TÌM HIỂU về bài TOÁN NHẬN DẠNG vân TAY

Trờng Đại học Bách Khoa Hà Nội Khoa Công Nghệ Thông Tin báo cáo thực tập chuyên ngành Đề tài: tìm hiểu toán nhận dạng vân tay Giáo viên hớng dẫn:P.Gs-T.s Nguyễn Thanh Thuỷ Sinh viên thực hiện: Lớp: Hà Nội 6-2004 Báo cáo thực tập chuyên ngành Lời cảm ơn Báo cáo thực tập kết em học hỏi đợc sau thời gian đợc thực tập Trung tâm tính toán hiệu cao Trờng đại học Bách Khoa Hà Nội Trong đợt thực tập vừa ,em nhận đựoc nhiều giúp đỡ thầy cô ,và anh chị trung tâm Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Thầy giáo Phó giáo sTiến sỹ Nguyễn Thanh Thuỷ trởng môn Các hệ thống thông tin ,trờng đai học Bách Khoa Hoà Nội Giám đốc trung tâm,đã cho em hội đợc thực tập tai trung tâm Đồng thời thầy ngời đa ý tởng ,định hớng cho em Báo cáo thực tập kết thu nhận ban đầu ,em hi vọng thời gian tới phát triển đợc ý tởng dang dở đặt vấn đề toán định danh cá nhân đợc nhiều nhà khoa học quan tâm ,trong toán định dạng cá nhân vân tay la hớng nghiên cứu thu hút đợc ý nhiều nhà khoa học Có nhiều phơng thức để định danh cá nhân nh : giọng nói ,bằng khuôn mặt nhng tất có xác suất nhận dạng xa so với nhân dạng vân tay Trớc hết vân tay có tính Xác suất Lớp Tin-Pháp K44 Báo cáo thực tập chuyên ngành trùng lặp vân tay 0,00001.Do ngời có hai bàn tay ,với đầy đủ 10 ngón tay xác suất trùng lặp coi bàng không Vì nói hai ngời có mẫu vân tay Hơn ,vân tay có tính bền vững ,có hình dạng ổn định kể từ sinh chết Cỏc ng dng ca h thng nhn dng võn tay: Thay th cỏc s PIN ngõn hng: cỏc ngõn hng v cỏc t chc tớn dng kim tra tớnh hp l ca khỏch hng bng cỏch so sỏnh võn tay ca khỏch vi mu võn tay ó lu trc ú Mt ngi ch ti khon khụng lo b mt card ca mỡnh Bo mt (trong cỏc to nh/khu lm vic): Kim tra iu kin vo ca bng cỏch so sỏnh võn tay ca ngi mun vo vi cỏc võn tay c s d liu S dng lnh vc an ninh: S dng vic sn bt ti phm I.Mô hình chung hệ thống nhân dạng vân tay: Sau chiến thứ ,khi có máy tính điện tử đời ngời ta bắt đâu xây dựng hệ thống nhận dạng vân tay tự động ( Automatic fingerprint Identification Systems ) gọi tắt hệ thống AFIS Các hệ thống ngày đợc hoàn thiện phần cứng ( máy quét vân tay ,các máy xử lý chuyên dụng ) phần mềm ( thuật toán nhận dạng vân tay ,tìm kiếm ảnh vân tay cở sở liệu cỡ lớn , thuật toán phân lớp.) Bên cạnh cở sở liệu lớn lớn tầm cỡ quốc gia quốc tế đợc xây dựng Lớp Tin-Pháp K44 Báo cáo thực tập chuyên ngành Hình mô hình chung hệ thống nhân dạng vân tay Cú th núi, mi h thng x lý võn tay t ng u cú s tng t nh s minh ho trờn hỡnh H thng gm cỏc mụun chớnh sau õy: Lm ni ng biờn nh v tng cng cht lng nh (Image Enhancement): Bc ny cú ý ngha ln vic x lý võn tay cht lng ca cỏc nh võn tay ph thuc nhiu vo quỏ trỡnh ly mu nh cng nh trng thỏi ca da tay ti thi im ly mu Cỏc nh ly bng mc (ln tay) hay ly c trờn cỏc vt dng cú cht lng kộm hn so vi cỏc nh thu c t cỏc mỏy quột chuyờn dng Khi tay khụ, t, dớnh du hay thm l ta ly mu cỏc v trớ khỏc cng thu c cỏc nh võn tay tng i khỏc (nu ch quan sỏt bng mt thng) Chớnh vỡ vy, lm n gin quỏ trỡnh nhn dng sau ny, cỏc nh võn tay u phi qua cỏc bc tin x lý, nhm loi b nhiu, lm ni cỏc ng võn v cỏc im c trng Bc ny thng s dng cỏc b lc v cỏc k thut lnh vc x lý nh Lớp Tin-Pháp K44 Báo cáo thực tập chuyên ngành Trớch chn c trng (Features Extraction): Cú nhiu cỏch tip cn vic nhn dng v tỡm kim cỏc nh, nhng cú mt c im chung l khụng bao gi ngi ta i so sỏnh cỏc nh mt cỏch trc tip m bao gi cng tỡm cỏch biu din nh bng cỏc tham s c trng ca nú c bit, vi cỏch tip cn nhn dng nh cỏc c trng (feature-based), pha ny cú ý ngha vụ cựng quan trng Sau quỏ trỡnh trớch chn c trng, ta s thu c mt vect c trng cú th i din cho nh võn tay, ngha l cng cú cỏc tớnh cht nht v bn vng, cú th s dng lu tr thay cho nh võn tay, giỳp cho quỏ trỡnh tỡm kim v nhn dng võn tay d dng hn Phõn lp nh (Classification): Thc cht ca vic nhn dng võn tay l tỡm kim v i sỏnh du võn tay cn nhn dng vi cỏc mu ó bit c s d liu Tuy nhiờn, c s d liu ln, thng thỡ vic tỡm kim vột cn cho hiu qu rt thp Vỡ vy, ngi ta tỡm cỏch thu gn quỏ trỡnh tỡm kim bng cỏch trc ht l phõn lp thụ cỏc võn tay, ri sau ú ch tỡm kim lp ó xỏc nh c Bi toỏn phõn lp võn tay cú chớnh xỏc khỏ cao (khong 90%), thi gian tớnh toỏn nhanh, cú th lm ch s lý tng cho quỏ trỡnh tỡm kim Mó hoỏ (Coding): Vect c trng ca nh võn tay c mó hoỏ lu tr v truyn thụng d dng i sỏnh nh võn tay vi nh c s d liu (Matching): Vic i sỏnh cỏc nh võn tay l quỏ trỡnh tỡm kim c s d liu cú sn, vỡ vy thng s dng cỏc heuristic tỡm kim d dng v nhanh chúng hn Cú nhiu kiu heuristic khỏc Hin nay, ngi ta thng tỡm kim võn tay vi mt chớnh xỏc nht nh v kt qu tr v l mt danh sỏch cỏc võn tay c sp xp theo giỏ tr tng ng Kim tra li bng phng phỏp th cụng (Manual Verification): Nh ó núi trờn, nh võn tay b nh hng nhiu cỏc yu t mụi trng Do ú, ngi ta thng tỡm kim mt danh sỏch hu hn cỏc ng c viờn c s d liu Vic kim tra li cui cựng c thc hin th cụng xỏc nh nhn dng cỏc ng c viờn ú õy l pha tu chn ca h thng x lý võn tay t ng Tu thuc vai trũ, chc nng, mc ớch ca tng h thng c th, mt s mụun s c chỳ trng hoc loi b Mi mụun cng c thit k v ci t rt khỏc nhau, to nờn s a dng cho th trng cỏc h thng x lý võn tay t ng hin ti II.Tiền xử lý trích trọn đặc trng Lớp Tin-Pháp K44 Báo cáo thực tập chuyên ngành Trên thc tế mẫu vân tay thu đơc lúc cung đợc nh mong muốn Vd :các mâu vân tay thu đợc trờng (thờng mờ ,chồng chéo lên vật thể khác ),các mẫu vân tay lăn mực đợc phần Do trớc trích trọn đăc trng tổng thể(Global feature ) ,đặc trng cục ( Local feature) đặc trng khác ,chúng ta phải trải qua số công đoạn xử lý ảnh nh: + lọc ảnh +chuyến ảnh xám đa mức ảnh nhị phân hai mức xám 255 +làm mảnh ảnh *Đặc trng tổng thể đặc lợng đợc trích trọn đợc từ ảnh vân tay ,có tính chất đại diện cho cấu trúc tổng thể đờng vân vân tay Có nhiều loại đặc trng tổng thể khác nh :đăc trng hớng ,các điểm đơn ,các đờng chuẩn ,Fingercode Hỡnh2 Minh ho nh võn tay v cỏc võn tay thuc lp thng gp Lớp Tin-Pháp K44 Báo cáo thực tập chuyên ngành Hỡnh Cỏc c trng tng th: ng chun v s m ng võn *Các đặc trng cục : điểm đặc biệt đờng vân vân tay Vì đại diện cho cấu trúc đờng vân lân cận cục với mà thôi.Do đặc trng cục mang tính chất cá nhân ,nó thờng tơng ứng với vân tay mà Có nhiều kiểu đặc trng cục ,vi dụ nh: điểm kết thúc đờng vân ( ridge ending) ,điểm rẽ nhánh (ridge bifurcation ) ,điểm chạc ba ( ridge trifurcation ) Tuy nhiên thực tế ngời ta thờng sử dụng kiểu điểm đặc trng cục điểm kết thúc đờng vân điểm rẽ nhánh ,vì hầu hết loại điểm đặc trng cục khác biểu diễn qua hai loại điểm II.Bài toán đối sánh hai ảnh vân tay Mô đun đối sánh hai ảnh vân tay khâu thiếu toán nhận dạng vân tay i sỏnh võn tay l quỏ trỡnh i sỏnh mt nh võn tay (gi l nh võn tay cn nhn dng hay nh võn tay vo) vi mt nh cú sn c d liu (gi l nh mu) T ú a mc ging ca nh vo so vi nh mu V cui cựng tr li cho cõu hi hai nh võn tay cú phi cựng mt võn tay hay khụng Lớp Tin-Pháp K44 Báo cáo thực tập chuyên ngành Hỡnh 4: (a) v (b) l hai nh ca cựng mt võn tay (c) v (d) hai nh ca hai võn tay khỏc T mụ hỡnh ca h thng, ta nhn thy pha i sỏnh c thc hin sau pha trớch chn c trng iu ny cú ngha l mt nh võn tay cn i sỏnh trc tiờn phi c trớch cỏc thuc tớnh Nh vy vic i sỏnh hai nh võn tay c a v vic i sỏnh hai thuc tớnh Cng chớnh vỡ vy pha i sỏnh ph thuc rt nhiu vo pha trớch chn c trng Hin trờn th gii cú rt nhiu k thut i sỏnh võn tay, nhng nhỡn chung quỏ trỡnh i sỏnh nh võn tay gm hai giai on chớnh: Cn chnh (Alignment) v i sỏnh da trờn kt qu cn chnh (Matching) Hỡnh 5: S ca quỏ trỡnh i sỏnh Lớp Tin-Pháp K44 Báo cáo thực tập chuyên ngành Quỏ trỡnh cn chnh: Thc hin cỏc phộp quay tnh tin, co dón nh cn nhn dng cho t c s so khp tt nht gia hai nh Quỏ trỡnh i sỏnh: Thc hin vic i sỏnh trờn hai minutia sau ó cn chnh, trờn c s ú cho im i sỏnh i vi trng hp ny Mt k thut i sỏnh võn tay c coi l tt nu nú ỏp ng c cỏc yờu cu sau: Tp thuc tớnh c trớch chn quỏ trỡnh trớch chn c trng khụng hon ton ging i vi cỏc nh võn tay khỏc cho dự chỳng xut phỏt t cựng mt võn tay Cỏc c trng ca nh võn tay cú th b sai quỏ trỡnh trớch chn c trng, mc dự vy pha i sỏnh phi tỡm mt phộp i sỏnh tt nht nh u vo thụng thng b nhiu, b bin dng quỏ trỡnh thu nhn nh ụi cỏc nh cũn b xoay Ta phân kĩ thuật đối sánh ảnh vân tay thành loại nh hình sau: đối sánh Đối sánh không chỉnh Dùng mạng Neural Xây dựng hệ toạ độ Đối sánh có chỉnh Đối sánh hai tập minutia thông tin khác Đối sánh hai tập minutia Hình : Các kĩ thuật đối sánh 1.Các kĩ thuật đối sánh có chỉnh : Lớp Tin-Pháp K44 Báo cáo thực tập chuyên ngành Với cách tiếp cận ,đầu vào tập minutia có thông tin phụ khác Quá trình đối sánh vân tay gồm hai giai đoạn : Căn chỉnh (Alignment) Đối sánh dựa kết chỉnh (Matching): Hai tập Minutia Căn chỉnh Đối sánh Mức độ giống +Quá trình chỉnh : thực phép quay ,tịnh tiến ,co dãn ảnh cần nhận dạng cho đạt đợc so khớp tốt hai ảnh +Quá trình đối sánh : Thực viêc đối sánh hai tập minutia sau chỉnh ,trên cở sở cho điểm đối sánh với trờng hợp +u điểm : đơn giản ,không khó cài dặt +Nhợc điểm : Do có chỉnh phí thời gian lớn Một số giải thuật đối sánh có chỉnh : *Giải thuật đối sánh sử dụng thông tin đờng vân : giải thuật đối sánh Xiping Luo ,Jie Tian Yan WU, giải thuật không sử dụng minutia để đối sánh mà sử dụng thông tin đờng vân tơng ứng với minutia Trong trờng hợp minutia loại chia tách đờng vân ,đòng vân tơng ứng đờng vân gần hớng minutia Còn trờng hợp minutia kết thúc đờng vân ta lấy đờng vân Thuật toán xét đến ảnh vân tay có kích cỡ +u điểm : -do sử dụng khối giới hạn có kích thớc thay đổi nên giải thuật đối sánh đợc ảnh vân tay có biến dạng khác -Ngoài việc sử dụng minutia ,giải thuật sử dụng thông tin đờng vân Cách tiếp cận làm tăng độ xác đối sánh +Nhợc điểm : -Phải lu trữ nhiều thông tin -Trong trình chỉnh phải tính khối lợng giới hạn cho điểm minutia tập mẫu ,do thời gian đối sánh tăng *Giải thuật đối sánh dựa tăng cờng lỗi: (Fingerprint matching based on error propagation ) Đây thuật toán Ying Hao ,Tieniu Tan ,Yunhong Wang Do nhiễu co dãn khoong tuyến tính làm cho trình chỉnh không xác Đồng thời ta biểu diễn nhiễu co dãn không tuyến tính nh thuộc tính minutia Thuât toán gồm ba bớc : -Mỗi minutia tập mẫu đợc đối sánh với minitia tập vào -Những cặp minutia trình đối sánh có kết nhỏ ngỡng đợc dùng vao MatchedSet -Điều chỉnh cặp minutia không khớp Giống nh giải thuật ,giải thuật sử dụng thông tin đờng vân để xác định hai minutia có khớp không Tuy nhiên giải thuật đờng vân đợc chia thành hai loại tơng ứng với điểm đờng vân có điểm kết thúc đờng vân rẽ nhánh Lớp Tin-Pháp K44 10 Báo cáo thực tập chuyên ngành + u điểm : Sau thực bớc đối sánh nh giải thật ,giải thuật thực bớc đối sánh dực tăng cờng lỗi ,do kết xác +Nhợc điểm : -Cần phải lu trữ liệu nhiều -Quá trình đối sánh chậm -Cài đặt thuật toán phức tạp *Giải thuật đối sánh tam giác (Triangular Matching): M.KovacsVajna.Vấn đề nhận dạng minutia ảnh tơng đơng với việc so sánh vùng xung quanh minutia ảnh mẫu ảnh cần nhận dạng Để thực công việc ,ngời ta xây dựng khối 16 x 16 xung quanh munitia so sánh giá trị mức xám vùng Khi nhìn cào hai ảnh vân tay vân tay ,chúng ta dễ dàng nhận biến dạng tổng thể nhng lại nhận biến dạng nhỏ Do đo tác giả đă đề xuất phơng pháp đối sánh tam giác Một cặp tam giác đợc ghép lại để tạo thành hình vuông Và cách so giãn cạnh hình vuông ta thu đợc hình vuông bị biến dạng Nhng với biến dạng nhỏ ta nhận hình vuông ban đầu Điều đáng ý biến dạng hình vuồn giống với biến dạng nhỏ vân tay Bên cạnh đờng vân đợc xem nhiều hình vuông ghép lại Với cách biểu diễn nh ,ta tính toán đợc biến dạng nhỏ cách tính biến dạng đỉnh cạnh tam giác + u điểm : Đây hớng tiếp cận so với hớng tiếp cânj trớc Với giải thuật cho phép xác định đợc biến dạng nhỏ ,làm cho trình đối sánh đạt đợc độ xác cao +Nhợc điểm: Cài đặt khó *Giải thuật đối sánh sử dụng minutia đặc tính kết cấu ảnh vân tay(Fingerprint matching using minutia and texture)của Anil Jain , Arun Ross,Sali Prabhakar *Giải thuật đối sánh nhanh (Fast algorithm for point matching) S-H Chang ,F-h.Cheng 2.Kỹ thuật đối sánh không chỉnh : Với cách tiếp cận ,trớc đối sánh hai tập mẫu phải đợc chỉnh Đây pha gây tốn chi phí nhiều thuật toán đối sánh Để giảm thời gian tính toán ,cần giảm nhẹ bớc chỉnh Hiện ,có hai phơng pháp là: Dùng mạng Neural ,và xây dụng hệ toạ độ Tuy nhiên hai cách tiếp cận phức tạp khó cài đặt *Kĩ thuật sử dụng mạng Neural : Thông tin đa vào đối sánh trờng hớng ,FingerCode minutia theo cách tiếp cận V.Vinod and S.Ghose *Kĩ thuật xây dựng hệ toạ độ trong: H to (Intrinsic Coordinate System) c xỏc nh t ma trn c trng hng v cỏc im n Nú cú mt trc to chy song song vi cu trỳc ca cỏc ng võn nh võn tay, trc cũn li vuụng gúc vi cỏc ng võn Lớp Tin-Pháp K44 11 Báo cáo thực tập chuyên ngành Trc ht, ngi ta tin hnh phõn vựng nh võn tay nh c trng hng, im tõm v im tam giỏc Cú th d dng rỳt lut phõn vựng t hỡnh minh ho 2.14a T im tõm, ta v ng song song vi ng võn ti ú T im tam giỏc, ta v cỏc ng vuụng gúc vi cỏc ng võn cỏc vựng lõn cn Cỏc ng ny ct to cỏc vựng khỏc Hỡnh Minh quỏ trỡnh xõy dng h ta Sau ú, cỏc trc ca h to c xỏc nh cho mi vựng võn u tiờn, ta xỏc nh cỏc trc tham chiu mi vựng, cú trc tham chiu cú gc ti im tõm, mt trc l ng vuụng gúc vi hng ca ng võn ni ti k t im tam giỏc, trc cũn li l ng song song vi hng ng võn (hỡnh 2.14b) Vi cỏc loi võn tay khụng cú im tam giỏc, ch cú mt vựng võn c xỏc nh v cỏc trc tham chiu l mt cp ng song song v vuụng gúc vi hng ca ng võn ti mt im bt k Li to c xõy dng bng cỏch dũ cỏc ng cong vuụng gúc v song song vi c trng hng cc b ca ng võn ti nhng khong cỏch u t trc tham chiu (hỡnh 2.14b) Cỏc ng Lớp Tin-Pháp K44 12 Báo cáo thực tập chuyên ngành ny song song v cỏch u ti vựng gn trc tham chiu nhng i xa, chỳng cú th giao hoc b thay i khong cỏch cỏc ng võn cú th b r nhỏnh Cui cựng, ngi ta biu din cỏc im c trng cc b h to Vic ny c thc hin pha tỡm cỏc im c trng cc b bng cỏch dũ dc theo ng võn tng ng vi im c trng cc b ú cho n ng võn y ct cỏc trc tham chiu Sau biu din ton b c trng tng th h to trong, vic i sỏnh c thc hin rt d dng m khụng cn cn chnh õy l mt cỏch tip cn rt mi i vi bi toỏn nhn dng võn tay (cụng b nm 2001) Kt qu th nghim ca cỏc tỏc gi cho thy thụng thng, to vuụng gúc vi c trng hng c bo ton chớnh xỏc sau mi phộp quay v phộp dch chuyn, nhiờn, to song song thỡ cú th b thay i vựng gn tõm Khi biu din cỏc im c trng cc b, k c loi c trớch chn t ng v loi c chuyờn gia phỏt hin, kt qu cỏc cp im c biu din ging lờn ti 90% So sỏnh vi tiờu chun i sỏnh thụng thng (hai nh tay cú khong 80% im c trng cc b ging c coi l thuc cựng mt võn tay) thỡ õy l kt qu Hỡnh Tp im c trng cc b ca nh thuc cựng mt võn tay biu din h to v kt qu i sỏnh Rất đáng khả quan Lớp Tin-Pháp K44 13 [...]... đặt thuật toán phức tạp *Giải thuật đối sánh tam giác (Triangular Matching): của M.KovacsVajna.Vấn đề nhận dạng một minutia trong ảnh tơng đơng với việc so sánh các vùng xung quanh minutia trong ảnh mẫu và ảnh cần nhận dạng Để thực hiện công việc này ,ngời ta xây dựng các khối 16 x 16 xung quanh munitia và so sánh giá trị các mức xám giữa các vùng Khi nhìn cào hai ảnh vân tay của cùng một vân tay ,chúng... ,chúng ta dễ dàng nhận ra sự biến dạng tổng thể nhng lại không thể nhận ra những biến dạng nhỏ Do đo tác giả đă đề xuất phơng pháp đối sánh tam giác Một cặp tam giác có thể đợc ghép lại để tạo thành một hình vuông Và bằng cách so giãn các cạnh của hình vuông ta thu đợc một hình vuông bị biến dạng Nhng với sự biến dạng nhỏ này ta có thể nhận ra hình vuông ban đầu Điều đáng chú ý là sự biến dạng của hình... của hình vuồn giống với sự biến dạng nhỏ của vân tay Bên cạnh đó đờng vân có thể đợc xem là nhiều hình vuông ghép lại Với cách biểu diễn nh thế ,ta có thể tính toán đợc sự biến dạng nhỏ bằng cách tính sự biến dạng của các đỉnh và các cạnh của tam giác + u điểm : Đây là hớng tiếp cận mới so với các hớng tiếp cânj trớc Với giải thuật này cho phép xác định đợc sự biến dạng nhỏ ,làm cho quá trình đối sánh... ảnh vân tay( Fingerprint matching using minutia and texture)của Anil Jain , Arun Ross,Sali Prabhakar *Giải thuật đối sánh nhanh (Fast algorithm for point matching) của S-H Chang ,F-h.Cheng 2.Kỹ thuật đối sánh không căn chỉnh : Với cách tiếp cận trên ,trớc khi đối sánh hai tập mẫu phải đợc căn chỉnh Đây chính là pha gây tốn kém chi phí nhiều nhất trong thuật toán đối sánh Để có thể giảm thời gian tính toán. .. (Intrinsic Coordinate System) c xỏc nh t ma trn c trng hng v cỏc im n Nú cú mt trc to chy song song vi cu trỳc ca cỏc ng võn trong nh võn tay, trc cũn li vuụng gúc vi cỏc ng võn Lớp Tin-Pháp K44 11 Báo cáo thực tập chuyên ngành Trc ht, ngi ta tin hnh phõn vựng nh võn tay nh c trng hng, im tõm v im tam giỏc Cú th d dng rỳt ra lut phõn vựng t hỡnh minh ho 2.14a T im tõm, ta v ng song song vi ng võn ti ú... dng võn tay (cụng b nm 2001) Kt qu th nghim ca cỏc tỏc gi cho thy thụng thng, to vuụng gúc vi c trng hng c bo ton chớnh xỏc sau mi phộp quay v phộp dch chuyn, tuy nhiờn, to song song thỡ cú th b thay i vựng gn tõm Khi biu din cỏc im c trng cc b, k c loi c trớch chn t ng v loi c chuyờn gia phỏt hin, kt qu cỏc cp im c biu din ging nhau lờn ti 90% So sỏnh vi tiờu chun i sỏnh thụng thng (hai nh tay cú... hin, kt qu cỏc cp im c biu din ging nhau lờn ti 90% So sỏnh vi tiờu chun i sỏnh thụng thng (hai nh tay cú khong 80% im c trng cc b ging nhau c coi l thuc cựng mt võn tay) thỡ õy l kt qu Hỡnh 8 Tp im c trng cc b ca 2 nh thuc cựng mt võn tay biu din trong h to trong v kt qu i sỏnh Rất đáng khả quan Lớp Tin-Pháp K44 13 ... xỏc nh cỏc trc tham chiu mi vựng, cú 2 trc tham chiu cú gc ti im tõm, mt trc l ng vuụng gúc vi hng ca ng võn ni ti k t im tam giỏc, trc cũn li l ng song song vi hng ng võn (hỡnh 2.14b) Vi cỏc loi võn tay khụng cú im tam giỏc, ch cú mt vựng võn c xỏc nh v cỏc trc tham chiu l mt cp ng song song v vuụng gúc vi hng ca ng võn ti mt im bt k Li to trong c xõy dng bng cỏch dũ cỏc ng cong vuụng gúc v song