(Luận văn thạc sĩ) sử dụng các tính chất hình học để chứng minh bất đẳng thức

� − 2i| = √ ⇔ (x − 1)2 + (y − 1)2 + (x − 3)2 + (y − 2)2 = √ (x − 1)2 + [(y + 2) − 3]2 + (x − 3)2 + [(y + 2) − 4]2 = ⇔ (2.36) 63 Hình 2.26 Số phức z + 2i = x + (y + 2)i có điểm M ′ (x; y + 2) biểu diễn z + 2i mặt phẳng tọa độ Đặt A(1; 3), B(3; 4) từ (2.36) ta có: √ ′ ′ AM + BM = (2.37) Mặt khác √ −→ AB = (2; 1) ⇒ AB = (2.38) nên từ (2.37) (2.38) suy M ′ thuộc đoạn thẳng AB Nhận xét OAB góc tù (hoặc quan sát hình vẽ) ta có √ ′ M = |z|max = OB = m = |z|min = OA = 10 √ Vậy 10 ≤ |z + 2i| ≤ √ Bài toán 2.2.40 Cho số phức z1 thỏa mãn |(1 + i)z + − 5i| = 2 số phức z2 thỏa mãn |z + + 2i| = |z + i| Chứng minh rằng: √ √ 2−4 2+4 ≤ |z1 − z2 | ≤ 2 Chứng minh Gọi M, N điểm biểu diễn số phức z1 , z2 mặt phẳng Ta có √ |(1 + i)z + − 5i| = 2 √ − 5i ⇔ |(1 + i)| z + =2 1+i ⇔ |z − − 3i| = 64 Hình 2.27 Suy M ∈ (C) có tâm I(2; 3), bán kính R = Gọi z2 = x + yi, (x, y ∈ R), từ |z + + 2i| = |z + i| ⇔ x + y + = Suy N ∈ ∆ : x + y + = Ta có: |z1 − z2 | = M N ⇒ |z1 − z2 |max ⇔ M Nmax Ta có: √ √ √ 7 2+4 d(I; ∆) = ⇒ M Nmax = d(I; ∆) + R = +2= 2 ′ Ta có |z1 − z2 | = M N ′ ⇒ |z1 − z2 |min ⇔ M Nmin Ta có √ √ √ 7 2 2−4 ′ d(I; ∆) = ⇒ M Nmin = d(I; ∆) − R = −2= 2 √ √ 2−4 2+4 Vậy ≤ |z1 − z2 | ≤ 2 √ Bài toán 2.2.41 Cho số phức z1 thỏa mãn |(1 + i)z + − 5i| = 2 số phức z2 thỏa mãn |z + + 2i| = |z + i| Chứng minh rằng: √ 2+4 |z1 − z2 − + i| ≤ 65 Chứng minh Ta có |z1 −z2 −3+i| = |(z1 −3+i)−z2 | = M N ⇒ |z3 −z2 |max ⇔ M Nmax Gọi M, N điểm biểu diễn số phức z3 , z2 mặt phẳng Hình 2.28 Ta có: √ |(1 + i)z + − 5i| = 2 √ − 5i =2 ⇔ |(1 + i)| z + 1+i ⇔ |z − − 3i| = ⇔ z − + i +1 − 4i = z3 Suy M ∈ (C) có tâm I(−1; 4), bán kính R = Gọi z2 = x + yi, (x, y ∈ R), từ |z + + 2i| = |z + i| ⇔ x+y+2=0 ⇒ N ∈ ∆ : x + y + = Ta có √ √ √ 5 2+4 d(I; ∆) = ⇒ M Nmax = d(I; ∆) + R = +2= 2 66 √ 2+4 Vậy |z1 − z2 − + i| ≤ Bài toán 2.2.42 Cho số phức z thỏa mãn |z| = Chứng minh rằng: √ |z + 1| + 2|z − 1| ≤ Chứng minh Gọi z = x + yi, (x, y ∈ R) biểu diễn điểm M (x; y) Khi |z| = ⇒ x2 + y = (C) ⇒ M ∈ (C) Ta có T = |z +1|+2|z −1| = (x + 1)2 + y +2 (x − 1)2 + y = M A+2M B Hình 2.29 Với A(−1; 0), B(1; 0) ⇒ A, B ∈ (C) AB = đường kính (C) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: √ √ √ 2 2 T = M A+2M B ≤ (1 + )(M A + M B ) = 5.AB = 5.4 = 5, √ √ suy max = Vậy |z + 1| + 2|z − 1| ≤ 67 Kết luận luận văn Đề tài luận văn đề cập đến việc sử dụng tính chất hình học để chứng minh Bất đẳng thức Luận văn hồn thành nhiệm vụ sau: Trình bày cách sơ lược tính chất tam giác, tứ giác, đường trịn tính chất tích vơ hướng, phương pháp toạ độ Đây tính chất hình học vận dụng việc chứng minh bất đẳng thức trình bày luận văn Chọn lọc cách có hệ thống số tập khó bất đẳng thức (dành cho học sinh khá, giỏi) trình bày thành nhóm, dạng trình bày, đưa lời chứng minh bất đẳng thức dựa tính chất hình học (một số đưa lời giải khác với tài liệu gốc) Với bất đẳng thức, lời chứng minh, luận văn cố gắng làm rõ số bước biến đổi trung gian để “xuất kiện hình học” sau sử dụng tính chất hình học để đưa lời giải hoàn chỉnh Đề tài luận văn cố gắng minh họa thêm hướng chứng minh bất đẳng thức cách khai thác tính chất hình học, góp phần khơi dậy hứng thú, niềm yêu thích, cảm thụ vẻ đẹp Bất đẳng thức, góp phần rèn luyện tư cho học sinh, giúp học sinh phát triển tư sáng tạo 68 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Vũ Đình Hịa, (2005), Bất đẳng thức hình học, NXB Giáo dục Hà Nội, Hà Nội [2] Trần Quang Hùng, (2011), Một số dạng Bất đẳng thức hình học, Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại học Quốc Gia Hà Nội [3] Phan Huy Khải, (2001), 10.000 tốn sơ cấp (bất đẳng thức hình học), NXB Hà Nội, Hà Nội [4] Phan Huy Khải, (2001), Các phương pháp tìm giá trị lớn giá trị nhỏ nhất, NXB Hà Nội, Hà Nội [5] Nguyễn Vũ Lương, (2004), Bất đẳng thức tam giác, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội [6] Hoàng Minh Qn, Hồng Thị Bích Ngọc, (2020), “Các chun đề chọn lọc sáng tạo chứng minh bất đẳng thức hình học”, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [7] Phan Đức Chính, Phạm Văn Điều, Đỗ Văn Hà cộng sự, (2001), “Một số phương pháp chọn lọc giải toán sơ cấp”, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [8] Tuyển chọn theo chuyên đề Toán học Tuổi trẻ (2010), NXB Giáo Dục, Hà Nội Tiếng Anh [9] Hayk Sedrakyan, Nairi Sedrakyan, (2017), Geometric Inequalities Methods of Proving, Springer 69 [10] Sedrakyan, N., Sedrakyan, H (2015), Inequalities Methods of proving 1, Kyowoo Publishing, South Korea [11] Sedrakyan, N., Sedrakyan, H (2015), Inequalities Methods of proving 2, Kyowoo Publishing, South Korea ... để “xuất kiện hình học? ?? sau sử dụng tính chất hình học để đưa lời giải hồn chỉnh Đề tài luận văn cố gắng minh họa thêm hướng chứng minh bất đẳng thức cách khai thác tính chất hình học, góp phần... luận văn Đề tài luận văn đề cập đến việc sử dụng tính chất hình học để chứng minh Bất đẳng thức Luận văn hoàn thành nhiệm vụ sau: Trình bày cách sơ lược tính chất tam giác, tứ giác, đường trịn tính. .. tính chất tích vơ hướng, phương pháp toạ độ Đây tính chất hình học vận dụng việc chứng minh bất đẳng thức trình bày luận văn Chọn lọc cách có hệ thống số tập khó bất đẳng thức (dành cho học sinh