Chuyên đề Đạo Hàm (của tác giả)

ẹaùi soỏ lụựp 11 Chửụng 5: ẹaùo haứm Naờm: 2010 - 2011 Chửụng 5: O HM A. KIN THC CN NH 1. nh ngha o hm ti mt im 1.1. nh ngha : Cho hm s ( ) y f x= xỏc nh trờn khong ( ) ;a b v ( ) 0 ;x a b , o hm ca hm s ti im 0 x l : ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 ' lim x x f x f x f x x x = . 1.2. Chỳ ý : Nu kớ hiu ( ) ( ) 0 0 0 ;x x x y f x x f x = = + thỡ : ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 ' lim lim x x x f x x f x y f x x x x + = = . Nu hm s ( ) y f x= cú o hm ti 0 x thỡ nú liờn tc ti im ú. 2. í ngha ca o hm 2.1. í ngha hỡnh hc: Cho hm s ( ) y f x= cú th ( ) C ( ) 0 'f x l h s gúc ca tip tuyn th ( ) C ca hm s ( ) y f x= ti ( ) ( ) 0 0 0 ,M x y C . Phng trỡnh tip tuyn ca th hm s ( ) y f x= ti im ( ) ( ) 0 0 0 ,M x y C l : ( ) ( ) 0 0 0 'y f x x x y = ì + . 2.2. í ngha vt lớ : Vn tc tc thi ca chuyn ng thng xỏc nh bi phng trỡnh : ( ) s s t= ti thi im 0 t l ( ) ( ) 0 0 'v t s t= . Cng tc thi ca in lng ( ) Q Q t= ti thi im 0 t l : ( ) ( ) 0 0 'I t Q t= . 3. Qui tc tớnh o hm v cụng thc tớnh o hm 3.1. Cỏc quy tc : Cho ( ) ( ) ; ; :u u x v v x C= = l hng s . ( ) ' ' 'u v u v = ( ) ( ) . ' '. '. . .u v u v v u C u C u = + = ( ) 2 2 '. '. . , 0 u u v v u C C u v v u v u = = ữ ữ Nu ( ) ( ) , . x u x y f u u u x y y u = = = . 3.2. Cỏc cụng thc : ( ) ( ) 0 ; 1C x = = ( ) ( ) ( ) 1 1 . . . , , 2 n n n n x n x u n u u n n = = Ơ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , 0 , 0 2 2 u x x u u x u = > = > ( ) ( ) sin cos sin . cosx x u u u = = ( ) ( ) cos sin cos .sinx x u u u = = ( ) ( ) 2 2 1 tan tan cos cos u x u x u = = ( ) ( ) 2 2 1 cot cot sin sin u x u x u = = . 63 Đại số lớp 11 Chương 5: Đạo hàm Năm: 2010 - 2011 4. Vi phân 4.1. Định nghĩa : • Cho hàm số ( ) y f x= có đạo hàm tại 0 x vi phân của hàm số ( ) y f x= tại điểm 0 x là : ( ) ( ) 0 0 .df x f x x ′ = ∆ . • Cho hàm số ( ) y f x= có đạo hàm ( ) f x ′ thì tích ( ) .f x x ′ ∆ được gọi là vi phân của hàm số ( ) y f x= . Kí hiệu : ( ) ( ) ( ) . .df x f x x f x dx ′ ′ = ∆ = hay .dy y dx ′ = . 4.2. Cơng thức tính gần đúng : ( ) ( ) ( ) 0 0 0 .f x x f x f x x ′ + ∆ ≈ + ∆ . 5. Đạo hàm cấp cao 5.1. Đạo hàm cấp 2 : • Định nghĩa : ( ) ( ) f x f x ′ ′′ ′ =     • Ý nghĩa cơ học: Gia tốc tức thời của chuyển động ( ) s f t= tại thời điểm 0 t là ( ) ( ) 0 0 a t f t ′′ = . 5.2. Đạo hàm cấp cao : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , , 2 n n f x f x n n − ′   = ∈ ≥     ¥ . B. CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP : 1. Tìm đạo hàm theo định nghĩa 1.1. Phương pháp : Để tìm đạo hàm theo định nghĩa ta có 2 cách sau : • Cách 1 : Theo quy tắc o Bước 1 : Cho x một số gia x ∆ và tìm số gia y∆ tìm ( ) ( ) y f x x f x∆ = + ∆ − . Lập tỉ số y x ∆ ∆ o Bước 2 : Tìm giới hạn 0 lim x y x ∆ → ∆ ∆ • Cách 2 : Áp dụng cơng thức: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 ' lim x x f x f x f x x x → − = − . 1.2. Các ví dụ minh họa : Ví dụ 1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa tại các điểm đã chỉ ra: a) ( ) 3 2 1f x x x= − + tại 0 2x = ; b) ( ) 2 1 2 x f x x − = + tại 0 1x = . Ví dụ 2. Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa tại các điểm đã chỉ ra: a) ( ) 3 3 4f x x= + tại 0 3x = ; b) ( ) 3 khi khi 2 2 10 16 2 x x x f x x x  − ≥ =  − <  tại 0 2x = . Ví dụ 3. Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa : a) 3 2 2 1y x x= − + ; b) ( ) 2 3 2y f x x x= = − + . 1.3. Bài tập áp dụng : Bài 1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa tại các điểm đã chỉ ra : a) ( ) 2 3 1f x x x= − + tại 0 3x = ; b) ( ) 2 2f x x x= − tại 0 1x = ; c) ( ) 2 3 3 2 x x f x x − + = + tại 0 4x = ; d) ( ) 2 cosf x x= tại 0 4 x π = ; 64 ẹaùi soỏ lụựp 11 Chửụng 5: ẹaùo haứm Naờm: 2010 - 2011 Bi 2. Xột tớnh liờn tc v s tn ti o hm v tớnh o hm ca cỏc hm s sau õy trờn Ă . a) ( ) 2 khi khi 4 3 1 1 3 5 1 x x x f x x x x + > = ; b) ( ) 2 3 khi khi 2 0 0 x a x f x x bx x + = + > ; c) ( ) 2 3 2f x x x= + ; d) ( ) 5 f x x= . Bi 3. Tỡm o hm ca cỏc hm s sau theo nh ngha : a) ( ) 3 2 3 2 1f x x x x= + + ; b) ( ) 3 f x x= ; c) ( ) 1 1 x f x x = + ; d) ( ) 1 sin f x x = ; Bi 4. Tỡm o hm ca cỏc hm s sau theo nh ngha : a) ( ) 3 2 4f x x x= ; b) ( ) khi khi sin cos 0 2 1 0 x x x f x x x + > = + ; c) ( ) 2 4 3f x x x= + ; d) ( ) ( ) 3 tan 2 1f x x= + . Bi 5. Cú bao nhiờu tip tuyn ca ( ) 3 2 : 3 6 5C y x x x= + cú h s gúc õm ? 2. Tỡm o hm theo quy tc v cụng thc 2.1. Phng phỏp : Cỏc quy tc : Cho ( ) ( ) ; ; :u u x v v x C= = l hng s . ( ) ' ' 'u v u v = ( ) ( ) . ' '. '. . .u v u v v u C u C u = + = ( ) 2 2 '. '. . , 0 u u v v u C C u v v u v u = = ữ ữ Nu ( ) ( ) , . x u x y f u u u x y y u = = = . Cỏc cụng thc : ( ) ( ) 0 ; 1C x = = ( ) ( ) ( ) 1 1 . . . , , 2 n n n n x n x u n u u n n = = Ơ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , 0 , 0 2 2 u x x u u x u = > = > ( ) ( ) sin cos sin . cosx x u u u = = ( ) ( ) cos sin cos .sinx x u u u = = ( ) 2 2 1 tan 1 tan cos x x x = = + ( ) ( ) 2 2 tan 1 tan . cos u u u u u = = + ( ) ( ) 2 2 1 cot 1 cot sin x x x = = + ( ) ( ) 2 2 cot 1 cot sin u u u u u = = + . 65 Đại số lớp 11 Chương 5: Đạo hàm Năm: 2010 - 2011  Chú ý : Ta có thể dùng định nghĩa để chứng minh thêm các cơng thức tính đạo hàm sau : ( ) ( ) 3 3 3 3 2 2 1 3. 3. u x u x u ′ ′ ′ = ⇒ = ( ) ( ) 1 1 1 . . n n n n n n u x u n x n u − − ′ ′ ′ = ⇒ = . 2.2. Các ví dụ minh họa : Ví dụ 1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau : a) = − + − 4 3 1 2 2 5 3 y x x x ; b) = − − 3 2 ( 2)(1 )y x x . Ví dụ 2. Tìm đạo hàm của các hàm số sau : a) + = − 2 1 1 3 x y x ; b) − + = − 2 3 3 1 x x y x ; c) + − = − + 2 2 1 1 x x y x x . Ví dụ 3. Chứng minh các cơng thức tổng qt sau a) ( ) 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 a b a c b c x x a b a c b c ax bx c a x b x c a x b x c + + ′   + + =  ÷  ÷ + +   + + ; ( 1 1 1 , , , , ,a b c a b c là hằng số) . b) ( ) 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 . 2 . b c a a x a b x a b ax bx c a x b a x b + + ′   + + =  ÷  ÷ + +   ; ( 1 1 , , , ,a b c a b là hằng số) . Ví dụ 4. Tìm đạo hàm của các hàm số sau : a) = + + 2 4 ( 1)y x x ; b) + = − 2 3 ( 1) ( 1) x y x ; c) = − + 2 2 1 ( 2 5) y x x . Ví dụ 5. Tìm đạo hàm của các hàm số sau : a) = − + 2 2 5 2y x x ; b) = − + 2 ( 2) 3y x x ; c) ( ) = + − 3 1 1 2y x . Ví dụ 6. Tìm đạo hàm của các hàm số sau : a) 2sin 3 cos5y x x= ; b) sin cos sin cos x x y x x + = − ; c) 2 1 tan 3 2 1 tan 3 x y x + = − . • Chú ý : Khi gặp các hàm số phức tạp nếu có thể ta hãy rút gọn hàm số rồi hãy đi tính đạo hàm , đặc biệt là đối với các hàm số có chứa các hàm số lượng giác. Ví dụ 7. Tìm đạo hàm của các hàm số sau : a) 2 (sin cos )y x x= + ; b) tan coty x x= + ; c) = + + 3 5 2 1 tan2 tan 2 tan 2 3 5 y x x x ; d) ( ) 2 3 tan sin cos 2y x   =   . Ví dụ 8. Cho hàm số : ( ) 3 2 1 2 5 3 y f x x x mx= = − + + . Tìm m để : a) ( ) 0f x x ′ ≥ ∀ ∈¡ ; b) ( ) ( ) 0 , 0;f x x ′ > ∀ ∈ + ∞ ; c) ( ) ( ) 0 , 0;2f x x ′ < ∀ ∈ ; d) ( ) ( ) 0 , ;2f x x ′ ≥ ∀ ∈ −∞ . Ví dụ 9. Cho hàm số : ( ) ( ) 3 2 4 5 1 3 2 m m f x x x m x m= − + − + + . Tìm m để : a) ( ) 0 ,f x x ′ < ∀ ∈¡ ; b) ( ) 0f x ′ = có hai nghiệm cùng dấu. • Chú ý : Khi gặp các bài tốn tìm các giá trị của tham số để một tam thức bậc 2 ln âm hay ln dương trên một miền nào đó, ngồi cách vận dụng định lí về dấu tam thức bậc hai ta có thể lập bảng biến thiên của hàm số bậc hai rồi dựa vào bảng biến thiên để suy ra kết quả. 66 ẹaùi soỏ lụựp 11 Chửụng 5: ẹaùo haứm Naờm: 2010 - 2011 2.3. Bi tp ỏp dng: Bi 6. Tỡm o hm ca cỏc hm s sau : a) 5 4 3 2 1 2 3 4 5 2 3 2 y x x x x x= + + ; b) 2 4 1 1 0,5 4 3 y x x x= + ; c) 4 3 2 4 3 2 x x x y x= + ; d) 5 3 4 2 3y x x x x= + ; e) 2 3 2 2 x b a y c x b a x = + + + ( , ,a b c l hng s) . Bi 7. Tỡm o hm ca cỏc hm s sau : a) 5 (2 3)( 2 )y x x x= ; b) (2 1)(3 2)y x x x= + ; c) ( ) 1 1 1y x x = + ữ ; d) 2 1 1 x y x = ; e) 3 2 5 y x = ; f) 2 1 1 x x y x + = ; g) 2 2 4 5 2 1 x x y x + = + ; h) 2 1 1 y x x = + + ; i) 2 5 3 1 x y x x = + + ; k) 2 2 1 1 x x y x x + + = + . Bi 8. Tỡm o hm ca cỏc hm s sau : a) 3 2 2 (2 3 6 1)y x x x= + ; b) 2 5 1 ( 1) y x x = + c) 2 3 2 2 ( 1) ( 1)y x x x x= + + + ; d) 2 1 y x x = ữ ; e) 2 1 2y x x= + ; f) 2 2 1 1y x x= + ; g) y x x x= + + ; h) 3 3 3 1y x x= + ; i) 2 3 2 1 3 x y x = ữ + ; k) ( ) 5 2 1y x x= + + . Bi 9. Tỡm o hm ca cỏc hm s sau : a) sin sin x x y x x = + ; b) 3 3 sin cos sin cos x x y x x + = + ; c) xx xx y 2cos2sin2 2cos2sin + = ; d) 4sin cos5 .sin 6y x x x= ; e) sin 2 cos 2 sin 2 cos2 x x y x x + = ; f) sin cos cos sin x x x y x x x = ; g) 1 tan 2 x y + = ; h) tan 3 cot 3y x x= ; i) 2 2 1 tan 1 tan x y x + = ; k) 2 cot 1y x= + ; l) 4 4 cos siny x x= + ; m) 3 )cos(sin xxy += ; n) xxy 2cos2sin 33 = ; o) ( ) sin cos3y x= ; p) ( ) 2 2 sin cos cos3y x = ; q) 2 5 2 3 cot cos 2 x y x = ữ + . Bi 10. a) Cho hm s ( ) x x xf sin1 cos + = . Tớnh ( ) ( ) 4 '; 2 ';';0' ffff . 67 ẹaùi soỏ lụựp 11 Chửụng 5: ẹaùo haứm Naờm: 2010 - 2011 b) Cho hm s ( ) x x xfy 2 2 sin1 cos + == . Chng minh: 3 ' 3 4 4 f f = ữ ữ Bi 11. Tỡm o hm ca cỏc hm s sau : a) ( ) ( ) 4 4 6 6 3 sin cos 2 sin cosy x x x x= + + ; b) ( ) ( ) 4 2 4 2 cos 2cos 3 sin 2sin 3y x x x x= + ; c) ( ) ( ) 8 8 6 6 4 3 sin cos 4 cos 2sin 6siny x x x x x= + + ; d) 4 4 6 6 4 sin 3cos 1 sin cos 3cos 1 x x y x x x + = + + ; e) 2 2 2 2 2 cos cos cos 3 3 y x x x = + + + ữ ữ ; f) ( ) tan . 1 sin 4 2 sin x x y x + ữ = ; g) sin sin 2 sin3 sin 4 cos cos2 cos3 cos4 x x x x y x x x x + + + = + + + ; h) 2 2 2 2cos , 0 ; 2 y x x = + + + ữ ữ . Bi 12. Cho hm s xxy sin= chng minh : a) ( ) ( ) 2 ' sin 2cos 0xy y x x x y + = ; b) ' tan cos y x x x = . Bi 13. Cho cỏc hm s : ( ) xxxf 44 cossin += , ( ) xxxg 66 cossin += . Chng minh : ( ) ( ) 0'2'3 = xgxf . Bi 14. a) Cho hm s 2 1 xxy ++= . Chng minh : yyx =+ '.12 2 . b) Cho hm s cot 2y x= . Chng minh : 2 ' 2 2 0y y+ + = . Bi 15. Gii phng trỡnh ' 0y = bit : a) sin 2 2cosy x x= ; b) 2 cos siny x x= + ; c) 3sin 2 4cos 2 10y x x x= + + ; d) ( ) 1 sin 2 2cos 2y m x x mx= + . Bi 16. Cho hm s ( ) 3 2 1 2 1 4 3 y x m x mx= + + . Tỡm m : a) ' 0y = cú hai nghim phõn bit ; b) 'y cú th vit c thnh bỡnh phng ca nh thc ; c) ' 0 ,y x Ă ; d) ( ) ' 0 , 1 ; 2y x< ; e) ' 0 , 0y x> > . Bi 17. Cho hm s ( ) 3 2 1 1 3 3 y mx m x mx= + + . Xỏc nh m : a) ' 0 ,y x Ă . b) ' 0y = cú hai nghim phõn bit cựng õm ; c) ' 0y = cú hai nghim phõn bit tha món iu kin : 2 2 1 2 3x x+ = . Bi 18. Cho hm s 2 6 2 2 mx x y x + = + . Xỏc nh m hm s cú ' 0,y x ( ) 1 ;+ . Bi 19. Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s m hm s: 3 2 3y x x mx m= + + + cú ' 0y trờn mt on cú di bng 1 . Bi 20. Cho hm s ( ) ( ) ( ) 4 2 2 9 10 1 laứ tham soỏy mx m x m= + + . Xỏc nh m hm s cú ' 0y = cú 3 nghim phõn bit . 3. Vit phng trỡnh tip tuyn ca ng cong 68 Đại số lớp 11 Chương 5: Đạo hàm Năm: 2010 - 2011 3.1. Phương pháp : • Khi biết tiếp điểm : Tiếp tuyến của đồ thị ( ) ( ) :C y f x= tại ( ) 0 0 ;M x y , có phương trình là : ( ) ( ) 0 0 0 ' .y f x x x y = − + ( 1 ) . • Khi biết hệ số góc của tiếp tuyến: Nếu tiếp tuyến của đồ thị ( ) ( ) :C y f x= có hệ số góc là k thì ta gọi ( ) 0 0 0 ;M x y là tiếp điểm ( ) 0 'f x k⇒ = (1)  Giải phương trình (1) tìm 0 x suy ra ( ) 0 0 y f x=  Phương trình tiếp tuyến phải tìm có dạng : ( ) 0 0 y k x x y= − +  Chú ý :  Hệ số góc của tiếp tuyến tại ( ) ( ) 0 0 ,M x y C∈ là ( ) 0 tank f x α ′ = = Trong đó α là góc giữa chiều dương của trục hồnh và tiếp tuyến .  Hai đường thẳng song song với nhau thì hệ số góc của chúng bằng nhau .  Hai đường thẳng vng góc nếu tích hệ số góc của chúng bằng 1− . • Biết tiếp tuyến đi qua điểm ( ) 1 1 ;A x y :  Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) y f x= tại ( ) 0 0 0 ;M x y : ( ) ( ) ( ) 0 0 0 ' . 1y f x x x y= − +  Vì tiếp tuyến đi qua ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 1 0 0 ; ' . *A x y y f x x x f x⇒ = − +  Giải phương trình(*) tìm 0 x thế vào (1) suy ra phương trình tiếp tuyến . 3.2. Các ví dụ minh họa : Ví dụ 1. Cho đường cong ( ) ( ) 3 2 : 3C y f x x x= = − . Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C trong các trường hợp sau : a) Tại điểm ( ) 0 1 ; 2M − ; b) Tại điểm thuộc ( ) C và có hồnh độ 0 1x = − ; c) Tại giao điểm của ( ) C với trục hồnh . d) Biết tiếp tuyến đi qua điểm ( ) 1 ; 4A − − . Ví dụ 2. Cho đường cong ( ) 3 1 : 1 x C y x + = − a) Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ( ) : 4 21 0d x y− − = ; b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng ( ) : 2 2 9 0x y∆ + − = ; c) Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng : 2 5 0x y− + = một góc 0 30 . Ví dụ 3. Cho hàm số ( ) 3 2 3 9 5y x x x C= + − + . Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị ( ) C , hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. Ví dụ 4. Cho hàm số ( ) 2 1 2 3 x y x + = + . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hồnh, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O. (Khối A – 2009) . Ví dụ 5. Cho hàm số ( ) 3 2 3 2y x x C= − + − . Tìm các điểm thuộc đồ thị ( ) C mà qua đó kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến với đồ thị ( ) C . (Học viện Cơng nghệ Bưu chính Viễn thơng, 1999) Ví dụ 6. Cho ( ) C là đồ thị của hàm số 2 6y x x= − . Chứng minh tiếp tuyến tại một điểm bất kì của ( ) C cắt trục tung tại một điểm cách đều gốc tọa độ và tiếp điểm . 3.3. Bài tập áp dụng: 69 Đại số lớp 11 Chương 5: Đạo hàm Năm: 2010 - 2011 Bài 21. Cho hàm số ( ) 2 : 2 3C y x x= − + . Viết phương trình tiếp với ( ) C : a) Tại điểm có hồnh độ 0 2x = ; b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng : 4 9 0x y− − = ; c) Vng góc với đường thẳng : 2 4 2011 0x y+ − = ; d) Biết tiếp tuyến đi qua điểm ( ) 1 ; 0A . Bài 22. Cho hàm số : ( ) 3 1 1 x y C x + = − . a) Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C tại điểm ( ) 1 ; 1M − − ; b) Vết phương trình tiếp tuyến của ( ) C tại giao điểm của ( ) C với trục hồnh; c) Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C tại giao điểm của ( ) C với trục tung ; d) Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C bết tiếp tuyến song song với đường thẳng ( ) : 4 1 0d x y− + = ; e) Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng ( ) : 4 8 0x y∆ + − = . Bài 23. Cho hàm số : ( ) 3 2 3y x x C= − a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ) C tại điểm ( ) 1 ; 2I − . b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến khác của đồ thị ( ) C khơng đi qua I . Bài 24. Cho hàm số ( ) 2 1y x x C= − − .Tìm phương trình tiếp tuyến với ( ) C : a) Tại điểm có hồnh độ 0 1 2 x = ; b) Song song với đường thẳng : ( ) : 2 0d x y+ = . Bài 25. Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 3 1 1 1y x mx m x= + + + + , m là tham số thực . Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1) tại điểm có hồnh độ 1x = − đi qua điểm ( ) 1 ;2A . (Dự bị A 1 - 2008) Bài 26. Cho hàm số ( ) 3 1 1 1 x y x + = + . Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1) tại điểm ( ) 2 ; 5M − . (Dự bị D 1 - 2008) Bài 27. Cho hàm số ( ) 3 3 4y x C= + . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ) C biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng ( ) : 3 6 0d y x− + = góc 0 30 . Bài 28. Cho hàm số ( ) 3 2 3 9 5y x x x C= − − + − . Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị ( ) C , hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất. Bài 29. Cho hàm số ( ) 2 1 1 x y C x − = − . Gọi ( ) 1 ; 2I . Tìm điểm ( ) M C∈ sao cho tiếp tuyến của ( ) C tại M vng góc với đường thẳng IM . (Dự bị B 2 - 2003) Bài 30. (*) Cho hàm số ( ) 2 1 = + x y C x . Tìm điểm ( ) M C∈ , biết tiếp tuyến của ( ) C tại M cắt hai trục tọa độ tại ,A B và tam giác OAB có diện tích bằng 1 2 . (Khối D - 2007) Bài 31. (*) Cho hàm số : ( ) 1 x y C x = − . Viết phương trình tiếp tuyến ( ) ∆ của ( ) C sao cho ( ) ∆ và hai đường ( ) ( ) 1 2 : 1 ; : 1d x d y= = cắt nhau tạo thành một tam giác cân. 70 ẹaùi soỏ lụựp 11 Chửụng 5: ẹaùo haứm Naờm: 2010 - 2011 (D b D 2 - 2007) Bi 32. Cho hm s ( ) 1 1 y x C x = + + . Chng minh rng qua im ( ) 1; 1A k c hai tip tuyn vi ( ) C v hai tip tuyn ú vuụng gúc vi nhau. Bi 33. (*) Cho hm s ( ) 3 2 1 2 3 3 y x x x C= + . Qua im 4 4 ; 9 3 A ữ cú th k c my tip tuyn n th ( ) C . Vit phng trỡnh cỏc tip tuyn y . Bi 34. (*) Cho hm s 2 2 2 ( ) 1 x x y C x + + = + . Gi ( ) 1 ; 0I .Chng minh rng khụng cú tip tuyn no ca ( ) C i qua im I . (D b B 2 - 2005). Bi 35. (*) Cho hm s ( ) 4 2 2 1y x x C= + . Tỡm tt c cỏc im thuc trc tung sao cho t ú cú th k c ba tip tuyn vi th ( ) C . 4. Tỡm vi phõn ca hm s v tớnh gn ỳng nh vi phõn 4.1. Phng phỏp : Da theo nh ngha v cụng thc sau : Cho hm s ( ) y f x= cú o hm ( ) f x thỡ tớch ( ) .f x x c gi l vi phõn ca hm s ( ) y f x= . Kớ hiu : ( ) ( ) ( ) . .df x f x x f x dx = = hay .dy y dx = ( ) ( ) ( ) 0 0 0 .f x x f x f x x + + 4.2. Cỏc vớ d minh ha : Vớ d 1. Tỡm vi phõn ca cỏc hm s sau : a) 2 3 5 1 x x y x + = ; b) ( ) ( ) 2 3 1 2 3y x x x = + . Vớ d 2. Tỡm vi phõn ca cỏc hm s sau : a) sin sin x x y x x = + ; b) 3 2 1 tan cot 3 2 y x x= . Vớ d 3. Tớnh gn ỳng cỏc giỏ tr sau (ly 4 ch s thp phõn trong kt qu) : a) 8,99 ; b) 0 cos46 ; c) 0 tan59 45' . 4.3. Bi tp ỏp dng: Bi 36. Tỡm vi phõn ca cỏc hm s sau : a) 2 2 3 5 5 x y x x + = + ; b) 2 32 ( )y x x= ; c) 2 1x y x + = ; d) 2 1 cos 2 1 cos 2 x y x + = ữ ; e) 3 cot (2 ) 4 y x = + ; f) sin(cos ) cos(sin )y x x= + . Bi 37. Cho hm s 3 3 sin cos 1 sin .cos x x y x x = + . Chng minh ng thc : . cos2 . 0y dy x dx = . Bi 38. Tớnh gn ỳng cỏc giỏ tr sau (ly 4 ch s thp phõn trong kt qu) : a) 4,02 ; b) 0 tan 44 30' ; c) 3 7,97 . 71 ẹaùi soỏ lụựp 11 Chửụng 5: ẹaùo haứm Naờm: 2010 - 2011 5. o hm cp cao 5.1. Phng phỏp : Da theo cỏc nh ngha sau : o hm cp 2 : ( ) ( ) f x f x = o hm cp cao : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , , 2 n n f x f x n n = Ơ . Chỳ ý : tỡm cụng thc tớnh o hm cp n ca mt hm s ta tỡm o hm cp 1 , 2 , 3 sau ú d oỏn cụng thc tớnh o hm cp n v chng minh cụng thc ú bng phng phỏp quy np . 5.2. Cỏc vớ d minh ha : Vớ d 1. Tỡm o hm cỏc cp ó ch ra ca cỏc hm s sau : a) = + + 4 3 2 1 2 5 4 7 4 3 y x x x x . Tỡm ,y y ; b) = + 3 4 x y x . Tỡm ( ) 4 , ,y y y ; c) = 3 3y x x . Tỡm y . Vớ d 2. Chng minh cỏc h thc sau vi cỏc hm s c ch ra: a) 3 2 khi1 0 2y y y x x + = = ; b) ( ) ( ) 2 2 2 khi2 1 0 .tanx y x y y y x x + + = = . Vớ d 3. Chng minh bng quy np cỏc cụng thc sau ỳng * n Ơ : a) ( ) ( ) = + ữ sin sin 2 n n n ax a ax ; b) ( ) ( ) = + ữ cos cos 2 n n ax ax ; c) ( ) ( ) ( ) + = ữ + + 1 1 ! 1 n n n n a n ax b ax b . Vớ d 4. Tỡm cỏc o hm cp n ca cỏc hm s sau : a) 4 1 2 1 x y x + = ; b) 2 3 5 1 x x y x + = + . Vớ d 5. Tỡm cỏc o hm cp n ca cỏc hm s sau : a) 4 4 sin cosy x x= + ; b) 8sin .cos3 .cos 4y x x x= . Chỳ ý : Khi tỡm o hm cp n ca mt hm s , nu c ta hóy bin i hm s ó cho thnh tng ca cỏc hm s cú mt trong cỏc dng : + 1 ; sin ; cosax ax ax b ri ỏp dng cỏc cụng thc vớ d trờn , d oỏn ra cụng thc o hm cp n ca hm s ó cho v chng minh li bng quy np (nu cn) . 5.3. Bi tp ỏp dng: Bi 39. Tỡm o hm cỏc cp ó ch ra ca cỏc hm s sau : a) .cos3y x x= tỡm y ; b) 2 sin 2y x= tỡm y ; c) ( ) 5 2 1y x= + tỡm ( ) 5 y ; d) 2 3 1 2 y x x x = + + tỡm ( ) 4 y . Bi 40. Chng minh cỏc ng thc sau : a) ( ) 2 ' sin " 0xy y x xy + = nu xxy sin= ; b) ( ) 0"1218 =+ yy nu xy 3cos 2 = ; 72 . phức tạp nếu có thể ta hãy rút gọn hàm số rồi hãy đi tính đạo hàm , đặc biệt là đối với các hàm số có chứa các hàm số lượng giác. Ví dụ 7. Tìm đạo hàm của các hàm số sau : a) 2 (sin cos )y x. t ′′ = . 5.2. Đạo hàm cấp cao : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , , 2 n n f x f x n n − ′   = ∈ ≥     ¥ . B. CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP : 1. Tìm đạo hàm theo định nghĩa 1.1. Phương pháp : Để tìm đạo hàm. Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa tại các điểm đã chỉ ra: a) ( ) 3 2 1f x x x= − + tại 0 2x = ; b) ( ) 2 1 2 x f x x − = + tại 0 1x = . Ví dụ 2. Tìm đạo hàm của các hàm