NHỮNG ĐIỂM CẦN CHÚ Ý KHI SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH ĐỂ GIẢI TOÁN : Ta đã biết, khi biết độ dài một số yếu tố của một hình ta có thể tính được diện tích hình đó bằng những công thức mà[r]
(1)Chuyên đề BD.HSG Hình học Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi CHUYÊN ĐỀ : DIỆN TÍCH Hình học A/ PHẦN I Kiến thức : 1) Tiên đề diện tích : Mỗi đa giác có diện tích xác định Diện tích đa giác là số dương 2) Diện tích đa giác có các tính chất sau : +Hai tam giác có diện tích +Nếu đa giác chia thành đa giác nhỏ không có điểm chung thì diện tích nó tổng diện tích đa giác đó +Hình vuông cạnh có độ dài thì diện tích là - Hình vuông đó gọi là hình vuông đơn vị I DIỆN TÍCH TỨ GIÁC : 1) Cho tứ giác ABCD Gọi AB = a , BC = b , CD = c , DA = d , AC = d1 , BD = d2 , R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, r là bán kính đường tròn nội tiếp và p = (a + b + c + d) Ta có : B b C a I m d1 d2 c A d D a) SABCD = SABC + SADC = SABD + SCBD +Tổng các góc tứ giác A + B + C + D = 3600 = 2 +Tổng bình phương các cạnh : a2 + b2 + c2 + d2 = d 21 +d 22=4 m2 HH / (2) Chuyên đề BD.HSG Hình học (m là độ dài đoạn thẳng nối hai trung điểm hai đường chéo) b) SABCD = d1d2sin ( là góc tạo hai đường chéo d1, d2 ) *Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O: R) B a b d2 A d1 O C d c D c) SABCD = +Tổng hai góc đối diện A + C = B + D = 1800 = +Tích các đườngchéo : d1d2 = ac + bd p = (a + b + c + d) * Tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O; r) B b C O a c r A d M D d) SABCD = p.r +Tổng hai cạnh đối diện : a + c = b + d 2)Diện tích các tứ giác đặc biệt : HH / (3) Chuyên đề BD.HSG Hình học a)Diện tích hình chữ nhật : A a b d B SABCD = a.b d= D C b)Diện tích hình vuông A a a B SABCD = a2 d=a SABCD = d2 d D C *Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn c)Diện tích hình thang : A a B h SABCD = (a + b).h M m N SABCD = m.h D H b d)Diện tích hình bình hành : A C B SABCD = a.h h d1 d2 d12 + d22 = 2(a2 + b2) D H a C e)Diện tích hình thoi : A h D B d2 d1 HH / a SABCD = d1d2 = a.h d12 +d22 = a2 (4) Chuyên đề BD.HSG Hình học H C II.DIỆN TÍCH TAM GIÁC Cho tam giác ABC có BC = a , AC = b , AB = c, đường cao thuộc cạnh BC là AH = , r là bán kính đường tròn nội tiếp , R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC và p = Ta có các công thức sau : 1) SABC = a.h A b c B h H a C Chứng minh : Kẻ đường cao AH, ta có : ABH vuông H nên SABH = AH.BH (1) SACH = AH.CH (2) Cộng (1) và (2) vế theo vế ta : SABH + SACH = AH.BH + AH.CH SABC = AH.(BH + CH) = AH.BC Hay SABC = a.h Tương tự ta có : SABC = b.k = SABC = c.l (k là chiều cao ứng với cạnh AC, l là chiều cao ứng với cạnh AB) 2)Tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O; r) SABC = p.r HH / (5) Chuyên đề BD.HSG Hình học A c E F b r r O r B C a D Chứng minh : SABC = SAOB + SBOC + SCOA Mà : SAOB = r.c SBOC = r.a SCOA = r.b 1 Cộng vế theo vế, ta : SAOB + SBOC + SCOA = r.c + r.a + r.b SABC = r.(c + a + b) = r = p.r ( p = : nửa chu vi ) 3)Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) SABC = A b c O h C B H a D Chứng minh : HH / (6) Chuyên đề BD.HSG Hình học Kẻ đường cao AH và đường kính AD SABC = a.h Xét ABH vuông H và ADC vuông C có : ABH = ADC (góc nội tiếp cùng chắn cung AC) => ABH ~ ADC => = => AH = = Vậy SABC = a.h = a = 4) SABC = (Công thức Hêrông) Chứng minh : A b c h B b' c' H a C Giả sử B và C nhọn Kẻ đường cao AH (AH BC) - đặt AH = h BC = BH + CH hay a = b’ + c’ (1) Để không tính tổng quát ta giả sử b > c => b’ > c’ ABH vuông H : AH2 = AB2 - BH2 hay h2 = c2 - c’2 ACH vuông H : AH2 = AC2 - CH2 hay h2 = b2 - b’2 => c2 - c’2 = b2 - b’2 <=> b2 - c2 = b’2 - c’2 <=> b2 - c2 = (b’ + c’).(b’ - c’) b2 - c2 = a.(b’ - c’) => b’ - c’ = (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : HH / ¿ b ' +c ' =a b2 − c b' −c'= a ¿{ ¿ (7) Chuyên đề BD.HSG Hình học Giải hệ phương trình : <=> ¿ a2+ b2 −c b'= 2a a − b2 +c c '= 2a ¿{ ¿ ¿ b '+c ' =a b2 − c b' − c'= a ¿{ ¿ <=> ¿ b ' +c ' =a a 2+b − c 2 b '= a ¿{ ¿ 2 ( a2 +b2 −c ) a2 +b2 −c 2 =b − Do đó h = b - b’ = b 2a a2 a b − ( a2 +b2 −c ) ( 2ab )2 − ( a2 +b − c2 ) = = 2 4a 4a ( 2ab+ a2 +b − c2 ) ( ab− a2 −b 2+ c2 ) = a2 [ ( a2 +2 ab+b ) − c ] [ c − ( a −2 ab+ b2 ) ] = [ ( a+b )2 − c2 ] [ c − ( a− b )2 ] = 4a a2 ( a+b+ c )( a+ b −c ) ( c+ a −b )( c − a+b ) = a2 ( a+b+ c )( a+ b+c −2 c )( a+b+ c −2 b ) ( a+ b+c −2 a ) = 4a 2 2 ( ) (Đặt a + b + c = 2p) p ( p −2 c ) ( p −2 b ) ( p − a ) 16 p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) = a2 a2 p ( p − a ) ( p− b ) ( p −c ) = a2 p ( p − a) ( p − b) ( p − c ) = √ p ( p − a) ( p − b) ( p − c ) => h = a a2 1 Vậy SABC = a.h = a a √ p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) = √ p ( p − a )( p − b ) ( p − c ) = √ NHỮNG ĐIỂM CẦN CHÚ Ý KHI SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH ĐỂ GIẢI TOÁN : Ta đã biết, biết độ dài số yếu tố hình ta có thể tính diện tích hình đó công thức mà ta đã biết Ngược lại các công thức tính diện tích cho ta các quan hệ độ dài các đoạn thẳng Sử HH / (8) Chuyên đề BD.HSG Hình học dụng công thức tính diện tích các hình có thể giúp ta so sánh độ dài các đoạn thẳng Để so sánh hai độ dài đoạn thẳng nào đó phương pháp diện tích, ta chú ý các điểm sau : 1)Xác định quan hệ diện tích các hình 2)Sử dụng các công thức tính diện tích để biểu diễn mối quan hệ đó đẳng thức có chứa các độ dài 3)Biến đổi đẳng thức vừa tìm ta có quan hệ độ dài hai đoạn thẳng cần so sánh Khi giải bài toán phương pháp diện tích ta cần nắm vững : +Sử dụng trực tiếp công thức tính diện tích các hình +Sử dụng tính chất : -Nếu hai tam giác có cùng chiều cao thì tỉ số hai đáy tương ứng tỉ số hai diện tích Ngược lại, hai tam giác có cùng đáy thì tỉ số hai chiều cao tương ứng tỉ số hai diện tích -Nếu hai tam giác có cùng chung đáy và có cùng diện tích thì đỉnh thứ ba thuộc đường thẳng song song với đáy -Đường trung bình tam giác chia tam giác đó thành hai phần có diện tích tỉ lệ với : -Đường trung tuyến tam giác chia tam giác đó thành hai phần có diện tích -Ba tam giác có chung đỉnh là trọng tâm tam giác còn đáy là ba cạnh thì có diện tích -Nếu tam giác và hình bình hành có cùng đáy và cùng chiều cao thì diện tích tam giác nửa diện tích hình bình hành B/.PHẦN II I.CÁC BÀI TOÁN MẪU : Bài : Cho tam giác ABC Từ điểm O tam giác, ta kẻ OH AB, OK AC, OI BC Chứng minh O di động tam giác thì tổng OH + OK + OI không đổi HH / (9) Chuyên đề BD.HSG Hình học Giải A H K O B I C Gọi cạnh tam giác ABC là a và chiều cao là h, thì SABC = a.h và AB = BC = CA = a Ta có SABC = SAOB + SBOC + SCOA SAOB = AB.OH SBOC = BC.OI SCOA = BC.OI Cộng vế theo vế ta : a.h = AB.OH + BC.OI + BC.OI <=> a.h = a.OH + a.OK + a.OI <=> a.h = a(OH + OK + OI) <=> h = OH + OK + OI Mà h : không đổi => OH + OK + OI không đổi +Nếu O thuộc cạnh tam giác thì bài toán trên đúng +Nếu thay tam giác đa giác thì tổng khoảng cách từ điểm O nằm đa giác đến các cạnh đa giác không đổi Bài : Chứng minh định lý Py-ta-go : Trong tam giác vuông bình phương cạnh huyền tổng bình phương hai cạnh góc vuông Ta đã biết chứng minh định lý này cách sử dụng hệ thức lượng tam giác vuông Ta sử dụng phương pháp diện tích để chứng minh định lý này : Chứng minh HH / (10) Chuyên đề BD.HSG Hình học N G M A F H C B E K D Lấy các cạnh tam giác ABC có  = 900 làm cạnh dựng ngoài tam giác các hình vuông BCDE, ABFG , ACMN có diện tích là : SBCDE =BC2 = a2 , SABFG = AB2 = c2 , SACMN = AC2 = b2 Ta phải chứng minh SBCDE = SABFG + SACMN hay a2 = b2 + c2 Kẻ đường cao AH ABC kéo dài cắt DE K + Ta chứng minh SABFG = SBHKE Nối AE và CF : ABE = CBF (c-g-c) => SABE = SCBF (1) FBC và hình vuông ABFG có chung cạnh đáy FB, đường cao ứng với đáy này là AB => SCBF = SABFG (2) ABE và hình vuông BHKE có chung cạnh đáy là BE, đường cao ứng với cạnh đáy này BH => SABE = SBHKE (3) Từ (1), (2) và (3) => SABFG = SBHKE (*) +Ta chứng minh SACMN = SCDKH Nối BM và AD BCM = DCA (c-g-c) => SBCM = SDCA (4) BCM và hình vuông ACMN có chung cạnh đáy CM và có đường cao và AC => SBCM = SACMN (5) ACD và hình vuông CDKH có chung cạnh đáy là CD và có đường cao và KD => SACD = SCDKH (6) Từ (4), (5) và (6) => SACMN = SCDKH (**) Cộng (*) và (**) vế theo vế, ta : SBHKE = SABFG HH / 10 (11) Chuyên đề BD.HSG Hình học SCDKH = SACMN SBCDE = SABFG + SACMN Hay a2 = b2 + c2 Bài : Cho tam giác ABC Trên phần kéo dài các cạnh AB, BC và AC lấy các điểm D, E, F (B nằm A và D ; C năm B và E ; A nằm C và F) cho BD = AB ; CE = BC và AF = AC Gọi s là diện tích ABC Tính diện tích DEF theo s Giải GT ABC có diện tích là s AB = BD ; BC = CE ; AC = AF KL SDEF ? F A B C E D Cách : Sử dụng tính chất diện tích Xét ABE có AC là trung tuyến (BC = CE) => SABC = SACE = s => SABE = SABC + SACE = 2s AED có EB là trung tuyến (AB = BD) => SABE = SBED = 2s => SAED = SABE + SBED = 4s BCF có BA là trung tuyến (AC = AF) => SABC = SBAF = s HH / 11 (12) Chuyên đề BD.HSG Hình học CEF có EA là trung tuyến (AC = AF) => SACE = SAEF = s => SCEF = SACE + SAEF = 2s AFD có FB là trung tuyến (AB = BD) => SDBF = SBAF = s => SAFD = SDBF + SBAF = 2s SDEF = SAED + SAFE + SAFD = 4s + s + 2s = 7s Vậy SDEF = 7s Cách : Kẻ BI AC và EH CF Chứng minh vuông BIC = vuông EHC (Cạnh huyền và góc nhọn) => BI = EH Ta có AC = AF và AC + AF = CF => CF = 2AC => SCEF = 2SABC = 2s (hai tam giác có cung đường cao cạnh đáy CF CEF gấp hai lần cạnh đáy AC ABC) Tương tự ta chứng minh SADF = 2SABC = 2s Và SBDE = 2SABC = 2s Mà SDEF = SABC + SBED + SCFE + SAFD = s + 2s + 2s + 2s = 7s Vậy SDEF = 7s Bài : Cho hình vuông ABCD cạnh a M, N là trung điểm AD và CD Nối BN và CM cắt E Chứng minh diện tích hình vuông ABCD gấp lần diện tích tam giác BEC GT Hình vuông ABCD có AB = BC = CD = DA = a Và AM = MD , NC = ND KL SABCD = 5SBEC Giải HH / 12 (13) Chuyên đề BD.HSG Hình học P B H C Q E A M N D Cách : *Để chứng minh SHV/ABCD = 5SBEC Ta chuyển tính SBEC = a2 Để tính diện tích tam giác BEC ta kẻ đường cao EH ứng với cạnh đáy BC (biết BC = a), ta tính EH theo a + Gọi P là trung điểm BC và Q là trung điểm BE => PQ là đường trung bình tam giác BEC => PQ = CE (1)và PQ // CE + BCN = CDM (cgc) => NBC = MCD và CMD = BNC mà BCM = CMD (SLT) =>BCM = BNC Có : MCD + BCM = 900 (góc hình vuông ABCD) Nên NBC + BCM = 900 => BEC = 900 => CM BN E BQP = CEN (gcg) => PQ = NE (2) Từ (1) và (2) => 2NE = BQ và BQ = CE mà BQ = QE (gt) => BQ = QE = CE = 2EN Ta có : BN = BQ + QE + EN = 5NE => NE = BN => CE = BN hay = ECH ~ BNC (gg) => = = => EH = BC hay EH = a SBEC = BC.EH = a.a = a2 Mà SABCD = a2 Vậy SBEC = S HV/ABCD hay S HV/ABCD = 5SBEC Cách : Chứng minh BCN = CDM (cgc) => NBC = MCD và CMD = BNC mà BCM = CMD (SLT) =>BCM = BNC Có : MCD + BCM = 900 (góc hình vuông ABCD) Nên NBC + BCM = 900 => BEC = 900 => CM BN E HH / 13 (14) Chuyên đề BD.HSG Hình học CN BC ( ) Chứng mính CEN ~ BEC => = = a = a ( ) => SCEN = SBEC Kẻ đường chéo BD hình vuông ABCD => SBCD = S HV/ABCD = a2 BCD có BN là đường trung tuyến => SBCN = SBCD = a2 = a2 Mà SBCN = SBEC + SCEN = SBEC + SBEC = SBEC hay a2 = SBEC => 5SBEC = a2 , mà a2 = SHV/ABCD Do đó SHV/ABCD = 5SBEC Cách : + Gọi P là trung điểm BC và Q là trung điểm BE => PQ là đường trung bình tam giác BEC => PQ = CE (1)và PQ // CE + BCN = CDM (cgc) => NBC = MCD và CMD = BNC mà BCM = CMD (SLT) =>BCM = BNC Có : MCD + BCM = 900 (góc hình vuông ABCD) Nên NBC + BCM = 900 => BEC = 900 => CM BN E BQP = CEN (gcg) => BQ = CE mà BQ = QE (gt) => BQ = QE = CE Ta có BE = BQ + QE = CE + CE = 2CE Trong vuông BEC có BC2 = BE2 + CE2 = (2CE)2 + CE2 = 5CE2 => CE = √ BC2 = √ a2 = a √5 => BE = 2CE = BEC vuông E : SBEC = CE BE = Mà SABCD = a2 , nên SHV/ABCD = 5SBEC a √5 a √5 a √5 = a2 Bài : Cho tam giác ABC cân A, đường cao thuộc cạnh bên h, góc đáy Chứng minh SABC = GT Giải : ABC có AB = AC , CM AB M, CM = h, B = KL SABC = *Phương pháp : Áp dụng công thức SABC = BC.AD =CM.AB => Hãy tính BC và AH theo h và tỉ số lượng giác góc B C, AB theo h và các tỉ số lượng giác góc B C Chứng minh : Kẻ CM AB và AD BC HH / 14 (15) Chuyên đề BD.HSG Hình học A M B h D C BCM vuông M, ta có : sin B = sin = = => BC = ADB vuông D, ta có : D là trung điểm BC (vì ABC cân A), nên BD = BC = = và tanB = tan = hay = => AD = BD = = => SABC = BC.AD = = Bài : Chứng minh tam giác có số đo các cạnh nhỏ thì diện tích tam giác nhỏ Phương pháp : *Nếu tam giác có cạnh thì diện tích là * Nếu tam giác có cạnh nhỏ thì diện tích nhỏ Chứng minh : Giả sử tam giác ABC có cạnh AB lớn , mà AB < Trên nửa mặt phẳng chứa tam giác ABC có bờ là đường thẳng chứa cạnh AB ta dựng tam giác ABC’ có cạnh AB < => SABC’ < Và AC ≤ AC’ , BC ≤ BC’ Từ C và C’ ABC và ABC’ kẻ hai đường cao tương ứng có chiều dài là h và h’ => h ≤ h’ HH / 15 (16) Chuyên đề BD.HSG Hình học C' B A => SABC = AB.h và SABC’ = AB.h’, h ≤ h’ => SABC ≤ SABC’ Mà SABC’ < (vì cạnh AB tam giác ABC’ nhỏ 1) Vậy SABC < Bài : Cho tam giác nhọn ABC với ba đường cao tương ứng AH, BI và CK Chứng minh SHIK = (1 - cos2A - cos2B - cos2C).SABC *Phương pháp : Từ hệ thức bài toán cần chứng minh ta có : = - cos2A - cos2B - cos2C và SHIK = SABC - SAKI - SBKH - SCHI => Ta phải chứng minh : = cos2A, = cos2B, = cos2C Chứng minh : Cách 1: A M I K C B H Ta có : SHIK = SABC - SAKI - SBKH - SCHI Chia hai vế cho SABC, ta : = - - = 1- - *Từ K kẻ KM AC => KM // BI (vì cùng vuông góc với AC) Tam giác ABI có KM //BI => = (1) HH / 16 (17) Chuyên đề BD.HSG Hình học = AI KM BI AC = = (2) = = = Tam giác ABI vuông I (vì BI AC) => = cosA Tam giác AKC vuông K (vì CK AB) => = cosA Nên = cos2A , đó = cos2A Tương tự ta chứng minh : = cos2B, = cos2C Vậy = - - - = - cos2A - cos2B - cos2C Nên : SHIK = (1 - cos2A - cos2B - cos2C).SABC Cách : *Xét ABI vuông I và ACK vuông K có góc  chung (hoặc ABI = ACK - cùng phụ với góc  hay hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc) => ABI ~ ACK => = => = + AIK và ABC có : = và  góc chung => AIK ~ ABC => = ()2 = cos2A (1) *Xét ABH vuông H và CBK vuông K có góc B chung (hoặc BAH = BCK - cùng phụ với góc B hay hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc) ABH ~ CBK => = => = + BHK và BAC có : = và góc B chung => BHK ~ BAC => = ()2 = cos2B (2) *Xét ACH vuông H và BCI vuông I có góc C chung (hoặc CAH = CBI - cùng phụ với góc C hay hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc) ACH ~ BCI => = => = +CHI và CAB có = và góc C chung => CHI ~ CAB => = ()2 = cos2C (3) Và ta có : SHIK = SABC - SAKI - SBKH - SCHI Hay = - - = - - - (4) Từ (1), (2),(3) và (4) => = - cos2A - cos2B - cos2C Hay SHIK = (1 - cos2A - cos2B - cos2C).SABC Bài : Chứng minh định lý : HH / 17 (18) Chuyên đề BD.HSG Hình học “Trong tam giác chân đường phân giác góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng ấy.” Giải : Cách : Vận dụng định lý Talét GT ABC có AD là phân giác góc  (D BC) KL = A C B D E Từ đỉnh B kẻ BE // AC cắt tia AD E Ta có BAD = CAD (gt) BEA = CAD ( so le - vì BE // AC) => BAD = BEA => ABE cân B => AB = BE ADC có BE // AC (Áp dụng hệ định lý Ta-lét ) => = Mà BE = AB , đó = Vậy = Cách : Giải phương pháp diện tích : HH / 18 (19) Chuyên đề BD.HSG Hình học A F E B H C D Kẻ đường cao AH ( AH BC) và từ D kẻ DE AB , DF AC Theo tính chất tia phân giác góc ta có DE = DF (DE và DF là khoảng cách từ điểm D trên tia phân giác AD góc A đến hai cạnh AB và AC ) Ta có SABD = AH.BD = AB.DE SADC = AH.DC = AC.DF => = 1 AH BD AB DE 2 = 1 AH CD AC DF 2 = = (vì DE = DF) Vậy = Bài : Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh AB lấy điểm N cho AM = CN Chứng minh đỉnh D hình bình hành cách hai đường thẳng AM và CN *Phương pháp : Vận dụng diện tích để chứng minh D C M K H A N Chứng minh : Từ D kẻ DH AM và DK CN HH / 19 B (20) Chuyên đề BD.HSG Hình học +Xét ACD và AMD hai tam giác này có chung cạnh đáy là AD và hai đỉnh C và M cung năm trên đường thẳng BC song song với AD (Tính chất cạnh đối HBH/ABCD) => SACD = SAMD (1) +Xét ACD và NCD có cạnh đáy CD chung và hai đỉnh A và N nằm trên đường thẳng AB // CD (Tính chất cạnh đối HBH/ABCD) => SACD = SNCD (2) Từ (1) và (2) => SNCD = SAMD (3) SAMD = DH.AM và SNCD = DK.CN (4) Từ (3) và (4) => DH.AM = DK.CN mà AM = CN (gt) => DH = DK Vậy đỉnh D HBH/ABCD cách hai đường thẳng AM và CN Bài 10 : Cho ABC có AC = b , AB = c, phân giác AD góc A và phân giác BE góc B cắt I Gọi G là trọng tâm ABC Chứng minh : Nếu BC trung bình cộng AB và AC thì IG // BC Giải : Cách : Sử dụng tính chất tia phân giác tam giác và tính chất trọng tâm tam giác A E c b I B G KD M a +AD là đường phân giác ABC (đặt BC = a) : = = => = => = => BD = +BI là đường phân giác ABD = = c: = Vì a = => = (b + c) : = (1) +Ta có G là trọng tâm ABC => = (2) Từ (1) và (2) => = => IG // DM hay IG // BC HH / 20 C (21) Chuyên đề BD.HSG Hình học Cách : Sử dụng diện tích tam giác : +Kẻ IK BC Vì a = => 2a = b + c Và I là giao điểm hai đường phân giác ABC, nên I là tâm đường đường tròn nội tiếp ABC => IK là bán kính đường tròn nội tiếp => SABC = IK = IK (1) Ta có SIBC = a.IK (2) Từ (1) và (2) => SIBC = SABC(3) G là trọng tâm ABC => = +Kẻ AH BC và GP BC => AH // GP AGH có GP // AH => = = => GP = AH Ta lại có SABC = BC.AH mà SGBC = BC.GP = BC.AH = (BC.AH) => SGBC = SABC (4) Từ (3) và (4) => SIBC = SGBC (Hai tam giác có diện tích mà có chung cạnh đáy nên hai đường cao nhau, đó I và G nằm trên đường thẳng song song với BC hay IG // BC Bài 11 : Cho ABC có AB = 14cm, AC = 35cm, đường phân giác AD = 12cm Tính diện tích ABC ? Cách giải : Vẽ DE // AB và tính diện tích tam giác ADE A E F B C D Giải : Từ D kẻ DE // AB => = (1) Mà = = (vì AD phân giác góc A ABC) (2) Từ (1) và (2) => = => = => = => AE = 10 (cm) Ta có BAD = CAD (gt) và BAD = ADE (SLT - vì DE // AB) => CAD = ADE => ADE cân E HH / 21 (22) Chuyên đề BD.HSG Hình học Kẻ EF AD => AF = FD = AD => AF = AEF vuông F => EF = => SADE = AD.EF = 48 cm2 Từ D kẻ DK AC => DK vừa là đường cao ADE vừa là đường cao ADC Mà SADE = AE DK <=> 48 = 10 DK => DK = 9,6 (cm) => SADC = AC DK = 35.9,6 = 168 cm2 Kẻ AH BC => AH là đường cao ABC là đường cao ADC Nên SADC = CD.AH <=> 7.SADC = 7CD.AH <=> 1176 = 7CD.AH (3) Từ = => = <=> 5BC = 7CD (4) Từ (3) và (4) => 1176 = 5BC.AH <=> = BC.AH = SABC Vậy SABC = 235,2 cm2 II.CÁC BÀI TẬP LUYỆN TẬP : Bài : Cho tam giác ABC có diện tích là s, các đường trung tuyến AD, BE và CF Gọi s’ là diện tích tam giác có độ dài các cạnh AD, BE và CF Chứng minh s’ = s Bài : Hình thang ABCD có các đáy AB = b, CD = a (a > b) Đoạn thẳng MN song song với hai đáy, hai đầu đoạn thẳng thuộc hai cạnh bên và chia hình thang thành hai phần có diện tích Chứng minh MN2 = Bài : Cho tam giác ABC vuông cân A, đường cao AH và đường phân giác BE Đường vuông góc với BE E cắt cạnh BC G, cắt tia đối tia AB D Kẻ EF vuông góc với BC Tính diện tích tam giác ABC, biết AD = 15 cm, HF = 20 cm Bài : Cho tam giác có độ dài các cạnh là BC = a, AC = b, AB = c và a - b = b - c G là giao điểm các đường trung tuyến I là giao điểm các đường phân giác tam giác đã cho Chứng minh GI // AC Bài : Cho tam giác ABC vuông A, đường phân ghiác AD Vẽ DH vuông góc với AB Đặt DH = d, AB = c, AC = b Chứng minh = + Bài : Cho tam giác ABC và điểm M trên cạnh tam giác, cho SMBC = SMAB + SMAC Chứng minh M di động trên đoạn thẳng cố định Bài : Cho góc xOy, tia Ot nằm góc đó Lấy điểm A cố định trên tia Ox, điểm B cố định trên tia Oy và điểm C di động trên tia Ot Tia Ot cắt AB M HH / 22 (23) Chuyên đề BD.HSG Hình học Chứng minh SAOC = SBOC và M là trung điểm AB Bài : Cho tam giác ABC, các góc B và C có tỉ lệ : 1; phân giác góc  chia diện tích tam giác theo tỉ lệ : Tính các góc tam giác Hướng dẫn giải Bài : A E F G H B D C Gợi ý cách giải Gọi G là trọng tâm ABC, H là trung điểm GC Chọn SGDH làm trung gian Tính S’ = 9SGDH và S = 12SGDH Giải Cách +Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên : AG = 2GD, BG = 2GE, CG = 2GF Gọi H là trung điểm GC => GH = GF BGC có HD là đường trung bình => HD // BG và HD = BG => HD = EG => HEGD là hình bình hành => SGDH = SEGH = SEGF (*) Ta có SGDH = SGDC (tính chất đường trung tuyến tam giác) Mà SGDC = SADC(vì hai ADC và GDC có cùng chiều cao, cạnh đáy AD ADC gấp lần cạnh đáy GD GDC) => SGDH = SADC = SADC Ta lại có SADC = S (tính chất đường trung tuyến tam giác) => SGDH = S => S = 12SGDH HH / 23 (24) Chuyên đề BD.HSG Hình học +Ta có S’ = SCDF + SADE + SBEF SCDF = 3SGDH (Hai tam giác này có cùng chiều cao cạnh đáy CDF gấp lần cạnh đáy GDH) (1) Ta có GDH và EGD có cùng cạnh đáy GD và hai đỉnh đối diện hai cạnh đó nằm trên cùng đường thẳng song song với GD => SGDH = SEGD Mà SADE = 3SEGD => SADE = 3SGDH (2) Ta có EFG và EGH có cạnh đáy (vì cùng GC) và đường cao => SEFG = SEGH = SGDH (theo * ) Mà SBEF = 3SEFG => SBEF = 3SGDH (3) Cộng (1), (2) và (3) ta : S’ = 9SGDH Vậy = = => S’ = S Cách : Kéo dài AD đoan DH, cho GD = GH => GH = AG Theo tính chất đường trung tuyến tam giác ta có AG = AD, GH = AD, CG = CF BGD = CHD (cgc) => BG = CH = BE A E F G B C D H Vậy = = = Nên CGH đồng dạng với tam giác có độ dài ba đường trung tuyến AD, BE, CF ABC (ccc) và có diện tích là S’ => = () = => S’ = SCGH (1) Ba đường trung tuyến tam giác chia tam giác đoành phần có diện tích và SABC, nghĩa là SDCG = SABC => SCGH = SABC (2) Từ (1) và (2) => S’ = SCGH = SABC = S (vì SABC = S) HH / 24 (25) Chuyên đề BD.HSG Hình học Bài 2: Gợi ý : Gọi O là giao điểm AD và BC Đặt S = SABNM = SMNCD và MN = x Vận dụng đồng dạng các cặp tam giác OAB và OMN, ODC và OMN O A M b B x N a D Giải : Gọi O là giao điểm AD và BC Đặt S = SABNM = SMNCD và MN = x Xét OAB và OMN có : AB//MN => OAB ~ OMN => = b x () = (1) Xét ODC và OMN có MN //CD => ODC ~ OMN => = a x () = (2) Từ (1) và (2) cộng vế theo vế ta : + = + <=> = Mà : SOAB = SOMN - SABNM = SOMN - S SODC = SOMN + SMNCD = SOMN + S ( S OMN − s ) + ( S OMN+ S ) => = = =2 S OMN => x = HH / 25 Vậy MN2 = C (26) Chuyên đề BD.HSG Hình học Bài : Gợi ý cách giải : Kẻ EN // BC, cắt AH M, cắt AB N ABC ~ ANE +Tính diện tích ANE +Tính tỉ số đồng dạng hai tam giác ABC và ANE Từ đó suy điều cần tìm D 15 A N B M H E 20 F C G Giải : Từ E kẻ NE // BC (N AB) => ANE ~ ABC => = AN AB ( ) = BDG cân B vì có đường phân giác BE là đường cao (BE GD) Do NE // BC nên => DNE cân N Tứ giác MEFH là hình chữ nhật vì có ba góc vuông => ME = HF = 20 (cm) ANE vuông cân A có AM NE (do AH BC mà NE //BC ) => AM là trung tuyến => 2ME = NE => NE = 2.20 = 40 (cm) Mà NE = AN √ => AN = NE : √ = 20 √ (cm) => SANE = NA2 = (20 √ )2 = 400(cm2) DBG cân B có BE là phân giác nên là trung tuyến => EG = ED mà EN // BG => BN = ND (có ND = AN + AD = 20 √ + 15) => AB = 2BN - AD = (20 √ + 15).2 - 15 = 40 √ + 15 Vậy SABC = AB2 = (40 √ + 15)2 = (3425 + 1200 √ ) 2561 (cm2) Bài 4: Xem cách giả bài tập (Phần bài giải mẫu) HH / 26 (27) Chuyên đề BD.HSG Hình học B F J G I C A H E K M Giải : Kẻ BH và GK vuông góc với AC Ta có : a - b = b - c => a + c = 2b I là giao điểm ba đường phân giác trong, nên I là tâm đường tròn nội tiếp ABC => IE = IF = IJ (IE, IF và IJ là khoảng cách từ tâm I đến các cạnh tam giác hay IE = IF = IJ là các bán kính) Ta có BH // GK (vì cùng vuông góc với AC) => = = (1) SABC = BH.AC = BH.b (2) SABC = IE(AB + BC + CA) = (a + b + c).IE = 3b.IE (vì a + c = 2b) (3) Từ (2) và (3) => BH.b = 3b.IE <=> BH = 3IE <=> = (4) Từ (1) và (4) => GK = IE Tứ giác GKEI có GK = IE và GK // IE (vì cùng vuông góc với AC) nên là hình bình hành và có GK EK nên là hình chữ nhật => IG // EK hay IG // AC Bài : Gợi ý : + Sử dụng tính chất diện tích : Nếu đa giác chia thành các đa giác nhỏ không có điểm chung trong, thì diện tích đa giác chia tổng diện tích các đa giác chia + Công thức tính diện tích tam giác HH / 27 (28) Chuyên đề BD.HSG Hình học A K H B C D Giải : Kẻ DK AC, ta có DK = DH = d vì AD là phân giác góc BAC Ta có : SABC = SABD + SACD SABC = bc SACD = dc SACD = db => bc = dc + db <=> bc = dc + db Chia hai vế cho bcd ta : = + Bài : Gợi ý : Sử dụng tính chất diện tích và tính chất hai tam giác có cùng cạnh đáy, thì tỉ số hai diện tích băng tỉ số hai chiều cao tương ứng Giải: A M E B H F C Vẽ AH BC , MK BC SABC = AH.BC , SMBC = MK.BC SABC = SAMB + SAMC + SMBC, mà SMBC = SAMB + SAMC , Do đó SABC = 2SMBC Hay AH = 2MK , mà AH không đổi => MK không đổi Do đó M luôn luôn cách BC khoảng không đổi AH Mà M không nằm ngoài tam giác ABC, Nên M nằm trên đoạn thẳng EF // BC và cách BC khoảng là AH HH / 28 (29) Chuyên đề BD.HSG Hình học Bài : Gợi ý : + Sử dụng tính chất đường trung tuyến tam giác để chứng minh phân thuận “Nếu M là trung điểm AB thì SAOM = SBOM.” + Sử dụng tính chất diện tích để chứng minh phần đảo lại : “Nếu SAOM = SBOM thì MA = MB.” Giải : y B C M O A x a)Thuận : Nếu AM = MB => SAOC = SBOC Xét AOB có MA = MB => OM là trung tuyến => SBOM = SAOM (1) ABC có CM là trung tuyến => SBCM = SACM (2) Cộng (1) và (2) Vế theo vế ta : SBOM + SBCM = SAOM + SACM Hay : SBOC = SAOC b) Đảo lại : Nếu SAOC = SBOC => AM = MB HH / 29 (30) Chuyên đề BD.HSG Hình học K h(1) O y B M C h(2) A L x Giải : Gọi h(1) là khoảng cách từ O đến AB , h(2) là khoảng cách từ C đến AB Ta có : SAOC = SAOM + SACM và SBOC = SBOM + SBMC Mà SAOC = SBOC <=> SAOM + SACM = SBOM + SBMC (1) SAOM = MA.h(1) SACM = MA.h(2) => SAOM + SACM = MA(h(1) + h(2)) (2) SBOM = MB.h(1) SBMC = MB.h(1) => SBOM + SBMC = MB(h(1) + h(2)) (3) Từ (1) , (2) và (3) =>MB(h(1) + h(2)) = MB(h(1) + h(2)) => MA = MB Bài : Gợi ý : +Sử dụng công thức : Diện tích tam giác phần hai tích hai cạnh và sin góc tạo hai cạnh đó +Sử dụng định lý hàm số sin Giải : Kẻ phân giác AD góc Â, ta có : SADC = AD.AC.sin SADB = AD.AB.sin HH / 30 (31) Chuyên đề BD.HSG Hình học A B D C => = , mà = , đó = Theo định lý hàm số sin tam giác ta có : = => = = Ta có B = 3C => sin3C = 2sinC (1) Nhân hai vế (1) với cosC, ta sin3C.cosC = 2sinC.cosC (có 2sinC.cosC = sin2C ) Hay sin3C.cosC = sin2C Ta lại có : sin3C.cosC = [sin(3C + C) + sin(3C - C)] = (sin4C + sin2C) (sin4C + sin2C) = sin2C <=> sin4C = sin2C (*) Vì A + B + C = 1800 => A = 1800 - 4C (và góc  là góc tam giác =>  > => C < 450 ) Phương trình (*) có nghiệm thích hợp : 4C = 1800 - 2C => C = 300, B = 900 và A = 600 Vậy tam giác ABC là tam giác vuông B và  = 600, C = 300 =================== HH / 31 ================== (32)