1.1.1 Đạo hàm các hàm số cơ bản 1.1.2 Đạo hàm hàm số lượng giác 1.1.3 Quy tắc tính đạo hàm 1.2.1 Ý nghĩa hình học của đạo hàm 1.3.1 Bài toán vận tốc tức thời 1.3.2 Bài toán gia tốc tức thời 1.3.3 Bài toán cường độ dòng điện tức thời
Tài liệu ôn thi THPT quốc gia Ths Nguyễn Thanh Thừa CHUYÊN ĐỀ: ĐẠO HÀM §1.1 CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1.1.1 Đạo hàm hàm số Hàm Hàm hợp Tổng quát: c' 0; x' 1 x x n ' f (u ) ' u n ' nx n 1 , n N , n ' u x ' Ví dụ f '(u )u ' ' nx n 1u ' ' 3 � (2 x 1) � � � 4(2 x 1) 8(2 x 1) u' u ' ' 2x 1 (2 x 1) ' 2x 1 2x 1 ' 1� � � � �x � x �1 � u ' � � �u � u � � (2 x 1) ' � � (2 x 1) �2 x � (2 x 1) ex ex e e ' ln x ' u ' x ln u 2 x ' eu u ' ' u' u e 2 x (2 x) ' 2e 2 x ln(2 x 1) ' (2 x 1) ' 2x 1 2x 1 1.1.2 Đạo hàm hàm số lượng giác Hàm Hàm hợp sin x cos x sin(ax b) cos x sin x cos(ax b) cos x ' ' tan x ' cot x ' sin x Ví dụ a cos(ax b) sin(2 x 1) ' a sin( ax b) cos(2 x) tan(ax b) ' cot(ax b) ' ' a cos (ax b) a sin ( ax b) ' ' cos(2 x 1) 2sin(2 x) tan(2 x 1) ' cot(2 x 1) ' cos (2 x 1) 2 sin (2 x 1) 1.1.3 Quy tắc tính đạo hàm (u �v) ' u '�v ' u v ( )' u ' v uv ' v2 (uv) ' u ' v uv ' (ku ) ' ku ' 1.1.4 Ví dụ Đạo hàm hàm số y x 3x x là: A y 3x 3x B y 3x 3x C y x 3x D y 3x x Hướng dẫn: Áp dụng công thức x n nx n 1 quy tắc tính đạo hàm ' Tài liệu ơn thi THPT quốc gia Ths Nguyễn Thanh Thừa Đạo hàm hàm số y x x x là: 2x A y x2 2x B y 3x x C y x2 2x x 3x D y x2 2x 2x2 2x x2 2x Hướng dẫn: Áp dụng quy tắc tính đạo hàm ( u ) ' u ' v uv ' đạo hàm hợp v v Đạo hàm hàm số y cos 2 x là: A y 2sin x B y 2sin x C y 4sin x D y 4sin x Hướng dẫn: Áp dụng đạo hàm hàm số lượng giác đạo hàm hợp �x x x Đạo hàm hàm số f ( x) � là: 2x x �1 � x x � x �1 � B f '( x) � x x � x � x x �1 � x � D f '( x) � A f '( x) � x x � x � C f '( x) � Hướng dẫn: Nếu x , f ( x) x x � f '( x) x Nếu x , f ( x) x � f '( x) Nếu x , lim f ( x) lim x 3x 1 �f (1) x �1 x �1 Suy hàm số không liên tục x , hàm số khơng có đạo hàm x x x � x � Vậy: f '( x) � §1.2 Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM 1.2.1 Ý nghĩa hình học đạo hàm 1.2.2 Viết phương trình tiếp tuyến với hàm số y f ( x) M ( x0 ; y0 ) Phương trình tiếp tuyến có dạng: : y f '( x0 )( x x0 ) y0 (*) Bước 1: Xác định x0 , y0 Bước 2: Tính đạo hàm y ' f '( x) Suy f '( x0 ) Bước 3: Thế vào phương trình (*) Chú ý: Đề thường cho biết trước x0 y0 Có x0 vào hàm số y f ( x) tìm y0 , ngược lại, có y0 ta vào hàm số y f ( x) giải phương trình tìm x0 Tài liệu ôn thi THPT quốc gia Ths Nguyễn Thanh Thừa Thường x0 , y0 phải tìm thơng qua giả thiết đề bài: tìm x0 cách giải phương trình hồnh độ giao điểm hai đường cong đề cho 1.2.3 Viết phương trình tiếp tuyến với hàm số y f ( x) biết hệ số góc k Phương trình tiếp tuyến có dạng: : y f '( x0 )( x x0 ) y0 (*) Bước 1: Xác định hệ số góc k Bước 2: Giải phương trình f '( x) k tìm x0 ; có x0 vào hàm số y f ( x) tìm y0 Bước 3: Thế vào phương trình (*) Chú ý: Cho phương trình đường thẳng d : y ax b Nếu song song d suy k a Nếu vng góc d suy k Phương trình tiếp tuyến hợp với trục ox góc suy k tan 1 a 1.2.4 Viết phương trình tiếp tuyến với hàm số y f ( x) qua A( x A ; y A ) Phương trình tiếp tuyến có dạng: : y k ( x x A ) y A ( y g ( x) ) (*) Bước 1: Tính đạo hàm y ' f '( x) Bước 2: Giải hệ phương trình: �f '( x) k � �f ( x) g ( x) Tìm x suy giá trị k Bước 3: Thế giá trị k tìm vào phương trình (*) Chú ý: Chỉ giá trị k tìm vào phương trình (*), khơng giá trị x tìm vào phương trình (*) 1.2.4 Ví dụ Cho hàm số y f ( x) x3 3x (C), phương trình tiếp tuyến hàm số điểm có hồnh độ x0 là? A y 24 x 53 B y 15 x 26 C y 24 x 53 Hướng dẫn: x0 � y0 19 ; y ' f '( x ) x � f '(3) 24 D y 15 x 26 Tài liệu ôn thi THPT quốc gia Ths Nguyễn Thanh Thừa Suy phương trình tiếp tuyến: y 24( x 3) 19 � y 24 x 53 Cho hàm số y f ( x) x3 3x (C), phương trình tiếp tuyến hàm số song song với đường thẳng d : y x là? A y x 21 ; y x 17 B y x 15 ; y x 17 C y x 15 ; y x 17 D y x 15 ; y x 17 Hướng dẫn: / /d � k f '( x0 ) k � x0 � x �2 x0 � y0 Suy phương trình tiếp tuyến: y 9( x 2) � y x 15 x0 2 � y0 1 Suy phương trình tiếp tuyến: y 9( x 2) � y x 17 Cho hàm số y f ( x) x3 3x (C), phương trình tiếp tuyến hàm số qua điểm A( ; 1) có hệ số góc k là? A k 0; k B k 0; k C k 0; k 3 D k 1; k Hướng dẫn: Phương trình tiếp tuyến : y k ( x ) Hệ số góc k nghiệm hệ phương trình: � x k (1) � �3 �x x k ( x ) 1(2) � 3 2 Thế (1) vào (2) ta x 3x (3x 3)( x ) � x ( x 1) Suy ra: x � k 3 ; x � k §1.3 Ý NGHĨA VẬT LÝ CỦA ĐẠO HÀM 1.3.1 Bài toán vận tốc tức thời Cho vật chuyển động với quảng đường có phương trình y s (t ) Khi đó, vận tốc tức thời ( v ) thời điểm t t0 (nếu có) giới hạn lim t �t s(t ) s (t0 ) t t0 Tài liệu ôn thi THPT quốc gia Ths Nguyễn Thanh Thừa Từ suy ra: v (t0 ) s '(t0 ) 1.3.2 Bài toán gia tốc tức thời Cho vật chuyển động với vận tốc có phương trình y v(t ) Khi đó, gia tốc tức thời ( a ) thời điểm t t0 (nếu có) giới hạn lim t �t v(t ) v (t0 ) t t0 Từ suy ra: a (t0 ) v '(t0 ) 1.3.3 Bài toán cường độ dòng điện tức thời Điện lượng chuyền dây dẫn có phương trình y q(t ) Khi đó, cường độ dòng điện tức thời ( i ) thời điểm t t0 (nếu có) giới hạn lim t �t q (t ) q(t0 ) t t0 Từ suy ra: i (t0 ) q '(t0 ) 1.3.4 Ví dụ Một cano chạy với phương trình chuyển động s (t ) 3t 4t 2t Vận tốc t gia tốc t bao nhiêu? A v(3) 53; a(6) 116 B v(3) 107; a (6) 374 C v (3) 62; a(6) 374 D v(3) 107; a(6) 116 Hướng dẫn: v(t ) s '(t ) 9t 8t � v(3) 107 ; a(t ) v '(t ) 18t � a(6) 116 2.(TS 2017) Một vật chuyển động theo quy luật s (t ) t 6t với � (giây) khoảng thời gian tính từ vật bắt đầu chuyển động � (mét) quãng đường vật di chuyển khoảng thời gian Hỏi khoảng thời gian giây, kể từ bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn vật đạt ? A 144 (m/s) B 36 (m/s) C 243 (m/s) D 27 (m/s) Hướng dẫn: v(t ) s '(t ) t 12t (t 12t ) � (t 6) 36 � � � (t 6) 36 �36 Suy v 36 (m/s) lớn t (s ... liệu ôn thi THPT quốc gia Ths Nguyễn Thanh Thừa Từ suy ra: v (t0 ) s '(t0 ) 1.3.2 Bài toán gia tốc tức thời Cho vật chuyển động với vận tốc có phương trình y v(t ) Khi đó, gia tốc tức thời (... s (t ) t 6t với � (giây) khoảng thời gian tính từ vật bắt đầu chuyển động � (mét) quãng đường vật di chuyển khoảng thời gian Hỏi khoảng thời gian giây, kể từ bắt đầu chuyển động, vận tốc... trình tìm x0 Tài liệu ôn thi THPT quốc gia Ths Nguyễn Thanh Thừa Thường x0 , y0 phải tìm thơng qua giả thiết đề bài: tìm x0 cách giải phương trình hồnh độ giao điểm hai đường cong đề cho 1.2.3