skkn giải bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp

Để phát triển khả năng tư duy và sáng tạo trong việc học Toán và giải Toán thì việc tìm ra kết quả của một bài toán, phải được coi như là giai đoạn mở đầu cho một công việc, tiếp theo là

A ĐẶT VẤN ĐỀ.

I Lí do chọn đề tài:

Trong những năm qua, song song với việc thay sách ở bậc THCS, thì việc đổi mới phương pháp dạy học cũng được tiền hành mạnh mẽ ở từng trường, từng giáo viên trực tiếp đứng lớp Hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay là tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm hình thành cho học sinh tư duy tích cực, độc lập sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện cho các

em khả năng vận dụng kiến thức vào thực tiển, tác động đến tình cảm, đem lại niềm tin và sự hứng thú trong học tập của học sinh

Để phát triển khả năng tư duy và sáng tạo trong việc học Toán và giải Toán thì việc tìm ra kết quả của một bài toán, phải được coi như là giai đoạn

mở đầu cho một công việc, tiếp theo là khai thác, mổ xẻ, phân tích bài toán

đó Trong quá trình dạy học toán nói chung và quá trình giải toán nói riêng, người dạy cần tạo cho học sinh thói quen là “ sau khi tìm được lời giải một bài toán, dù lời giải bài toán đó đơn giản hay phức tạp, thì cũng cần tiếp tục suy nghĩ lật lại vấn đề, tìm thêm lời giải khác, cố gắng tìm ra phương án giải tối

ưu nhất có thể được” Hãy luôn nghĩ đến việc khai thác bài toán bằng các con đường tương tự hoá, tổng quát hoá, đặc biệt hoá để tạo ra bài toán mới trên cơ

sở bài toán đã có Đối với việc học toán thì việc rèn luyện kỷ năng giải toán là hết sức cần thiết, cần phải rèn luyện thường xuyên kỷ năng giải toán bằng nhiều cách, giải nhiều bài tập thuộc nhiều dạng khác nhau, nhiều loại toán khác nhau và sau đó tự mình suy nghĩ khi thất bại hay thành công, rồi rút ra bài học kinh nghiệm trước khi giải một bài toán, nên tìm hiểu xem bài toán thuộc loại nào? dạng nào? Sau đó tự mình tư duy chọn phương pháp giải cho thích hợp, có định hướng cho phương pháp giải đó và khai thác bài toán tốt hơn Đối với học sinh trường THCS Nguyễn Du phần lớn các em học rất yếu

về môn toán, với nhiều lí do khác nhau, điều này hạn chế rất lớn đến việc phát huy tính tích cực và độc lập nhận thức khi giải toán của học sinh, dẫn đến các

em không ham học toán và không tự tin khi giải toán, lúng túng trong lí luận

và trình bày Trong chương trình toán 9, lí thuyết phần lớn có tính chất hệ thống, cung cấp phương pháp, bài tập thì phong phú, rèn luyện được kỷ năng giải toán cho học sinh Trong đó giải bài toán chứng minh “Tứ giác nội tiếp”

là phần kiến thức quan trọng, cơ bản của chương “ Góc và đường tròn”, nhiều lúc, nhờ một tứ giác nội tiếp mà ta có thể giải quyết được một số yêu cầu khác liên quan của bài toán Để chứng minh một bài tóan hình học nói chung, chứng minh một tứ giác nội tiếp nói riêng Đòi hỏi học sinh cần có khả năng phân tích, phán đoán, vẽ hình, tư duy tích cực, lí luận và trình bày tốt mới giải quyết được vấn đề Để chuẩn bị cho các em thi vào lớp 10 THPT, trong yêu cầu thực tế hiện nay là rất khó, nên việc rèn luyện kỷ năng giải toán nói chung, khả năng tư duy, sáng tạo cho học sinh là hết sức cần thiết của mổi giáo viên đứng lớp Nên bản thân tôi cố gắng tìm tòi, nghiên cứu đề tài này, nhằm giúp cho học sinh phần nào về khả năng giải các bài toán liên quan và cũng từ đó để tạo đà nâng cao được chất lượng học Toán và giáo dục toàn diện cho học sinh Bởi vì một học sinh giỏi Toán thường học tốt các môn học khác, mà muốn học giỏi Toán thì trước hết phải chăm chỉ học tập, rèn luyện

kỷ năng giải toán, tư duy,sáng tạo, dẫn đến say mê học toán và trở nên giỏi Toán

II Nhiệm vụ của đề tài

1.Hướng dẫn học sinh vận dụng tốt các kiến thức về chứng minh một tứ giác nội tiếp

2 Rèn luyện cho học sinh khả năng vận dụng kiến thức về “ Tứ giác nội tiếp” để giải các bài toán liên quan

3 Hướng dẫn học sinh khai thác các cách chứng minh “Tứ giác nội tiếp” thông qua các cách chứng minh quen thuộc

III Đối tượng nghiên cứu và phương pháp tiến hành

Đề tài được nghiên cứu và áp dụng 74 học sinh hai lớp 9A1, 9A2, trường THCS Nguyễn Du năm học 2008-2009 và 75 học sinh lớp 9A6, 9B trường THCS Nguyễn Du năm học 2009-2010

Đề tài được thực hiện chủ yếu trong các giờ luyện tập, ôn tập trên lớp và thông qua các tiết ôn tập, luyện thi

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.

I Cơ sở lí thuyết

Bài 7 Chương góc và đường tròn, tập II, sách giáo khao toán lớp 9

1/ Những nhiệm vụ cơ bản trước khi giải bài toán “ chứng minh tứ giác nội tiếp” và các bài toán liên quan ( xin được trình bày lại )

a/ Học sinh nắm được khái niệm tứ giác nội tiếp

*Một tứ giác có 4 đỉnh nằm trên một đường tròn, được gọi là tứ giác nội tiếp (H1 )

0

A

B

C

D

(H1)

b/ Nắm được tính chất cơ bản của tứ giác nội tiếp

* Tổng hai góc đối diện của một tứ giác nội tiếp bằng 180 o

* ABCD nội tiếp  ABC ADC 180     0

( BAD BCD 180     0)

c/ Học sinh nắm được các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

*Có 3 dấu hiệu cơ bản

+ Theo định nghĩa

- Chứng minh 4 đỉnh của tứ giác cùng thuộc một đường tròn

Tứ giác ABCD nội tiếp  có một điểm O nào đó sao cho

OA = OB = OC = OD

+ Theo định lí đảo

Tứ giác ABCD nội tiếp  A C 180     0 hoặc B D 180     0

Trường hợp đặc biệt:

Nếu tứ giác ABCD có A 90   0 ; C 90   0 Thì ABCD nội tiếp được trong đường tròn đường kính BD ( Nếu có B D 90     0 Thì ABCD nội tiếp được trong đường tròn đường kính AC ) (H2)

C

A (H2)

Chú ý khi dùng định lí đảo để chứng minh một tứ giác nội tiếp, thì chú ý đến trường hợp tứ giác có một góc bằng góc ngoài của đỉnh đối diện thì tứ giác đó nội tiếp được trong đường tròn Tứ giác ABCD có  

1

D B  thì nội tiếp được trong một đường tròn (H3)

0

A

1

B

C

D

( H3) + Dùng cung chứa góc

Tứ giác ABCD có hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới một góc

 thì nội tiếp được trong một đường tròn ABCD nội tiếp  ADB ACB    

( H 4)

0

C

D

(H4)

- Khi   90 0 thì tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn đường kính AB ( H 5)

0

D

C

( H5)

- Ngoài ra học sinh cần nắm được, trong các tứ giác đã học, có hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân nội tiếp được trong đường tròn 2/ Những yêu cầu cơ bản khi tiến hành giải bài toán hình học

a/ Đọc thật kỷ đề bài, vẽ hình đúng, đẹp, rõ ràng, phục vụ cho từng câu

và cho cả bài, chú ý khi vẽ hình nên tránh các trường hợp đặc biệt

b/ Từ hình vẽ, phán đoán hướng giải trước, sau đó áp dụng cách giải cho phù hợp

c/ Tận dụng triệt để dự kiện bài toán đã cho và kết quả chứng minh của các câu hỏi khác trong bài toán

d/ Vận dụng sáng tạo khoa học, hợp lí các kiến thức đã học vào việc giải quyết các yêu cầu của bài toán

e/ Trình bày phải sạch sẽ, rỏ ràng, ngắn gọn, suy luận phải có cơ sở, lô gic

II Biện pháp thực hiện

1 Hướng dẫn học sinh vận dụng tốt các kiến thức đã học để chứng minh một tứ giác nội tiếp

Bài toán1: cho đường tròn (O) và cung AB, S là điểm chính giữa của cung đó, trên dây cung AB lấy hai điểm E và H Các đường thẳng SH và SE cắt đường tròn tại C và D Chứng minh tứ giác EHCD nội tiếp

0

C

A

B S

D

(H6)

a/ Phân tich ,tìm tòi cách giải

Sau khi đọc đề thật kỷ, vẽ hình đúng( H6), rỏ ràng, nắm được các yếu

tố đã cho và yêu cầu của bài toán là chứng minh tứ giác EHCD nội tiếp, lúc này ta liên tưởng đến các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đường tròn- theo các dự kiện của bài toán, ta phán đoán để tìm ra hướng giải quyết vấn đề, đối với hai dấu hiệu “ theo định nghĩa và cung chứa góc” thì ta thấy giả thiết của bài toán không có yếu tố nào liên quan, phản ánh được điều đó, nên ta tập trung vào cách giải bài toán bằng cách dung dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp theo “Định lí đảo” lúc này ta tập trung vào việc chứng minh tứ giác có tổng

hai góc đối bằng 2 vuông Xét thấy trong hinh vẽ chỉ có hai loại góc, đó là góc nội tiếp và góc có đỉnh ở trong đường tròn Từ đó ta vận dụng kiến thức về hai lọai góc nói trên để giải quyết bài toán

b/ Trình bày

Ta có   

2

1

2

  ( góc có đỉnh ở trong đường tròn )

mặt khác ta có

2

Tứ giác EHCD nội tiếp được trong đường tròn

*Tóm lại:

- Cách giải bài toán trên là chứng minh tổng hai góc đối diện của tứ giác bằng

2 vuông

- kiến thức vận dụng là góc nội tiếp và góc có đỉnh ở trong đường tròn

+ Yêu cầu học sinh chứng minh tương tự đối với hai góc D và H

+ Để kich thích cho học sinh suy nghĩ, phát triển khả năng tư duy, sáng tạo ta hướng dẫn cho học sinh giải bài toán bằng nhìn khía cạnh khác, chẳng hạn giống như cách chứng minh ở phần 1 nhưng không chứng minh trực tiếp 

2

C=180 0 mà ta có thể chứng minh gián tiếp, từ đó kích thích được óc tò mò của học sinh, buộc các em phải tập trung tư duy và các em để phát hiện ra vấn đề

 Trình bày:

+ Chứng minh  

1

E  C : Ta có   

1

1

2

  ( Góc có đỉnh ở trong đường tròn )

1

   , mặt khác ta có C=1 

sdSAD 2

( góc nội tiếp) =>  

1

E  C mà   0

E  E  180 ( kề bù ) Từ đó =.>   0

2

=> EHCD là tứ giác nội tiếp

+ Từ kết quả của cách chứng minh trên giáo viên lưu ý cho học sinh dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp ( dạng biến thể của định lí đảo ) là “ tứ giác có một góc bằng góc ngoài của đỉnh đối diện, thì nội tiếp được trong đường tròn”

Bài toán 2:

Cho hai đường tròn (O) và (O ') cắt nhau tại hai điểm A và B, tia OA cắt đường (O ) tại M, tia' O 'A cắt ( O ) tại N Chứng minh rằng MNOO 'là tứ giác nội tiếp.(h7)

O

B

O A

N

M

(H7)

a/Phân tích:

Đối với bài toán này, nếu ta sử dụng dấu hiệu “ Dùng định lí đảo” để chứng minh thì không thể được, vì đề bài không có yếu tố nào của giả thuyết liên quan đến số đo của các góc, nên ta tập trung suy nghĩ đến phương pháp chứng minh dùng cung chứa góc Sau khi vẽ hình chính xác, rỏ ràng, quan sát hình

vẽ, ta dể dàng phát hiện ra việc chứng minh góc N1 bằng góc M1 là vấn đề đơn giản, thông qua tính chất của tam giác cân và góc đối đỉnh

b/ Trình bày

Ta có AON cân tại O (có ON = OA = bán kính của (O) ) =>  

A  N Tương

tự ta có

A  A (đ đ ) =>  

N  M Tứ giác MNOO 'có hai đỉnh liên tiếp M và N cùng nhìn cạnh OO 'dưới hai góc bằng nhau nên nội tiếp được trong một đường tròn

*Tóm lại

Cách bài toán này là dùng dấu hiệu “ cung chứa góc”, kiến thức vận dụng là đường tròn, tam giác cân, góc đối đỉnh

Hai ví dụ trên đây tuy mới bước đầu hướng dẫn học sinh biết cách sử dụng sáng tạo các kiến thức đã học để tư duy vào việc giải một bài toán khá đơn giản nhưng hết sức quan trọng, là giai đoạn đầu mà bất kỳ học sinh giỏi nào cũng không thể bỏ qua được

2 Rèn luyện cho học sinh khả năng vận dụng các kiến thức về tứ giác nội tiếp để giải các bài toán liên quan

a/ Biện pháp:

Khi hướng dẫn cho học sinh giải toán, điều quan trọng nhất của giáo viên, là rèn luyện cho học sinh khả năng nắm được cấu trúc lôgic của bài toán, hiểu được bản chất toán học ẩn sau những câu chữ của đề toán Từ đó cần phải phân tích những điều mấu chốt, của bài toán, những điều liên quan giữa vấn đề đã cho, và vấn đề cần tìm, rồi định hướng hình thành cách giải phù hợp.Sau đây là vài ví dụ

*Bài tóan 1

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và A’ Một cát tuyến () bất kỳ qua A’ cắt (O ) tại B và (O’) tại C , từ B và C kẻ hai đường thẳng song song bất kỳ theo thứ tự cắt (O) và (O’) tại B’ và C’ Chứng minh rằng ba điểm A, B’,C’ thẳng hàng

A

A' B

C

(H8)

*Phân tích:

Căn cứ vào các dự liệu và yêu cầu của bài toán, sau khi quan sát hình vẽ, ta có nhận xét, đề bài có một yếu tố quan trọng là BB’// CC’- điều đó cho ta được

điều gì? Còn trên hình vẽ (H8) thì phản ánh cho ta có hai tứ giác nội tiếp là A A’BB’ và A A’CC’, tiếp tục cho ta được vấn đề gì? Vận dụng triệt để các kiến thức liên quan đến hai lỉnh vực trên ta tìm được cách giải quyết bài toán rất đơn giản

* Trình bày:

Tứ giác A A’BB’ nội tiếp trong đường tròn (O) => A 'AB' B 180     0

Tương tự tứ giác AA’CC’ nội tiếp trong đường tròn (O’) =.>

B C 180   (trong cùng phía ) => A 'AB' A 'AC' 180     0 => Ba điểm AB’C’ thẳng hàng

*Bài toán 2

Từ một điểm M trên dây cung AB của đường tròn (O), kẻ một đường thẳng vuông góc với OM tại M, đường thẳng này cắt các tiếp tuyến tại A và B của đường tròn tại các điểm tương ứng E và F Chứng minh M là trung điểm của EF

o

A

B M

F

E

( H9)

* Phân tich:

Khi M là trung điểm của EF => tam giác EOF cân tại O, vậy thì thay vì việc trực tiếp chứng minh M là trung điểm của EF, ta đi chứng minh tam giác EOF cân tại O Bài toán trở nên đơn giản hơn nhiều, bằng cách chứng minh OE=

OF thông qua các kiến thức liên quan đến “ Tứ giác nội tiếp” Học sinh dễ dàng nhận ra vấn đề và giải quyết được bài toán

* Trình bày:

- Ta có : Tứ giác AEMO nội tiếp ( có EAO EMO 90     0) => AME AOE   

( cùng chắnAE )

Tứ giác MBFO nội tiếp ( có OM F OBF 90     0) => BMF BOF   

( cùng chắn BF) Mà AME BMF    ( đối đỉnh ) => AOE BOF    => AOE = 

BOF => OE=OF => EOF cân tại O, có OM là đường cao, nên OM cũng vừa

là đường trung tuyến, suy ra M là trung điểm của EF (điều phải chứng minh)

3 Hướng dẫn học sinh khai thác bài toán, từ bài toán “Chứng minh

tứ giác nội tiếp”

Các cách chứng minh ‘ Tứ giác nội tiếp” mà học sinh đã được học, chủ yếu là các cách chứng minh về góc, ngoài các cách trên chúng ta còn có một vài điều kiện đủ khác để một tứ giác là tứ giác nội tiếp, chúng ta xét các bài toán sau

a/ Bài tóan 1:

Cho tứ giác ABCD gọi O là giao điểm hai đường chéo và I là giao điểm hai cạnh bên AD và BC Chứng minh rằng:

a/ Tứ giác ABCD nội tiếp  OA OC = OB OD

b/ Tứ giác ABCD nội tiếp  IA ID = IB IC

+ Trình bày:

A

C

O

(H10)

+ Ta chứng minh ABCD nội tiếp  OA OC = OB OD

-Khi ABCD nội tiếp => CBD CAD    ( cùng chắn CD) mặt khác ta có

=> OB OA

OCOD => OA OC = OB OD

-Ngược lại khi ta có OA OC = OB OD => OA OB

Và BOC AOD    ( đ đ )

=> BOC đồng dạng với  AOD => CAD CBD    ( góc tương ứng) => Tứ giác ABCD có hai đỉnh liên tiếp A và B cùng nhìn cạnh CD dưới hai góc bằng nhau nên nọi tiếp được trong đường tròn

+ Trường hợp tứ giác ABCD nội tiếp  IA ID = IB IC ta thực hiện chứng minh tương tự

Việc chứng minh bài toán này không khó Nhưng qua bài toán trên cho

ta ý tưởng , chứng minh tứ giác nội tiếp đó là chứng minh một đẳng thức về cạnh, ta dùng ý tưởng đó hướng dẫn học sinh giải dạng tóan sau

b/ Bài toán 2:

Cho đường tròn (O) A là một điểm nằm ngoài đường tròn , một các tuyến qua

A cắt (O) tại B và C, vẽ tiếp tuyến AP với (O) ( P là tiếp điểm ) Gọi H là hình chiếu của P trên OA Chứng minh OHBC nội tiếp

+ Phân tích

Xét tứ giác OHBC chúng ta thấy

hai cạnh OH và BC cắt nhau ở A,

do đó theo bài toán 1, để chứng

minh tứ giác OHBC nội tiếp ta

nghĩ đến việc chứng minh AH

AO = AB AC

+ Trình bày:

Thật vậy ta có: AH AO = AP 2 (Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông )

AB AC = AP 2 ( Tam giác APB đồng dạng với tam giác ACP )

=> AH AO = AB AC Theo bài 1 => OHBC là tứ giác nội tiếp

c/ Bài toán 3:

Cho tam giác cân ABC (AB = AC ), đường tròn tâm O tiếp xúc với AB tại B

và tiếp xúc với AC tại C Gọi H là giao điểm của OA và BC, vẽ dây cung DE của (O) đi qua H Chứng minh rằng tứ giác ADOE nội tiếp

+ Cũng phân tích tương tứ như bài toán 2, để chứng minh tứ giác ADOE nội tiếp ta chỉ việc chứng minh HA HO = HD HE

O A

C P

B

H