DeDA HSG Toan 9QTrach20102011

Làm thế nào để chỉ cần mở một hộp và lấy một quả trong hộp đó mà không nhìn vào trong hộp có thể biết đợc chính xác các quả đựng trong mỗi hộp?. ---- HÕt ----.[r]

PHßNG gd&§t qu¶ng tr¹ch SBD:…………… đề thi hsg lớp - Môn Toán N¡M HäC 2010 - 2011 Thời gian: 150 phút - (Không kể thời gian giao đề) C©u (2,0 ®iÓm) A x x  4x  x  x x  7x  14 x  Cho biÓu thøc: a) (1,0 điểm) Tìm điều kiện x để A có nghĩa, từ đó rút gọn biểu thức A b) (1,0 điểm) Tìm các giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên C©u (3,0 ®iÓm) a) (1,0 ®iÓm) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ x, y nguyªn tho¶ m·n: x2 - 4y2 = b) (2,0 ®iÓm) Cho ba sè x, y, z tháa m·n ®iÒu kiÖn: x2 + y2 + z2 = vµ x3 + y3 + z3 = TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc : M = x2009 + y2010 + z2011 C©u (2,0 ®iÓm) Trên các cạnh Ox, Oy góc nhọn xOy lần lợt lấy các điểm M và N di động cho OM + ON = m (m cố định, m > 0) a) (1,25 điểm) Chứng minh rằng, trung điểm đoạn thẳng MN chuyển động trên đoạn thẳng cố định, xác định đoạn thẳng đó b) (0,75 điểm) Xác định vị trí M và N để đoạn thẳng MN có độ dài bé ? C©u (2,0 ®iÓm)  Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A; C 15 Trªn tia BA lÊy ®iÓm O cho  BO = 2AC TÝnh BCO C©u (1,0 ®iÓm) Có ba hộp: hộp đựng hai cam, hộp đựng hai quýt; hộp còn lại đựng cam và quýt Khi đóng kín các hộp, ngời ta đã d¸n nhÇm c¸c nh·n CC (cam - cam), CQ (cam - quýt), QQ (quýt - quýt) nªn tÊt c¶ c¸c nhãn dán ngoài hộp không đúng với các đựng hộp Làm nào để cần mở hộp và lấy hộp đó mà không nhìn vào hộp có thể biết đợc chính xác các đựng hộp ? HÕt Lu ý: + Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu + Ngời coi thi không đợc giải thích gì thêm PHßNG gd&§t qu¶ng tr¹ch H¦íNG DÉN CHÊM Thi hs giái líp - M«n to¸n N¨m häc 2010-2011 I Híng dÉn chung: 1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu đáp án mà đúng thì cho đủ điểm phần nh hớng dẫn quy định 2) ViÖc chi tiÕt hãa thang ®iÓm (nÕu cã) so víi thang ®iÓm híng dÉn chÊm phải đảm bảo không sai lệch với hớng dẫn chấm và đợc thống Hội đồng chÊm thi 3) Điểm toàn bài lấy điểm lẻ đến 0,25 II §¸p ¸n, biÓu ®iÓm: C©u Tæng ®iÓm 1a 1,0 ® §iÓm thµnh phÇn 0,25 Néi dung §Ó A cã nghÜa, tríc hÕt x 0 §Æt t  x  t 0  A A t  t  4t  t t2   t2  t  4t  t    t  7t  14t  (t  8)  (7t  14t)  t   (t  2t  4)  7t  t    (t  1)  t  1 (t  4)  t   (t  5t  4)         (t  1)(t  1)(t  4) (t  2)(t  1)(t  4) §Ó biÓu thøc A cã nghÜa th×: t 0, t 1, t 2, t 4  x 0, x 1, x 4, x 16 (*) t 1 x 1 A  t x Khi đó, rút gọn ta đợc: 1b 1,0 ® 2a §Ó A lµ sè nguyªn th× t - lµ íc cña nªn t -2 b»ng 1 hoÆc 3 - NÕu t    t 1 ( lo¹i v× kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (*)) - NÕu t    t   (lo¹i v× kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (*)) - NÕu t  1  t 3  x 9 vµ A = 4; - NÕu t  3  t 5  x 25 vµ A = 2; Vậy để A nhận các giá trị nguyên thì x = x = 25 1,0® Ta cã: x2 - 4y2 =  (x-2y)(x+2y) = A t 1  t  2  3  1  t t t   x  2y 1    x  2y 5   x  2y     x  2y   x  2y 5     x  2y 1    x  2y      x  2y  2b x2   = 1  2x 6  x 3 nªn y= VËy c¸c gi¸ trÞ (x;y) cÇn t×m lµ: (1;3);(-1;-3);(-1;3);(1;-3) 2,0® Tõ gi¶ thiÕt x2 + y2 + z2 = suy ra: |x| ≤ 1; |y| ≤ 1; |z| ≤ 1; (1) Ta cã: x2 + y2 + z2 - (x3 + y3 + z3) =  x2(1 - x) + y2(1 - y) + z2(1 - z) = (2) Tõ (1) suy ra: - x  0; - y  0; - z  0; Do đó: x2(1 - x)  0; y2(1 - y)  0; z2(1 - z)  (3) Tõ (2) vµ (3) suy ra:  x (1  x) 0   y (1  y) 0 z (1  z) 0 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn x2 + y2 + z2 = suy mét ba sè x, y, z ph¶i b»ng 1, hai sè cßn l¹i b»ng Do đó: x2009 + y2010 + z2011 = 3a 0,25 0,25 1,25® x d a m h o n b c f 3b y m Trªn Ox lÊy ®iÓm A, trªn Oy lÊy ®iÓm B cho OA=OB = , ta có đoạn thẳng AB cố định Trªn Oy lÊy ®iÓm C cho NC=OM th× OC=NC+ON=OM+ON=m; m OB=OC= hay B lµ trung ®iÓm cña OC Từ C kẻ đờng thẳng song song với Ox, trên đờng thẳng đó lấy F (F n»m ngoµi gãc xOy) cho: CF=NC=OM ; FN c¾t Ox t¹i D Ta cã OMCF lµ h×nh b×nh hµnh (OM//=CF); B lµ trung ®iÓm cña OC nªn B còng lµ trung ®iÓm cña MF   1800  O 1800  NCF    2 Ta l¹i cã OBA = ; OND = FNC = ;     Mµ O = NCF (so le trong) suy OBA = OND Nên AB//FD (có cặp góc đồng vị nhau) Do đó AB là đờng trung bình tam giác MNF hay trung điểm MN thuộc đờng thẳng AB Khi M O th× trung ®iÓm cña MN trïng víi B Khi N O th× trung ®iÓm cña MN trïng víi A Vậy trung điểm MN luôn chuyển động trên đoạn thẳng cố định AB 0,75 đ Ta có: AM=AD (AB là đờng trung bình  MFD) Dùng h×nh b×nh hµnh AHNB (H  FD), Ta cã AB=HN;  ADH cân A (vì đồng dạng với tam giác cân ODN) nên AD=AH MD Suy AM=AH =AD =   MHD vu«ng t¹i H Nªn  MHN vu«ng t¹i H Do đó MN HN hay MN AB VËy MN nhá nhÊt b»ng AB M vµ N trïng A vµ B 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2,0 ® O H M A B C Ta cã:  ABC vu«ng t¹i A;   BCA = 150 (gt) => CBO = 750 Vẽ  MBC cho M và A cùng n»m trªn mét nöa mÆt ph¼ng cã bê lµ đờng thẳng BC  Từ đó ta có: OBM 15 Gäi H lµ trung ®iÓm cña BO XÐt  HMB vµ  ABC cã: HB = AC (cïng b»ng BO)   HBM ACB 150 ; MB = BC (vì  MBC đều); VËy  HMB =  ABC (c.g.c);   Suy ra: MHB BAC 90 hay MH  OB, đó MH vừa là đờng cao, vừa là đờng trung tuyÕn cña  OMB  Suy ra:  MOB c©n t¹i M => BMO 150 0 0  => CMO 360  (150  60 ) 150 XÐt  OMB vµ  OMC cã:   OM c¹nh chung; BMO = CMO 150 ; MB = MC (v×  MBC đều) VËy  OMB =  OMC (c.g.c) Suy ra: OB = OC hay  OBC c©n t¹i O   Do đó BCO = CBO =750 1,0 đ Vì các nhãn dán ngoài hộp không đúng với các đựng hộp nên hộp có nhãn CQ đựng cam đựng quýt Do đó ta lấy hộp mà bên ngoài có ghi nhãn CQ th× có các khả sau: NÕu: Hép cã nh·n CQ QQ CC - Qu¶ lÊy §ùng qu¶ cam §ùng qu¶ §ùng qu¶ quýt lµ cam cam, qu¶ quýt - Qu¶ lÊy §ùng qu¶ §ùng qu¶ cam §ùng qu¶ lµ quýt quýt cam, qu¶ quýt 0,25 (h×nh vÏ) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25