2 Hình học của các đường cong tham số hóa hữu tỉ
2.2 Phép tham số hóa chuẩn
đều là các phép tham số hóa hữu tỉ củaC. Tuy nhiên, ta cũng tính đượcindex(P(t)) =
1,index(P′(t)) = 2.Do đó, chỉ có P(t) là phép tham số hóa hữu tỉ thực sự.
2.2 Phép tham số hóa chuẩn
Chúng ta đã biết, một ánh xạ hữu tỉ là một ánh xạ trội. Chính vì vậy trong trường hợp tổng quát phép tham số hóa P(t) có thể có một số điểm của đường cong không được nhắc tới. Nói cách khác, P không là toàn ánh. Trong phần này chúng ta sẽ quan tâm đến trường hợp P là một toàn ánh, phép tham số hóa khi đó được gọi là phép
tham số hóa chuẩn.
Bổ đề 2.10. ([5], chương 6, Bổ đề 6.19) Giả sử ℓ1(X) = lc(f(X, t), t), ℓ2(Y) =
lc(g(Y, t), t). Khi đó:
P(k) ={(a, b)∈ C|gcd(f(a, t), g(b, t))6= 1}.
Hơn nữa,
C\P(k)⊂ {(a, b)∈ C|ℓ1(a) =ℓ(b) = 0}.
Hệ quả 2.11. Nếu trong P(t) nếu bậc của một trong các mẫu số mà nhỏ hơn bậc của
tử số tương ứng thì P(t) là chuẩn.
Định lí sau ngoài việc giúp chúng ta kiểm tra kiểm tra xem một phép tham số hóa có là chuẩn hay không còn cho phép chúng ta xác định được điểm mà không được nhắc tới trong phép tham số hóa. Sau này ta sẽ gọi các điểm đó là các điểm tới hạn.
Mệnh đề 2.12. ([5], chương 6 , Định lí 6.22) Trong phép tham số hóa P(t) giả
sử deg(fn) = p,deg(Fd) = q,deg(gn) = r,deg(gd) = s và a = coeff(fn, q), b =
coeff(fd, q), c= coeff(gn, s), d= coeff(gd, s). Khi đó:
1. Nếu p > q hoặc r > s thì P(t) là phép tham số hóa chuẩn.
2. Nếu p≤q và r≤s thì P(t) là chuẩn khi và chỉ khi
deg(gcd(afn(t)−bfn(t), cgd(t)−dgn(t)))≥1.
Hơn nữa, nếu P(t) là không chuẩn thì mọi điểm của C đều sinh bởi P(t) trừ điểm
(a b, c
d) (đây là một điểm của C.)
Điểm(a b,c
d)được xác định như trong mệnh đề trên (nếu có) của một phép tham số hóa hữu tỉ được gọi là điểm tới hạn của phép tham số hóa đó.