Vi ết phương tr ình các ti ếp tuyến đó.. Bài 4.[r]
(1)Ti
ếp tuyến v
à s
ự tiếp xúc
M
ục lục
Loại Tiếp tuyến điểm tiếp tuyến qua điểm 2
B Một số ví dụ
C Bài tập 11
D Hướng dẫn đáp số 12
Loại Một số tính chất hình học tiếp tuyến 13
A Tóm tắt lý thuyết 13
B Một số ví dụ 13
C Bài tập 22
(2)Lo
ại 1.
Ti
ếp tuyến điểm v
à ti
ếp tu
y
ến qua điểm
A Tóm tắt lý thuyết
Cho yf x
C* Tiếp tuyến điểm (Hình 1):
Tiếp tuyến với
C M x ;f x
0
0
đường thẳng quaM có hệ số góc f ' x
0 Như vậy, PTTT với
C M là:: yf ' x
0 xx0
f x
0Chú ý: Khi nói đến tiếp tuyến
C M, ta phải hiểurằng M
C M nơi xảy tiếp xúcΔ
O y
x M x 0;f x 0
C ( )
Hình 1 * Tiếp tuyến qua điểm:
Tiếp tuyến qua M
C tiếp tuyến với
C điểm N Ta có ba trường hợp sau:+) Trường hợp (Hình 2): M
C+) Trường hợp (Hình 3): M
C , M khơng phải tiếp điểm+) Trường hợp 3(Hình 4): M
C , M tiếp điểm Trong trường hợp này, tiếp tuyếnqua M tiếp tuyến M
N M
(C)
Hình 2
M
N
(C)
Hình
M≡N
(C)
(3)B Một số ví dụ
Ví dụ Cho
x2 x 1 2 3x 1f x
C Viết PTTT
C điểm M có hồnh độ 1 GiảiTa có
1 4f 1 ,
2 3x 4x 1
2 2 3x 1
f ' x
18
f ' 1 PTTT với
C M là:
1 1
8 4
: y x 1
1 3
8 8
: y x
Ví dụ Cho f x
x34x25x2
C Viết phương trình tiếp tuyến
Cnhững giao điểm
C với trục hoành Giải
M C Ox
3 2
y x 4x 5x 2 1
M :
y 0 2
Thay
2 vào
1 ta x34x25x20
x2
x 1
2 0 x 2x 1
Vậy
C có hai giao điểm với trục hồnh M1
2;0
M2
1;0
Ta có f ' x
3x28x5+) f '
2 1 PTTT với
C M1 1: y1 x
2
0 1: yx2 +) f '
1 0 PTTT với
C M2 2 : y0 x 1
0 2: y0 Vậy phương trình tiếp tuyến
C giao điểm
C với trục hoành1: y x 2
(4)Ví dụ Cho
2 3 2 3f x x x 2x2
C Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc2
CGiải
PTTT
C điểm có hồnh độ x0
0 0
0: y f ' x x x f x
có hệ số góc 2 chỉ
0f ' x 2 2x022x022 x20x0 2 0 0
0
x 1
x 2
+) x0 1
0 7 3f x
73 : y 2 x 1
13
3 : y 2x
+) x0 2
0 2 3f x
23 : y 2 x 2
14
3 : y 2x
Vậy phương trình tiếp tuyến có hệ số góc 2
C là: 133 : y 2x
14
3 : y 2x
Ví dụ Cho f x
x33x212x5
C Viết PTTT có hệ số góc nhỏ
C GiảiHệ số góc tiếp tuyến điểm có hồnh độ x0
C là:
2
20 0 0 0
kf ' x 3x 6x 123 x 1 15
Ta thấy k 15, dấu “” xảy x0 1 Do k nhỏ 15, đạt 0
x 1
f 1 9 tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ
C là:
: y 15 x 1 9
: y 15x6
Ví dụ [ĐHB08] Cho f x
4x36x21
C Viết phương trình tiếp tuyếnđiqua điểm
M 1; 9
C (5)PTTT
C tạiđiểm có hồnh độ x0 là:
0 0
0: y f ' x x x f x
: y
12x0212x0
xx0
4x036x021 qua M
1; 9
9
12x2012x0
1 x0
4x036x021 8x306x2012x0100
4x05
x01
2 0 5 0 4 0 x x 1
+) 0 5 4
x
15
0 4
9
0 16
f ' x f x
15
5
94 6
4 1
: y x
15 21
4 4
: y x
+) x0 1
0
0
f ' x 24
f x 9
: y24 x 1
9 : y24x 15Vậy phương trình tiếp tuyếnđiqua điểm M
C 15 214 4
: y x
, : y24x 15
Ví dụ Cho
1 x x 1f x
C Chứng minh qua điểm I
1; 1
không tồn tiếp tuyến
CGiải
PTTT
C tạiđiểm có hồnh độ x0 là:
0 0
0: y f ' x x x f x
1 x0 2
0
2 x0 1
x0 1
: y x x
d qua I
1; 1
1 x0 2
0
2 x0 1
x0 1
1 1 x
(6) 2 1 x0 x0 1 x0 1
1
3 x0
x0 1
1
0
00
x 1 3 x
x 1 0
x0
Vậy không tồn x0 để qua I Nói cách khác qua I khơng tồn tiếp tuyến
CVí dụ Cho f x
4x23mx6
C Tìm m để
C có tiếp tuyến qua A 1; 2
GiảiPTTT với
C điểm có hồnh độ x0 là:: yf ' x
0 xx0
f x
0 : y
8x03m
xx0
4x023mx06
C có tiếp tuyến qua A 1; 2
x0: qua A phương trình:
20 0 0 0
2 8x 3m 1 x 4x 3mx 6
*có nghiệm x0
Ta có:
* 4x208x03m 8 0 ( ' 12m48) (7)Ví dụ Cho
2x 1 x 2f x
C Tìm đường thẳng x3 điểm mà qua có tiếp tuyếncủa
CGiải
PTTT với
C điểm có hồnh độ x0 (x0 2) là:
0 0
0: y f ' x x x f x
2x 1
5 0
0
2 x0 2
x0 2
: y x x
Điểm A nằm đường thẳng x3 tọa độ A có dạng A 3;a
Qua A có tiếp tuyến tới
C tồn x0 cho qua A
phương trình
2x 1
5 0
0
2 x0 2
x0 2
a 3 x
1 có nghiệm x0Ta thấy
1
2
0 0 0 0 0
0
a x 2 5 3 x 2x 1 x 2 x 2 0
x 2 0
a x
02
2 5 3
x0
2x0 1
x02
a2 x
202 2a x
04a 17 0
2* a20 a2 Khi
2 trở thành 10x0 210 0 21 10x Do trường
hợp
2 có nghiệm
1 có nghiệm (8)Vậy tập hợp điểm thỏa mãn yêu cầu tốn
A 3;a a
7
Ví dụ [ĐHD02] Cho
2 2m x m
x 1
f x
C d : yx Tìm m để
C tiếp xúc với d GiảiPTTT với
C điểm có hồnh độ x0 (x0 1) là:
0 0
0: y f ' x x x f x
2
2 2m x m
0 m 1
0
x0 1 x0 1
: y x x
2
2 2 2m x m
0
m 1 m 1
0
x0 1 x0 1 x0 1
: y x x
C tiếp xúc với d x0: d hệ
2 m 1 x0 1
2 2 2m x m
0 m 1
0
x0 1 x0 1
1 x 0
* có nghiệm x0Ta có
*
2 m 1 x0 1
2 2m x0 m
0 x 1
0
1 1
x 0 2
1 00 0
x 1
x 1 m 1
x 1 1 m
0 0 0 x 1 x m
x 2 m
(9)+) m1:
1 0 0x m
x 2 m
0
x m
2 2m m m
m 1
VT 2 m 0 VP 2
x0 m nghiệm
*
* có nghiệmVậy
C tiếp xúc với d m1Ví dụ 10 Cho f x
x48x27
C Tìm m để đường thẳng d : y60x m tiếp xúc với
C Với m tìm được, hoành độ tiếp điểm d
C GiảiPTTT với
C điểm có hoành độ x0 là:
0 0
0: y f ' x x x f x
: yf ' x
0 xx0
f x
0 : yf ' x
0 xx f ' x0
0 f x
0
C tiếp xúc với d x0: d hệ
0
0 0 0
f ' x 60
x f ' x f x m
* có nghiệm x0Ta có
*
0
0 0
f ' x 60 1
m 60x f x 2
(10)
1 4x3016x060 x0 3Thay x0 3 vào
2 ta có: m 164 (11)C Bài tập
Bài 1. Viết PTTT
C biết1)
C ĐTHS f x
x42x23 hoành độ tiếp điểm 2 2)
C ĐTHS
x2 3x 4x 1
f x
tiếp điểm giao điểm
C với trục tung3)
C ĐTHS f x
2x33x25 tiếp tuyếnđi qua
19
12
A ;4
Bài 2. Viết PTTT
C biết1)
C ĐTHS f x
x33x25x 1 , tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ2)
C ĐTHS
1 3 23
f x x x 5x2, tiếp tuyến có hệ số góc lớn
3)
C ĐTHS f x
x55x4, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ4)
C ĐTHS f x
x510x2, tiếp tuyến có hệ số góc lớnBài 3. Cho y 1x3 mx2 x m 1
C 3 Tìm m để hệ số góc tiếp tuyến có hệ số góc
nhỏ đồ thị 10 Viết phương trình tiếp tuyến
Bài 4. Cho f x
2x33x212x 1
C Tìm điểm thuộc
C mà tiếp tuyến qua gốc tọa độBài 5. Cho
x x 1 f x
C Chứng minh qua I 1;1
C , không tồn tiếp tuyếnnào
CBài 6. Tìm m cho ĐTHS
x mx m
f x
(12)D Hướng dẫn đáp số
Bài 1. 1) y24x 43 2) y7x 4 3) y12x 15 , 21 645 32 128
y x , y4
Bài 2. 1) y2x2 2) 7 3
y6x
3) f ' x
0 5x4020x035x03
x04
f ' x
0 min 4 x00 Áp dụng BĐT Cô-si cho số dương x0, x0, x0, 3x012 ta có:
4 x0 x0 x0 3x0 12
0 0 0 0 4
x x x 3x 12 81
f ' x
0 135 Dấu “” xảy x0 3 PTTT hệ số góc nhỏ
C là: d : y 135x2434) Tương tự câu 3): PTTT có hệ số góc lớn
C là: d : y15x 6Bài Ta có y 'x22mx 1
x m
2m2 1 m21 Dấu “” xảy xm Vậytiếp tuyến có hệ số góc nhỏ đồ thị tiếp tuyến điểm có hồnh độ m hệ số
góc tiếp tuyến m21 Ta có m2 1 10 m 3 Với m3, tiếp tuyến
cần tìm d : y1 10x 11 , Với m 3, tiếp tuyến cần tìm d : y2 10x 13 Bài 4. Trên
C có điểm mà tiếp tuyến qua gốc tọa độ M
1;12
Bài 6.ĐTHS có tiếp tuyến qua A 0; 2
2 (13)Lo
ại 2.
M
ột số t
ính ch
ất h
ình h
ọc tiếp tuyến
A Tóm tắt lý thuyết
Phần sử dụng số kiến thức sau:
* Vị trí tương đối góc hai đường thẳng có phương trình dạng hệ số góc: Cho 1: yk x1 m1 2: yk x2 m2 Ta có:
+) 1 2 1 2
1 2
k k
m m
+) 12 1 2
1 2
k k
m m
+ ) 1 2 k k1 2 1
+) 1 tạo với 2 góc (
0 ;90
) k1 k21 k k1 2 tan
Đặc biệt k2 0 (d2
vng góc với trục tung) thì: 1 tạo với 2 góc (
0 ;90
) k1 tan * Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: cho điểm M x ;y
0 0
đường thẳng: ax by c 0
(a2 b2 0) Ta có cơng thức tính khoảng cách từ M đến :
ax0 by0 c2 2 a b
d M;
* Giao điểm hai đường thẳng: Tọa độ giao điểm hai đường thẳng nghiệm hệ
gồm phương trình đường thẳng
B Một số ví dụ
Ví dụ [ĐHD10] f x
x4 x26
C Viết PTTT vng góc với đường thẳng1 6
(14) tiếp tuyến với
C điểm có hồnh độ x0 có hệ số góc f ' x
0d
1
0 6.f ' x 1 f ' x
0 6 4x302x0 6
2x30x030
x01
2x022x03
0 2
0 0
x 1 0
2x 2x 3 0 ' 5 0
vô nghiệm
x0 1
0
x 1 f x
0 4 : y 6 x 1
4 : y 6x 10Vậy tiếp tuyến vng góc với d
C : y 6x 10Ví dụ [ĐHD05] Cho
1 3 m 2 13 2 3
f x x x
Cm
Gọi M điểm thuộc
Cm
có hồnhđộ 1 Tìm m để tiếp tuyến M
Cm
song song với đường thẳng d : 5x y 0 Giải tiếp tuyến M
Cm
: yf '
1 x 1
f 1
m2
: y m 1 x 1
m2
: y m x 1
(15)Ta có d : y5x Do d m 2
m 1 5
1 0
m4
Vậy tiếp tuyến M
Cm
song song với đường thẳng d m4Ví dụ Cho f x
2x3 4x2x
C Viết phương trình tiếp tuyến
C biết tiếptuyến tạo với Ox góc 45
Giải
Hệ số góc tiếp tuyến điểm có hồnh độ x0
C là: k f ' x
0 6x208x01
,Ox
45 k tan 45 k 1k 1
* k 1 6x028x0 1 1 0 4 0 3
x 0
x
+)x0 0 f x
0 0 : yx+) 0 4 3
x
0 2827
f x
4
283 27
: y 1 x
64
27 : y x
* k 1 6x028x0 1 1 0 1 0 3
x 1
x
+)x0 1 f x
0 1 : y
x 1
1 : y x+) 0 1 3
x
0 127
f x
1
13 27
: y x
8
27 : y x
Các tiếp tuyến tạo với Ox góc 45
C là: yx, 64 27 : y x (16)Ví dụ Cho
4
1
2 24f x mx 3m x 2
Cm
Gọi A B điểm có hồnh độ 1 2
Cm
Tìm m để tiếp tuyến
Cm
A B vng góc vớiGiải
Ta có
3
1
12f ' x 4mx 6m x hệ số góc tiếp tuyến
Cm
A Blà:
1 12f ' 1 10m
1 6f ' 2 44m Do tiếp tuyến
Cm
A B vng góc với
f ' 1 f ' 2 1
1
1
12 6
10m 44m 1
2 16 71
3 72
440m m 0
1 24
71 1320 m
m
Ví dụ Cho
1 x 2x 1f x
C Viết PTTT
C biết tiếp tuyến cách
1 1
2 2
I ; khoảng
bằng 3
10
Giải
PTTT
C điểm có hồnh độ x0 ( 0 1 2 x ) là:: yf ' x
0 xx0
f x
0
1 x
3 0
0
2 2x0 1
2x0 1
: y x x
1 x
3 0
0
2 2x0 1
2x0 1
: y x x
(17) : 3x
2x01
2y2x024x0 1 0
2 2
3 2x 10 2x0 4x0 1 3 2x 1
2 2 0
4 4
9 2x0 1 9 2x0 1 d I;
Do đó:
310
d A;
3 2x0 1 3 4 10 9 2x0 1
2x01
4 10 2x
0 1
2 90
2 0 2 02x 1 1
2x 1 9
0 0 0 0 x 0 x 1 x 1 x 2
+) x0 0
0
0
f ' x 3
f x 1
: y 3x 1
+) x0 1
0
0
f ' x 3
f x 2
: y 3 x 1
2 : y 3x 5+) x0 1
1
0 3
0 f ' x
f x 0
1
3
: y x 1
1 1
3 3
: y x
(18)+) x0 2
1
0 3
0 f ' x
f x 1
1
3
: y x 2 1
1 5
3 3
: y x
Vậy có bốn tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu toán là: y 3x 1 , y 3x 5 , 1 1
3 3
y x , 5
1
3 3
y x
Ví dụ Cho
3 2 1x x
f x
C Viết PTTT
C biết tiếp tuyến cách điểm
A 7;6 B
3;10
Giải
PTTT
C điểm có hồnh độ x0 (x0 1) là:
0 0
0: y f ' x x x f x
3 2x
5 0
0
2 x0 1
x0 1
: y x x
: 5x
x01
2y2x026x030 cách điểm A B khi:
d A, d B,
2 2 2 2
35 x0 1 2x 6x0 3 15 10 x0 1 2x 6x0 3
0 0
4 4
25 x0 1 25 x0 1
8x026x032 12x0214x08
4x023x016 6x027x04
2 2
0 0 0 0
2 2
0 0 0 0
4x 3x 16 6x 7x 4
4x 3x 16 6x 7x 4
(19)
vô nghiệm
20 0
2 0 0
x 2x 6 0 ' 5 0
x x 2 0
0 0 x 1 x 2
+) x0 1
5
0 4
1
0 2
f ' x f x
5
4
1 2
: y x 1
5 7
4 4
: y x
+) x0 2
0
0
f ' x 5
f x 7
: y 5 x
2
7 : y 5x 17Vậy phương trình tiếp tuyến cách A B
C là: 5 74 4
y x , y 5x 17
Ví dụ Cho
2x 1 x 1f x
C Tìm tọa độ điểm M
C cho khoảng cách từ điểm
I 1;2 tới tiếp tuyến
C M đạt giá trị lớn GiảiGiả sử x0 hoành độ M tiếp tuyến M (C) có phương trình: : yf ' x
0 xx0
f x
0
3
0 2
x0 1 0
3
: y x x 2
x 1
3x
x01
2y2x02x050
2 2
3 x0 1 2x0 2x0 1
6 x0 1 6
4 4 9 2
9 x0 1 9 x0 1 x0 1
(20)Theo bất đẳng thức Cô-si:
2 9 0 2 x0 1x 1 2 9 6
, d I,
6 Đẳng thức xảykhi
2 0 2 0 9 x 1 x 1
x01
2 3 x0 1 3Vậy khoảng cách d I,
lớn 6, đạt x0 1 3
M 1 3 ;2 3 M
1 3 ;2 3
Ví dụ [ĐHD07] Cho
2x
x 1
f x C
Tìm tọa độ điểm M thuộc
C biết tiếp tuyến
C M cắt hai trục Ox, Oy A, B cho OAB có diện tích 14 Giải
Ta có
2 2 x 1 f ' x
Xét điểm M
C , M có hồnh độ x0 Ta có PTTT với
C M:
0 0
0: y f x x x f x
2x0 2
0
2 x0 1
x0 1
: y x x
2 2x0 2x 2 2x0 1 x0 1 : y
A Ox
2 2x0 2x
2 2
x0 1 x0 1 A : y 0 y
A
x ;020
,B Oy
2 2x0 2x
2 2
x0 1 x0 1 A : x 0 y
2 2x0 2 x0 1 B 0; Ta có OAx20,
2 2x0
2 x0 1 OB
x OA.OB 0ABC 2 2
(21)
1 OAB 4
S
x
0 1
2 4 x0 1
4
4x04
x01
2
0 0
0 2
0 2
2x x 1
2x x 1
vô nghiệm
0 0 0 0 2 2
2x x 1 0
2x x 1 0 7 0
0 1
0 2
x 1
x
1
2 M 1;1
M ; 2
(22)C Bài tập
Bài 1.Viết PTTT
C biết1)[ĐHB06]
C ĐTHS x2 x 1x 2
y
tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d : yx 1
2)
C ĐTHS 1 2x2x 1
y
tiếp tuyến song song với đường thẳng d : 4xy 1 0
3)
C ĐTHS 1 3 1 22 2
y x x 2x 1 tiếp tuyến tạo vớiđường thẳng d : x 3y 1 0 góc o
45
Bài 2.Tìm tất điểm đồ thị
C hàm số 1 3 23 3
y x x mà tiếp tuyến
vng góc với đường thẳng 1 2
3 3
d : y x
Bài 3.Cho 4
1
22
ymx 2m x 3
Cm
Tìm m để tiếp
Cm
điểm có hồnhđộ 1 3 tạo với góc có cơ-sin 3
13
Bài 4.Cho 1 3
2
3
y mx m x 3m x 1
Cm
Tìm điều kiện m để
Cm
có tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y x 2012Bài 5.Cho 3 x x 4
y
C Viết PTTT
C biết tiếp tuyến cách A
4; 1
khoảng7 2 5
Bài 6.Cho
x 1 3x 4f x
C Viết PTTT
C biết khoảng cách từ điểm
4 1
3 3
I ; tới tiếp
tuyến đạt giá trị lớn
Bài 7.[ĐHA09] Cho
x 2
2x 3
f x C
Viết PTTT
C biết tiếp tuyến cắt trục tọa độtại điểm A, B cho OAB cân O Bài 8.Cho
x 3 2 x 1
f x C
Viết phương trình tiếp tuyến
C biết tiếp tuyến cắt (23)Bài 9.Cho
2x
x 2f x C
(24)D Hướng dẫn đáp số
Bài 1) Có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu toán là: y x 2 25, y x 2 25
2) Chỉ có tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu tốn là: y 4x7
3) Có bốn tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu toán là:
1 1
2 2
y x , 1 229 2 54
y x , y 2x 1 , 29 27 y 2x
Bài 2. Trên
C có hai điểm mà tiếp tuyến vng góc với d là:
2;0
4 32;
Bài 1 48
m 7
240 m
Bài 4.
Cm
có tiếp tuyến vng góc với đường thẳng yx2012 phương trình
2
0 0
mx 2 m x 3m4 1 có nghiệm x0 1
2 m 1
Bài Các tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu toán là: y 7x 15 , y 7x43, 1 3
7 7
y x , 25
1
7 7
y x
Bài Các tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu toán là:yx 1 , 7 3 yx
Bài 7.Đồ thị có tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu toán y x 2
Bài 8. Các tiếp tuyến thõa mãn yêu cầu toán là: 3 2
y x , 5 2 y x