP − ordP(f ) ≤ rnP với mọi P Đặt y = x−1

và T = {P ∈ X|mP > 0 và ordP(y) ≥ 0} Lấy f = Q

P ∈T(y − y(P ))mP Khi đó,

mP − ordP(f ) ≤ 0 Nếu ordP(y) < 0 thì nP > 0 nên một số r đủ lớn sẽ thỏa mãn

Hệ quả 0.53 Nếu l(D0) = deg(D0)+1−g và D ≡ D′ ≥ D0 thì l(D) = deg(D)+1−g

Chứng minh Theo hệ quả 0.55, để tính giống ta cần tìm ước đủ lớn D nào đó mà ta

có thể tính được l(D) Định lí phần dư giúp chúng ta tìm được tất cả các ước dươngtương đương tuyến tính với ước đã cho D Từ những điều này sẽ giúp chúng ta tínhđược giống g của đường cong

Biến đổi tọa độ nếu cần, ta có thể giả sử đường thẳng Z = 0 cắt đường congtại n điểm phân biệt P1, P2, , Pn Giả sử F là đa thức định nghĩa của C Xét ước

Q ∈X(rQ − 1)Q, rQ = rf(Q) = mf(Q)(C) Giả sử Em = m

nPi=1

−E Khi đó, Em làước có bậc là mn − PP∈CrP(rp− 1)

Giả sử Vm là tập hợp các đa thức thuần nhất sao cho mỗi đa thức định nghĩa mộtđường cong liên hợp với C Khi đó, với mỗi G ∈ Vm ta có mP(G) ≥ rP − 1, ∀P ∈ C Ápdụng mệnh đề 0.40 ta có:

đa thức thuần nhất cùng bậc Khi đó, div(RZm) ≥ div(S) + E nên theo mệnh đề 0.47

có một phương trình RZm = AS + BF Vậy R/S = A/Zm ∈ k(C), suy ra ϕ(A) = f.(Chú ý rằng, div(A) = div(RZm) − div(S) ≥ E nên A ∈ Vm)

Tiếp theo, xét ánh xạ ψ : Wm −n → Vm, trong đó Wm −n là không gian các đathức thuần nhất bậc m − n, xác định bởi ψ(H) = F H, ∀H ∈ Wm −n Dễ thấy rằng

Im ψ = ker ϕ nên ta có dãy khớp ngắn

Chương 1

Các thuật toán tham số hóa hữu tỉ

Trong chương này chúng tôi trình bày các thuật toán tham số hóa với hai trườnghợp: Trường hợp riêng, tham số hóa bằng hệ các đường thẳng, và trường hợp tổngquát, tham số hóa bằng hệ tuyến tính các đường cong liên hợp Sau mỗi thuật toán làmột số ví dụ minh họa Ở đây, chúng tôi sử dụng các tài liệu tham khảo chính là [3]

và [5]

Trong phần còn lại của luận văn ta luôn giả sử một phép tham số hóa afin hữu

tỉ luôn được cho dưới dạng P(t) = (f(t), g(t)) = f n (t)

f d (t),gn (t)

g d (t)

 Trong đó, f, g ∈k(t), fn, fd, gn, gd ∈ k[t] Ngoài ra, với P(t) như vậy ta còn xét các đa thức f (s, t) =

fn(t)fd(s) − fn(s)fd(t), g(s, t) = gn(t)gd(s) − gn(s)gd(t), các đa thức này được sử dụngnhiều trong chương 2

1.1 Đường cong hữu tỉ và các phép tham số hóa

Trong thực tế, một số đường cong phẳng có thể được biểu diễn bằng các phép tham

số hóa hữu tỉ, nghĩa là, hầu hết (có thể trừ một số hữu hạn) các điểm của một đườngcong đều được cho bởi một cặp các hàm hữu tỉ

Chẳng hạn, trong mặt phẳng afin A2(C) : Parabol Y = X2 có thể được mô tả bởiphép tham số hóa (t, t2), Hay với đường cong tự tiếp xúc trong F (X, Y ) = 2X4 −3X2Y + Y2− 2Y3+ Y4, có thể được biểu diễn bởi tập hợp





t3 − 6t2+ 9t − 22t4− 16t3+ 40t2− 32t + 9,

t2− 4t + 42t4− 16t3+ 40t2− 32t + 9