VỀ một DẠNG bài TOÁN tính diện tích

Nếu tỉ số độ dài cạnh của hình vuông thứ nhất và hình vuông thứ hai bằng k thì tỉ số diện tích của hình vuông thức nhất và hình vuông thứ hai bằng k x k.. Từ việc tính số tam giác tạo nê

VỀ MỘT DẠNG BÀI TOÁN TÍNH DIỆN TÍCH Nguyễn Thanh Cảnh (Bộ Giáo dục và Đào tạo)

Khi làm các bài tập về nội dung tính diện tích hoặc so sánh diện tích của các hình, nhiều bạn lúng túng, cảm giác là khó, dễ bị nản Thầy cô giáo cũng gặp không ít khó khăn khi hướng dẫn học sinh giải loại bài tập này Bài viết dưới đây gợi ý một số kinh nghiệm khi làm bài tập loại này

A Kiến thức cần nhớ

1 Muốn tính diện tích hình vuông ta lấy độ dài một cạnh nhân với chính nó

2 Nếu tỉ số độ dài cạnh của hình vuông thứ nhất và hình vuông thứ hai bằng k thì tỉ số diện tích của hình vuông thức nhất và hình vuông thứ hai bằng k x k

3 Hai tam giác có đáy bằng nhau và chiều cao chung (hoặc đáy chung còn chiều cao bằng nhau) thì diện tích bằng nhau

4 Mọi hình tròn (đường tròn) đều có đường kính gấp đôi bán kính

Nếu hình tròn có bán kính bằng r thì diện tích hình tròn bằng r x r x 3,14

B Một số bài toán.

Bài toán 1 Các điểm M, N, P, Q chi các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông

ABCD thành hai phần bằng nhau Khi đó, có hình vuông thứ hai MNPQ Hãy cho biết diện tích hình vuông MNPQ bằng mấy phần diện tích hình vuông ABCD?

Để làm bài này, ta chỉ cần nối đoạn MP và NQ thì sẽ thấy ngay 2 hình vuông ní trên được chia thành các tam giác bằng nhau Từ việc tính số tam giác tạo nên từng hình vuông thì sẽ có kết quả: Diện tích hình vuông MNPQ bằng một nửa diện tích hình vuông ABCD

Bài toán 2 Hình vuông ABCD có cạnh bằng 10cm Các điểm M, N, P, Q chia

các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD thành hai phần bằng nhau Tính diện tích phần tô màu

Rõ ràng kết quả bài này cũng tìm được nhờ cách làm bài toán 1

Bài toán 3 Nối các điểm chia đôi các cạnh của hình vuông thứ nhất (theo thứ

tự chiếu quay của kim đồng hồ), ta được hình vuông thứ hai; tiếp tục làm như thế đối với hình vuông thứ hai, ta được hình vuông thứ ba

Nếu hình vuông thứ nhất có cạnh bằng 20cm thì hình vuông thứ 5 (nhỏ nhất trong hình vẽ dưới) có cạnh bằng bao nhiêu xăng - ti - mét?

Theo bài toán 1 thì diện tích hình vuông nhỏ (có đỉnh là các điểm chia cạnh hình vuông lớn thành 2 phần bằng nhau) sẽ có diện tích bằng nửa diện tích hình vuông đó

Vì hình vuông thứ nhất (lớn nhất trong hình vẽ) có cạnh bằng 20cm nên diện tích của nó bằng 400cm2 Theo lập luận trên thì hình vuông thứ hai, thứ ba, thứ tư và thứ năm (thứ tự nhỏ dần) có diện tích lần lượt bằng: 200cm2, 100cm2, 50cm2, 25cm2 Vậy cạnh hình vuông thứ năm bằng 5cm

Bài toán 4 Các điểm M, N, P, Q chia các cạnh AB, BC, CD, DA của hình

vuông ABCD thành hai phần bằng nhau Còn các điểm H, K, E, G lại chia các đoạn

AM, CN, CP và AQ thành hai phần bằng nhau Hãy cho biết diện tích hình được tô màu bằng mấy phần diện tích của hình vuông ABCD?

Muốn làm được bài này, ta thử nghĩa cách ghép hình Nếu chắp 2 phần không tô màu (2 tam giác) thì sẽ được 1 hình vuông Ta gọi là hình vuông "chắp"

Hình vuông này có cạnh bằng 3

4 cạnh hình vuông ABCD Do đó, diện tích

hình vuông đó bằng 9

16 diện tích hình vuông ABCD Phần được tô màu là phần hình vuông ABCD bị nhỏ đi 2 tam giác (không tô màu nói trên)

Vậy diện tích phần tô màu bằng số phần diện tích hình vuông ABCD là:

1

16 16

− = (diện tích hình vuông ABCD)

Bài toán 5 Chia các cạnh hình vuông thành 4 phần bằng nhau và nối các điểm

(như hình vẽ), được hình gồm 6 cạnh Diện tích hình 6 cạnh này bằng bao nhiêu phần diện tích hình vuông?

Để tính diện tích hình 6 cạnh chúng ta đặt tên một số điểm như hình vẽ dưới đây

Tiến hành cắt 2 tam giác vuông (đã tô màu tương ứng) Khi ấy, hình 6 cạnh sẽ thành hình chữ nhật BCMN.ACD và ABD (nằm trong hình 6 cạnh) để dán vào 2 góc còn khuyết của hình

Như thế, tính được ngay diện tích hình 6 cạnh bằng diện tích hình chữ nhật

BCMN và bằng 3

4 diện tích hình vuông ban đầu.

Nếu sử dụng công thức tính diện tích tam giác vuông thì chúng ta có thể tính bằng cách khác nữa: Diện tích hình 6 cạnh cần tính bằng diện tích hình vuông trừ đi diện tích của 4 tam giác vuông nằm ở 4 góc của hình vuông đã cho

Như vậy từ bài toán 1, có thể phát triển thành 4 bài toán khá hay Từ mạch kiến thức này, chúng ta có thể phát triển thành nhiều bài toán khó hơn, độc đáo hơn Các bạn hãy chờ đón ở kì sau nhé.

VỀ MỘT DẠNG BÀI TOÁN TÍNH DIỆN TÍCH Nguyễn Thanh Cảnh (Bộ Giáo dục và Đào tạo)

Trên TTT số 162 các bạn đã được tìm hiểu dạng toán tính diện tích qua 5 bài toán Số này, chúng ta cùng tìm hiểu tiếp một số bài toán các bạn nhé.

Bài toán 6 Hình vuông có cạnh bằng 12cm Chia các cạnh hình vuông thành 4

phần bằng nhau và nối các điểm (như hình vẽ), được hình gồm 8 cạnh Tính diện tích hình 8 cạnh này

Bài toán đã được làm khó lên rất nhiều nhưng cũng chỉ cần sử dụng kết quả của bài tập 5 và thêm chút cắt ghép hình thì sẽ nhận được kết quả

Trước hết, diện tích hình vuông sẽ là 144cm2 và như bài toán 5 nếu cắt bỏ đi phần ngoài của một hình 6 cạnh nào đó thì sẽ nhận được hình sau Tiếp tục cắt bỏ đi 4 tam giác (phần không tô màu) thì sẽ được hình 8 cạnh cần tính diện tích

Hình 6 cạnh có diện tích bằng 3

4 diện tích hình vuông (kết quả bài toán 5) tức

là bằng 108cm2 Diện tích hình 8 cạnh bằng diện tích hình 6 cạnh này trừ đi diện tích của 4 tam giác (phần không tô màu)

Bốn tam giác (không tô màu) có diện tích bằng nhau Không khó khăn lắm thấy

3

S = S

Từ cạnh hình vuông bằng 12cm, ta tính được đoạn AC = 6cm và AB = 3cm Do

đó diện tích hai tam giác ABC là:

6 x 3 : 2 = 9 (cm2) Diện tích tam giác CMN là:

9 : 3 = 3 (cm2) Tổng diện tích của 4 tam giác cần tính là:

3 x 4 = 12 (cm2) Diện tích hình 8 cạnh, được tô màu là:

108 - 12 = 96 (cm2)

Bài toán 7 Một hình vuông có cạnh bằng 24cm Chia các cạnh hình vuông

thành 4 phần bằng nhau và nối các điểm rồi tô màu 8 tam giác (xem hình vẽ) Tính diện tích phần tô màu

Kết quả được suy ra từ bài toán 6 Hãy tính diện tích của một tam giác (có tô màu) rồi nhân với 8 ta sẽ được đáp số cần tìm

Theo cách tính của bài toán 6 thì diện tích tam giác ABC là:

(24 : 2) x (24 : 4) : 2 = 36 (cm2) Diện tích của một tam giác (trong 8 tam giác được tô màu) là:

36 : 3 = 12 (cm2) Vậy diện tích phần tô màu là:

12 x 8 = 96 (cm2)

Ở bài toán 3 TTT số 162, chúng ta đã thấy các hình vuông nhỏ dần và lồng vào nhau Bài dưới đây có cách làm giống bài toán 3 hay không nếu như các hình vuông lại sắp xếp thành hàng (cũng theo thứ tự nhỏ dần) Chúng ta cùng tìm hiểu nhé.

Bài toán 8 Hình vuông lớn nhất có cạnh bằng 20cm Kể từ hình vuông thứ hai

trở đi thì đường chéo của nó lại là cạnh hình vuông liền trước nó (xem hình vẽ)

Thứ tự các hình vuông từ lớn đến nhỏ được ghi bằng số ở gần tâm của hình vuông đó Tính cạnh hình vuông nhỏ nhất (số 5)

(Tham khảo từ bài toán thi Olympic Toán Tuổi thơ 2013).

Để làm được bài này, nối đường chéo của hình vuông lớn nhất

Diện tích hình vuông thứ nhất (Hình vuông lớn nhất) bằng 4 lần dện tích tam giác MPQ còn diện tích hình vuông thứ hai bằng 2 lần diện tích tam giác MPQ Vậy: Hình vuông thứ nhất có diện tích gấp 2 lần hình vuông thứ hai Cứ theo quy luật này thì hình vuông thứ nhất có cạnh bằng 20cm, tức là diện tích bằng 400cm2 Suy ra diện tích hình vuông thứ hai, ba, tư, năm lần lượt là: 200cm2, 100cm2, 50cm2, 25cm2

Đáp số: hình vuông nhỏ nhất có cạnh 5cm

Những bài nêu trên chưa có sự có mặt của hình tròn, dưới đây sẽ là bài toán tính diện tích mà có thêm hình tròn.

Bài toán 9 Trong hình vuông có cạnh bằng 10cm người ta vẽ đường tròn có

đường kính chính là cạnh hình vuông Tìm diện tích của phần tô màu

Bài này ta dễ dàng tìm được đáp số bằng cách tìm hiệu diện tích hình vuông và hình tròn

Đáp số: 21,5cm2

Bài 10 Một hình vuông có cạnh bằng 10cm Vẽ 4 đường tròn có tâm là đỉnh

hình vuông, còn bán kính bằng nửa cạnh hình vuông Tính diện tích của phần tô màu

Đáp số của bài tâp 10 được suy ra từ kết quả của bài tập 9 Rõ ràng là nếu từ hình vẽ của bài tập 9, ta vẽ 2 đường kính đi qua điểm chia đôi cạnh hình vuông thì hình tròn này được chia thành 4 phần bằng nhau Di chuyển và đặt lại vị trí ta được hình của bài toán 10

Như vậy đáp số bài toán này chính là đáp số bài toán 9 (21,5cm2)

Theo logic này, dựa vào kết quả của các bài toán trên, hãy giải bài tập sau nhé.

Bài tập Ta vẽ 4 hình tròn có đường kính là cạnh của một hình vuông sẽ tạo ra

một hình "hoa thị" Hãy tìm diên tích của hình "hoa thị"

VỀ MỘT DẠNG BÀI TOÁN TÍNH DIỆN TÍCH Nguyễn Thanh Cảnh (Bộ Giáo dục và Đào tạo)

Trên TTT số 162 và TTT số 163 + 164, chúng tôi đã giới thiệu một số bài toán tính diện tích Số này, chúng ta tiếp tục khám phá một số bài toán dạng này các bạn nhé.

(Tiếp theo kì trước)

Bài toán 12 Từ một đỉnh của hình vuông có cạnh bằng 10cm, ta vẽ đường tròn

có bán kính bằng cạnh hình vuông đó Nối hai đỉnh đối diện của hình vuông (không có đỉnh nào là tâm của đường tròn) Tìm diện tích của hình trăng khuyết (là hình tạo bởi phần hình tròn và đường chéo hình vuông)

Trước hết, tính được ngay diện tích hình tròn là:

10 x 10 x 3,14 = 314 (cm2) Một phần tư diện tích hình tròn là:

314 : 4 = 78,5 (cm2) Diện tích nửa hình vuông là:

10 x 10 : 2 = 50 (cm2) Diện tích hình trăng khuyết là:

78,5 - 50 = 28,5 (cm2)

Nhận xét Không khó khăn lắm nếu ta muốn tìm diện tích hình quả xoài (như

hình dưới đây).

Đáp số: 57 cm2

Vừa rồi trong các bài tập, phần hình tròn được vẽ nằm ở trong hình vuông, dưới đây ta sẽ làm ngược lại Nghĩa là, hình cần tìm diện tích sẽ do hình vuông và phần hình tròn nằm ngoài nó tạo nên

Bài tập 13 Một hình vuông có cạnh bằng 10cm,ta vẽ đường tròn có đường

kính bằng đường chéo của hình vuông đó Tính diện tích của phần hình tròn nằm ngoài hình vuông

Rõ ràng, diện tích cần tìm bằng diện tích hình tròn trừ đi diện tích hình vuông

Tuy nhiên để tính diện tích hình tròn, ta dựa vào diện tích của một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là bán kính hình tròn

Diện tích hình vuông là:

10 x 10 = 100 (cm2) Diện tích hình vuông này gấp 4 lần diện tích tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là bán kính hình tròn

Diện tích hình tròn là:

(25 x 2) x 3,14 = 157 (cm2) Diện tích phần tô màu là:

157 - 100 = 57 (cm2)

Nếu phần tô màu như chiếc quạt giấy thì tìm diện tích của nó như thế nào? Chúng ta cùng đến với bài toán sau.

Bài toán 14 Một hình vuông có cạnh bằng 10cm, vẽ đường tròn có đường kính

bằng đường chéo của hình vuông này Nối tâm hình tròn hai đỉnh kề nhau của hình vuông, tạo thành hình chiếc quạt giấy (xem hình vẽ) Tìm diện tích của hình quạt giấy đó

Không khó khăn ta thấy ngay, diện tíh chiếc quạt giấy bằng 1

4 diện tích hình tròn Vì vậy, kết quả sẽ là:

157 : 4 = 39,25 (cm2)

Ở trên đã có bài tập nói về hình trăng khuyết Bài tập dưới đây khó hơn, đòi hỏi học sinh phải suy nghĩ nhiều hơn

Bài tập 15 Cho hình vuông có cạnh bằng 10cm Người ta vẽ hình tròn có

đường kính là đường chéo hình vuông Tiếp theo, lại vẽ một hình tròn có đường kính

là cạnh của hình vuông đã cho Khi ấy, phần hình tròn nhỏ ở ngoài hình tròn lớn có dạng như hình trăng khuyết Hãy tìm diện tích của hình trăng khuyết

Rõ ràng đây là bài tập khó Nhưng nếu đọc lại bài tập 13, đã tìm được diện tích

của phần hình tròn mà nằm ngoài hình vuông (bằng 57cm2), từ đó suy ra 1

4 diện tích của phần hình tròn lớn mà nằm ngoài hình vuông là:

57 : 4 = 14,25 (cm2)

Ta thấy diên tích hình trăng khuyết bằng một nửa diện tích hình tròn nhỏ (đường kính bằng cạnh hình vuông) trừ đi con số vừa tìm được ở trên

Diện tích hình tròn nhỏ là:

(10 : 2) x (10 : 2) x 3,14 = 78,5 (cm2) Nửa diện tích hình tròn nhỏ là:

78,5 : 2 = 39,25 (cm2)

Bài tập 16 Hình vuông có cạnh bằng 10cm Từ một đỉnh của hình vuông người

ta vẽ hình tròn có bán kính bằng một nửa đường chéo hình vuông Tìm diện tích phần hình vuông nằm ngoài hình tròn (phần được tô màu)

Mặc dù hình vẽ có vẻ góc cạnh nhưng tìm diện tích của nó thì không khó.

Theo bài 13 ta có diện tích hình tròn là 157cm2

Diện tích 1

4 hình tròn là:

157 : 4 = 39,25 (cm2) Diện tích phần tô màu là:

10 x 10 - 39,25 = 60,75 (cm2)

Chỉ cần một chút tưởng tượng sẽ có những hình ảnh thủ vị, và nếu đặt các bài toán không liền nhau thì sẽ được bài tập mà học sinh tưởng chừng khó quá.

Bài tập 17 Từ hai đỉnh đối diện của hình vuông cạnh bằng 10cm, người ta vẽ

hai hình tròn có bán kính bằng một nửa đường chéo hình vuông Tính diện tích phần tô màu

Cách làm bài tập này tương tự như bài tập 16 Rõ ràng chỉ cần lấy diện tích hình vuông trừ đi một nửa diện tích hình tròn (vì phải trừ đi 2 lần diện tích của một phần tư hình tròn)

Diện tích chiếc nơ là:

100 - 39,25 - 39,25 = 21,5 (cm2)

Trên đây là một số bài tập về tìm diện tích của một số hình được tạo nên bởi hình vuông và hình tròn Khi tìm được diện tích của nó thì hoàn toàn có thể tìm được

tỉ số diện tích của một số hình với nhau Các bài tập ở trên, giúp các bạn hiểu được một số kĩ thuật tính diện tích như cắt, ghép hình để nhận ra bài toán quen thuộc.

Các bạn hãy thử sức với bài tập sau:

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 20cm Vẽ hai đường tròn lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và AD, còn bán kính của chúng bằng 10cm Tìm diện tích của phần hình vuông nằm ngoài hai hình tròn (phần được tô màu)