Chuyên đề: Tiếp tuyến của ĐTHS

Bài giảng ôn thi vào Đại học - Các bài toán về hàm số ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 - 1 - Hàm số và các bài toán có liên quan Chủ đề 1. Tiếp tuyến và sự tiếp xúc A. Tóm tắt lý thuyết Để giải tốn, ta sử dụng các kiến thức cơ bản sau:  Phương trình tiếp tuyến với đồ thò hàm số tại một điểm: Cho y f(x) (C)  . Khi đó phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại     0 0 M x ;f x là     0 0 0 y f ' x (x x ) f x    . Chú ý: Khi nói đến tiếp tuyến của (C) tại M , ta hiểu rẳng: M (C)  và M là nơi xảy ra sự tiếp xúc.  Điều kiện tiếp xúc của hai đồ thò: Cho   y f(x) C  và   y g(x) C'  .   C và   C' tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ f(x) g(x) f '(x) g'(x)      có nghiệm đối với x . Nghiệm của hệ chính là hồnh độ tiếp điểm. Bài giảng ôn thi vào Đại học - Các bài toán về hàm số ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 - 2 - B. Các ví dụ Ví dụ 1. [ĐHB08] Cho 3 2 y 4x 6x 1      C . Viết phương trình tiếp tuyến của   C , biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm   M 1; 9   . Giải Đặt 3 2 f(x) 4x 6x 1    . Ta có 2 f '(x) 12x 12x   . Giả sử tiếp tuyến cần tìm là d . Cách 1: (Sử dụng phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại một điểm) Giả sử d tiếp xúc với (C) tại     0 0 x ;f x        0 0 0 d :y f ' x x x f x         2 3 2 0 0 0 0 0 d :y 12x 12x x x 4x 6x 1       . d đi qua   M 1; 9        2 3 2 0 0 0 0 0 d : 9 12x 12x 1 x 4x 6x 1          3 2 0 0 0 8x 6x 12x 10 0      3 2 0 0 0 4x 3x 6x 5 0          2 0 0 0 4x 5 x 2x 1 0         2 0 0 4x 5 x 1 0     5 0 4 0 x x 1        . 5 0 4 x     15 5 9 4 4 16 d :y x     15 21 4 4 d :y x   . 0 x 1      d :y 24 x 1 9     d :y 24x 15   . Cách 1: (Sử dụng điều kiện tiếp xúc) Giả sử d có hệ số góc là k    d :y k x 1 9    . d tiếp xúc với   C  hệ   3 2 2 4x 6x 1 k x 1 9 (1) 12x 12x k (2)             có nghiệm đối với x . Thay (2) vào (1) ta có     3 2 2 4x 6x 1 12x 12x x 1 9           2 4x 5 x 1 0     5 4 x x 1        . Thay 5 4 x  vào (2) ta được 15 4 k     15 4 d :y x 1 9     15 21 4 4 d :y x   . Thay x 1   vào (2) ta được k 24     d :y 24 x 1 9     d :y 24x 15   . Vậy (C) có hai tiếp tuyến qua M và phương trình của chúng là 15 21 4 4 y x   , y 24x 15   . Bài giảng ôn thi vào Đại học - Các bài toán về hàm số ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 - 3 - Ví dụ 2. [ĐHD05] Cho   3 2 1 m 1 m 3 2 3 y x x C   . Gọi M là điểm thuộc   m C có hồnh độ bằng 1  . Tìm m để tiếp tuyến tại M của   m C song song với đường thẳng 5x y 0   . Giải Đặt   3 2 1 m 1 3 2 3 f x x x       2 f ' x x mx   . Ký hiệu d :5x y 0    d :y 5x  .   M m x 1 M C            m M M 2 y f x       m 2 M 1;  .  là tiếp tuyến tại M của   m C        M M M : y f ' x x x f x          m 2 : y m 1 x 1         m 2 : y m 1 x 1      . / /d   m 2 m 1 5 1 0           m 4  . ĐS: m 4  . Chú ý: Cho 1 1 1 d : y k x m   và 2 2 2 d :y k x m   . Khi đó ☞ 1 2 d / /d  1 2 1 2 k k m m      . ☞ 1 2 d d   1 2 k k 1   . ☞ 1 d tạo với 2 d góc  (   0 ;90    )  k k 1 2 1 k k 1 2 tan     . Bài giảng ôn thi vào Đại học - Các bài toán về hàm số ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 - 4 - Ví dụ 3. [ĐHD07] Cho   2x y C x 1   . Tìm tọa độ điểm M thuộc   C biết tiếp tuyến của   C tại M cắt hai trục Ox , Oy tại M , N sao cho OAB  có diện tích bằng 1 4 . Giải Ký hiệu   2x x 1 f x        2 2 x 1 f ' x   .   M C     2x M M M x 1 M y f x       2x M M x 1 M M x ;  .  là tiếp tuyến với   C tại M        M M M : y f ' x x x f x          2x 2 M M 2 x 1 M x 1 M : y x x            2 2x 2 M 2 2 x 1 x 1 M M : y x      A Ox         2 2x 2 M A A 2 2 x 1 x 1 M M A y x y 0             2 M A x ;0  . B Oy         2 2x 2 M B B 2 2 x 1 x 1 M M B y x x 0             2 2x M 2 x 1 M B 0;          . Ta có 2 M OA x  ,   2 2x M 2 x 1 M OB   . OAB  vng tại O      4 x 1 M 2 2 x 1 M S OAB OA.OB     . Do đó   1 4 S OAB      4 x M 1 2 4 x 1 M      2 4 M M 4x x 1    4 2 M M M 4x x 2x 1 0           2 M M M M x 1 2x 1 2x x 1 0       M 1 M 2 x 1 x        (Phương trình 2 M M 2x x 1 0    có 7 0     nên vơ nghiệm)      1 2 M 1;1 M ; 2       . Bài giảng ôn thi vào Đại học - Các bài toán về hàm số ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 - 5 - Ví dụ 4. Cho   3 2 m y x 3x mx 1 C    . Tìm m để   m C cắt đường thẳng y 1  tại ba điểm phân biệt   C 0;1 , D , E sao cho các tiếp tuyến với   m C tại D và E vng góc với nhau. Giải Đặt   3 2 x 3x x 1 f x m        2 f ' x 3x 6x m    . Xét phương trình: 3 2 x 3x mx 1 1 (1)     . Ta có (1)    2 x x 3x m 0         2 t x x 0 x 3x m 0 (2) 9 4m              .   m C cắt đường thẳng y 1  tại ba điểm phân biệt  (1) có 3 nghiệm phân biệt  (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0    0 t 0 0          9 4m 0 m 0        9 4 0 m (3)   . Khi đó, D và E là các nghiệm của (2) nên theo định lý vi-ét, ta có: D E D E x x 3 (4) x x m        . Hệ số góc các tiếp tuyến với   m C tại D và E lần lượt có hệ số góc là   D f ' x và   E f ' x nên: tiếp tuyến với m (C ) tại D và E vng góc với nhau      D E f ' x .f ' x 1        2 2 D D E E 3x 6x m 3x 6x m 1              2 2 2 D E D E D E D E D E D E 9 x x 18x x x x 3m x x 2x x 36x x m 1 0 (3)                . Thay (4) vào (5) ta được:     2 2 2 9m 18m 3 3m 3 2m 36m m 1 0                 2 4m 9m 1 0     9 65 8 m   (thỏa mãn (3) ). Vậy 9 65 8 m   . Chú ý: (Định lý vi-ét thuận) Nếu phương trình 2 ax bx c   ( a 0  ) có hai nghiệm 1 x , 2 x thì b 1 2 a c 1 2 a x x x x          . Bài giảng ôn thi vào Đại học - Các bài toán về hàm số ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 - 6 - Ví dụ 5. Cho   3 2 y x 3x 5x 1 C     . Viết phương trình tiếp tuyến của hệ số góc nhỏ nhất của   C . Giải Ký hiệu   3 2 f x x 3x 5x 1        2 f ' x 3x 6x 5    . Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm có hồnh độ 0 x là   2 0 0 0 k f ' x 3x 6x 5     . Ta thấy   2 0 k 3 x 1 2 2     , k 2   0 x 1  . Vậy tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của   C là tiếp tuyến có tại điểm có hồnh độ bằng 1 , phương trình của tiếp tuyến này là:       : y f ' 1 x 1 f 1        : y 2 x 1 4      : y 2x 2    . Ví dụ 6. [ĐHD02] Cho     2 2m 1 x m x 1 y C     và d :y x  . Tìm m để   C tiếp xúc với d . Giải Ký hiệu     2 2m 1 x m x 1 f x          2 m 1 x 1 f ' x    .   C tiếp xúc với d khi và chỉ khi hệ sau đây có nghiệm     2 2m 1 x m x 1 2 m 1 x 1 x 1               . * Với m 1  : hệ nói trên vơ nghiệm. * Với m 1  : hệ          2 2 2 2m 1 x m x x 1 (1) m 1 x 1 (2)             . Ta có (2)  m 1 x 1 m 1 x 1            x m (3) x 2 m (4)       . Thay (3) vào (1) ta được:     2 2m 1 m m m m 1     0 0   (ln đúng). Tóm tại:   C tiếp xúc với d  m 1  . Bài giảng ôn thi vào Đại học - Các bài toán về hàm số ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 - 7 - C. Bài tập Loại 1. Tiếp tuyến qua một điểm và tiếp tuyến tại một điểm Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua 19 A ;4 12       đến   3 2 C : y 2x 3x 5    . Đáp số: y 12x 15   , 645 21 32 128 y x   , y 4  . Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hồnh độ bằng 2 của đồ thị   4 2 3 C : y x 2x   . Đáp số: y 24x 43   . Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến của   2 x 3x 4 x 1 C : y     tại giao điểm của   C với trục tung. Đáp số: y 7x 4   . Bài 4. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua   A 0; 1  đến   3 2 C : y 2x 3(m 1)x 6(m 2)x 1       . Hướng dẫn *  là tiếp tuyến tại điểm có hồnh độ 0 x của   C            2 3 2 0 0 0 0 0 0 : y 6 x m 1 x m 2 x x 2x 3 m 1 x 6 m 2 x 1                  *  đi qua   A 0; 1           2 3 2 0 0 0 0 0 0 1 6x x m 1 x m 2 2x 3 m 1 x 6 m 2 x 1                     0 3 m 1 0 4 x 0 x        . * 0 x 0     : y 6 m 1 x 1     ,   3 0 4 x m 1        2 3 2 234 32 : y 3 3m 9m 11m 1 x m 1 1         . Bài giảng ôn thi vào Đại học - Các bài toán về hàm số ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 - 8 - Bài 5. Cho   x y C x 1   . Chứng minh rằng qua giao điểm của hai tiệm cận của   C , khơng kẻ được tiếp tuyến nào tới   C . Hướng dẫn *  là tiếp tuyến với   C tại điểm có hồnh độ 0 x      x 0 1 0 2 x 1 0 x 1 0 : y x x        . * Chứng minh khơng tồn tại 0 x để  đi qua giao điểm của hai tiệm cận   I 1;1 . Bài 6. Tìm trên đường thẳng x 3  các điểm mà qua đó có tiếp tuyến tới   2x 1 C : y x 2    . Hướng dẫn  là tiếp tuyến với   C tại điểm có hồnh độ 0 x      2x 1 5 0 0 2 x 2 0 x 2 0 : y x x         . Xét   A 3;a . Qua A có tiếp tuyến tới   C  tồn tại 0 x sao cho  qua A  phương trình     2x 1 5 0 0 2 x 2 0 x 2 0 a 3 x        có nghiệm đối với 0 x  a 7  . Vậy tập hợp các điểm thỏa mãn u cầu bài tốn là     A 3;1 | a 7  . Bài giảng ôn thi vào Đại học - Các bài toán về hàm số ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 - 9 - Loại 2. Tiếp tuyến thỏa mãn một quan hệ nào đó với đường thẳng khác Bài 7. [ĐHD10] Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị   4 2 C : y x x 6     biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng 1 6 y x 1   . Đáp số: y 6x 10    . Bài 8. [ĐHB06] Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị   2 x x 1 x 2 C : y     biết tiếp tuyến vng góc với tiệm cận xiên của   C . Đáp số: y x 2 2 5     , y x 2 2 5     . Bài 9. Viết phương trình tiếp tuyến  của   3 C : y x 3x 7    biết tiếp tuyến đó tạo với d :y 2x 3   góc o 45 . Đáp số: : y 3x 7     , 20 10 1 3 27 : y x 7     , 20 10 1 3 27 : y x 7     . Bài 10. Tìm tất cả các điểm trên đồ thị   3 1 2 C : y x x 3 3    mà tiếp tuyến tại đó vng góc với đường thẳng 1 2 y x 3 3    . Đáp số:   2;0  ,   4 3 2; . Bài 11. Cho       3 2 1 m 3 y mx m 1 x 3m 4 x 1 C      . Tìm điều kiện của m để   m C có tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y x 2011   . Hướng dẫn   m C có tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y x 2011    phương trình     2 0 0 mx 2 m 1 x 3m 4 1       có nghiệm đối với 0 x  1 2 m 1    . Bài 12. Tìm m để tiếp tuyến với   2 3x mx 4 C : y 4x m      tại điểm có hồnh độ bằng 1 vng góc với tiệm cận xiên của   C . Đáp số: m 25 477    . Bài giảng ôn thi vào Đại học - Các bài toán về hàm số ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744 - 10 - Loại 3. Tương giao của tiếp tuyến với các đường khác Bài 13. Cho   2x 1 y C x 1    và   M C  . Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt hai tiệm cận tại A và B . 1) Chứng minh M là trung điểm của đoạn thẳng AB . 2) Chứng minh diện tích IAB  khơng đổi. 3) Tìm M để chu vi IAB  đạt giá trị nhỏ nhất. Hướng dẫn 1) * Giả sử M có hồnh độ là 0 x  tiếp tuyến với   C tại M là     2x 1 01 0 2 x 1 0 x 1 0 : y x x              2 2x 2x 1 0 0x 2 2 x 1 x 1 0 0 : y         . * A là giao điểm của  và tiệm cận ngang của   C    0 A 2x 1;2  . B là giao điểm của  và tiệm cận đứng của   C  2x 0 x 1 0 B 1;        . * Ta thấy: x x A B 0 2 x   ; A , B , M thẳng hàng  M là trung điểm của AB . 2) Ta có: 0 IA 2 x 1   , 2 x 1 0 IB    1 IAB 2 S IA.IB 2    (ĐPCM). 3) 2 2 IAB P IA IB AB IA IB IA IB 2 IA.IB 2.IA.IB 4 2 2             . Dấu bằng xảy ra  IA IB       M 0;1 M 2;3     . Vậy IAB P  nhỏ nhất      M 0;1 M 2;3     . Bài 14. [ĐHA09] Cho   x 2 2x 3 y C    . Viết phương trình tiếp tuyến của   C biết tiếp tuyến cắt các trục tọa độ tại các điểm A , B sao cho OAB  cân tại O . Hướng dẫn * Giả sử tiếp tuyến cần tìm là : y kx m    . OAB  cân tại O  k 1 m 0       . *  tiếp xúc với   C tại điểm có hồnh độ 0 x      1 0 2 2x 3 0 k f ' x     . * Phương trình   0 f ' x 1  vơ nghiệm   0 f ' x 1    0 0 x 1 x 2        . [...]... C Tiếp tuyến của hàm bậc ba 3 2 [ĐHB04] Cho y  1 x  2x  3x 3  C  Viết phương trình tiếp tuyến  của tại điểm uốn và chứng minh  là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của  C  Đáp số:  : y   x  8 3 Bài 35 3 2 Cho y  x  3x  9x  5  C Tìm tiếp tuyến với (C) có hệ số góc nhỏ nhất Bài 36 Cho y  1 3 x  mx 2  x  m  1 3  C  Tìm m để hệ số góc của tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của. .. Vậy tiếp tuyến thỏa mãn u cầu bài tốn là  : y   x  2 Bài 15 Cho y  x3 2 x  1   C  Viết phương trình tiếp tuyến của  C  biết tiếp tuyến cắt các trục tọa độ tại các điểm A , B sao cho trung trực của đoạn thẳng AB đi qua gốc tọa độ O Hướng dẫn * Giả sử tiếp tuyến cần tìm là  : y  kx  m Trung trực của đoạn thẳng AB đi qua gốc tọa k  1 m  0 độ O  OAB cân tại O   * Các tiếp tuyến. ..  3x  2 x 1 Bài 19  C Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của  C  Viết phương trình tiếp tuyến của  C  biết rằng tiếp tuyến đó cắt tiệm cận đứng, tiệm cận  ngang của  C  lần lượt tại A , B sao cho cosBAI  5 26 Đáp số: y  5x  2 , y  5x  2 Cho y  2mx  3 x m Bài 20  tuyến bất kỳ của Cm Đáp số: I là giao điểm của hai tiệm cận Tìm m để tiếp cắt 2 tiệm cận tại A , B sao cho IAB có... để  C  và 2) P Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị Bài 39 P Điều kiện tiếp xúc Cho  C  : y  tiếp xúc nhau 1 và  : y  ax  b x 1) Tìm điều kiện của a , b để  tiếp xúc với  C  2) Khi  tiếp xúc với  C  , gọi A và B là các giao điểm của  với Ox và Oy +) Chứng minh diện tích OAB khơng đổi +) Tiếp điểm của  với  C  là trung điểm của đoạn thẳng AB +) Tìm a , b để khoảng... trình tiếp tuyến của  Cm  tại  các điểm cố định của Cm Tìm quỹ tích các giao điểm của các tiếp tuyến đó Cho y  Bài 31 x 2  2mx  m xm  biệt và hai tiếp tuyến của Cm Cho y   x  1 x2 Bài 32   Cm  Tìm m  để Cm  cắt Ox tại hai điểm phân tại điểm đó vng góc với nhau  C Tìm trên  C  cặp điểm A , B sao cho AB  8 và các tiếp tuyến của  C  tại A và B song song với nhau  Đáp số: A... y  x 2 2 3 Bài 17 Cho y  2x x 2  C Viết phương trình tiếp tuyến của  C  biết rằng tiếp tuyến cắt các trục tọa độ Ox , Oy lần lượt tại A , B sao cho AB  OA 2 Đáp số: y   x , y   x  4 Bài 18 Cho y  x x 1  C Viết phương trình tiếp tuyến của  C   tạo với hai tiệm cận một tam giác có chu vi bằng 2 2  biết rằng tiếp tuyến  2 Đáp số: y   x  8 - 11 ThS Phạm Hồng Phong – Gv... Tìm m để hệ số góc của tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị là 24 Viết phương trình các tiếp tuyến đó Bài 37  C 3 2 Cho y  ax  bx  cx  d C Chứng minh nếu a  0 thì tiếp tuyến với tại điểm uốn là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất, nếu a  0 thì tiếp tuyến với  C  tại điểm uốn là tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất - 16 ThS Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội) DĐ:0983070744...  C Viết phương trình tiếp tuyến của  C  biết tiếp tuyến cắt các tiệm cận tại A , B sao cho bán kính đường tròn nội tiếp IAB đạt giá trị lớn nhất ( I là giao điểm của hai tiệm cận) Hướng dẫn * Chứng minh S IBC khơng đổi * Từ cơng thức r  S suy ra: bán kính đường tròn nội tiếp IAB đạt giá trị lớn nhất  p PIBC đạt giá trị nhỏ nhất * Tương tự Loại 3 ta được các tiếp tuyến thõa mãn u cầu bài... điểm A   C  có hồnh độ bằng a Tìm các giá trị của a sao cho tiếp tuyến của  C  tại A cắt  C  tại hai điểm phân biệt B , C khác A sao cho B nằm giữa A và C , đồng thời AC  3AB Đáp số: a   2 Bài 24 1) x4 5 Cho y   3x 2  2 2  C Gọi d là tiếp tuyến của  C  tại điểm M có hồnh độ bằng a Chứng minh hồnh độ điểm chung của d với  C  là nghiệm của phương trình 2)  x  a  2  x2  2ax  3a2... Cho  Cm  : y  ( m  0 , m  1 ) Chứng minh tiếp tuyến với xm Bài 21  Cm    Cm  Gọi  tại giao điểm của Cm  với trục tung cắt tiệm cận đứng tại điểm có tung độ bằng 1  Cho điểm A x0 ; y 0 Bài 22  3 thuộc đồ thị  C  của hàm số y  x  3x  1 Tiếp tuyến với (C) tại A cắt đồ thị cắt  C  tại B khác A Hãy xác định tọa độ của B theo tọa độ của A   3 Đáp số: B 2x0 ; 8x 0  6x0  1 . 2     , k 2   0 x 1  . Vậy tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của   C là tiếp tuyến có tại điểm có hồnh độ bằng 1 , phương trình của tiếp tuyến này là:       : y f '. C    . Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của   C . Viết phương trình tiếp tuyến của   C biết rằng tiếp tuyến đó cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của   C lần lượt tại A ,. - Loại 5. Tiếp tuyến của hàm bậc ba Bài 34. [ĐHB04] Cho   3 2 1 3 y x 2x 3x C    . Viết phương trình tiếp tuyến  của   C tại điểm uốn và chứng minh  là tiếp tuyến có hệ số