Nếu thay đồng thời x và y cho nhau mà phương trình trên thành phương trình dưới và ngược lại Hệ đối xứng kiểu 2 thì trừ vế với vế của hai phương trình của hệ để được một phương trình h[r]
(1)PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI §1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO A PHƯƠNG PHÁP: - Nhẩm nghiệm đặc biệt - Phân tích thành nhân tử - Đặt ẩn phụ, v.v B CÁC VÍ DỤ Giải phương trình: 2x3 + 7x2 + 7x + = ĐS: x = -1; x = -2; x = -1/2 Chú ý: Đối với phương trình bậc ba ax bx cx d 0 ta cần biết các tính chất sau: Nếu a + b + c + d = thì PT có nghiệm x = Nếu a - b + c - d = thì PT có nghiệm x = -1 d x1 x2 x3 a c x1 x2 x2 x3 x3 x1 a b x1 x2 x3 a Nếu PT có ba nghiệm x1; x2 ; x3 thì: x3 m m x 3m 3m 0 Cho phương trình: a) Xác định m cho phương trình có nghiệm x = -1 b) Giải phương trình ứng với các giá trị m vừa tìm 3 Giải phương trình x 12 x 32 x x 0 HD: Nhóm dạng a2 - b2 áp dụng đẳng thức a2 - b2 = (a - b)(a + b) 4 Giải phương trình x 21x 74 x 105 x 50 0 HD: Nhận thấy x = không phải là nghiệm PT nên chia hai vế cho x2 phương trình tương đương sau đó đặt ẩn phụ để giải k d Tổng quát: ax bx cx dx k 0 có a b Cách giải ví dụ trên x 1 x x 3 x 3 Giải phương trình: HD: Nhân thừa số đầu với cuối, hai thừa số với đặt ẩn phụ x a x b x c x d k , đó a + d = b + c Cách giải ví dụ trên Tổng quát: 4 x 3 x 5 2 Giải phương trình: 35 t x x HD: Đặt x a Tổng quát: 4 x b c Cách giải ví dụ trên 2x 13 x 6 Giải phương trình: x x x x HD: Chia tử và mẫu cho x đặt ẩn phụ Cho HS nêu dạng tổng quát Giải phương trình: 3x 14 x x 0 HD: Cho HS đoán nghiệm thực phép chia đa thức cho đa thức C CÁC BÀI TẬP TỰ GIẢI Giải các phương trình sau: a) x 3x x 0 b) x x x 0 (2) x c) 2 d) x 3x 16 x x 0 4 x x 82 g) 3x 2x i) x x x x x 1 x x 0 e) x x 5 x x 8 4 h) x x 1 x 1 5 x 1 2 k) x x x 0 x 2 m) 6 x 64 2 Chứng minh x1 , x2 , x3 , x4 là các nghiệm phương trình ax bx c 0 thì x1 x2 x3 x4 0 c x1.x2 x3 x4 a 3 Xác định các số nguyên a, b cho phương trình 3x ax bx 12 0 có nghiệm x 1 x 2m 1 x 3m 1 x m 1 0 Với giá trị nào m thì phương trình có ba nghiệm dương phân biệt Giải các phương trình x 1 x x 3 x 24 ; c) x 1 x 3 x x 297 a) x x x x 0 ; b) 4 d) x x x x 0 ; e) x x 27 0 ; x 2mx 3m 0 Xét phương trình a) Với giá trị nào m thì phương trình có nghiệm b) Giải phương trình m = -1 §2 PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI A PHƯƠNG PHÁP - Trước giải cần đặt điều kiện phương trình: Biểu thức dấu bậc chẵn phải không âm Hai vế chắn cùng dấu thì bình phương phương trình tương đương Chưa có khẳng định gì dấu hai vế thi bình phương phương trình hệ đó kết phải thử lại kết luận nghiệm phương trình ban đầu g ( x) 0 f ( x ) g ( x) f ( x ) [g ( x)] - Phương trình B CÁC VÍ DỤ Giải phương trình: 5x 3x x 2 n x n x n x 0 Giải phương trình: Giải các phương trình a) x 20 x 7 Giải các phương trình sau 2 a) x 3x x 3x 30 12 x n x n x 12 x c) Giải phương trình: b) x x x x x 35 x b) d) x 2 x x 1 x 1 x x 5 Giải và biện luận theo tham số m phương trình Giải các phương trình x m x 3 34 x 1 (3) a) x 1 x 1; 1 b) x x 3 x x ; c) ; 15 2 x x 1 C CÁC BÀI TẬP TỰ GIẢI Giải các phương trình sau: x 4 x a) x x x 0 c) b) d) Giải các phương trình sau: a ) x x 1 x 16 8 x x 1 x b) x 2 x d )3 x 5 x c) x x 11 x x 11 4 Bằng cách đặt ẩn phụ thích hợp giải các phương trình sau: c) x x 3 a ) x 32 x 32 3 b)5 x 35 x 32 x x 10 d ) x x 4 x 1 x Bằng cách sử dụng định lí Vi-ét, giải các phương trình sau a) x x x 3x 3x Giải các phương trình sau a ) x x x b) x x x 3 x x b) 3x x 3x 1 x c) x x 1 x d ) x x x x 1 2 Giải phương trình x x x x x x 10 2 x mx Với giá trị nào tham số m thì phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt 2m x 1 x 0 Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt x x m Tìm m để phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt x a a x 0 10 Với giá trị nào tham số a phương trình có nghiệm và nghiệm nó thuộc đoạn [0;4] HỆ PHƯƠNG TRÌNH §1 HỆ BẬC NHẤT HAI ẨN Cho hai đường thẳng y = mx + 3m + (1); y = m(m + 2)x + 2m + (2) Tìm m để: a) Đường thẳng (1) song song với đường thẳng (2) b) Đường thẳng (1) trùng với đường thẳng (2) c) Đường thẳng (1) cắt đường thẳng (2) Tìm m để hai đường thẳng sau vuông góc với nhau: y = mx + m2 + và y = (m + 2)x + 3m - Cho a cố định, x và y thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau theo giá trị tham số a 2 P x y 1 x ay ax y b x ay c c Cho hệ phương trình a) Với b = 0, hãy giải và biện luận theo a và c b) Tìm b để với a ta luôn luôn tìm c cho hệ có nghiệm §2 HỆ BẬC HAI HAI ẨN (4) Chú ý: Nếu hệ có phương trình bậc thì có thể dùng phép Nếu thay đồng thời x và y cho mà hệ không thay đổi thì dùng phép đặt ẩn phụ S = x + y ; P = x.y (Để ý hệ có nghiệm và S2 ≥ 4P Nếu thay đồng thời x và y cho mà phương trình trên thành phương trình và ngược lại (Hệ đối xứng kiểu 2) thì trừ vế với vế hai phương trình hệ để phương trình hệ và ghép với hai phương trình đã cho để giải Nếu các hạng tử hệ có bậc giống (Hệ đẳng cấp) có thể đặt y = k.x x ≠ MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG Giải các hệ phương trình: a) x y 18 2 x y 20 b) x y 3 xy c) x xy y 2 2 x xy y 4 d) 2 x xy y 3 y xy 2 3x my x 3 y mx y x y y x 30 x x y y 35 e) Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số m : Giải các hệ phương trình sau: x y x y 5 2 3 x xy y 38 x xy y 74 x y x y 0 x y 13 x xy y 73 x xy y 15 x y 0 a) b) c) d) Giải các hệ phương trình sau: 1 x x y x 1 y 3 1 x xy y 11 x y 2 x 2 y x 1 xy x y 2 x y xy 30 a) b) x y c) d) x y 4 2 Cho hệ phương trình: x y 2 2m a) Giải hệ với m = b) Tìm tất các giá trị m để hệ phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt Giải các hệ phương trình: x y 1 2 x 1 y 1 10 x y 25 x y 20 7 x y xy 1 25 x y y x 5 y x 20 a) b) c) d) x m 1 x m 0 Tìm m để phương trình có nghiệm và tổng bình phương các nghiệm nó đạt giá trị bé Giải các hệ phương trình sau: 2 x x y 2 x y x y 2 y x y 4 x y x xy y y x y x y 3 x y 6 x x y x y 1 a) b) c) d) Giải các hệ phương trình: (5) 5 x y xy y x y 0 x 1 x y 3 y 0 2 2 xy x y x y a) (ĐHKA - 2011) b) 4 x y x 7 (ĐHKA - 2010) 2 x y 3 x y x xy y 2 c) (CĐKA-2010) 2 x y x xy m x x y 1 2m 10 Tìm m để hệ sau có nghiệm: (ĐHKB - 2011) BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC Không dùng máy tính hãy tính giá trị các biểu thức: 2 3 cos cos cos 7 P = tan1100 + cot200 Q= a) Tính các giá trị lượng giác góc 150 cos x y cos x y c) Tính tanx.tany biết d) Rút gọn các biểu thức sau: x b) Tính sin2x biết 5tan2x - 12tanx + = và cos x cos x 1 s inx sin x 3 P = sin 3x.sin x cos3x.cos x Q= Trong tam giác ABC chứng minh các đẳng thức sau: A B C A B C cos A cos B cos C 4sin sin sin sin A sin B sin C 4 cos cos cos 2 2 2 sin A sin B sin 2C 4sin A sin B sin C cos A cos B cos 2C cos A cos B cos C sin A sin B sin C 2 cos A cos B cos C cos A cos B cos C 1 cos A cos B cos C tan A tan B tan C tan A tan B tan C cot A cot B cot B cot C cot C cot A 1 A B B C C A tan tan tan tan tan tan 1 A B C A B C 2 2 2 cot cot cot cot cot cot 2 2 2 Trong tam giác ABC chứng minh các đẳng thức sau: A B C 3A 3B 3C S p tan tan tan sin A sin 3B sin 3C cos cos cos 2 2 2 2S cos A cos B cos 4C cos A cos B cos 2C a cos A b cos B c cos C R tan A tan B tan 2C tan A tan 2C tan 2C 2 a cot A b cot B c cot C 4S Trong tam giác ABC chứng minh các đẳng thức sau: A B C b2 c c2 a2 a b2 bc cos ca cos ab cos p cos A cos B cos C 0 2 a b c A B C b c cos2 c a cos a b cos 3 p a sin A b sin B c sin C cot A cot B cot C 2 a cos A b cos B c cos C R a b2 c cot A cot B cot C abc C A B a b cot b c cot c a cot 0 2 (6) a cot A b cot B c cot C 2 R r rb rc 4 R r tan A B C 4R r tan tan 2 p r cos A cos B cos C R a) Chứng minh tam giác ABC ta luôn luôn có b) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, R và r là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam A B C )r 4 R sin sin sin ; 2 giác Chứng minh: 1 ) IA.IB.IC 4 Rr Cho tam giác ABC có 4A = 2B = C Chứng minh rằng: 1 cos A cos B cos 2C a) a b c b) (7)