Tiep tuyen cua DTHS

Vi ết phương tr ình các ti ếp tuyến đó.. Bài 4.[r]

Tiếp tuyến và sự tiếp xúc

Mục lục

Loại Tiếp tuyến điểm tiếp tuyến qua điểm 2

B Một số ví dụ

C Bài tập 11

D Hướng dẫn đáp số 12

Loại Một số tính chất hình học tiếp tuyến 13

A Tóm tắt lý thuyết 13

B Một số ví dụ 13

C Bài tập 22

Loại 1. Tiếp tuyến điểm và tiếp tuyến qua điểm

A Tóm tắt lý thuyết Cho yf x   C

* Tiếp tuyến điểm (Hình 1):

Tiếp tuyến với  C M x ;f x 0  0  đường thẳng qua

M có hệ số góc f ' x 0 Như vậy, PTTT với  C M là:

: yf ' x 0 xx0f x 0

Chú ý: Khi nói đến tiếp tuyến  C M, ta phải hiểu

rằng M C M nơi xảy tiếp xúc

Δ

O y

x M x 0;f x 0 

C ( )

Hình 1 * Tiếp tuyến qua điểm:

Tiếp tuyến qua M  C tiếp tuyến với  C điểm N Ta có ba trường hợp sau:

+) Trường hợp (Hình 2): M C

+) Trường hợp (Hình 3): M C , M khơng phải tiếp điểm

+) Trường hợp 3(Hình 4): M C , M tiếp điểm Trong trường hợp này, tiếp tuyến

qua M tiếp tuyến M

N M

(C)

Hình 2

M

N

(C)

Hình

M≡N

(C)

B Một số ví dụ

Ví dụ Cho   x2 x 1 2 3x 1

f x  



  C Viết PTTT  C điểm M có hồnh độ 1 Giải

Ta có   1 4

f 1  ,  

 

2 3x 4x 1

2 2 3x 1

f ' x  



    1

8

f ' 1    PTTT với  C M là:

 

1 1

8 4

: y x 1

      1 3

8 8

: y x

   

Ví dụ Cho f x x34x25x2  C Viết phương trình tiếp tuyến  C

những giao điểm  C với trục hoành Giải

 

M C Ox   

 

3 2

y x 4x 5x 2 1

M :

y 0 2

    

 

  

Thay  2 vào  1 ta x34x25x20  x2 x 1 2 0  x 2

x 1

   

  

Vậy  C có hai giao điểm với trục hồnh M12;0 M21;0

Ta có f ' x 3x28x5

+) f ' 2 1  PTTT với  C M1 1: y1 x 20  1: yx2 +) f ' 1 0  PTTT với  C M2 2 : y0 x 1  0  2: y0 Vậy phương trình tiếp tuyến  C giao điểm  C với trục hoành

1: y x 2

Ví dụ Cho   2 3 2 3

f x  x x 2x2  C Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc

2  C

Giải

PTTT  C điểm có hồnh độ x0

 0 0  0

: y f ' x x x f x

   

 có hệ số góc 2 chỉ

 0

f ' x 2  2x022x022  x20x0 2 0  0

0

x 1

x 2

   





+) x0  1   0 7 3

f x     7

3 : y 2 x 1

     13

3 : y 2x

  

+) x0 2   0 2 3

f x      2

3 : y 2 x 2

     14

3 : y 2x

  

Vậy phương trình tiếp tuyến có hệ số góc 2  C là: 13

3 : y 2x

   14

3 : y 2x

  

Ví dụ Cho f x x33x212x5  C Viết PTTT có hệ số góc nhỏ  C Giải

Hệ số góc tiếp tuyến điểm có hồnh độ x0  C là:

  2  2

0 0 0 0

kf ' x 3x 6x 123 x 1 15

Ta thấy k 15, dấu “” xảy  x0 1 Do k nhỏ 15, đạt  0

x 1  

f 1  9  tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ  C là:

 

: y 15 x 1 9

      : y 15x6

Ví dụ [ĐHB08] Cho f x 4x36x21  C Viết phương trình tiếp tuyếnđiqua điểm

 

M  1; 9  C

PTTT  C tạiđiểm có hồnh độ x0 là:

 0 0  0

: y f ' x x x f x

     : y12x0212x0xx04x036x021  qua M 1; 9   9 12x2012x0 1 x04x036x021

 8x306x2012x0100

 4x05x012 0 

5 0 4 0 x x 1       

+) 0 5 4

x    

 

15

0 4

9

0 16

f ' x f x        

 15 5 9

4 6

4 1

: y x

     15 21

4 4

: y x

  

+) x0  1   

 

0

0

f ' x 24

f x 9

       

 : y24 x 1  9  : y24x 15

Vậy phương trình tiếp tuyếnđiqua điểm M  C 15 21

4 4

: y x

   , : y24x 15

Ví dụ Cho   1 x x 1

f x 



  C Chứng minh qua điểm I 1; 1 không tồn tiếp tuyến

 C

Giải

PTTT  C tạiđiểm có hồnh độ x0 là:

 0 0  0

: y f ' x x x f x

    

   

1 x0 2

0

2 x0 1

x0 1

: y  x x 

 

   

d qua I 1; 1 

   

1 x0 2

0

2 x0 1

x0 1

1  1 x 

 

 2 1 x0 x0 1 x0 1

1 

 

  

 3 x0

x0 1

1 



 

  0  0

0

x 1 3 x

x 1 0

   

 

  



 x0 

Vậy không tồn x0 để  qua I Nói cách khác qua I khơng tồn tiếp tuyến  C

Ví dụ Cho f x 4x23mx6  C Tìm m để  C có tiếp tuyến qua A 1; 2   Giải

PTTT với  C điểm có hồnh độ x0 là:

: yf ' x 0 xx0f x 0

 : y8x03mxx04x023mx06  C có tiếp tuyến qua A 1; 2    x0:  qua A  phương trình:

   2

0 0 0 0

2 8x 3m 1 x 4x 3mx 6

        *

có nghiệm x0

Ta có:  *  4x208x03m 8 0 ( ' 12m48)

Ví dụ Cho   2x 1 x 2

f x 



  C Tìm đường thẳng x3 điểm mà qua có tiếp tuyến

của  C

Giải

PTTT với  C điểm có hồnh độ x0 (x0 2) là:

 0 0  0

: y f ' x x x f x

    

   

2x 1

5 0

0

2 x0 2

x0 2

: y  x x 

 

   

Điểm A nằm đường thẳng x3  tọa độ A có dạng A 3;a  Qua A có tiếp tuyến tới  C

 tồn x0 cho  qua A

 phương trình

   

2x 1

5 0

0

2 x0 2

x0 2

a  3 x 

 

    1 có nghiệm x0

Ta thấy  1          

2

0 0 0 0 0

0

a x 2 5 3 x 2x 1 x 2 x 2 0

x 2 0

          

 

  



 a x 022  5 3 x0  2x0 1x02

 a2 x 202 2a x   04a 17 0  2

* a20  a2 Khi  2 trở thành 10x0 210  0 21 10

x  Do trường

hợp  2 có nghiệm   1 có nghiệm

Vậy tập hợp điểm thỏa mãn yêu cầu tốn A 3;a a  7 Ví dụ [ĐHD02] Cho    

2 2m x m

x 1

f x  



  C d : yx Tìm m để  C tiếp xúc với d Giải

PTTT với  C điểm có hồnh độ x0 (x0 1) là:

 0 0  0

: y f ' x x x f x

   

    

2

2 2m x m

0 m 1

0

x0 1 x0 1

: y  x x  

              2

2 2 2m x m

0

m 1 m 1

0

x0 1 x0 1 x0 1

: y  x  x  

  

   

     

   

 C tiếp xúc với d  x0:  d

 hệ

 

2 m 1 x0 1

2 2 2m x m

0 m 1

0

x0 1 x0 1

1 x 0                          

 * có nghiệm x0

Ta có  * 

 

 

 

2 m 1 x0 1

2 2m x0 m

0 x 1

0

1 1

x 0 2

                  

 1  0

0 0

x 1

x 1 m 1

x 1 1 m

                0 0 0 x 1 x m

x 2 m

           

+) m1:  1  0 0

x m

x 2 m

  

 



0

x m       

2 2m m m

m 1

VT 2 m   0 VP 2



    

 x0 m nghiệm  *   * có nghiệm

Vậy  C tiếp xúc với d  m1

Ví dụ 10 Cho f x x48x27  C Tìm m để đường thẳng d : y60x m tiếp xúc với

 C Với m tìm được, hoành độ tiếp điểm d  C Giải

PTTT với  C điểm có hoành độ x0 là:

 0 0  0

: y f ' x x x f x

   

 : yf ' x 0 xx0f x 0  : yf ' x 0 xx f ' x0  0 f x 0  C tiếp xúc với d  x0:  d

 hệ  

   

0

0 0 0

f ' x 60

x f ' x f x m

 

 

  

 

 * có nghiệm x0

Ta có  *     

   

0

0 0

f ' x 60 1

m 60x f x 2

 

 

  

 

 1  4x3016x060  x0 3

Thay x0 3 vào  2 ta có: m 164

C Bài tập

Bài 1. Viết PTTT  C biết

1)  C ĐTHS f x x42x23 hoành độ tiếp điểm 2 2)  C ĐTHS   x2 3x 4

x 1

f x  



 tiếp điểm giao điểm  C với trục tung

3)  C ĐTHS f x 2x33x25 tiếp tuyếnđi qua 19 

12

A ;4

Bài 2. Viết PTTT  C biết

1)  C ĐTHS f x x33x25x 1 , tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ

2)  C ĐTHS   1 3 2

3

f x   x x 5x2, tiếp tuyến có hệ số góc lớn

3)  C ĐTHS f x x55x4, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ

4)  C ĐTHS f x  x510x2, tiếp tuyến có hệ số góc lớn

Bài 3. Cho y 1x3 mx2 x m 1  C 3

     Tìm m để hệ số góc tiếp tuyến có hệ số góc

nhỏ đồ thị 10 Viết phương trình tiếp tuyến

Bài 4. Cho f x 2x33x212x 1  C Tìm điểm thuộc  C mà tiếp tuyến qua gốc tọa độ

Bài 5. Cho   x x 1 f x



  C Chứng minh qua I 1;1   C , không tồn tiếp tuyến

nào  C

Bài 6. Tìm m cho ĐTHS   x m

x m

f x 

 

D Hướng dẫn đáp số

Bài 1. 1) y24x 43 2) y7x 4 3) y12x 15 , 21 645 32 128

y  x , y4

Bài 2. 1) y2x2 2) 7 3

y6x

3) f ' x 0 5x4020x035x03x04 f ' x 0 min   4 x00 Áp dụng BĐT Cô-si cho số dương x0, x0, x0, 3x012 ta có:

            

4 x0 x0 x0 3x0 12

0 0 0 0 4

x x x 3x 12          81

      

 

 f ' x 0  135 Dấu “” xảy  x0  3

 PTTT hệ số góc nhỏ  C là: d : y 135x243

4) Tương tự câu 3): PTTT có hệ số góc lớn  C là: d : y15x 6

Bài Ta có y 'x22mx 1 x m 2m2  1 m21 Dấu “” xảy  xm Vậy

tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ đồ thị tiếp tuyến điểm có hồnh độ m hệ số

góc tiếp tuyến m21 Ta có m2  1 10  m 3 Với m3, tiếp tuyến

cần tìm d : y1  10x 11 , Với m 3, tiếp tuyến cần tìm d : y2  10x 13 Bài 4. Trên  C có điểm mà tiếp tuyến qua gốc tọa độ M1;12

Bài 6.ĐTHS có tiếp tuyến qua A 0; 2    2

Loại 2. Một số tính chất hình học tiếp tuyến

A Tóm tắt lý thuyết

Phần sử dụng số kiến thức sau:

* Vị trí tương đối góc hai đường thẳng có phương trình dạng hệ số góc: Cho 1: yk x1 m1 2: yk x2 m2 Ta có:

+)   1 2  1 2

1 2

k k

m m

  

 

+) 12  1 2

1 2

k k

m m

  

 

+ )   1 2  k k1 2  1

+) 1 tạo với 2 góc  ( 0 ;90 )  k1 k2

1 k k1 2 tan



   Đặc biệt k2 0 (d2

vng góc với trục tung) thì: 1 tạo với 2 góc  ( 0 ;90 )  k1 tan * Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: cho điểm M x ;y 0 0 đường thẳng

: ax by c 0

    (a2 b2 0) Ta có cơng thức tính khoảng cách từ M đến :

  ax0 by0 c

2 2 a b

d M;  



 

* Giao điểm hai đường thẳng: Tọa độ giao điểm hai đường thẳng nghiệm hệ

gồm phương trình đường thẳng

B Một số ví dụ

Ví dụ [ĐHD10] f x  x4 x26  C Viết PTTT vng góc với đường thẳng

1 6

 tiếp tuyến với  C điểm có hồnh độ x0   có hệ số góc f ' x 0

d

   1  0 6.f ' x  1

 f ' x 0  6

 4x302x0 6

 2x30x030

 x012x022x03 

 

0 2

0 0

x 1 0

2x 2x 3 0    ' 5 0  

 

  

 vô nghiệm

 x0 1

0

x 1  f x 0 4  : y 6 x 1  4  : y 6x 10

Vậy tiếp tuyến vng góc với d  C : y 6x 10

Ví dụ [ĐHD05] Cho   1 3 m 2 1

3 2 3

f x  x  x  Cm Gọi M điểm thuộc Cm có hồnh

độ 1 Tìm m để tiếp tuyến M Cm song song với đường thẳng d : 5x y 0 Giải

 tiếp tuyến M Cm  : yf '  1 x 1 f 1 

    m

2

: y m 1 x 1

    

   m

2

: y m x 1

Ta có d : y5x Do d  m 2

m 1 5

1 0

  

 

  



 m4

Vậy tiếp tuyến M Cm song song với đường thẳng d  m4

Ví dụ Cho f x 2x3 4x2x  C Viết phương trình tiếp tuyến  C biết tiếp

tuyến tạo với Ox góc 45

Giải

Hệ số góc tiếp tuyến  điểm có hồnh độ x0  C là: k f ' x 0 6x208x01

,Ox45  k tan 45  k 1

k 1

  

  

* k 1  6x028x0 1 1  0 4 0 3

x 0

x   





+)x0 0  f x 0 0  : yx

+) 0 4 3

x    0 28

27

f x     4 28

3 27

: y 1 x

     64

27 : y x

  

* k  1  6x028x0  1 1  0 1 0 3

x 1

x   





+)x0 1  f x 0  1  : y x 1 1  : y x

+) 0 1 3

x    0 1

27

f x     1 1

3 27

: y x

      8

27 : y x    

Các tiếp tuyến tạo với Ox góc 45  C là: yx, 64 27 : y x

Ví dụ Cho   4  1  2 24

f x mx  3m x 2 Cm Gọi A B điểm có hồnh độ 1 2 Cm Tìm m để tiếp tuyến Cm A B vng góc với

Giải

Ta có   3  1  12

f ' x 4mx  6m x  hệ số góc tiếp tuyến Cm A B

là:   1 12

f ' 1  10m   1 6

f ' 2 44m Do tiếp tuyến Cm A B vng góc với

   

f ' 1 f ' 2  1   1  1

12 6

10m 44m 1

    

 2 16 71

3 72

440m  m 0



1 24

71 1320 m

m

 

    

Ví dụ Cho   1 x 2x 1

f x 



  C Viết PTTT  C biết tiếp tuyến cách  1 1

2 2

I  ; khoảng

bằng 3

10

Giải

PTTT  C điểm có hồnh độ x0 ( 0 1 2 x   ) là:

: yf ' x 0 xx0f x 0 

   

1 x

3 0

0

2 2x0 1

2x0 1

: y  x x 

 

   



   

1 x

3 0

0

2 2x0 1

2x0 1

: y  x x 

 

 : 3x2x012y2x024x0 1 0

  

 

   

2 2

3 2x 10 2x0 4x0 1 3 2x 1

2 2 0

4 4

9 2x0 1 9 2x0 1 d I;

      

   

  

Do đó:

  3

10

d A;  

 

3 2x0 1 3 4 10 9 2x0 1



 



 2x014 10 2x 0 12 90

     2 0 2 0

2x 1 1

2x 1 9

         0 0 0 0 x 0 x 1 x 1 x 2            

+) x0 0   

 

0

0

f ' x 3

f x 1

       

 : y 3x 1

+) x0  1   

 

0

0

f ' x 3

f x 2

        

 : y 3 x 1  2  : y 3x 5

+) x0 1   

 

1

0 3

0 f ' x

f x 0

       

 1 

3

: y x 1

     1 1

3 3

: y x

+) x0  2   

 

1

0 3

0 f ' x

f x 1

  

 

  



 1 

3

: y x 2 1

      1 5

3 3

: y x

   

Vậy có bốn tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu toán là: y 3x 1 , y 3x 5 , 1 1

3 3

y  x , 5

1

3 3

y  x

Ví dụ Cho   3 2 1

x x

f x 



  C Viết PTTT  C biết tiếp tuyến cách điểm

 

A 7;6 B3;10

Giải

PTTT  C điểm có hồnh độ x0 (x0  1) là:

 0 0  0

: y f ' x x x f x

    

   

3 2x

5 0

0

2 x0 1

x0 1

: y x x 

 

    

 : 5xx012y2x026x030

 cách điểm A B khi:

   

d A, d B, 

 

 

 

 

2 2 2 2

35 x0 1 2x 6x0 3 15 10 x0 1 2x 6x0 3

0 0

4 4

25 x0 1 25 x0 1

           

   



 8x026x032  12x0214x08

 4x023x016  6x027x04



 

2 2

0 0 0 0

2 2

0 0 0 0

4x 3x 16 6x 7x 4

4x 3x 16 6x 7x 4

     



      

  vô nghiệm 2

0 0

2 0 0

x 2x 6 0 ' 5 0

x x 2 0

                0 0 x 1 x 2      

+) x0 1   

 

5

0 4

1

0 2

f ' x f x        

 5 

4

1 2

: y x 1

      5 7

4 4

: y x

   

+) x0  2   

 

0

0

f ' x 5

f x 7

        

 : y 5 x 27  : y 5x 17

Vậy phương trình tiếp tuyến cách A B  C là: 5 7

4 4

y  x , y 5x 17

Ví dụ Cho   2x 1 x 1

f x 



  C Tìm tọa độ điểm M C cho khoảng cách từ điểm

 

I 1;2 tới tiếp tuyến  C M đạt giá trị lớn Giải

Giả sử x0 hoành độ M  tiếp tuyến M (C) có phương trình: : yf ' x 0 xx0f x 0



   

3

0 2

x0 1 0

3

: y x x 2

x 1



     

  3xx012y2x02x050

  

 

   

   

2 2

3 x0 1 2x0 2x0 1

6 x0 1 6

4 4 9 2

9 x0 1 9 x0 1 x0 1

Theo bất đẳng thức Cô-si:     2 9 0 2 x0 1

x 1 2 9 6



    , d I,   6 Đẳng thức xảy

khi

    2 0 2 0 9 x 1 x 1   

 x012 3  x0   1 3

Vậy khoảng cách d I,  lớn 6, đạt x0   1 3 

 

M  1 3 ;2 3 M 1 3 ;2 3

Ví dụ [ĐHD07] Cho   2x  

x 1

f x C



 Tìm tọa độ điểm M thuộc  C biết tiếp tuyến

 C M cắt hai trục Ox, Oy A, B cho OAB có diện tích 1

4 Giải

Ta có  

 

2 2 x 1 f ' x



 Xét điểm M C , M có hồnh độ x0 Ta có PTTT với  C M:

 0 0  0

: y f x x x f x

   

    

2x0 2

0

2 x0 1

x0 1

: y x x

           2 2x0 2x 2 2

x0 1 x0 1 : y

 

  

A  Ox     

2 2x0 2x

2 2

x0 1 x0 1 A : y 0 y          

 Ax ;020 ,

B  Oy     

2 2x0 2x

2 2

x0 1 x0 1 A : x 0 y              2 2x0 2 x0 1 B 0;         

Ta có OAx20,

 

2 2x0

2 x0 1 OB      x OA.OB 0

ABC 2 2

1 OAB 4

S  

 

x

0 1

2 4 x0 1

4





 4x04 x012



 

0 0

0 2

0 2

2x x 1

2x x 1

 



  







 vô nghiệm

0 0 0 0 2 2

2x x 1 0

2x x 1 0 7 0



      

  



 



 0 1

0 2

x 1

x   

 





 

 1 

2 M 1;1

M ; 2

 

  



C Bài tập

Bài 1.Viết PTTT  C biết

1)[ĐHB06]  C ĐTHS x2 x 1

x 2

y  



 tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d : yx 1

2)  C ĐTHS 1 2x

2x 1

y 



 tiếp tuyến song song với đường thẳng d : 4xy 1 0

3)  C ĐTHS 1 3 1 2

2 2

y x  x 2x 1 tiếp tuyến tạo vớiđường thẳng d : x 3y 1  0 góc o

45

Bài 2.Tìm tất điểm đồ thị  C hàm số 1 3 2

3 3

y x  x mà tiếp tuyến

vng góc với đường thẳng 1 2

3 3

d : y  x

Bài 3.Cho 4 1  2

2

ymx  2m x 3 Cm Tìm m để tiếp Cm điểm có hồnh

độ 1 3 tạo với góc có cơ-sin 3

13

Bài 4.Cho 1 3   2  

3

y mx  m x  3m x 1  Cm Tìm điều kiện m để Cm có tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y x 2012

Bài 5.Cho 3 x x 4

y 



  C Viết PTTT  C biết tiếp tuyến cách A 4; 1 khoảng

7 2 5

Bài 6.Cho   x 1 3x 4

f x 



  C Viết PTTT  C biết khoảng cách từ điểm  4 1

3 3

I  ; tới tiếp

tuyến đạt giá trị lớn

Bài 7.[ĐHA09] Cho   x 2  

2x 3

f x  C



 Viết PTTT  C biết tiếp tuyến cắt trục tọa độ

tại điểm A, B cho OAB cân O Bài 8.Cho  

   

x 3 2 x 1

f x  C



 Viết phương trình tiếp tuyến  C biết tiếp tuyến cắt

Bài 9.Cho   2x   x 2

f x C



D Hướng dẫn đáp số

Bài 1) Có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu toán là: y  x 2 25, y  x 2 25

2) Chỉ có tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu tốn là: y 4x7

3) Có bốn tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu toán là:

1 1

2 2

y x , 1 229 2 54

y x , y 2x 1 , 29 27 y 2x

Bài 2. Trên  C có hai điểm mà tiếp tuyến vng góc với d là: 2;0  4 3

2;

Bài 1 48

m 7

240 m 

Bài 4. Cm có tiếp tuyến vng góc với đường thẳng yx2012  phương trình

   

2

0 0

mx 2 m x  3m4  1 có nghiệm x0  1

2 m 1

  

Bài Các tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu toán là: y 7x 15 , y 7x43, 1 3

7 7

y  x , 25

1

7 7

y  x

Bài Các tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu toán là:yx 1 , 7 3 yx

Bài 7.Đồ thị có tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu toán y  x 2

Bài 8. Các tiếp tuyến thõa mãn yêu cầu toán là: 3 2

y  x , 5 2 y  x