SKKN hướng dẫn học sinh giải nhanh một số dạng toán trắc nghiệm phương trình, bất phương trình mũ và logarit trong đề thi tốt nghiệp THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA 3 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI NHANH MỘT SỐ DẠNG TOÁN TRẮC NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT TRONG ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT Người thực hiện: Đinh Thế Ninh Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc môn: Toán THANH HOÁ NĂM 2021 1 MỤC LỤC 1 Mở đầu 2 1.1 Lý do chọn đề tài 2 1.2 Mục đích nghiên cứu 3 1.3 Đối tượng nghiên cứu 3 1.4 Phương pháp nghiên cứu 4 2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 5 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 5 2.1.1 Phương trình, bất phương trình mũ – logarit cơ bản 5 2.1.2 Phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ – logarit 5 2.1.3 Tư duy về phương trình, bất phương trình có chứa tham số 5 2.1.4 Mối quan hệ giữa phương trình và bất phương trình .6 2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 6 2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 7 2.3.1.Mục tiêu của giải pháp 7 2 3.2 Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp 7 2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 19 3 Kết luận, kiến nghị 20 3.1 Kết luận 20 3.2 Kiến nghị 20 1 Mở đầu 1.1 Lý do chọn đề tài Phương trình, bất phương trình là một vấn đề quan trọng của Toán học phổ thông, nó trải dài và xuyên suốt từ cấp học THCS lên cấp THPT Đây là một 2 vấn đề hay và khó, xuất hiện nhiều ở dạng câu phân loại mức độ cao trong các đề thi Việc giải toán phương trình, bất phương trình cũng rất đa dạng và phong phú, ngoài việc phân loại theo các dạng toán cơ bản đặc trưng chúng ta cũng có thể phân loại theo phương pháp giải toán Do sự đa dạng về dạng toán, phương pháp giải cũng như mật độ xuất hiện dày đặc trong các đề thi nên học sinh có một khối lượng lớn các kiến thức và bài tập thực hành khổng lồ Vì vậy, nếu không có chiến lược trong cách học phần kiến thức này học sinh rất dễ sa vào việc chỉ lo giải bài tập toán mà không có những định hướng tư duy phương pháp Giải bài tập Toán là phần quan trọng, không thể thiếu trong môn Toán học, làm bài tập không những giúp học sinh củng cố khắc sâu thêm kiến thức mà đồng thời còn rèn luyện khả tư duy của cho học sinh Bài tập phương trình, bất phương trình mũ và logarit là một bài toán rất quan trọng, xuất hiện nhiều trong các đề thi THPT quốc gia ở mức độ vận dụng và vận dụng cao Tuy nhiên các nội dung lí thuyết phần này trong hệ thống SGK phổ thông được trình bày khá đơn giản, và chưa có hướng xử lí nhanh cho thi trắc nghiệm khách quan (TNKQ) Điều này gây khó khăn rất nhiều cho việc tiếp thu kiến thức, hình thành dạng toán và phương pháp giải toán cho học sinh Vì vậy, thực tế yêu cầu phải trang bị cho học sinh một hệ thống các phương pháp suy luận giải toán, các kĩ năng thực hành giải nhanh phương trình, bất phương trình mũ và logarit Với ý định đó, trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi muốn nêu ra một cách xây dựng các định hướng “giải nhanh bài toán phương trình, bất phương trình mũ và logarit” theo hướng TNKQ 1.2 Mục đích nghiên cứu Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi sẽ chỉ ra nội dung phương pháp đã trang bị cho học sinh để giải toán phương trình, bất phương trình mũ và logarit cũng như các kĩ năng giải nhanh câu hỏi TNKQ Đó là: “ Hướng dẫn học sinh giải nhanh phương trình, bất phương trình mũ và logarit trong thi trắc nghiệm ” Từ đó đề ra các giải pháp nhằm nâng cao hiệu quả giải toán phương trình, bất phương trình mũ và logarit của học sinh trường THPT Hoằng Hóa 3 1.3 Đối tượng nghiên cứu Các phương pháp giải bài toán phương trình , bất phương trình mũ và logarit 3 Các kĩ thuật giải nhanh phương trình , bất phương trình mũ và logarit 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp dạy học theo hướng giải quyết vấn đề Nghiên cứu tư liệu và sản phẩm hoạt động sư phạm Phương pháp quan sát thực tế: quan sát tư duy và giải toán của học sinh Phương pháp hỏi đáp: trao đổi trực tiếp với giáo viên, học sinh về những vấn đề liên quan đến nội dung đề tài Phương pháp thống kê, phân tích số liệu 4 2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Phương trình, bất phương trình mũ – logarit cơ bản - Phương trình mũ cơ bản có dạng a x = b ( a > 0, a ≠ 1) Để giải phương trình ta sử dụng định nghĩa logarit - Phương trình logarit cơ bản có dạng log a x = b ( a > 0, a ≠ 1) Để giải phương trình ta sử dụng định nghĩa logarit - Bất phương trình mũ cơ bản có dạng a x > b ( hoặc a x < b, a x ≤ b, a x ≥ b ) với a > 0, a ≠ 1 Để giải bất phương trình ta sử dụng tính chất hàm số mũ và logarit - Bất phương trình logarit cơ bản có dạng log a x > b ( hoặc log a x ≥ b,log a x < b,log a x ≤ b ) với a > 0, a ≠ 1 Để giải bất phương trình ta sử dụng tính chất hàm số mũ và logarit 2.1.2 Phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ – logarit - Phương pháp đưa về cùng cơ số a x = a k ⇔ x = k và log a x = log a k ⇔ x = k ( k > 0 ) - Phương pháp đặt ẩn phụ Ẩn phụ t = a x hoặc t = log a x - Phương pháp mũ hóa hoặc logarit hóa Mũ hóa hai vế hoặc logarit hóa hai vế - Phương pháp hàm số Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số dạng hàm hoặc hàm đặc trưng 2.1.3 Tư duy về phương trình, bất phương trình có chứa tham số - Để giải quyết các bài toán có chứa tham số ta thường sử dụng các phương pháp cơ bản sau: Phương pháp 1: Dùng tư duy hàm số Giả sử hàm số y = f ( x ) có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên D lần lượt là M và N Với hàm phụ thuộc tham số thực m là g ( m ) , ta có: 5 + Phương trình f ( x ) = g ( m ) có nghiệm trên D ⇔ N ≤ g ( m ) ≤ M + Bất phương trình f ( x ) ≥ g ( m ) có nghiệm trên D ⇔ g ( m ) ≤ M + Bất phương trình f ( x ) ≥ g ( m ) có nghiệm với mọi x ∈ D ⇔ g ( m ) ≤ N Chú ý: Các dạng bất phương trình còn lại suy luận tương tự Trong trường hợp hàm số không có M hoặc N hoặc cả hai, chúng ta cần xem xét cụ thể trên bảng biển thiên hàm số tương ứng để xây dựng các điều kiện cho tham sô Trong một số trường hợp cần sử dụng inf hoặc sup Phương pháp 2: Xây dựng các điều kiện tương ứng cho bài toán 2.1.4 Mối quan hệ giữa phương trình và bất phương trình Định lí (*): “Hàm số f(x) liên tục trên ( x1; x2 ) và phương trình f(x) = 0 vô nghiệm trên ( x1; x2 ) Khi đó f(x) không đổi dấu trên ( x1; x2 ) ” Chứng minh: Giả sử f(x) đổi dấu trên ( x1; x2 ) suy ra tồn tại a, b ∈ ( x1; x2 ) , a < b mà f ( a) f (b) < 0 Do f(x) liên tục trên [ a; b ] nên f(x) = 0 có nghiệm trên (a; b): Trái giả thiết Từ đó ta có điều phải chứng minh Nhận xét: Như vậy, nếu biểu thức f(x) liên tục trên khoảng 2 nghiệm liên tiếp x1 < x2 thì f(x) không đổi dấu trên ( x1; x2 ) Do đó để xét dấu f(x) trên ( x1; x2 ) ta chỉ cần thử một giá trị cụ thể trên ( x1; x2 ) Khi đó việc xét dấu f(x) trên tập xác định được quy về giải phương trình f(x) = 0 trên tập xác định.Từ đó ta giải được bất phương trình liên quan đến xét dấu của f(x) 2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.2.1.Thuận lợi: Nội dung phương trình, bất phương trình được học sinh làm quen từ THCS nên gần gũi với học sinh và đa số học sinh đã biết một số thao tác cơ bản Phương trình, bất phương trình mũ và logarit xuất hiện nhiều trong các đề thi THPT Quốc Gia nên học sinh được làm quen với một khối lượng lớn các bài tập đặc sắc, phong phú, đa dạng về nội dung cũng như dạng toán 2.2.2 Khó khăn: Do đây là một nội dung khó, có nhiều câu xuất hiện trong các đề thi với tư cách là câu phân loại khó nên đa số các bài toán để giải nó là rất khó khăn Vì vậy gây cho học sinh một thói quen rằng: bài toán rất khó và không có động lực để vượt qua Do sự đa dạng về nội dung, phương pháp cũng như mức độ khó, khối lượng bài tập khổng lồ làm cho nhiều học sinh “loạn kiến thức” , không thể phân 6 biệt được các dạng bài tập và không vận dụng nổi các phương pháp giải bài toán Đa số học sinh giải toán theo thói quen, mò mẫm để giải toán chứ chưa thực sự chú trọng đến tư duy phương pháp, tư duy giải nhanh Do đó hiệu quả học và giải toán chưa cao Việc thi TNKQ đòi hỏi học sinh tư duy nhanh, giải toán nhanh, kĩ năng nhanh nên nhiều học sinh chưa đáp ứng được, nhất là phần phương trình, bất phương trình có chứa tham số dạng đáp án gián tiếp 2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 2.3.1.Mục tiêu của giải pháp Đưa ra được nội dung phương pháp giải toán , các dấu hiệu nhận biết và phương pháp giải nhanh tương ứng để giải câu hỏi trắc nghiệm khách quan (TNKQ) về phương trình, bất phương trình mũ- logarit 2 3.2 Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp 2 3.2.1 GP1: Hướng dẫn học sinh giải nhanh các bài toán cơ bản Việc hướng dẫn học sinh giải phương trình, bất phương trình mũ – logarit cơ bản là rất quan trọng Một mặt giúp học sinh nắm vững kiến thức cơ bản để tránh các sai lầm giải toán, mặt khác giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán Từ đó tăng tốc độ giải toán tiến tới mục tiêu giải nhanh các câu hỏi trong đề thi TNKQ Ví dụ 1 Tìm số nghiệm của phương trình 2 x A 4 B 3 4 +35 x 2 + 24 + x − 2 C 2 3 = 210 x +50 x+ x−2 D.1 Tư duy: Đây là phương trình mũ quen thuộc : a u( x ) = a v( x ) được mở rộng từ phương trình mũ cơ bản Việc giải phương trình này cần chú ý điều kiện xác định của các hàm số u ( x ) , v ( x ) để tránh sai lầm Lời giải Ta có: Pt ⇔ x 4 + 35 x 2 + 24 + x − 2 = 10 x 3 + 50 x + x − 2  x 4 − 10 x3 + 35 x 2 − 50 x + 24 = 0 ⇔ ⇔ x ∈ { 2;3;4} x − 2 ≥ 0 Do đó chọn đáp án B Nhận xét Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp sai lầm : Pt ⇔ x 4 + 35 x 2 + 24 + x − 2 = 10 x 3 + 50 x + x − 2 ⇔ x 4 − 10 x 3 + 35 x 2 − 50 x + 24 = 0 ⇔ x ∈ { 1;2;3;4} 7 Nguyên nhân là không chú ý điều kiện xác định của các hàm số u ( x ) , v ( x ) dẫn đến giải sai bài toán Bài toán cũng có thể giải được bằng máy tính cầm tay (MTCT) tuy nhiên không nhanh hơn cách giải tự luận Ví dụ 2 Trên đoạn [ −150;120] , bất phương trình ( ) 3 −1 110 x > ( ) 3 −1 x 2 −10200 có bao nhiêu nghiệm nguyên A 180 B 90 C 181 D 91 Tư duy: Đây là bất phương trình mũ quen thuộc : a u( x ) > a v( x ) được mở rộng từ phương trình mũ cơ bản Việc giải bất phương trình này cần chú ý điều kiện xác định của các hàm số u ( x ) , v ( x ) và cơ số a để tránh sai lầm Lời giải Ta có: Bpt ⇔ 110 x < x 2 − 10200 ⇔ − x 2 + 110 x − 10200 < 0 ⇔ x ∈ ( −∞; −60 ) ∪ ( 170; +∞ ) Kết hợp yêu cầu bài toán, bpt có 90 nghiệm nguyên Do đó chọn đáp án B Nhận xét Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp sai lầm : Bpt ⇔ 110 x < x 2 − 10200 ⇔ − x 2 + 110 x − 10200 < 0 ⇔ x ∈ ( −60;170 ) Nguyên nhân là không chú ý cơ số a = 3 − 1∈ ( 0;1) dẫn đến giải sai bài toán Ví dụ 3 Tìm tổng bình phương các nghiệm của phương trình ln( x 2 − 6 x + 7) = ln( x − 3) A 7 B 25 C 4 D 49 Tư duy: Đây là phương trình logarit quen thuộc : log a u ( x ) = log a v ( x ) được mở rộng từ phương trình logarit cơ bản Việc giải phương trình này cần chú ý điều kiện xác định của logarit để tránh sai lầm Lời giải x − 3 > 0 2 ⇔ x =5 Ta có: ln( x − 6 x + 7) = ln( x − 3) ⇔  2 x − 6 x + 7 = x − 3  Do đó chọn đáp án B Nhận xét Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp sai lầm khi không chú ý điều kiện xác định của logarit dẫn đến không loại nghiệm và chọn phương án sai C, hoặc xử lí không tốt dẫn đến chọn phương án sai A, D 8 Bài toán cũng có thể giải được bằng máy tính cầm tay (MTCT) tuy nhiên cũng không nhanh hơn cách giải tự luận Ví dụ 4 Tìm nghiệm của bất phương trình log 1 ( 3 x − 1) ≥ 3 2 3 A x ≥ 8 1 3 C x ∈  ;  3 8 3 B x ≤ 8  1 3 D x ∈  ;   3 8 Tư duy: Đây là bất phương trình logarit cơ bản : log a u ( x ) ≥ b được mở rộng từ bất phương trình logarit cơ bản Việc giải bất phương trình này cần chú ý điều kiện xác định của logarit và cơ số để tránh sai lầm Lời giải 3x − 1 > 0   1 3 3 Ta có: log 1 ( 3x − 1) ≥ 3 ⇔   1  ⇔ x ∈ 3; 8   2 3x − 1 ≤  2 ÷    Do đó chọn đáp án D Nhận xét Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp sai lầm khi không chú ý điều kiện xác định của logarit và cơ số logarit dẫn đến chọn phương án sai Bài toán giải được bằng máy tính cầm tay (MTCT) bằng cách thử nghiệm và loại trừ đáp án, tuy nhiên cũng không nhanh hơn cách giải tự luận Nhiệm vụ giải pháp: Tổng hợp giải toán các dạng cơ bản tương tự như các ví dụ trên và chỉ ra các sai lầm thường gặp 2.3.2.2 GP2: Hướng dẫn học sinh phát hiện nhanh phương pháp Việc học phương pháp và giải toán theo phương pháp là cách học toán rất hiệu quả Thông qua việc giải toán theo phương pháp giúp học sinh nắm vững cách giải toán, tăng khả năng nhận diện phương pháp giải và hoàn thiện hơn tư duy phương pháp.Từ đó tăng khả năng phát hiện và xử lí bài toán, giúp giải nhanh bài toán TNKQ Ví dụ 5 Tính tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình log 3 x.log 9 x.log 27 x.log 81 x = A 82 9 B 80 9 2 3 C 9 D 0 9 Tư duy: Việc xuất hiện log 3 x;log 9 x;log 27 x;log 81 x giúp học sinh liên hệ tới phương pháp đặt ẩn phụ logarit t = log a x, a ∈ { 3;9;27;81} Tùy kinh nghiệm học sinh mà việc chọn cơ số thuận lợi cho biến đổi giải toán Lời giải t Đặt: t = log81 x ⇔ x = 81 t t t Pt trở thành: ( log 3 81 log 9 81 log 27 81 ) t = t = 0,5 2 ⇔ 16t 4 = 1 ⇔  3 t = −0,5 1 Khi đó : x = 9 và x = Do đó chọn đáp án A 9 Nhận xét Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp sai lầm khi đặt ẩn phụ t = log81 x lại cho thêm điều kiện t > 0 nên chọn C là phương án sai Nguyên nhân là chưa nắm vững thao tác đặt ẩn phụ cho biểu thức mũ và logarit Bài toán cũng có thể giải được bằng máy tính cầm tay (MTCT) tuy nhiên không nhanh hơn cách giải tự luận Ví dụ 6 Cho hàm số f ( x ) = 2 x.7 x Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ? 2 2 A f ( x ) < 1 ⇔ x + x log 2 7 < 0 2 B f ( x ) < 1 ⇔ x ln 2 + x ln 7 < 0 2 C f ( x ) < 1 ⇔ x log 7 2 + x < 0 D f ( x ) < 1 ⇔ 1 + x log 2 7 < 0 Tư duy: Đây là bài toán dạng biến đổi bất phương trình bằng phương pháp logarit hóa Từ đó kiểm tra cẩn thận các đáp án để chỉ ra khẳng định sai Lời giải Khi logarit hóa hai vế cần chú ý tới cơ số a ∈ ( 0;1) hay a > 1 để biến đổi đúng Đáp án A đúng , vì logarit hai vế với cơ số a = 2 > 1 nên không đổi chiều BPT, và các biến đổi sau đó là đúng Đáp án B đúng, vì logarit hai vế với cơ số a = e > 1 nên không đổi chiều BPT, và các biến đổi sau đó là đúng Đáp án C đúng, vì logarit hai vế với cơ số a = 7 > 1 nên không đổi chiều BPT, và các biến đổi sau đó là đúng Đáp án D sai, vì logarit hai vế với cơ số a = 2 > 1 nên không đổi chiều BPT, nhưng biến đổi sai lầm khi rút gọn x Nhận xét Đây là một câu hỏi khá hay của đề BGD, một số học sinh rất lúng túng không tìm được cách giải thích Một số học sinh dùng MTCT thử giá trị để tìm phương án sai nhưng lại gặp bất lợi khi thói quen chọn x > 0 10 Ví dụ 7 Bất phương trình 4 x2 − 2( x +1) ≤ 2 x + 1 − x 2 có tập nghiệm là đoạn [ a; b ] 2 Tính a 2 + b 2 A 6 B 1 C 2 D 5 Tư duy: Việc xuất hiện hàm mũ có tính chất tương tự và hàm đa thức giúp học sinh liên hệ tới phương pháp hàm số Đây là câu hỏi tương đối rõ ràng về phương pháp giải toán Lời giải Bpt ⇔ 22 x + 2 x 2 = 2( 2 x +1) 2 + ( x + 1) ⇔ f ( 2 x 2 ) ≤ f 2 f ( t ) = 2t + t đồng biến trên ¡ ( ( x + 1) ) với hàm đặc trưng 2 Bpt ⇔ 2 x 2 ≤ ( x + 1) ⇔ x 2 − 2 x − 1 ≤ 0 ⇔ x ∈ [ a; b ] , a = 1 − 2, b = 1 + 2 2 Khi đó a 2 + b 2 = 6 Do đó chọn đáp án A Nhận xét Bài toán này tương đối rõ ràng về phương pháp giải toán, trong thực tế học sinh nắm vững cách nhận diện phương pháp sẽ làm rất nhanh Ví dụ 8 Cho a là số thực dương thỏa mãn a ≠ 1 và bất phương trình 15 2log a ( 23 x − 23 ) > log a ( x 2 + 2 x + 15 ) nhận x = làm một nghiệm Tìm tập 2 nghiệm của bất phương trình  17  B S =  1; ÷  2 A S = ( 2;8 ) 19   C S =  −∞; ÷ 2  D S = ( 2;19 ) Tư duy: Nhận thấy bất phương trình giải được bằng phương pháp biến đổi đưa về cùng cơ số Vấn đề cần giải quyết là cơ số như thế nào ? Lời giải Vì bpt nhận x = 2log a 15 làm một nghiệm nên: 2 299 > log 2 a 345 299 345 ⇔ log a > log a ⇔ a >1 4 2 4 2 2 Khi đó: Bpt ⇔ log a ( 23 x − 23) > log a ( x + 2 x + 15 ) ⇔ 23 x − 23 > x + 2 x + 15 ⇔ x 2 − 21x + 38 < 0 ⇔ x ∈ ( 2;19 ) Do đó chọn đáp án D Nhận xét 11 15 của 2 bất phương trình để thu được a > 1 Một số học sinh sử dụng MTCT cũng cho kết quả nhanh Bài toán nàymột số học sinh gặp khó khăn khi xử lí nghiệm x = 2.3.2.3 GP3: Hướng dẫn học sinh sử dụng MTCT để hỗ trợ giải toán Việc giúp học sinh sử dụng MTCT để hỗ trợ giải toán là thiết thực, nhất là trong thi TNKQ Sử dụng MTCT vừa giúp học sinh giảm thời gian tính toán, tăng độ chính xác vừa giúp học sinh phát triển tư duy thuật toán, khả năng loại trừ và cả khả năng đọc tình huống Tuy nhiên không nên cường điệu hóa MTCT hoặc xem nhẹ việc sử dụng MTCT, cần cho học sinh thấy được sự cần thiết đúng mức của MTCT để hỗ trợ trong quá trình giải toán Kĩ năng MTCT 1: Thử giá trị để chọn đáp án trả lời Ví dụ 9 Tìm tập nghiệm S của phương trình log A S = { 2 + 5} B S = { 2 − 5; 2 + 5} 2 ( x − 1) + log 1 ( x + 1) = 1 C S = { 3} 2  3 + 13    2   D S =  Tư duy: Đây là một câu hỏi cơ bản trong đề thi của BGD, việc thử nghiệm bằng MTCT là rất khả thi Hướng dẫn dùng MTCT Bước 1: Nhập hàm số vế trái vào MTCT Bước 2: Dùng chức năng thử giá trị (CALC), thử từng đáp án để chọn phương án trả lời Phương án đúng là A Nhận xét Trong thực tế dạy học, thời gian để học sinh giải bằng MTCT và tự luận là tương đương nhau Nhưng sử dụng MTCT có ưu điểm hơn cho các học sinh trung bình trở xuống, vì nếu làm tự luận các em vẫn gặp sai lầm khi không xét điều kiện xác định cho phương trình và biến đổi sai Ví dụ 10 Biết rằng a là số thực dương sao cho bất đẳng thức 3x + a x ≥ 6 x + 9 x đúng với mọi số thực x Mệnh đề nào sau đây đúng ? A a ∈ ( 10;12] B a ∈ ( 16;18] C a ∈ ( 14;16] D a ∈ ( 12;14] Tư duy: Đây là một câu tương đối lạ và khó, việc thử giá trị bằng MTCT là cách giải dễ nhận thấy khi làm TNKQ cho bài toán này Hướng dẫn dùng MTCT x x x x x x x x Ta có: a ≥ 6 + 9 − 3 ⇔ a ≥ f ( x ) với f ( x ) = 6 + 9 − 3 ( vì có a > 1 ) x x x Bước 1: Nhập hàm số f ( x ) = 6 + 9 − 3 vào MTCT 12 Bước 2: Dùng chức năng thử giá trị (CALC): Thay x = 1 ta được f ( 1) = 12 nên a ≥ 12 Thay x = a 1 100 1  1  ta được : f  ÷ ≈ 1,029247799 nên 100  100  ≥ 1,029247799 ⇒ a ≥ ( 1,029247799 ) 100 ≈ 17,8646578 Do đó chọn đáp án B Nhận xét Trong thực tế dạy học, học sinh không có hướng giải tự luận cho câu Vận dụng cao này Tuy nhiên, khi sử dụng MTCT để khảo sát giá trị thì rất nhiều học sinh đi đến được đáp án cần chọn Việc sử dụng MTCT chọn giá trị cũng cho học sinh trải nghiệm rất tốt, khi học sinh dùng chức năng TABLE để khảo sát giá trị f ( x ) trên các khoảng đặc trưng khác nhau và tìm giá trị x hợp lí Trên cơ sở sử dụng MTCT, học sinh có lời giải tự luận như sau: Từ thực hành MTCT dự đoán a = 18 , và tiến hành chứng minh bđt: 3x + 18 x ≥ 6 x + 9 x đúng với mọi số thực x x x x x x x x Chứng minh: 3 − 6 + 18 − 9 ≥ 0 ⇔ 3 ( 3 − 1) ( 2 − 1) ≥ 0 (10) Do (a) đúng với x = 0 và 3x − 1,2 x − 1 cùng dấu với mọi x khác 0 nên (10) đúng với mọi số thực x Như vậy MTCT không chỉ hỗ trợ tích cực trong giải toán TNKQ mà trong một số tình huống còn định hướng giải toán tự luận Kĩ năng MTCT 2: Loại trừ đáp án bằng phép chọn Ví dụ 11 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log 22 x − 2log 2 x + 3m − 2 < 0 có nghiệm thực A m < 1 2 B m < 3 C m < 0 D m ≤ 1 Tư duy: Đây là một câu hỏi trong đề thi của BGD, việc thử nghiệm bằng MTCT là có hiệu quả cho học sinh Hướng dẫn dùng MTCT Bước 1: Chọn giá trị m = 2 ta có bpt: log 22 x − 2log 2 x < 0 ⇔ 0 < log 2 x < 2 (1) 3 Thử MTCT thấy x = 2 là nghiệm nên m = 2 là một giá trị cần tìm 3 Khi đó: Đáp án B và C bị loại 13 Bước 2: Chọn giá trị m = 1 ta có bpt: log 22 x − 2log 2 x + 1 < 0 ⇔ ( log 2 x − 1) < 0 2 Bpt thu được vô nghiệm nên m = 1 không là giá trị cần tìm Khi đó: Đáp án D bị loại Bước 2: Đáp án chọn là A Nhận xét Trong thực tế dạy học, đây là câu hỏi mà việc giải bằng MTCT có ưu điểm rõ rệt so với cách làm tự luận Học sinh có nhiều cách chọn cho tham số m và hình thành kĩ năng thử ngược để loại trừ đáp án Kĩ năng MTCT 3: Khảo sát miền giá trị Ví dụ 11 Cho phương trình 4 x +1+ 3− x − 14.2 x+1+ 3− x + 8 − m = 0 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình có nghiệm 13 9 A −41 ≤ m ≤ 32 B −12 ≤ m ≤ C −41 ≤ m ≤ −32 D −12 ≤ m ≤ 1 Tư duy: Đây là một câu hỏi mức độ Vận dụng trong đề thi của trường THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội năm 2018 Việc sử dụng MTCT để giải toán có hiệu quả hơn giải tự luận, sau khi học sinh biết cô lập tham số Hướng dẫn dùng MTCT Cô lập tham số ta được: m = f ( x ) Bước 1: Mở chức năng TABLE trong MTCT và nhập hàm f ( X) =4 X +1+ 3− X − 14.2 X +1+ 3− X +8 Chọn: Start: X = −1 , End : X = 3 , Step: 4 29 Bước 2: Căn cứ bảng giá trị trên MTCT ta thu được: a ≤ m ≤ b a ≈ −40,99999983 , b = −32 Do đó chọn phương án C Nhận xét Trong thực tế dạy học, đây là câu hỏi mà việc giải bằng MTCT có ưu điểm rõ rệt so với cách làm tự luận Một số học sinh thực hiện hai lần quy trình trên khi thêm bước ẩn phụ t = x + 1 + 3 − x để đơn giản khi dùng MTCT 2.3.2.4 GP4: Kĩ thuật “chuyển về phương trình” Việc giải phương trình f ( x ) = 0 thường đơn giản hơn việc giải các bất phương trình tương ứng: f ( x ) < 0, f ( x ) ≤ 0, f ( x ) > 0, f ( x ) ≥ 0 Vì khi giải phương trình chúng ta có thể giải theo pt hệ quả, giải xong rồi mới kiểm tra các 14 điều kiện , trong khi bpt việc biến đổi đòi hỏi chặt chẽ để thu được bpt tương đương Nhờ định lí (*), chúng ta chuyển bài toán giải bpt về giải phương trình tương ứng và kết hợp MTCT (Kn MTCT) để hỗ trợ giải toán Giải bất phương trình bằng kĩ thuật “chuyển về phương trình” được thực hiện theo thuật toán sau: Bước 1: Tìm tập xác định D của bpt Chuyển bpt về dạng: f ( x) ≥ 0 (hoặc dạng tương ứng) Bước 2: Giải phương trình f ( x) = 0 Bước 3: Xét dấu của f ( x) trên tập xác định D dựa vào định lí (*) Kết luận nghiệm cho bài toán ( ) 3 3 Ví dụ 12 Giải bất phương trình: log x + log x + 35 − x > log 3 được tập nghiệm là khoảng ( a; b ) Tính S = a 3 + 2b 2 A S = 8 B S = 26 C S = 10 30 35 − x3 ta D S = 28 Tư duy: Bài toán này nếu giải trực tiếp bpt thì phải xét điều kiện và việc giải bpt ( ) 3 3 3 3 thu được: x 35 − x x + 35 − x > 30 cũng gặp nhiều khó khăn và tốn thời gian nhiều Dùng kĩ thuật “chuyển về phương trình”, việc giải toán nhẹ nhàng và thích hợp với thi TNKQ Lời giải Bước1: Tập xác định bpt: D = ( 0; +∞ ) ( ) ( ) 30 bpt ⇔ log  x x + 3 35 − x 3  > log ⇔ x 3 35 − x 3 x + 3 35 − x 3 − 30 > 0  3 3  35 − x ( ) ⇔ f ( x ) > 0 , với f ( x ) = x 3 35 − x 3 x + 3 35 − x3 − 30 trên D = ( 0; +∞ ) ( ) 3 3 3 3 Bước 2: Giải phương trình: x 35 − x x + 35 − x − 30 = 0 Đặt : y = 3 35 − x 3  xy ( x + y ) = 30  xy ( x + y ) = 30  xy = 6 ⇔ ⇔ Ta có hệ pt:  3   3 3 ( x + y ) − 3xy ( x + y ) = 35  x + y = 5  x + y = 35 x = 2 x = 3 Khi đó:  hoặc  y = 3 y = 2 Giải và kiểm tra, ta được nghiệm phương trình f ( x) = 0 là: x = 3 và x = 2 15 Bước 3: Lập bảng xét dấu của f ( x) trên D = ( 0; +∞ ) x 0 f(x) 2 − +∞ 3 0 + 0 − Căn cứ bảng xét dấu, Tập nghiệm của bpt là: ( 2;3) Do đó chọn đáp án B Nhận xét Đây là một kĩ thuật giải toán nhanh bpt, rất phù hợp với thi TNKQ Qua kĩ thuật này, thực sự học sinh thấy được mối quan hệ biện chứng giữa pt và bpt Từ bài giải, học sinh có thể đọc được tập nghệm của bpt còn lại một cách nhanh chóng và nhận thấy việc giải bpt thực chất là xét dấu của biểu thức tương ứng trên tập xác định 2.3.2.5 GP5: Hướng dẫn học sinh xử lí các bài toán chứa tham số Các bài toán chứa tham số trong pt –bpt mũ và logarit có những đặc trưng và khó khăn riêng Do đó, việc hướng dẫn học sinh xử lí các bài toán ptbpt mũ và logarit là việc làm cần thiết, nhất là đối với thi TNKQ Qua việc phân loại và thực hành giải toán giúp học sinh nắm vững các đặc trưng và có kĩ năng xử lí các khó khăn khi giải toán Sau đây là một số hướng xử lí cơ bản: Hướng xử lí 1: Các bài toán xử lí bằng MTCT Bài toán xuất hiện với các phương án chọn có dạng đáp số, thay vì giải trực tiếp chúng ta có thể dùng MTCT để xử lí (Xem 2.3.2.3 GP3 ) Hướng xử lí này sẽ không thực hiện được nếu bài toán có đáp án dạng gián tiếp Hướng xử lí 2: Cô lập tham số Đây là hướng xử lí cho lớp bài toán có thể độc lập tham số và việc giải toán có thể quy về khảo sát hàm số Dạng này xuất hiện rất nhiều trong các đề thi Ví dụ 13 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [ 0;10] để tập nghiệm của bất phương trình log 22 x + 3log 1 x 2 − 7 < m ( log 4 x 2 − 7 ) chứa khoảng ( 256;+∞ ) 2 ? A 7 B 10 C 8 D 9 Tư duy: Bài toán có thể cô lập được tham số m , và để bài toán đơn giản nên sử dụng phép ẩn phụ t = log 2 x Lời giải Đặt: t = log 2 x Khi đó: x ∈ ( 256; +∞ ) ⇔ t ∈ ( 8; +∞ ) 16 Bpt trở thành: Hàm sô f ( t ) = t 2 − 6t − 7 < m ( t − 7 ) ⇔ m > t +1 t 2 − 6t − 7 ⇔m> (*) t −7 t −7 t +1 nghịch biến trên [ 8;+∞ ) t −7 Suy ra: f ( t ) ≤ 3, ∀t ∈ [ 8; +∞ ) ⇒ f ( t ) < 3, ∀t ∈ ( 8; +∞ ) Do đó m ≥ 3 nên chọn đáp án C Nhận xét Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp sai lầm khi đặt ẩn phụ t = log 2 x mà không hạn chế lại cho t và không cô lập tham số để giải toán Ví dụ 14 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 9 x − 8.3x + 3 = m có đúng hai nghiệm thuộc khoảng ( log 3 2;log 3 8 ) B 16 A 4 C 5 D 17 Tư duy: Bài toán cô lập được tham số m , và để bài toán đơn giản nên sử dụng phép ẩn phụ t = 3x Lời giải Đặt: t = 3x Khi đó: x ∈ ( log 3 2;log 3 8 ) ⇔ t ∈ ( 2;8 ) Pt trở thành: m = t 2 − 8t + 3 2 Hàm sô f ( t ) = t − 8t + 3 trên [ 2;8] có bảng biến thiên: x 2 f '( x ) 4 8 0 3 f ( x) -9 -13 Căn cứ bbt, yêu cầu bài toán ⇔ −13 ≤ m < −9 Do đó m có 4 giá trị nguyên thỏa mãn nên chọn đáp án C Nhận xét Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp sai lầm khi đặt ẩn phụ t = 3x mà không hạn chế lại cho t và chỉ đặt điều kiện cho phương trình có hai nghiệm phân biệt bằng biệt thức ∆ Hướng xử lí 3: Xây dựng các điều kiện cho tham số 17 Lớp bài toán này rất đa dạng, việc rèn luyện cho học sinh kĩ năng xây dựng điều kiện cho tham số là một cách dạy – học toán rất hiệu quả Một mặt giúp học sinh hình thành kĩ năng xây dựng điều kiện cho các bài toán, mặt khác rèn tư duy sáng tạo cho học sinh, từ đó giúp học sinh có tố chất giải nhanh TNKQ Ví dụ 15 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình ( m + 1) 16 x − 2 ( 2m − 3) 4 x + 6m + 5 = 0 có hai nghiệm thực trái dấu A.1 B 0 C 2 D 4 Tư duy: Bài toán này cần xây dựng mối liên hệ giữa t1 , t2 với x1 , x2 qua phép ẩn phụ dạng mũ: t = 2 x Lời giải 2 Đặt: t = 4 x Pt trở thành: ( m + 1) t − 2 ( 2m − 3) t + 6m + 5 = 0 (15) Giả sử : x1 < 0 < x2 ⇔ 0 < t1 < 1 < t2 Yêu cầu bài toán ⇔ pt(15) có nghiệm t1 , t2 thỏa mãn 0 < t1 < 1 < t2 a ≠ 0  ⇔ ∆ > 0, S > 0, P > 0 ⇔ m ∈ ( −4; −1) ( t − 1) ( t − 1) < 0 1  1 Do đó m có 2 giá trị nguyên thỏa mãn nên chọn đáp án C Nhận xét Đây là bài toán mà việc xây dựng điều kiện cho bài toán làm nổi bật mối liên hệ trong phép ẩn phụ dạng mũ Qua bài toán giúp học sinh hiểu rõ bản chất khi xây dựng điều kiện cho tham số với phương trình, bất phương trình mũ Ví dụ 16 Giá trị thực của tham số m để phương trình log 32 x − 3log 3 x + 3m − 5 = 0 có hai nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn ( x1 + 3) ( x2 + 3) = 72 thuộc khoảng nào sau đây?  5  A  − ;0 ÷  3   5 B  0; ÷  3  5 10  C  ; ÷ 3 3   10  D  ;5 ÷  3  Tư duy: Bài toán này cần xây dựng mối liên hệ giữa t1 , t2 với x1 , x2 qua phép ẩn phụ dạng logarit: t = log 3 x Lời giải Đặt: t = log 3 x Pt trở thành: t 2 − 3t + 3m − 5 = 0 (16) Ta có: t = log 3 x ⇔ x = 3t x1.x2 = 3t1.3t2 = 3t1 +t2 = 33 = 27 và x1 + x2 = 3t1 + 3t2 = 3t1 + 33−t1 18 t 3−t Khi đó: ( x1 + 3) ( x2 + 3) = 72 ⇔ x1 x2 + 3 ( x1 + x2 ) = 63 ⇔ 3 1 + 3 1 = 12 Yêu cầu bài toán ⇔ pt(16) có nghiệm t1 , t2 thỏa mãn 3t1 + 33−t1 = 12 ∆ ≥ 0 t1 3−t1 ⇔ t 3 + 3 = 12 ⇔ t1 = 1 hoặc t1 = 2 Mà: 3 − t 1 1 3 + 3 = 12 Khi đó ta thu được m = 7 Do đó chọn đáp án C 3 Nhận xét Đây là bài toán mà việc xây dựng điều kiện cho bài toán làm nổi bật mối liên hệ trong phép ẩn phụ dạng mũ Qua bài toán giúp học sinh hiểu rõ bản chất khi xây dựng điều kiện cho tham số với phương trình, bất phương trình mũ 2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường Việc rèn luyện và thực hành giải Toán đã giúp học sinh tự tin và có cơ sở phương pháp để giải nhanh câu hỏi TNKQ Từ đó nâng cao dần năng lực giải Toán nói chung và giải phương trình, bất phương trình mũ và logarit nói riêng Thể hiện ở việc học sinh các lớp tôi dạy có nhiều học sinh đã vượt qua được những câu hỏi khó về phương trình, bất phương trình mũ và logarit trong các kì thi học sinh giỏi cấp Tỉnh cũng như các kì thi THPT Quốc gia năm 2020 Việc xây dựng các giải pháp, các dấu hiệu cũng như sáng tạo các kĩ thuật giải Toán không những giúp học sinh học Toán sáng tạo, kích thích tư duy, sự say mê học Toán mà còn định hướng cách học cho học sinh ở những nội dung khác của Toán học phổ thông Điều này góp phần rất lớn vào phong trào học tập của học sinh trường THPT Hoằng Hóa 3, đặc biệt là nhóm học sinh chất lượng cao, chinh phục điểm cao ở các kì thi, qua đó giúp nhà trường từng bước cải thiện và nâng dần công tác học sinh mũi nhọn Nội dung SKKN cũng đã được trình bày ở Tổ chuyên môn đến các đồng nghiệp và được các đồng nghiệp áp dụng vào thực tiễn dạy học ở trường THPT Hoằng Hóa 3 Qua thực tiễn nhiều năm đã nhận thấy tính hiệu quả cao của SKKN này cũng như đã tạo ra một cách dạy, một cách tiếp cận độc đáo đến một nội dung Toán học Nó như là bài mẫu để giáo viên có thể áp dụng cho các nội dung khác cũng như tạo nên một phong cách học Toán sáng tạo cho học sinh SKKN này cũng giúp ích bản thân rất nhiều, đặc biệt là khi trực tiếp giảng dạy học sinh Việc dạy cho học sinh lớp chất lượng cao, học sinh đội tuyển học sinh giỏi trong thực tế đã giúp bản thân rút ra nhiều kinh nghiệm quý báu, để từ đó sáng tạo ra các kĩ thuật mới, giúp cho việc dạy học trở nên thực sự tư duy và sáng tạo 19 3 Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Muốn thành công trong công tác giảng dạy trước hết đòi hỏi người giáo viên phải tâm huyết với nghề, phải đam mê tìm tòi học hỏi, phải nắm vững các kiến thức cơ bản, phải tổng hợp các kinh nghiệm áp dụng vào bài giảng SKKN này đã chỉ ra được các dạng toán, các dấu hiệu đặc trưng cũng như các kĩ thuật giải nhanh phương trình, bất phương trình mũ và logarit Giáo viên cần phải biết phát huy tính tích cực chủ động chiếm lĩnh tri thức của học sinh Trong quá trình giảng dạy phải coi trọng việc hướng dẫn học sinh con đường tìm ra kiến thức mới, khơi dậy óc tò mò, tư duy sáng tạo của học sinh, tạo hứng thú trong học tập, dẫn dắt học sinh từ chỗ chưa biết đến biết, từ dễ đến khó Trong thực tế vận dụng SKKN không những giúp học sinh trong việc định hướng giải toán với một nội dung cụ thể mà thông qua đó để học sinh thấy được rằng việc “ tư duy phương pháp ” và kĩ năng giải nhanh phương trình, bất phương trình mũ và logarit là rất tốt và có kết quả Từ đó thôi thúc học sinh tìm tòi sáng tạo để trang bị cho mình những quy trình và lượng kiến thức mới Nội dung kiến thức của SKKN là nội dung được học sinh tiếp cận nửa sau của lớp 12, do đó đối với một số học sinh trung bình và trung bình khá thì khả năng vận dụng vào giải toán còn đang lúng túng, nhất là trong các bài toán cần sự linh hoạt lựa chọn phương pháp hay khi gặp bế tắc trong giải toán học sinh thường không chuyển hướng được cách suy nghĩ để giải bài toán ( thể hiện sức “ỳ” tư duy vẫn còn lớn) Vì vậy khi dạy cho học sinh nội dung này, giáo viên cần tạo ra cho học sinh cách suy nghĩ linh hoạt và sáng tạo trong khi vận dụng giải toán Điều đó đòi hỏi người giáo viên cần phải khéo léo truyền thụ quy trình và cách giải toán linh hoạt đối với các bài toán Khả năng ứng dụng thực tiễn giảng dạy ở nhà trường của SKNN là rất cao, hầu như giáo viên nào, lớp học nào đều có thể áp dụng vào giảng dạy hiệu quả SKKN này cũng có thể mở rộng ra lớp bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cũng như tư duy phương pháp cho các nội dung khác của Toán học 3.2 Kiến nghị Qua sự thành công bước đầu của việc áp dụng nội dung này thiết nghĩ rằng chúng ta cần thiết phải có sự đổi mới trong cách dạy và học Không nên dạy học sinh theo những quy tắc máy móc nhưng cũng cần chỉ ra cho học sinh 20 những quy trình mô phỏng đang còn mang tính chọn lựa để học sinh tự mình tư duy tìm ra con đường giải toán SKKN đã tiếp cận đến một vấn đề khó và phổ dụng trong việc dạy học sinh chất lượng cao, thực tế giảng dạy ở trường THPT Hoằng Hóa 3 nhiều năm đã cho thấy hiệu quả rõ rệt Vì vậy, các giáo viên khác có thể áp dụng và sáng tạo thêm để nâng cao chất lượng học sinh mà mình giảng dạy Mong rằng qua báo cáo kinh nghiệm này các đồng nghiệp cho tôi thêm những ý kiến và phản hồi những ưu nhược điểm của cách dạy nội dung này Cuối cùng tôi mong rằng nội dung này sẽ được các đồng nghiệp nghiên cứu và áp dụng vào thực tiễn dạy học để rút ra những điều bổ ích Bài viết chắc chắn còn nhiều thiếu sót rất mong được sự đóng góp ý kiến, phản hồi của các đồng nghiệp XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 18 tháng 05 năm 2021 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác Đinh Thế Ninh 21 TÀI LIỆU THAM KHẢO ********* [1] Sách giáo khoa Giải Tích 12 – Trần Văn Hạo(tổng chủ biên ) – Vũ Tuấn(chủ biên) – NXB Giáo Dục [2] Đề thi thử THPT Quốc Gia các năm 2017, 2018 của các Sở Giáo Dục và Đào Tạo [3] Đề thi THPT Quốc Gia và các đề Minh họa, Tham khảo của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo [4] Đề thi thử THPT Quốc Gia các năm 2020, 2021 của các trường THPT trong cả nước [5] Tham khảo một số tài liệu trên mạng internet - Nguồn: http://www.vnmath.com/ - Nguồn: http://k2pi.net.vn/ 22 ... trình, bất phương trình mũ logarit kĩ giải nhanh câu hỏi TNKQ Đó là: “ Hướng dẫn học sinh giải nhanh phương trình, bất phương trình mũ logarit thi trắc nghiệm ” Từ đề giải pháp nhằm nâng cao hiệu giải. .. kiến kinh nghiệm 2.1.1 Phương trình, bất phương trình mũ – logarit 2.1.2 Phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ – logarit 2.1.3 Tư phương trình, bất phương trình có... trình, bất phương trình học sinh làm quen từ THCS nên gần gũi với học sinh đa số học sinh biết số thao tác Phương trình, bất phương trình mũ logarit xuất nhiều đề thi THPT Quốc Gia nên học sinh