Chuyên đề: Nhận dạng tích phân cơ bản ôn tốt nghiệp THPT

Chuyên đề : NHẬN DẠNG TÍCH PHÂN CƠ BẢN ÔN TỐT NGHIỆP THPT Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp : NGUYEÂN HAØM CAÙC HAØM SOÁ SÔ CAÁP THƯỜNG GẶP.. NGUYEÂN HAØM CAÙC HAØM SOÁ ĐĂC BI[r]

Trường THPT Huỳnh Thị Hưởng Tài liệu phụ đạo Chuyên đề : NHẬN DẠNG TÍCH PHÂN CƠ BẢN ÔN TỐT NGHIỆP THPT Bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp : NGUYEÂN HAØM CAÙC HAØM SOÁ SÔ CAÁP THƯỜNG GẶP NGUYEÂN HAØM CAÙC HAØM SOÁ ĐĂC BIỆT 1. dx  x  C 1. kdx  kx  C x 1 2. x dx   C ,   1  1 dx 3.  ln x  C , x  x  ax  b  2.  ax  b  dx   C ,   1 a  1 dx 3.  ln ax  b  C , u  u  x    ax  b  a  4. e x dx  e x  C 5. a x dx   1  4. eax b dx  eax b  C a a ax b 5. a ax b dx  C ,0  a  a ln a 6. cos  ax  b  dx  sin  ax  b   C a 7. sin  ax  b  dx   cos  ax  b   C a dx 8.  tan  ax  b   C cos  ax  b  a x a  C ,  a  ln a 6. cos x.dx  sin x  C 7. sin x.dx   cos x  C dx  tan x  C cos x dx 9,    cot x  C sin x 8. 9. dx   cot  ax  b   C sin  ax  b  a Học thật kĩ các công thức chú ý các công thức cột hai có từ công thức cột thứ cách thay x biểu thức bậc ax + b đó kết nguyên hàm ta nhân thêm a I Dạng 1 , s inx, cosx, , , ax 2 x sin x cos x + Nếu thay x là ax+b thì ta tính tương tự nhớ nhân thêm a + Tích phân có chưa tổng và hiệu các hàm x , e x , + Nếu gặp bình phương hay lũy thừa thì dùng đẳng thức  a  b  ,  a  b  để đưa tổng và hiệu hàm Ví dụ 1: 1  (3x  1) dx  ( x  x  2)dx Lớp 12C5, 12C7 2 0 1 2 x  1dx   2  e  x  dx  sin  x  dx  cos  3x  dx 0 Lop12.net x  1 dx  4  ( cos  4 x  3sin x )dx GV: Lê Đạt Nhân Trường THPT Huỳnh Thị Hưởng  (x 1 10  (6 x  x )dx  1)dx Tài liệu phụ đạo 11  (e  2)dx 1  x 12  (3  cos x ).dx II Chứa tích hai biểu thức khác Phương pháp chung: Lấy f(x) đạo hàm thử để so sánh bậc f '( x ) và bậc P(x) sau đó lựa chọn cách đặt theo hướng dẫn bảng sau b   P( x )  f ( x ) dx a b b b a b a a  P( x ) sin  f ( x ) dx f ( x)  P( x ) e dx  P( x ) f ( x ) dx  P( x ).cos  f ( x ) dx a + Bậc f '( x )  Bậc P(x) + Bậc f '( x )  Bậc P(x) + Bậc f '( x )  Bậc P(x) + Đặt u = Đặt u = f ( x ) Đặt u = f ( x ) Đặt u = f ( x ) f ( x) * Gặp các dạng đặc + Bậc f '( x )  Bậc P(x) + Bậc f '( x )  Bậc P(x) + Bậc f '( x )  Bậc P(x) biệt sau b Đặt u  P ( x ) u  P( x ) Đặt Đặt  +  a2  x dx  u  P ( x ) f ( x) dv  sin f ( x ).dx    dv   f ( x )  dx dv  e .dx a Đặt x  a sin t + b  a2  x dx a Đặt x  a tant + b  x  a2 dx a Đặt x  a sin t * Chú ý: b Gặp dạng  P( x ) ln  f ( x )  dx a Phương pháp: + Nếu P( x )  thì đặt u = lnx x u  ln  f ( x )    + Các trường hợp khác dùng phần  dv  P( x ).dx b   Gặp dạng  F e x dx ta đặt u  e x a Gặp dạng b  A( x ) dx ta xét dấu A(x) để tách thành tổng các tích phân a Lớp 12C5, 12C7 Lop12.net GV: Lê Đạt Nhân Trường THPT Huỳnh Thị Hưởng Tài liệu phụ đạo Ví dụ 2:  x  dx  xe 2  e dx 1 x2  /2  x xdx   1 cos x dx (1  sin x) e  (3  ln x)dx 10  x 13  (2sin x  3) cos xdx ex 14  x dx e 1 17  x ln( x  1)dx 2  x  8.x dx 1 16  ( x  1)e x dx ln xdx 19  x2 xdx 18  cos x  1)5 dx  x cos xdx 15 4 12  x x  3dx  /4  3 e x dx 11  x 2e  .x.dx  x (x e  sin x cos xdx  x2   ln x dx x  ( x  3)e dx x 20 1  e xdx 22  cos x 1 e 25  x ln xdx 26  30 x  dx 27  xdx 1 ln x dx x3  24  28  x.e 32  x.ln(2 x ).dx b b b b a a b a b a b a    s in x.cos x dx  s in x dx  cos  s in x dx x dx a +   Đặt u = sinx +  Đặt u = cosx  cos  tan x dx x dx  cot a cos2 x  2 dx +3  s inAx.cosBx dx x dx a Dùng CT hạ bậc Tách đưa cos2 x bậc hai và bậc sin2 x   và dùng 2 công thức cos2 x  -1 III Dạng chứa lượng giác b dx ò ( x + 1) 36 3x 0 35  x dx 34  ln x.dx  x  3.x.dx 31  esin x cos x.dx  x( x  3) dx e  x  xdx  2 33  ln x 23  dx x 1 29 e 21  (1  x) ln xdx sin2 x   cos2 x Dùng công thức Dùng CT biến tích thành tổng tan x  cot2 x  cos x   sin x cos2 x sin x 1 cos a.cos b  cos(a  b)  cos(a  b)  sin a.cos b  sin(a  b)  sin(a  b) sin a.sin b   cos(a  b)  cos(a  b) * Chú ý: Nếu tích phân có chứa tanx hay cotx thì ta đưa sinx và cosx t anx  Lớp 12C5, 12C7 s inx cos x cot x  cosx sin x Lop12.net GV: Lê Đạt Nhân Trường THPT Huỳnh Thị Hưởng Tài liệu phụ đạo Ví dụ 3:    s in3x.cos xdx   cos 2xdx 4  sin x.cos x.dx  2  cos xdx 0  sin 3xdx   tan xdx  sin x sin xdx    12  sin xdx 0 IV Dạng hữu tỉ b  a f ( x )  g( x ) x ax  b  cx  d dx a b Ta đưa dạng Ta đưa tổng hai tích phân b .dx Ta đưa tổng hai tích phân  a  ax  b  cx  d  b  B    A  cx  d .dx  a b  f ( x ) g( x )       .dx x  a x b .dx A  a ax  bx  c b .dx  a ax  bx  c Ta đưa dạng b  b  A B    ax  b  cx  d  dx  a a A 2ax  b  ax  b  cx  d  .dx Đặt u = ax2  bx  c .dx Ví dụ 4: 1 2x  0  x dx ò (2 x + 1)dx x2 - 4x + x2  2x  0 x  dx 10 x 2x  5x 1 x dx 4x  0 x  x  dx  1 x  26 x dx x ò dx 5 x 11 2x dx x -1 x2   3x dx x 2x  dx  x 1 x 5 x dx x   IV Ứng dụng tích phân a Diện tích hình phẳng giới hạn y = f(x), x = a, x = b, Ox (hay y = 0) b S   f ( x ) dx a b Diện tích hình phẳng giới hạn y = f1 ( x ) , x = a, x = b, y  f2 ( x ) b S  f ( x ) g ( x ) dx a c Thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn y = f(x) , x = a, x = b quay quanh trục Ox b V    f ( x ).dx a Lớp 12C5, 12C7 Lop12.net GV: Lê Đạt Nhân Trường THPT Huỳnh Thị Hưởng Tài liệu phụ đạo Ví dụ 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn (P1): y = x2 –2 x , và (P2) y= x2 + và các đường thẳng x = -1 ; x =2 Giaûi Dieän tích hình phaúng caàn tìm S = ò ( x - x ) - ( x + 1) dx = -1 -1/ ò -1 [(-2 x -1]dx + æ ö x2 = ççç-2 - x ÷÷÷ ÷ø èç -1/ -1 ò -1/ [2 x + 1]dx æ x2 ö 25 13 + ççç2 + x ÷÷÷ = + = ÷ èç ø -1/ 4 Ví dụ 6: Tính thể tích vật thể tròn xoay, sinh hình phẳng giới hạn các đường sau nó quay xung quanh truïc Ox: x = –1 ; x = ; y = ; y = x2–2x Giaûi Theå tích cuûa vaät theå troøn xoay caàn tìm laø : S  ( x 2 x ) dx 2  = ( x x ( x 4 x x )dx 18 x ) 1 = (ñvtt) * Bài tập áp dụng : 1/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường sau : a y  x  x , y   x b y  x  12, y  x 1 ,y  2 1 x 2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (P): y = y  x  x  x và trục hoành c y  3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (H): y  ln x và các đường thẳng có phương trình x = 1, x = e vaø y=0 4/ Tính thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng giới hạn a y   x , y  quanh Ox b y   x  x , y  x quanh Ox 5/ Tính thể tích vật thể tròn xoay, sinh hình phẳng giới hạn các đường sau nó quay xung quanh truïc Ox: a/ y = cosx ; y = ; x = ; x =  b/ y = sin2x ; y = ; x = ; x =  x c/ y = xe ; y = ; x = ; x = 6/ TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng sau: y = ex +1 , trục hoành , x = và x = 7/ TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng sau: y = sinx , trục hoành , trục tung và x =  Lớp 12C5, 12C7 Lop12.net GV: Lê Đạt Nhân Trường THPT Huỳnh Thị Hưởng Tài liệu phụ đạo 8/ Tính diện tích các hình phẳng sau:  y  x   a  x  y  y  x3  b  y   x  2; x    y  2x  2x  c  y  x  x   x  0; x    y  sin x  cos x  d  y   x  0; x    y  ex  e  y  x   9/ TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay sinh h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng sau : y = 0, y = x sin x , x = 0, x =  10/ TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ trßn xoay sinh bëi phÐp quay xung quanh trôc Oy cña h×nh giíi h¹n bëi x2 c¸c ®­êng y = , y = 2, y = vµ x = 11/ Cho miền D giới hạn hai đường : y  x ; y x 2 Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox 12/ Cho miền D giới hạn các đường y = 2x2 và y = 2x + Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox  y  x ln x  13/ Cho miền D giới hạn các đường  y   x  1; x  e  - hết - Chúc các em học tốt ! Lớp 12C5, 12C7 Lop12.net GV: Lê Đạt Nhân