Mỗi người dân trong một vùng nào đó có thể ở trong ba tầng lớp: giàu, trung lưu và nghèo. Con cái của họ cũng có thể ở một trong ba tầng lớp nói trên với các xác suất khác nhau tùy thuộc vào việc họ đang ở trong tầng lớp nào. Giả sử bằng thống kê người ta xác định được: Nếu một người giàu thì với xác suất 0.448 con họ giàu, với xác suất 0.484 con họ trung lưu, với xác suất 0.068 con họ nghèo. Với người trung lưu thì xác suất để con họ giàu, trung lưu hay nghèo là 0.054; 0.669; 0.247. Với người người nghèo thì xác suất để con họ giàu, trung lưu hay nghèo tương ứng là 0.011; 0.503; 0.486. Như vậy sự thay đổi trạng thái của một gia đình trong xã hội từ thế hệ này qua thế hệ khác có thể mô tả bởi một xích Markov ba trạng thái:l (giàu), 2 (trung lưu) và 3 (nghèo) với xác suất chuyển như sau:
Mục lục Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ XÍCH MARKOV .1 Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA MƠ HÌNH XÍCH MARKOV .2 2.1 Ứng dụng giáo dục 2.2 Ứng dụng xã hội TÀI LIỆU THAM KHẢO 12 Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ XÍCH MARKOV Cho hệ quan sát thời điểm rời rạc 0,1,2, giả sử quan sát X , X , X , , X n ta có dãy đại lượng ngẫu nhiên (ĐLNN) ( X n ) X n trạng thái thời điểm n Giả thuyết X n , n 0,1 ĐLNN rời rạc Ký hiệu E tà tập giá trị ( X n ) Khi E tập hữu hạn hay đếm được, phần tử ký hiệu i, j, k ta nói E khơng gian trạng thái dãy Định nghĩa: Ta nói dãy ĐLNN ( X n ) xích Markov với n1 n2 nk nk 1 với i1 , i2 , ik �E P X nk 1 ik 1 X n1 i1 X n2 i2 X nk ik P X nk 1 ik 1 X nk ik Ta coi thời điểm nk 1 tương lai, nk tại, n1, n2 , nk 1 khứ Như xác suất có điều kiện kiện B tương lai biết khứ hệ giống xác suất có điều kiện B biết trạng thái hệ Đó tính Markov hệ Giả sử P X n m j X m i xác suất thời điểm m trạng thí i sau n bước, thời điểm n m chuyển sang trạng thái j Đây số nói chung phụ thuộc vào i , j , m , n Nếu đại lượng khơng phụ thuộc m ta nói Xích Ký hiệu Pij P X n 1 j X n i ; Pij ( n ) P X mn j X m i Phân bố X gọi phân bố ban đầu Ta ký hiệu ui P ( X i ) Định lý 1.1 Phân bố đồng thời phân bố ban đầu xác X , X X n hoàn toàn xác định từ suất P X i0 , X i1 , , X n in ui0 Pi0i1 Pin 1in chuyển Cụ thể ta có: Định lý 1.2 (Phương trình C- K) Pij ( m n ) �Pik ( n )Pkj (m ) k�E Định lý 1.3 Ta có: U (m n ) U (m ) P nói riêng U ( n) UP n n Chương 2: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA MƠ HÌNH XÍCH MARKOV 2.1 Ứng dụng giáo dục Mơ hình: Như chúng biết, hàng năm trường trung học phổ thơng (THPT) nước nói chung Bạc Liêu nói riêng điều tổ chức tuyển sinh vào trường Mỗi năm học lực học sinh ln có thay đổi dù hay nhiều, ỏ quan tam hàng đầu nhà giáo dục chất lượng học sinh đặc biệt học lực Họ cần có dự đốn xác tỷ lệ học lực lớp học, để định phương pháp, kế hoạch, kể việc phân công chuyên môn cho phù hợp đạt hiệu từ đẩy mạnh chất lượng đào tạo Nhà trường đáp ứng mục tiêu đề tạo thành nơi đào tạo có uy tính chất lượng người Cụ thể ta cần biết học lực trạng thái giỏi, khá, trung bình, trung bình trung bình chuyển sang trạng thái khác - Nếu xuất phát từ trạng thái ỉ trung bình trở lại tráng thái ỉ hay chuyển thành trạng thái ỉ khác ( i giỏi, khá, trung bình, trung bình) - Tỷ lệ giỏi, khá, trung bình trung bình tương lai Ta gọi G: giỏi; K: khá; TB: trung bình; DTB: trung bình Ta có ma trận xác suất chuyển: PGG PGKPGTBPGDTB PKG PKKPKTBPKDTB P = PTG PTBKPTBTBPTBDTB PDTBGPDTBKPDTBTBPDTBDTB Nếu bốn trạng thái trạng thái hấp thụ tức trình rơi vào trạng thái hấp thụ mãi khơng 2.1.1 Tìm ma trận xác suất chuyển kiểm tra tính Markov - Phương pháp tìm ma trận xác suất chuyển Gọi x1,x2 ,x n học lực học sinh lần khảo sát thứ i,I = 1,…,n Đặt vi = xi +1 – x1,i = 1, ,n Nếu: vi > 0, ta ký hiệu tb (tiến bộ) vi = 0, ta ký hiệu ktb (không tiến bộ) vi < 0, ta ký hiệu đx (đi xuống) Như vậy, dãy giá trị trên, ta xây dựng thành dãy có dạng: tb ktb tb đx .đx đx Đếm tổng số lần trạng thái G, K, TB, DTB dãy trên, ta có: nG:tổng số giỏi; nK:tổng số khá; nTB:tổng số trung bình nDTB:tổng số trung bình Tính xác suất chuyển theo cơng thức sau: Tính xác suất chuyển theo công thức sau: PGG = , PGG = , PGG = , PGG = PGG = , PGG = , PGG = , PGG = PGG = , PGG = , PGG = , PGG = PGG = , PGG = , PGG = , PGG = Trong đó: nGG tổng số lần trạng thái G chuyển sang G (các trường hợp lại tương tự) Từ ta có ma trận xác suất chuyển P - Kiểm tra tính Markov Ta cần kiểm tra thay đổi học lực có phải q trình Markov hay khơng Ta đặt: Pij = P{Xn +1 = j|Xn = i}, (i,j) xác suất có điều kiện để học lực trạng thái i giỏi (giỏi, khá, trung bình, trung bình) thời điểm n chuyển sang trạng thái j thời điểm n + Pij = P{Xn +1 = j|Xn = i, Xn-1 = k}, (i,j) (giỏi, khá, trung bình, trung bình) xác suất có điều kiện để học lực trạng thái k thời điểm n – (quá khứ) chuyển sang trạng thái i giỏi thời điểm n (hiện tại) chuyển sang trạng thái j thời điểm n + (tương lai) Ta cần chứng tỏ pkij = pij với i,j,k (giỏi, khá, trung bình, trung bình) Lúc ta nói q trình thay đổi học lực q trình Markov Tính xác suất theo công thức: pkij= , (k, i, j) (giỏi, khá, trung bình, trung bình) (1) Với kết tìm (1), đẳng thức sau xảy ra: pkij = pkij, (k, i, j) (giỏi, khá, trung bình, trung bình) (2) Tức thay đổi học lực tương lai phụ thuộc vào độc lập với khứ Vậy trình thay đổi trình Markov Để kiểm tra giả thuyết (2) có thỏa mãn khơng, ta dùng tiêu chuẩn kiểm định thống kê sau: Tính Tkij = = Với mức ý nghĩa α ta tìm + Nếu Tkij ≤ Tα (k, i, j) ta chấp nhận giả thiết (2) + Nếu có k, i, j mà Tkij > Tα ta bác bỏ giả thiết (2) 2.1.2 Ứng dụng mơ hình với số liệu thực tế - Ma trận xác suất chuyển tính Markov Thống kê học lực 537 học sinh vào cuối năm học lớp 11 ta có số liệu ban đầu sau: 28 giỏi, 315 khá, 189 trung bình, trung bình Vậy tỷ lệ ban đầu là: PG = = 0.052 ; PK = = 0.587 ; PTB = = 0.352 ; PDTB = = 0.009 Sau cuối học kì II năm lớp 12 có học sinh chuyển từ học lực sang học lực khác Tức là: G → G có nghĩa trước giỏi trì thành tích G → K có nghĩa trước giỏi chuyển thành G → TB có nghĩa trước giỏi chuyển thành trung bình G → DTB có nghĩa trước giỏi chuyển thành trung bình K → G có nghĩa trước học tốt chuyển thành giỏi K → K có nghĩa trước giữ thành tích … … … … Các trường hợp lại tương tự Cụ thể chuyển đổi học lực: P= 151500 7235712 34112520 0005 Ta có PGG = = 0.5; PGK = = 0.5; PGTB = = 0.5; PGDTB = = PKG = = 0.023; PKK = = 0.746; PKTB = = 0.225; PKDTB = = 0.006; PTBG = = 0.016; PTBK = = 0.217; PTBTB = = 0.661; PTBDTB = = 0.10; PDTBG = = 0; PDTBK = = PDTBTB = = PDTBBTB = = Như ta mơ hình xích Markov (Xn) sau: Không gian trạng thái E ={G, K, TB, DTB} Phân phối ban đầu U = (PG, PK, PTB, PDTB) = ( 0.052 0.587 0.352 0.009) * Ma trận xác suất chuyển: P= 0.50.500 0.0230.7460.2250.006 0.0160.2170.6610.106 0001 Dự báo đến học kì II năm lớp 12 537 học sinh có tỷ lệ học lực là: 0.50.500 0.0230.7460.2250.006 0.0160.2170.6610.106 0001 U (1) = U P = (0.052 0.587 0.352 0.009) = (0.045133 0.540286 0.364747 0.049834) Vậy ta dự báo tỷ lệ học lực học sinh là: 5% giỏi; 54% khá; 36% trung bình 5% trung bình Dự báo đến cuối học kì II năm lớp 12 537 học sinh có tỷ lệ học lực là: U (2) = U P2 = (0.052 0.587 0.352 0.009) 0.50.500 0.0230.7460.2250.006 0.0160.2170.6610.106 0001 = ( 0.040829030 0.504769955 0.362662117 0.091738898) Và kết cuối học kì II là: 4% giỏi; 51% khá; 36% trung bình 9% trung bình Với kết nhắc nhở học sinh giỏi giảm tỷ lệ học sinh trung bình tăng lên, cần đạo biện pháp thật hữu hiệu để nâng cao tỷ lệ học sinh giỏi - Áp dụng mô hình xích Markov hấp thụ Từ ma trận xác suất chuyển P ta thấy trạng thái DTB chỗ trũng (hay trạng thái thu hút) Với số liệu ta cần biết trạng thái chuyển sang trạng thái khác P= 0.50.500 0.0230.7460.2250.006 0.0160.2170.6610.106 0001 Trong Q= Theo xích Markov hấp thụ W = (I – Q) -1 = 2.2 Ứng dụng xã hội = 2.2.1 Dự báo chuyển đổi giàu nghèo Huyện Theo khảo sát 28227 hộ dân địa bàn huyện tỉnh Bạc Liêu cuối năm 2011 ta có: 4021 số hộ cận nghèo; 5572 số hộ nghèo; 18634 không thuộc hai diện Ta ký hiệu: trạng thái hộ gia đình trung bình giàu trạng thái hộ gia đình có mức sống xếp vào cận nghèo trạng thái hộ gia đình có mức sống xếp vào nghèo Ta có tỷ lệ ban đầu là: P0 = = 0.66; P0 = = 0.14; P0 = = 0.2; Sau 10 tháng, sách hỗ trợ Đảng Nhà nước, với vươn lên người dân nên ta có thay đổi số liệu Cụ thể ta có chuyển đổi sau: P= Ta có: P00 = = 0.99, P01 = = 0.01, P02 = = P10 = = 0.30, P11 = = 0.66, P12 = = 0.04 P20 = = 0.16, P21 = = 0.28, P22 = = 0.56 Như ta mô hình xích Markov (Xn) sau: Khơng gian trạng thái E = {0,1,2} Phân phối ban đầu: U = (p0, p1, p2,) = (0.66, 0.14, 0.2) Ma trận xác suất chuyển P= = Dự đốn phân hóa giàu nghèo địa bàn huyện sau 10 tháng: U (1) = U P = (0.66 0.14 0.2) = (0.7274 0.155 0.1176) Như sau 10 tháng có 72,74% dân số huyện trạng thái trung bình giàu; 15,5% dân số cận nghèo; 11,76% dân số nghèo Theo kết ta thấy tỷ lệ nghèo cận nghèo giảm xuống điều chứng tỏ với sách hỗ trợ vươn lên người dân tương lai hộ nghèo khơng Để kiểm định nhận định ta dự báo tháng tiếp theo: (2) = P2 = (0.66 0.14 0.2) = (0.785442 0.142502 0.072656) Sau 10 tháng có 78,54% dân số huyện trạng thái trung bình giàu; 14,3% dân số cận nghèo; 0,73% dân số nghèo 2.2.2 Dự báo khả giàu nghèo theo truyền thống hộ gia đình Mỗi người dân vùng ba tầng lớp: giàu, trung lưu nghèo Con họ ba tầng lớp nói với xác suất khác tùy thuộc vào việc họ tầng lớp Giả sử thống kê người ta xác định được: Nếu người giàu với xác suất 0.448 họ giàu, với xác suất 0.484 họ trung lưu, với xác suất 0.068 họ nghèo Với người trung lưu xác suất để họ giàu, trung lưu hay nghèo 0.054; 0.669; 0.247 Với người người nghèo xác suất để họ giàu, trung lưu hay nghèo tương ứng 0.011; 0.503; 0.486 Như thay đổi trạng thái gia đình xã hội từ hệ qua hệ khác mơ tả xích Markov ba trạng thái:l (giàu), (trung lưu) (nghèo) với xác suất chuyển sau: P= Xích Markov quy nên tồn phân bố giới hạn π = (π 1, π2, π3) Phân bố phân bố dừng Ta có: (π1, π2, π3) = (π1, π2, π3) Như vây qua nhiều hệ vùng dân cư nói có 6.7% người giàu, 62.4% trung lưu 36.9% người nghèo 2.2.3 Dự báo số liệu chi cảu ngân sách Nhà nước Theo số liệu cảu tổng cục thống kê việc chi 100 nghìn tỷ đồng ngân sách cho phát triển xã hội cảu năm 2009 Chi cho đầu tư phát triển: 30.78 nghìn tỷ Chi cho nghiệp Kinh tế - Xã hội: 54.82 nghìn tỷ Chi bổ sung quĩ dự trữ tài chính: 0.02 nghìn tỷ Chi cho lĩnh vực khác: 14.38 nghìn tỷ Vậy tỷ lệ ban đầu là: P1 = = 0.3078; P2 = = 0.5482; P3 = = 0.0002; P4 = = 0.1438; Ta ký hiệu: biểu thị cho trạng thái chi cho đầu tư phát triển chi cho nghiệp Kinh tế - Xã hội chi bổ sung quĩ dự trữ tài chi cho lĩnh vực khác Và thay đổi có chi tiêu ngân sách nhà nước năm 2010: 26.11 3.4 01.27 054.82 0 00.02 0 014.38 Ta có P11 = = 0.85 P12 = = 0.1 P13 = = P14 = = 0.05 P21 = = P22 = = P23 = = P24 = = P31 = = P32 = = P33 = = P34 = = P41 = = P42 = = P43 = = P44 = = Như ta mơ hình xích Markov (Xn) sau: Không gian trạng thái E = {1,2,3,4} Phân phối ban đầu U = (p1, p2, p3) = (0.3078 0.5482 0.0002 0.1438) * Ma trận xác suất chuyển P= p11p12p13p14 p21p22p23p24 p31p32p33p34 p41p42p43p44 = 0.850.1 00.05 0100 0010 0001 Dự toán chi ngân sách vào lĩnh vực năm 2013: U (1) = U P = (0.3078 0.5482 0.0002 0.1438) 0.850.1 00.05 0100 0010 = 0001 = (0.27702 0.57898 0.0002 0.1438) Như 27% chi cho đầu tư phát triển; 57,9% chi cho nghiệp Kinh tế - Xã hội; 0.2% chi bổ sung quĩ dự trữ tài chính; 14.38% chi cho lĩnh vực khác Dự vào kết ta thấy tỷ trọng nông nghiệp giảm thành phần kinh tế khác tăng lên Cho ta tính hiệu vui kinh tế tỉnh với tăng trưởng công nghiệp – xây dựng dịch vụ Ta tiếp tục dự báo năm 2014 xem chuyển đổi cấu kinh tế theo hướng nào: U (2) = U P2 = (0.517 0.2452 0.2378) = (0.5108 0.2462 0.2430) 10 Năm 2014 cấu kinh tế tỷ trọng nông nghiệp 51,08%; công nghiệp – xây dựng 24,62%; 24,3% dịch vụ TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đặng Hùng Thắng, (2007), Quá trình ngẫu nhiên tính tốn ngẫu nhiên, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Phạm Tiến Dũng (2008) Thiết kế thí nghiệm xử lý kết phần mềm thống kê IRRISTAT [3] Nguyễn Hữu Lộc (2011) Quy hoạch phân tích thực nghiệm, NXB ĐHQG TP Hồ Chí Minh 11 ... hợp lại tương tự) Từ ta có ma trận xác suất chuyển P - Kiểm tra tính Markov Ta cần kiểm tra thay đổi học lực có phải q trình Markov hay khơng Ta đặt: Pij = P{Xn +1 = j|Xn = i}, (i,j) xác suất có... trạng thái gia đình xã hội từ hệ qua hệ khác mơ tả xích Markov ba trạng thái:l (giàu), (trung lưu) (nghèo) với xác suất chuyển sau: P= Xích Markov quy nên tồn phân bố giới hạn π = (π 1, π2, π3)... điều kiện kiện B tương lai biết khứ hệ giống xác suất có điều kiện B biết trạng thái hệ Đó tính Markov hệ Giả sử P X n m j X m i xác suất thời điểm m trạng thí i sau n bước, thời điểm