15 Bài toán Bồi dưỡng HSG Toán Lớp 8

Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N... Vẽ tia Dx vuông góc với DE, tia Dx cắt tia đối của tia CB tại M.Trên tia đối của tia CE lấy đi[r]

15 Bài toán Bồi dưỡng HSG Toán Lớp 8

Bài 1: Tìm x biết: a) x2 – 4x + = 25

ĐS: Tính x = 7; x = -3

b)

1004 x 1986

21 x 1990

17

x     

HD: x = 2007 c) 4x – 12.2x + 32 =

HD: 4x – 12.2x +32 = 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = (2x – 8)(2x – 4) = (2x – 23)(2x –22) = 2x –23 = 2x –22 =

 2x = 23 2x = 22  x = 3; x = Bài 2: Cho x, y, z đôi khác

z y x

1   

Tính giá trị biểu thức:

xy z

xy xz

2 y

xz yz

2 x

yz

A 2 2 2

     

Giải:

z y x

1   

0 xz yz xy xyz

xz yz

xy      

 yz = –xy–xz

x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z)

Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y)

Do đó:

) y z )( x z (

xy )

z y )( x y (

xz )

z x )( y x (

yz A

 

  

  



Tính A =

Bài (1,5 điểm): Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số phương

Giải:

Gọi abcd số phải tìm a, b, c, d N, 0a,b,c,d9,a 0

abcdk2

abcd1353m2 Do đó: m2–k2 = 1353

 (m+k)(m–k) = 123.11= 41 33 ( k+m < 200 ) m+k = 123 m+k = 41

m–k = 11 m–k = 33 m = 67 m = 37

k = 56 k = Kết luận abcd = 3136

Bài 4 : Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm a) Tính tổng ' CC ' HC ' BB ' HB ' AA ' HA  

b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN IC.AM

c) Tam giác ABC biểu thức 2 2 ' CC ' BB ' AA ) CA BC AB (    

đạt giá trị nhỏ nhất? Giải:

a) AAHA''

BC ' AA BC ' HA S S ABC

HBC  

; Tương tự: ' CC ' HC S S ABC HAB  ; ' BB ' HB S S ABC HAC  S S S S S S ' CC ' HC ' BB ' HB ' AA ' HA ABC HAC ABC HAB ABC

HBC   

 



b) Áp dụng tính chất phân giác vào tam giác ABC, ABI, AIC: AI IC MA CM ; BI AI NB AN ; AC AB IC

BI   

AM IC BN CM AN BI BI IC AC AB AI IC BI AI AC AB M A CM NB AN IC BI     

c)Vẽ Cx CC’ Gọi D điểm đối xứng A qua Cx -Chứng minh góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ - Xét điểm B, C, D ta có: BD BC + CD -BAD vuông A nên: AB2+AD2 = BD2

 AB2 + AD2  (BC+CD)2 AB2 + 4CC’2  (BC+AC)2

4CC’2  (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2  (AB+AC)2 – BC2

4BB’2  (AB+BC)2 – AC2

-Chứng minh : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2)  (AB+BC+AC)2

4 ' CC '

BB '

AA

) CA BC AB (

2

2

2

 



 

Đẳng thức xảy BC = AC, AC = AB, AB = BC  AB = AC =BC  ABC

Bài 5:

Cho a b  2 b c 2 c a2 4 a 2    b2 c2 ab ac bc Chứng minh a b c

Giải: Biến đổi đẳng thức để

bc ac ab c

b a ac a

c bc c

b ab b

a2 22  2 2  2 22 4 24 24 24 4 4

Biến đổi để có ( 2 22 )( 2 22 )( 2 2 )0

ac c

a bc c

b ac b

a

Biến đổi để có (  )2(  )2 (  )2 0

c a c b b

a (*)

ì (ab)2 0;(bc)2 0;(ac)2 0; với a, b, c

nên (*) xảy (ab)2 0;(bc)2 0 (ac)2 0; Từ suy a = b = c

Bài 6:

Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = a42a33a24a5 Giải: Biến đổi để có A=a2(a22)2a(a2 2)(a22)3

=(a22)(a22a1)3(a22)(a1)23

Vì a2 20a (a1)2 0a nên (a2 2)(a1)2 0a (a2 2)(a1)2 33a

Dấu = xảy a10 a1

Bài

Cho tam giác ABC vng A có góc ABC 600, phân giác BD Gọi

M,N,I theo thứ tự trung điểm BD, BC, CD a, Tứ giác AMNI hình gì? Chứng minh

b, Cho AB = 4cm Tính cạnh tứ giác AMNI Giải:

a) Chứng minh tứ giác AMNI hình thang Chứng minh AN=MI,

từ suy tứ giác AMNI hình thang cân b) Tính AD = cm

3

; BD = 2AD = cm

3

AM = BD

2

cm

3

Tính NI = AM = cm

3 DC = BC = cm

3

, MN = DC

2

cm

3



N

I M

D C

Tính AI = cm

3

Bài (5 điểm)

Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt O Đường thẳng qua O song song với đáy AB cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự M N

a, Chứng minh OM = ON b, Chứng minh

MN CD AB 1  

c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích) Tính

SABCD

Giải: a) Lập luận để có

BD OD AB OM  , AC OC AB ON  Lập luận để có

AC OC DB OD   AB ON AB

OM  

OM = ON

b) Xét ABDđể có

AD DM AB

OM

 (1), xét ADCđể có

AD AM DC

OM

 (2)

Từ (1) (2)  OM.(

CD AB

1 

)   1

AD AD AD

DM AM Chứng minh tương tự ON.(  )1

CD AB

từ có (OM + ON).(  )2

CD

AB  AB CD MN

2 1  

c) OD OB S S AOD

AOB  ,

OD OB S

S

DOC

BOC   

AOD AOB S S DOC BOC S S

 SAOB.SDOC SBOC.SAOD Chứng minh SAOD SBOC



) ( DOC AOD

AOB S S

S 

Thay số để có 20082.20092 = (S

AOD)2  SAOD = 2008.2009

Do SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đơn vị DT Bài

Cho x =

2 2

b c a bc

 

; y =

2

2

( )

( )

a b c b c a

   

Tính giá trị P = x + y + xy

Bài

Giải phương trình: a,

a b x =

1

a+

b+

x (x ẩn số)

b,

2 (b c)(1 a)

x a

 

 +

2 (c a)(1 b)

x b

 

 +

2 (a b)(1 c)

x c

 

 =

O N

M

D C

(a,b,c số đôi khác nhau)

Bài

Xác định số a, b biết:

(3 1) ( 1)

x x



 = ( 1)

a

x +( 1)2

b x

Bài 10

Chứng minh phương trình:

2x2 – 4y = 10 khơng có nghiệm ngun

Bài 11

Cho ABC; AB = 3AC

Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B C

Bài 11

Cho biểu thức:

 3 2

2 1 x

A 1 :

x x 2x x x

x

     

        

    

 

 

a/ Thu gọn A

b/ Tìm giá trị x để A<1

c/ Tìm giá trị nguyên x để Acó giá trị nguyên

Bài 12

a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử ( với hệ số số nguyên): x2 + 2xy + 7x + 7y + y2 + 10

b/ Biết xy = 11 x2y + xy2 + x + y = 2010 Hãy tính x2 + y2 Bài 13

Cho đa thức P(x) = x2+bx+c, b c số nguyên Biết đa thức

x4 + 6x2+25 3x4+4x2+28x+5 chia hết cho P(x) Tính P(1) Bài 14

Cho hình chữ nhật có AB= 2AD, gọi E, I trung điểm AB CD Nối D với E Vẽ tia Dx vng góc với DE, tia Dx cắt tia đối tia CB M.Trên tia đối tia CE lấy điểm K cho DM = EK Gọi G giao điểm DK EM

a/ Tính số đo góc DBK

b/ Gọi F chân đường vng góc hạ từ K xuống BM Chứng minh bốn điểm A, I, G, H nằm đường thẳng