THI HSG TOAN 9

[r]

ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN – NĂM HỌC 2004 – 2005 Phân môn : Đại số

-o0o -Bài 1 : Cho phương trình : 2 10

    

 x m m

x ( * )

a) Chứng minh : Phương trình ( * ) ln có nghiệm , với số thực m b) Tìm m để phương trình ( * ) có nghiệm x = a thoả mãn :

Biểu thức :

1 2

   

a a a

P đạt giá trị lớn

Bài 2 : Cho hai số thực dương thoả mãn : x + y = Chứng minh : 4 41 89

  

xy y

x

-o0o -ĐÁP ÁN

Bài 1 : a ) Đặt t x10 , phương trình (*) cho trở thành phương trình :

t2 + 2t – m2 + 6m – = 0 ( * * )

Phương trình ( * ) có nghiệm  Phương trình ( * * ) có nghiệm không âm ( )

Ta xét phương trình ( * * ) phương trình bậc hai theo ẩn số t , có : a c = (– m2 + 6m – ) = – (m2 – 6m + ) = – ( m – )2

 , với m  R

suy : Phương trình ( * * ) ln có nghiệm khơng âm , với m  R ( )

từ ( ) ( ) suy phương trình cho ( * ) ln có nghiệm , với số thực m

b) Ta coù P = 11

2

  

a a a

 ( P – ) a2 – a + P – =

- Nếu P = a = ngược lại

- Nếu P  muốn có a thoả mãn điều kiện tốn ta phải có :

Phương trình ( P – ) a2 – a + P – = có nghiệm ( ) P đạt giá trị lớn ( ) Từ ( ) suy Δ = – ( P – )2

  P2 – 8P +   ( 2P – ) ( 2P – )   12P23

Kết hợp với ( ) suy P = 23 , a = Từ suy m2 – 6m + =

 m =

Bài 2 : Áp dụng bất đẳng thức  

2

2 y x y

x    hai lần ta coù : x4 + y4 81

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương x , y suy : xy  41 

4



xy

Từ dó suy điều phải chứng minh

-o0o -MỘT SỐ BÀI TẬP THAM KHAÛO

Bài 1 : a) Cho a , b , c số thực dương abc = Chứng minh : (1 )(31 ) (1 )(31 ) (1 )(31 ) 43

      

 a b

c a

c b c

b a

b) Cho a ,b hai số thực dương Chứng minh :

b a

b a a

b b a

  

 3( ) >

Bài 2 : a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P = 9 24 16    

 x x x x

b) Cho x2 x + y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = 5x2 + 2y2 + 8y

Bài 3 : a) Giải phương trình : 417 x8  2x8 1

b b) Giải phương trình : 2003 5 2004 4 2005 2004

 

    

 x x x x

x

c) Giải phương trình nghiệm nguyên : [ ( x – )] = ( x + )

Bài 4 : Tính giá trị biểu thức : P(x) = x3 + 15x , Với x = 3 5( 61)  5( 61) Bài : Giải hệ phương trình sau :

a)      

 

 

2

3 2

3 2

y x y

x y x

b)     

 

  

1 2

1 1

3 x y

y y x x

Bài 6 : Tìm đa thức f(x) , biết f(x) có tất hệ số số nguyên không âm nhỏ

hơn thoả mãn f(8) = 2004

Bài 7: Cho n số nguyên dương chẵn số thực tùy ý a >3 Chứng minh phương trình : ( n + ) x n+2 - 3( n + ) x n + 1 + a n + 2 = vô nghiệm

Bài : Tìm tất số nguyên dương ( x ; y ; z ; t ) thoả mãn : 12  12  12  12 1

t z y x

Bài 9 : Cho hệ phương trình

  

    

  

0 9 2 2

0 3 3

2

2 y x y x

y x

Gọi ( x1 ; y1 ) ( x2 ; y2 ) hai nghiệm hệ phương trình cho Hãy tính giá trị biểu thức : P = ( x1 – x2 )2 + ( y1 – y2 )2