Các mode dao động quang trong dây lượng tử tự do

Sự giam giữ các mode dao động quang trong dây lượng tử chế tạo bằng vật liệu bán dẫn phân cực được mô phỏng bằng lí thuyết lai cặp ba giữa các mode quang dọc (LO), quang ngang (TO), và dao động bề mặt (IP). Trong công trình này tập trung mưu tả các mode LO, TO, IP một cách riêng lẻ có sử dụng hai điều kiện biên cơ và điện từ.

TẠP CHÍ KHOA HỌC − SỐ 8/2016 CÁC MODE DAO ĐỘ ĐỘNG QUANG TRONG DÂY LƯỢ LƯỢNG TỬ TỬ TỰ TỰ DO Đặng Trần Chiến1(1), Nguyễn Anh1, Nguyễn Sỹ Hải1, Tạ Anh Tấn2 Trường Đại học Tài nguyên Môi trường Hà Nội Trường Đại học Thủ Hà Nội Tóm tắ tắt: Chúng tơi áp dụng mơ hình liên tục biên vật liệu để mơ tả phonon quang dọc (LO) dây lượng tử tự Sự giam giữ mode dao ñộng quang dây lượng tử chế tạo vật liệu bán dẫn phân cực mơ lí thuyết lai cặp ba mode quang dọc (LO), quang ngang (TO), dao động bề mặt (IP) Trong cơng trình tập trung mưu tả mode LO, TO, IP cách riêng lẻ có sử dụng hai ñiều kiện biên ñiện từ Từ khoá: khoá LO, TO, IP, ñiều kiện biên ñiện từ MỞ ĐẦU Một lí làm cho cấu trúc nanơ đặc biệt quan tâm tính chất ñiện tử dao ñộng chúng bị biến dạng chúng trở thành thấp chiều ñối xứng thấp Hệ chuẩn chiều (quasi-one-dimesional) ý chúng cho hàng loạt tượng vật lí hấp dẫn Khi áp dụng thiết bị vi điện tử vận chuyển hạt tải chúng ñược ñặc biệt ý Kể từ Sakaki [3] tiên đốn tăng cao ñộ linh ñộng tán xạ không tinh khiết xa gây nên, tương tác electron với phonon quang dọc (LO) ñã ñược nhiều tác giả nghiên cứu cho phonon phonon khối hiệu ứng giam giữ phonon ñược bỏ qua Điều làm cho vấn ñề trở nên đơn giản Trong hệ hai chiều tương ứng (ví dụ giếng lượng tử GaAs/AlxGa1-xAs), hàng loạt nghiên cứu hiệu ứng giam giữ phonon tạo thay ñổi quan trọng việc vận chuyển hạt tải [6, 7] Trong báo này, quan tâm ñến giam nhốt mode quang dây lượng tử Vấn ñề ñã ñược nhiều nhà vật lí lí thuyết quan tâm nghiên cứu như: cơng trình [4] nghiên cứu mode quang dọc rõ tán sắc chúng tính tốc (1) Nhận ngày 05.8.2016; gửi phản biện duyệt ñăng ngày 15.9.2016 Liên hệ tác giả: Đặng Trần Chiến; Email: dtchien@hunre.edu.vn TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ H NỘI ñộ chuyển mức electron ñối với dây free-standing dây có mơi trường ngồi bao quanh Tuy nhiên cho ñến hệ chuẩn chiều, nghiên cứu tập trung nhiều vào tác ñộng phonon quang bị giam giữ lên tính chất vận chuyển electron dây mà bỏ qua tác dụng giam giữ mode dao ñộng quang ngang (TO) ảnh hưởng lượng tử ánh sáng liên kết với mode TO Mơ hình nghiên cứu sợi GaAs đặt tự (môi trường vật liệu thứ chân khơng, (hình 1) Hình Mơ hình nghiên cứu CÁC MODE DAO ĐỘNG QUANG TRONG DÂY LƯỢNG TỬ Áp dụng lí thuyết liên tục cho bán dẫn khối ñiều kiện liên tục biên ñể giải toán cho sợi dây tự (free standing wires) có bán kính R0 chiều dài L Như ñiều kiện biên áp dụng ñây tiến tới dịch chuyển biên Bài toán sợi dây hình trụ có chiều dài L bán kính R0 sử dụng hệ toạ độ trụ tính chất đối xứng dây (hình 1) Chọn trục z hướng theo chiều dài dây Các biểu thức div, rot tốn tử laplaxien viết sau: 1 ∂ ∂2 ∂ ∂2  ∇ 2u =  ( r u) + ( u) + r u  r  ∂r ∂r r ∂ϕ ∂z  [∇× u] = (1)   ∂ ( L) ∂ ∂ ∂  uz (r,ϕ, z) − ( ruϕ ( L) (r,ϕ, z))  er +  ur ( L) (r,ϕ, z) − uz ( L) (r,ϕ, z) eϕ  r  ∂ϕ ∂z ∂r  ∂z    1 ∂ ∂ +  ( ruϕ ( L) (r,ϕ, z) ) − ur ( L) (r,ϕ, z) ez = r  ∂r ∂ϕ  (∇.u ) = 1r u (r,ϕ, z) + ∂∂r u (r,ϕ, z) + 1r ∂∂ϕ u (r,ϕ, z) + ∂∂z u (r,ϕ, z) ( P) r r ϕ z (2) (2) (3) Các mode quang dọc (LO mode) Để tìm phương trình cho độ dịch chuyển mode LO dây sử dụng (1) ta được:  ∂ ∂2  ∂2 ∂2 + 2+ + + k 2L  u L =  r ∂ϕ ∂z  r ∂r ∂r  (4) TẠP CHÍ KHOA HỌC − SỐ 8/2016 Nghiệm (4) ñược tìm dạng: u ( L ) (r , ϕ , z ) = A.u ( L ) (r ).eisϕ eiqz z (5) Thay (5) vào phương trình (4) được:  ∂ ∂2  ∂2 ∂2 + 2+ + + k  A.u( L ) (r ).eisϕ eiq z z =  r ∂ϕ ∂z  r ∂r ∂r  (6) Có thể viết lại: ∂ ( L) ∂ (L) m2 ( L) u ( r ) + u ( r ) − u ( r ) − q z 2u ( L ) ( r ) + k L u ( L ) ( r ) = ∂r r ∂r r2 (6a) Phương trình (6a) phương trình vi phân với biến r ta viết lại chúng sau:  m2 ( L ) d ( L) d ( L) ( L)  ( L) ( r ) + ( r ) + u u  − u (r ) − q z u (r ) + k L  u (r ) = dr r dr  r  (7) (q ) (8) Đặt: L sp = k L2 − q2z = (ωL2 − ω )β −2 − q2z Ta ñược:  L m2  ( L ) d (L) d (L) ( ) + ( ) + u r u r  ( q sp ) −  u (r ) = dr r dr r   (9) Đưa vào biến số χ s , p = q sL, p r sau đặt chúng vào phương trình (9) sau biến ñổi, thu ñược phương trình sau: d2 dχ s, p u( L ) (r ) + d χ s, p d χ s, p u ( L ) (r ) + (1 − m2 χ s, p )u ( L ) (r ) = (10) Đây phương trình Bessel, theo điều kiện tốn ( r ≤ R0 ) nên (2.10) có nghiệm dạng thứ nhât hàm Bessel hàm J s ( χ s , p ) Ta tìm ñược nghiệm phương trình (1) sau: u ( L ) ( r , ϕ , z ) = AJ s ( χ s , p ) eisϕ eiq z z (11) Sử dụng ñiều kiện thứ mode quang dọc: [∇ × u ] = , viết toạ độ trụ: [∇ × u ] =   ∂ ( L) ∂ ∂ ∂  uz (r , ϕ , z ) − ( ruϕ ( L ) (r , ϕ , z ) )  er +  ur ( L ) (r , ϕ , z ) − uz ( L ) (r , ϕ , z )  eϕ  r  ∂ϕ ∂z ∂r  ∂z    1 ∂ ∂ ( L) +  ( ruϕ ( L ) (r , ϕ , z ) ) − ur (r , ϕ , z )  e z = r  ∂r ∂ϕ  (12)(12) TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ H NỘI Thay (11) vào (12) lấy ñạo hàm ý véc tơ ñơn vị độc lập tuyến tính nên ta tìm phương trình cho độ dịch chuyển ion mode LO dây là:  L −iq sL, p ' u = A J m ( q sL, p r ) eisϕ eiq z z  r z qz   L m J s ( q sL, p r ) eisϕ eiq z z uϕ = Az r q z  u L = A J q L r eisϕ eiq z z z s ( s, p )  z  (13) Hay viết:  −iq sL, p '  m u = Asp  J m ( q sL, p r ) ; J s ( q sL, p r ) ; J s ( q sL, p r )  eisϕ eiq z z rq z  k z  L (14) Trong đó: Az ta ñã thay Asp hệ số mode, q sL, p véc tơ sóng xác định χ s , p = q sL, p r với χ s , p nghiệm hàm Bessel Js,p( χ s , p ) p số nghiệm hàm Bessel Các mode dao ñộng interface polariton (IP) Các mode quang ngang TO thoả mãn ñiều kiện ∇.u = with Οu ≠ có phương trình cho độ dịch chuyển là:  ω   ω2 2 2 2 2 2    ε 0ωT − ε ∞ω  +  ε ∞ βb + ωT − ω  ∇ + βb ∇ ∇  u =  c  c  (15) Theo [9] mode TO có hướng vng góc với bề mặt phân cách môi trường vật liệu bán dẫn tương tác với photon trở thành polariton Tại bề mặt vật liệu, bỏ qua hiệu ứng trễ tức coi vận tốc c ánh sáng lớn vơ ta thu mode interface polariton (IP) Mode giảm nhanh tiến xa mặt phân cách hai mơi trường sóng điện từ Khi xét ñến mode ngang, chọn trục z theo chiều dài dây, nên mode TO có hướng truyền tiến bề mặt dây tương tác mạnh với ánh sáng tạo polariton Theo [5] ñộ dịch chuyển mode polariton thoả mãn phương trình: ω 2 2 2  ε 0ωT − ε ∞ω  + (ωT − ω ) ∇  u = c  (16) Giải phương trình tương tự mode LO, ta thay biểu thức vi phân cấp theo toạ ñộ trụ vào phương trình đồng thời đặt: TẠP CHÍ KHOA HỌC − SỐ 8/2016 ω2 ε ω − ε ∞ω   L c k = ωL2 − ω 2 p (17) Chúng ta tìm phương trình chuyển động cho mode IP là: {∇ + k 2p } u = (18)  s2  p d2 p d p u r u r ( ) + ( ) +  q p −  u (r ) = dr r dr r   (19) Ở ñây ta ñã ñặt: q 2p = k 2p − q 2z Phương trình (19) phương trình Bessel Để ý ñến biểu thức: q 2p = k p2 − q 2z = 2 ω  ε ω T − ε ∞ ω  − q 2z 2 c ωT − ω Đồng thời, mode IP ñược xét giới hạn bỏ qua hiệu ứng trễ tức 1/c2 =0, nên q 2p = −q 2z (20) Từ (20) ta thấy véc tơ sóng mode IP bắt buộc phải phần ảo, ta phải có: (21) q p = − iq z Vậy phương trình (19) trở thành:  s2  p d2 p d p ( ) + ( ) − u r u r  q z +  u (r ) = dr r dr r   (22) Phương trình (22) nghiệm mode IP tìm có dạng sau: u p ( r , ϕ , z ) = C I s ( r ) e isϕ e iq z z (23) Biểu thức ( ∇.u ( P ) ) ñược viết toạ ñộ trụ sau: (∇.u ) = 1r u ( P) ( P) r (r,ϕ, z) + ∂ ( P) ∂ ( P) ∂ ur (r,ϕ, z) + uϕ (r,ϕ, z) + u(zP) (r,ϕ, z) = ∂r r ∂ϕ ∂z (24) Thay (23) vào (24) lấy ñạo hàm có is Cr Is (qz r) + Cr kz Is' (qz r) + Cϕ Is (qz r) + iCzqzIs (qz r) = r r Sử dụng (25) ta tìm mode IP sau: (25) TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ H 10 NỘI Mode IP thứ Từ nhận xét tính chất Mode IP dây ta thấy ngồi thoả mãn (25) mode IP cịn trực giao với mode LO ta chọn mode IP1 trực giao với trục z tìm phương trình mode IP1 sau: η  i  u(1 p ) = Csp 1; ;0  eisϕ eiq z z I m (q z r )  s I s ( q z R0 )  (26) Trong ta đặt: η = ( s + 1) I s ( q z R0 ) − R0q z I s +1 ( q z R0 )  (27) Cr ñã ñược thay Csp hệ số mode, qz véc tơ sóng dọc theo trục dây Mode IP thứ hai Mode IP2 thoả mãn tính chất mode IP1 đồng thời lại trực giao với mode IP1 ta tìm phương trình mode IP2 là: u ( p)  isq ( q R ) i η − s 2I s2 ( q z R0 )    = Bsp 1; s z ; η η I s ( q z R0 ) q z R0   isϕ iq z  I s (q z r )e e z  (28) KẾT LUẬN Chúng tơi xây dựng tường minh mode dao ñộng LO IP1, IP2 mode tương tác phonon quang ngang TO với photon tạo thành polariton Trong nghiên cứu tới chúng tơi sử dụng ñiều kiện biên liên tục sợi dây tự tìm phương trình chuyển động mode hybrid LO, IP1, IP2 dây lượng tử bán dẫn phân cực Lượng tử hố lần thứ tìm hạt lai hybridons hệ thức tán sắc chúng Sử dụng phương pháp hàm bao ñể giải tốn cho electron sợi dây lượng tử Sau dùng lí thuyết nhiễu loạn Dirac để thành lập biểu thức xác ñịnh tốc ñộ tán xạ thời gian hồi phục cho electron dây lượng tử cấu trúc TẠP CHÍ KHOA HỌC − SỐ 8/2016 11 Phụ lục XÁC ĐỊNH MODE QUANG DỌC (LO) Xét phương trình (12), véc tơ đơn vị theo trục độc lập tuyến tính thu hệ phương trình sau: ∂  ∂ (L) u − ( r , ϕ , z ) ruϕ ( L) (r ,ϕ , z ) ) ( z  ∂ϕ ∂z  ∂ ( L)  ∂ ( L)  u r ( r ,ϕ , z ) − u z ( r , ϕ , z ) ∂r  ∂z ∂ ( L) ∂ (L)  ∂r ( ruϕ (r ,ϕ , z ) ) − ∂ϕ u r (r ,ϕ , z )  (P.1) Ta ñi tìm nghiệm thành phần theo trục toạ ñộ trụ dạng sau: u rL (r , ϕ , z ) = A r J S ( χ SP ) eisϕ eiq z z  L isϕ iq z uϕ (r , ϕ , z ) = Aϕ J S ( χ SP ) e e z  L isϕ iq z z u z (r , ϕ , z ) = A z J S ( χ SP ) e e (P.2) Trong đó: A r , A ϕ , A z hệ số Thay (A.2) vào (A.1) lấy đạo hàm ta tìm ñược: isAz J s ( χ sp ) eisϕ eiqz z − riq z Aϕ J m ( χ sp ) eisϕ eiq z z =   ' isϕ iq z L isϕ iq z iq z Ar J s ( χ sp ) e e z − q sp Az J m ( χ sp ) e e z =  isϕ iq z L ' isϕ iq z isϕ iq z  Aϕ J s ( χ sp ) e e z + q sp rAϕ J s ( χ sp ) e e z − isAr J s ( χ sp ) e e z = (P.3) Giải hệ phương trình (A.3) ta biểu diễn ñược hệ số A r , A ϕ qua A z s   Aϕ = Az rq z   L J' qL r  A = A −iq sp s ( sp ) z  r q z J s ( q spL r )  Thay (A.5) vào (A.2) ta tìm phương trình ñộ dịch chuyển cho mode LO  −iq spL ' L  s L u (Lr ,ϕ , z ) = Az  J s ( q sp r ) ; J s ( q sp r ) ; J s ( q spL r )  eisϕ eiq z z rq z  q z  (P.4) TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ H 12 NỘI XÁC ĐỊNH CÁC MODE INTERFACE POLARITON (IP) Sử dụng phương trình: ( P) ∂ ∂ ( P) ∂ ur (r,ϕ, z) + ur( P) (r,ϕ, z) + uϕ (r,ϕ, z) + uz( P) (r,ϕ, z) = ∂r ∂z r r ∂ϕ Thay (22) vào (24) lấy ñạo hàm ta ñược: is Cr Is (qz r) + Crqz Is' (qz r) + Cϕ Is (qz r) + iCzqz Is (qz r) = r r (P.5) Sử dụng tinh chất ñạo hàm hàm Bessel: I s' ( q z r ) = s I s ( q z r ) − I s +1 ( q z r ) qzr (P.6) Chúng ta ñược: is Cr ( s +1) Is ( qz r ) − Cr rqz Is+1 ( qz r )  + Cϕ Is ( qz r ) + iCzqz Is ( qz r ) = r r (P.7) Với ý phương trình mode phải cho tồn vật liệu phải cho điểm nằm biên, ta có hệ thức sau Cr is ( s +1) Is ( qz R0 ) − R0qz Is+1 ( qz R)0  + Cϕ Is ( qz R0 ) + iCzqz Is ( qz R0 ) = R r (P.8) Đặt: η = ( s + 1) I s ( q z R0 ) − R0q z I s +1 ( q z R0 )  (P.9) Ta viết lại (P.8) Cr is η + Cϕ Is ( qz R0 ) + iCzqz Is ( qz R0 ) = R0 r (P.10) Như ta nói vật liệu ln tồn hai mode dao động ngang trực giao mode IP tồn hai mode trực giao Mode IP thứ Để tìm mode IP thứ ý mode IP trực giao với mode LO tính chất ñối xứng vật liệu theo toạ ñộ trụ ta xoay hệ toạ độ cho mode IP thứ trực giao với trục z ta có: u( P ) e z = (P.11) u( P ) e z = uz = Cz eisϕ eiq z z I s (q z r ) = (P.12) Hay: TẠP CHÍ KHOA HỌC − SỐ 8/2016 13 Và thành phần theo trục z mode IP thứ Từ ñiều kiện mode IP divu = có: Cr is ( s +1) Is ( qz R0 ) − R0qz Is+1 ( qz R)0  + Cϕ Is ( qz R0 ) + iCzqz Is ( qz R0 ) = R0 r (P.13) Ta tìm được: Cϕ = Cr i η s Is ( qz R0 ) (P.14) Thay (P.14) vào (22) phương trình độ dịch chuyển cho mode IP thứ nhất:   iη u(1 p ) = C 1; ;0 eisϕ eiqz z I s (q z r )  sI s (q z R0 )  Mode IP thứ Như nói mode IP thứ hai trực giao với mode thứ ta có phương trình sau: Br Ceisϕ eiqz z Is (qz R0 )eisϕ eiqz z Is (qz R0 ) + BϕC Br + Bϕ i η eisϕ eiqz z Is (qz R0 )eisϕ eiqz z Is (qz R0 ) = (P.15) s Is ( qz R0 ) isI ( q R ) η i = ⇒ Bϕ = Br s z η s I s ( q z R0 ) (P.16) Hoàn toàn tương tự mode IP thứ hai phải thoả mãn điều kiện mode IP divu=0 ta có: Br is η + Bϕ Is ( qz R0 ) + iBzqz Is ( qz R0 ) = R0 R0 (P.17) s2Is ( qz R0 ) Br η − Br + iBzqz Is ( qz R0 ) = R0 R0η ⇒ Bz = Br (P.18) 2 i η − s Is ( qz R0 )  qz R0 ηIs ( qz R0 ) (P.19) Như vậy, phương trình cho độ dịch chuyển mode IP thứ là: u (2 p)  isI ( q R ) i  η2 − s 2I 2s ( q z R0 )    = B 1; s z ; η q z R0 ηI s ( q z R0 )   isϕ iq z  I s (q z r )e e z  14 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ H NỘI TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Quang Báu (2001), Lí thuyết bán dẫn, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội Nguyễn Văn Hùng (2000), Lí thuyết chất rắn, Đại học Quốc gia Hà Nội Constantinou N C (1993), "Interface optical phonons near perfectly conducting boundaries and their coupling to electrons", Physical Review B 48, pp.11931-11935 Constantinou N C., Ridley B K (1990), "Interaction of electrons with the confined LO phonons of a free-standing GaAs quantum wire", Physical Review B 41, pp.10622-10626 M Babiker (1996), " Longitudinal polar optical modes in semiconductor quantum wells ", J Phys.C: Solid State Phys 19, pp.683-697 M Babiker, M P Chamberlain, B K Ridley (1987), "Resonance effect in inter-sub-band transitions of single quantum wells", Semiconductor Science and Technology 2, p582 M.Babiker, B.K Ridley (1986), " Effective mass eigenfunctions in superlattices and their role in well-capture ", Superlatt and Microstruct 2, p287 Melnikov D V., Fowler W B (2001), "Electron-phonon interaction in a spherical quantum dot with finite potential barriers: The Fr\"ohlich Hamiltonian", Physical Review B 64, p245320 Redley B K (1991), "Electron –hybridon interaction interaction a quan tum well", Department of physic, Univercity of Esex, Wivenhoe Park, Colchester, Esex CO4 3SQ, England Rev, p4592 10 Redley B K (1993), " Optical-phonon tunning ", Phys Rev B.49 p17253 11 Silin A P (1995), "Semiconductors superlattice ", Sov Phys Usp 28, p972 OPTICAL MODES IN A FREE STANDING QUANTUM WIRE Abstract: Abstract A continuum model is employed to describe the allowed longitudinal-optical (LO) phonons of a cylin-drical free-standing GaAs wire The confinement of optical modes in a quantum wire of polar material is described by a theory involving the triple hybridization of LO, transverse optical (TO) phonon, and IP (interface polariton) modes In this work, we tried to calculate the LO, TO, and IP modes in a quantum wire using conditions of both mechanical and electromagnetic boundary Keywords: Keywords LO, TO, IP, mechanical and electromagnetic boundary  ... chuyển động mode hybrid LO, IP1, IP2 dây lượng tử bán dẫn phân cực Lượng tử hố lần thứ tìm hạt lai hybridons hệ thức tán sắc chúng Sử dụng phương pháp hàm bao để giải tốn cho electron sợi dây lượng. .. Hình Mơ hình nghiên cứu CÁC MODE DAO ĐỘNG QUANG TRONG DÂY LƯỢNG TỬ Áp dụng lí thuyết liên tục cho bán dẫn khối ñiều kiện liên tục biên để giải tốn cho sợi dây tự (free standing wires) có bán kính... giữ mode dao ñộng quang ngang (TO) ảnh hưởng lượng tử ánh sáng liên kết với mode TO Mơ hình nghiên cứu sợi GaAs đặt tự (mơi trường vật liệu thứ chân khơng, (hình 1) Hình Mơ hình nghiên cứu CÁC MODE