Phương Pháp Giải Bài Toán Tính Diện Tích Và Chứng Minh Bằng Phương Pháp Diện Tích

SKKN: Phương pháp giải toán tính diện tích chứng minh phương pháp diện tích Mục lục Phần I Lời nói đầu Nội dung A Phương pháp giải toán tính diện tích đa giác chứng minh phương pháp diện tích I/ Các tính chất diện tích đa giác II/ Các công thức tính diện tích đa giác đặc biệt III/ Cách giải toán tính diện tích phương pháp diện tích Phần II B Một số dạng Phần III tập áp dụng hướng dẫn giải I/ Các toán tính diện tích đa giác II/ Các toán giải phương pháp diện tích 14 1/ Các toán chứng minh quan hệ diện tích sử dụng diện tích để tìm quan hệ độ dài đoạn thẳng 2/ Các toán bất đẳng thức cực trị 14 Kết luận 37 29 Phần I : Lời nói đầu Vũ Minh Nguyệt - Trường THCS Giảng Võ -1- SKKN: Phương pháp giải toán tính diện tích chứng minh phương pháp diện tích Như biết, với phát triển tư người, toán học đời Toán học môn khoa học đặc biệt, môn khởi đầu cho đời môn khoa học khác cung cần thiết cho ngành khoa học kỹ thuật Toán học rèn luyện cho người nhiều đức tính quí: tính cần cù, lòng say mê, sáng tạo, kiên trì Trong toán học không kể đến môn hình học Hình học rèn luyện cho người khả tư trừu tượng, sáng tạo khả phân tích tổng hợp Trong đó, dạng toán tương đối khó, đòi hỏi nhiều tới khả tư cao, vận dụng linh hoạt kiến thức học đồng thời phải quan sát kĩ lưỡng đặc điểm toán, " Diện tích đa giác phưong pháp diện tích " Trong trình giảng dạy cho học sinh câu lạc toán lớp trường nhận thấy tập diện tích đa giác chứng minh phương pháp diện tích hay lí thú Chúng có mặt nhiều đề thi học sinh giỏi Quận đề thi vào lớp 10 trường chuyên Chính viết SKKN chuyên đề để dạy cho học sinh câu lạc toán lớp trường để giúp học sinh bớt lúng túng gặp tập loại này, đồng thời giúp học sinh củng cố kiến thức học nâng cao khả tư duy, sáng tạo Chuyên đề gồm I/ Các toán tính diện tích đa giác II/ Các toán chứng minh phương pháp diện tích 1/ Các toán chứng minh quan hệ diện tích sử dụng diện tích để tìm quan hệ độ dài đoạn thẳng 2/ Các toán bất đẳng thức cực trị Phần II Nội dung A.Phương pháp giải toán tính diện tích đa giác phương pháp diện tích: Vũ Minh Nguyệt - Trường THCS Giảng Võ -2- SKKN: Phương pháp giải toán tính diện tích chứng minh phương pháp diện tích Để giải toán tính diện tích học sinh cần phải nắm kiến thức sau: I/ Các tính chất diện tích đa giác: Nếu đa giác chia thành đa giác điểm chung diện tích tổng diện tích đa giác ( tính cộng) Các đa giác có diện tích nhau( tính bất biến) Hình vuông có cạnh đơn vị dài diện tích đơn vị vuông ( tính chuẩn hóa) Hai tam giác có chiều cao tỉ số diện tích tỉ số hai đáy tương ứng với hai chiều cao Hai tam giác có chung cạnh tỉ số diện tích tỉ số hai chiều cao ứng với cạnh Tam giác cạnh a có diện tích a II/ Các công thức tính diện tích đa giác đặc biệt: Công thức tính diện tích hình chữ nhật: Diện tích hình chữ nhật tích hai kích thước S = a.b b a Công thức tính diện tích hình vuông: Diện tích hình vuông bình phương cạnh S = a2 a a Công thức tính diện tích tam giác: a) Diện tích tam giác: Diện tích tam giác nửa tích cạnh với chiều cao ứng với cạnh S = a.h h a b) Diện tích tam giác vuông: Diện tích tam giác vuông nửa tích hai cạnh góc vuông S= a.b = c.h a b h c Vũ Minh Nguyệt - Trường THCS Giảng Võ -3- SKKN: Phương pháp giải toán tính diện tích chứng minh phương pháp diện tích Công thức tính diện tích hình thang: Diện tích hình thang nửa tích tổng hai đáy với chiều cao S= a (a+b).h h b Công thức tính diện tích hình bình hành: Diện tích hình bình hành tích cạnh với chiều cao ứng với cạnh S = a.h h a Công thức tính diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc: Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nửa tích hai đường chéo S = d1.d2 d2 d1 Công thức tính diện tích hình thoi Diện tích hình thoi nửa tích hai đường chéo S= d1.d2 d2 d1 III/ Cách giảI toán tính diện tích phương pháp diện tích: 1/ Để tính diện tích đa giác: +/ Đa giác có công thức tính chưa đủ kiện để tính đòi hỏi ta phải tính kiện thiếu tính diện tích đa giác +/ Đa giác có công thức tính sủ dụng công thức tính phải thông qua diện tích đa giác khác sử dụng tính chất nêu Vũ Minh Nguyệt - Trường THCS Giảng Võ -4- SKKN: Phương pháp giải toán tính diện tích chứng minh phương pháp diện tích +/ Tính diện tích đa giác công thức ta cần biến đổi diện tích diện tích hình khác có biết cách tính diện tích 2/ Chứng minh hình phương pháp diện tích: +/ Ta biết số công thức tính diện tích đa giác dã nêu Do biết độ dài số yếu tố, ta tính diện tích hình Ngược lại biết quan hệ diện tích hai hình từ kết hợp với yếu tố biết khác, tổng hợp kiến thức liên quan để suy điều cần chứng minh +/ Để so sánh hai độ dài phương pháp diện tích, ta làm theo bước sau: - Xác định quan hệ diện tích hình - Sử dụng công thức diện tích để biểu diễn mối quan hệ đẳng thức có chứa độ dài - Biến đổi đẳng thức vừa tìm ta có quan hệ độ dài hai đoạn thẳng cần so sánh 3/ Để giải toán bất đẳng thức cực trị ta cần nắm được: Phương pháp giải: Xuất phát từ bất đẳng thức biết, vận dụng tính chất bất đẳng thức để suy bất đẳng thức cần chứng minh Các toán cực trị thường trình bày theo hai cách; Cách 1: Đưa hình chứng minh hình khác có yếu tố( đoạn thẳng, góc, diện tích…) lớn nhỏ yếu tố tương ứng hình đưa Cách 2: Thay điều kiện đại lựợng đạt cực trị điều kiện tương đương, cuối dẫn đến điều kiện xác định vị trí điểm để đạt cực trị Các bất đẳng thức thường dùng để giải toán cực trị: +/ Quan hệ đường vuông góc đường xiên +/ Quan hệ đường xiên hình chiếu +/ Bất đẳng thức tam giác + / Các bất đẳng thức đại số B Một số tập hướng dẫn giải Vũ Minh Nguyệt - Trường THCS Giảng Võ -5- SKKN: Phương pháp giải toán tính diện tích chứng minh phương pháp diện tích I/ Các toán tính diện tích đa giác Để tính diện tích đa giác: +/ Đa giác có công thức tính chưa đủ kiện để tính đòi hỏi ta phải tính kiện thiếu tính diện tích đa giác +/ Đa giác có công thức tính sủ dụng công thức tính phải thông qua diện tích đa giác khác sử dụng tính chất nêu +/ Tính diện tích đa giác công thức ta cần biến đổi diện tích diện tích hình khác có biết cách tính diện tích Bài 1: Cho tam giác ABC cân A, AB = AC = 5cm, BC = 6cm Gọi O trung điểm đường cao AH Các tia BO CO cắt cạnh AC AB D E Tính SADOE ? A E D N O B C H Bài giải: Hướng giải : Để tính diện tích tập học sinh phải nhận thấy S ABC biết nên ta cần tìm mối quan hệ SADOE với SABC Lại có H O điểm đặc biệt đoạn AC, AH nên ta dễ dàng tìm mối quan hệ cách lấy thêm điểm N trung điểm DC Gọi N trung điểm CD => AD = DN = NC = S AD AC AOD = = (Chung chiều cao hạ từ O xuống AC) => S AC AOC S AOC AO = = (Chung chiều cao hạ từ C xuống AH) S AHC AH Mà SAHC = => SAOD = SAHC (1) SABC ( Chung chiều caoAH) (2) Từ (1) (2) => SAOD = SABC 12 Mà SAOE = SAOD => SADOE = SAOD = SABC áp dụng đlí Pitago vào ∆AHC vuông H => AH = 4cm Vũ Minh Nguyệt - Trường THCS Giảng Võ -6- SKKN: Phương pháp giải toán tính diện tích chứng minh phương pháp diện tích => SABC = AH.BC 4.6 = = 12cm 2 Vậy SADOE = 12 = cm2 Bài 2: Cho hbh ABCD có diện tích Gọi M trung điểm BC, AM cắt BD Q Tính diện tích MQDC ? C D E M N Q A B Phân tích đề hướng giải: Hs cần nhận thấy SABCD = nên dễ dàng suy SBCD = Để tính SMQDC phải thông qua SBCD SBMQ Do ta cần phải tìm mối quan hệ SBMQ với SBCD Để tìm mối liên hệ ta phải xét xem Q nằm BD có vị trí đặc biệt không cách lấy thêm điểm N trung điểm AD Bài giải: Lấy N trung điểm AD Ddcm AMCN hình bình hành => AM // CN => QB = QE ; ED = QE ( Định lí đường trung bình) => BQ = QE = ED 1 => SBMQ = SBCQ ; SQBC = SBCD => SBMQ = => SMQDC = SBCD SBCD = 12 SABCD = 12 Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD, cạnh BC lấy M: BM = Trên cạnh CD lấy N cho CN = BC CD a) Tính SAMN theo SABCD Phân đềSbMNQP ài hướSng gi.ải: b) BD cắt AM P, BD cắt AN Q.tích Tính theo ABCD Để giải câu (a) hs dễ dàng nhận A B phải sử dung tính chất 1: Nếu đa P giác chia thành đa giác điểm chung diện tích M Q tổng diện tích đa giác ( tính cộng) K Vũ Minh Nguyệt - Trường THCS Giảng Võ H N D C -7- SKKN: Phương pháp giải toán tính diện tích chứng minh phương pháp diện tích Nên để tính diện tích ∆AMN ta phải làm SAMN = SABCD - SABN - SCMN - SADN (b) Tính SMNQP theo SABCD cần phải tìm mối liên hệ SMNPQ với SAMN đỉnh tứ giác nằm cạnh ∆ AMN Muốn tìm mối liên hệ rõ ràng phải thông qua ∆ APQ Ta nhận thấy ∆ APQ ∆ AMN có hai đáy thuộc đường thẳng nên ta phải kẻ thêm đường vuông góc PK MH Từ suy lời giải toán Bài giải: a) SAMN = SABCD - SABN - SCMN - SADN SABM = S 10 ABCD Do ta tính : Vậy SMNPQ = S S 15 ABCD; ADN 13 SAMN = 60 SABCD ; SCMN = = SABCD 13 SABCD 60 S APQ PK.AQ PK AQ = = b) Kẻ MH ⊥ AN ; PK ⊥ AN => S MH AN AMN MH.AN PK AP = Vì PK// MH ( vuông góc với AN) => (Theo định lí Ta let) MH AM AP AD AP = = => Ddcm = PM BM AM AQ AB AQ = = => = Vì DN // AB => QN DN AN S AP AQ 1 13 APQ = = = => SAPQ = SMNPQ = SAMN = Do S SABCD AM AN 2 60 AMN Bài 4: Cho ∆ ABC có AB = 3; AC = 4, BC = Vẽ đường phân Phân tích đề hướng giải: giác AD, BE, CF Tính diện tích tam giác DEF - Để tính- 1999) diện tích ∆ DEF ta ( Đề thi học sinh giỏi quận Ba đình 1998 phải tính SABC, SAEF, SBFD, SDFC Học sinh dễ dàng tính SABC, SAEF A hai tam giác vuông - Để tính SBFD, SDFC cần phải kẻ E thêm đường cao Căn thêm vào giả thiết F : có phân giác góc nên từ suy kẻ đường cao FH EK => FH = FA; EK = EA Vũ Minh Nguyệt - Trường THCS Giảng Võ B H D K C -8- SKKN: Phương pháp giải toán tính diện tích chứng minh phương pháp diện tích Bài giải: ∆ABC có AB = 3, AC = 4, BC = Nên ddcm ∆ ABC vuông A Ta có CF phân giác ACB => 4 => FA = = Cmtt => AE = FA CA = = FB CB => (*) SAEF = => FA = AB AE.AF = =1 2 Hạ FH ⊥ BC ; EK ⊥ BC => FH = FA ; EK = AE ( Tính chất tia pg góc) Cmtt ta tính DB = 20 FH.BD 15 10 SBFD = = = EK.DC 20 15 SDFC = = = AB.AC 3.4 SABC = = = 15 ( Dựa vào định lí đường phân giác tam giác) => DC = (*) (*) (*) => SDEF = SABC - ( SAEF + SBFD + SDFC) Vậy SDEF = 10 Bài 5: Cho hình thoi ABCD, hai đường chéo AC, BD cắt O Đường trung trực AB cắt BD, AC M, N Biết MB = a, NA = b Tính diện tích hình thoi theo a b Vũ Minh Nguyệt - Trường THCS Giảng Võ -9- SKKN: Phương pháp giải toán tính diện tích chứng minh phương pháp diện tích B H N A O C D M Bài giải: Gọi H trung điểm AB Dễ dàng nhận thấy: *) ∆AHN ∽ ∆MHN ( g.g) => => HN = b b HB = HA a a AN HN b = = MB HB a AH HN = AO OB OB HN HN b b = = = => => OB = OA a OA AH HB a *) ∆AHN ∽ ∆AOB (g.g) => *) ∆AHN vuông H => HN2 + HA2 = AN2 ( Theo định lí Pitago) b2 => HA (1 + ) = b2 a a2b2 4a 2b 2 Do HA = => AB = 4HA = 2 a +b a + b2 *) ∆AOB vuông => OA2 + OB2 = AB2 b2 4a 2b 2 => OA + OA = 2 a +b a 4a b 2a 2b 2a b Do OA = 2 => OA = 2 OB = 2 (a + b ) a +b a +b Mà SABCD = 2.OA.OB Vậy SABCD 8a 3b = 2 (a + b ) Bài 6: Cho hình vuông ABCD có cạnh 30cm Trên cạnh AB, BC, CD, DA thứ tự lấy điểm E, F, G, H: AE = 10cm; BF =12cm, CG = 14 cm, DH = 16cm a) Tính SEFGH Vũ Minh Nguyệt - Trường THCS Giảng Võ - 10 - SKKN: Phương pháp giải toán tính diện tích chứng minh phương pháp diện tích +/ Tiếp tục cần cm: SADF = SDCE hai tam giác có: AF = CE (gt) +/ Tìm mối liên hệ SADF SDCE với SABCD Bài giải: +/ Hạ DH ⊥ IA ; DK ⊥ IC +/ Gọi chiều cao hình bình hành hạ từ B xuống AD h1 Gọi chiều cao hình bình hành hạ từ A xuống CD h2 => SADF = AD.h1 S ABCD = 2 S DCE = CD.h2 S ABCD = 2 => SADF = S DCE (1) SADF = DH.AF (2) ; S DCE = DK.CE (3) Mà AF = CE (gt) (4) Từ (1)(2)(3)(4) => DH = DK Vậy ID phân giác AIK Bài 14: Cho ∆ ABC A', B', C' thứ tự hình chiếu M ( M nằm ∆ ABC AB, BC, CA) Các đường vuông góc với AB B , vuông góc với BC C, vuông góc với CA A cắt D, E, F Chứng minh: a) ∆ DEF b) AB' + BC' +CA' không phụ thuộc vị trí điểm M D A H C' B' M E K B C A' I F Bài giải: a) ddcm : ∆ DEF b) Goị cạnh ∆ ABC a => cạnh ∆DEF a h: chiều cao ∆DEF => h không đổi Vũ Minh Nguyệt - Trường THCS Giảng Võ - 23 - SKKN: Phương pháp giải toán tính diện tích chứng minh phương pháp diện tích Từ M hạ MH ⊥ DE, MI ⊥ EF, MK ⊥ DF Mà MH + MI + MK = h _ Dựa 11 ( cm) Ta ddcm : MH = AB'; MI = BC' ; MK = CA' => MH + MI + MK = AB' + BC' + CA' Do AB' + BC' + CA' = h - không đổi Vậy AB' + BC' + CA' không phụ thuộc vị trí điểm M Bài 15: Cho ∆ ABC vuông C, tam giác lấy điểm O cho SOAB = SOBC = SOCA Chứng minh rằng: OA2 + OB2 = OC2 C N M O A B I Bài giải: Ddcm toán: Gọi G trọng tâm tam giác SGAB =SGAC = SGBC Do ta cm: O trọng tâm ∆ABC Từ O kẻ OM ⊥ AC, ON ⊥ BC; cho CO ∩ AB= {I} Theo giả thiết SOAC = SABC Nên ddcm : OM = BC; Cmtt : ON = AC 1 Đặt BC = a, AC = b, ta có: OM = a, ON = b Do OA2 = AM2 + OM2 ; OB2 = NB2 + ON2 (Theo định lí Pitago) OA = 2 2 2 2  1   b +  a = b + a 9 3  3  OB =  a  +  b  = a + b 9 3  3   b a2  2 => OA + OB =  +  (1)   Vì O trọng tâm ∆ABC => OC = CI  AB  a + b 2 => OC =   = (2)   = AB AB = 3 Từ (1) (2) => OA2 + OB2 = 5OC2 Vũ Minh Nguyệt - Trường THCS Giảng Võ - 24 - SKKN: Phương pháp giải toán tính diện tích chứng minh phương pháp diện tích Bài 16: Từ điểm M tùy ý ∆ ABC, đường thẳng MA, MB, MC cắt BC, CA, AB A1, B1 , C1 MA1 Chứng minh: AA + A MB1 MC1 + =1 BB1 CC1 B1 C1 M A1 K B H C Phân tích đề hướng giải: MA +/ Để chứng minh AA + MB1 MC1 + =1 BB1 CC1 ta thấy cần phải xét tỉ số hai đoạn thẳng hệ thức +/ Nếu biểu thị tỉ số với tỉ số diện tích ∆CMA1 ∆CAA1 chứng minh Vì ta cần phải vẽ thêm đường phụ: Đó hai đường vuông góc hạ từ M, A xuống BC => MA MK = AA AH Mà MK AH hai đường vuông góc hạ xuống BC nên => MK SMBC = AH S ABC Từ => đpcm Bài giải: MA Kẻ MK, AH vuông góc với BC => MK //AH=> AA MA MK = = AA AH Ta có: MB1 SMAC = BB1 S ABC MC1 S AMB = CC1 S ABC Cmtt ta có : MK.BC S = MBC S ABC AH.BC = MK AH (1) (2) (3) Từ (1)(2) (3) ta : MA1 MB1 AA1 + BB1 + SMBC SMAC S AMB MC1 S ABC = + + = = ( Đpcm) S ABC S ABC S ABC CC1 S ABC Bài 17: Cho ∆ ABC ba điểm A', B', C' nằm cạnh BC, CA, AB cho AA', BB', CC' đồng quy ( A', B', C' không trùng với đỉnh tam giác) Chứng minh rằng: A' B B' C C' A = (Định A' C B' A C' B Vũ Minh Nguyệt - Trường THCS Giảng Võ lí Xêva) - 25 - SKKN: Phương pháp giải toán tính diện tích chứng minh phương pháp diện tích A B' C' O H B C A' K Phân tích đề hướng giải: Ta thấy vế trái điều phải chứng minh tích tỉ số Để rút gọn tích ta thay đổi tỉ số hai đoạn thẳng tỉ số diện tích hai tam giác thích hợp, sau khử liên tiếp để đpcm Bài giải: Vẽ BH ⊥ AA' CK ⊥ AA' A' B S AA'B = ( hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh A' C S AA'C S AA'B BH Mà S = CK ( hai tam giác có chung cạnh AA') (2) AA'C S AOB BH Ta lại có : S = CK ( hai tam giác có chung cạnh OA)(3) AOC A' B S AOB Từ (1)(2)(3) => A' C = S (4) AOC B' C S BOC C' A S COA Cmtt => B' A = S (5) ; C' B = S (6) BOA COB => A)(1) => Nhân vế (4)(5)(6) ta được: S AOB SBOC SCOA A' B B' C C' A = S S S = (đpcm) A' C B' A C' B AOC BOA COB Bài 18: Chứng minh định lí Pitago: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền tổng bình phương hai cạnh góc vuông Vũ Minh Nguyệt - Trường THCS Giảng Võ - 26 - SKKN: Phương pháp giải toán tính diện tích chứng minh phương pháp diện tích N G M A F B H E lớp học định lí ( công nhận , không chứng minh) Có nhiều cách để chứng minh cách ta sử dụng phương pháp diện tích C D K Bài giải: Dựng hình vuông ABFG, ACMN, BCDE Muốn chứng minh BC2 = AB2 + AC2 ta cần chứng minh: SBCDE =SABFG + SACMN Vẽ đường cao AH kéo dài cắt DE K Nối AE, CF Dd cm : ∆FBC = ∆ABE (c.g.c) => SFBC = SABE (1) SFBC = AB.BF ( AC //BF ) => SFBC = S ABFG (2) Cmtt SABE = SBHKE (3) Từ (1)(2)(3) => SBHKE = SABFG Cmtt : SCHKD = SACMN Do đó: SABFG +SACMN = SBHKE + SCHKD => SBCDE = SABFG +SACMN Vậy BC2 = AB2 + AC2 Bài 19: Cho hình bình hành ABCD Các điểm E, F, G, H thứ tự thuộc cạnh AB, BC, CD, DA cho EG không song song với AD Cho biết diện tích EFGH nửa diện tích hình bình hành Chứng minh: HF // CD Vũ Minh Nguyệt - Trường THCS Giảng Võ - 27 - SKKN: Phương pháp giải toán tính diện tích chứng minh phương pháp diện tích E A B H F D K G C Phân tích đề hướng giải: +/ Bài ta thấy cần phải tìm tạo tứ giác SABCD +/ Tìm mối liên hệ tứ giác với tứ giác EFGH +/ Căn vào gt ta thấy cần vẽ đường phụ cách: kẻ EK// AD Ta có SABCD = SBEKC + SEADK Nối HK, FK ta có tứ giác EFGH EFKH có chung diện tích ∆HEF Vì SGHF = SKHF => đpcm Bài giải: Kẻ EK // AD Ta có SEFGH = SABCD = ( SBEKC + SEADK ) SEFKH = S EFK + SHEK = ( SBEKC + SEADK ) => SEFGH = SEFKH Mà S EFGH = SHEF + SHGF => SHGF = SKHF SEFKH = SHEF + SKHF => Chiều cao từ G K xuống HF => HF // KG Vậy HF // BC Bài 20: Cho ∆ ABC có AB = 3; AC = 4, BC = Vẽ đường phân giác AD, BE, CF a) Tính diện tích tam giác DEF b) CMR: DF qua trung điểm BE ( Đề thi học sinh giỏi quận Ba đình 1998 - 1999) Vũ Minh Nguyệt - Trường THCS Giảng Võ - 28 - SKKN: Phương pháp giải toán tính diện tích chứng minh phương pháp diện tích A E F B H D C K Bài giải: a) Đã làm ( tr 8) b) Theo cmt ta có : S BFD = SDEF (cùng 10 ) => h1 = h2 h1, h2 chiều cao ∆BFD , ∆DEF hạ từ B E xuống FD S BFD = FD h1 ; SDEF = FD.h2 Cho DF ∩ BE = {I} => IB = IE Vậy DF qua trung điểm BE 2/ Các toán bất đẳng thức cực trị Phương pháp giải: Xuất phát từ bất đẳng thức biết, vận dụng tính chất bất đẳng thức để suy bất đẳng thức cần chứng minh Các toán cực trị thường trình bày theo hai cách; Cách 1: Đưa hình chứng minh hình khác có yếu tố( đoạn thẳng, góc, diện tích…) lớn nhỏ yếu tố tương ứng hình đưa Cách 2: Thay điều kiện đại lựong đạt cực trị điều kiện tương đương, cuối dẫn đến điều kiện xác định vị trí điểm để đạt cực trị Các bất đẳng thức thường dùng để giải toán cực trị: +/ Quan hệ đường vuông góc đường xiên +/ Quan hệ đường xiên hình chiếu +/ Bất đẳng thức tam giác + / Các bất đẳng thức đại số Vũ Minh Nguyệt - Trường THCS Giảng Võ - 29 - SKKN: Phương pháp giải toán tính diện tích chứng minh phương pháp diện tích Bài 1: Cho ∆ ABC cân A có Â = 300 BD đường phân giác Chứng minh rằng: SBCD < SABC Bài giải: Hạ DH ⊥ AB; DK ⊥ BC => DH = DK (1) A ∆ABC cân A Â = 300 => B = C = 750 Â< B => BC < AB.(2) SDBC = DK.BC ; SDAB = DH.AB (3) H D Từ (1)(2)(3) => SDBC < SDAB => 2SBCD < SABC Vậy SBCD < SABC (đpcm) B K C Bài 2: Cho ∆ ABC vuông cân có AB = AC = 10cm ∆ DEF vuông cân D nội tiếp ∆ ABC ( D ∈ AB, E ∈ BC, F ∈ AC ) Xác định vị trí D để diện tích DEF nhỏ B H Bài giải: Gọi AD = x Kẻ EH ⊥ AB Thì AD = EH = BH = x DH = 10 - 2x E SDEF = = [x2 + ( 10 - 2x)2 ] D A 1 DE.DF = DE2 = (EH2 + DH2 ) 2 F C = (5x2 - 40x + 100) ( x2 - 8x + 20) = (x - 4)2 + 10 ≥ 10 (SDEF )min = 10  x = D ∈ AB : AD = cm S DEF nhỏ Vũ Minh Nguyệt - Trường THCS Giảng Võ - 30 - SKKN: Phương pháp giải toán tính diện tích chứng minh phương pháp diện tích Bài 3: Cho hình vuông ABCD có cạnh a Lấy điểm M tùy ý đường chéo AC, kẻ ME ⊥ AB, MF ⊥ BC Xác định vị trí M đuờng chéo AC để diện tích DEF nhỏ E A B F M Bài giải: Dễ thấy SDEM = SAME ( chung cạnh ME, chiều cao từ D A xuống ME nhất) SDMF = SCMF SDEF = SDEM + SDMF + SEMF = SABC - SBEF = ( a2 - BE BF) C D SDEF đạt giá trị nhỏ  BE.BF lớn (1) Do BE + BF = a không đổi nên BE.BF lớn  BE = BF = a/2  M trung điểm AC SDEF = (a2 - a2 )= a Bài 4: Cho tứ giác ABCD có cạnh AB = a, BC = b, CD = c, DA = d Chứng minh rằng: SABCD ≤ H Bài giải: A Vẽ BH ⊥ AD; BK ⊥DC a (H ∈ AD, K ∈ CD) B d Ta có: BH ≤ AB => BH ≤ a b D (a+c)(b+d) c C K SABCD Cmtt ta có : SABCD ≤ (ab +cd) BK ≤ BC => BK ≤ b = SABD + SCBD 2 = BH.AD + BK.CD ≤ => 2SABCD ≤ (ab +ad +bc + cd) => SABCD ≤ (ab (ad+bc) +ad +bc + cd) (1) Mà ab + ad +bc + cd = (ab +ad) + (bc +cd) = a(b+d) + c(b+d) = (a+c) (b+d)(2) Từ (1)và (2) => SABCD ≤ (a+c)(b+d) Vũ Minh Nguyệt - Trường THCS Giảng Võ (đpcm) - 31 - SKKN: Phương pháp giải toán tính diện tích chứng minh phương pháp diện tích Bài 5: Cho ∆ ABC Gọi D trung điểm BC Trên hai cạnh AB AC lấy hai điểm E F Chứng minh rằng: SDEF≤ S ABC A E B F C D I Phân tích đề hướng giải: Để cm SDEF ≤ SABC hay 2SDEF ≤ SABC hay cần cm: SDEF ≤ SDFC + SBED Ta cần tạo tam giác với tam giác BED kết hợp với tam giác DFC thành hình so sánh diện tích tam giác DEF với hình Đã có D trung điểm BC nên ta cần lấy thêm điểm I cho D trung điểm EI => đpcm Bài giải: Dựng I đối xứng E qua D, ta có : ∆ BED = ∆ CID (c.g.c) => SBED = SCID Có SDEF = SFDI (chung đường cao, hai đáy nhau) Mà SFDI ≤ SDICF => SDEF ≤ SDICF => SDEF ≤ SDFC + SDIC => SDEF ≤ SDFC + SBED (1) Ta lại có: SDEF ≤ SAEDF (2) Từ (1) (2) ta có : 2SDEF ≤ SDFC + SBED + SAEDF => 2SDEF ≤ SABC Vậy SDEF ≤ S ABC Dấu xảy EF ≡ AC AB, (SDEF)max = Vũ Minh Nguyệt - Trường THCS Giảng Võ SABC - 32 - SKKN: Phương pháp giải toán tính diện tích chứng minh phương pháp diện tích Bài 6: Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi O giao điểm AC BD Chứng minh rằng: SOAB + SOCD ≥ S ABC O B A B A K O F H E D L D C Hình vẽ cách C Hình vẽ cách Bài giải: Cách 1: Vẽ AH ⊥ BD ; CK ⊥ BD (H, K ∈ BD) 1 Ta có : SOAD SOBC = ( AH.OD)( CK.OB) 1 = ( AH OB) ( CK OD) = SOAB SOCD Ta có ( SOAB + SOCD)2 ≥ 4SOAB.SOCD (bất đẳng thức đại số) => ( SOAB + SOCD)2 ≥ SOAD SOBC Theo (tr15) ta cm: SOAD = SOBC Do ( SOAB + SOCD)2≥( SOAD + SOBC)2 => SOAB + SOCD ≥ SOAD + SOBC => 2(SOAB + SOCD ) ≥ SOAD + SOBC + SOAB + SOCD => 2(SOAB + SOCD ) ≥ SABCD Vậy SOAB + SOCD ≥ S ABCD (đpcm) Cách 2: Từ A kẻ đường thẳng song song với BD cắt CD kéo dài E Từ D kẻ đường thẳng song song với AC cắt AE F Ta chứng minh được: SAODF ≤ S AEC => S EFD + SOCD ≥ ( SAOB ≤ SCOD ) S AEC (1) Bài tr13 ta cm được: SAOD = SBOC Vũ Minh Nguyệt - Trường THCS Giảng Võ - 33 - SKKN: Phương pháp giải toán tính diện tích chứng minh phương pháp diện tích Do SAOD = SBOC = SAFD (2) Chứng minh : ∆EFD = ∆OAD => SEFD = SAOD (3) Từ (1)(2)(3) => SOAB +SOCD = SEFD + SOCD ≥ => SOAB +SOCD ≥ SOAB +SOCD ≥ (S EFD (S AOB Vậy SOAB +SOCD ≥ S AEC + SADF SAOD + SOCD ) + SBOC + SAOD + SOCD ) SABCD (đpcm) Bài 7: Cho tứ giác ABCD P, Q theo thứ tự trung điểm cạnh BC CD Chứng minh rằng: AP +AQ =a SABCD A N M a2 < D I Q B P K C Bài giải: Gọi M, N trung điểm AD, AB I giao điểm AP MN Từ I kẻ IK // NP Ta có: SIPQ ≤ IP.IQ => SIPQ ≤  IP + IQ    2  => SMNPQ = SIKPN + SIKQM = 2SIPQ < a2 Từ (1) (2) => ≤ a2 Vũ Minh Nguyệt - Trường THCS Giảng Võ => SIPQ < a2 (1) Mặt khác SAMN + SBNP + SCPQ + SDMQ = S ABCD S ABCD (2) ( đpcm) - 34 - SKKN: Phương pháp giải toán tính diện tích chứng minh phương pháp diện tích Bài 8: Cho hình bình hành ABCD điểm M cố định cạnh BC Lấy điểm N cạnh AD Gọi P giao điểm AM BN Q giao điểm MD NC Tìm vị trí N để diện tích tứ giác MPNQ lớn A N D P Q B M C Bài giải: áp dụng kết (tr 32) Ta có SAPM + SBPM ≥ => SAPB + SNPM ≤ S ABMN S ABMN Mà SAPB = SNPM (đã cm) => SNPM ≤ S ABMN (1) đẳng thức xảy AB // MN Chứng minh tương tự ta có SNQM ≤ S DCMN (2) đẳng thức xảy MN // AB Từ (1) (2) => SNPM + SNQM ≤ => SMPNQ ≤ S ABMN + S DCMN SABCD Vậy (SMPNQ) max = SABCD  MN// AB Vũ Minh Nguyệt - Trường THCS Giảng Võ - 35 - SKKN: Phương pháp giải toán tính diện tích chứng minh phương pháp diện tích Bài 9: Cho tứ giác có diện tích không đổi S O nằm tứ giác ABCD Xác định hình dạng tứ giác ABCD vị trí điểm O để tổng OA2 + OB2 +OC2 + OD2 đạt giá trị nhỏ B C O H A D Bài giải: Gọi BH đường cao ∆AOB Ta có OA2 +OB2 = (OA2 - 2OA.OB + OB2) + 2OA.OB = (OA -OB)2 + 2OA.OB ≥ 2OA.OB SOAB = OA.BH có BHH ⊥ OA => OB ≥ BH Do OA2 + OB2 ≥ 4SOAB Cmtt => OB2 + OC2 ≥ 4SOBC OC2 + OD2 ≥ 4SOCD OD2 + OA2 ≥ 4SODA => 2(OA2 + OB2 + OC2 + OD2) ≥ 4(SOAB + SOBC + SOCD + SODA) Vậy OA2 + OB2 + OC2 + OD2 ≥ 2S (không đổi) Dấu "= "xảy  OA = OB =OC = OD AOB = BOC = COD = DOA Vũ Minh Nguyệt - Trường THCS Giảng Võ - 36 - SKKN: Phương pháp giải toán tính diện tích chứng minh phương pháp diện tích Phần III - Kết luận Tôi thấy toán tính diện tích giải toán phương pháp diện tích đóng vai trò không nhỏ chương trình hình học học sinh, dạng toán khó học sinh khai thác chương trình nội dung đưa dành cho học sinh đại trà Bởi để học sinh hiểu rõ có hứng thú, say mê dạng toán toán học điều mà giáo viên mong muốn Được phân công dạy chuyên đề cho Câu lạc toán lớp trường có nhiều học sinh có khả tư tốt nên có dạy chuyên đề cho em Tuy nhiên học sinh nắm bắt với dạng toán nên dạy dẫn dắt em theo kinh nghiệm mà trình bày: Từ lý thuyết đến tập Khi cho tập phân theo dạng, dạng cho từ dễ đến khó dần hướng dẫn cho học sinh phân tích đề hướng giải để em biết tư chuyên đề Trong trình biên soạn để giảng dạy, cố gắng song viết tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Rất mong góp ý chân thành từ quí thầy cô, bạn bè đồng nghiệp Hà nội , ngày 15/ 04/ 2007 Người viết SKKN Vũ Thị Minh Nguyệt Vũ Minh Nguyệt - Trường THCS Giảng Võ - 37 - .. .SKKN: Phương pháp giải toán tính diện tích chứng minh phương pháp diện tích Như biết, với phát triển... lí thú Chúng có mặt nhiều đề thi học sinh giỏi Quận đề thi vào lớp 10 trường chuyên Chính viết SKKN chuyên đề để dạy cho học sinh câu lạc toán lớp trường để giúp học sinh bớt lúng túng gặp tập... giải toán tính diện tích đa giác phương pháp diện tích: Vũ Minh Nguyệt - Trường THCS Giảng Võ -2- SKKN: Phương pháp giải toán tính diện tích chứng minh phương pháp diện tích Để giải toán tính diện