- Ngoµi kÕt qu¶ lµ häc sinh biÕt c¸ch chøng minh tø gi¸c néi tiÕp vµ nhËn biết nhanh tứ giác nội tiếp thì ta có thể dùng tính chất của nó để ứng dụng chứng minh h×nh häc cã sö dông kÕt q[r]
(1)S¸ng kiÕn kinh nghiÖm – NguyÔn H÷u Tµi Phòng giáo dục và đào tạo bình xuyên trêng THCS Lý Tù Träng ====***==== S¸ng kiÕn kinh nghiÖm §Ò Tµi: Tæng kÕt mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh Tứ giác nội tiếp đờng tròn NguyÔn H÷u Tµi Ngêi thùc hiÖn: Gi¸o viªn tæ KHTN Trêng THCS Lý Tù Träng Th¸ng 03 n¨m 2008 PhÇn I: phÇn më ®Çu Lý chọn đề tài: a) Cơ sở lý luận: Khi giải toán hình học lớp đại đa số có chứng minh tứ giác nội tiếp sử dụng kết tứ giác nội tiếp để chứng minh các góc nhau, bù nhau, tính số đo góc, chứng minh đẳng thức, chứng minh các điểm cùng thuộc đờng tròn, … Để chứng minh tứ giác nội tiếp đòi hỏi phải có kiến thức chắn quỹ tích cung chứa góc, quan hệ góc và đờng tròn, (2) S¸ng kiÕn kinh nghiÖm – NguyÔn H÷u Tµi định lý đảo tứ giác nội tiếp, … Đặc biệt phải biết hệ thống các kiến thức đó sau häc xong ch¬ng III h×nh häc §©y lµ viÖc lµm hÕt søc quan träng cña giáo viên học sinh b) C¬ së thùc tiÔn: Trªn thùc tÕ ngoµi c¸ch chøng minh tø gi¸c néi tiÕp rÊt thể định lý đảo “ Tứ giác nội tiếp ” Trang 88 SGK toán tập thì SGK đã đặc biệt hoá, chia nhỏ để hình thành bốn dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp Tuy nhiên cha đặt các dấu hiệu thành hệ thống phơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn cho học sinh; nhiều học sinh không hiểu sở dấu hiệu Dẫn đến học sinh lúng túng tìm cách chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn Víi häc sinh líp ®©y lµ d¹ng to¸n míi l¹ nhng l¹i hÕt søc quan träng gióp học sinh nhìn nhận lại đợc các bài toán đã giải lớp để có cách giải hay cách lý gi¶i c¨n cø kh¸c Với lý trên đây đề tài này tôi đa số cách để chứng minh tứ giác nội tiếp sau học sinh học xong bài “Tứ giác nội tiếp đờng tròn” Víi tªn gäi: “Tæng kÕt mét sè ph¬ng ph¸p chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn“ Phạm vi, đối tợng mục đích đề tài: a) Phạm vi đề tài : Lµ ph¬ng ph¸p chøng minh h×nh häc THCS ë ph¹m vi hÑp, cô thÓ lµ chøng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn để từ đó chứng minh các đẳng thức góc, đẳng thức tích các đoạn thẳng, … Tuy nhiên ứng dụng nó thì khá réng r·i b) Đối tợng đề tài: Là học sinh đại trà lớp – THCS, giáo viên nghề dạy bậc THCS c) Mục đích đề tài: Giúp Giáo viên hệ thống hoá kiến thức tạo nên các phơng pháp để hớng dẫn học sinh chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh các điểm nằm trên đờng trßn vµ c¸c bµi to¸n cã sö dông chiÒu ngîc l¹i cña tø gi¸c néi tiÕp RÌn häc sinh kü n¨ng ph©n tÝch tù t×m lêi gi¶i b»ng c¸c c¸ch kh¸c nhau, kü n¨ng nhËn biÕt nhanh mét tø gi¸c néi tiÕp * * * * * Vì thời gian có hạn, lực thân còn có hạn chế định khả t nên quá trình nghiên cứu và viết đề tài này không thể tránh khỏi thiếu sót Kính mong hội đồng khoa học các cấp và các thầy cô đồng nghiệp đóng gãp x©y dùng Xin ch©n thµnh c¶m ¬n ! (3) S¸ng kiÕn kinh nghiÖm – NguyÔn H÷u Tµi Phần 2: nội dung đề tài A Néi dung: I Cơ sở lí luận khoa học đề tài: Để nghiên cứu và viết đề tài này tôi đã vào sở lí luận khoa häc sau: 1, VÒ ph¬ng ph¸p chóng ta dïng ph¬ng ph¸p ph©n tÝch – tæng hîp : Gi¶ sö A lµ gi¶ thiÕt cña bµi to¸n, B lµ kÕt luËn cña bµi to¸n: §Ó chøng minh A B, ta chøng minh r»ng A A1 A2 B Các quan hệ kéo theo nói trên đợc trình bày dới dạng: A1 A2 (lí do) hoặc: (lÝ do) A1 A2 Trong qu¸ tr×nh t×m lêi gi¶i bµi to¸n, ta thêng: a - Khai th¸c gi¶ thiÕt cña bµi to¸n : Tõ A A1, tõ A1 A2 , Vµ cuèi cïng suy Am b - Ph©n tÝch ®i lªn tõ kÕt luËn cña bµi to¸n: §Ó chøng minh B ta cã thÓ chứng minh B1 , để chứng minh B1 ta có thể chứng minh B2,…, cuối cùng ta có thÓ chøng minh Bn Nếu chứng minh đợc Am Bn thì bài toán chứng minh A B đợc chứng minh với sơ đồ sau: A A1 A2 … Am Bn …. B2 B1 B 2, Mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh hai gãc b»ng * Phơng pháp 1: Là hai góc đồng vị (hay so le trong) hai đờng thẳng song song… * Phơng pháp 2: áp dụng định lý góc có cạnh tơng ứng song song hay vuông gãc * Phơng pháp 3: Là hai góc tơng ứng hai tam giác đồng dạng (4) S¸ng kiÕn kinh nghiÖm – NguyÔn H÷u Tµi * Ph¬ng ph¸p 4: (TÝnh chÊt gãc néi tiÕp, gãc gi÷a mét tia tiÕp tuyÕn vµ mét d©y cung)… Ngoài ta còn có thể sử dụng phơng pháp bắc cầu, cùng phụ, cùng bù để chøng minh hai gãc b»ng 3, C¸c bµi to¸n c¬ b¶n vÒ quü tÝch cung chøa gãc Bài toán 1: Quỹ tích các điểm M cho AMB = 1V , đó AB là đoạn cho trớc là đờng tròn đờng kính AB Bµi to¸n 2: Quü tÝch c¸c ®iÓm M t¹o víi hai mót cña ®o¹n th¼ng AB cho tríc AMB có số đo không đổi (0o < < 180o) là hai cung tròn đối xứng qua AB gäi lµ cung chøa gãc dùng trªn ®o¹n AB 4, Định lý thuận, đảo “Tứ giác nôị tíêp đờng tròn” Trang 87, 88 SGK Toán tËp 5, Tính chất tam giác đồng dạng 6, Dựa vào định nghĩa đờng tròn II Đối tợng phục vụ cho quá trình nghiên cứu, xây dựng đề tài nµy lµ: 1, VÒ ngêi : - Là GV giỏi, giáo viên lâu năm nghề có kinh nghiệm để học hỏi trao đổi vấn đề nảy sinh quá trình nghiên cứu - Giáo viên nghề dạy toán để đề xuất câu hỏi : “Tại lại có cách chøng minh tø gi¸c néi tiÕp nh thÕ ? Trong mét bµi to¸n cô thÓ” - Là học sinh từ trung bình trở lên (học sinh đại trà) lớp THCS 2, VÒ kiÕn thøc: Vì thời gian có hạn và lực có hạn chế nên đối tợng kiến thức tôi chọn đây là định lý và các bài toán hình học nói tứ giác nội tiếp , quỹ tích cung chøa gãc Nghiªn cøu chñ yÕu c¸ch t×m ph¬ng ph¸p chøng minh c¸c ®iÓm cïng thuộc đờng tròn để phục vụ cho kết luận bài toán có sử dụng tính chất cña tø gi¸c néi tiÕp III Néi dung ph¬ng ph¸p nghiªn cøu * VÒ ph¬ng ph¸p nghiªn cøu - B»ng quan s¸t thùc tÕ gi¶ng d¹y c¸c giê to¸n chøng minh tø gi¸c néi tiÕp, bài toán tổng hợp có sử dụng kết tứ giác nội tiếp để chứng minh và tính to¸n cña GV THCS - Bằng kinh nghiệm đứng lớp và bồi dỡng ôn thi học sinh đại trà lớp , năm trớc đây thấy học sinh ít em phát đợc tứ giác nội tiếp cách nhanh nhất, là bài toán không dễ chứng minh đợc tổng hai góc đối diện tứ giác 180 o Hay HS phải đa tổng hai góc đối diện 1800 nên dài, nhiều dẫn đến sai - Bằng đọc tài liệu để nắm các sở lý luận khoa học phơng pháp chứng minh vµ tÝnh chÊt cña tø gi¸c néi tiÕp §Æc biÖt lµ t×m c¸ch nhËn biÕt nhanh tø giác nội tiếp trớc phải chứng minh tổng hai góc đối diện 180 o các (5) S¸ng kiÕn kinh nghiÖm – NguyÔn H÷u Tµi bµi to¸n cã chøng minh tø gi¸c néi tiÕp hoÆc cã sö dông kÕt qu¶ cña tø gi¸c néi tiÕp - Bằng việc tham khảo và học hỏi ý kiến đồng nghiệp là thầy c« d¹y to¸n giái HuyÖn - Bằng thử nghiệm đề tài mình bài dạy giải toán trên lớp, các buæi «n to¸n thi vµo líp 10 THPT, båi dìng häc sinh giái - Và cuối cùng là việc từ vấn đề đơn giản, riêng lẻ bài dạy đến các định lý và bài toán khó hơn, phức tạp tổng hợp lại hệ thống các phơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp Từ các phơng pháp trên đây đối chiếu với lý luận và thực tế tôi rút đợc kinh nghiÖm nhá qu¸ tr×nh híng dÉn häc sinh gi¶i to¸n bëi néi dung cô thÓ nh sau: * Néi dung nghiªn cøu: - Khi dạy xong bài “Tứ giác nội tiếp đờng tròn” Trang 87,88 SGK Toán tập Học sinh tự rút đợc cách chứng minh tứ giác nội tiếp là: NÕu tø gi¸c ABCD cã : D A+C=2V hoÆc B+D=2V x Suy ABCD là tứ giác nội tiếp đờng tròn A C Khai th¸c: 1, Sö dông tÝnh chÊt cña hai gã kÒ bï B gọi tia đối tia AB là tia Ax chẳng hạn gi¶ sö xAD = BCD thÕ th× v× xAD + DAB = 2V (kÒ bï) BCD + BAD = 2V => tø gi¸c ABCD néi tiÕp A §Æc biÖt ho¸ bµi to¸n tø gi¸c ABCD cã BAD = BCD = 90o ThÕ th× BAD + BCD = 90o+90o=180o D =>Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính BD B Đây là cách đơn giản Kh«ng ph¶i lóc nµo còng cã nh vËy ch¼ng h¹n nh: C A 2, XÐt tø gi¸c ABCD cã DAC = DBC B Víi A, B n»m ë cïng mét nöa mÆt ph¼ng bê chøa DC ta sÏ chøng minh tø gi¸c ABCD néi tiÕp Thật vậy, giả sử DAC = DBC = (0o < < 180o ) vì DC cố địnhCnên A, B D n»m trªn cung chøa gãc dùng trªn ®o¹n DC (theo bµi to¸n quü tÝch cung chøa góc ) Suy bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc đờng tròn hay tứ giác ABCD nội tiÕp Vậy là ta có cách thứ t để chứng minh tứ giác tứ giác nội tiếp Đặc biệt hoá góc để có cách nhận biết nhanh A tø gi¸c néi tiÕp B o o Khi cho = 90 ta cã DAC = DBC = 90 d C Vµ A, B cïng mét nöa mÆt ph¼ng bê DC thÕ th× tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính DC (6) S¸ng kiÕn kinh nghiÖm – NguyÔn H÷u Tµi 3, Lại xét tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn : Gi¶ sö AB c¾t DC t¹i M B ta suy đợc ABD = ACD A là tam giác MAC và MDB đồng dạng M §¶o l¹i: NÕu tam gi¸c MAC vµ D tam giác MDB đồng dạng với A thuộc C ®o¹n BM vµ D thuéc ®o¹n MC th× tø gÝac ABCD néi tiÕp Thật vậy, vì tam giác MAC đồng dạng với tam gi¸c MDB suy ABD = DCA => tø gi¸c ABCD néi tiÕp ( B, C ë cïng mét nöa mÆt ph¼ng bê AD vµ nh×n AD díi hai gãc b»ng ) Từ đó có tam giác MAC đồng dạng với tam giác MDB, A BM, D MC => Tø gi¸c ABCD còng néi tiÕp Theo tính chất tam giác đồng dạng ta lại có từ tam giác MAD đồng d¹ng víi tam gi¸c MCB suy ra: MA MD = MC MB MA MB = MC MD VËy lµ ta l¹i cã c¸ch chøng minh tø gi¸c néi tiÕp b»ng tû lÖ thøc: MA MB = MC MD, A BM, D MC => Tø gi¸c ABCD néi tiÕp 4, Nh với cách nghiên cứu nh trên cùng với định nghĩa đờng tròn ta có mét sè c¸ch chøng minh (dÊu hiÖu nhËn biÕt) nhanh tø gi¸c néi tiÕp nh sau: Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn nó thoả mãn hệ thøc sau: b¶ng hÖ thèng ph¬ng ph¸p chøng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn Thø tù c¸ch chøng minh C¸ch HÖ thøc OA = OB = OC = OD H×nh vÏ minh ho¹ C A B D (7) S¸ng kiÕn kinh nghiÖm – NguyÔn H÷u Tµi C¸ch 2.a) B ∠ B +∠ D=180 ¿ ∠ A +∠ C 1=1800 ¿ ¿ ¿ ¿ A x 1 D C 2.b) A1 = C1 A C¸ch D A1 + C1 = 900 + 900 B C C¸ch A ∠ A1 =∠B1 ¿ ∠ A =∠ D2 ¿ ∠ B2 =∠C ¿ ∠ D1 =∠C ¿ ¿ ¿ ¿ 21 2 A B D A1 = B1 = 900 C C B C M B C¸ch MA MB = MC MD C D C¸ch B A O D A (H×nh bªn ph¶iD tø gi¸c ACBD néi tiÕp) M Kết hợp với tính chất tứ giác nội tiếp ta có : điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O là thoả mãn các hệ thức trªn Với cách hệ thống hoá nh trên học sinh đợc ghi nhớ cách lôgic và từ đó nhận biết nhanh đợc tứ giác nội tiếp đờng tròn và từ đó sử dụng nhanh c¸c tÝnh chÊt cña tø gi¸c néi tiÕp gi¶i to¸n h×nh häc Ngoµi ra, víi gi¸o viªn ta cÇn nhí thªm mét sè c¸ch chøng minh tõ bµi to¸n đờng thẳng Simson và định lý P.tôlêmê: (8) S¸ng kiÕn kinh nghiÖm – NguyÔn H÷u Tµi Bài toán Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O); M là điểm Gọi E, F, K lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña M xuèng AB, BC, CA Chøng minh r»ng ®iÒu kiÖn cÇn và đủ để M (O) là E, F, K thẳng hàng (cùng nằm trên đờng thẳng Simson) Nếu M trùng ba đỉnh A, B, C tam giác ABC thì bài toán hiển nhiên đúng Ta xÐt trêng hîp M thuéc nöa mÆt ph¼ng bê AC kh«ng chøa B, c¸c trêng hîp cßn l¹i chøng minh t¬ng tù E A M K O C i)B §iÒu kiÖn cÇn: M(O) th× E, K,F th¼ng hµng (1): (1) <=> ^ K 1= ^ K (2) ThËt vËy, c¸c tø gi¸c MEAK, MKFC, AMCB, EMFB néi tiÕp => ^ M 2= ^ K (3), ^ M 1= ^ K (4) ^ M 2= ^ M (5) (cïng céng gãc AMF vµ ABC cho 1800) Tõ (3), (4), (5) => (2), (1) ii) Điều kiện đủ: Có (1) => M(O) (6) <=> tứ giác MABC nội tiếp (7) ThËt vËy: tõ gi¶ thiÕt vµ tõ c¸c tø gi¸c MEAK, MKFC vµ MEBF néi ^ ^ ^ tiÕp => đỉnh) => M 1= ^ K1 , M 2= ^ K2 , K 1= ^ K (đối ^ C= A ^ ^ C=A ^ A^ M C+ A B M F +^ M 1+ A B M F+ ^ M + A ^B C=180 => (7) => (6) Bài toán Chứng minh điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn là AB.CD + BC.AD=AC.BD Bài toán Cho tứ giác ABCD có các cạnh đối diện AD cắt BC E và AB cắt CD F Chứng minh điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD nội tiếp là EA.ED+FA.FB=EF2 * Mét sè vÝ dô minh ho¹: Trong phần ví dụ này, ví dụ đợc trình bày theo hớng phân tích để tìm ph¬ng ph¸p chøng minh tø gi¸c néi tiÕp PhÇn tr×nh bµy lêi gi¶i trªn c¬ së ph©n tÝch nªn cho phÐp t«i kh«ng tr×nh bµy ë ®©y Ví dụ 1: Cho hai đờng tròn (O) và (O’) gặp A và B, tiếp tuyến A đờng tròn (O) gặp (O’) M; Tiếp tuyến A đờng tròn (O’) gặp (O) N Lấy điểm E đối xứng với A qua B Chứng minh tứ giác AMEN nội tiếp đờng tròn (9) S¸ng kiÕn kinh nghiÖm – NguyÔn H÷u Tµi Ph©n tÝch: C/m tứ giác ANEM nội tiếp đờng trßn (1) mà ta thấy E đối xứng với A qua B Vậy là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ANEM nằm trên đờng trung trùc cña ®o¹n AE, vµ nh thÕ tâm đờng tròn này nằm trªn trung trùc cña c¸c ®o¹n th¼ng nµo? (§o¹n AN vµ AM ) Vậy để chứng minh (1) ta có thể dùng cách để sử dụng tính chất đờng trung trùc cña mét ®o¹n th¼ng suy Gäi I lµ giao hai trung trùc cña AN vµ AM th×: (1) IA = IN = IE = IM (2) ThËt vËy: OI // AO’ (cïng AN ) vµ AO // O’I (cïng AM ) => AOIO’ lµ h×nh b×nh hµnh => OIO’ = OAO’ = OBO’ => OIBO’ lµ tø gi¸c néi tiÕp (theo c¸ch 4) nhng OI = AO’ = O’B => OIBO’ lµ h×nh thang c©n => IB // OO’ (3) => IB AB => IB là đờng trung trực AE => IA = IN = IE = IM => (2) => (1) ®pcm Chó ý: còng cã thÓ chøng minh (3) b»ng c¸ch chøng minh OO’ lµ ® êng trung b×nh cña tam gi¸c AIB (10) S¸ng kiÕn kinh nghiÖm – NguyÔn H÷u Tµi M^ A N +M ^ E N =1800 C¸ch 2: (1) <= <= ¿ N^ A E= A ^ M B(4) ^ ^ B (5) N E B=E M ¿{ ¿ (4) <= cïng b»ng 1/2 sè ®o cung AB đờng tròng (O) (5) <= Tam gi¸c EBN vµ tam gi¸c MBE đồng dạng <= ¿ BE BN AB BN = ⇐ = (6) BM BE BM AB ^ E=E B ^ M (7) NB ¿{ ¿ (6) <= Tam giác ABN và tam giác MBA đồng dạng (góc-góc) (7) <= A B^ N =M ^B A <= Tam giác ABN và tam giác MBA đồng dạng (góc-góc) C¸ch 3: A O O’ K H I B M N Gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN Giả sử đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN E Ec¾t AB kÐo dµi t¹i E’, ta chøng minh E E’ cách chứng minh AB= BE’ (vì E đối xứng với A qua B) Gäi K vµ H lÇn lît lµ giao ®iÓm cña OO’ víi AI vµ AB Ta có KA=KI (do AOIO’ là hình bình hành) và AH=HB (do OO’ là đờng nối hai tâm) Do đó HK//BI BI//OO’ mà ABOO’ suy IBAB , bëi vËy AB=BE’ (do tam gi¸c AIE’ c©n t¹i I), nghÜa lµ E’E ’ (11) S¸ng kiÕn kinh nghiÖm – NguyÔn H÷u Tµi VÝ dô 2: Trªn ( O; R ) lÊy ®iÓm A, B cho AB < 2R Gäi giao ®iÓm cña c¸c tiÕp tuyÕn cña (O) t¹i A, B lµ P Qua A, B kÎ d©y AC, BD song song víi nhau, gäi giao ®iÓm cña c¸c d©y AD, BC lµ Q Chøng minh tø gi¸c AQBP néi tiÕp đợc Ph©n tÝch: §Ó chøng minh tø gi¸c AQBP néi tiÕp (1) Ta cã thÓ chøng minh: APB + AQB = 1800 (2) A ThËt vËy, theo gi¶ thiÕt cã OAP + OPB = 90o + 90o Tø gi¸c AOBP néi tiÕp P APB + AOB = 1800 C O Vậy để chứng minh ( ) ta chứng minh : Q AQB = AOB (3), chøng minh (3) cã nhiÒu c¸ch B Ch¼ng h¹n AC // BD (gt) nªn AB = CD => AQB = AOB ( cïng b»ng sè ®o D cung AB (O) ) => (3) đợc chứng minh => (2) => (1) đpcm Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông A Kẻ đờng cao AH Gọi I, K tơng ứng là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABH và ACH Đờng thẳng IK cắt AC N Chứng minh tứ giác HCNK nội tiếp đợc Ph©n tÝch: Tõ gi¶ thiÕt dÔ thÊy HIK = A = 90o (1) gi¶ sö tø gÝac HCNK néi tiÕp th× K1 = NCH (2) thì HIK và ABC đồng dạng (3) Chøng minh (3): HAB vµ HCA đồng dạng => HA = AB HC AC A (4) Chứng minh HAS và HCR đồng dạng R Tõ (4) vµ (5) => HI = HK AB (6) M AC I HA HI = HC K HK (5) N B gi¸cSHCNK Tõ (1) vµ (6) => (3) => (2) => Tø H néi tiÕp C C¸ch 2: Chøng minh C ^ H K= A ^ N K=450 Trªn c¹nh AB kÊy ®iÓm M/ , trªn c¹nh AC lÊy N/ cho AM/=AN/=AH Gäi I/, K/ lµ giao ®iÓm cña M/N/ víi ph©n gi¸c c¸c gãc BAH, CAH Δ AI❑ M ❑= Δ AI❑ H (c.g.c) A / ❑ ❑ ❑ => A ^ H I =A ^ M I =45 => I I Chøng minh t¬ng tù K K/ Suy M M/ , N N/ => A ^ H K =A ^ N K =45 => tø gi¸c HCNK néi tiÕp R M/ B I/ S K/ N/ H C (12) S¸ng kiÕn kinh nghiÖm – NguyÔn H÷u Tµi Ví dụ 4: Cho góc xOy Một điểm A góc đó, gọi B, C là hình chiếu vu«ng gãc cña A trªn Ox, Oy; gäi C’ , B’ lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña C, B xuèng Ox, Oy; gäi B’’ , C’’ lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña B’, C’ xuèng Ox, Oy Gäi E lµ giao ®iÓm cña BB’, CC’ Gäi Q, P lÇn lît lµ giao cña OE víi B’C’ vµ B’’C’’ Chøng minh tø gi¸c MNPQ néi tiÕp Ph©n tÝch: C/m tø gi¸c MNPQ néi tiÕp (1) Ta cã thÓ sö dông c¸ch : C/m : P + M = 90o + 90o (2) ThËt vËy, v× tø gi¸c OBAC néi tiÕp ( nhËn biÕt nhanh c¸ch ) OCB = OAB (3) (đảo cách 4) V× BCB’C’ néi tiÕp ( nhËn biÕt nhanh c¸ch ) OC’B’ = OCB (4) B C/ Tõ (3)vµ (4) => Tø gi¸c MC’BA néi tiÕp B// ( nhËn biÕt nhanh c¸ch 2.b ) Q E nhng OBA = 90o P O QMN = 90o (5) M ( T/chÊt tø gi¸c néi tiÕp vµ t/chÊt hai gãc kÒ bï ) N A T¬ng tù QPN = 90o (6) C// Tõ (5) vµ (6) => (2) => (1) ®pcm B/ C VÝ dô 5: Cho tam gÝac ABC c©n ( AB = AC ) Trªn AB vµ AC lÊy M vµ N cho AM + AN = AB Dùng h×nh thang c©n ANMI ( AI // MN ) Chøng minh tø gi¸c AIBC néi tiÕp A Ph©n tÝch: §Ó chøng minh tø gi¸c AIBC néi tiÕp (1) Tõ gi¶ thiÕt => IM = MB = AN (2) vµ IN = AM = NC (3) I Tõ (2) vµ (3) => IMA = 2B1 (4) vµ ANI = 2C1 (5) (gãc ngoµi cña tam gi¸c ) MÆt kh¸c IMA = ANI (6) v× ANMI lµ h×nh thang c©n ) VËy tõ (4), (5) vµ (6) ta cã thÓ suy ®iÒu g× ? (suy B1 = C1(7)) Vµ tõ (7) => (1) ®pcm (c¸ch 4) Vậy để giải toán ví dụ ta đã dùng cách N M 1 C B Ví dụ 6: Cho tam giác ABC, gọi I tâm đờng tròn nội tiếp tam giác, G, K là các tiết điểm đờng tròn (I) trên AB, AC Gọi M, N là giao điểm IB, IC với GK Chøng minh BNMC lµ tø gi¸c néi tiÕp A (13) I S¸ng kiÕn kinh nghiÖm – NguyÔn H÷u C Tµi B Ph©n tÝch: C/m BNMC néi tiÕp (1) Sö dông c¸ch 5: (1) BNC = BMC = 90o (2) Ta thÊy BGI = 90o nªn ph¶i chøng minh : Tø gi¸c BNGI vµ tø gi¸c IKMC néi tiÕp (3) MIC = MKC (4) víi chó ý I lµ giao ph©n gi¸c tam gi¸c ABC Ta cã MIC = B1 + C1 = ∠ B +∠C =180 −∠ A (5) MÆt kh¸c: MKC = AKG = AGK = 180 −∠ A (6) Tõ (5) vµ (6) suy (4) => (3) => BMC = BNC = BGI = IKC = 90o => (2) =>(1) ®pcm Ví dụ 7: Cho tam giác ABC kẻ đờng cao AH Gọi I, K Là hình chiếu vuông góc H trên AB, AC Chứng minh tứ giác BIKC nội tiếp đợc Ph©n tÝch: C/m Tø gi¸c BIKC néi tiÕp (1) ta cã thÓ dïng mét hai c¸ch sau ®©y : C¸ch 1: Theo gi¶ thiÕt dÔ thÊy tø gi¸c AIHK néi tiÕp Nªn I1 = H1 nhng H1 = C1 (cïng phô víi H2) đó I1 = C1 ta có cách chứng minh thứ C/m (1) theo c¸ch 2.b A K I 1 B H Cách 2: Chứng minh (1) ta có thể sử dụng cách đợc không? C (1) AI AB = AK AC (2) §Ó chøng minh (2) ta cã thÓ sö dông hÖ thøc lîng gi¸c tam gÝac vu«ng AHC vµ AHB : AI AB = AH2 vµ AK AC = AH2 suy (2) đợc c/m => (1) đợc c/m Trong mçi bµi to¸n nªu trªn cßn cã nh÷ng c¸ch gi¶i kh¸c n÷a nhng cã thÓ nói là cách tôi đã nêu Nhng đây với bài tôi trình bày từ đến hai cách vì mục đích làm sáng tỏ việc phân tích theo định hớng thích hợp để chứng minh tứ giác nội tiếp (14) S¸ng kiÕn kinh nghiÖm – NguyÔn H÷u Tµi IV KÕt qu¶ cña qu¸ tr×nh nghiªn cøu: Trong quá trình nghiên cứu, tổng hợp và viết hoàn thiện đề tài này tôi thu đợc kết khá khả quan Tự mình nhận biết nhanh đợc tứ giác nội tiếp, để từ đó định hớng phơng ph¸p híng dÉn häc sinh t×m lêi gi¶i Gióp cho viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n h×nh häc cã sö dông tÝnh chÊt tø gi¸c néi tiÕp nhanh nh¹y Bæ xung thªm cho m×nh ph¬ng ph¸p chøng minh tø gi¸c néi tiÕp, c¸c ®iÓm cùng thuộc đờng tròn, để không bị bế tắc với các bài khó, thân tự tin hơn, t thªm nhanh vµ s¸ng t¹o h¬n §Æc biÖt lµ gióp cho gi¸o viªn thªm ph¬ng ph¸p híng dÉn häc sinh chøng minh hình học, giải toán và hớng dẫn học sinh đọc tài liệu tham khảo với các bài toán liên quan đến tứ giác nội tiếp V Gi¶i ph¸p míi vµ s¸ng t¹o: Trong đề tài này giải pháp và sáng tạo là phân tích để tìm cách chứng minh tứ giác nội trực giác hình vẽ bài toán (định lý) định hớng ph¬ng ph¸p theo gi¶ sö c¸c bíc sau : Híng thø nhÊt: ( ph©n tÝch ®i lªn ) Bớc 1: Giả sử để chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn ta chọn phơng pháp A nào đó ( phơng pháp A là cách 1, cách …, cách ) thì ta phải chứng minh ®iÒu g× ? ( ®iÒu g× ë ®©y lµ mét c¸c hÖ thøc ë c¸ch ) Bớc 2: Sau đó dựa vào giả thiết, kiến thức đã học để chứng minh Bíc 3: Tr×nh bµy l¹i lêi gi¶i bµi to¸n theo híng ph©n tÝch trªn Híng thø hai: (Tæng hîp ) Bíc 1: Ph©n tÝch gi¶ thiÕt, nhËn biÕt nhanh c¸c tø gi¸c néi tiÕp ( b»ng mét c¸ch ) Bớc 2: Dùng tính chất tứ giác nội tiếp, các kiến thức toán học để có s¸u hÖ thøc cña c¸ch chøng minh tø gi¸c néi tiÕp Bớc 3: Tổng hợp, phân tích, kiểm tra lại để tránh sai lầm và cuối cùng trình bµy lêi gi¶i Cái sáng tạo đây là hệ thống, liên kết chặt chẽ các phơng pháp để có thể nhận biết cách nhanh tứ giác nội tiếp đờng tròn Tự tin häc to¸n B øng dông vµo thùc tÕ c«ng t¸c gi¶ng d¹y (15) S¸ng kiÕn kinh nghiÖm – NguyÔn H÷u Tµi - Về tâm lý HS học không thụ động là phải tìm tổng hai góc đối diện tứ giác 180o nội tiếp Phát huy đợc tính độc lập, nhanh nhẹn sáng tạo tìm lời giải hệ thống phơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đã đợc h×nh thµnh vµ dÔ ghi nhí, t¹o ®iÒu kiÖn t×m c¸c c¸ch gi¶i kh¸c cho mét bµi to¸n h×nh häc - Ngoµi kÕt qu¶ lµ häc sinh biÕt c¸ch chøng minh tø gi¸c néi tiÕp vµ nhËn biết nhanh tứ giác nội tiếp thì ta có thể dùng tính chất nó để ứng dụng chứng minh h×nh häc cã sö dông kÕt qu¶ cña tø gi¸c néi tiÕp: ứng dụng 1: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức hình học; Chứng minh các góc , các đẳng thức tích các đoạn thẳng , bất đẳng thức diện tích c¸c h×nh, … Ví dụ : Từ kết ví dụ ta có thể dùng tứ giác HCNK nội tiếp để giải bµi to¸n tiÕp theo : Gi÷ nguyªn gi¶ thiÕt vµ bæ xung thªm M lµ giao ®iÓm cña IK víi AB KÕt luËn chøng minh SAMN ≤ SABC (víi SAMN, SABC thø tù lµ ký hiÖu diÖn tÝch tam gi¸c AMN vµ tam gi¸c ABC ) Ta cã thÓ ph©n tÝch gi¶i tiÕp nh sau (h×nh vÏ ë vÝ dô 3) Tø gi¸c HCNK néi tiÕp => ANM = KHC = 45o => AMN lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i A => AM = AN (1) Lại chứng minh đợc AKN = AKH (g.c.g) => AN = AH (2) Tõ (1) vµ (2) => AM = AN =AH Do đó SAMN = AM AN = AH2 còn SABC = AB AC 2 XÐt ABC vu«ng t¹i A cã : 1 AB2 + AC2 AB AC = + = ≥ = = 2 2 2 AB AC S AH AB AC AB AC AB AC ABC 1 ≥ Hay: SAMN SABC ( ®pcm) S AMN S ABC ứng dụng 2: Dùng tứ giác nội tiếp để chứng minh cặp đờng thẳng song song, cặp đờng thẳng vuông góc: VÝ dô: (lÊy vÝ dô 2) Gi÷ nguyªn gi¶ thiÕt, kÕt luËn chøng minh PQ//AC ThËt vËy ( h×nh vÏ ë vÝ dô 2) Tø gi¸c AQBP néi tiÕp => ACB = PAB ( cùng chắn cung AB ) mà PAB = PQB (cùng chắn cung BP đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AQBP ) => ACB = PQB => PQ //AC (đồng vị ) ứng dụng 3: Dùng các cách chứng minh tứ giác nội tiếp để chứng minh nhiều A1, A2, A3, … An cùng thuộc đờng tròn : Bíc 1: Chän bèn ®iÓm, vÝ dô A1, A2, A3, A4 t¹o thµnh mét tø gÝac néi tiÕp (sö dông mét c¸ch chøng minh tø gi¸c néi tiÕp ) Bíc 2: L¹i chän bèn ®iÓm kh¸c : A 1, A2, A3, A5 ch¼ng h¹n t¹o thµnh mét tø gi¸c néi tiÕp (16) S¸ng kiÕn kinh nghiÖm – NguyÔn H÷u Tµi Cứ tiếp tục chứng minh nh trên, cuối cùng nhận xét các đờng tròn ngoại tiếp các tứ giác trên chung điểm A 1, A2, A3 Do đó các đờng tròn đó phải trùng => A1, A2, A3,…,An cùng thuộc đờng tròn VÝ dô: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, ®iÓm E thuéc BC, kÎ hai trung trùc cña AB vµ AC gÆp ë I Trung trùc cña AE c¾t hai trung trùc ë F, K Chứng minh điểm A, E, F, I, K cùng nằm trên đờng tròn Ph©n tÝch : K Chøng minh ®iÓm A, E, F, I, K cùng nằm trên đờng tròn (1) A Chøng minh tø gi¸c néi tiÕp AKIE C vµ AKIF (cã ®iÓm chung lµ A, K , I) (2) F I ThËt vËy, tõ gi¶ thiÕt => I BC vµ IB =IC (A = 90o) E V× IK lµ trung trùc cña AC, KF lµ trung trùcBcña AEH KA = KC = KE => KAI = KEI (=KCE) Tø gi¸c AKIE néi tiÕp (3) (theo c¸ch 4) ta l¹i cã K1 = K2 = I1= I2 (Các góc nội tiếp cùng chắn cung và tính chất đờng trung trực ) hay K1 = I1 => tø gi¸c AKIF néi tiÕp (theo c¸ch 4) (4) Tõ (3)vµ (4) => (2) => (1) ®pcm Chú ý : ví dụ này kẻ đờng cao AH tam giác ABC Hình vẽ trên là ứng víi ®iÓm E thuéc ®o¹n HC cßn trêng hîp n÷a lµ E thuéc ®o¹n HB vµ E n»m ngoµi ®o¹n BC chøng minh t¬ng tù Bµi häc kinh nghiÖm: Qua đề tài này tôi rút đợc bài học kinh nghiệm cho chính thân là có đủ phơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp, khai thác triệt để “ Điều kiện cần và đủ ” để khai thác các bài toán dạy bồi dỡng cho HS Cũng từ các cách chøng minh tø gi¸c tø gi¸c néi tiÕp cã thÓ më híng nghiªn cøu tiÕp vÏ h×nh phô tạo tứ giác nội tiếp, để giải cách khác cho bài toán cụ thể đề bài to¸n míi qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y (17) S¸ng kiÕn kinh nghiÖm – NguyÔn H÷u Tµi PhÇn : KÕt luËn Qua quan sát đọc tài liệu viết báo cáo và dạy minh họa, việc tìm cách chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn, vận dụng tính chất nó vào giải toán tôi thấy đợc giá trị lý luận, ý nghĩa thực tiễn và hiệu đề tài này nh sau: - Träng rÌn luyÖn nghiÖp vô: §©y lµ mét nh÷ng h×nh thøc tù häc, tù båi dỡng ngời giáo viên Với GV, có đọc, học hỏi và tích luỹ kinh nghiệm ph¬ng ph¸p vµ d¹y cho häc sinh mét c¸ch cã ph¬ng ph¸p, cã hÖ thèng th× míi cã thể nâng cao đợc lực giải toán, phơng pháp đợc đổi và sáng tạo - Bên cạnh đó có thể nói đề tài này là t liệu cần thiết giúp các giáo viªn míi trêng tham kh¶o d¹y h×nh häc cho häc sinh vµ gióp GV d¹y to¸n më híng nghiªn cøu tiÕp hÖ thèng c¸c ph¬ng ph¸p kh¸c - Trong thực tiễn giảng giạy: Việc nắm đợc hệ thống phơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp để áp dụng vào giải toán đem lại hứng thú cho ngời giải to¸n, nhÊt lµ HS bëi víi bµi to¸n chøng minh tø gi¸c néi tiÕp nµo HS còng cã thÓ tự mình mày mò và tìm đợc hớng giải không bị bế tắc Có đợc tứ giác nội tiếp lại có thể dùng các tính chất nó tức là phần đảo lại để khai thác và đề xuất c©u hái míi, bµi to¸n míi thùc sù lý thó Nã ®em l¹i sù tù tin, niÒm say mª víi bé m«n h×nh häc, sù tëng tîng phong phó vµ t nhanh nh¹y - Nãi tãm l¹i hÖ thèng ph¬ng ph¸p chøng minh tø gi¸c néi tiÕp lµ kh«ng thÓ thiếu ngời thầy để bồi dỡng phơng pháp giải toán và lực t sáng tạo cho HS Tuy đề tài này dừng lại mảng nhỏ chứng minh hình học nhng đã phÇn nµo lµm s¸ng tá ý nãi trªn ®©y (18) S¸ng kiÕn kinh nghiÖm – NguyÔn H÷u Tµi Những tài liệu tham khảo xây dựng đề tài : SGK to¸n tËp – Phan §øc ChÝnh ( Tæng chñ tËp )- T«n Th©n (chñ biªn) – nhµ xuÊt b¶n gi¸o dôc n¨m 2005 N©ng cao vµ ph¸t triÓn to¸n tËp – Vò H÷u B×nh – Nhµ xuÊt b¶n gi¸o dôc n¨m 2005 Chøng minh h×nh häc : ph©n lo¹i vµ ph¬ng ph¸p gi¶i 100 bµi to¸n chøng minh h×nh – NguyÔn Phóc Tr×nh – Nhµ xuÊt b¶n thµnh phè Hå ChÝ Minh n¨m 1999 C¸ch t×m lêi gi¶i c¸c bµi to¸n THCS – tËp III H×nh häc – Lª H¶i Ch©u vµ NguyÔn Xu©n Quú – Nhµ xuÊt b¶n §¹i häc Quèc gia Hµ Néi n¨m 1999 23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp bồi dỡng học sinh giỏi và luyện thi vµo líp 10 (quyÓn h¹ ) – ban GV n¨ng khiÕu trêng thi Chñ biªn NguyÔn §øc §ång , NguyÔn v¨n VÜnh – Nhµ xuÊt b¶n trÎ n¨m 2000 H¬ng Canh, th¸ng n¨m 2008 NguyÔn H÷u Tµi Môc lôc Trang (19) S¸ng kiÕn kinh nghiÖm – NguyÔn H÷u Tµi phÇn 1: PhÇn më ®Çu Lý chọn đề tài a) C¬ së lý luËn b) C¬ së thùc tiÔn 2 Phạm vi, đối tợng, mục đích đề tài Phần 2: nội dung đề tài A Nội dung đề tài I Cơ sở lí luận khoa học đề tài II Đối tợng phục vụ cho quá trình nghiên cứu xây dựng đề tài III Néi dung ph¬ng ph¸p nghiªn cøu * Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu * Néi dung nghiªn cøu * Mét vµi vÝ dô minh ho¹ IV KÕt qu¶ cña qu¸ tr×nh nghiªn cøu V Giải pháp và sáng tạo đề tài B øng dông vµo thùc tÕ c«ng t¸c gi¶ng d¹y phÇn 3: KÕt luËn 4 5 16 16 17 20 Nh÷ng tµi liÖu tham kh¶o 21 (20)