Chương tình toán Tiểu học chưa hoc công thức tính diện tich các hinh đa giác, tứ giác (H. thang, bình hành, H thoi...), nhưng dựa vào công thức tính diện tich tam giác (TG) học sinh có [r]
(1)Giải tốn liên quan tính diện tích I - Giới thiệu:
Chương tình tốn Tiểu học chưa hoc cơng thức tính diện tich hinh đa giác, tứ giác (H thang, bình hành, H thoi ), dựa vào cơng thức tính diện tich tam giác (TG) học sinh giải nhiều đề liên quan diện tich kiện chiều cao (C.cao), cạnh đáy (C.đáy) Điều HS THCS lại không làm NST nêu số toán dạng để GV/HS tham khảo
II.- Các lý thuyết
1 Nếu hình (H) hình đa giác khơng thể tính trực tiếp diện tích tính diện tích S(H) theo cách sau :
- Chia hình (H) thành hình tam giác dễ tính dt hơn, tính dt hình TG cộng lại
- Bổ sung vào hình (H) số đường để hình (H1, H2, H3 ) dễ tính dt
2 Nếu hai tam giác (P) (Q) có :
- Chung C.đáy hai C.đáy c.cao (P) = k x C.cao (Q) S(P) = k x S(Q)
- Chung C.đáy hai C.đáy S(P) = k x S(Q) C.cao (P) = k x C.cao (Q)
- Chung C.cao hai C.cao C.đáy (P) = k x C.đáy (Q) S(P) = k x S(Q)
- Chung C.cao hai C.cao S(P) = k x S(Q) C.đáy (P) = k x C.đáy (Q)
*Các tính chất áp dụng chiều ngược lại III.- Bài toán mẫu
Bài :
(2)Giải : (Bài vận dụng mối quan hệ diện tích, c.đáy c.cao tam giác)
Ta có :
ABC = x AMD (vì AB = x AM AD = BC) ; DCM = ABC (vì AB = DC c.cao BC) Suy DCM = x AMD
Kẻ CH AE chiều cao DCM DAM hạ xuống đáy DM, Do CH = x AE
Đồng thời CH AE chiều cao ICM IAM có chung cạnh đáy IM Có ICM = x IAM Mà IAM ICM chung chiều cao từ M, Do IC = x AI, ==> AC = x AI hay AI = 1/3 AC
Tương tự với cặp ABN CBN ; KCN KAN ta có KC = 1/3 AC ==> AI = KC = 1/3 AC, ==> IK = 1/3 AC
Do AI = IK = KC (DPCM)
Bài 2
Cho ABC, gọi điểm M, N nằm cạnh AB, AC cho : AB = x AM, AC = x AN
Gọi I điểm cạnh BC
a) Chứng tỏ tứ giác BMNC hình thang BC = x MN
(3)Giải :
a) Vì AB = x AM, AC = x AN, nên MB = 2/3 x AB, NC = 2/3 x AC ==> (MBC) = 2/3 x (ABC) (chung chiều cao từ C)
(NCB) = 2/3 x (ABC) (chung chiều cao từ B)
Vậy (MBC) = dt (NCB) mà MBC NCB có chung đáy BC, nên chiều cao từ M chiều cao từ N xuống đáy BC hay MN song song với BC Do BMNC hình thang
Do MB = 2/3 x AB, nên (MBN) = 2/3 x (ABN) (chung chiều cao từ N) hay (ABN) = 2/3 x (MBN)
Mặt khác AC = x AN, ==> NC = x AN, ==> (NBC) = x (ABN) (chung chiều cao từ B) ; ==> (NBC) = 3/2 x x (MBN) = x (MBN) Mà NBC MBN có chiều cao (cùng chiều cao hình thang BMNC) Vậy đáy BC = x MN. (Đpcm)
b) Gỉa thử BN cắt CM O Ta phải chứng tỏ AI cắt BN O
Muốn vậy, nối AO kéo dài cắt BC K, ta chứng tỏ K điểm BC (hay K trùng với I)
Theo phần a) ta có (NBC) = x (ABN) Mà NBC ABN có chung đáy BN, nên chiều cao từ C gấp lần chiều cao từ A xuống đáy BN
Nhưng chiều cao tương ứng hai BCO BAO có chung đáy BO, ==> (BCO) = x (BAO)
Tương tự ta có (BCO) = x (CAO) Do (BAO) = (CAO)
Hai BAO CAO có chung đáy AO, nên chiều cao từ B chiều cao từ C xuống đáy AO Đó chiều cao tương ứng hai BOK COK có chung đáy OK,
(4)Mặt khác BOK COK chung chiều cao từ O, nên hai đáy BK = CK hay K điểm cạnh BC
Vậy điểm K trùng với điểm I hay BN, CM, AI cắt điểm O.(Đpcm)
Bài tập thực hành : Cho tam giác ABC, gọi M điểm cạnh BC N nằm cạnh AC cho NC = x NA Kéo dài MN cắt cạnh BA kéo dài P a) Chứng tỏ AB = AP
b) Gọi Q điểm PC Chứng tỏ ba điểm B, N, Q nằm đường thẳng
c) Hãy so sánh : PN NM ; BN NQ