CỘNG HƯỞNG THAM số của PHONON âm và PHONON QUANG bị GIAM GIỮ TRONG dây LƯỢNG tử HÌNH CHỮ NHẬT

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - BÙI THỊ THANH THỦY LỜI CAM ĐOAN CỘNG HƯỞNG THAM SỐ CỦA PHONON ÂM VÀ PHONON QUANG BỊ GIAM GIỮ TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tôi, số liệu kết nghiên cứu nêu Luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN Mã số công trình nghiên cứu khác : 60 44 01 Huế, tháng 09 năm 2010 Tác giả Luận văn LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ Bùi Thị Thanh Thủy Người hướng dẫn khoa học PGS TS TRẦN CÔNG PHONG Huế, năm 2010 i ii MỤC LỤC Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii sắc đến thầy giáo - PGS.TS Trần Công Phong Ths Lê Thị Thu Phương Mục lục tận tình hướng dẫn giúp đỡ em suốt trình thực Danh sách hình vẽ MỞ ĐẦU Chương MỘT SỐ VẤN ĐỀ TỔNG QUAN 1.1 Tổng quan dây lượng tử 1.1.1 Bán dẫn thấp chiều 1.1.2 Bán dẫn dây lượng tử 10 1.1.3 Dây lượng tử hình chữ nhật 11 LỜI CẢM ƠN Hoàn thành Luận văn tốt nghiệp này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu Qua đây, em xin chân thành cảm ơn Thầy Cô khoa Vật Lý phòng Đào tạo sau Đại học, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế, Sở GDĐT tỉnh Quảng Nam, Trường THPT Quế Sơn, bạn học viên Cao học khóa 17 gia đình bạn bè động viên, góp ý giúp đỡ để Luận văn hoàn thiện Huế, tháng 09 năm 2010 Tác giả Luận văn 1.2 Hamiltonian phonon âm phonon quang bị giam giữ dây lượng tử hình chữ nhật 13 Chương TÍNH GIẢI TÍCH CỘNG HƯỞNG THAM Bùi Thị Thanh Thủy SỐ CỦA PHONON ÂM VÀ PHONON QUANG BỊ GIAM GIỮ TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT 16 2.1 Hệ phương trình động lượng tử phương trình tán sắc cho phonon âm dọc (LA) phonon quang dọc (LO) bị giam iii giữ dây lượng tử hình chữ nhật 16 2.1.1 Hệ phương trình động lượng tử 16 2.1.2 Phương trình tán sắc 25 DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ 2.2 Cộng hưởng tham số phonon âm phonon quang bị giam giữ dây lượng tử hình chữ nhật 33 2.2.1 Điều kiện gia tăng tham số cho phonon âm 33 3.1 Sự phụ thuộc vào số sóng âm biên độ trường ngưỡng 2.2.2 Điều kiện cộng hưởng tham số phonon âm Eth giá trị nhiệt độ khác Đường liền nét, phonon quang trường hợp khí electron không đường gạch gạch, đường chấm chấm tương ứng với suy biến 38 Chương KẾT QUẢ TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN 42 3.1 Khảo sát phụ thuộc biên độ trường ngưỡng vào số sóng âm nhiệt độ T=73 K, 77 K, 81 K Ở đây, Ω = × 1013 Hz, Lx = 40 nm, Ly = 10 nm, Lz = 60 nm 3.2 43 43 Sự phụ thuộc vào kích thước sợi dây biên độ trường ngưỡng Eth giá trị tần số laser khác trường Đường liền nét, đường gạch gạch, đường chấm 3.2 Khảo sát phụ thuộc biên độ trường ngưỡng vào kích thước dây chấm tương ứng với tần số Ω=4.0 Hz, 4.5 Hz, 44 5.0 Hz Ở đây, T = 77 K, Ly = 20 nm, Lz = 60 nm, 3.3 Khảo sát phụ thuộc biên độ trường ngưỡng vào nhiệt độ 45 3.4 Khảo sát phụ thuộc hệ số F vào số sóng âm 46 qz = 1.5 × 108 m−1 3.3 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 PHỤ LỤC P.1 44 Sự phụ thuộc vào nhiệt độ biên độ trường ngưỡng giá trị số sóng khác Đường liền nét, đường gạch 3.5 Khảo sát phụ thuộc hệ số F vào kích thước sợi dây 47 KẾT LUẬN gạch, đường chấm chấm tương ứng với số sóng qz = 1.65 × 108 m−1 , qz = 1.75 × 108 m−1 , qz = 1.85 × 108 m−1 Ở đây, Ω = × 1013 Hz, Lx = 60 nm, Ly = 10 nm, Lz = 90 nm 3.4 45 Sự phụ thuộc vào số sóng âm hệ số F giá trị nhiệt độ khác Đường liền nét, đường gạch gạch, đường chấm chấm tương ứng với nhiệt độ T =73 K, 77 K, 81 K Ở đây, Ω = × 1013 Hz, Lx = 40 nm, Ly = 10 nm, Lz = 60 nm 3.5 46 Sự phụ thuộc vào kích thước sợi dây hệ số F MỞ ĐẦU giá trị khác tần số trường Đường liền nét, đường gạch gạch, đường chấm chấm tương ứng với Lý chọn đề tài Trong thời gian gần đây, áp dụng phương pháp Epitaxy đại tần số Ω=4.0 Hz, 4.5 Hz, 5.0 Hz Ở đây, T = 77 K, qz = 108 m−1 , Ly = 10 nm, Lz = 60 nm 47 Epitaxy chùm phân tử (MBE), lớp hai hay nhiều chất bán dẫn có cấu trúc tạo Trong cấu trúc trên, trường điện tuần hoàn nguyên tử, mạng tinh thể tồn trường điện phụ Tùy thuộc vào trường điện phụ mà bán dẫn thuộc bán dẫn có cấu trúc hố lượng tử, siêu mạng, dây lượng tử, hay chấm lượng tử Khi theo phương có trường phụ phổ lượng hạt tải (electron, lỗ trống) theo chiều bị lượng tử hóa, hạt tải tự số chiều lại Chính tính chất giam giữ mạnh nên bán dẫn có tính chất vật lý có tính chất điện, quang, phản ứng với trường cao tần khác khác với bán dẫn khối thông thường [3] Việc chuyển từ hệ electron chiều sang hệ electron thấp chiều làm thay đổi đáng kể mặt định tính định lượng tính chất vật lý vật liệu Việc nghiên cứu cấu trúc tượng vật lý bán dẫn thấp chiều cho thấy cấu trúc làm thay đổi đáng kể nhiều đặc tính vật liệu, đồng thời cấu trúc làm xuất thêm nhiều đặc tính mới, ưu việt mà hệ electron chiều thông thường Các vật liệu với cấu trúc bán dẫn nói giúp cho việc tạo linh kiện, thiết bị dựa nguyên tắc hoàn toàn công nghệ đại có tính chất cách mạng khoa học kỹ thuật nói chung lĩnh vực quang điện tử nói riêng Đó lý cấu trúc nhiều nhà vật lý quan tâm nghiên cứu Có nhiều hiệu ứng vật lý cần nghiên cứu bán dẫn thấp chiều Trong số hiệu ứng này, hiệu ứng cao tần xảy phản Mục tiêu nghiên cứu ứng hệ electron tác dụng trường điện từ cao tần (trường Về nội dung, mục tiêu đề tài áp dụng thống kê lượng tử vào laser) quan tâm nhiều Một lý việc tập trung nghiên cứu hiệu ứng bán dẫn thấp chiều tính không đẳng hướng mạnh tượng chuyển tải lượng tử độ linh động hạt tăng cao Hiệu ứng liên quan đến tương tác electron-phonon mà quan tâm nghiên cứu luận văn tương tác tham số nghiên cứu cộng hưởng tham số phonon tác dụng trường laser mạnh dây lượng tử bán dẫn có mặt tương tác electron-phonon Đề tài cần phải thu nhận biểu thức giải tích tường minh cho điều kiện cộng hưởng gia tăng tham số dây lượng tử Thực tính số với bán dẫn dây lượng tử thực để ước lượng giá trị trên, đối chiếu Hiệu ứng tương tác biến đổi tham số chế chuyển hóa lượng kích thích tác dụng trường điện từ với thông số đạt kỹ thuật để kết luận khả ứng dụng vào thực tiễn Các kích thích loại (ví dụ: phonon-phonon) khác Về phương pháp, mục tiêu đề tài nhằm áp dụng hoàn loại (phonon-plasmon) Tương tác tham số biến đổi tham số dẫn đến suy giảm loại kích thích gia tăng loại kích thích khác điều kiện gia tăng tham số thực Hiệu ứng cộng hưởng tham số phonon âm phonon quang có mặt sóng điện từ thiện phương pháp phương trình động lượng tử thống kê lượng tử cho dây lượng tử bán dẫn, khẳng định ưu việt phương pháp nghiên cứu đầy đủ bán dẫn khối thông thường [9], [16], [27], [33], [37], phần bán dẫn hố lượng tử [36] dây lượng tử bán dẫn [4], [28], với giả thiết phonon khối Việc xem xét phonon bị giam giữ dây lượng tử bán dẫn cần nghiên cứu cách hệ thống Về mặt nguyên tắc, hiệu ứng quan sát thực nghiệm Nhiệm vụ đối tượng nghiên cứu + Nhiệm vụ nghiên cứu - Sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử hai loại phonon để tìm biểu thức giải thích cho điều kiện cộng hưởng tham số phonon âm phonon quang Tóm lại, tương tác electron-phonon dây lượng tử bán dẫn xảy khác biệt so với bán dẫn khối bán dẫn thấp chiều khác, đặc biệt xem xét phonon bị giam giữ nên hiệu ứng mang đặc tính Đó lý chọn đề tài "Cộng hưởng tham số phonon âm phonon quang bị giam giữ dây lượng tử - Xác định phổ tái chuẩn hóa phonon âm (quang) Tính số trường ngưỡng hệ số biến đổi tham số phonon quang (âm) thành phonon âm (quang) khảo sát đại lượng Các nội dung nghiên cứu cho trường hợp khí electron không suy biến + Đối tượng nghiên cứu hình chữ nhật" - Đối tượng nghiên cứu nội dung tập trung chủ yếu vào cộng hưởng tham số biến đổi tham số phonon âm phonon quang Chương - Đối tượng nghiên cứu phương pháp phương trình động lượng MỘT SỐ VẤN ĐỀ TỔNG QUAN tử cho phonon Chương trình bày số kiến thức sở dây lượng tử, Phương pháp nghiên cứu biểu thức phổ lượng hàm sóng điện tử, HamiltoTrên phương diện nghiên cứu lý thuyết, toán giải theo nian phonon bị giam giữ dây lượng tử hình chữ nhật quan điểm lượng tử sở áp dụng phương pháp lý thuyết trường lượng tử cho hệ nhiều hạt Trong đề tài này, sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử phép tính đại số toán tử để tính giải tích Sau sử dụng phần mềm Mathematica để thực 1.1 Tổng quan dây lượng tử 1.1.1 Bán dẫn thấp chiều tính số vẽ đồ thị Hệ bán dẫn thấp chiều thường tạo phương pháp Epitaxy, lớp mỏng chất bán dẫn có bề rộng vùng cấm khác Phạm vi nghiên cứu tạo xen kẽ Một hệ bán dẫn thấp chiều hệ lượng tử Đề tài giới hạn nghiên cứu với dây lượng tử hình chữ nhật với giả thiết phonon bị giam giữ Vì đề tài tập trung nghiên cứu tương tác electron-phonon nên bỏ qua tương tác loại tương tác electron-electron, phonon-phonon Chỉ xét cộng hưởng bậc toán cộng hưởng tham số hai loại phonon hạt mang điện dịch chuyển tự theo hai chiều, chiều không chiều Kích thước hệ vào cỡ bước sóng Debroglie hạt mang điện nên tính chất vật lý điện tử thay đổi đầy "kịch tích" Ở đây, quy luật học lượng tử bắt đầu có hiệu lực [8] Việc phân loại hệ bán dẫn thấp chiều dựa số hướng không gian mà hạt mang điện chuyển động tự Từ đó, ta có hệ bán dẫn Bố cục luận văn thấp chiều sau [8]: Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo phụ lục, phần nội dung Luận văn gồm có ba chương Chương trình bày vấn đề tổng quan Chương trình bày phần tính giải tích cộng hưởng tham số phonon âm phonon quang bị giam giữ dây lượng tử hình chữ nhật Chương trình bày kết tính số thảo luận + Hệ giếng lượng tử siêu mạng: Trong hệ hạt mang điện bị nhốt theo hướng chuyển động tự theo hai hướng + Hệ dây lượng tử: Trong hệ hạt mang điện bị nhốt theo hai hướng chuyển động tự theo hướng khác + Hệ chấm lượng tử: Trong hệ hạt mang điện bị nhốt hướng chuyển động theo hướng cầu thực nghiệm mức độ phức tạp dạng Trong trường hợp cụ thể ghép hố với nhau, chẳng hạn chiều hố 1.1.2 parabol, chiều hố tam giác, chiều hố hình vuông Bán dẫn dây lượng tử chiều hố vô hạn [20] Dây lượng tử cấu trúc vật liệu chuyển động electron bị giới hạn theo hai chiều, kích cỡ tối đa cỡ 100 nm Trong dây 1.1.3 Dây lượng tử hình chữ nhật lượng tử, electron chuyển động tự theo chiều, hệ Xét dây lượng tử hình chữ nhật với tiết diện có cạnh Lx , Ly Phương electron tự gọi khí electron chuẩn chiều Khi lớp mỏng chất bán dẫn có vùng cấm hẹp bao quanh bán dẫn trình Schrodinger electron có dạng [8]: ˆ = Eψ, Hψ (1.1) ˆ = − ∇2 + U (z) + V, H 2m∗ (1.2) có vùng cấm rộng lớn ta có cấu trúc dây lượng tử [20] Hiện nay, người ta tạo nhiều dây lượng tử có tính chất tốt với nhiều cách khác Ví dụ: từ lớp giếng lượng tử nhờ kỹ thuật lithography (in li-to) photoetching (quang khắc), người ta tạo dây lượng tử có hình dạng khác mà phổ biến dây hình chữ đó, m∗ khối lượng hiệu dụng electron; U (z) nhật dây hình trụ Một loại dây lượng tử khác tạo electron theo phương z (ở ta chọn U (z) = 0); V cách định hình trước cho tinh thể lớn dần lên Đây loại dây electron mặt phẳng (x, y), có dạng:   0 ≤ x ≤ Lx , ≤ y ≤ Ly , V =  ∞ x > L , y > L x y cưa chữ V tạo nhờ nuôi Epitaxy rãnh hình chữ V với vật liệu không phân cực Ngoài có số cấu trúc hay nghiên cứu dây lượng tử hình chữ T, dây lượng tử hình lược (gắn nhiều dây lượng tử vào dây lượng tử khác, giống lược ) [20] Vì chuyển động electron theo phương z độc lập với chuyển động Do có cấu trúc chiều nên hiệu ứng lượng tử thể rõ so với cấu trúc lượng tử hai chiều Các khảo sát lý thuyết chủ yếu dựa mặt phẳng (x, y) nên hàm sóng lượng electron viết dạng: hàm sóng, phổ lượng thu nhờ giải phương trình Schrodinger ψ(x, y, z) = ψ(x, y)ψ(z), (1.4) E = Ez + Ex,y , (1.5) sử dụng tương tác Coulomb Các mô hình sử dụng hố cao vô hạn, hố parabol (thích hợp với dây có kích thước nhỏ), tam giác Sử dụng loại phụ thuộc vào điều kiện toán 2 Ez = (các giả thiết cấu trúc hình học dây, nhiệt độ, trường ), yêu k , 2m∗ 10 ψ(z) = √ eikz z , Lz (1.6) 11 với Lz độ dài dây; k thành phần vectơ sóng k theo phương z, ta nhận biểu thức lượng: k = (0, 0, kz ) Ex = Bây ta giải phương trình Schrodinger để tìm lượng hàm (1.7) Lz A2 (1.8) E = Ex + Ey (1.10) Từ ta thu hai phương trình theo hai phương x y d2 ψ(x) 2m∗ + Ex ψ(x) = 0, dx2 d2 ψ(y) 2m∗ + Ey ψ(y) = dy 2 Lx (1.18) nx πx sin Lx Lx (1.19) Tương tự ta có Khi phương trình (1.7) có dạng − ∂2 ∂2 [ + ]ψ(x)ψ(y) = (Ex + Ey )ψ(x)ψ(y) 2m∗ ∂x2 ∂y (1.17) nx πx dx = ⇒ A = Lx ψnx (x) = (1.9) nx πx , Lx Do Đây toán giếng chiều, ta đặt ψ(x, y) = ψ(x)ψ(y), sin2 ˆ = − [ ∂ + ∂ ] H 2m∗ ∂x2 ∂y (1.16) hệ số A xác định từ điều kiện chuẩn hóa nx = 1, 2, ψ(x) = A sin dạng ˆ Hψ(x, y) = Eψ(x, y), π 2 n2x , 2m∗ L2x hàm sóng viết lại sau sóng electron mặt phẳng (x, y) Phương trình Schrodinger có (1.3) Ey = ψny (y) = ny πy sin , Ly Ly (1.20) π 2 n2y ; 2m∗ L2y ny = 1, 2, (1.21) Cuối ta thu hàm sóng phổ lượng electron dây (1.11) lượng tử hình chữ nhật sau ψnx ny k (x, y, z) = (1.12) ikz e Lz nx πx sin Lx Lx ny πy sin , Ly Ly 2 k π n2x n2y + ( + ) ∗ 2m 2m∗ L2x L2y (1.22) 2 Enx ny (k) = Phương trình vi phân d2 ψ(x) 2m∗ + Ex ψ(x) = 0, dx2 (1.13) ψ(x) = A sin K1 x = B cos K1 x (1.14) có nghiệm là: 1.2 (1.23) Hamiltonian phonon âm phonon quang bị giam giữ dây lượng tử hình chữ nhật Sự giam giữ phonon có ảnh hưởng đến tốc độ thay đổi số phonon, Với K12 = 2m∗ 12 điều khảo sát cách áp dụng phương pháp Leburton Ex , (1.15) Fasol [5] 13 Khi xét cộng hưởng tham số phonon âm phonon quang bị giam nπy cos( mπx Lx ) cos( Ly ) SH4 = giữ dây lượng tử chữ nhật ta phải sử dụng Hamilton Frochlich m=2,4,6, n=2,4,6, nπ 1/2 [qz2 + ( mπ Lx ) + ( Ly ) ] [A− (qz )− + A+ − (−qz )− ], (1.29) hệ electron-phonon [5], [26], [30], [35] với Để thu Hamilton Frochlich mô tả tương tác phonon LO electron 1D, Stroscio xuất phát từ Hamilton Frochlich 3D, HF3Dr , áp đặt a+ (q) = − √ (aqz ,q + a−qz ,q ), thêm điều kiện biên LO-phonon theo hướng x hướng y triệt A+ (qz ) = √ [a± (qx , qy ) + a± (qx , −qy ), −i A− (qz ) = √ [a± (qx , qy ) − a± (qx , −qy ) tiêu Từ đó, toán tử HF3Dr có dạng: HF3Dr = VQ e−iQr (qQ + a+ ), −Q (1.24) Q Q = (qz , q) vectơ sóng phonon VQ=γ/Q2 số tương tác electron-phonon (γ số) Để tìm Hamiltonian Frohlich 1D (HF1Dr ) cho phonon bị giam giữ i a− (q) = − √ (aqz ,q − a−qz ,q ), (1.30) (1.31) (1.32) + Hai toán tử a+ + (−q) a− (−q) tương ứng liên hợp hai toán tử a+ (−q) a− (−q) Khi xét vectơ cường độ điện trường phân cực theo phương z ta viết lại Hamitonian Frohlich tương tác electron-phonon LO sau theo hai chiều x y ta viết tổng theo Q thành tổng theo q tổng theo giá trị dương q, khai triển exp(±iqx y) exp(±iqz ), với m n Tương tự ta xây dựng Hamitonian Frohlich tương tác electron-phonon LA y = ±Ly /2, ta tìm được: HF1Dr = 2γ (1.33) kz ,α,α ,qz ,m,n số lượng tử giam giữ phonon dây, chọn qx = ±mπ/Lx qy = ±nπ/Ly để đảm bảo mode triệt tiêu x = ±Lx /2 + γI1D (qz )c+ kz +qz ,α ckz ,α (bqz ,m,n + b−qz ,m,n ) He−op = e−iqx x [(SH1) + (SH2) + (SH3) + (SH4)], (1.25) + γ I1D (qz )c+ kz +qz ,α ckz ,α (aqz ,m,n + a−qz ,m,n ), He−ac = (1.34) kz ,α,α ,qz ,m,n qz trong I1D (qz ) thừa số dạng electron tương tác electronnπy cos( mπx Lx ) cos( Ly ) SH1 = m=1,3,5, n=1,3,5, nπy cos( mπx Lx ) cos( Ly ) SH2 = m=1,3,5, n=2,4,6, SH3 = nπ 1/2 [qz2 + ( mπ Lx ) + ( Ly ) ] nπ 1/2 [qz2 + ( mπ Lx ) + ( Ly ) ] nπy cos( mπx Lx ) cos( Ly ) [A+ (qz )+ + A+ + (−qz )+ ], [A+ (qz )− + A+ + (−qz )− ], phonon dây lượng tử [26], [35] (1.26) (1.27) + nπ 1/2 [A− (qz )+ + A− (−qz )+ ], [q + ( mπ Lx ) + ( Ly ) ] m=2,4,6, n=1,3,5, z (1.28) 15 14 electron- phonon bị giam giữ dây lượng tử có dạng [5]: Chương TÍNH GIẢI TÍCH CỘNG HƯỞNG THAM SỐ CỦA PHONON ÂM VÀ PHONON QUANG BỊ GIAM GIỮ TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT H(t) = He + Hac + Hop + He−ac + He−op e = εα (k − A(t))c+ c + ωq,m,n a+ q,m,n aq,m,n α,k α,k c q,m,n α,k + νq,m,n bq,m,n bq,m,n + q,m,n Chương trình bày Hamiltonian hệ electron-phonon bị giam giữ dây lượng tử hình chữ nhật tính toán giải tích để thu kết điều kiện cộng hưởng phonon âm dọc γI1D (q)c+ c (a + a+ −q,m,n ) k+q,α k,α q,m,n + k,α,α ,q,m,n γ I1D (q)c+ c (b + b+ −q,m,n ), k+q,α k,α q,m,n + k,α,α ,q,m,n (2.1) đó: (LA) phonon quang dọc (LO) bị giam giữ dây lượng k = (0, 0, kz ), q = (0, 0, qz ) xung lượng electron tử hình chữ nhật phonon bị giới hạn theo trục dây (trục z) 2.1 Hệ phương trình động lượng tử phương trình tán sắc cho phonon âm dọc (LA) phonon quang dọc (LO) bị giam giữ dây lượng tử hình chữ nhật 2.1.1 He = α,k εα (k Hac = q,m,n quang dọc (LO) bị giam giữ dây lượng tử hình chữ nhật có mặt trường xạ laser Chúng ta khảo sát tương tác electron- phonon bị giam giữ dây lượng tử hình chữ nhật đặt trường laser có vectơ cường độ điện trường E = E0 sin Ωt vuông góc với phương truyền sóng Thế vectơ tương ứng A(t) = Ωc E0 cos Ωt Nếu bỏ qua tương tác hạt loại (tương tác electron- electron, phonon- phonon) Hamiltonian 16 lượng điện tử không ωq,m,n a+ q,m,n aq,m,n lượng phonon âm bị giam giữ không tương tác q,m,n + νq,m,n bq,m,n bq,m,n lượng phonon quang bị giam giữ không tương tác He−ac = * Hamiltonian hệ điện tử-phonon âm dọc (LA) phonon + e c A(t))cα,k cα,k tương tác Hop = Hệ phương trình động lượng tử − + k,α,α ,q,m,n γI1D (q)ck+q,α ck,α (aq,m,n + a+ −q,m,n ) lượng tương tác điện tử phonon âm bị giam giữ He−op = k,α,α ,q,m,n γ I1D (q)c+ c (b + b+ −q,m,n ) lượng k+q,α k,α q,m,n tương tác điện tử phonon quang bị giam giữ εα (k − e c A(t)) phổ lượng điện tử trường c+ ck,α toán tử sinh hủy điện tử k,α + aq,m,n aq,m,n toán tử sinh hủy phonon âm b+ q,m,n bq,m,n toán tử sinh hủy phonon quang 17 ωq,m,n νq,m,n tần số phonon âm phonon quang * Phương trình động lượng tử cho phonon LA A(t) vectơ, xác định trường laser (E = E0 sin Ωt) Trong biểu diễn Heisenberg, phương trình chuyển động phonon c A(t) = E cos Ωt Ω (2.2) viết sau [3]: ∂ aq,m,n t = [aq,m,n , H] ∂t i γ γ hệ số tương tác điện tử phonon âm [30], = [aq,m,n , He ] t + [aq,m,n , Hac ] t + [aq,m,n , Hop ] điện tử phonon quang [5] γ=[ (2.3) x (2.4) giao hoán tử hai toán tử A B t trung bình thống kê toán tử x, [A, B] = AB − BA + [aq,m,n , aq+,m ,n ] = aq,m,n a+ q ,m ,n − aq ,m ,n aq,m,n = δq,q δm,m δn,n , + [aq , aq ,m ,n ] = [a+ q , aq ,m ,n ] = 0, χ∞ , χ0 mật độ thẩm điện môi cao tần tĩnh I1D (q) thừa số tương tác điện tử- phonon bị giam giữ dây Đồng thời áp dụng hệ thức: [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B, lượng tử hình chữ nhật [26], [35] (2π) mπ nπ | 4Pm,n [q + ( ) + ( )2 ]−1/2 |2 , Lx Ly m,n=1,3,5 Lx Ly Pm,n = dx dy Lx Ly −Ly /2 2 −Lx /2 [C, AB] = A[C, B] + [C, A]B (2.5) Ta thu với Ly /2 ny πy ny πy n πx nx πx ) cos( ) cos( x ) cos( ) cos( Lx Ly Lx Ly   mπx nπy  cos cos   Lx Ly     mπx nπy  (2.6)  sin cos Lx Ly × mπx nπy    sin L cos L   x y   mπx  nπy   sin sin Lx Ly [aq,m,n , He ] t = [aq,m,n , Hop ] t = [aq,m,n , He−op ] t = [35], [30]: P11 = ( 3π ) , P13 = P31 = 15 P11 , P15 = P51 = [aq,m,n , Hac ] t = ωq,m,n aq,m,n t , Thay (2.8), (2.9), (2.10) vào phương trình (2.7) ta ∂ aq,m,n t = ωq,m,n aq,m,n t + ∂t i ∂ + c c t = [c+ c , H] t = [c+ c , He ] k−q,α k,α k−q,α k,α ∂t k−q,α k,α (2.11) k,α,α Giả thiết t = −∞ hệ trạng thái cân nhiệt động aq,m,n = c+ c k−q,α k,α t=−∞ = (2.18) Lấy tích phân vế phương trình (2.18) t (2.12) + [c+ c , He−ac ] t + [c+ c , He−op ] k−q,α k,α k−q,α k,α ∂ c+ c k−q,α k,α t t −∞ = SH1 + SH2 + +SH3 + SH4 + SH5 t c+ c k−q,α k,α t = t −i εα (k) − εα (k − q) − −∞ e q A(t) dt1 (2.19) m∗ c Giải tích phân (2.19) ta tìm Tính số hạng (Phụ lục 2) thu kết e q A(t) m∗ c t=−∞ t + [c+ c , Hac ] t + [c+ c , Hop ] k−q,α k,α k−q,α k,α c+ c , k−q,α k,α t (2.13) SH2 = SH3 = 0, q1 ,m,n γI1D (−q) c+ c k−q,α k,α t 19 Tương tự ta thiết lập phương trình động lượng tử cho c+ c k−q,α k,α t SH4 = (2.10) k,α,α −1 35 P11 Để tìm biểu thức cuối phương trình (2.11) ta tìm c+ c k−q,α k,α t εα (k) − εα (k − q) − (2.9) γI1D (−q) c+ c k−q,α k,α t ∗[aq,m,n , He−ac ] t = 18 SH1 = (2.8) Theo phụ lục ta thu kết sau α,α Một số giá trị Pm,n tương ứng với giá trị m n sau i (2.7) Sử dụng hệ thức giao hoán sau: dạng Lx /2 t + [aq,m,n , He−ac ] t + [aq,m,n , He−op ] t , (qm,n + qz2 )ξ qξ 1/2 ] =[ ]1/2 , 2ρva V 2ρva V 2πe2 1 γ =[ ω( − )]1/2 V χ∞ χ0 V , ρ, va , ξ thể tích, mật độ, vận tốc âm số biến I1D (q) = t c+ c k−q,α k,α t = exp −i t εα (k) − εα (k − q) − −∞ e q A(t) dt1 (2.20) m∗ c Đặt + + γI1D (q1 ) (aq1 ,m,n + a+ −q1 ,m,n )(ck−q,α ck−q1 ,α − ck−q+q ,α ck,α ) t , c+ c = φ(t) c+ c k−q,α k,α t k−q,α k,α t (2.21) (2.14) SH5 = q1 ,m,n + + γ I1D (q1 ) (bq1 ,m,n + b+ −q1 ,m,n )(ck−q,α ck−q1 ,α − ck−q+q ,α ck,α ) t (2.15) Thay SH1, SH2, SH3, SH4, SH5 vào phương trình (2.12) ta ∂ + i c c ∂t k−q,α k,α = e q A(t) m∗ c γI1D (q1 ) (aq1 ,m,n + q1 ,m,n + q1 ,m,n ∂ + ∂φ(t) + c c t= ck−q,α ck,α ∂t k−q,α k,α ∂t i − φ(t) c+ c k−q,α k,α t εα (k) − εα (k − q) − e q A(t) m∗ c (2.22) c+ c k−q,α k,α + a+ −q1 ,m,n )(ck−q,α ck−q1 ,α t Hay − c+ c ) k−q+q ,α k,α t i + + γ I1D (q1 ) (bq1 ,m,n + b+ −q1 ,m,n )(ck−q,α ck−q1 ,α − ck−q+q ,α ck,α ) t (2.16) Để giải phương trình (2.16) ta giải phương trình vi phân sau ∂ + i c c ∂t k−q,α k,α t t εα (k) − εα (k − q) − + Lấy đạo hàm vế phương trình (2.21) (phụ lục 3) ta có t = e εα (k) − εα (k − q) − ∗ q A(t) mc 20 ∂φ(t) + ∂ + c c t=i ck−q,α ck,α ∂t k−q,α k,α ∂t + φ(t) c+ c k−q,α k,α =i t εα (k) − εα (k − q) − ∂φ(t) + ck−q,α ck,α ∂t + c+ c k−q,α k,α t t t εα (k) − εα (k − q) − c+ c (2.17) k−q,α k,α t e q A(t) m∗ c e q A(t) m∗ c (2.23) 21 So sánh phương trình (2.16) (2.23) ta có i ∂φ(t) + ck−q,α ck,α ∂t = q1 ,m,n + Thay (2.28) (2.20) vào phương trình (2.23) ta có c+ c k−q,α k,α t + + γI1D (q1 ) (aq1 ,m,n + a+ −q1 ,m,n )(ck−q,α ck−q1 ,α − ck−q+q ,α ck,α ) = γ I1D (q1 ) (bq1 ,m,n + q1 ,m,n − t1 i exp εα (k) − εα (k − q) − −∞ t c+ c ) k−q+q1 ,α k,α t −∞ t1 i × exp + b+ −q1 ,m,n )(ck−q,α ck−q1 ,α t t −i εα (k) − εα (k − q) − −∞ −i = −∞t (2.24) dt1 q1 ,m,n − c+ c ) k−q+q ,α k,α t1 Ta viết gọn phương trình (2.24) sau γI1D (q1 ) (bq1 ,m,n + b+ −q1 ,m,n ) + q1 ,m,n (2.25) t1 t1 i × exp e q A(t2 ) dt2 m∗ c + γI1D (q1 ) (aq1 ,m,n + a+ −q1 ,m,n )(ck−q,α ck−q1 ,α × (c+ c − c+ c ) k−q,α k−q1 ,α k−q+q ,α k,α ∂φ(t) F (t) i = + , ∂t ck−q,α ck,α 0t e q A(t2 ) dt2 F (t1 )dt1 m∗ c [εα (k) − εα (k − q)](t1 − t) − −∞ ie m∗ c t1 q A(t2 )dt2 t (2.29) với Sử dụng hàm phân bố điện tử [2] ta có F (t) = q1 ,m,n + q1 ,m,n + + γI1D (q1 ) (aq1 ,m,n + a+ −q1 ,m,n )(ck−q,α ck−q1 ,α − ck−q+q ,α ck,α ) c+ c k−q,α k−q1 ,α t + + γ I1D (q1 ) (bq1 ,m,n + b+ −q1 ,m,n )(ck−q,α ck−q1 ,α − ck−q+q ,α ck,α ) t (2.26) ∂ aq,m,n ∂t −∞ e εα (k) − εα (k − q) − ∗ q A(t1 ) dt1 F (t) (2.27) mc t t i − γI1D (−q)γI1D (q) −∞ k,α,α − Lấy tích phân vế phương trình (2.27) t i γI1D (−q)γ I1D (q) −∞ k,α,α φ(t) = t −i i exp −∞ t1 εα (k) − εα (k − q) − −∞ e q A(t2 ) dt2 F (t1 )dt1 m∗ c (2.28) i × exp E0 cq t1 q A(t2 )dt2 = cos Ωt2 dt2 Ω t E0 cq = (sin Ωt1 − sin Ωt) Ω2 (2.33) t q A(t2 )dt2 dt1 phonon lại ∂ + + a t − iωq,m,n aq,m,n t ∂t q,m,n +∞ = Jl (λ)Js (λ)[nα (k − q) − nα (k)] k,α,α l,s=−∞ × ie m∗ c t1 t (2.32) t Do ta có t1 ie m∗ c [εα (k) − εα (k − q)](t1 − t) − 23 Mà ta có t (aq,m,n + a+ −q,m,n ) t1 (nα (k − q) − nα (k)) (bq,m,n + b+ −q,m,n ) t1 (nα (k − q) − nα (k)) 22 t1 (2.31) t = ωq,m,n aq,m,n t (2.30) Thay (2.29) , (2.30) (2.31) vào phương trình (2.11) ta thu i Thay (2.20) vào (2.25) ta có i = nα (k − q1 )δq,q1 , c+ c = nα (k)δq,q1 k−q+q ,α k,α t ∂φ(t) = exp i ∂t t −∞ ieE0 q q A(t2 )dt2 = ∗ (sin Ωt1 − sin Ωt) mΩ (2.34) |γI1D (q)|2 aq,m,n + a+ −q,m,n i × exp t1 + γγ |I1D (q)|2 bq,m,n + b+ −q,m,n t1 [εα (k) − εα (k − q)](t1 − t) − ilΩt1 + Ωt dt1 (2.36) Đặt eE q λ = ∗ 2, mΩ ∂ bq,m,n t + iνq,m,n bq,m,n t ∂t +∞ −1 = Jl (λ)Js (λ)[nα (k − q) − nα (k)] Sử dụng hàm Bessel [3] k,α,α l,s=−∞ +∞ exp(±iz sin θ) = t Jn (z) exp(±inθ) × n=−∞ −∞ Ta có × exp +∞ |γ I1D (q)|2 aq,m,n + a+ −q,m,n i t1 + γγ |I1D (q)|2 bq,m,n + b+ −q,m,n [εα (k) − εα (k − q)](t1 − t) − ilΩt1 + Ωt dt1 +∞ exp[iλ(sin Ωt1 − sin Ωt)] = (2.37) Jl (λ)Js (λ) exp[iΩ(lt1 − st)] s=−∞ l=−∞ Vậy ta thu phương trình động lượng tử cho phonon âm bị giam giữ dây lượng tử hình chữ nhật sau ∂ + + b t − iνq,m,n bq,m,n t ∂t q,m,n +∞ = Jl (λ)Js (λ)[nα (k − q) − nα (k)] k,α,α l,s=−∞ t ∂ aq,m,n t + iωq,m,n aq,m,n t ∂t +∞ −1 Jl (λ)Js (λ)[nα (k − q) − nα (k)] = × −∞ × exp |γ I1D (q)|2 aq,m,n + a+ −q,m,n i t1 + γγ |I1D (q)|2 bq,m,n + b+ −q,m,n t −∞ × exp (2.38) |γI1D (q)|2 aq,m,n + a+ −q,m,n i t1 [εα (k) − εα (k − q)](t1 − t) − ilΩt1 + Ωt dt1 k,α,α l,s=−∞ × t1 t1 + γγ |I1D (q)|2 bq,m,n + b+ −q,m,n t1 2.1.2 [εα (k) − εα (k − q)](t1 − t) − ilΩt1 + Ωt dt1 (2.35) Phương trình tán sắc Sử dụng công thức chuyển phổ Fourier [3] ta có +∞ Tương tự ta thu phương trình động lượng tử cho 24 Aq,m,n (ω) = −∞ 25 aq,m,n t eiωt dt, ⇒ aq,m,n t = +∞ 2π +∞ ∂ −i aq,m,n t = ∂t 2π a+ −q,m,n t −∞ bq,m,n t (2.40) +∞ −iωt A+ dω, −q,m,n (ω)e −i +∞ (2.41) × −iωt A+ dω, −q,m,n (ω)e (2.42) (2.43) × exp Bq,m,n (ω)e−iωt dω, = −∞ Ta thực giả thiết đoạn nhiệt tương tác, nghĩa ta thêm vào + B−q,m,n (ω)e−iωt dω, +∞ −∞ (2.45) + B−q,m,n (ω)e−iωt dω (2.46) phương trình (2.48) lượng eδt1 với δ → (phụ lục 4), ta có +∞ +∞ = ωq,m,n Aq,m,n (ω)e−iωt dω −∞ Jl (λ)Js (λ)[nα (k − q) − nα (k)] i exp × +∞ −iωt1 × dt1 |γI1D (q)| [Aq,m,n (ω) + A+ dω −q,m,n (ω)]e 2π −∞ −∞ +∞ + + γγ |I1D (q)|2 [Bq,m,n (ω) + B−q,m,n (ω)]e−iωt1 dω 2π −∞ i × exp [εα (k) − εα (k − q)](t1 − t) − ilΩt1 + isΩt +∞ k,α,α l,s=−∞ +∞ dω[Aq,m,n (ω) + A+ |γI1D (q)|2 −q,m,n (ω)] −∞ +∞ + + γγ |I1D (q)|2 dω[Bq,m,n (ω) + B−q,m,n (ω)] −∞ k,α,α l,s=−∞ t (ω − ωq,m,n )Aq,m,n (ω)e−iωt dω −∞ Jl (λ)Js (λ)[nα (k − q) − nα (k)] [εα (k) − εα (k − q)](t1 − t) − ilΩt1 + isΩt − iωt1 (2.48) +∞ −1 i + [Bq,m,n (ω) + B−q,m,n (ω)]e−iωt1 dω −∞ +∞ i 2π Aq,m,n (ω)e−iωt dω + +∞ (2.47) [εα (k) − εα (k − q) − ω − l Ω − iδ ] Sử dụng công thức chuyển phổ Fourier [3] +∞ +∞ Aq,m,n (ω)e−i[ω+(l−s)Ω]t dω = −∞ × |γI1D (q)|2 Pu (ω, q) u=−∞ Jl (λ)Js (λ)[nα (k − q) − nα (k)] × [Aq,m,n (ω − uΩ) + A+ −q,m,n (ω − uΩ)] +∞ + −∞ +∞ −∞ (Aq,m,n [ω + (l − s)Ω] + A+ −q,m,n [ω + (l − s)Ω]) + (Bq,m,n [ω + (l − s)Ω] + B−q,m,n [ω + (l − s)Ω]) e−iωt |γI1D (q)|2 α,α +∞ k,α,α l,s=−∞ × +∞ (ω − ωq,m,n )Aq,m,n (ω) = −∞ + γγ I1D (q)|2 Aq,m,n [ω + (l − s)Ω]e−iωt dω (2.50) −∞ Thay đại lượng vào phương trình (2.52) ta có (ω − ωq,m,n )Aq,m,n (ω)e−iωt dω 27 Thay (2.50) vào (2.49) ta có = [εα (k) − εα (k − q) − l Ω] − ω − iδ +∞ γγ |I1D (q)|2 u=−∞ α,α + × [Bq,m,n (ω − uΩ) + B−q,m,n (ω − uΩ)] (ω + ωq,m,n )A+ −q,m,n (ω) = +∞ −1 |γI1D (q)|2 Suy Pu (ω, q) u=−∞ α,α × [Aq,m,n (ω − uΩ) + A+ −q,m,n (ω − uΩ)] (ω − ωq,m,n )Aq,m,n (ω) + 2 + γγ I1D (q)| (Bq,m,n [ω + (l − s)Ω] + + B−q,m,n [ω [εα (k) − εα (k − q) − l Ω] − ω − iδ (2.56) Pu (ω, q) u=−∞ + × [Bq,m,n (ω − uΩ) + B−q,m,n (ω − uΩ)] × |γI1D (q)|2 (Aq,m,n [ω + (l − s)Ω] + A+ −q,m,n [ω + (l − s)Ω]) γγ |I1D (q)|2 α,α Jl (λ)Js (λ)[nα (k − q) − nα (k)] k,α,α l,s=−∞ × +∞ −1 +∞ (2.55) Pu (ω, q) Tương tự ta tính (2.51) = (2.49) [εα (k) − εα (k − q) − s Ω]t 26 +∞ −iωt1 [Aq,m,n (ω) + A+ dω −q,m,n (ω)]e (2.44) (2.35) ta có +∞ −∞ + γγ |I1D (q)|2 Bq,m,n (ω)e−iωt dω, +∞ dt1 |γI1D (q)|2 −∞ Sử dụng kết chuyển phổ Fourier thay vào phương trình −∞ Jl (λ)Js (λ)[nα (k − q) − nα (k)] −∞ +∞ ∂ + −i b t = ∂t −q,m,n 2π −i 2π +∞ −1 k,α,α l,s=−∞ −∞ 2π (ω − ωq,m,n )Aq,m,n (ω)e−iωt dω −∞ t −∞ ∂ −i bq,m,n t = ∂t 2π b+ −q,m,n t = Aq,m,n (ω)e−iωt dω, Suy = +∞ ∂ + −i a t = ∂t −q,m,n 2π = 2π (2.39) −∞ +∞ = 2π Aq,m,n (ω)e−iωt dω, −∞ + (l − s)Ω]) (ω − νq,m,n )Bq,m,n (ω) = +∞ |γ I1D (q)|2 Pu (ω, q) u=−∞ α,α + × [Bq,m,n (ω − uΩ) + B−q,m,n (ω − uΩ)] + +∞ γγ |I1D (q)|2 u=−∞ α,α (2.52) (2.57) Pu (ω, q) × [Aq,m,n (ω − uΩ) + A+ −q,m,n (ω − uΩ)] Đặt + (ω + νq,m,n )B−q,m,n (ω) = u = s − l nα (k − q) − nα (k) Γq (ω + lΩ) = k εα (k − q) − εα (k) + lΩ + ω + i δ |γ I1D (q)|2 (2.53) +∞ + × [Bq,m,n (ω − uΩ) + B−q,m,n (ω − uΩ)] +∞ −1 γγ |I1D (q)|2 u=−∞ 28 (2.54) Pu (ω, q) u=−∞ α,α Jl (λ)Ju+l (λ)Γq (ω + lΩ) Pu (ω, q) u=−∞ α,α + Pu (ω, q) = +∞ −1 × [Aq,m,n (ω − uΩ) + A+ −q,m,n (ω − uΩ)] 29 (2.58) Từ phương trình (2.55) (2.56) ta có * Nhận xét: (ω − ωq,m,n )Aq,m,n (ω) = −(ω + ωq,m,n )A+ −q,m,n (ω.) (2.59) • Trong phương trình (2.64) (2.65), số hạng đầu vế phải mô tả tương tác phonon loại (phonon âm phonon âm, phonon Thay ω = ω − uΩ vào (2.59) ta có (ω−uΩ−ωq,m,n )Aq,m,n (ω−uΩ) = quang phonon quang), số hạng thứ hai mô tả tương tác phonon −(ω−uΩ+ωq,m,n )A+ −q,m,n (ω−uΩ) (2.60) khác loại (phonon âm phonon quang) • Nếu bỏ qua tương tác phonon loại xét đến tương Suy A+ −q,m,n (ω − uΩ) = − ω − uΩ − ωq,m,n Aq,m,n (ω − uΩ) ω − uΩ + ωq,m,n tác phonon khác loại số hạng thứ vế phải (2.61) Hay phương trình (2.64) (2.65) ta cho u = Khi u = ta có 2ωq,m,n Aq,m,n (ω−uΩ) (2.62) ω − uΩ + ωq,m,n Aq,m,n (ω−uΩ)+A+ −q,m,n (ω−uΩ) = (ω − ωq,m,n )Aq,m,n (ω) = Tương tự ta tính ωq,m,n P0 (ω, q) Aq,m,n (ω) ω + ωq,m,n |γI1D (q)|2 α,α 2νq,m,n Bq,m,n (ω −uΩ) (2.63) ω − uΩ + νq,m,n + Bq,m,n (ω −uΩ)+B−q,m,n (ω −uΩ) = + +∞ γγ |I1D (q)|2 u=−∞ α,α νq,m,n Pu (ω, q) Bq,m,n (ω − uΩ) ω − uΩ + νq,m,n Thay (2.61) (2.62) vào (2.55) (2.54) ta có (2.66) (ω − ωq,m,n )Aq,m,n (ω) = ωq,m,n Pu (ω, q) |γI1D (q)| Aq,m,n (ω − uΩ) ω − uΩ + ωq,m,n u=−∞ α,α +∞ + Suy +∞ γγ |I1D (q)|2 u=−∞ α,α νq,m,n Pu (ω, q) Bq,m,n (ω − uΩ) ω − uΩ + νq,m,n 2 (ω − ωq,m,n )Aq,m,n (ω) − |γI1D (q)|2 ωq,m,n P0 (ω, q)Aq,m,n (ω) α,α = +∞ γγ |I1D (q)|2 Pu (ω, q) u=−∞ α,α (ω + ωq,m,n )νq,m,n Bq,m,n (ω − uΩ) ω − uΩ + νq,m,n (2.64) (ω − νq,m,n )Bq,m,n (ω) Tương tự +∞ = |γ I1D (q)|2 u=−∞ α,α + (2.67) νq,m,n Pu (ω, q) Bq,m,n (ω − uΩ) ω − uΩ + νq,m,n (ω − νq,m,n )Bq,m,n (ω) − γγ |I1D (q)|2 α,α ωq,m,n Pu (ω, q) Aq,m,n (ω − uΩ) ω − uΩ + ωq,m,n u=−∞ |γ I1D (q)|2 νq,m,n P0 (ω, q)Bq,m,n (ω) α,α +∞ 2 = +∞ γγ |I1D (q)|2 Pu (ω, q) u=−∞ α,α (ω + νq,m,n )ωq,m,n Aq,m,n (ω − uΩ) ω − uΩ + ωq,m,n (2.65) (2.68) 30 31 Thay ω = ω − uΩ ω − uΩ = ω vào phương trình (2.68) ta có [(ω − uΩ)2 − νq,m,n ]− suy biến không suy biến; cho trường laser mạnh (hấp thụ nhiều |γ I1D (q)|2 νq,m,n P0 (ω − uΩ, q) Bq,m,n (ω − uΩ) photon) miền tần số khác (từ cổ điển đến lượng tử) α,α = +∞ 2 γγ |I1D (q)| Pu (ω, q) u=−∞ α,α (ω − uΩ + νq,m,n )ωq,m,n Aq,m,n (ω) ω + ωq,m,n 2.2 Cộng hưởng tham số phonon âm phonon quang bị giam giữ dây lượng tử hình chữ (2.69) nhật Suy Bq,m,n (ω − uΩ) = α,α 2.2.1 (ω−uΩ+νq,m,n ) +∞ u=−∞ Pu (ω, q)ωq,m,n Aq,m,n (ω) ω+ωq,m,n 2 νq,m,n − α,α |γ I1D (q)| νq,m,n P0 (ω − uΩ, q) Điều kiện gia tăng tham số cho phonon âm γγ |I1D (q)|2 (ω − uΩ)2 − Điều kiện cộng hưởng tham số thỏa mãn (2.70) Thay (2.70) vào (2.67) ta thu kết [ω − ωq,m,n − Khi |ωq,m,n − N Ω| = νq,m,n thực tổng theo u vế phải |γI1D (q)|2 P0 (ω, q)ωq,m,n ] phương trình (2.70) lại số hạng u = N |γ I1D (q)|2 P0 (ω − uΩ, q)νq,m,n ] α,α = (2.71) Giả thiết tương tác electron-phonon thỏa mãn điều kiện +∞ |γγ I1D (q)|2 ωq,m,n νq,m,n α,α (2.72) với N số nguyên α,α × [(ω − uΩ)2 − νq,m,n − |ωq,m,n − N Ω| = νq,m,n , |γI1D (q)|2 |γ I1D (q)|2 Pu (ω, q)Pu (ω − uΩ, q) u=−∞ Chúng ta giới hạn tính toán vùng cộng hưởng bậc (N = 1) Nhận xét: ωq,m,n ± νq,m,n = Ω, • Phương trình (2.71) phương trình tán sắc tổng quát cho cộng Trong trường hợp này, ta có hưởng tham số phonon âm phonon quang bị giam giữ dây ω − ωq,m,n − lượng tử hình chữ nhật Phương trình đóng vai trò quan trọng việc nghiên cứu phổ tái chuẩn hóa phonon tương tác với electron có mặt trường laser Từ (2.71) xác định điều kiện để xảy gia tăng tham số biến đổi tham số kích thích, tức điều kiện xảy chuyển giao lượng từ kích thích sang kích thích khác • Phương trình (2.71) áp dụng cho trường hợp khí electron 32 |γI1D (q)|2 ωq,m,n P0 (ω, q) = (2.73) α,α Phổ phonon âm có dạng ωac (q, m, n) = ωa + iτa với điều kiện |ωa | τa Từ (2.73) suy ωa τa ωa = + ωq,m,n |γI1D (q)|2 ωq,m,n ReP0 (ωq,m,n , q) α,α 33 (2.74) Hay Với ω = νq,m,n ta thu Reωac = ωa ωq,m,n = + |γI1D (q)|2 ωq,m,n Re[P0 (ω, q)] [ωq,m,n + |γI1D (q)|2 P0 (ω, q)]2 − α,α α,α |γI1D (q)|4 P02 (ω, q) α,α sóng âm sóng quang hòa vào nhau, lúc cộng hưởng lớn Vì vậy, khảo sát trạng thái hệ tức xem xét phụ thuộc tần số ω vào số sóng q vùng lân cận gần điểm (ω0 , q0 ) |γI1D (q)|4 nên bỏ qua, Reωac ωq,m,n + trị số thấp theo số tương tác electron-phonon tần số sóng |γI1D (q)|2 P0 (ω, q) (2.76) ωac (q, m, n) ωop (q, m, n) (2.77) tương hỗ phonon α,α 2 Im[ω − ωq,m,n − τa = ∂ ∂ω (2.82) Nếu tần số sóng ωq,m,n ≡ νq,m,n số sóng trùng (2.75) Vì |γ I1D (q)|2 ImP0 (νq,m,n , q) α,α α,α = −1 τ0 = |γI1D (q)|2 P0 (ω, q)ωq,m,n ] α,α 2 Re[ω − ωq,m,n − Độ hiệu chỉnh ∆ω tần số ω (so với ω0 ) tạo nên mối quan hệ |γI1D (q)|2 P0 (ω, q)ωq,m,n ] α,α (±) ∆ω± = Với ω = ωq,m,n ta thu τa = −1 (va ±v0 )∆(q)−i(τa +τ0 )± (2.83) |γI1D (q)|2 ImP0 (ωq,m,n , q) (2.78) Vì phổ phonon âm α,α (±) ω± = ωac + Tương tự phonon quang (ω − N Ω)2 − νq,m,n − [(va ± v0 )∆(q) − i(τa + τ0 )]2 ± Λ2 |γ I1D (q)|2 νq,m,n P0 (ω − N Ω, q) = (2.84) [(va ± v0 )∆(q) − i(τa + τ0 )]2 ± Λ2 , ± (2.79) (va ± v0 )∆(q) − i(τa + τ0 ) α,α va , v0 vận tốc nhóm phonon âm phonon quang Phổ phonon quang có dạng ωop (q, m, n) = ω0 + iτ0 với điều kiện |ω0 | τ0 , va = Reωop = ω0 νq,m,n + |γ I1D (q)|2 Re[P0 (νq,m,n , q)], v0 = − Im[(ω − N Ω)2 − νq,m,n τ0 = ∂ ∂ω Re[(ω − N Ω)2 − νq,m,n − α,α |γ I1D (q)|2 P0 (ω, q)νq,m,n ] |γ I1D (q)|2 P0 (ω, q)νq,m,n ] α,α ∂ ∂q − Re[ω − ωq,m,n ∂ ∂ω − Re[ω − ωq,m,n α,α |γI1D (q)|2 P0 (ω, q)ωq,m,n ] α,α |γI1D (q)|2 P0 (ω, q)ωq,m,n ] , (2.85) (2.80) α,α dω = dq = dω dq ∂ 2 ∂q {Re[(ω − N Ω) − νq,m,n − ∂ ∂ω {Re[(ω − N Ω)2 − νq,m,n − 2 α,α |γI1D (q)|2 P0 (ω − N Ω, q)νq,m,n ]} α,α |γ I1D (q)|2 P0 (ω − N Ω, q)νq,m,n ]} (2.86) (2.81) 34 35 ωa tần số phonon âm tái chuẩn hóa tương tác electron-phonon bậc λ hạn chế cộng hưởng bậc (N = 1) Ta có τa , τ0 số suy giảm điện tử phonon âm phonon quang J0 (λ) = − λ2 + ∆q = q − q0 khoảng cách đến giao điểm đường cong tán sắc, ∆q q J1 (λ) = −J−1 (λ) = Số hạng Λ có dạng Λ= 1, λ λ3 − + 16 λ Theo phụ lục ta có γγ |I1D (q)|2 PN (q, m, n) (2.87) P0 (ω, q) = Γq (ω), α,α P1 (ω, q) = (±) Trong phương trình (2.84), cặp dấu ω± tương ứng với dấu trước bậc 2, cặp dấu tương ứng với dấu lại dấu phụ λ [Γq (ω) − Γq (ω − Ω)] Đặt thuộc vào điều kiện cộng hưởng νq,m,n ± ωq,m,n = N Ω Γq (ω) = ReΓq (ω) + ImΓq (ω) = θ(ω) + iγ(ω) Ta tìm ngưỡng gia tăng tham số phonon âm cho trường hợp ∆q = Điều kiện để gia tăng tham số phonon âm Do |Λ|2 = − F = Imω+ > (2.88) |Λ|2 > 4τa τ0 (2.89) γ γ |I1D (q)|4 αα λ2 [θ(ωq,m,n ) − θ(ωq,m,n − Ω)]2 (2.91) + [γ(ωq,m,n ) − γ(ωq,m,n − Ω)]2 Theo phụ lục ta có τa τ0 = γ γ |I1D (q)|4 γ(ωq,m,n )γ(νq,m,n ) (2.92) α,α Từ phương trình (2.87) để tìm Λ ta tìm PN Thay (2.91) (2.92) vào (2.89) ta điều kiện cộng hưởng tham số cho +∞ PN (ω, q) = Jl (λ)Ju+l (λ)Γq (ω + lΩ), (2.90) phonon âm sau l=−∞ E0 > Eth Jn (λ) hàm Bessel +∞ Jn (λ) = n=0 (−1)s λ s!(n + s)! n+2s = λn λn+2 − , 2n n! 2n+2 (n + 1)! nα (k) − nα (k − q) Γq (ω + lΩ) = k [εα (k) − εα (k − q) − (lΩ + ω)] − iδ Xét trường hợp sóng điện từ không mạnh, λ = γ(ωq,m,n )γ(νq,m,n ) [θ(ωq,m,n ) − θ(ωq,m,n − Ω)]2 + [γ(ωq,m,n ) − γ(ωq,m,n − Ω)]2 (2.93) Biểu thức (2.93) cho thấy gia tăng tham số phonon âm Trong phân tích hàm Bessel theo đối số ta giữ lại số hạng tỉ lệ đến 36 2m∗ Ω2 eq đạt biên độ trường sóng điện từ lớn giá trị ngưỡng Eth 37 2.2.2 Điều kiện cộng hưởng tham số phonon âm phonon quang trường hợp khí electron không suy biến Ta có k Trường hợp khí electron không suy biến, hàm phân bố điện tử theo phân εα (k) − εα (k − q) − (lΩ + ω) + iπ[nα (k) − nα (k − q)]δ[εα (k) − εα (k − q) − (lΩ + ω)] bố Boltzman nα (k) = eβ[εf −εα (k)] = eβεf e−βεα (k) , nα (k) − nα (k − q) Γq (ω + lΩ) = (2.98) (2.94) Do đó: +β= γ(ωq,m,n ) = π kB T , [nα (k) − nα (k − q)]δ[εα (k) − εα (k − q) − ωq,m,n ] (2.99) k + kB : số Boltzman, 2 k 2m∗ 2m∗ , ta có ( ) = εα (k) − εα (k − q) = (εα − εα ) − σq + 2σ kq nα (k) − nα (k − q) = e (2.100) Sử dụng công thức chuyển tổng sang tích phân + εα đặt σ = βεf εα (k) − εα (k − q) − ωq,m,n k + εf : lượng fecmi Sử dụng εα (k) = nα (k) − nα (k − q) θ(ωq,m,n ) = + T : Nhiệt độ toàn hệ, [e −βσk −β e α −e −βσ(k −2kq) −β(εα +σq e k (2.95) )] δ[εα (k) − εα (k − q) − ωq,m,n ] = δ[ε(a) + 2qσk], (2.96) ( )dk, −∞ với Lz chiều dài sợi dây * Tìm γ(ωq,m,n ) (2.97) γ(ωq,m,n ) = π với +∞ Lz 2π +∞ ε(a) = εα − εα − σq − ωq,m,n +∞ Lz 2π − eβεf e−β(εα +σk ) δ[ε(a) + 2qσk]dk −∞ eβεf e−β(εα +σq ) e−βσ(k −2kq) δ[ε(a) + 2qσk]dk (2.101) −∞ Để tìm biểu thức giải tích điều kiện cộng hưởng tham số cho phonon âm ta cần tìm hàm θ(ωq,m,n ), γ(ωq,m,n ) = Lz βef e (I1 − I2) Theo phụ lục ta có +∞ I1 = Ta áp dụng công thức 1 = + iπδ(X) X − iδ X = +∞ vào biểu thức I2 = − εα (k) − εα (k − q) − (lΩ + ω) − i δ k = e−β(εα +σq ) e−βσ(k −2kq) m∗ −β[εα + 2qm2∗ (εa )2 − e q Thay (2.102) (2.103) vào (2.101) ta thu Lz m∗ βεf −β[εα + 2qm2∗ (ε(a) )2 ] e e (1 − eβ γ(ωq,m,n ) = 2q (2.103) ωq,m,n ] Thay (2.104), (2.105), (2.109) (2.110) vào (2.93) ta thu kết ωq,m,n ) (2.104) biểu thức giải tích điều kiện gia tăng tham số cho phonon âm có tác dụng trường laser trường hợp khí electron không * Tương tự ta tính γ(νq,m,n ) suy biến Lz m∗ −βεf −β[εα + 2qm2∗ (ε(0) )2 ] e e (1 − eβ 2q νq,m,n ) (2.105) với ε(0) = εα − εα − σq − νq,m,n * Tìm θ(ωq,m,n ) nα (k) − nα (k − q) θ(ωq,m,n ) = k εα (k) − εα (k − q) − ωq,m,n +∞ ε(a) + 2qσk +∞ 2 − dkeβεf e−β(εα +σq ) e−βσ(k −2qk) (a) ε + 2qσk −∞ Lz βεf = e (I3 − I4) 2π = Lz 2π dkeβεf e−β(εα +σk ) −∞ (2.106) Theo phụ lục ta có +∞ I3 = dkeβεf e−β(εα +σk −∞ = +∞ I4 = = ) ε(a) + 2qσk 2m∗ π e−βεα β ε(a) dkeβεf e−β(εα +σq ) e−βσ(k −∞ −2qk) ε(a) + 2qσk 2m∗ π e−βεα β ε(a) (2.107) (2.108) Thay (2.107) (2.108) vào (2.106) ta thu θ(ωq,m,n ) = m∗ Lz eβεf βεα [e − eβεα ] 2πβ ε(a) (2.109) Tương tự ta có θq (ωq,m,n − Ω) θ(ωq,m,n − Ω) = m∗ Lz eβεf [eβεα − eβεα ] 2πβ ε(a) + Ω 40 δ[ε(a) + 2qσk]dk 39 38 γ(νq,m,n ) = (2.102) ∗ (εa )2 m −βεα −βm e e 2q2 q −∞ nα (k) − nα (k − q) Γq (ω + lΩ) = e−β(εα +σk ) δ[ε(a) + 2qσk]dk −∞ ∗ (2.110) 41 phonon quang ν = 36.25 meV, biên độ trường E0 = 106 V/m, vận tốc âm va = 5370 m/s Chương KẾT QUẢ TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN 3.1 Biểu diễn phụ thuộc biên độ trường ngưỡng cộng hưởng Khảo sát phụ thuộc biên độ trường ngưỡng vào số sóng âm phonon âm phonon quang hệ số khuếch đại tham số F vào số sóng âm, vào chiều dài sợi dây 15 Vm Ở chương ta thấy điều kiện cộng hưởng tham số xảy biên độ trường laser lớn biên độ trường ngưỡng Eth Trong 10 x105 biểu thức biên độ trường ngưỡng Eth phụ thuộc vào tần số Ω trường ngoài, phụ thuộc vào kích thước dây số sóng qz điện tử, Eth phụ thuộc vào nhiệt độ T Vì ta lập chương trình tính số vẽ đồ thị phụ thuộc biên độ trường ngưỡng Eth vào đại lượng qz 108 m Chúng ta thấy rằng, biểu thức hàm θ(ωq,m,n ) γ(ωq,m,n ) Hình 3.1: Sự phụ thuộc vào số sóng âm biên độ trường ngưỡng Eth giá trị có chứa phổ lượng điện tử bị lượng tử hóa theo phương x nhiệt độ khác Đường liền nét, đường gạch gạch, đường chấm chấm tương y, chúng phụ thuộc vào số lượng tử nx ny Tương tự ứng với nhiệt độ T=73 K, 77 K, 81 K Ở đây, Ω = × 1013 Hz, Lx = 40 nm, giam giữ phonon âm phonon quang dẫn đến phụ thuộc Ly = 10 nm, Lz = 60 nm đại lượng vào số lượng tử hóa n, m Ở thực Hình 3.1 biểu diễn phụ thuộc biên độ trường ngưỡng Eth tính toán vùng tương ứng với số lượng tử hóa nhỏ vào số sóng qz tương ứng với giá trị khác nhiệt độ Từ đồ thị (nx {1, 2}, ny {1, 2}, m = n = 1) ta thấy, khoảng số sóng khảo sát, đường cong có điểm cực đại Trước hết ta lập chương trình tính toán khai báo tất giá (đỉnh) ứng với giá trị khác số sóng qz không đối xứng qua trị số e, , kB Chọn dây lượng tử GaAs/GaAsAl với thông đỉnh Điều giải thích sau: Trường với biên độ ∗ −32 số sau [12], [29]: khối lượng hiệu dụng điện tử m = 6.097 × 10 lớn biên độ trường ngưỡng tương ứng gây gia tăng tham kg, số điện môi ε = 13.5, độ thẩm điện môi cao tần χ∞ = 10.9, độ số cho phonon âm hai miền số sóng tương ứng với hai dấu (±) thẩm điện môi tĩnh χ0 = 12.9, lượng Fermi εf = 50 meV, lượng biểu thức ωq ± Ω = νq Từ đồ thị ta nhận thấy biên độ trường ngưỡng 42 43 nhạy với nhiệt độ, nhiệt độ tăng biên độ trường ngưỡng tăng đạt giá trị cực đại tương ứng lân cận Lx = 27 nm Như biên độ trường Ngoài đồ thị cho thấy số sóng tăng đỉnh cực đại lớn biên độ trường ngưỡng gây gia tăng tham số cho có giá trị thấp, nghĩa tương ứng với giá trị biên độ trường ngưỡng phonon âm kích thước Lx sợi dây nằm khoảng 20 nm - 35 nm nhỏ Ngoài từ đồ thị ta thấy biên độ trường ngưỡng phụ thuộc vào tần số trường ngoài, tần số trường lớn giá trị đỉnh cực đại 3.2 Khảo sát phụ thuộc biên độ trường ngưỡng cao vào kích thước dây 3.3 Khảo sát phụ thuộc biên độ trường ngưỡng vào nhiệt độ 18 16 Vm 14 12 x105 Eth x 105 Vm 10 10 15 Lx 20 nm 25 30 35 Eth Hình 3.2: Sự phụ thuộc vào kích thước sợi dây biên độ trường ngưỡng Eth giá trị tần số laser khác trường Đường liền nét, đường gạch gạch, đường chấm chấm tương ứng với tần số Ω=4.0 Hz, 4.5 Hz, 5.0 Hz Ở đây, T = 77 K, Ly = 20 nm, Lz = 60 nm, qz = 1.5 × 108 m−1 Hình 3.2 biểu diễn phụ thuộc biên độ trường ngưỡng Eth 100 200 T 300 400 K Hình 3.3: Sự phụ thuộc vào nhiệt độ biên độ trường ngưỡng giá trị số sóng khác Đường liền nét, đường gạch gạch, đường chấm chấm tương ứng với số sóng qz = 1.65 × 108 m−1 , qz = 1.75 × 108 m−1 , qz = 1.85 × 108 m−1 Ở đây, Ω = × 1013 Hz, Lx = 60 nm, Ly = 10 nm, Lz = 90 nm vào kích thước sợi dây tương ứng với giá trị khác tần số trường Từ đồ thị cho thấy, khoảng kích thước Lx khảo sát Hình 3.3 biểu diễn phụ thuộc biên độ trường ngưỡng vào đường cong có điểm cực đại Khi kích thước sợi dây nhỏ nhiệt độ tương ứng với giá trị khác số sóng âm Từ đồ thị ta 20 nm biên độ trường ngưỡng nhỏ, kích thước sợi dây nằm thấy, khoảng nhiệt độ khảo sát biên độ trường ngưỡng đạt giá trị khoảng từ 20 nm - 35 nm biên độ trường ngưỡng tăng nhanh cực đại lân cận nhiệt độ T = 90 K Khi nhiệt độ tăng lên ngưỡng 44 45 biên độ giảm Ngoài số sóng âm ảnh hưởng đến biên độ trường sóng có tần số gần trùng với tần số phonon âm ngưỡng, số sóng lớn đỉnh biên độ trường ngưỡng thấp sinh phonon âm, làm cho số phonon âm gia tăng Mặt khác nhiệt độ tăng làm cho lan truyền sóng tăng lên 3.4 Khảo sát phụ thuộc hệ số F vào số sóng trình kết hợp xảy nhanh xạ phonon âm nhiều tức F tăng âm 3.5 Khảo sát phụ thuộc hệ số F vào kích thước 200 s sợi dây 150 1 12 s 10 s x 1011 14 100 50 qz 107 m F 4 Hình 3.4: Sự phụ thuộc vào số sóng âm hệ số F giá trị nhiệt độ khác x 108 F x 1011 F 0 10 Lx 15 20 20 nm 25 30 Lx 35 40 nm Đường liền nét, đường gạch gạch, đường chấm chấm tương ứng với nhiệt độ T =73 K, 77 K, 81 K Ở đây, Ω = × 1013 Hz, Lx = 40 nm, Ly = 10 nm, Lz = 60 nm Hình 3.5: Sự phụ thuộc vào kích thước sợi dây hệ số F giá trị khác tần số trường Đường liền nét, đường gạch gạch, đường chấm chấm Hình 3.4 biểu diễn phụ thuộc hệ số F vào số sóng qz tương ứng với giá trị khác nhiệt độ Từ đồ thị ta thấy vùng số tương ứng với tần số Ω=4.0 Hz, 4.5 Hz, 5.0 Hz Ở đây, T = 77 K, qz = 108 m−1 , Ly = 10 nm, Lz = 60 nm sóng khảo sát F > tức điều kiện gia tăng tham số phonon âm Hình 3.5 biểu diễn phụ thuộc hệ số F vào kích thước Lx thực hệ số đạt cực đại tương ứng lân cận qz = × 107 m−1 Từ sợi dây tương ứng với giá trị khác tần số trường Đồ thị đồ thị ta nhận thấy hệ số F nhạy với nhiệt độ, nhiệt độ tăng bên trái cho thấy, hệ số F > đạt giá trị cực đại tương ứng lân cận giá trị cực đại hệ số F tăng, vị trí đạt cực đại dịch chuyển Lx = 14 nm, khoảng kích thước điều kiện gia tăng phía số sóng nhỏ Điều giải thích sau: với có mặt tham số phonon âm thực Đồ thị bên phải cho thấy khoảng sóng điện từ tần số Ω kết hợp với lan truyền phonon quang với tần số kích thước từ 25 nm - 40 nm hệ số F < 0, nghĩa trường hợp νq xuất thêm sóng mật độ điện tích có tần số tổng hợp điều kiện gia tăng tham số phonon âm không thực Ngoài 46 47 hệ số F phụ thuộc vào tần số trường ngoài, tần số trường KẾT LUẬN lớn đỉnh cực đại hệ số F thấp Điều giải thích sau: kích thước sợi dây nhỏ 20 nm xảy tượng xạ phonon âm nên làm tăng số phonon âm tức F > 0, kích thước sợi dây nằm khoảng từ 20 nm - 40 nnm xảy tượng hấp thụ phonon âm nên làm suy giảm số phonon âm, tức F < Trong Luận văn sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử để nghiên cứu cộng hưởng phonon âm phonon quang bị giam giữ dây lượng tử hình chữ nhật Các kết nghiên cứu Luận văn tóm tắt sau: Xuất phát từ Hamiltonian hệ điện tử-phonon âm-phonon quang bị giam giữ dây lượng tử, ta thu phương trình động lượng tử tổng quát cho phonon âm phonon quang Phương trình sở để nghiên cứu cộng hưởng tham số phonon âm phonon quang bị giam giữ dây lượng tử hình chữ nhật với hố cao vô hạn Đã thu phương trình tán sắc, phổ phonon âm điều kiện cộng hưởng tham số phonon âm phonon quang bị giam giữ dây lượng tử hình chữ nhật trường hợp khí electron không suy biến Đã thu biểu thức giải tích biên độ ngưỡng trường cần để có gia tăng tham số phonon âm dây lượng tử hình chữ nhật Từ biểu thức giải tích biên độ trường ngưỡng hệ số khuếch đại tham số tiến hành tính số vẽ đồ thị khảo sát phụ thuộc biên độ trường ngưỡng hệ số khuếch đại tham số vào vectơ sóng âm, nhiệt độ, kích thước sợi dây tần số trường Kết tính số cho thấy đường cong biểu diễn phụ thuộc biên độ trường ngưỡng vào vectơ sóng âm, nhiệt độ, kích thước sợi dây tần số trường có đỉnh cộng hưởng, cộng hưởng phụ thuộc mạnh vào vectơ sóng qz nhiệt độ Ngoài thay đổi tần số trường 48 49 làm cho đỉnh cộng hưởng phonon âm phonon quang tăng TÀI LIỆU THAM KHẢO lên Các kết tương tự trường hợp phonon không bị Tiếng Việt giam giữ [5], [36], [37] Các kết thu lý thuyết đóng góp cho ngành quang tử, vật lý bán dẫn nano để giải thích chế xảy tương tác electron-phonon dây lượng tử tác dụng trường cung cấp thông tin tính chất dây lượng tử bán dẫn cần thiết cho công nghệ chế tạo linh kiện điện tử vật liệu nano Trong Luận văn đề cập đến cộng hưởng tham số Nguyễn Quang Báu, Đỗ Quốc Hùng, Vũ Văn Hùng, Lê Tuấn (2004), Lý thuyết bán dẫn, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội Nguyễn Quang Báu, Hà Huy Bằng (2001), Lý thuyết trường lượng tử cho hệ nhiều hạt, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội Nguyễn Quang Báu, Bùi Bằng Đoan, Nguyễn Văn Hùng (1998), Vật lý thống kê, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội phonon âm phonon quang bị giam giữ dây lượng tử hình chữ nhật với hố cao vô hạn trường hợp khí electron không suy biến Chúng hy vọng thời gian tới toán mở rộng thêm cho mô hình khác, vật liệu khác chẳng hạn: cộng hưởng tham số Lê Quang Cường(2006), Cộng hưởng tham số phonon âm phonon quang dây lượng tử hình chữ nhật, Khóa luận tốt nghiệp Vật lý, Trường Đại học Sư phạm Huế, Huế phonon âm phonon quang bị giam giữ dây hình chữ nhật với hố Lê Đình(2008), Một số hiệu ứng cao tần tương tác electron-phonon parabol đối xứng dây lượng tử có cấu trúc khác Chúng hy dây lượng tử hình chữ bán dẫn, Luận án Tiến sĩ Vật lý, Trường vọng, với phát triển ngày cao cộng nghệ nano, kết tính Đại học Sư phạm Huế, Huế toán lý thuyết Luận văn có điều kiện kiểm chứng thực nghiệm Tác giả mong nhận góp ý quý Thầy Cô bạn Nguyễn Văn Hùng (1999), Giáo trình Lý thuyết chất rắn, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội bè để Luận văn hoàn thiện Nguyễn Ngọc Long (2002), Vật lý chất rắn, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội Nguyễn Trọng Thế (2003), Hiệu ứng Cerenkov bán dẫn dây lượng tử hình chữ nhật, Luận văn Thạc sĩ Vật lý, Trường Đại học Sư phạm Huế, Huế 50 51 17 Ferry D K and Cairo Jacobini (1992) , "Quantum transport semi- Tiếng Anh Anh V H (1980), "A quantum approach to the parametric excitation problem in solids", Physcic report Rev 64, pp 1-45 10 Bennett R., Guven K and Tanatar B (1998), "Confined-phonon effects in the band-gap renormalization of semiconductor quantum wire", Phys Rev B 57, pp 3994-3999 11 Bolko I I., Sheka V and Vasilopoulos P (1993), "Kinetics of a quasione-dimensional electron gas in a transverse magnetic field: I Arrays of a quantum wire", Phys Rev B 47, pp 15809-15815 12 Brandes T and Kawabata A (1996), "Conductance increase by electronphonon interaction in a quantum wire", Phys Rev B 54, pp 4444- conductor", New York 18 Fishman G G (1987), "Phonon-limited mobility in a quasi-one-dimens -ional semiconductor", Phys Rev B 36, pp 7448-7456 19 Gao X., Botez D and Knezevic I (2008), "Phonon confinement and electron transport in a GaAs-based quantum cascade structures", A Institute Phys 103, pp 073101-073109 20 Harrison P (2005), Quantum Well, Wires and Dots Theoretical and Computational Physics of Semiconductor Nanostructures, Wiley Interscience, The University of Leeds, UK 21 Hellman E S., and Haris J S (1980), "Emergy-momentum relation for polarons confined to one dimemsion", Phys Rev B 33, pp 8284- 4447 13 Campos V B., Sarma S Da and Strocio M A (1992), "Phononconfine -ment effect on electron energy loss in one-dimensional quantum wire", A Phys Soc.46, pp 3849-3853 14 Constantinou N C and Ridley B K (1990), "Interaction of electron with the confined LO phonons of a free-standing GaAs quantum wire", The American Physical Soc 41, pp 10627-10631 15 Da Cunha Lima C., Wang X F and Lei X L (1997), "Nonlinear transport in a GaAs/AlAs harmonically confined quantum wire", Phys Rev B 55, pp 10681-10687 8290 22 Herbst M., Glanemann M., Axt V M and Kuhn T (2003), "Electronphonon quantum kinectics for spatially inhomogeneous exicitations", Phys Rev B 67, pp 195305-195323 23 Hwang E H and Sama S Das (1995), "Plasmon-phonon coupling in one-dimesional semiconductor quantum-wire", Phys Rev B 52, pp R8668-R8671 24 Ibragimov G B (2004), "On electron mobility in a rectangular quantum wire due to alloy disorder", Turk.J.Phys 28, pp 189-196 16 Epshtein E M and Pavlovich V V (1976), "Conductivity of a su- 25 Kang N L., Lee H J and Choi S D (2004), "A new theory of non- perlattice semicondutor in strong electric fields", Sov Phys Semicon- linear optical conductivity for an electron-phonon system",J Korean ductor.10, pp 1196-1201 Phys Soc 44(4), pp 938-943 52 53 26 Kim K W., Stroscio M A., Bhatt A., Mickevicius R and Mitin V V (1991), "Electron-optical-phonon scattering rates in a rectangular semiconductor quantum wrie", J Phys Soc 70, pp 319-326 phonon confinement and surface roughness scattering", A Institute Phys 104, pp 063711.1-063711.12 35 Strocio Michael A (1989), "Interaction between longitudinal-optical- 27 Lee S C., Kang Y B., Hu F Y., Ryu J Y and Choi S.D (1998), phonon modes of a rectangular quantum wire and charge cariers of a "Transverse electric-field-induced magnetophonon resonance in n-type one-dimensional electron gas", The American Physical Soc 40, pp germanium", J Phys Rev B 57, pp 11875-11878 6428-6431 28 Luong Duy Thanh, Dinh Quoc Vuong, Nguyen Van Diep and Nguyen 36 Tran Cong Phong and Nguyen Quang Bau (2003), "Parametric reso- Quang Bau (2004), "Parametric resonace of acoustic and optical phonons nance of acoustic and optical phonons in a quantum well", J Korean in cylindrical quantum wries", J Phys Soc 70, pp 319-326 Phys Soc 42, pp 647-651 29 Mark F (2001), Optical Properties of Solids, Department of Physics and Astronomy University of Sheffield, Oxford University Press 37 Tran Cong Phong and Nguyen Quang Bau (2003), "Parametric resonance of acoustic and optical phonons in Dop Semiconductor Super- 30 Michael A Stroscio and Mitra Dutta (2004), Phonons in Nanostruc- lattice", J Korean Phys Soc 53, pp 1971-1975 tures, Published by the University Press Syndicate of the University of Cambridge 31 Mickevicius R and Mitin V (1993), "Acoustic- phonon scattering in a rectangular wire", A Phys Soc 48, pp 17194-17201 32 Moukhliss S., Fliyou M and Es-Sbai N (1998), "Binding energy of the donor-confined LO phonon system in a quantum wire structures", Phys Stat.sol 206, pp 593-600 33 Nguyen Quang Bau, Ha kim Hang and Nguyen Van Huong (1993), "Parametric resonance of acoustic and optical phonons in semiconductor in presence of two electromagnetic waves", J sicence of Hanoi State University, Se Phys, N.4, pp 31-35 34 Ramayya E B., Vasileska D., Goodnick S M and Knezevic I (2008), "Electron transport in a silicon nanowires: The role odd acoustic 54 55 Phụ lục Phụ lục − Tính [a→ q ,m,n , Hac ] t Tìm số hạng SH1, SH2, SH3, SH4, SH5 SH1 = [c+ c , He ] k−q,α k,α − [a→ q ,m,n , He−ac ] t = k1 ,α1 ωq ,m ,n [aq,m,n , aq+,m ,n aq ,m ,n ] ∗[aq,m,n , Hac ] t = = t q ,m ,n + = [aq,m,n , aq ,m ,n ] (P.1) t ωq ,m ,n δq,q δm,m δn,n t e A(t)) [c+ c δ δ − c+ c δ δ k−q,α k1 ,α1 k,k1 α,α1 k1 ,α1 k,α k−q α ,α1 c e e A(t)) c+ c − εα (k − q − A(t)) c+ c k−q,α k,α t k−q,α k,α c c e e c = {εα [k − A(t)] − εα [k − q − A(t)]} c+ k−q,α k,α t c c = εα (k − q ,m ,n aq+,m ,n εα1 (k1 − k1 ,α1 ωq ,m ,n [aq,m,n , aq+,m ,n ]aq ,m ,n = t e εα1 (k1 − A(t)) [c+ c , c+ c ] k−q,α k,α k1 ,α1 k1 ,α1 c t t (P.3) t q ,m ,n = ωq,m,n aq,m,n Sử dụng công thức phổ lượng electron t εα (k) = εα + ∗[aq,m,n ,He−ac ] γI1D (q ) [aq,m,n , c+ c (a k+q ,α k,α q ,m ,n γI1D (q ) c+ c [a ,a k+q ,α k,α q,m,n q ,m ,n + a+ −q ,m ,n )] t k,α,α q ,m ,n = + a−q ,m ,n ] t SH1 = γI1D (q ) c+ c δ δ δ k+q ,α k,α q,q m,m n,n = = + t k,α,α q ,m ,n γI1D (−q) c+ c k−q,α k,α εα + [k − e [k − q − ec A(t)]2 c A(t)] − εα + 2m∗ 2m∗ 2 k,α,α q ,m ,n = (P.4) Thay (P.4) vào (P.3) ta có t = − k2 2m∗ εα + = k,α,α (P.2) = (k − q)eA(t) e2 A2 (t) − m∗ c 2m∗ c c+ c k−q,α k,α t 2 (P.5) t k (kq) e − (εα + ) − ∗ q A(t) c+ c k−q,α k,α 2m∗ 2m∗ mc e εα (k) − εα (k − q) − ∗ q A(t) c+ c k−q,α k,α t mc εα + SH2 = [c+ c , Hac ] t = k−q,α k,α SH3 = [c+ c , Hop ] t = k−q,α k,α P.1 k keA(t) e A (t) (k − q) − + − εα − 2m∗ m∗ c 2m∗ c 2m∗ 2 t c+ c k−q,α k,α P.2 t SH4 = [c+ c , He−ac ] k−q,α k,α t c , c+ γI1D (q1 ) [c+ k−q,α k,α k +q = 1 ,α1 ck1 α1 (aq1 ,m,n + a+ −q1 ,m,n )] t k1 ,α1 ,α1 ,q1 ,m,n + + γI1D (q1 ) (aq1 ,m,n + a+ −q1 ,m,n )[ck−q,α ck,α , ck +q = 1 ,α1 ck1 α1 ] Phụ lục t k1 ,α1 ,α1 ,q1 ,m,n + γI1D (q1 ) (aq1 ,m,n + a+ −q1 ,m,n )(cveck−q,α ck1 α1 δk,k1 +q1 δα ,α = k1 ,α1 ,α1 ,q1 ,m,n − ck1 +q1 ,α ck,α δk−q,k1 δα ,α ) t + + γI1D (q1 ) (aq1 ,m,n + a+ −q1 ,m,n )(ck−q,α ck−q1 ,α − ck−q+q ,α ck,α ) = q1 ,m,n t +∞ −i (ω − ωq,m,n )Aq,m,n (ω)e−iωt dω −∞ (P.6) = Tương tự ta có SH5 Jl (λ)Js (λ)[nα (k − q) − nα (k)] k,α,α l,s=−∞ SH5 = [c+ c , He−op ] k−q,α k,α = +∞ −1 t t γ I1D (q1 ) (bq1 ,m,n + q1 ,m,n dt1 |γI1D (q)|2 × + b+ −q1 ,m,n )(ck−q,α ck−q1 ,α − −∞ −∞ c+ c ) k−q+q1 ,α k,α t +∞ + γγ |I1D (q)|2 −∞ (P.7) i × exp i × exp Phụ lục +∞ −iωt1 [Aq,m,n (ω) + A+ dω −q,m,n (ω)]e + [Bq,m,n (ω) + B−q,m,n (ω)]e−iωt1 dω [εα (k) − εα (k − q) − s Ω]t [εα (k) − εα (k − q) − iδ − ω − lΩ]t1 dω (P.9) ∂ + c c t ∂t k−q,α k,α ∂φ(t) + ∂ = ck−q,α ck,α 0t + φ(t) c+ c ∂t ∂t k−q,α k,α t e ∂φ(t) + i ck−q,α ck,α 0t − φ(t) εα (k) − εα (k − q) − ∗ q A(t) = ∂t mc −i t e × exp εα (k) − εα (k − q) − ∗ q A(t) dt1 mc −∞ ∂φ(t) + = ck−q,α ck,α 0t ∂t i e c εα (k) − εα (k − q) − ∗ q A(t) − φ(t) c+ k−q,α k,α t mc Ta lại có (P.8) t exp i [εα (k) − εα (k − q) − iδ − ω − lΩ]t1 dt1 −∞ i exp = [εα (k) − εα (k − q) − ω − l Ω − iδ ]t (P.10) [εα (k) − εα (k − q) − ω − l Ω − iδ ] P.3 P.4 Suy Do t i exp Im{ωa + [−i(τa + τ0 ) + i(τa + τ0 )2 + |Λ|2 ]} > ⇒ [−i(τa + τ0 ) + i(τa + τ0 )2 + |Λ|2 ] > [εα (k) − εα (k − q) − s Ω]t −∞ i × exp i = exp i exp × 1 [εα (k) − εα (k − q) − s Ω]t (P.11) ⇒ |Λ|2 > 4τa τ0 [εα (k) − εα (k − q) − ω − l Ω − iδ ]t i Phụ lục [εα (k) − εα (k − q) − s Ω]t [εα (k) − εα (k − q) − ω − l Ω − iδ ] Tính P0 (q, ω) P1 (q, ω) Thay (P.11) vào (P.9) ta thu +∞ +∞ l=−∞ −∞ Jl (λ)Js (λ)[nα (k − q) − nα (k)] k,α,α l,s=−∞ +∞ |γI1D (q)|2 [Aq,m,n (ω) + A+ −q,m,n (ω)] −∞ +∞ + [Bq,m,n (ω) + B−q,m,n (ω)] + γγ |I1D (q)|2 −∞ exp × λ λ = ( )2 Γq (ω − Ω)Γq (ω) + ( )2 Γq (ω + lΩ) 2 +∞ i Jl2 (λ)Γq (ω + lΩ) P0 (q, ω) = (ω − ωq,m,n )Aq,m,n (ω)e−iωt dω = (P.13) ⇒ (τa − τ0 )2 + |Λ|2 > (τa + τ0 )2 [εα (k) − εα (k − q) − ω − l Ω − iδ ] exp = [εα (k) − εα (k − q) − iδ − ω − lΩ]t1 dt1 = Γq (ω) (P.12) +∞ P1 (q, ω) = Jl (λ)Jl+1 (λ)Γq (ω + lΩ) l=−∞ λ λ = − Γq (ω − Ω) + Γq (ω) 2 λ = [Γq (ω) − Γq (ω − Ω)] [εα (k) − εα (k − q) − s Ω]t [εα (k) − εα (k − q) − ω − l Ω − iδ ] dω Phụ lục Phụ lục Tính I1 I2 Tìm điều kiện cho Λ Để tính I1 I2 ta sử dụng tích phân sau: Ta có +∞ F = Imω+− > P.5 (P.14) f (x)δ[φ(x)]dx = −∞ i P.6 f (xi ) φ (xi ) (P.15) Phụ lục với φ(xi ) = Ta có: +∞ I1 = e−β(εα ) δ[ε(a) + 2qσk]dk (P.16) −∞ dX 2qσ đặt X = 2qσk, dk = e−βεα I1 = 2qσ (a) φ(x) = ε Tính I3 I4 Ta có Suy e X −σβ( 2qσ ) (a) δ[ε + X]dX (P.17) −∞ Vì 2qσk + X φ (X) = Thay σ = 2m∗ +∞ ε(a) I3 = (P.19) e−βεα ε(a) = −β(εα +σq ) −βσ(k −2kq) e (a) +σq ) +∞ e−βσ(k δ[ε + 2qσk]dk e−βσk dk (P.23) 2m∗ π e−βεα β ε(a) (P.24) π a −2kq) δ[ε(a) + 2qσk]dk 2m∗ π e−βεα = β ε(a) e dke−β(ε +σq ) e−βσ(k −∞ −β(εα +σq ) ε(a) +∞ e−βσ(k 2 −2qk) −2qk) ε(a) + 2qσk (P.25) dk −∞ Áp dụng tích phân Poisson +∞ (P.20) −∞ m e 2q +∞ −∞ exp(−ax2 )dx = π = σ +∞ I4 = −∞ ∗ (P.22) Tính I4 = = e−β(ε e−βεα ε(a) −∞ Tương tự e dk ε(a) + 2qσk Suy e−βεα I1 = e 2q 2m∗ ∗ −βm∗ (ε(a) )2 m = e−βεα e 2q2 q α e−β(εα +σk ) dk = −∞ (P.18) (a) − 2m∗ β( ε )2 2q 2m∗ I2 = ) +∞ (a) e−βεα −σβ( ε2qσ ) e 2qσ vào I1 ta có +∞ Áp dụng tích phân Poisson Và f (X) = e−σβ( 2qσ ) = e−σβ( 2qσ ) Suy I1 = ε (a) I3 = ε(a) 2 e−β(εα +σk −∞ Khi φ(x) = X = −ε(a) X +∞ I3 = +∞ exp{−(ax2 + bx)}dx = −∞ ∗ −β[εα +σq + 2qm2 (ε(a) )2 +ε(a) ] π b2 /4a e a Do Mà εα = εα − ε(a) − σq − ωq,m,n Do I2 = e−β(εα +σq ) π (2βσq) e 4γσ βσ ε(a) 2πm∗ e−βεα e−βσq βσq2 = e 2β (a) ε −βε 2πm∗ e α = β ε(a) I4 = m∗ −β[εα + 2qm2∗ (ε(a) )2 − e q P.7 ωq,m,n ] (P.21) P.8 (P.26) [...]... động lượng tử tổng quát cho phonon âm và phonon quang Phương trình này là cơ sở để chúng ta nghiên cứu sự cộng hưởng tham số giữa phonon âm và phonon quang bị giam giữ trong dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn 2 Đã thu được phương trình tán sắc, phổ của phonon âm và chỉ ra được điều kiện cộng hưởng tham số giữa phonon âm và phonon quang bị giam giữ trong dây lượng tử hình chữ nhật trong. .. thụ phonon âm nên làm suy giảm số phonon âm, tức F < 0 Trong Luận văn này chúng tôi đã sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử để nghiên cứu cộng hưởng của phonon âm và phonon quang khi bị giam giữ trong dây lượng tử hình chữ nhật Các kết quả nghiên cứu của Luận văn có thể được tóm tắt như sau: 1 Xuất phát từ Hamiltonian của hệ điện tử -phonon âm -phonon quang bị giam giữ trong dây lượng tử, ta... mô hình khác, các vật liệu khác chẳng hạn: cộng hưởng tham số giữa 4 Lê Quang Cường(2006), Cộng hưởng tham số của phonon âm và phonon quang trong dây lượng tử hình chữ nhật, Khóa luận tốt nghiệp Vật lý, Trường Đại học Sư phạm Huế, Huế phonon âm và phonon quang bị giam giữ trong dây hình chữ nhật với hố 5 Lê Đình(2008), Một số hiệu ứng cao tần do tương tác electron -phonon thế parabol đối xứng hoặc dây. .. tích của biên độ ngưỡng của trường cần để có sự gia tăng tham số của phonon âm trong dây lượng tử hình chữ nhật 4 Từ các biểu thức giải tích của biên độ trường ngưỡng và hệ số khuếch đại tham số chúng tôi đã tiến hành tính số và vẽ đồ thị khảo sát sự phụ thuộc của biên độ trường ngưỡng và hệ số khuếch đại tham số vào vectơ sóng âm, nhiệt độ, kích thước sợi dây và tần số trường ngoài 5 Kết quả tính số. .. E0 = 106 V/m, vận tốc âm va = 5370 m/s Chương 3 KẾT QUẢ TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN 3.1 Biểu diễn sự phụ thuộc của biên độ trường ngưỡng cộng hưởng Khảo sát sự phụ thuộc của biên độ trường ngưỡng vào số sóng âm của phonon âm và phonon quang và hệ số khuếch đại tham số F vào số sóng âm, vào chiều dài sợi dây 1 15 Vm Ở chương 2 ta thấy rằng điều kiện cộng hưởng tham số xảy ra khi biên độ của trường ngoài laser... trường ngưỡng vào vectơ sóng âm, nhiệt độ, kích thước sợi dây và tần số trường ngoài đều có các đỉnh cộng hưởng, sự cộng hưởng phụ thuộc mạnh vào vectơ sóng qz và nhiệt độ Ngoài ra sự thay đổi của tần số trường ngoài 48 49 cũng làm cho đỉnh cộng hưởng của phonon âm và phonon quang cũng tăng TÀI LIỆU THAM KHẢO lên Các kết quả này cũng tương tự như trường hợp các phonon không bị Tiếng Việt giam giữ [5], [36],... đây, Ω = 4 × 1013 Hz, Lx = 40 nm, giam giữ phonon âm và phonon quang cũng dẫn đến sự phụ thuộc của Ly = 10 nm, Lz = 60 nm các đại lượng vào các số lượng tử hóa n, m Ở đây chúng ta sẽ thực hiện Hình 3.1 biểu diễn sự phụ thuộc của biên độ trường ngưỡng Eth tính toán trong các vùng tương ứng với các bộ số lượng tử hóa nhỏ nhất vào số sóng qz tương ứng với 3 giá trị khác nhau của nhiệt độ Từ đồ thị (nx {1,... Nội 2 Nguyễn Quang Báu, Hà Huy Bằng (2001), Lý thuyết trường lượng tử cho hệ nhiều hạt, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội 3 Nguyễn Quang Báu, Bùi Bằng Đoan, Nguyễn Văn Hùng (1998), Vật lý thống kê, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội phonon âm và phonon quang bị giam giữ trong dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn trong trường hợp khí electron không suy biến Chúng tôi hy vọng trong thời... đóng góp cho ngành quang tử, vật lý bán dẫn nano để giải thích những cơ chế xảy ra do tương tác electron -phonon trong dây lượng tử dưới tác dụng của trường ngoài và cung cấp các thông tin về các tính chất của dây lượng tử bán dẫn cần thiết cho công nghệ chế tạo các linh kiện điện tử bằng vật liệu nano hiện nay Trong Luận văn này mới chỉ đề cập đến cộng hưởng tham số giữa 1 Nguyễn Quang Báu, Đỗ Quốc... tổng hợp và này điều kiện gia tăng tham số phonon âm không được thực hiện Ngoài ra 46 47 hệ số F cũng phụ thuộc vào tần số trường ngoài, khi tần số trường ngoài KẾT LUẬN càng lớn thì đỉnh cực đại của hệ số F càng thấp Điều này có thể giải thích như sau: khi kích thước sợi dây nhỏ hơn 20 nm thì xảy ra hiện tượng bức xạ phonon âm nên làm tăng số phonon âm tức F > 0, còn khi kích thước sợi dây nằm trong