SKKN Tu giac noi tiep

*****Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2008-2009***** Đề tài: Vai trò của tứ giác nội tiếp trong giải toán I- Đặt vấn đề. Trong chơng trình hình học lớp 9 việc chứng minh đợc vận dung nhiều đến khái niệm góc liên quan đến đờng tròn, nên việc sử dụng tứ giác nội tiếp trong chứng minh đóng vai trò quan trọng . Nhng đối với học sinh lớp 9 khi chứng minh một tứ giác nội tiếp một đờng tròn còn hạn chế ở tính chất Tổng hai góc đối diện bằng hai góc vuông do đó đối với học sinh trung bình , khá thờng gặp khó khăn trong việc giải toán hình học ở lớp 9 . Vì vậy qua đề tài này tôi muốn giúp các em nhìn lại các dấu hiệu nhận biết một tứ giác nội tiếp và đặc biệt là vận dụng tứ giác nội tiếp một đờng tròn để chứng minh một số dạng bài toán khác nhau ở mức độ đơn giản để các em hiểu rõ hơn về việc chứng minh tứ giác nội tiếp và vai trò của tứ giác nội tiếp trong giải toán. II- Nội dung đề tài. 1) Xây dựng kiến thức cơ bản Bài toán: Cho tứ giác ABCD . Hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại N, hai cạnh AB và CD cắt nhau tại M. Các điều kiện sau đây là tơng đơng. a) Tứ giác ABCD nội tiếp trong một đờng tròn. b) ACB = ADB c) ABC + ADC = 180 0 d) DAB = MCB e) MA.MB = MC.MD f) NA.NC = NB.ND g) AB.CD + AD.BC = AC.BD (Định lý Ptô-lê-mê) 2) Tìm hiểu chứng minh tứ giác nội tiếp thông qua bài tập. Bài tập 1: Cho đờng tròn (O) và điểm A nằm ngoài (O). Qua A kẻ tiếp tuyến AB và cát tuyến AMN với đờng tròn (O). Lấy I là trung điểm MN . Chứng minh A, B, O, I cùng thuộc một đờng tròn. H ớng dẫn: *) T/h 1. Cát tuyến AMN và tiếp tuyến AB nằm về 2 nửa mp bờ là đờng thẳng chứa đoạn thẳng OA Ta có ABO + AIO = 90 0 + 90 0 = 180 0 ABOI nội tiếp 1 đờng tròn 1 N A D M C B I N M O B A *****Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2008-2009***** *) T/h 2. Cát tuyến AMN và tiếp tuyến AB nằm cùng nửa mp bờ là đờng thẳng chứa đoạn thẳng OA + Lợi dụng định nghĩa đờng tròn. Lấy C là trung điểm của OA => CA = CB = CO = CI ABIO nội tiếp 1 đờng tròn + Lợi dụng cung chứa góc . Ta có I và B cùng thuộc cung chứa góc 90 0 dựng trên OA ABIO nội tiếp 1 đờng tròn Bài tập 2: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB . Trên nửa đờng tròn đó lấy 2 điểm C và D sao cho AC = CD = DB, các tiếp tuyến kẻ từ C và B của đờng tròn cắt nhau tại I . Hai tia AC và BD cắt nhau tại K. Chứng minh tứ giác KIBC nội tiếp một đờng tròn (bằng hai cách) H ớng dẫn: Cách 1: Ta có KCI = KBI Tứ giác KIBC nội tiếp một đờng tròn Cách 2. Gọi giao điểm DK và CI là M KMI = DMC (c- g - c) Nên KI // CD => KIB = KCB = 90 0 Tứ giác KIBC nội tiếp một đờng tròn Nhận xét : Qua hai bài tập nêu trên phần nào đã cho học sinh thấy đợc việc chứng minh 1 tứ giác nội tiếp 1 đờng tròn bằng nhiều cách. Do đó qua bài tập này đã rèn thêm học sinh các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp 1 đờng tròn. Với đề tài này tôi mục đích khai thác khai thác tứ giác nội tiếp để chứng minh một số yếu tố thông qua các bài tập để học sinh thấy đợc vai trò tứ giác nội tiếp trong giải toán có phần qua trọng nh thế nào. 3) Vai trò của tứ giác nội tiếp đ ờng tròn trong giải toán. Dạng 1: Vai trò tứ giác nội tiếp trong chứng minh các góc bằng nhau. Bài tập 1a: Cho đờng tròn tâm (O) và một điểm C ở ngoài đờng tròn. Từ C kẻ hai tiếp tuyến CE,CF và cát tuyến CMN tới đờng tròn. Đờng thẳng CO cắt đờng tròn (O) tại hai điểm A và B. Gọi I là giao điểm của AB với EF. 2 // // C I N M O B A M K I B O A C D *****Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2008-2009***** Chứng minh rằng AIM = BIN H ớng dẫn: Ta có CM. CN = CI. CO (= CE 2 ) Lại có CEM = CNE (cùng chắn cung ME) CMI CON (c- g - c) Tứ giác IONM nội tiếp 1 đờng tròn Nên IOM = INM = 2 1 sđ MM / sđ AM = 2 1 sđ MM / AM = AM / Vậy AIM = BIN (= AIM / ) Bài tập 1b: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB. Trên (O) lấy điểm C , gọi H là chân đ- ờng vuông góc kể từ C xuống AB . M và N lần lợt là tâm đờng tròn nội tiếp các tam giác ACH và BCH. Gọi giao điểm MN với AC và BC lần lợt là P và Q. a) Chứng minh CPQ = MHC b) Khi C chạy trên nửa đờng tròn tâm O thì đờng trung trực PQ luôn đi qua 1 điểm cố định H ớng dẫn: Ta có NCH MAH (g- g) Vì MHA = NCH = 45 0 và MAH = NCH => MHN AHC (c- g - c) Nên tứ giác APMH nội tiếp 1 đờng tròn CPQ = MHC (đpcm) Tam giác PCQ vuông cân tại C Đờng trung trực PQ luôn đi qua 1 điểm cố định Dạng 2: Vai trò tứ giác nội tiếp trong chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau. Bài tập 2a: Cho tam giác ABC (AB < AC) , đờng trung tuyến AD và đờng phân giác AE. Đờng tròn ngoại tiếp tam giác ADE cắt AB và AC lần lợt tại M và N. Chứng minh BM = CN. H ớng dẫn: Vẽ đờng tròn ngoại tiếp ABE cắt AC tại F Vì BAE = CAE => EB = EF và EM = EN 3 S S S Q P N M H B O A C / M N M I B A C O E F F N M D E A B C *****Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2008-2009***** Do tứ giác ABEF và tứ giác AMEN BEF = MEN do đó BEM = FEN Nên BEM = FEN (c-g-c) => BM = FN (1) Lại có tứ giác AEDN nội tiếp nên CDN = EBF (= EAN) Do đó DN // BF Xét CBF có DB = DC, DN // BF => CN = FN (2) Từ (1) và (2) => BM = CN (đpcm) Bài tập 2b: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O, đờng phân giác AD. Gọi H,K theo thứ tự là tâm các đờng tròn ngoại tiếp các tam giác ABD và ACD . Chứng minh OH = OK. H ớng dẫn: Ta có OH, OK và HK lần lợt là trung trực của AB, AC và AD Nên AIHM và AMNK là các tứ giác nội tiếp Do BAD = CAB => OHK = OKH OH = OK Bài tập 2c : Từ điểm A bên ngoài đờng tròn (O) , vẽ các tiếp tuyến AB, AC (B và C là các tiếp điểm) và cát tuyến ADE . Đờng thẳng đi qua D và vuông góc với OB cắt BC , BE theo thứ tự tại H và K. Chứng minh rằng DH = HK H ớng dẫn: Kẻ OM DE, các điểm B, C, M cùng thuộc đờng tròn đờng kính AO => BCM = BAM Lại có BAM = HDM (soletrong) => HDM = BCM Do đó tứ giác CDHM nội tiếp 1 đờng tròn DCH = HMD Lại có DCH = AEB => HMD = AEB => MH // EB Nên DH = HK (đpcm) Dạng 3: Vai trò tứ giác nội tiếp trong chứng minh ba điểm thẳng hàng. Bài tập 3a: Tứ giác ABCD có ABC = 70 0 , ADC = 110 0 . Gọi H, I, K theo thứ tự là chân các đờng vuông góc kẻ từ D đến các đờng thẳng AB, AC và BC . Chứng minh rằng 3 điểm H, I, K thẳng hàng. H ớng dẫn: 4 K H N M I D O A B C H K E D M A O B C 110 0 70 0 I K H A B C D *****Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2008-2009***** Ta có các tứ giác AHDI và DIKC nội tiếp DIH + DIK = DAH + 180 0 DKC (1) Do tứ giác ABCD nội tiếp một đờng tròn Nên DCK = DAH (2) Từ (1) và (2) => DIH + DIK = 180 0 Nên ba điểm H, I, K thẳng hàng Bài tập 3b: Cho tam giác nhọn ABC, đờng cao AD, trực tâm H . Gọi AM, AN là các tiếp tuyến của đờng tròn (O) đờng kính BC (M, N là các tiếp điểm). Chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng. H ớng dẫn: Ta có AN 2 = AE. AC Do tứ giác DHEC nội tiếp 1 đờng tròn Nên AE . AC = AH. AD => AN 2 = AH. AD => AHN AND (c- g - c) => AHN = AND Chứng minh tơng tự ta có AHM = AMD Do tứ giác AMDN nội tiếp (c/m dễ dàng) AHN + AHM = AND + AMD = 180 0 Ba điểm M, H, N thẳng hàng (đpcm) Bài tập 3c: Đờng tròn tâm O nội tiếp tam gíc ABC , tiếp xúc với các cạnh AB, AC lần lợt tại F và E . Gọi H là hình chiếu của B trên CO; K là hình chiếu của C trên BO . Chứng minh rằng 4 điểm E, F, H, K thẳng hàng. H ớng dẫn: Ta có tứ giác HFOB và HKCB nội tiếp OHF = FBO = KBC và CHK = CBK Do đó OHF = CHK => H, F, K thẳng hàng Chứng minh tơng tự ta có H, E, K thẳng hàng Vậy 4 điểm E, F, H, K thẳng hàng. (đpcm) Dạng 4: Vai trò tứ giác nội tiếp để tìm quỹ tích. Bài tập 4a: Cho đờng tròn (O, R) AB và CD là hai dây của đờng tròn (O) sao cho AB // CD. M là điểm chuyển động trên (O) MD cắt AB tai Q . Tìm quỹ tích tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MCQ. 5 S M H E C O D B N A F E K H O A B C *****Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2008-2009***** H ớng dẫn: Phần thuận: Xét M chạy trên cung lớn CD của (O) Tại C kể tiếp tuyến của (O). Gọi giao điểm Của tiếp tuyến tại C với AB là E => E cố định Ta có MCE = MQE = MDC MECQ nội tiếp Nên tâm I của đờng tròn ngoại tiếp tam giác MCQ trùng với tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MEC => Tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MCQ thuộc trung trực CE Xét M chạy trên cung nhỏ CD của (O) Tại C kể tiếp tuyến của (O). Gọi giao điểm Của tiếp tuyến tại C với AB là E => E cố định Ta có xCM = EQD => EQM + ECM = 180 0 MCEQ nội tiếp Nên tâm I của đờng tròn ngoại tiếp tam giác MCQ trùng với tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MEC => Tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MCQ thuộc trung trực CE Vậy M chuyển động trên (O) thì tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MCQ thuộc trung trực EC Phần đảo: Lấy I / thuộc trung trực EC . Vẽ đờng tròn (I / ; I / C) cắt AB ntại Q / và cắt (O;R) tại M / chứng minh Q / , M / , D thẳng hàng (chứng minh dễ dàng) Vậy quỹ tích tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MCQ là trung trực của CE Bài tập 4b: Cho hình vuông ABCD tâm O. Một đờng thẳng xy quay quanh O và cắt hai cạnh AD và BC lần lợt tại M và N. Trên CD lấy điểm K sao cho DK = DM. Gọi H là hình chiếu của K trên xy. Tìm quỹ tích điểm H. H ớng dẫn Phần thuận: Ta có tứ giác MHKD, NHKC nội tiếp Nên DMK = DHK =45 0 6 Q B E O C D A M x Q B E O C D A M *****Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2008-2009***** Vì CN = AM và DM = DK => CK = CN KHC = KNC = 45 0 Do đó DHC = 90 0 Vậy H nằm trên đờng tròn đờng kính CD Giới han: Điểm H chỉ nằm trên nửa đờng tròn đờng kính CD nằm trong hình vuông Phần đảo: Lấy H bất kì nằm trên nữa đờng tròn đờng kính CD. Vẽ đờng thẳng HO cắt cạnh AD và BC tại M và N, lấy điểm K trên CD sao cho DK = DM. Chứng minh H là hình chiếu của K trên MN Ta có tứ giác HOCD nội tiếp => DHM = DCO = 45 0 Mặt khác DKM = 45 0 => DHM = DKM => tứ giác HKDM nội tiếp => KHM = 90 0 => KH MN => H là hình chiếu của K trên MN Vậy: Quỹ tích của điểm H là nửa đờng tròn đờng kính CD nằm trong hình vuông Dạng 5: Vai trò tứ giác nội tiếp trong chứng minh điểm cố định. Bài tập 5a: Cho góc vuông xAy, điểm B cố định trên Ay, điểm C di chuyển trên Ax. Đờng tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AC, BC theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng đờng thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. H ớng dẫn: Gọi giao điểm MN với AI là H Ta có tứ giác CNIM nội tiếp 1 đờng tròn => BNH = BIA (cùng bằng 90 0 + 2 ^ C ) Tứ giác BIHN nội tiếp 1 đờng tròn Nên BNI = BHI = 90 0 hay BNI = BHA = 90 0 BH AI Do tia AI và điểm B cố định H cố định (đpcm ) Bài tập 5b: Cho 3 điểm A, B, C theo thứ tự thẳng hàng . Đờng thẳng D vuông góc với AB tại C , điểm M di động trên d , vẽ BD vuông góc với AM tại D , BD cắt d tại N. Gọi E là giao điểm của AN và BM . 7 // = H K N O B A D C M y x H N M I A C B *****Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2008-2009***** a) Chứng minh rằng đờn tròn đờng kính MN đi qua 2 điểm cố định b) Chứng minh rằng đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN đi qua 2 điểm cố định c) Chứng minh tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN thuộc 1 đờng cố định d) Chứng minh đờng thẳng DE đi qua 1 điểm cố định H ớng dẫn: a) Gọi giao điểm AB với đờng tròn đờng kính MN là J và L ta có CJ . CL = CM . CN = CA . CB = hằng số mà CJ = CL J và L cố định Vậy: Đờng tròn đờng kính MN luôn đi qua 2 điểm ccố định J, L nằm trên AB b) Gọi S là giao điểm thứ 2 của AB với (AMN) ta có MC . NC = AC . SA = CA . CB = hằng số điểm S cố định Vậy : Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn đi qua 2 điểm cố định A và S nằm trên AB b) Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN OA = OM = ON = OS (c/m trên) Do A và S cố định => tâm O năm trên trên trung trực SA (cố định) c) Gọi giao điểm của DE với AB là K Ta thấy tứ giác JLNE nội tiếp 1 đờng tròn => AJ . AL = AE . AN (1) Ta chứng minh đợc tứ giác KSNE nội tiếp 1 đờng tròn => AK . SA = AE . AN (2) Từ (1) và (2) => SA . AK = AL . AJ Do A, S, L, J cố định (c/m trên) => K cố định Vậy: DE luôn đi qua điểm K cố định nằm trên AB mà AK = SA AJAL. Dạng 6: Vai trò tứ giác nội tiếp trong chứng minh cực trị hình học. Bài tập 6a: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn (O) Gọi M là một điểm trên cung ABC. Vẽ MD BC ; ME AC; MF AB. Xác định vị trí của M để EF có độ dài lớn nhất. 8 d K S O L J E N D A B C M *****Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2008-2009***** H ớng dẫn: Theo bài 3a ta có ba điểm D, E, F thẳng hàng Do bốn điểm F, D, M, B cùng nằm trên 1 đờng tròn => DFM = DBM tơng tự ta có DCM = DEM nên MFE MBC (g-g) => 1 == MC ME MB MF BC EF => EF BC Do đó EF lớn nhất khi E trùng với C, F trùng với B Khi và chỉ khi MA là đờng kính của đờng tròn (O) Bài tập 6b: Cho tam giác ABC nhọn điểm M di chuyển trên cạnh BC. Gọi P, Q là hình chiếu của M trên AB , AC . Xác định vị trí của điểm M để PQ có độ dài nhỏ nhất. H ớng dẫn: Do tứ giác APMQ nội tiếp đờng tròn Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ Kẻ OH PQ. Đặt BAC = => POH = Ta có PQ = 2PH = 2.OP.sin = AM sin Do không đổi Nên PQ nhỏ nhất khi AM nhỏ nhất Do đó AM nhỏ nhất AM BC Vậy PQ nhỏ nhất khi AM BC 4) Các bài tập tự luyện Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đờng tròn (O), điểm D thuộc tia đối của tia AD, CD cắt đờng tròn (O) tại E. tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại B cắt EA tại F. Chứng minh rằng FD song song với BC . Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A. vẽ đờng tròn (O) tiếp xúc với AB tại B và tiếp xúc với AC tại C. Gọi I là một điểm thuộc cạnh BC (IB > IC) đờng vuông góc với OI tại I cắt AB, AC theo thứ tự tại D và E . Chứng minh OD = OE và BD = CE. Bài 3: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) , điểm E nằm giữa Cvà D . Vẽ đ- ờng tròn (O) đi qua E và tiếp xúc với AD tại D. Vẽ đờng tròn (O / ) đi qua E và tiếp xúc với AC tại C . Gọi K là giao điểm thứ hai của hai đờng tròn đó. Chứng minh rằng ba điểm K, E, B thẳng hàng. 9 S D F E O C A B M H O P Q A B C M *****Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2008-2009***** Bài 4: Cho góc vuông xOy , điểm A cố định thuộc tia Oy, điểm B dy chuyển trên tia Ox. Gọi C là đỉnh góc vuông của tam giác vuông ABC (C và O khác phía đối với AB). Tìm quỹ tích các điểm C. Bài 5: Cho tứ giác ABCD các đờng thẳng AB và CD cắt nhau ở M, các đờng thẳng AD và BC cắt nhau ở N . Chứng minh rằng cá đờng tròn ngoại tiếp bốn tam giác MBC, MAD, NAB, NCD cùng đi qua một điểm. Bài 6: Cho đờng tròn (O;R) BC là dây cung cố định khác đờng kính. Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn. Kẻ các đờng cao AD, BE, CF của tam giác ABC . Xác định vị trí của điểm A để chu vi tam giác DEF đạt giá trị lớn nhất. III- Kết luận : Qua quá trình giảng dạy tôi đã áp dụng đối vói nhiều đối tợng học sinh từ học sinh yếu kém đến học sinh khá giỏi tôi nhận thấy: - Học sinh đợc rèn luyện nhiều cho nên việc chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn một cách thành thạo. - Học sinh tiếp thu bài một cách chủ động , tích cực và khám phá đợc tốt tính chất về tứ giác nội tiếp một đờng tròn và giúp cho học sinh tránh đợc nhầm lẫn đáng tiếc khi chứng minh về tứ giác nội tiếp đờng tròn và nắm đợc tất cả các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đờng tròn. - Học sinh đợc hiểu thêm về bản chất của tứ giác nội tiếp đờng tròn và các mối quan hệ giữa góc với cung bị chắn. - Rèn luyện thêm cho học sinh kỹ năng kỹ xảo trong chứng minh và biết cachs vận dụng hợp lý tứ giác nội tiếp trong chứng minh thông qua các góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.Cũng từ đó giúp các em củng cố và khắc sâu đợc bản chất của tứ giác nội tiếp. Trên đây là một số suy nghĩ của bản thân về việc chứng minh tứ giác nội tiếp một đờng tròn và vai trò của nó trong giải toán. Cũng thấy đợc rằng không phải bài tập nào thuộc dạng toán nào cũng làm đợc nh vậy . Do đó khi chứng minh một điều gì cần phải xem xét một cách đầy đủ và toàn diện để chọn phơng án chứng minh hợp lý, có nh vậy mới giúp cho các em say sa trong giải bài tập và mang lại hiệu quả cao trong học tập Vậy mong các thầy cô và đồng nghiệp đọc và giúp tôi hoàn thiện hơn đề tài này. Tôi xin chân thành cảm ơn !!! Ngời viết Phan Xuân Giang 10 . tiếp tuyến AB và cát tuyến AMN với đờng tròn (O). Lấy I là trung điểm MN . Chứng minh A, B, O, I cùng thuộc một đờng tròn. H ớng dẫn: *) T/h 1. Cát tuyến. A *****Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2008-2009***** *) T/h 2. Cát tuyến AMN và tiếp tuyến AB nằm cùng nửa mp bờ là đờng thẳng chứa đoạn thẳng OA + Lợi