Hiệu ứng âm - điện lượng tử phi tuyến và dòng âm-điện phi tuyến trong dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn được nghiên cứu trên cơ sở phương trình động lượng tử cho hàm phân bố điện tử tương tác với sóng âm trong và sóng âm ngoài của dây lượng tử.
TẠP CHÍ KHOA HỌC − SỐ 14/2017 91 DỊNG ÂM - ĐIỆN PHI TUYẾN TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT VỚI HỐ THẾ CAO VÔ HẠN Nguyễn Quyết Thắng1, Nguyễn Vũ Nhân2( ) Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội Trường Đại học Thủ Hà Nội Tóm tắt tắt: Hiệu ứng âm - điện lượng tử phi tuyến dòng âm-điện phi tuyến dây lượng tử hình chữ nhật với hố cao vơ hạn nghiên cứu sở phương trình động lượng tử cho hàm phân bố điện tử tương tác với sóng âm sóng âm ngồi dây lượng tử Nhận biểu thức giải tích cho dịng âm - điện phi tuyến dây lượng tử Dòng âm - điện phụ thuộc phi tuyến vào nhiệt độ T, số sóng q, tần số sóng âm ngồi tham số cấu trúc dây lượng tử Kết tính số, vẽ đồ thị bàn luận cho dây lượng tử hình chữ nhật GaAs/GaAsAl Các kết tính số so sánh với kết tương tự bán dẫn thông thường hố lượng tử cho khác biệt Từ khoá: khoá Bán dẫn, bán dẫn thấp chiều, dây lượng tử, hố lượng tử, siêu mạng bán dẫn ĐẶT VẤN ĐỀ Hiện nay, với phát triển mạnh mẽ khoa học cơng nghệ, ngành Vật lí bán dẫn đạt nhiều thành cơng Sự tiến Vật lí bán dẫn đặc trưng chuyển hướng nghiên cứu từ bán dẫn khối sang màng mỏng cấu trúc thấp chiều có kích thước nano mét hố lượng tử (Quantum wells) siêu mạng (superlattices) thuộc hệ hai chiều, dây lượng tử (Quantum wires - hệ chiều) chấm lượng tử (Quantum dots - hệ không chiều) Trong hệ thấp chiều này, chuyển động điện tử bị giới hạn nghiêm ngặt (còn gọi bị giam cầm) theo một, hai, hay ba hướng tọa độ chuyển động tự theo hướng tọa độ lại không chuyển động Sự giam cầm điện tử hệ bán dẫn thấp chiều dẫn đến thay đổi đáng kể tính chất vật lý điện tử tính chất quang, tính chất điện đồng thời làm xuất số tính chất so với bán dẫn thông thường (bán dẫn khối) gọi hiệu ứng kích thước (1) Nhận ngày 3.3.2017; chỉnh sửa, gửi phản biện duyệt đăng ngày 20.3.2017 Liên hệ tác giả: Nguyễn Vũ Nhân; Email: nvnhan@daihocthudo.edu.vn TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ H 92 NỘI lượng tử [1-3] Ở đây, quy luật học lượng tử bắt đầu có hiệu lực, đặc trưng phổ lượng điện tử bị lượng tử dọc theo hướng tọa độ bị giam cầm Do vậy, đặc trưng vật liệu như: hàm phân bố, mật độ trạng thái, mật độ dòng… thay đổi theo Sự thay đổi tính chất quang, tính chất điện điện tử hệ thấp chiều mở nhiều khả ứng dụng, chế tạo linh kiện điện tử hệ cho đời nhiều cơng nghệ đại có tính chất cách mạng lĩnh vực khoa học kỹ thuật Gần nhà khoa học ý tới ảnh hưởng sóng âm đến tính chất vật liệu, hay gọi tương tác sóng âm với bán dẫn thấp chiều Đặc biệt hiệu ứng âm - điện bán dẫn thấp chiều Các cơng trình lý thuyết hiệu ứng âm điện bán dẫn khối nghiên cứu [4], hố lượng tử [5], dây lượng tử hình trụ [6] Tiếp nối tốn trên, báo quan tâm nghiên cứu hiệu ứng âm - điện dịng âm-điện dây lượng tử hình chữ nhật với hố cao vô hạn với chế tương tác điện tử - phonon âm tán xạ điện tử - phonon âm Kết cho dịng âm - điện tính số vẽ đồ thị với dây lượng tử hình chữ nhật GaAs/ GaAsAl Các kết so sánh với kết tương tự bán dẫn khối hố lượng tử để làm rõ khác biệt PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNGTỬ CỦA ĐIỆN TỬ TRONG DÂY LƯỢNG TỬ Dây lượng tử hình chữ nhật với giả thiết z phương khơng bị lượng tử hóa (điện tử chuyển động tự theo phương này) theo hai phương lại (phương x y) điện tử bị giam cầm Hàm sóng (1) phổ lượng (2) điện tử dây lượng tử hình chữ nhật với hố cao vô hạn nhận nhờ việc giải phương trình Schrodinger cho điện tử chuyển động dây lượng tử viết dạng sau: ψ n ,l , p ( r ) = ε n,l ( p z ) = Lx L y L sin( nπ lπ x) sin( y) exp(ik z z ) , Lx Ly 2 pz π n l2 + + , * * 2m 2m Lx L y (1) (2) đó, m* khối lượng hiệu dụng điện tử; n, l số lượng tử hai phương bị lượng tử hóa x y (với n, l = 1, 2, ); pz xung lượng điện tử theo phương z; k = (0,0, k z ) véc tơ sóng điện tử; L chiều dài dây lượng tử; Lx Ly kích thước dây lượng tử theo phương x y TẠP CHÍ KHOA HỌC − SỐ 14/2017 93 Giả thiết sóng âm ngồi có tần số ωq truyền dọc theo dây lượng tử (phương Oz) Xét trường hợp thực tế, từ số liệu thực nghiệm nhiệt độ thấp [5], ωq/η = νs|q|/η > với η tần số dao động điện tử, vs vận tốc sóng âm, q số sóng âm ngồi l quãng đường tự trung bình điện tử Có thể coi sóng âm ngồi bó sóng phonon Hamiltonian mơ tả tương tác hệ điện tử - phonon phonon dây lượng tử hình chữ nhậtđược viết dạng (3): H = ∑εn,l (k)an+,l, pz an,l,pz + n,l, pz ∑I n',l' + n,l k n',l', pz +k n',l', p'z n,l,n',l',k Ca a (b +b ) +∑ ω b b + ∑ C U k + −k + k k k n,l,n',l',q k n',l' + q n,l n',l', pz +q n',l', pz' q a b exp(−iωqt) a (3) C k = Λ k / (2 ρv s SL ) thừa số tương tác điện tử - phonon trong; ρ mật độ khối lượng dây lượng tử; Λ số thế; Cq = iΛvl ωq / (2ρFS ) thừa số tương tác điện tử - đây, phonon ngoài; [( ) ( ) F = q + σ l2 / 2σ t + (σ l / σ t − 2) + σ t2 / 2σ t ], 2 1/ σ l = (1 − v s2 / vl2 )1 / , σ t = (1 − v s / vt ) ; S = LxLy thiết diện dây lượng tử hình chữ nhật; vl (vt) vận tốc dọc (ngang) sóng âm; a n+, N , pz ( a n , N , p z ) toán tử sinh (hủy) điện tử; bk+ ( bk ) toán tử sinh (hủy) phonon âm trong; bq toán tử hủy phonon âm ngồi; q véctơ sóng phonon ngồi n, k ( n ', k + q ) trạng thái tương tác trước (sau) điện tử; U nn,'l,l ' yếu tố ma trận toán tử U = exp(iqy - klz), kl = (q2 – (ωq/vl)2)1/2 (thừa số tắt dần theo không gian vùng điện trường thay đổi); I nn,'l,l ' thừa số dạng điện tử [8] Để thiết lập phương trình động lượng tử cho điện tử có mặt sóng âm, sử dụng phương trình chuyển động cho giá trị trung bình thống kê điện tử i ∂f n ,l , p z (t ) ∂t = f n,l , p z (t ), H t (ở đây, kí hiệu X học tốn tử X; f n ,l , p (t ) = a n+,l , p an ,l , p z z z t có nghĩa trung bình nhiệt động lực t toán tử số hạt hay hàm phân bố điện tử) Sử dụng Hamiltonian phương trình (3) thực phép tính, phương trình động lượng tử cho điện tử nhận có dạng: ∂fn,l, pz (t) ∂t =− ∑C q n',l ',q [ Inn,'l,l ' t ∫ dt'[ f n,l , pz −∞ ] i Nq − fn',l ', pz +q Nq exp εn,l ( pz + q) − εn',l ' ( pz ) − ωq + ωq2 (t − t') + ( ) ] [ ] i + fn,l, pz Nq − fn',l ', pz +q Nq exp (εn',l ' ( pz + q) − εn,l ( pz ) + ωq + iδ )(t − t') − fn',l ', pz −q Nq − fn,l, pz Nq × i i × exp (εn,l ( pz ) − εn',l' ( pz − q) − ωq + iδ )(t − t') − fn',l', pz −q Nq − fn,l , pz Nq exp (εn,l ( pz ) − εn',l ' ( pz − q) + ωq + iδ )(t − t') − [ ] TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ H 94 − ∑C k U nn,'l,l ' n ',l ', k ∫ dt' [ f t ] ) i N k − f n ',l ', p + k N k exp ε n ',l ' ( pz + k z ) − ε n,l ( pz ) + ωq − ωk + iδ (t − t ') − z n ,l , p z −∞ [ ( NỘI ] ( ) i − f n',l ', p −k Nk − f n,l, pz Nk exp ε n,l ( pz ) −ε n',l ' ( pz − k ) + ωq − ωk + iδ (t −t') z (4) đây, Nq (Nk) số hạt phonon (phonon trong); δ hàm Delta Kronecker τ thời gian hồi phục xung lượng điện tử DÒNG ÂM - ĐIỆN TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT Để giải phương trình (4), thay fn,l,p’ fF + f(t), với fF hàm Fermi cân f(t) hàm chứa số hạng lại Mật độ dòng âm - điện có dạng: j= 2e 2π ∑∫v n ,l pz f n ,l , pz ( t ) dp z (5) với v p z vận tốc dịch chuyển trung bình điện tử Thay phương trình (4) vào phương trình (5) xét chế tán xạ điện tử - phonon âm trong, sau tính toán nhận biểu thức cho mật độ dịng âm - điện dây lượng tử hình chữ nhật với hố cao vô hạn viết dạng (6): 2 j= 4eτ Λ m2kBT ∑Inn,'l,l' D1 exp(β(εF − B)) + (2π)2 6ρvsωq n,l,n',l ' 32eτ Λ vl4ωq2Wπ m ρFabL2vs β 3/ 2 β(ε − B) − 2L q2 − ωq , (6) exp D ∑ F vl2 n,l ,n',l ' với: D1 = e −ξ ξ1 K (ξ1 ) + 3 ξ13 K1 (ξ1 ) + 3 ξ13 K (ξ1 ) + 8 ξ16 K (ξ1 ) β β β 2 2 + e −ξ ξ K (ξ ) + 3 ξ K1 (ξ ) + 3 ξ K (ξ ) + 8 ξ K (ξ ) β β β D2 =e−χ1 χ15/ K5 (χ1 ) + 3K3 (χ1 ) + 3K1 (χ1 ) + K (χ1 ) − e−χ2 χ25/ K5 (χ2 ) + 3K3 (χ2 ) + 3K1 (χ2 ) + K (χ2 ) − − 2 2 2 β ωk β β ωk β −1 đó, ξ1 = (∆ n ',l ',n ,l − ω q ) ; ξ = (∆ n ',l ',n ,l + ω q ) ; χ1 = ξ1 + ; χ = ξ − ; β = (kBT ) ; ∆ n ',l ',n ,l = π 2 x 2mL (n' ) −n + π2 2 y 2mL (l ' ) n2 l ; k B + 2m L2x L2y −l ; B = π 2 số Boltzmann; T nhiệt độ tuyệt đối hệ; εF lượng Fermi Kn(x) hàm Bessel loại hai TẠP CHÍ KHOA HỌC − SỐ 14/2017 95 Biểu thức (6) biểu thức giải tích mật độ dịng âm - điện dây lượng tử hình chữ nhật với hố cao vơ hạn Biểu thức cho thấy phụ thuộc phi tuyến mật độ dòng âm - điện vào nhiệt độ T, số sóng, tần số sóng âm ngồi, chiều dài kích thước dây lượng tử (Lx, Ly) Điều khác biệt so với kết thu cho mật độ dòng âm - điện bán dẫn khối [4] hố lượng tử [5, 6] KẾT QUẢ KHẢO SÁT SỐ VÀ BÀN LUẬN Phần trình bày kết tính số, vẽ đồ thị cho mật độ dòng âm-điện với dây lượng tử hình chữ nhật GaAs/GaAsAl Các tham số sử dụng tính số là: τ = 10-12s, W = 104Wm-2, ρ = 5320kgm-3, vl = 2×103ms-1, vt = 18×102ms-1, vs = 5370ms−1, Λ =13,5eV, ωq = 109 s−1, L = 90×10-9 m, e = 2,07e0, m* = 0,067me (me khối lượng điện tử tự do) 2.5 x 10 -22 1.4 q=3.4*107 m-1 q=4.0*107 m-1 1.5 0.5 A c o u sto e le c tric c u rre n t (a rb u n its) A c o u s to e le c tr ic c u r re n t ( a r b u n its) q=2.5*107 m-1 40 60 80 100 120 Temperature T (K) 140 160 180 Hình Sự phụ thuộc mật độ dòng âm - điện (tung độ) vào nhiệt độ T hệ (hoành độ) (với n=0,±1, n’=0,±1, l=1, l’=1) -22 q.T=150K q T=170K q T=200K 1.2 0.8 0.6 0.4 0.2 0 x 10 10 12 Acoustic wave number q (m-1) 14 16 18 x 10 Hình Sự phụ thuộc mật độ dịng âm điện (tung độ) vào số sóng q (với n=0,±1, n’=0,±1, l=1, l’=1) Đồ thị hình biểu diễn phụ thuộc mật độ dòng âm - điện vào nhiệt độ T với số sóng: q = 2,5.10-7 (m-1); q = 3,4.10-7 (m-1); q = 4,0.10-7 (m-1) Kết thu cho thấy phụ thuộc mật độ dòng âm điện phi tuyến, điều tương đồng với kết hố lượng tử [5] có khác biệt thể độ tăng, giảm mật độ dòng âm - điện dây lượng tử chậm Trên hình 2, đồ thị biểu diễn phụ thuộc mật độ dịng âm - điện vào số sóng q nhiệt độ khác (T = 150 K, T = 170 K T = 200K) Đường biểu diễn cho thấy mật độ dòng âm - điện phụ thuộc phức tạp vào số sóng q giảm nhanh số sóng âm nhỏ TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐƠ H 96 NỘI Đồ thị biểu điễn hình mơ tả phụ thuộc mật độ dòng âm - điện vào tần số sóng âm với nhiệt độ T khác Nhận thấy, phụ thuộc dòng âm - điện vào tần số sóng phi tuyến có đỉnh cực đại, tương ứng mật độ dòng âm - điện cực đại tần số sóng âm ngồi thỏa mãn điều kiện ωq = ωk + ∆ n ,l ,n' ,l ' ωq = ωk − ∆ n,l ,n' ,l ' Kết khác biệt so với kết thu bán dẫn khối [6] dịng âm - điện ln phụ thuộc tuyến tính Kết khác so với kết hố lượng tử [5, 6], mật độ dịng âm - điện có hai đỉnh cực đại ứng với hai giá trị khác tần số sóng âm ωq = ωk ± ∆ n ,l ,n' ,l ' x 10 -15 -19 omegaq.T=200K omegaq T=250K omegaq T=300K 10 A c o u s to e le c tr ic c u rr e n t ( a rb u n its ) omegaq.L=60(nm) omegaq.L=65(nm) omegaq.L=73(nm) 0 -2 x 10 A c o u s to e le c tric c u rre n t (a rb u n its ) 12 0.5 1.5 2.5 Acoustic wave number wq (s-1) 3.5 x 10 11 Hình Sự phụ thuộc mật độ dòng âm - điện (tung độ) vào tần số sóng âm hồnh độ) nhiệt độ hệ thay đổi (với n=0,±1, n’=0,±1, l=1, l’=1) -2 0.5 1.5 2.5 Acoustic wave number wq (s-1) 3.5 11 x 10 Hình Sự phụ thuộc mật độ dòng âm điện(tung độ) vào tần số sóng âm hồnh độ) chiều dài dây lượng tử thay đổi (với n=0,±1, n’=0,±1, l=1, l’=1) Đồ thị hình biểu diễn phụ thuộc mật độ dịng âm - điện vào tần số sóng âm chiều dài dây lượng tử L thay đổi Sụ phụ thuộc phi tuyến xuất đỉnh cực đại, tương ứng với mật độ dòng âm - điện cực đại tần số sóng âm thỏa mãn ω q = ω k + ∆ n ,l ,n ',l ' ωq = ωk − ∆ n,l ,n ',l ' Kết khảo sát cho thấy, đỉnh cực đại dịch chuyển phía tần số sóng âm nhỏ chiều dài dây lượng tử L tăng Sự dịch chuyển chứng tỏ kích thước dây lượng tử ảnh hưởng mạnh tới độ lớn mật độ dòng âm-điện KẾT LUẬN Trong báo này, nghiên cứu hiệu ứng âm - điện tính mật độ dịng âm điện dây lượng tử bán dẫn hình chữ nhật với hố cao vơ hạn Các kết nhận là: TẠP CHÍ KHOA HỌC − SỐ 14/2017 97 − Nhận phương trình động lượng tử điện tử dây lượng tử có mặt sóng âm ngồi biểu thức giải tích hàm phân bố điện tử − Thu biểu thức giải tích mật độ dịng âm - điện dây lượng tử hình chữ nhật với hố cao vơ hạn Từ đó, ngun nhân xuất dòng âm - điện dây lượng tử hình chữ nhật tồn dịng thành phần sinh nhóm hạt tải (điện tử) mang lượng khác phụ thuộc lượng điện tử vào thời gian hồi phục xung lượng − Mật độ dòng âm - điện dây lượng tử hình chữ nhật tính số, vẽ đồ thị cho dây lượng tử GaAs/GaAsAl Kết cho thấy mật độ dòng âm - điện phụ thuộc mạnh khơng tuyến tính vào nhiệt độ T, số sóng q, tần số sóng âm kích thước dây lượng tử Các kết nhận khác biệt hoàn toàn so với kết thu hố lượng tử [5, 6] Mật độ dòng âm - điện đạt giá trị cực đại tần số sóng âm thỏa mãn điều kiện cộng hưởng TÀI LIỆU THAM KHẢO H Rucker, E Molinary and P Lugli (1992), "Microscopic calculation of the electron-phonon interaction in quantum wells", Physical Review B volume:45, Issue: 12, pp 6747-6756 P Vasilopoulos, M Charbonneau and C M Van Vliet (1987), "Linear and nonlinear electrical conduction in quasi-two-dimensional quantum well", Physical Review B volume: 35 Issue: 3, pp.1334-1344 Peiji Zhao (1994), "Phonon amplification by absorption of an intense laser field in quantum well of polar material", Physical Review B volume: 49 Issue: 19, pp 13589-13599 R H Parmenter (1953), "The Acousto-Electric Effect", Physical Review B volume:89, Issue: 5, pp 990-998 M R Astley, M Kataoka, C J B Ford, J Appl (2008), "Search Results Quantized acoustoelectric current in an InGaAs quantum well", Journal of Applied Physics volume: 103 Issue: 9, pp 096102-096105 N Q Bau, N V Hieu, and N V Nhan (2012), "The quantum acoustomagnetoelectric field in a quantum well with a parabolic potential", Superlattices and Microstructures volume: 52, Issue: 5, pp 921-930 S Y Mensah et al., J Phys Superlatt Micros (2005), "The influence of external electric field on acoustoelectric effect in a superlattice", Superlattices and Microstructures volume: 37 Issue: 2, pp 87-97 JM Shilton, DR Mace, VI Talyanskii, Yu Galperin, MY Simmons, M Pepper, DA Ritchie (1996), "On the acoustoelectric current in a one-dimensional channel", Journal of Physics: Condensed Matter volume: Issue:24, pp 337-346 98 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ H NỘI A NONLINEAR ACOUSTOELECTRIC CURRENT IN A RECTANGULAR QUANTUM WIRE WITH IFINITY HIGH POTENTIAL Abstract: Abstract Based on a quantum kinetic equation for distribution function of electrons in interactions of inside phonons-electrons and external phonons-electrons, a nonlinear acoustoelectric effect and a nonlinear acoustoelectric current in a rectangular quantum wire with a infinity high potential are studied An analytic expression for the nonlinear acoustoelectric current in a quantum wire is obtained The nonlinear dependence of the acoustoelectric current on the temperature T, the number of q waves, the external acoustic wave frequency and the structure parameters of a the quantum wire is obtained The results are numerical calculated, ploted and discussion for the quantum wire GaAs/GaAsAl All these results are compared with those for normal semiconductors and quantum wells to show the differences Keywords: Keywords Semiconductors, low-dimensional semiconductos, quantum wires, quantum wells, superlattices semiconductors ... [4], hố lượng tử [5], dây lượng tử hình trụ [6] Tiếp nối tốn trên, báo quan tâm nghiên cứu hiệu ứng âm - điện dòng âm- điện dây lượng tử hình chữ nhật với hố cao vơ hạn với chế tương tác điện tử -. .. hàm phân bố điện tử − Thu biểu thức giải tích mật độ dịng âm - điện dây lượng tử hình chữ nhật với hố cao vơ hạn Từ đó, nguyên nhân xuất dòng âm - điện dây lượng tử hình chữ nhật tồn dòng thành... LƯỢNGTỬ CỦA ĐIỆN TỬ TRONG DÂY LƯỢNG TỬ Dây lượng tử hình chữ nhật với giả thiết z phương khơng bị lượng tử hóa (điện tử chuyển động tự theo phương này) theo hai phương lại (phương x y) điện tử