SÁNG KIẾN “PHÂN TÍCH đa THỨC THÀNH NHÂN tử NHẰM NÂNG CAO NĂNG lực GIẢI TOÁN CHO học SINH” SÁNG KIẾN “PHÂN TÍCH đa THỨC THÀNH NHÂN tử NHẰM NÂNG CAO NĂNG lực GIẢI TOÁN CHO học SINH” SÁNG KIẾN “PHÂN TÍCH đa THỨC THÀNH NHÂN tử NHẰM NÂNG CAO NĂNG lực GIẢI TOÁN CHO học SINH” SÁNG KIẾN “PHÂN TÍCH đa THỨC THÀNH NHÂN tử NHẰM NÂNG CAO NĂNG lực GIẢI TOÁN CHO học SINH” SÁNG KIẾN “PHÂN TÍCH đa THỨC THÀNH NHÂN tử NHẰM NÂNG CAO NĂNG lực GIẢI TOÁN CHO học SINH”
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT BT GV HS SBT SGK THCS Bài tập Giáo viên Học sinh Sách tập Sách giáo khoa Trung học sở MỤC LỤC Trang CHƯƠNG I TỔNG QUAN CHƯƠNG II MÔ TẢ SÁNG KIẾN I NÊU VẤN ĐỀ CỦA SÁNG KIẾN II GIẢI PHÁP ĐỂ THỰC HIỆN SÁNG KIẾN 1) Phương phát đặt nhân tử chung 2) Phương pháp dùng đẳng thức 3) Phương pháp nhóm hạng tử 4) Phối hợp phương pháp thông thường 5) Phương pháp tách hạng tử 6) Phương pháp thêm bớt hạng tử 7) Phương pháp đặt ẩn phụ 8) Phương pháp sử dụng nghiệm hạ bậc đa thức 9) Phương pháp xét giá trị riêng 10) Phương pháp hệ số bất định II KẾT QUẢ VÀ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG, NHÂN RỘNG IV GIẢI PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN CHƯƠNG III KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 3 4 11 12 14 16 17 18 19 20 21 CHƯƠNG I TỔNG QUAN Cơ sở lí luận Tốn học mơn khoa học bản, tảng cho mơn khoa học khác, có ứng dụng hầu hết lĩnh vực sống, tốn học giữ vai trị quan trọng bậc học Làm để học toán, học giỏi tốn vấn đề đặt mà lúc giải cách dễ dàng Với cương vị GV tốn, tơi nhận thấy cần phải đầu tư suy nghĩ để tìm phương pháp tốt phù hợp với đơn vị kiến thức, giúp em tiếp thu kiến thức cách chủ động, nhẹ nhàng có hiệu Chương trình tốn THCS đa dạng phong phú, việc đề phương pháp dạy học phù hợp với tất dạng điều khó thực Với dạng lên lớp có phương pháp tối ưu nhất, phương pháp phù hợp với kiểu lại không thực phù hợp với kiểu khác Do GV cần cố gắng trau dồi nghiệp vụ sư phạm để hướng dẫn học sinh lĩnh hội tri thức, kỹ năng, phương pháp nhằm đáp ứng yêu cầu ngày cao xã hội Vấn đề phân tích đa thức thành nhân tử đề cập đến chương trình đại số với thời gian không nhiều song lại công cụ hữu hiệu học sinh khối nói riêng học sinh khối trở lên nói chung giải loại tập "Tìm giá trị biểu thức, rút gọn, chứng minh giải phương trình, bất phương trình " Do để củng cố giúp em tiến phần kiến thức chọn đề tài “Hình thành rèn luyện kĩ phân tích đa thức thành nhân tử” cho sáng kiến Phương pháp tiếp cận tạo sáng kiến Thông qua giảng dạy, tiến hành đúc rút kinh nghiệm áp dụng trực tiếp vào lớp HS Mục tiêu - Cung cấp kiến thức cho học sinh phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (đặc biệt số phương pháp không đề cập SGK) - Rèn luyện thành thạo kỹ phân tích đa thức thành nhân tử cho HS CHƯƠNG II MÔ TẢ SÁNG KIẾN I NÊU VẤN ĐỀ CỦA SÁNG KIẾN Phân tích đánh giá thực trạng vấn đề Có nhiều phương pháp khác để phục vụ cho mục đích “Phân tích đa thức thành nhân tử” song qua thực tế giảng dạy thấy HS nắm biết vận dụng thành thạo phương pháp vào việc giải tập cụ thể Một phận HS kiến thức lớp dưới, chưa chủ động học từ đầu chương trình lớp Một số tồn tại, hạn chế Tồn nhiều học sinh yếu tính tốn, kỹ quan sát nhận xét, biến đổi thực hành giải toán Tài liệu toán học, sách tham khảo, sách nâng cao thư viện nhà trường cịn số lượng, thiếu chủng loại Đa số HS có điều kiện tiếp xúc với loại sách tham khảo chất lượng tốt Kinh tế gia đình nhiều HS cịn nghèo, khơng trang bị đầy đủ dụng cụ học tập cần thiết cho việc học tập mơn tốn HS như: máy tính bỏ túi… Khi triển khai chương trình dạy học phát triển lực thơng qua việc đọc thơng tin SGK, học sinh rèn luyện tính làm việc độc lập, tự nghiên cứu có hiệu Tuy nhiên HS chưa biết cách tự học nên lĩnh hội không đầy đủ kiến thức dẫn đến "hổng kiến thức" gây chán nản, bỏ học Nguyên nhân tồn tại, hạn chế Nguyên nhân theo là: - HS khơng chịu học lí thuyết bản, khơng nắm vững đẳng thức Khơng chịu khó suy nghĩ để triển khai theo hai chiều thuận đảo Chính điều làm ảnh hưởng khơng đến khả biến đổi HS làm tập - Thời gian học tiết lớp hạn chế (45’) nên đối tượng HS trung bình yếu chưa thể hình dung có đủ thời gian để tư - Tiết luyện tập cịn nên giáo viên chưa đủ thời gian để kiểm tra tất đối tượng HS, kiểm tra việc vận dụng lí thuyết HS q trình giải tập - Vì lí thời gian mà giáo viên không đủ điều kiện để đưa thêm phương pháp khác tư em hạn chế - Do phận HS chây lười học tập, ỷ lại, trông chờ vào kết người khác, chưa lỗ lực tự học, tự rèn, ý thức học tập yếu - Đa số em sử dụng loại sách tập có đáp án để tham khảo, nên gặp tập, em thường lúng túng, chưa tìm hướng giải thích hợp, khơng biết áp dụng phương pháp trước, phương pháp sau, phương pháp phù hợp nhất, hướng giải tốt Phân tích, đánh giá tính cấp thiết cần tạo sáng kiến Tôi nhận thấy mảng kiến thức “Phân tích đa thức thành nhân tử” cơng cụ đắc lực giúp cho em học sinh đặc biệt học sinh khối THCS giải tập nhanh chóng, thuận lợi Vì cần thiết phải hệ thống kiến thức phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, ý phần, phương pháp để tránh mắc phải sai lầm Nội dung trình bày hầu hết nằm sách giáo khoa nâng cao dần thơng qua học sinh vừa phát huy trí tuệ, vừa thấy rõ vai trò to lớn mảng kiến thức vào việc giải tập có liên quan II GIẢI PHÁP ĐỂ THỰC HIỆN SÁNG KIẾN Trong phần đưa phương pháp để phục vụ giải tập dạng “Phân tích đa thức thành nhân tử” sau phần lí thuyết tổng quát tập có tính chất minh hoạ Từ giúp học sinh có khả vận dụng phát triển khả giải tốn có tư khoa học để tìm lời giải cho toán 1) Phương phát đặt nhân tử chung Ta thường làm sau: - Tìm nhân tử chung hệ số (ƯCLN hệ số) - Tìm nhân tử chung biến (mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất) Nhằm đưa dạng: A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D) Chú ý: Nhiều để làm xuất nhân tử ta cần đổi dấu hạng tử Ví dụ 1: Phân tích đa thức 14x2y – 21xy2 + 28x2y2 thành nhân tử (BT-39c-SGK-tr19) Giáo viên gợi ý: - Tìm nhân tử chung hệ số 14, 21, 28 hạng tử ? (Học sinh trả lời là: 7, ƯCLN(14, 21, 28 ) = ) - Tìm nhân tử chung biến x2 y, xy2, x2y2 ? (HS trả lời xy ) - Nhân tử chung hạng tử đa thức cho 7xy Giải: 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x – 7xy.3y + 7xy.4xy = 7xy.(2x – 3y + 4xy) Ví dụ 2: Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử (BT-39e -SGK-tr19) Giáo viên gợi ý: - Tìm nhân tử chung hệ số 10 ? (Học sinh trả lời là: 2) - Tìm nhân tử chung x(x – y) y(y – x) ? - Hãy thực đổi dấu tích 10x(x – y) tích – 8y(y – x) để có nhân tử chung (y – x) (x – y)? Cách 1: Đổi dấu tích – 8y(y – x) = 8y(x – y) Cách 2: Đổi dấu tích 10x(x – y) = –10x(y – x) (Học sinh tự giải ) Giải: 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y) = 2(x – y).5x + 2(x – y).4y = 2(x – y)(5x + 4y) Có thể tổng quát thành hai loại toán sau: * Loại 1: Nếu đa thức cho có dạng: AB + AC + AD Ta áp dụng tính chất phân phối phép nhân phép cộng để đưa phương trình tích A(B + C + D) * Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử: a, 2x(x + 1) + 2(x + 1) = 2(x + 1)(x + 1) = 2(x + 1) b, 9xy + 15xy - 21xy = 3xy(3xy + 5x - 7y) * Loại 2: Nếu đa thức cho chưa có sẵn dạng AB + AC + AD Ta phải tìm cách đưa đa thức dạng theo trình tự sau: + Bước 1: Phát nhân tử chung hạng tử đa thức cho kiến thức học + Bước 2: Phân tích hạng tử đa thức thành tích nhân tử chung với nhân tử khác + Bước 3: Áp dụng luật phân phối phép nhân với phép cộng để viết thành tích * Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 4x(x - 2y) + 8y(2y - x) = 4x(x - 2y) - 4.2y(x - 2y) = 4(x - 2y)(x - 2y) = 4(x - 2y) 2) Phương pháp dùng đẳng thức - Khi áp dụng phương pháp làm theo bước sau: + Bước 1: Phát quy dạng đẳng thức đáng nhớ + Bước 2: Áp dụng đẳng thức để viết thành tích luỹ thừa + Nhắc lại đẳng thức đáng nhớ: 1) (A + B) = A + 2AB + B 2) (A - B) = A - 2AB + B 3) A - B = (A - B)(A + B) 4) (A + B) = A + 3AB + AB + B 5) (A - B) = A - 3AB + AB - B 6) A + B = (A + B)(A - AB + B) 7) A - B = (A - B)(A + AB + B) Với A B biểu thức tuỳ ý Ví dụ 4: Phân tích (x + y)2 – (x – y)2 thành nhân tử (BT- 28a-SBT-tr6) Gợi ý: Đa thức có dạng đẳng thức ? (HS: có dạng A2 – B2 ) Lời giải sai: (x + y)2 – (x – y)2 = (x + y – x – y)(x + y + x – y) (thiếu dấu ngoặc) = 0.(2x) = (kết sai) Sai lầm học sinh là: Thực thiếu dấu ngoặc Lời giải đúng: (x + y)2 – (x – y)2 = [(x + y) – (x – y)].[(x + y) + (x – y)] = (x + y – x + y)(x + y + x – y) = 2y.2x = 4xy Các sai lầm học sinh dễ mắc phải: - Áp dụng sai quy tắc dấu ngoặc - Phép biến đổi, kĩ nhận dạng đẳng thức cịn Khai thác tốn: Đối với học sinh giỏi, giáo viên cho em làm tập dạng phức tạp * Nếu thay mũ “2” mũ “3” ta có tốn Phân tích (x + y)3 – (x – y)3 thành nhân tử (BT-44b-SGK-tr20) * Đặt x + y = a, x – y = b, thay mũ “3” mũ “6” ta có tốn Phân tích a6 – b6 thành nhân tử (BT-26c-SBT-tr6) a6 – b6 = ( a ) − ( b3 ) = (a3 – b3 )( a3 + b3 ) 2 Ví dụ 5: Phân tích a6 – b6 thành nhân tử (BT-26c-SBT-tr6) Giải: a6 – b6 = ( a ) − ( b3 ) = (a3 – b3 )( a3 + b3 ) 2 = (a – b)(a2 + ab + b2)(a + b)(a2 – ab + b2) + Chú ý: Khi dạy phương pháp học sinh giỏi nên cho làm quen thêm số đẳng thức như: 1) (A + B + C) = A + B + C + 2AB + 2AC + 2BC 2) (A - B - C) = A + B + C - 2AB - 2AC + 2BC 3) (A + B + C) = A + B + C + 3(A + B)(A + C)(B + C) 4) A - B = (A - B)(A + AB + AB + + AB + AB + B) 5) (A + B) = A + CAB + CAB + + Cnn −1 AB + B Giáo viên củng cố cho học sinh: Các đẳng thức đáng nhớ, kĩ nhận dạng đẳng thức qua toán, dựa vào hạng tử, số mũ hạng tử mà sử dụng đẳng thức cho thích hợp 3) Phương pháp nhóm hạng tử - Khi áp dụng phương pháp cần làm theo bước sau: + Bước 1: Phát hạng tử có nhân tử chung cho nhóm dạng đẳng thức + Bước 2: Phát tiếp hạng tử có hạng tử có chứa nhân tử chung dạng đẳng thức, kết hợp thành nhóm dùng đẳng thức Thông thường ta dựa vào mối quan hệ sau: - Quan hệ hệ số, biến hạng tử tốn - Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn: + Mỗi nhóm phân tích + Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm q trình phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực +/ Nhóm nhằm xuất nhân tử chung Ví dụ 7: Phân tích đa thức x2 – xy + x – y thành nhân tử (Bài tập 47a-SGK-tr22) Cách 1: Nhóm (x2 – xy) (x – y) Cách 2: Nhóm (x2 + x) (– xy – y ) Lời giải sai: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + (x – y) = (x – y)(x + 0) (kết dấu sai bỏ sót số 1) Sai lầm học sinh là: Bỏ sót hạng tử sau đặt nhân tử chung (HS cho ngoặc thứ hai đặt nhân tử chung (x – y) cịn lại số 0) Lời giải đúng: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + 1.(x – y) = (x – y)(x + 1) +/ Nhóm nhằm xuất đẳng thức Ví dụ 9: Phân tích đa thức x2 – 2x + – 4y2 thành nhân tử Giải: x2 – 2x + – 4y2 = (x2 – 2x + 1) – (2y)2 = (x – 1)2 – (2y)2 = (x – – 2y)(x – + 2y) +/ Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp Ví dụ 10: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử Lời giải sai: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai) = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai từ trên) = (x – 2y)(x + 2y – 2) (kết dấu sai) Sai lầm học sinh là: Nhóm x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai ngoặc thứ hai) Lời giải đúng: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) + (– 2x – 4y ) = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y) = (x + 2y)(x – 2y – 2) Qua ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh: Cách nhóm hạng tử đặt dấu trừ “ – ” dấu cộng “ + ” trước dấu ngoặc, phải kiểm tra lại cách đặt dấu thực nhóm Trong phương pháp nhóm thường dẫn đến sai dấu, học sinh cần ý cách nhóm kiểm tra lại kết sau nhóm Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm q trình phân tích thành nhân tử khơng thực nữa, cách nhóm sai, phải thực lại 4) Phối hợp phương pháp thông thường Là kết hợp nhuần nhuyễn phương pháp nhóm nhiều hạng tử, đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức Vì học sinh cần nhận xét toán cách cụ thể, mối quan hệ hạng tử tìm hướng giải thích hợp Ta thường xét phương pháp: Đặt nhân tử chung Dùng đẳng thức Nhóm nhiều hạng tử Ví dụ 11: Phân tích đa thức x4 – 9x3 + x2 – 9x thành nhân tử (BT- ?2 -SGK-tr22) Gợi ý phân tích: Xét phương pháp: Đặt nhân tử chung Dùng đẳng thức Nhóm nhiều hạng tử Các sai lầm học sinh thường mắc phải Lời giải chưa hoàn chỉnh: a) x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) (phân tích chưa triệt để) b) x4 – 9x3 + x2 – 9x = (x4 – 9x3 ) + (x2 – 9x) = x3(x – 9) + x(x – ) = (x – 9)(x3 + x ) (phân tích chưa triệt để) Lời giải đúng: x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) = x[(x3 – 9x2 ) + (x – 9)] = x[x2 (x – 9) + 1.(x – 9)] = x(x – 9)(x2 + 1) Ví dụ 12: Phân tích đa thức A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử (Bài tập 57- SBT-tr toán tập 1) Trong ví dụ có nhiều cách giải, học sinh cần phải linh hoạt lựa chọn cách giải phù hợp nhất, gọn Áp dụng đẳng thức: (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B) Suy hệ sau: A3 + B3 = (A + B)3 – 3AB(A + B) Giải: A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 = [(x + y) + z]3 – x3 – y3 – z3 = (x + y)3 + z3 + 3z(x + y)(x + y + z) – x3 – y3 – z3 = [(x + y)3 – x3 – y3 ] + 3z(x + y)(x + y + z) = 3xy(x + y) + 3(x + y)(xz + yz + z2 ) = 3(x + y)( xy + xz + yz + z2) = 3(x + y)(y + z)(x + z) Khai thác toán: 1) Chứng minh A chia hết cho với x, y, z nguyên 2) Cho x + y + z = Chứng minh x3 + y3 + z3 = 3xyz (Bài 38-SBT-tr7) + Hướng dẫn: Dùng x3 + y3 = (x + y)3 –3xy(x + y) x + y + z = ⇔ x + y = – z 3) Phân tích x3 + y3 + z3 – 3xyz thành nhân tử (Bài 28c)-SBT-tr6) + Hướng dẫn: Dùng x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) 10 Trong chương trình sách giáo khoa Tốn hành giới thiệu ba phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là: Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử Tuy nhiên phần tập lại có khơng thể áp dụng ba phương pháp để giải, (Chẳng hạn tập 53, 57 sgk/tr 24-25) Sách giáo khoa có gợi ý cách “ tách ” hạng tử thành hai hạng tử khác “ thêm bớt hạng tử ” thích hợp áp dụng phương pháp để giải Xin giới thiệu thêm phương pháp này, để học sinh vận dụng rộng rãi thực hành giải toán 5) Phương pháp tách hạng tử Khi gặp đa thức khơng có thừa số chung khơng có dạng đẳng thức (mặc dù sử dụng đến phương pháp nhóm) ta phải tìm cách tách vài hạng tử để trở thành đa thức có nhiều hạng tử hơn, với mục đích tách để trở thành đa thức xuất hạng tử có nhân tử chung dạng đẳng thức để nhóm sau đặt nhân tử chung dùng đẳng thức để phân tích Ví dụ 13: Phân tích đa thức f(x) = 3x2 – 8x + thành nhân tử Gợi ý ba cách phân tích: (chú ý có nhiều cách phân tích) Giải: Cách (tách hạng tử : 3x2) 3x2 – 8x + = 4x2 – 8x + – x2 = (2x – 2)2 – x2 = (2x – – x)( 2x – + x) = (x – 2)(3x – 2) Cách (tách hạng tử : – 8x) 3x2 – 8x + = 3x2 – 6x – 2x + = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2) Cách (tách hạng tử : 4) 3x2 – 8x + = 3x2 – 12 – 8x + 16 = 3(x2 – 22 ) – 8(x – 2) = 3(x – 2)(x + 2) – 8(x – 2) = (x – 2)(3x + – 8) = (x – 2)(3x – 2) 11 Nhận xét: Từ ví dụ trên, ta thấy việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử nhằm: - Làm xuất đẳng thức hiệu hai bình phương (cách 1) - Làm xuất hệ số hạng tử tỷ lệ với nhau, nhờ làm xuất nhân tử chung x – (cách 2) - Làm xuất đẳng thức nhân tử chung (cách 3) Vì vậy, việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác nhằm làm xuất phương pháp học như: Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử việc làm cần học sinh giải toán Khai thác cách giải: Tách hạng tử: – 8x (Cách 2) Nhận xét: Trong đa thức 3x2 – 6x – 2x + ta thấy hệ số số hạng là: 3, – 6, –2, tỷ lệ −6 = hay (– 6).( – 2)= 3.4 (– 6) + ( – 2)= – −2 Khai thác: Trong đa thức 3x2 – 8x + đặt a = 3, b = – 8, c = Tính tích a.c phân tích a.c = b1.b2 cho b1 + b2 = b (ac = b1.b2 = 3.4 = (– 6).( – 2) = 12; b1 + b2 = b = (– 6) + ( – 2)= – 8) Tổng quát: Để phân tích đa thức dạng ax2 + bx + c thành nhân tử, ta tách hạng tử bx thành b1x + b2x cho b1b2 = ac Trong thực hành ta làm sau: Bước 1: Tìm tích ac Bước 2: Phân tích ac thành tích hai thừa số nguyên cách Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng b Lưu ý: Đối với đa thức f(x) có bậc từ ba trở lên, để làm xuất hệ số tỉ lệ, tuỳ theo đặc điểm hệ số mà ta có cách tách riêng cho phù hợp nhằm để vận dụng phương pháp nhóm dùng đẳng thức đặt nhân tử chung 6) Phương pháp thêm bớt hạng tử Được sử dụng đa thức có dáng dấp đẳng thức cịn khuyết hạng tử vị trí đẳng thức gợi cho ta phải thêm vào hạng tử để xuất dạng đẳng thức đồng 12 thời phải bớt hạng tử để đa thức cho khơng thay đổi, phương pháp dựa vào tính chất A + B = A + B + C - C Phương pháp thêm bớt hạng tử nhằm sử dụng phương pháp nhóm để xuất dạng đặt nhân tử chung dạng đẳng thức Ví dụ 17: Phân tích đa thức x4 + x2 + thành nhân tử Ta phân tích: - Tách x2 thành 2x2 – x2 : (làm xuất đẳng thức) Ta có x4 + x2 + = x4 + 2x2 + – x2 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 - Thêm x bớt x: (làm xuất đẳng thức đặt nhân tử chung) Ta có x4 + x2 + = x4 – x + x2 + x + = (x4 – x) + (x2 + x + 1) Giải: x4 + x2 + = x4 – x + x2 + x + = (x4 – x) + (x2 + x + 1) = x(x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 – x + 1) Chú ý: Các đa thức có dạng x4 + x2 + 1, x5 + x + 1, x5 + x4 + 1, x7 + x5 + 1,….; tổng quát đa thức dạng x3m+2 + x3n+1 + x3 – 1, x6 – có chứa nhân tử: x2 + x + Ví dụ 19: Phân tích đa thức x4 + thành nhân tử (Bài tập 57d)-SGK-tr 25) Gợi ý: Thêm 4x2 bớt 4x2 : (làm xuất đẳng thức) Giải: x4 + = x4 + 4x2 + – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 + – 2x)( x2 + + 2x) Khai thác toán: * Thay “4” thành “ 64y4 ”, ta có tốn: x4 + 64y4 Hướng dẫn giải: Thêm 16x2y2 bớt 16x2y2 : (làm xuất đẳng thức) x4 + 64y4 = (x4 + 16x2y2 + 64y4 ) – 16x2y2 = (x2 + 8y2)2 – (4xy)2 = (x2 + 8y2 – 4xy)(x2 + 8y2 + 4xy 13 7) Phương pháp đăt ẩn phụ Bằng phương pháp đặt ẩn phụ (hay phương pháp đổi biến) ta đưa đa thức với ẩn số cồng kềnh, phức tạp đa thức có biến mới, mà đa thức dễ dàng phân tích thành nhân tử Sau số toán dùng phương pháp đặt ẩn phụ * Chú ý: Sau phân tích đến bước cuối phải thay trở lại biến ban đầu Ví dụ 21: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (x2 + x) + 4(x2 + x) - 12 Giải: Đặt : y = x2 + x , đa thức cho trở thành : A = y2 + 4y – 12 = y2 – 2y + 6y – 12 = y(y – 2) + 6(y – 2) = (y – 2)(y + 6) (1) Thay : y = x2 + x vào (1) ta : A = (x2 + x – 2)(x2 + x – 6) = (x – 1)(x + 2)(x2 + x – 6) Ví dụ 23: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x12 – 3x6 + Giải: B = x12 – 3x6 + Đặt y = x6 (y ≥ ) Đa thức cho trở thành : B = y2 – 3y + = y2 – 2y + – y = (y – 1)2 – y (*) Thay : y = x6 vào (*) : B = (x6 – 1)2 – x6 = (x6 – – x3)(x6 − + x3) Nhận xét: Từ lời giải tốn ta giải tốn tổng qt sau : phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + m Nếu a + d = b + c Ta biến đổi A thành: 14 A = [(x + a)(x + d)][(x + b)(x + c)] + m (1) Bằng cách biến đổi tương tự, ta đưa đa thức (1) đa thức bậc hai từ phân tích đa thức A thành tích nhân tử Ví dụ 26: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + Giải: Giả sử x ≠ , ta viết đa thức dạng : A = x2 [(x2 + Đặt y = x - ) + 6( x x2 ) + 7] x 1 x2 + = y2 + x x Do : A = x2(y2 + + 6y + 7) = x2( y + 3)2 = (xy + 3x) Thay y = x - , ta x A = x( x − ) + 3x x = (x2 + 3x – 1)2 Dạng phân tích với x = Nhận xét: Từ lời giải tập này, ta giải tập tổng quát sau: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = a0x2n + a1x2n – +…….+ an – 1xn + +anxn + an – 1xn – + … + a1x + a0 Bằng cách đưa xn làm nhân tử A, hay: A = xn (a0xn + a1xn – + …….+ an – 1x + an + Sau đặt y = x + a n −1 a a +… + n1−1 + 0n ) x x x ta phân tích A thành nhân tử cách dễ dàng x tập Ví dụ 27: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x2 + 2xy + y2 – x – y - 12 Giải: Ta có: A = x2 + 2xy + y2 – x – y – 12 = (x + y)2 – (x + y) – 12 - Đặt X = x + y, đa thức trở thành: A = X2 – X – 12 = X2 - 16 – X + 15 = (X + 4)(X - 4) - (X - 4) = (X - 4)(X + - 1) = (X - 4)(X + 3) (1) - Thay X = x + y vào (1) ta được: A = (x + y – 4)( x + y + 3) 8) Phương pháp sử dụng nghiệm hạ bậc đa thức: Phương pháp sử dụng phân tích đa thức bậc cao biến nhẩm nghiệm Nếu a nghiệm đa thức f(x) có phân tích f(x) = (x – a).g(x) , g(x) đa thức Để tìm g(x), ta chia f(x) cho (x – a) Sau lại phân tích tiếp g(x) Sau số ví dụ cụ thể: Ví dụ 30: Phân tích đa thức sau thành nhân tử f(x) = x5 + 6x4 + 13x3 + 14x2 + 12x + Giải: Dễ thấy: f(-2) = (-2)5 + 6(-2)4 + 13(-2)3 + 14(-2)2 + 12(-2) + = Nên chia f(x) cho (x + 2), ta được: f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4) = (x + 2).g(x) Dễ thấy: g(x) = x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + có g(-2) = Nên chia g(x) cho (x + 2), ta được: g(x) = (x + 2)(x3 + 2x2 + x + 2) Đặt h(x) = x3 + 2x2 + x + Ta có: h(-2) = Nên chia h(x) cho(x + 2), được: h(x) = (x + 2)(x2 + 1) Vậy: f(x) = (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x2 + 1) = (x + 2)3(x2 + 1) Khi thực phép chia f(x), g(x), h(x) cho (x + 2), ta sử dụng sơ đồ Hoocne để thực phép chia nhanh Ví dụ chia f(x) cho (x + 2) sau: -2 1 13 14 12 Vậy f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4) Chia x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + cho (x + 2) sau: 16 1 -2 4 Vậy x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + = (x + 2)(x3 + 2x2 + x + 2) Chia x3 + 2x2 + x + cho (x + 2) sau : -2 2 Vậy x + 2x + x + = (x + 2)(x + 1) 1 Vậy h(x) = (x + 2)3(x2 + 1) 9) Phương pháp xét giá trị riêng Đây phương pháp khó, áp dụng cách linh hoạt phân tích đa thức thành nhân tử nhanh Trong phương pháp ta xác định dạng thừa số chứa biến đa thức, gán cho biến giá trị cụ thể để xác định thừa số cịn lại Sau số ví dụ: Ví dụ 32: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) Giải: Thử thay x y P = y2(y – z) + y2(z – y) = Như P chứa thừa số x – y Ta lại thấy thay x y, thay y z, thay z x P khơng đổi (ta nói đa thức P hốn vị vịng quanh x → y → z → x Do P chứa thừa số x – y chứa thừa số y – z, z – x Vậy P có dạng: k(x – y)(y – z)(z – x) Ta thấy k phải số, P có bậc ba tập hợp biến x, y, z, cịn tích (x – y)(y – z)(z – x) có bậc ba tập hợp biến x, y, z Vì đẳng thức x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) với x, y, z nên ta gán cho biến x, y, z giá trị riêng, chẳng hạn x = 2; y = 1; z = (*), ta được: 4.1 + 1.(-2) + = k.1.1.(-2) = -2k k = -1 Vậy P = -1(x – y)(y – z)(z – x) 17 = (x – y)(y – z)(x – z) Chú ý: (*) giá trị x, y, z chọn tuỳ ý cần chúng đôi khác để (x – y)(y – z)(z – x) ≠ 10) Phương pháp hệ số bất định Phương pháp dựa vào định nghĩa hai đa thức nhau, ta tính hệ số biểu diễn đòi hỏi cách giải hệ phương trình sơ cấp Sau số ví dụ : Ví dụ 35: Phân tích đa thức sau thành nhân tử M = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + Giải: Biểu diễn đa thức dạng : x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + = x4 + (a+c )x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd Đồng hai đa thức, ta hệ điều kiện: a + c = −6 ac + b + d = 12 ad + bc = −14 bd = Xét bd = với b, d ∈ Z , b ∈ {1;3 } với b = 3; d = Hệ điều kiện trở thành : a + c = −6 ac = a + 3c = −14 Suy 2c = - 14 + = - 8, Do c = - , a = -2 Vậy M = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + = (x2 – 2x + 3)(x2 – 4x + 1) Ví dụ 36: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 Giải: Biểu diễn đa thức dạng : A = ( ax + by + c )( dx + ey + g ) = adx2 + aexy + agx + bdxy + bey2 + bgy + cdx + cey + cg = adx2 + ( ae + bd )xy + ( ag + cd )x + bey2 + ( bg + ce )y + cg 18 = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 Đồng hai đa thức, ta hệ điều kiện : ad = ae +bd = 22 ag +cd =11 be = bg +ce = 37 cg =10 ⇒ a =3 b =1 c =5 d =1 e =7 g =2 Vậy A = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 = ( 3x + y + )( x + 7y + ) III KẾT QUẢ VÀ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG, NHÂN RỘNG Qua việc viết chuyên đề thân nhận thấy mảng kiến thức “Phân tích đa thức thành nhân tử” cơng cụ đắc lực giúp cho em học sinh đặc biệt học sinh khối THCS giải tập nhanh chóng, thuận lợi Trong q trình viết tơi hệ thống phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, ý phần, phương pháp để tránh mắc phải sai lầm Nội dung trình bày hầu hết nằm sách giáo khoa nâng cao dần thơng qua học sinh vừa phát huy trí tuệ, vừa thấy rõ vai trị to lớn mảng kiến thức vào việc giải tập có liên quan Kết Kết áp dụng kĩ góp phần nâng cao chất lượng học tập môn học sinh đại trà Cụ thể kết kiểm tra dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử thống kê qua giai đoạn học sinh lớp (8A, 8D, 8E, 8G) năm học 2019– 2020 sau: a) Chưa áp dụng giải pháp Kết kiểm tra khảo sát chất lượng: Tổng số HS 167 Trung bình trở lên Số lượng Tỉ lệ (%) 76 45,50% 19 * Nhận xét: Đa số HS chưa nắm kỹ phân tích tốn, đẳng thức đáng nhớ, quy tắc dấu, quy tắc dấu ngoặc, cách trình bày giải cịn chưa logic b) Áp dụng giải pháp Lần 1: Tổng số HS 167 Trung bình trở lên Số lượng Tỉ lệ (%) 105 61,76% * Nhận xét: HS hệ thống, nắm kiến thức đẳng thức đáng nhớ, quy tắc dấu, quy tắc dấu ngoặc vận dụng tốt phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử giải toán, biết nhận xét đánh giá toán trường hợp, trình bày hợp lý Lần 2: Tổng số HS 167 Trung bình trở lên Số lượng Tỉ lệ (%) 155 92,81% * Nhận xét: HS nắm vững kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử, vận dụng thành thạo kỹ biến đổi, phân tích, biết dựa vào tốn biết cách giải trước đó, linh hoạt biến đổi vận dụng đẳng thức trình bày giải hợp lý có hệ thống logic, cịn số HS q yếu, chưa thực tốt HS tích cực tìm hiểu kĩ phương pháp giải, phân loại dạng toán, chủ động lĩnh hội kiến thức, có kĩ giải nhanh tốn có dạng tương tự, đặt nhiều vấn đề mới, nhiều toán IV GIẢI PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN - Sáng kiến tài liệu tham khảo tốt cho GV toán trường quan tâm đến vấn đề - Có thể áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trình bày sáng kiến vào giảng dạy khóa phụ đạo học sinh yếu, bồi dưỡng học sinh giỏi 20 CHƯƠNG III KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Kết luận Qua nghiên cứu thực nghiệm chuyên đề thân thấy kết học tập HS nâng lên rõ rệt chất lượng lẫn kĩ giải tốn Tơi thấy việc làm thiết thực quan trọng để nâng cao chất lượng học tập toàn diện cho em HS phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo học tập Hệ thống tập GV đưa đảm bảo từ dễ đến khó để HS tư cách hệ thống Cuối GV phải hiểu tâm lí HS để chuyển tải kiến thức cho hợp lí, vừa sức tránh gị bó áp đặt với học sinh Trên số toán số kinh nghiệm giảng dạy góp phần bồi dưỡng kiến thức tốn học cho em HS Để có dược kinh nghiệm phần lớn học hỏi đúc rút từ bạn đồng nghiệp yêu cầu cấp thiết HS Tuy nhiên trình nghiên cứu, sưu tầm trình bày khơng tránh khỏi nhiều hạn chế mong đóng góp đồng nghiệp Tơi xin chân thành cảm ơn! Kiến nghị đề xuất - Tăng thêm thời gian bồi dưỡng cho học sinh giỏi mơn Tốn thời gian tuần buổi khơng đủ thời gian để thực công tác bồi dưỡng - Nếu chọn lọc từ đầu vào nên chọn hai lớp: Chuyên môn tự nhiên lớp chuyên môn xã hội 21 TÀI LIỆU THAM KHẢO Bộ Giáo dục Đào tạo, "Một số vấn đề đổi phương pháp dạy học trường THCS mơn Tốn", NXB Giáo dục, 2004 Bộ Giáo dục Đào tạo, "Những vấn đề chung đổi giáo dục trường THCS mơn Tốn", NXB Giáo dục, 2007 Bộ Giáo dục Đào tạo, "Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên cho giáo viên chu kì III (2004-2007)", NXB Giáo dục, 2007 Bùi Văn Tuyên, "Bài tập nâng cao số chuyên đề Toán 8", NXB Giáo dục, 2004 Nguyễn Hữu Thảo, "Sách Thiết kế giảng Toán 8", NXB Hà Nội, 2003 Nguyễn Văn Trang (Chủ biên), "Vở Bài tập Toán 8", NXB Giáo dục, 2003 Nguyễn Vĩnh Cận, "Toán nâng cao Đại số 8", NXB Đại học Sư phạm, 2004 Phan Đức Chính, Tơn Thân, "Sách giáo khoa Tốn 8", NXB Giáo dục, 2004 Phan Đức Chính, Tơn Thân, "Sách giáo viên Tốn 8", NXB Giáo dục, 2004 10 Tơn Thân (chủ biên), "Sách Bài tập Toán 8", NXB Giáo dục, 2004 11 Vũ Dương Thụy, "Luyện giải ơn tập Tốn 8", NXB giáo dục, 2004 ... Bước 1: Phát nhân tử chung hạng tử đa thức cho kiến thức học + Bước 2: Phân tích hạng tử đa thức thành tích nhân tử chung với nhân tử khác + Bước 3: Áp dụng luật phân phối phép nhân với phép... tự, ta đưa đa thức (1) đa thức bậc hai từ phân tích đa thức A thành tích nhân tử Ví dụ 26: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + Giải: Giả sử x ≠ , ta viết đa thức dạng... - Cung cấp kiến thức cho học sinh phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (đặc biệt số phương pháp không đề cập SGK) - Rèn luyện thành thạo kỹ phân tích đa thức thành nhân tử cho HS CHƯƠNG