Xây dựng sơ đồ sai phân để giải các phương trình đạo hàm riêng trong toán tài chính

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP CƠ SỞ XÂY DỰNG SƠ ĐỒ SAI PHÂN ĐỂ GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG TỐN TÀI CHÍNH Mã số đề tài: T2019 – 04 – 43 Xác nhận Trường Chủ nhiệm đề tài TS LÊ MINH HIẾU Đà Nẵng, Tháng 12 Năm 2019 DANH SÁCH THÀNH VIÊN THAM GIA ĐỀ TÀI VÀ ĐƠN VỊ PHỐI HỢP Danh sách thành viên tham gia nghiên cứu đề tài TT ĐƠN VỊ CÔNG TÁC HỌ VÀ TÊN Nhiệm vụ Lê Minh Hiếu Khoa Kinh tế Chủ nhiệm đề tài Trần Khánh Linh Khoa Kinh tế Thư ký Danh sách đơn vị phối hợp Tên đơn vị ngồi nước Trường CĐ Công Nghiệp Huế Nội dung phối hợp nghiên cứu Họ tên người đại diện đơn vị TS Đặng Ngọc Lập trình Hồng Thành MỤC LỤC DANH MỤC BẢNG BIỂU DANH MỤC HÌNH VẼ THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU INFORMATION ON RESEARCH RESULTS MỞ ĐẦU 12 Tính cấp thiết đề tài 12 Mục tiêu nghiên cứu 13 Đối tượng phạm vi nghiên cứu 13 Phương pháp nghiên cứu 13 Bố cục nghiên cứu 14 CHƯƠNG TỔNG QUAN LÝ THUYẾT 15 1.1 Các khái niệm lý thuyết sơ đồ sai phân hữu hạn 15 1.2 Nguyên tắc tối đa với liệu đầu vào không xác định dấu 26 1.3 Sơ đồ sai phân lưới không 28 1.4 Các phương trình đạo hàm riêng thường gặp tốn tài 29 CHƯƠNG SƠ ĐỒ SAI PHÂN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH GAMMA 32 2.1 Sơ đồ sai phân lưới 32 2.2 Sơ đồ sai phân lưới không 38 CHƯƠNG SƠ ĐỒ SAI PHÂN ĐỐI VỚI 47 PHƯƠNG TRÌNH BLACK-SCHOLES CHIỀU 47 3.1 Trường hợp đặc biệt phương trình BS chiều khơng chứa đạo hàm cấp 47 3.2 Sơ đồ sai phân lưới đồng phương trình BS chiều tổng quát 54 KẾT LUẬN 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO 57 DANH MỤC BẢNG BIỂU Số hiệu bảng Tên bảng Kết số lưới khơng theo khơng gian tốn (2.2.21), (2.2.22) 𝑇 = 0.5 với 𝜏 = 0.01 Trang 46 DANH MỤC HÌNH VẼ Số hiệu Tên hình Trang Lưới 16 Lưới khơng 17 Lưới hình chữ nhật 17 hình Nghiệm số thời điểm 𝑡 = với bước nhảy ℎ = 𝜋 31 ≈ 0.1 𝜏 = 0.1 Nghiệm xác (đường màu đỏ) nghiệm xấp xỉ (nút màu xanh) toán (2.2.21), (2.2.22) 𝑇 = 0.5 với 𝜏 = 0.01 Mô hình nút điểm 38 45 50 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ ĐƠN VỊ: KHOA KINH TẾ THƠNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thơng tin chung - Tên đề tài: Xây dựng sơ đồ sai phân để giải phương trình đạo hàm riêng tốn tài - Mã số: T2019 – 04 – 43 - Chủ nhiệm đề tài: TS Lê Minh HIếu - Thành viên tham gia: ThS Trần Khánh Linh - Đơn vị chủ trì: Khoa Kinh tế - Thời gian thực hiện: 01/2019- 12/2019 Mục tiêu Mục tiêu đề tài xây dựng sơ đồ sai phân hữu hạn đơn điệu với bậc xấp xĩ lưới đồng không đồng để giải gần toán biên-ban đầu phương trình parabol tuyến tính phi tuyến tính tốn tài chính, cụ thể phương trình Gamma phương trình Black-Scholes chiều Để thực mục tiêu này, cần phải giải vấn đề sau đây:  Hệ thống hóa lý thuyết sơ đồ sai phân cách đầy đủ phù hợp nhà kinh tế;  Xây dựng sơ đồ sai phân phương trình Gamma nghiên cứu tính chất nó;  Xây dựng sơ đồ sai phân phương trình Black-Scholes chiều nghiên cứu tính chất Tính sáng tạo Phát triển lý thuyết sơ đồ sai phân để giải xấp xỉ phương trình đạo hàm riêng, cụ thể: - Xây dựng sơ đồ sai phân đơn điệu với bậc xấp xỉ lưới đồng phương trình Gamma; - Xây dựng sơ đồ sai phân đơn điệu với bậc xấp xỉ lưới khơng đồng phương trình Gamma; - Xây dựng sơ đồ sai phân đơn điệu với bậc xấp xỉ lưới đồng phương trình Black-Scholes chiều Kết nghiên cứu Nghiên cứu thực đầy đủ mục tiêu đề tiền đề cho nghiên cứu tương lai lý thuyết sơ đồ sai phân ứng dụng tốn tài Sản phẩm 04 Bài báo khoa học: - Monotone Finite-Difference Schemes of Second-Order Accuracy for Quasilinear Parabolic Equations with Mixed Derivatives, Differential Equations (SCIE), March 2019, Volume 55, Issue 3, pp 424–436 - Difference schemes for quasi-linear parabolic equations with mixed derivatives, Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus (ESCI), Vol 63, No (2019), pp 263-269 - Finite-difference method for the Gamma equation on non-uniform grids Vietnam Journal of Science, Technology and Engineering, [S.l.], vol 61, no (2019), pp 3-8 - Finite-Difference Scheme for Initial Boundary Value Problems in Financial Mathematics VNU Journal of Science: Mathematics - Physics, [S.l.], vol 35, no (2019), pp 79-86 01 Báo cáo phân tích (Báo cáo tồn văn Báo cáo tóm tắt) Phương thức chuyển giao kết nghiên cứu, địa ứng dụng, tác động lợi ích mang lại kết nghiên cứu Phương thức chuyển giao - Báo cáo thức đề tài chuyển giao cho Trường Đại Học Kinh tế- Đại học Đà Nẵng bên có quan tâm; - Kết đề tài cơng bố tạp chí chun ngành uy tín, tài liệu khoa học có giá trị cho lĩnh vực nghiên cứu lý thuyết sơ đồ sai phân Địa ứng dụng - Trường Đại Học Kinh Tế, Đại Học Đà Nẵng; - Các sở đào tạo đại học sau đại học, viện, trung tâm nghiên cứu Tác động lợi ích kết mang lại - Kết nghiên cứu đưa vào chương trình giảng dạy dạng tài liệu tham khảo cho chương trình cử nhân, cao học nghiên cứu sinh chuyên ngành Toán ứng dụng , ngày…….tháng……năm…… _, ngày…….tháng…….năm… Đơn vị chủ trì Chủ nhiệm đề tài (Ký, họ tên) (Ký, họ tên) TS Lê Minh Hiếu INFORMATION ON RESEARCH RESULTS General information - Research Title: Construction of difference schemes for initial boundary value problems in financial mathematics - Code number: T2019 – 04 – 43 - Project Leader: PhD Le Minh Hieu - Coordinator: MBA Tran Khanh Linh - Implementing institution: Department of Economics - Duration: From 01/ 2019 to 12/ 2019 Objective(s) The objective of this project is to construct second order monotone finite difference schemes on both uniform and nonuniform grids for the initial boundary value problems (IBVP) for linear and nonlinear parabolic equations in financial mathematics, namely, Gamma equation and two-dimensional Black-Scholes equation To accomplish this goal, the following three issues need to be addressed: • Systematize the theory of difference schemes fully and appropriately for economists; • Develop difference schemes for the Gamma equation and study its properties; • Develop difference schemes for the two-dimensional Black-Scholes equation and study its properties Creativeness and innovativeness Develop the theory of difference schemes to approximate IBVP, namely: - Develop monotone difference scheme of second order of approximation in uniform grids for Gamma equation; - Develop monotone difference scheme of second order of approximation in nonuniform grids f for the Gamma equation; - Develop monotone difference scheme of second order of approximation in uniform grids for two-dimensional Black-Scholes equation Research results The study has fulfilled the set goals and is the premise for future studies on the theory of difference schemes and its application in financial mathematics Products 04 article in scientific journal: - Monotone Finite-Difference Schemes of Second-Order Accuracy for Quasilinear Parabolic Equations with Mixed Derivatives, Differential Equations (SCIE), March 2019, Volume 55, Issue 3, pp 424–436 - Difference schemes for quasi-linear parabolic equations with mixed derivatives, Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus (ESCI), Vol 63, No (2019), pp 263-269 - Finite-difference method for the Gamma equation on non-uniform grids Vietnam Journal of Science, Technology and Engineering, [S.l.], vol 61, no (2019), pp 3-8 - Finite-Difference Scheme for Initial Boundary Value Problems in Financial Mathematics VNU Journal of Science: Mathematics - Physics, [S.l.], vol 35, no (2019), pp 79-86 01 Analysis report (Full research report + Summary Report) Transfer alternatives, application institutions, impacts and benefits of research results Transfer alternatives: - Official report will be transferred to University of Economics - University of Danang and interested parties - Research results are published in prestigious specialized magazines, which are valuable scientific documents for the field of research on finite-difference schemes Application Institutions: - University of Economic, the University of Danang - Graduate and postgraduate training institutions, institutes, research centers 10 𝜕𝑢 𝜕 𝜕𝑢 𝜕𝑢 (𝑘 (𝑢) ) + 𝑟(𝑢) = + 𝑓 (𝑥, 𝑡 ), 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 (2.2.21) với điều kiện biên điều kiện ban đầu 𝑢(−𝜋, 𝑡 ) = 𝑢(𝜋, 𝑡 ) = 0, 𝑢(𝑥, 0) = 𝑢0 (𝑥) (2.2.22) liệu đầu vào: 𝑘 (𝑢) = 𝑢2 + 1, 𝑓 (𝑥, 𝑡 ) = 𝑟(𝑢) = √𝑢 + 4, 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡 ), 𝑥 ∈ [−𝜋, 𝜋], 𝑇 = 0.5, 𝑡 𝑒 ((8 + 𝑒 2𝑡 )𝑠𝑖𝑛(𝑥) − 4𝑐𝑜𝑠(𝑥) (√𝑒 𝑡 𝑠𝑖𝑛(𝑥)) − 3𝑒 2𝑡 𝑠𝑖𝑛(3𝑥)), 𝑢0 (𝑥) = 𝑠𝑖𝑛(𝑥), giả sử nghiệm xác phương trình 𝑢(𝑥, 𝑡 ) = 𝑒 𝑡 sin(𝑥) Hình Nghiệm xác (đường màu đỏ) nghiệm xấp xỉ (nút màu xanh) toán (2.2.21), (2.2.22) 𝑇 = 0.5 với 𝜏 = 0.01 Trong bảng nút không gian không sai số phương pháp chuẩn lớn ‖𝑧‖𝐶 = ‖𝑦 − 𝑢‖𝐶 = max |𝑦(𝑥, 𝑡 ) − 𝑢(𝑥, 𝑡)| (𝑥,𝑡)∈𝜔 45 sơ đồ sai phân (2.2.1) Nghiệm xấp xỉ toán (2.2.21), (2.2.22) 𝑇 = 0.5, nhận sơ đồ sai phân (2.2.1), hình Thực nghiệm tính tốn độ xác cao sơ đồ sai phân lưới không gian không Đối với sơ đồ sau phân (2.2.1) độ xác có bậc 𝑂(ℎ2 + 𝜏) đạt lưới khơng gian -2.8 -2.5 -2 -1.6 -1.4 -1 𝑥𝑖 −𝜋 -2.9 ‖𝑧‖𝐶 0.009 0.009 0.009 0.001 0.003 0.0004 0.01 0.3 0.5 1.4 1.6 2.5 𝑥𝑖 ‖𝑧‖𝐶 0.02 0.03 0.02 0.01 0.001 0.0001 0.008 0.02 -0.5 -0.3 0.02 0.01 2.8 2.9 0.02 0.015 Bảng Kết số lưới không theo không gian toán (2.2.21), (2.2.22) 𝑇 = 0.5 với 𝜏 = 0.01 46 𝜋 CHƯƠNG SƠ ĐỒ SAI PHÂN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH BLACK-SCHOLES CHIỀU 3.1 Trường hợp đặc biệt phương trình BS chiều khơng chứa đạo hàm cấp Trước xây dựng sơ đồ sai phân cho phương trình BS chiều tổng quát, xây dựng nghiên cứu sơ đồ sai phân trường hợp riêng phương trình BS chiều, tức khơng chứa đạo hàm cấp hàm số cần tìm Chúng ta xem xét phương trình (1.4.5) với Lu   L u,   , 1 L u   x  u  k (u ) x     (3.1.1) Giả sử Qt   x, t   QT : t  t1 Khi ta có kết sau Định lý 3.1.1 Đối với nghiệm u  x, t  toán (1.4.5), (3.1.1) điểm  x, t1   QT ta có đánh giá hai chiều sau đây:   (3.1.2)   (3.1.3)   u  x, t1   m1  sup 0,  ( x, t ), u0 ( x) e t1 t  , f ( x, t )e  t1 t   , Q Q t t   0     u  x, t1   m2  inf max 0, max  ( x, t ), u0 ( x) e t1 t  , max f ( x, t )e  t1 t    0 Qt1 Q  t1   Chứng minh Định lý chứng minh tương tự định lý 2.1.1 Sơ đồ sai phân Trên đoạn  0,T  xem xét lưới không với bước nhảy  theo thời gian   tn  n , n  0,1,, N , N  T     T , hình chữ nhật G ta đưa vào lưới đồng theo hướng x : h  h   h ,  h - tập nút biên,     h  xi  x1i  , x2i  , xi   i h , i  0,1,, N , h N  l ,   1, Để đơn giản sử dụng kí hiệu khơng số biến số độc lập x  xi , x  xi , t  tn , tˆ  tn1 , hàm lưới 47 g  g  x1i1 , x2i2 , tn   g  x, t  , g 11  g i1 1,i2 , g 12  g i1 ,i2 1 , gˆ  g n 1  g  x, tn 1  , g x g  g  h 1  , g x  g 1  g h Trên lưới không   h   ta xấp xỉ toán vi phân (1.4.5), (3.1.1) sơ đồ sau đây: yt    yˆ   1   yˆ   ,   (3.1.4) , 1   y  x ,   u0  x  , x   h , yˆ     x, t  , x   h , (3.1.5) h với   yˆ  a ( y ) yˆ x    yˆ  0.5  k ( y ) yˆ x   1  a ( y )   x   k x  k y     h k    k ( y)   x   ( y ) yˆ x  1   1 1  1  a ( y ) yˆ     y  a ( y ) y  yˆ    ( y ) yˆ x , a ( y )     k  k y     x 1  ( y ) yˆ x k   , x ,   ,  ( y) ,    k  0.5 k  k  0, k  0.5 k  k  0,    ,     k  k  k , k  k  k ,   fˆ , yt   y n 1  y n  /  Sai số xấp xỉ Sai số xấp xỉ sơ đồ sai phân (3.1.4)-(3.1.5) tính cơng thức:   ut    uˆ   1   uˆ     (3.1.6) , 1   Ta có: ut  uˆ uˆ h   uˆ  1   O   , a  u  uˆx  k  uˆ     k  uˆ  t x x  x 48    O  h    ,  a  u  uˆ x  k  uˆ  uˆ h   uˆ   k  uˆ  x x  x    O  h    ,  suy   uˆ  a  u  uˆ x  x   x  uˆ  k  uˆ  x     O  h     (3.1.7) Bây ta chứng minh toán tử  uˆ ,    có bậc xấp xỉ Ta xét số hạng k   (u )uˆ x  x Đặt vào khai triển u h  2u h  3u ux     x , x  , x x2 x3 x   x  h , x  , vx  v h  v   O  h2  x x2  (u )uˆ x , ta nhận với v  k k   (u )uˆ x  x   L uˆ  h  uˆ h   L uˆ   L  O  h12  h22    x x   L uˆ  h  uˆ h   L uˆ   L  O  h12  h22    , x x   L uˆ  h  uˆ h   L uˆ   L  O  h12  h22    , x x   L uˆ  h  uˆ h   L uˆ   L  O  h12  h22    x x Tương tự ta tìm k  k    k   (u )uˆ x  (u )uˆ x  (u )uˆ x  x x x Từ suy      uˆ  L uˆ  L uˆ  O  h12  h22     L uˆ  O h   ,    49 (3.1.8)   Từ (3.1.6)-(3.1.8) ta có   O h   Tóm lại, định lý sau chứng minh Định lý 3.1.2 Sơ đồ sai phân (3.1.4)-(3.1.5) có bậc xấp xỉ theo biến không gian bậc xấp xỉ theo biến thời gian Tính đơn điệu, đánh giá hai chiều đánh giá tiên nghiệm nghiệm sai phân Để ứng dụng nguyên tắc tối đa đưa sơ đồ sai phân (3.1.4) dạng tắc (1.2.1) kiểm tra điều kiện đủ (1.2.3)-(1.2.4) hệ số Trong trường hợp hệ số k (u ) có dấu khơng xác định trước mơ hình nút sơ đồ gồm điểm tạo từ nút cho từ hình sau Hình Mơ hình nút điểm Để viết hệ số An , B n , F n cần viết sơ đồ sai phân (3.1.4) dạng số Sau bước biến đổi bản, ta tìm được:  k  y n   k  y n  k12  y2n   k21  y1n  11 11 B     2h1 2h1h2   ,    k  y n   k  y n  k12  y3n   k21  y1n  11 11 B     2h1 2h1h2   ,    k  y n   k  y n  k12  y1n   k21  y4n  22 22 B     2h2 2h1h2   ,   n n n 50  k  y n   k  y n  k12  y1n   k21  y5n  22 22 B     2h2 2h1h2  n B  n B  n k12  y2n   k21  y5n  2h1h2 k12  y3n   k21  y4n  2h1h2  0, B   n  0, B   n  ,   k12  y2n   k21  y4n  2h1h2 k12  y3n   k21  y5n  2h1h2  0,  0, n n  k11  y1n  k12  y1   k21  y1  k22  y1n   n     B nj , A  1  k     h12 h1h2 h22  j 2   n k  n k11  y2n   k11  y3n  2h12  k22  y4n   k22  y5n  2h22 , D n  An   B nj  1, F n  y1n   j 2 Giả sử bước nhảy lưới h1 h2 thỏa mãn điều kiện sau: c3  c4 h1 2c1   , c3  max k21  u  , c4  max k12  u  uDu uDu 2c1 h2 c3  c4 (3.1.9) Bây chứng minh yini   m1 , m2  i  1, N  1,   1, 2, 12 n  0, N Sử dụng hàm lưới bổ sung z ( x, t )  zin1i2  yin1i2 e  tn ,   Hàm số z ( x, t ) thỏa mãn phương trình ˆ   z ze   e   zˆ  e  1  zˆ  e      tn fˆ , 1   Viết phương trình dạng tắc (1.2.1) n n 1 n n 1 A(*) z1   B(*)  K1n z1n  F(*)n , jzj j 2 n  n B(*) K1n  1, j  e B j , j  2,9, n n A(*)  e   B(*) F(*)n   f n 1e  tn j, j 2 51 (3.1.10) n Chúng ta đưa vào hệ số D(*) xác định sau n n n n  D(*)  A(*)   B(*)   0,   j  K1  e j 2 Lấy tn   Đối với hàm số z( x, t ) xảy trường hợp: 1) max  z ( x, t ) không âm, nghĩa z ( x, t )  0, ( x, t )  t ; n tn 2) max t z ( x, t ) n đạt t = cận biên, nghĩa z ( x, t )  max e  t  ( x, t ), u0 ( x) , ( x, t )  tn ; tn 3) Giá trị lớn dương đạt điểm bên  x ,t  : 0 z ( x, t )  z  x , t   max z ( x, t ) tn Rõ ràng n = ta có yi0i  u00i i   m1 , m2  với i  1, N  ,  = 1,2 Giả sử với n bất 12 12 kỳ, y   m1 , m2  Khi ta có B nj  0, j  6, 7,8,9, k n  n i1i2  k11  y1n  k12  y1n   k21  y1n  k22  y1n   n  , k  0,    , A  1  k     h12 h1h2 h22    n   k11  y1n  k12  y1n   k21  y1n  k22  y1n   n  , k  0,    , A  1  k     h12 h1h2 h22    n  Sử dụng điều kiện elip (1.4.7) đặt    1/ h1 ,1/ h2  ,     1/ h1 ,1/ h2  đảm bảo hệ số An dương Các hệ số B nj , j  2,3, 4,5 lại dương thỏa mãn điều kiện sau max m  4,5 k12  y1n   k21  ymn  k22  y1n   k22  ymn   k11  y1n   k11  ymn  h1  h2 m2,3 k21  y1n   k12  ymn  Thật vậy, m  2,3 k11  y1n   k11  ymn  k21  y1n   k12  ymn   uDu k11 (u ) max k21 (u )  max k12 (u ) uDu 52 uDu  2c1 , c3  c4 (3.1.11) max m  4,5 k12  y1n   k21  ymn  k22  y   k22  y n n m   max k21 (u )  max k12 (u ) uDu uDu uDu k11 (u )  c3  c4 , 2c1 nên hệ bất đẳng thức (3.1.11) thỏa mãn, hay B nj  0, j  2,3, 4,5 Khi điểm cực trị  x , t  sở đánh giá (1.2.5) từ phương trình (3.1.10) ta nhận z ( x, t )  z ( x , t )    f ( x , t )e   t  e 1   e 1 max f ( x, t )e  t ,   tn Từ ba trường hợp 1)-3) hàm số z( x, t ) thỏa mãn đánh giá    z ( x, t )  max 0, max e  t  ( x, t ), u0 ( x) ,  max f ( x, t )e  t  , e  tn1  tn1  mà từ ta suy    t t  t t  y ( x, tn 1 )  m2n 1  inf max 0, max e  n1   ( x, t ), u0 ( x) ,  max f ( x, t )e  n1    0   tn1 e  tn1   (3.1.12) Tương tự ta nhận đước đánh giá    t t  t t  y ( x, tn 1 )  m1n 1  sup 0, e  n1   ( x, t ), u0 ( x) ,  f ( x, t )e  n1   e  tn1  0  tn1  (3.1.13) Vì   e 1   ,  ,  0, nên từ (3.1.2)-(3.1.3) (3.1.12)-(3.1.13) ta có: m1  m1n 1 , m2n 1  m2 , nghĩa yini1   m1 , m2  , i  1, N  1,  = 1,2 Trong trường hợp ta nói đánh giá sai phân 12 kế thừa tính chất tốn vi phân Vậy định lý sau chứng minh Định lý 3.1.3 Giả sử thỏa mãn điều kiện (3.1.9) Khi sơ đồ sai phân (3.1.4)-(3.1.5) đơn điệu vơ điều kiện (khơng có ràng buộc  h ,   1, ) nghiệm điểm  x, tn 1    ta có đánh giá hai chiều dạng (3.1.12)-(3.1.13) 53 3.2 Sơ đồ sai phân lưới đồng phương trình BS chiều tổng quát Quay lại với phương trình (1.4.5)-(1.4.7), kế thừa kết phần 3.1, ta có định lý sau đây: Định lý 3.2.1 Đối với nghiệm u  x, t  toán (1.4.5)-(1.4.7) điểm  x, t1   QT ta có đánh giá hai chiều sau  f ( x, t )e t1 t       t1 t  u  x, t1   m3  sup 0,  ( x, t ), u0 ( x) e , , Q Q t1 t1   q( x)    0   (3.2.1)  f ( x, t )e t1 t      t t u  x, t1   m4  inf max 0, max  ( x, t ), u0 ( x) e   , max ,   0 Qt1 Qt1   q ( x )     (3.2.2) đây, 0  max q( x)   q( x) xG xG Để xây dựng sơ đồ sai phân hữu hạn tương ứng với bậc xấp xỉ theo biến không gian O  h12  h22    phương trình có tồn đạo hàm bậc sử dụng ý tưởng A.A Samarskii [1] Các đạo hàm có (1.4.6) thay mối quan hệ sai phân hữu hạn lưới đồng   h   :   uˆ  uˆ   (u ) a (u )uˆ x  k (uˆ )   r (uˆ ) x  x  x   x  b (u )uˆ x  b (u )uˆ x  O  h2    ,  (u )  1  R (u )  , R  0.5 r (u ) h / k (u ), 1 b (u )  r (u ) / k (u ), r (u )  0.5  r (u )  r (u )  ,    ,  1 x    uˆ  k (uˆ ) x   2     uˆ  O  h1  h2      ,1 Kết nhận sơ đồ sai phân bậc xấp xỉ theo biến không gian sau 54 yt    1    ( y ) a ( y ) yˆ x    x  b ( y ) yˆ x  b ( y ) yˆ x  y  x ,   u0  x  , x   h ,   yˆ  dy   ,  ,  1   yˆ     x, t  , x   h , h (3.2.3) (3.2.4) đây, d ,  hàm số đó, ví dụ lấy d (x)  q( x), ( x, t)  f ( x, t), ( x, t)  Để sơ đồ (3.2.3)-(3.2.4) đơn điệu (thỏa mãn nguyên tắc tối đa) phải thỏa mãn điều kiện đủ sau với x  h t    c3  c4  1  Rmax,2  2c1  r (u ) h1 2c1  , Rmax,  0,5h max  uDu k (u ) h2  c3  c4  1  Rmax,1   (3.2.5) Một cách tương tự chứng minh định lý sau đây: Định lý 3.2.2 Giả sử với x  h t   thỏa mãn điều kiện (3.2.5) Khi sơ đồ sai phân (3.2.3)-(3.2.4) đơn điệu vơ điều kiện (khơng có ràng buộc  h ,   1, ) nghiệm điểm  x, tn    đánh giá hai chiều sau đúng:   f ( x, t )e tn t     t t y ( x, tn )  m3n  sup 0, e  n   ( x, t ), u0 ( x) , , tn tn 1   q  e   0     (3.2.6)   f ( x, t )e tn t     t t y ( x, tn )  m4n  inf max 0, max e  n   ( x, t ), u0 ( x) , max   0 tn tn 1   q  e       (3.2.7) Nhận xét 3.2.1 Vì  1   q  e  1  ,  ,  0, q nên từ (3.2.1)-(3.2.2) (3.2.6)-(3.2.7) ta có m3  m3n , m4n  m4 , ý nghĩa ta nói đánh giá sai phân kế thừa tính chất toán vi phân 55 KẾT LUẬN Các vấn đề dẫn đến giải phương trình vi phân phi tuyến xuất nhiều lý thuyết đàn hồi, tốn tài chính, hóa học vật lý, sinh học lĩnh vực khác Sự cần thiết phải giải vấn đề tạo phát triển nhanh chóng phương pháp số Nhờ tính đơn giản tính linh hoạt, phương pháp sai phân hữu hạn thường nhà nghiên cứu sử dụng Trong báo cáo khoa học này, nhóm tác giả đạt kết sau đây: - Phát triển sơ đồ sai phân đơn điệu không điều kiện với bậc xấp xỉ lưới sở nguyên tắc qui tốn biên phương trình Gamma Các đánh giá hai chiều nghiệm sai phân chứng minh Các đánh giá cho phép không chứng minh tính khơng âm nghiệm xác mà cịn tìm điều kiện đủ liệu đầu vào toán phi tuyến parabol Các đánh giá tiên nghiệm chuẩn 𝐶 nghiệm sau phân chứng minh - Đề xuất sơ đồ sai phân bậc lưới không đồng để xấp xỉ tốn biênban đầu phương trình parabol phi tuyến tính, cụ thể phương trình Gamma chiều Các đánh giá hai chiều đánh giá tiên nghiệm nghiệm sai phân chứng minh Chú ý đánh giá hai chiều nghiệm xấp xỉ hoàn toàn phù hợp với đánh giá hai chiều nghiệm xác tốn vi phân ban đầu Hơn nữa, giá trị lớn nhỏ nghiệm sai phân không phụ thuộc vào hệ số đối lưu khuếch tán - Xây dựng sơ đồ sai phân đơn điệu vô điều kiện với bậc xác tốn biên-ban đầu phương trình parabol giả tuyến tính BS chiều có tồn đạo hàm bậc Các đánh giá hai chiều chứng minh hoàn toàn phù hợp với đánh giá nghiệm xác, đồng thời đánh giá tiên nghiệm quan trọng thiết lập chuẩn maximum Các kết tảng để nhóm tác giả phát triển lý thuyết sai phân tốn tài thời gian tới 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Самарский А А Теория разностных схем М.: Наука, 1977 [2] M Jandacka and D Sevcovic, On the risk-adjusted pricing-methodology-based valuation of vanilla options and explanation of the volatility smile, J of Appl Math., (2005), P 235–258 (DOI: http://dx.doi.org/10.1155/JAM.2005.235) [3] M N Koleva and L G Vulkov, A second-order positivity preserving numerical method for Gamma equation, Appl Math and Comput., 220 (2013), P 722–734 (DOI: https://doi.org/10.1016/j.amc.2013.06.082) [4] A Friedman, Partial Differential Equations of Parabolic Type, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1964 [5] O A Ladyzhenskaya, V A Solonnikov and N N Uraltseva, Lineinye i kvazilineinye uravneniya parabolicheskogo tipa (Linear and Quasilinear Equations of Parabolic Type), Moscow: Nauka, 1967 [6] A Samarskii, V Mazhukin, D Malafei and P Matus, Difference schemes on nonuniform grids for equations of mathematical physics with variable coefficients, J Vychisl Mat Fiz 41 (3) (2001), P 407–419 (in Russian) 57 THUYẾT MINH, HỢP ĐỒNG 58 SẢN PHẨM KHOA HỌC 59 ... đề tài Vì cần phải sử dụng Phương pháp số để giải gần phương trình đạo hàm riêng tốn tài chính? Trong tốn học, phương pháp sai phân hữu hạn phương pháp số sử dụng để giải phương trình vi phân cách... phương trình đạo hàm riêng, cụ thể: - Xây dựng sơ đồ sai phân đơn điệu với bậc xấp xỉ lưới đồng phương trình Gamma; - Xây dựng sơ đồ sai phân đơn điệu với bậc xấp xỉ lưới không đồng phương trình Gamma;... tài 29 CHƯƠNG SƠ ĐỒ SAI PHÂN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH GAMMA 32 2.1 Sơ đồ sai phân lưới 32 2.2 Sơ đồ sai phân lưới không 38 CHƯƠNG SƠ ĐỒ SAI PHÂN ĐỐI VỚI 47 PHƯƠNG TRÌNH