Nghiên cứu bài toán dây lượng tử tiết diện tròn có chiều dài L, bán kính R đặt trong môi trường vô hạn là chân không chúng tôi tìm được trạng thái và năng lượng của điện tử dẫn và điện tử hóa trị.
JOURNAL OF SCIENCE Q U Y N H O N U N I V E RS I T Y Research on the differential cross-section areas for the Raman scattering in quantum wires without phonons Ly Thi Kim Cuc*, Nguyen Thi Xuan Huynh Department of Physics, Quy Nhon University Received: 20/11/2018; Accepted: 25/12/2018 ABSTRACT We research the problem solving for quantum wire of cylindrical ring geometry with the length L and radius R in the vacuum, we gain the states and energies of conduction and valence electrons Using the obtained results to calculate the differential cross-section areas in Raman scattering by considering T = K (here, the assumption that is, in the first state, the valence band is completely occupied and the conduction band is completely empty and the energy of the incoming photon is ω ; the final state consists of an electron in the conduction band and a hole in the valence band and the energy of the emitted photon is ωs ) By utilizing Hamiltonian to describe interactions of electrons with an electromagnetic field, and investigating two capable processes in electronic Raman scattering, we can calculate their transition amplitudes From that, we get transition velocity of the processes and finally obtain the formula of differential cross-section areas Numerical calculations with the GaAs quantum wire show that the positions of the peaks of cross-section areas don’t depend on the frequency of the incident photons, they only depend on the difference of the energy levels Remarkably, the size of the quantum wire affects the intensity of the peaks of cross-section areas in the opposite direction Keywords: Cross-section areas, electron Raman scattering, quantum wires Corresponding author Email: lythikimcuc@qnu.edu.vn * Journal of Science - Quy Nhon University, 2019, 13(3), 11-17 11 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN Nghiên cứu tiết diện tán xạ vi phân tán xạ Raman dây lượng tử khơng có phonon Lý Thị Kim Cúc*, Nguyễn Thị Xuân Huynh Khoa Vật lý, Trường Đại học Quy Nhơn Ngày nhận bài: 20/11/2018; Ngày nhận đăng: 25/12/2018 TĨM TẮT Nghiên cứu tốn dây lượng tử tiết diện trịn có chiều dài L, bán kính R đặt mơi trường vơ hạn chân khơng chúng tơi tìm trạng thái lượng điện tử dẫn điện tử hóa trị Sử dụng kết thu từ toán trên, thực tính tốn tiết diện tán xạ vi phân cho tán xạ Raman xét nhiệt độ T = K (với giả thiết đặt trạng thái đầu, vùng hóa trị bị chiếm hồn tồn vùng dẫn trống hồn tồn, photon tới có lượng ω ; trạng thái cuối bao gồm điện tử vùng dẫn lỗ trống vùng hóa trị photon phát có lượng ωs ) Bằng cách sử dụng Hamiltonian mô tả trình điện tử tương tác với trường điện từ khảo sát hai trình xảy tán xạ Raman điện tử tính biên độ chuyển mức hai trình này; từ đây, chúng tơi tốc độ chuyển mức cho tồn q trình tán xạ cuối thu công thức tính tiết diện tán xạ vi phân Thực tính số với dây lượng tử GaAs thấy vị trí đỉnh tiết diện tán xạ không phụ thuộc vào tần số photon tới, mà phụ thuộc vào hiệu số mức lượng, nhiên thay đổi kích thước dây lượng tử độ cao đỉnh thay đổi theo chiều ngược lại với thay đổi kích thước dây Từ khóa: Tiết diện tán xạ, tán xạ Raman điện tử, dây lượng tử MỞ ĐẦU Khởi đầu từ thành công rực rỡ vật liệu bán dẫn vào thập niên 50, 60 kỷ trước, với phát triển mạnh mẽ công nghệ nuôi tinh thể người ta chế tạo nhiều cấu trúc nano.1 Có thể nói hai thập niên vừa qua, bên cạnh vật liệu bán dẫn khối kinh điển, cấu trúc tinh thể nano (như màng mỏng, siêu mạng, giếng lượng tử, dây lượng tử, chấm lượng tử,…) bước đưa vào sử dụng.2 Trong cấu trúc nano, chuyển động hạt tải bị giới hạn dọc theo nhiều hướng tọa độ vùng có kích thước đặc trưng bậc với bước sóng De Broglie điện tử.3 Kết tính chất vật lý hạt tải bị thay đổi đáng kể, ví dụ phổ lượng hạt tải bị gián đoạn Nhờ khả điều chỉnh chi tiết độ pha tạp, độ dày lớp,… vật liệu mà thay đổi hố giam cầm; từ đó, làm thay đổi mật độ cấu trúc phổ lượng điện tử Điều dẫn đến nhiều tính chất lạ tính chất quang, tính chất động (tán xạ với phonon, tán xạ với tạp chất, tán xạ bề mặt,…) Các tính chất quang điện hệ thay đổi mở tiềm ứng dụng to lớn đời sống, lĩnh vực khoa học kỹ thuật nói chung lĩnh vực quang điện tử nói riêng.1 Tán xạ Raman công cụ đắc lực việc nghiên cứu cấu trúc điện tử vật Tác giả liên hệ Email: lythikimcuc@qnu.edu.vn * 12 Tạp chí Khoa học - Trường Đại học Quy Nhơn, 2019, 13(3), 11-17 SCIENCE JOURNAL OF Q U Y N H O N U N I V E RS I T Y liệu nói chung vật liệu có cấu trúc thấp chiều nói riêng.4, Chính lý đó, đề tài nghiên cứu tán xạ Raman điện tử dây lượng tử MƠ HÌNH VÀ LÝ THUYẾT ÁP DỤNG dây lượng tử dài vô hạn bị giới hạn theo hai chiều có chiều chuyển động tự Do vậy, ta coi toán điện tử chuyển động hố có chiều cao vơ hạn với có dạng:2,7 0 r < R V (r ) = ∞ r > R (1) Giải phương trình Schrodinger cho hàm bao điện tử − ∗ ∇ + V ( r ) ϕ ( r ) =Eϕ ( r ) 2m (2) hàm bao mô tả trạng thái dừng điện tử sau [6]: 1 X J n r ei ( θ + kz ) , r ≤ R J X ϕnk ( r ) = π LR +1 ( n ) R r>R 0, (3) Chúng tơi xét tốn mơ hình hai vùng cụ thể sau đây: Vùng dẫn (C): khối lượng hiệu dụng điện tử dẫn me∗ ; l Vùng hóa trị (V): khối lượng hiệu dụng điện tử hóa trị ( − mh∗ ) =mv∗ < l Khi chúng tơi thu được: + Trạng thái điện tử dẫn: 1 X J n r ei ( θ + kz )uc ( r ) J +1 ( X n ) R π LR (4) ≡ nk e , ψ c ,nk ( r ) = có lượng X 2n k + 2me∗ R (5) + Trạng thái điện tử hóa trị: ψ v ,nk ( r ) = Nghiên cứu xét tốn dây lượng tử tiết diện trịn có chiều dài L, bán kính R đặt mơi trường vơ hạn chân khơng; đó, biên dây có chênh lệch mức lượng tạo nên hố Điện tử có hàm sóng ψ ( r ) = u ( r )ϕ ( r ) chuyển động bên = Ec ,nk 1 X J n J X ( ) π LR +1 n R r ei ( θ + kz )uv ( r ) (6) ≡ nk h , có lượng E v ,nk = − Eg − X 2n k + 2mh∗ R (7) Ở đây, chúng tơi chọn gốc tính lượng đáy vùng dẫn Trong đó: + Eg độ rộng vùng cấm; + Véctơ sóng k đặc trưng cho nhóm tịnh tiến, đặc trưng cho nhóm quay, n số lượng tử khác đặc trưng cho trạng thái; + J ( kn r ) hàm Bessel; + X n nghiệm thứ n phương trình J ( k n R ) = ; + uc ( r ) , uv ( r ) hàm Bloch điện tử dẫn điện tử hóa trị TIẾT DIỆN TÁN XẠ VI PHÂN Theo định nghĩa, tiết diện tán xạ vi phân xác suất chuyển mức chia cho mật độ dòng photon W dσ = d Ω (8) c V Trong đó: + c tốc độ ánh sáng chân khơng; + V thể tích dây lượng tử có bán kính R, chiều dài L; + Wd Ω tốc độ chuyển mức, tức xác suất chuyển mức đơn vị thời gian photon có tần số ωs bay vào góc khối dΩ , định nghĩa sau:8 W d Ω = d C ( 2) ( t ) ρ E , d Ω d ( ωs ); (9) ∫ dt đây, + C ( 2) ( t ) biên độ chuyển mức bậc 2; + số Planck rút gọn; Journal of Science - Quy Nhon University, 2019, 13(3), 11-17 13 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN + ωs tần số photon phát ra; 3.1 Các trạng thái trung gian vùng dẫn + ρ E , d Ω mật độ trạng thái cho biểu thức V ωs2 = (10) ρ E ,d Ω dΩ ( 2π ) c3 Từ đó, chúng tơi tính tiết diện tán xạ vi phân có tính đến chiết suất mơi trường biểu thức sau6, 9: (11) Trong đó, η chiết suất, xác suất chuyển mức đơn vị thời gian với photon tán xạ có tần số ωs bay vào góc khối dΩ lấy tổng theo tất trạng thái cuối Trong công thức tính xác suất chuyển mức đơn vị thời gian ký hiệu 2, 6, 9, 10 f H js a a H i Mj ∑ = ; j 1, (12) Ei − Ea + iΓ a a E =E f i Trong đó, H Hamiltonian mô tả tương tác điện tử trường xạ tới gần lưỡng cực ; H js Hamiltonian mô tả tương tác điện tử (lỗ trống) trường xạ thứ cấp gần lưỡng cực ; giá trị j = 1, tương ứng với điện tử, lỗ trống; i f trạng thái đầu cuối hệ ứng với lượng Ei Ef ; a trạng thái trung gian ứng với lượng Ea có thời gian sống Γ a , p toán tử vi phân tác dụng lên trạng thái điện tử, m0 khối lượng điện tử tự do, c vận tốc ánh sáng, véctơ phân cực photon có tần số ωα tương ứng ak ,α ak+,α toán tử hủy (sinh) photon ( ) Có hai q trình xảy tán xạ Raman điện tử Chúng xét hai trình sau đây: 14 Điện tử hấp thụ lượng tử ánh sáng tới chuyển lên trạng thái ′1n1′k1′ vùng dẫn để lại lỗ trống trạng thái n2 k2 vùng hóa trị Sau đó, điện tử tiếp tục dịch chuyển từ trạng thái ′1n1′k1′ sang trạng thái 1n1k1 vùng dẫn phát photon 3.2 Các trạng thái trung gian vùng hóa trị Một điện tử từ trạng thái ′2 n2′ k2′ vùng hóa trị chuyển lên trạng thái 1n1k1 vùng dẫn sau hấp thụ photon tới Một điện tử khác từ trạng thái n2 k2 vùng hóa trị chuyển vào lấp chỗ trống trạng thái ′2 n2′ k2′ phát photon Trong hai trình tán xạ Raman, trạng thái đầu có photon tới nên có lượng (13) Ei = ω Ở đây, ta chọn lượng trạng thái đầu hệ điện tử làm gốc tính lượng Trạng thái cuối bao gồm cặp điện tử - lỗ trống photon phát nên lượng trạng thái E f = E1n1k1 + E n2 k2 + ωs + Eg (14) Các trạng thái trung gian a , b hai q trình có lượng Ea , Eb thời gian sống Γ a , Γb Sử dụng tính chất bảo tồn lượng dịch chuyển từ trạng thái đầu sang trạng thái cuối,6 ta có: Ei − Ea= E1n1k1 − E1′ n1′k1′ + ωs , (15) Ei − E= E′2 n2′ k2′ − E n2 k2 − ωs b (16) Sử dụng kết để tính yếu tố ma trận f H js a ; a H jl i ; f H js b ; b H jl i với ý dịch chuyển điện tử vùng vùng cho trình cụ thể thu kết sau: Tạp chí Khoa học - Trường Đại học Quy Nhơn, 2019, 13(3), 11-17 SCIENCE JOURNAL OF Q U Y N H O N U N I V E RS I T Y (17) lượng tử GaAs Trong tích tốn sử dụng thông số cụ thể sau đây:11 (18) Kết tính số Hình Hình cho phổ tán xạ Raman với tần số photon tới khác tương ứng với = ωl 2.4328 × 1015 s −1 15 -1 = ωl 5.8065 × 10 s Từ đó, chúng tơi xác định tốc độ chuyển mức cho toàn trình tán xạ: (19) Cuối cùng, chúng tơi thu cơng thức tính tiết diện tán xạ vi phân2, 6, biểu thức (20): Hình Đồ thị mô tả tiết diện tán xạ vi phân cho trường hợp photon tới có tần số = ω 2.4328 × 1015 s -1 bán kính dây R = 50 nm (20) ×∑ ∑ Y ( 1 , n1 , k1 , ′1 , n1′, k1′ ) + ∑ Y ( , n2 , k2 , ′2 , n2′ , k2′ ) f a b E f = Ei Trong đó, Y ( 1 , n1 , k1 , ′1 , n1′, k1′ ) = δ k ,k ′ (δ ′ , +1 + δ ′ , −1 ) δ n′ ,n δ ′ , δ k ′ ,k 1 (E 1n1k1 ( ) 1′ 1n1 ( ) 1′ n1′ Y ( , n2 , k2 , ′2 , n2′ , k2′ ) = ( (E ′2 n2′ k2′ ) 2 Hình Đồ thị mô tả tiết diện tán xạ vi phân cho trường hợp photon tới có tần= số ω 2.58065 × 1015 s -1 , bán kính dây R = 50 nm ) ; δ k2 ,k2′ (δ ′2 , +1 + δ ′2 , −1 ) δ n2′ ,n1 δ ′2 ,1 δ k2′ ,k1 ) − E n2 k2 − ωs + iΓb R ( 2 J 1 +1 k1n1 R J 1′ +1 k1′ n1′ R × E n2 k2 − E′2 n2′ k2′ ) ∫ J ( k r ) J ( k r ) r dr 1 − E1′ n1′k1′ + ωs + iΓ a R × E1n1k1 − E1′ n1′k1′ ∫ J ( k r ) J ( k r ) r dr ′2 n2 2 ′2 n2′ TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN Hình Đồ thị mơ tả tiết diện tán xạ vi phân cho trường hợp photon tới có tần số = ω 2.4328 × 1015 s -1 , bán kính dây ( , n2 , 1 , n1 ) Để có kết định lượng, chúng tơi thực tính số tiết diện tán xạ vi phân dây Căn vào kết Hình 1, chúng tơi nhận thấy năm đỉnh đồ thị đặc trưng ( ) ( J +1 k n2 R J ′2 +1 k′2 n2′ R ) Journal of Science - Quy Nhon University, 2019, 13(3), 11-17 15 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN số ( , n2 , 1 , n1 ) tương ứng với năm trình chuyển mức sau đây: 0,= n2 , trạng Trạng thái đầu = 1 1,= n1 Khi sử dụng định thái cuối = luật bảo toàn lượng cho trình E n2 k2 + ω = E1n1k1 + ωs hay 2 X n ∗ k1 + 22 2me R X 1n1 = + k + ω 2me∗ R2 + ωs 2 X n2 X 1n1 − + ω Suy ωs = 2me∗ R 2me∗ R Kết tính cho tần số photon phát = ω s 9.27 × 1014 s -1 1,= n2 , trạng thái Trạng thái đầu = 1 2,= n1 Tương tự trên, kết cuối = tính ương ứng ωs 7.89827 × 1014 s -1 = 0,= n2 , trạng thái Trạng thái đầu = 1 1,= n1 Tần số photon phát cuối = Trạng thái đầu trạng thái cuối Photon phát với tần số 14 -1 = ωs 8.4458 × 10 s Trạng thái đầu thái cuối , trạng Photon phát với tần số độ) đỉnh thay đổi Cụ thể, độ cao đỉnh giảm kích thước dây lượng tử tăng Bên cạnh, số đỉnh tăng lên theo kích thước dây Nguyên nhân biểu thức tiết diện tán xạ vi phân có diện hàm sóng điện tử, chúng xen phủ lên tạo nên thay đổi hình ảnh phổ bán kính dây thay đổi KẾT LUẬN Các kết tính số cho thấy phổ tán xạ Raman cho thông tin cấu trúc lượng điện tử dây lượng tử Cụ thể, vị trí đỉnh tiết diện tán xạ phụ thuộc vào hiệu mức lượng mà không phụ thuộc vào tần số photon tới, độ cao đỉnh giảm kích thước dây lượng tử tăng số đỉnh tăng lên theo kích thước dây Trong giới hạn đề tài, quan tâm đến tương tác photon điện tử ảnh hưởng giam cầm lên điện tử mà bỏ qua tương tác phonon điện tử tương tác Coulomb lỗ trống điện tử Vấn đề nghiên cứu thời gian tới Lời cảm ơn: Chúng xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Quy Nhơn tài trợ kinh phí cho nghiên cứu này, thông qua đề tài nghiên cứu khoa học số T2018.563.12, năm 2018 tương tự cho trường hợp lại TÀI LIỆU THAM KHẢO Như vậy, thay đổi lượng photon tới (tức thay đổi tần số photon tới ωl ) so sánh hai đồ thị (Hình 2) với nhau, kết cho thấy vị trí đỉnh khơng thay đổi Điều có ý nghĩa vị trí đỉnh tiết diện tán xạ không phụ thuộc vào tần số photon tới, mà phụ thuộc vào hiệu số mức lượng P Y Yu and M Cardona Fundamentals of semiconductors: physics and materials properties, 4th ed., New York: Springer Berlin Heidelberg, 2010 Tuy nhiên, thay đổi kích thước dây lượng tử (tức thay đổi giá trị R), kết Hình Hình ứng với R = 50 nm R = 60 nm ( ω khơng đổi), độ cao (cường 16 T G Ismailov and B H Mehdiyev Electron Raman scattering in a cylindrical quantum dot in a magnetic field, Physica E, 2006, 31, (1), 72-77 R Cingolani and R Rinaldi Electronic states and optical transitions in low-dimensional semiconductors, La Rivista del Nuovo Cimento, 1993, 16(9), 1-85 R Betancourt-Riera, R Betancourt-Riera, and Tạp chí Khoa học - Trường Đại học Quy Nhơn, 2019, 13(3), 11-17 JOURNAL OF SCIENCE Q U Y N H O N U N I V E RS I T Y M Munguía-Rodríguez Electron states and electron Raman scattering in a semiconductor step-quantum well wire, Physica B, 2017, 34-42 B Fluegel, A V Mialitsin, D A Beaton, J L Reno and A Mascarenhas Electronic Raman scattering as an ultra-sensitive probe of strain effects in semiconductors, Nat Commun., 2015, 6(7136), 1-5 J M Bergues, R Riera, F Comas and C Trallero-Gine Electron Raman scattering in cylindrical quantum wires, J Phys.: Condens Matter, 1995, 7, 7213-7281 S W K L Banyai Semiconductor Quantum Dots, 1st ed., World Scientific Publishing Co Pte Ltd., 2014 J J Sakurai Advanced Quantum Mechanics, 1st ed., Addison Wesley, 1967 R Betancourt-Riera, R Betancourt, R Rosas, R Riera, and J L Marín One phonon resonant Raman scattering in quantum wires and free standing wires, Physica E, 2004, 24(3-4), 257-267 10 R Betancourt-Riera, R Betancourt-Riera, J M Nieto Jalil and R Riera Electron Raman scattering in semiconductor quantum well wire of cylindrical ring geometry, Chinese Physics B, 2015, 24(11), 117-302 Journal of Science - Quy Nhon University, 2019, 13(3), 11-17 17 ...TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN Nghiên cứu tiết diện tán xạ vi phân tán xạ Raman dây lượng tử khơng có phonon Lý Thị Kim Cúc*, Nguyễn Thị Xuân Huynh Khoa Vật lý, Trường... tốc độ chuyển mức cho tồn q trình tán xạ cuối thu công thức tính tiết diện tán xạ vi phân Thực tính số với dây lượng tử GaAs thấy vị trí đỉnh tiết diện tán xạ không phụ thuộc vào tần số photon... hiệu số mức lượng, nhiên thay đổi kích thước dây lượng tử độ cao đỉnh thay đổi theo chiều ngược lại với thay đổi kích thước dây Từ khóa: Tiết diện tán xạ, tán xạ Raman điện tử, dây lượng tử MỞ ĐẦU