sử dụng phương pháp đồ thị để tính diện tích hình phẳng

­ Học sinh thường chỉ nhớ công thức tính diện tích hình phẳng thể tích vật tròn xoay một cách máy móc, khó phát huy tính linh hoạt sáng tạo, đặc biệt là kỹ năng đọc đồ thị để xét dấu cá

www.VNMATH.com

MỤC LỤC

Trang

Mục lục: 1

Đặt vấn đề 3

Giải quyết vấn đề 3

1 Cơ sở lý luận 3

2 Cơ sở thực tiễn 3

2.1 HèNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ TRỤC HOÀNH 4

2.1.1 hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b 4

2.1.2.Một vài vớ dụ minh hoạ cỏch tớnh tớch phõn cú chứa dấu giỏ trị tuyệt đối 4

2.1.3 Diện tớch của hỡnh phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số với trục hoành 5

2.1.4 Diện tớch hỡnh trũn, hỡnh elip 9

2.1.4.1.Diện tớch hỡnh trũn 9

2.1.4.2.Diện tớch của elip 9

2.2 HèNH PHẲNG ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ 10

2.2.1.Cỏch tỡm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số 10

2.2.2 Một vài vớ dụ minh hoạ về cỏch tỡm hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số 10

2.2.3.Cụng thức tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số 10

2.3.HèNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI BA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 14

3 Giải phỏp thực hiện 14

4 Kết quả thực nghiệm 14

KẾT LUẬN 15

TÀI LIỆU THAM KHẢO 16

www.VNMATH.com

­ Nếu không có hình vẽ thi học sinh thường không hình dung được hình phẳng (hay vật thể tròn xoay )

­ Hình vẽ minh họa ở các sách giáo khoa cũng như sách bài tập còn ít “ chưa đủ” để giúp học sinh rèn luyện tư duy từ trực quan đến trừu tượng Từ đó học sinh chưa thấy sự gần gũi

và thấy tính thực tế của các hình phẳng, vật tròn xoay đang học

­ Học sinh chưa thực sự hứng thú và có cảm giác nhẹ nhàng khi học vấn đề này, trái lại học sinh có cảm giác nặng nề,khó hiểu

­ Học sinh thường chỉ nhớ công thức tính diện tích hình phẳng (thể tích vật tròn xoay ) một cách máy móc, khó phát huy tính linh hoạt sáng tạo, đặc biệt là kỹ năng đọc đồ thị để xét dấu các biểu thức, kỹ năng “ chia nhỏ” hình phẳng để tính; kỹ năng cộng, trừ diện tích; cộng, trừ thể tích Đây là một khó khăn rất lớn mà học sinh thường gặp phải Do đó tôi

)

f( ) ( )0  

 Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “dưới” đồ thị hàm số y=g(x) thì

a ; b

x , x g x

f( ) ( )0  

2 Cơ sở thực tiễn:

­ Qua những bài toán tính diện tích hình phẳng trong chương trình sách giáo khoa 12 cơ bản, tôi nhận thấy học sinh có thể không cần vẽ hình Tuy nhiên nếu học sinh vẽ hình thì bài toán sẽ đực giải nhanh và trực quan hơn

­ Đối với hình phẳng giới hạn bởi ba đồ thị hàm số trở lên thì học sinh buộc phải vẽ hình mới làm chính xác được.(Có trong các đề thi đại học cao đẳng)

www.VNMATH.com

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG

2.1 HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ TRỤC HOÀNH 2.1.1 Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng

x = a, x = b

Chú ý: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn a;b

Khi đó hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b có diện tích là S và được tính theo công thức:





b a

dx x f

a

dx x f dx x f

 Nếu f(x) xa;b thì    

b

a b

a

dx x f dx

x f

Muốn “phá” dấu giá trị tuyệt đối ta phải xét dấu của biểu thức f(x) Thường có hai cách

làm như sau:

-Cách 1: Dùng định lí “dấu của nhị thức bật nhất”, định lí “dấu của tam thức bậc hai” để

xét dấu các biểu thức f(x); đôi khi phải giải các bất phương trình f(x) ≥ 0 , f(x) ≤ 0 trên

)

a

dx x f dx x f

4 2

0

2 0

x I

Ví dụ 2: K  x  x dx

2 0

x

0 2 2

0

2

) 2 3 ( ) 2 3 ( 2

x K

1

2 ) 2 2

3 3

( 0

1 ) 2 2

3

3

(

2 3 2

3

x x x x x

6

1 6

5 ) 2 3 ( )

2 3 ( 2

3

2 1 2 1

0 2 2

2.1.3 Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số với trục hoành

Bài toán 1 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hàm số y = x 2, trục hoành và hai

-2

O 1

Vì x2  0 ,  x  0;2

3

8 3

0 3

2 0

2 ) 3 (

3 3 3

2

0

2 2



 x dx S

Bài toán 2

Hình thang sau được giới hạn bởi các đường thẳng y = -x – 2 , y = 0, x = 0 và x = 3

Hãy tính diện tích hình thang đó

1 A

2

Từ hình vẽ, suy ra  x 20 x 0;3

2

21 6 2

9 0 2 2

0 3 2 2

3 0

3 ) 2 2 ( ) 2 ( 2

2 2

2 3

0 3

3

-4

2 -1

1 0

1 0

1

) 1

3 1 ( ) 1

3 ) 1 ( )

1

2 ( 1

2

dx x

dx x

x dx x

x dx

x

x

S

1 2 ln 3 2 ln 3 1 1 ln 3 0 ) 2 ln 3 1 ( ) 1 ln 3 0 ( 1

0 ) 1

S ( ) ta có thể tính như sau:

b x x

x x

a b

dx x f dx

x f dx x f dx x f

2

1 1

Bài toán 4: Cho hàm số y = x3 ­ 3x2 + 2 có đồ thị (C ) (Hình 12)

thẳng x = 2

Giải

Trục tung có phương trình x = 0

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ), trục hoành và hai đường thẳng

x = 0, x = 2 được tính bởi công thức:

S  x  x  dx

2 0

3 2

0

2 3

20214

11

2)24

(0

1)2

4

4 3

4 3

4

x x

x x

x

x

2

5214

148

2 3 1

0

2 3 2

0

2 3

)23()

23(2

x S

2

5 4

5 4

5 4

5 4

5 1

2 ) 2 4

( 0

1 ) 2 4

4 3

www.VNMATH.com

Bài toán 5 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = xlnx , trục hoành,

2

x v

dx x du xdx

4 2 1

ln 2

1 2 1

ln 2 ln

2 2 2 1

2 1

2 2

x xdx x

S

e e

x

f x   = x  2-3x  +2

2 -1

2 1

3 2

2 2

2 3

0 2 3

0

2 3x 2dx x 3x 2dx (x 3x 2 )dx (x 3x 2 )dx (x 3x 2 )dx

x

S

www.VNMATH.com

6

116

Và có diện tích

2

2

2 0

2 2 2

2 1

r dx x r dx

x r S

r r

2.1.4.2.Diện tích của elip

2 2

x

, 0b  a

(P)

x y

www.VNMATH.com

2 2 HÌNH PHẲNG ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ

2.2.1Cách tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số

) (

x g y

x f y

(1)

Hoành độ x0 của điểm chung M là một nghiệm của phương trình f(x) g(x) (*)

Giải phương tình (*) ta sẽ được hoành độ x0 của giao điểm của hai đồ thị

Phương trình (*)được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị

Thay x = x 0 vào một trong hai phương trình của hệ (1) ta tìm được tung độ của giao điểm

2.2.2 Một vài ví dụ minh hoạ về cách tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số

Ví dụ 1: Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y x2 3x và y  x3

1 0

) 1 )(

3 ( 0 ) 3 ( ) 3 ( 0 ) 3 (

3

2

y

y x

x x

x x

x x x

ln

lnxxx xx x x 

x

Vì x > 0 nên x(lnx1)0lnx10lnx1xe

Vậy hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là x = e

2.2.3 Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số:

Cho hai đồ thị của hai hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x =b (a<b) Hình phẳng giới hạn bởi bốn đường y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng

x = a, x = b có diện tích S được tính theo công thức:

dx x g x f S

2 2

0

2 3 2

3

) 1 )(

1 2 ( )

4 4

( 3 3

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị trên là nghiệm của phương trình:

0 ) 1 2 ( ) 1 2 ( 0 1 2 2

4 4

2

; 0 1

2

; 0 2 1

0 1

0 1 2 0 ) 1 )(

1

2

(

2 2

x x x

x

x x

x

7 6

35 6

7 ) 1 )(

1 2 ( )

1 )(

1

2

(

2 1

2 1

www.VNMATH.com

Bài toán 9 Cho hàm số y = ­ x4 + 5x2 – 4 có đồ thị ở hình trên

Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số đó với trục hoành

Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đã cho với trục hoành

1 0

4 5

2

2 2

4

x

x x

x x

2 4

) 4 5

S

Từ hình đồ thị suy ra: x45x2 40 x 0;1 và x45x2 40 ,x 1;2

dx x

x dx

x x dx x

x

2 1

2 4 2

1 0 4 2

-3 -2 -1

3 2 1

3 4 1

x x

x x

www.VNMATH.com

3 1 2 3

1

2

3 4 )

1 ( 2 3

Cách 1: Dựa vào đồ thị ta có x2 – 3x + 2 ≤ x – 1  x  [1; 3 ]

Do đó x 2 – 4x + 3 ≤ 0  x  [1; 3]

3

4 3

4 1

3 ) 3 2 3 ( ) 3 4

3 3

4 1

3 ) 3 2 3 ( ) 3 4

3 3

4 1

3 ) 3 2 3 ( ) 3 4 ( 3

3 3

1 2 3

1

S

Bài toán 11 Cho hàm số y = x3 – 3x + 2 có đồ thị (C )

a/ Viết phương trình tiếp tuyến  của đồ thị (C ) tại điểm có hoành độ bằng 2

b/ Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ), đường thẳng x = 1 và tiếp tuyến 

H

iHình 11

12 )

14 9 ( 2 3

2 1 3 2

1 3 2

-5

2

-2 -3 -1

3

1 -3 -2 -1 O 1 2 3 4

www.VNMATH.com

Bài toán 12: Cho hàm số

a/ Tìm tiệm cận xiên  của đồ thị hàm số đó

b/ Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ), tiệm cận xiên  và các đường

thẳng x = 2 , x = 3

(C) d

x y

2 -2

4

-3 -1

3 2 1

O 1

1 ) 1 ( 1

x x x

x x y

0)1

1(lim)1

1(lim

2 3

1 1

1

dx x

dx x dx

x y S

2 ln 0 2 ln 1 ln 2 ln 2

; 2 [ 0 , ,

Hình 13

Như vậy nhìn vào đồ thị ta nhận thấy: Trong đoạn [­2;3] nếu ta vẫn để đồ thị như vậy thì

chưa tính được Ở đây chúng ta phải chia đồ thị thành 2 phần ứng với trên [­2;­1] và [­1;3]

(

| ) 3 3

3 1 2 2

www.VNMATH.com

Nhìn vào đồ thị ta thấy nếu để nguyên đồ thị như vậy thì ta chưa tính được Ở đây ta phải chia đồ thị ra thành 2 phần

3 1

1 0

­ Giúp học thành thạo kỹ năng vẽ đồ thị hàm số

­ Đưa ra nhiều bài tập minh họa có lời giải chi tiết để giảng dạy trong các giờ dạy trái buổi

và để học sinh tham khảo Qua đây rèn luyện cho học sinh kỹ năng đọc đồ thị và vận dụng vào giải toán Giúp học có hình ảnh trực quan về các hình phẳng

KẾT LUẬN

Qua quá trình giảng dạy trong thời gian vừa qua tôi nhận thấy rằng việc sử dụng phương pháp đồ thị để tính diện tích hình phẳng đã giúp tôi thu được nhiều kết quả khả quan Học sinh khắc phục được những “sai lầm” và khó khăn khi gặp bài toán tính diện tích của hình phẳng ở chương trình giải tích 12 Thuận lợi cho việc tăng cường tính trực quan, đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin vào dạy học Từ đó, các em học sinh rất thích thú và học tốt vấn đề này

Chắc chắn rằng sẽ còn có nhiều bài toán mà ta có thể giới thiệu cho học sinh, nhưng

do điều kiện và kinh nghiệm chưa nhiều nên tôi chỉ đưa ra một số ví dụ mà trong quá trình giảng dạy tôi đã giới thiệu cho học sinh Vì vậy rất mong được sự đóng góp của các đồng nghiệp để cho đề tài của tôi thêm hoàn chỉnh và có thể ứng dụng cho các năm học sau Tôi xin chân thành cảm ơn!

www.VNMATH.com

D TÀI LIỆU THAM KHẢO

­ Các bài giảng luyện thi môn Toán­ NXB Giáo Dục

­ Đại số sơ cấp –Trần phương

www.VNMATH.com

ư

Trang

Aư Đặt vấn đề 1

B- Giải quyết vấn đề 1

I HƯỚNG KHẮC PHỤC 1

II CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH DIỆN TÍCH CỦA HèNH PHẲNG 2

II.1 HèNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ TRỤC HOÀNH 2

II.1.1 hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b ……… … 2

II.1.2 Một vài vớ dụ minh hoạ cỏch tớnh tớch phõn cú chứa dấu giỏ trị tuyệt đối 2

II.1.3 Diện tớch của hỡnh phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số với trục hoành 3

II.1.4 Diện tớch hỡnh trũn, hỡnh elip: 7

II.1.4.1.Diện tớch hỡnh trũn: 7

II.1.4.2.Diện tớch của elip 7

II.1.4.3 Bài tập tương tự: 8

II 2 HèNH PHẲNG ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ 9

II.2.1Cỏch tỡm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số 9

II.2.2 Một vài vớ dụ minh hoạ về cỏch tỡm hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số II.2.3.Bài tập tương tự: 12

C KẾT LUẬN 13

D TÀI LIỆU THAM KHẢO VÀ MỤC LỤC 13

www.VNMATH.com

4

3 Phương pháp đưa về hai luỹ thừa cùng bậc 10

4 Phương pháp dùng hệ số bất định 11

5 Phương pháp đánh giá 12

III Các biện pháp tổ chức thực hiện 13

Cư kết luận 18

Dư Tài liệu tham khảo và mục lục 19

www.VNMATH.com

B Giải quyết vấn đề

I HƯỚNG KHẮC PHỤC 1

II CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH DIỆN TÍCH CỦA HèNH PHẲNG 2

II.1 HèNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ TRỤC HOÀNH

II.1.1 hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng

x = a, x = b

II.1.2 Một vài vớ dụ minh hoạ cỏch tớnh tớch phõn cú chứa dấu giỏ trị tuyệt đối 2 II.1.3 Diện tớch của hỡnh phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số với trục hoành 3 II.1.4 Diện tớch hỡnh trũn, hỡnh elip: 7

II.1.4.1.Diện tớch hỡnh trũn:

II.1.4.2.Diện tớch của elip

II.1.4.3 Bài tập tương tự: 8

II 2 HèNH PHẲNG ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ 9

II.2.1Cỏch tỡm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số

II.2.2 Một vài vớ dụ minh hoạ về cỏch tỡm hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số II.2.3.Bài tập tương tự: 12

C KẾT LUẬN 13

D TÀI LIỆU THAM KHẢO VÀ MỤC LỤC

37 Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn đường sau quanh trục hoành Ox

x

yln , y = 0 , x = 1 , x = e

dx x dx

x

V

e e





1 2

dx x x du

e

xdx e

e dx x

e x x

e uv xdx

1

2 2 1

2 e

1 1

2

ln 2 1 ln ln 1

x2lnx

­ 1 ln vdu 1

dx x du dx

dv

x

1 ) 1 ( 1 ) ( 1 ln ln 1

) ln

(

ln

1 1

e e





1 2 1

2

ln )

 Giả sử (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và

hai đường thẳng x = a , x = b, trong đó ( a < b)

Quay hình phẳng (H) quanh trục hoành ta được một vật thể tròn xoay

Thể tích của vật thể này được tính theo công thức:

f x  dx V

b

a

2

) (





-2 4

-3

-4 -1

3 2

1

Hình 42 Gọi V1 là thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn đường

y = 2x ­ 4 , y = 0 , x = 0 , x = 2 quanh trục hoành Ox

3

32 0

2 ) 16 8 3

4 ( )

16 16 4 ( )

4

2

(

2 0

2 3 2

2

0

2 1

Gọi V2 là thể tích của vật thể trên tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn

đường y = x2 – 4 , y = 0 , x = 0 và x = 2 quanh trục hoành Ox

15

256 )

16 8 ( )

4

(

2 0

2 4 2

0

2 2

3215

256

1 2

Gọi V1 là thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn đường

y = x + 2 , y = 0 , x = ­2 , x = 1 quanh trục hoành Ox

4 4 ( )

2

(

1 2

2 3 2

x dx x x dx

x

www.VNMATH.com

Gọi V2 là thể tích của vật thể trên tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn

đường y = 4­ x2 , y = 0 , x = 1 và x = 2 quanh trục hoành Ox

15

53 )

8 16 ( )

4

(

2 1

4 2 2

1

2 2

15

53

1 2

Bài 1 Cho hình phẳng sau giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng d

a/ Viết phương trình của parabol (P) và của đường thẳng d

b/ Tính diện tích của hình phẳng đó

c/ Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng trên quanh trục hoành

Bài 2 Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng sau quanh trục hoành

Bài 3 Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh bởi mỗi hình phẳng giới bởi các đường sau đây quanh trục Ox:

a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho

b/ Viết phương trình tiếp tuyến  của đồ thị (C ) tại điểm có hoành độ bằng 2

c/ Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ), đường thẳng x = 1 và tiếp tuyến 

d/ T ính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng trên quanh trục hoành

2/ Vật thể tròn xoay khi quanh một hình phẳng quanh trục tung

Bài toán 42 Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong (C ): x2 y4 2 4

, trục tung, hai đường thẳng x = 2 , y = 2

Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng trên quanh trục tung

 Giả sử (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x = g(y), trục tung và hai

đường thẳng y = m , y = n, trong đó ( m < n)

Quay hình phẳng (H) quanh trục hoành ta được một vật thể tròn xoay

Thể tích của vật thể này được tính theo công thức:

V  g y  dy

n

m

2) (



www.VNMATH.com

(E)

x y

-2

2

2 1

O 1

Hình 48 Giải

2

1 4

4 4 4 :

)

Gọi V1 là thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi nửa elip

(E ), trục tung và hai đường y = 0 , y = 1 quanh trục tung

12

11 3

11 4 )

4 ( 4 )

4 2

1

0

2 1

Gọi V2 là thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường

thẳng y = 2, trục tung và hai đường y = 0 , y = 1 quanh trục tung

118

3/ Thể tích của khối cầu, khối trụ,khối nón, khối nón cụt

a/ Thể tích của khối cầu

Trong hệ tọa độ Oxy cho nửa đường tròn có phương trình (P ): x2 + y2 = r2

với r > 0 và y ≥ 0 (hình 49)

Quay nửa hình tròn đó quanh trục hoành ta được một mặt cầu có bán hính bằng r

3

4

r

V   (đvtt)