Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyên đề : NHẬN DẠNG TÍCH PHÂN CƠ BẢN ÔN TỐT NGHIỆP THPT Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp : NGUYEÂN HAØM CAÙC HAØM SOÁ SÔ CAÁP THƯỜNG GẶP.. NGUYEÂN HAØM CAÙC HAØM SOÁ ĐĂC BI[r]
(1)Trường THPT Huỳnh Thị Hưởng Tài liệu phụ đạo Chuyên đề : NHẬN DẠNG TÍCH PHÂN CƠ BẢN ÔN TỐT NGHIỆP THPT Bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp : NGUYEÂN HAØM CAÙC HAØM SOÁ SÔ CAÁP THƯỜNG GẶP NGUYEÂN HAØM CAÙC HAØM SOÁ ĐĂC BIỆT 1. dx x C 1. kdx kx C x 1 2. x dx C , 1 1 dx 3. ln x C , x x ax b 2. ax b dx C , 1 a 1 dx 3. ln ax b C , u u x ax b a 4. e x dx e x C 5. a x dx 1 4. eax b dx eax b C a a ax b 5. a ax b dx C ,0 a a ln a 6. cos ax b dx sin ax b C a 7. sin ax b dx cos ax b C a dx 8. tan ax b C cos ax b a x a C , a ln a 6. cos x.dx sin x C 7. sin x.dx cos x C dx tan x C cos x dx 9, cot x C sin x 8. 9. dx cot ax b C sin ax b a Học thật kĩ các công thức chú ý các công thức cột hai có từ công thức cột thứ cách thay x biểu thức bậc ax + b đó kết nguyên hàm ta nhân thêm a I Dạng 1 , s inx, cosx, , , ax 2 x sin x cos x + Nếu thay x là ax+b thì ta tính tương tự nhớ nhân thêm a + Tích phân có chưa tổng và hiệu các hàm x , e x , + Nếu gặp bình phương hay lũy thừa thì dùng đẳng thức a b , a b để đưa tổng và hiệu hàm Ví dụ 1: 1 (3x 1) dx ( x x 2)dx Lớp 12C5, 12C7 2 0 1 2 x 1dx 2 e x dx sin x dx cos 3x dx 0 Lop12.net x 1 dx 4 ( cos 4 x 3sin x )dx GV: Lê Đạt Nhân (2) Trường THPT Huỳnh Thị Hưởng (x 1 10 (6 x x )dx 1)dx Tài liệu phụ đạo 11 (e 2)dx 1 x 12 (3 cos x ).dx II Chứa tích hai biểu thức khác Phương pháp chung: Lấy f(x) đạo hàm thử để so sánh bậc f '( x ) và bậc P(x) sau đó lựa chọn cách đặt theo hướng dẫn bảng sau b P( x ) f ( x ) dx a b b b a b a a P( x ) sin f ( x ) dx f ( x) P( x ) e dx P( x ) f ( x ) dx P( x ).cos f ( x ) dx a + Bậc f '( x ) Bậc P(x) + Bậc f '( x ) Bậc P(x) + Bậc f '( x ) Bậc P(x) + Đặt u = Đặt u = f ( x ) Đặt u = f ( x ) Đặt u = f ( x ) f ( x) * Gặp các dạng đặc + Bậc f '( x ) Bậc P(x) + Bậc f '( x ) Bậc P(x) + Bậc f '( x ) Bậc P(x) biệt sau b Đặt u P ( x ) u P( x ) Đặt Đặt + a2 x dx u P ( x ) f ( x) dv sin f ( x ).dx dv f ( x ) dx dv e .dx a Đặt x a sin t + b a2 x dx a Đặt x a tant + b x a2 dx a Đặt x a sin t * Chú ý: b Gặp dạng P( x ) ln f ( x ) dx a Phương pháp: + Nếu P( x ) thì đặt u = lnx x u ln f ( x ) + Các trường hợp khác dùng phần dv P( x ).dx b Gặp dạng F e x dx ta đặt u e x a Gặp dạng b A( x ) dx ta xét dấu A(x) để tách thành tổng các tích phân a Lớp 12C5, 12C7 Lop12.net GV: Lê Đạt Nhân (3) Trường THPT Huỳnh Thị Hưởng Tài liệu phụ đạo Ví dụ 2: x dx xe 2 e dx 1 x2 /2 x xdx 1 cos x dx (1 sin x) e (3 ln x)dx 10 x 13 (2sin x 3) cos xdx ex 14 x dx e 1 17 x ln( x 1)dx 2 x 8.x dx 1 16 ( x 1)e x dx ln xdx 19 x2 xdx 18 cos x 1)5 dx x cos xdx 15 4 12 x x 3dx /4 3 e x dx 11 x 2e .x.dx x (x e sin x cos xdx x2 ln x dx x ( x 3)e dx x 20 1 e xdx 22 cos x 1 e 25 x ln xdx 26 30 x dx 27 xdx 1 ln x dx x3 24 28 x.e 32 x.ln(2 x ).dx b b b b a a b a b a b a s in x.cos x dx s in x dx cos s in x dx x dx a + Đặt u = sinx + Đặt u = cosx cos tan x dx x dx cot a cos2 x 2 dx +3 s inAx.cosBx dx x dx a Dùng CT hạ bậc Tách đưa cos2 x bậc hai và bậc sin2 x và dùng 2 công thức cos2 x -1 III Dạng chứa lượng giác b dx ò ( x + 1) 36 3x 0 35 x dx 34 ln x.dx x 3.x.dx 31 esin x cos x.dx x( x 3) dx e x xdx 2 33 ln x 23 dx x 1 29 e 21 (1 x) ln xdx sin2 x cos2 x Dùng công thức Dùng CT biến tích thành tổng tan x cot2 x cos x sin x cos2 x sin x 1 cos a.cos b cos(a b) cos(a b) sin a.cos b sin(a b) sin(a b) sin a.sin b cos(a b) cos(a b) * Chú ý: Nếu tích phân có chứa tanx hay cotx thì ta đưa sinx và cosx t anx Lớp 12C5, 12C7 s inx cos x cot x cosx sin x Lop12.net GV: Lê Đạt Nhân (4) Trường THPT Huỳnh Thị Hưởng Tài liệu phụ đạo Ví dụ 3: s in3x.cos xdx cos 2xdx 4 sin x.cos x.dx 2 cos xdx 0 sin 3xdx tan xdx sin x sin xdx 12 sin xdx 0 IV Dạng hữu tỉ b a f ( x ) g( x ) x ax b cx d dx a b Ta đưa dạng Ta đưa tổng hai tích phân b .dx Ta đưa tổng hai tích phân a ax b cx d b B A cx d .dx a b f ( x ) g( x ) .dx x a x b .dx A a ax bx c b .dx a ax bx c Ta đưa dạng b b A B ax b cx d dx a a A 2ax b ax b cx d .dx Đặt u = ax2 bx c .dx Ví dụ 4: 1 2x 0 x dx ò (2 x + 1)dx x2 - 4x + x2 2x 0 x dx 10 x 2x 5x 1 x dx 4x 0 x x dx 1 x 26 x dx x ò dx 5 x 11 2x dx x -1 x2 3x dx x 2x dx x 1 x 5 x dx x IV Ứng dụng tích phân a Diện tích hình phẳng giới hạn y = f(x), x = a, x = b, Ox (hay y = 0) b S f ( x ) dx a b Diện tích hình phẳng giới hạn y = f1 ( x ) , x = a, x = b, y f2 ( x ) b S f ( x ) g ( x ) dx a c Thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn y = f(x) , x = a, x = b quay quanh trục Ox b V f ( x ).dx a Lớp 12C5, 12C7 Lop12.net GV: Lê Đạt Nhân (5) Trường THPT Huỳnh Thị Hưởng Tài liệu phụ đạo Ví dụ 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn (P1): y = x2 –2 x , và (P2) y= x2 + và các đường thẳng x = -1 ; x =2 Giaûi Dieän tích hình phaúng caàn tìm S = ò ( x - x ) - ( x + 1) dx = -1 -1/ ò -1 [(-2 x -1]dx + æ ö x2 = ççç-2 - x ÷÷÷ ÷ø èç -1/ -1 ò -1/ [2 x + 1]dx æ x2 ö 25 13 + ççç2 + x ÷÷÷ = + = ÷ èç ø -1/ 4 Ví dụ 6: Tính thể tích vật thể tròn xoay, sinh hình phẳng giới hạn các đường sau nó quay xung quanh truïc Ox: x = –1 ; x = ; y = ; y = x2–2x Giaûi Theå tích cuûa vaät theå troøn xoay caàn tìm laø : S ( x 2 x ) dx 2 = ( x x ( x 4 x x )dx 18 x ) 1 = (ñvtt) * Bài tập áp dụng : 1/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường sau : a y x x , y x b y x 12, y x 1 ,y 2 1 x 2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (P): y = y x x x và trục hoành c y 3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (H): y ln x và các đường thẳng có phương trình x = 1, x = e vaø y=0 4/ Tính thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng giới hạn a y x , y quanh Ox b y x x , y x quanh Ox 5/ Tính thể tích vật thể tròn xoay, sinh hình phẳng giới hạn các đường sau nó quay xung quanh truïc Ox: a/ y = cosx ; y = ; x = ; x = b/ y = sin2x ; y = ; x = ; x = x c/ y = xe ; y = ; x = ; x = 6/ TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®êng sau: y = ex +1 , trục hoành , x = và x = 7/ TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®êng sau: y = sinx , trục hoành , trục tung và x = Lớp 12C5, 12C7 Lop12.net GV: Lê Đạt Nhân (6) Trường THPT Huỳnh Thị Hưởng Tài liệu phụ đạo 8/ Tính diện tích các hình phẳng sau: y x a x y y x3 b y x 2; x y 2x 2x c y x x x 0; x y sin x cos x d y x 0; x y ex e y x 9/ TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay sinh h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®êng sau : y = 0, y = x sin x , x = 0, x = 10/ TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ trßn xoay sinh bëi phÐp quay xung quanh trôc Oy cña h×nh giíi h¹n bëi x2 c¸c ®êng y = , y = 2, y = vµ x = 11/ Cho miền D giới hạn hai đường : y x ; y x 2 Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox 12/ Cho miền D giới hạn các đường y = 2x2 và y = 2x + Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox y x ln x 13/ Cho miền D giới hạn các đường y x 1; x e - hết - Chúc các em học tốt ! Lớp 12C5, 12C7 Lop12.net GV: Lê Đạt Nhân (7)